MATEMATIKA II zapiski predavanj Šolsko leto 2007 / 2008 Izvajalec Gregor Dolinar Avtor dokumenta Blaž Potočnik UREJANJE DOKUMENTA VERZIJA 01 REVIZIJA 01 DATUM 21. 2. 2009 ZADNJI POPRAVLJAL Blaž Potočnik PREGLEDAL Blaž Potočnik OPOMBE Končna verzija POPRAVKI 21. feb. 09: Naslovnice, strani; bp
www.stromar.si zbirka študijske litarature na spletu
razmnoževanje dovoljeno le ob predhodnem dogovoru v dokumentu lahko obstajajo napake
2008, stromar.si 1
2008, stromar.si 2
2008, stromar.si 3
2008, stromar.si 4
2008, stromar.si 5
2008, stromar.si 6
2008, stromar.si 7
2008, stromar.si 8
2008, stromar.si 9
2008, stromar.si 10
2008, stromar.si 11
2008, stromar.si 12
2008, stromar.si 13
2008, stromar.si 14
2008, stromar.si 15
2008, stromar.si 16
2008, stromar.si 17
2008, stromar.si 18
2008, stromar.si 19
2008, stromar.si 20
2008, stromar.si 21
2008, stromar.si 22
2008, stromar.si 23
2008, stromar.si 24
2008, stromar.si 25
2008, stromar.si 26
2008, stromar.si 27
2008, stromar.si 28
2008, stromar.si 29
2008, stromar.si 30
2008, stromar.si 31
2008, stromar.si 32
2008, stromar.si 33
2008, stromar.si 34
2008, stromar.si 35
2008, stromar.si 36
2008, stromar.si 37
2008, stromar.si 38
2008, stromar.si 39
2008, stromar.si 40
2008, stromar.si 41
2008, stromar.si 42
2008, stromar.si 43
2008, stromar.si 44
2008, stromar.si 45
2008, stromar.si 46
2008, stromar.si 47
2008, stromar.si 48
V,t- Vz
100
1+o1D-z
7o
51
0 v4t 2ul
q-+l
)
IL;
x-1-f"r";"1-- 'J, - -k
e,tJJ'Jo
11 4 o ilo'l 7 1 DI r_dur.u"
f , 4 q11
L + y i ,l *n-/ |
lt 1 1 :j-t\,=-r" lo o 1
f'2 -1 L 1 I oJ vr{ rrlrLo 1 7
R 1 o z ol / t ,t TrI * . . l | , ' , ? t
N [o 1 + 5 -,rl^, lo
't q I Il l f _ r
lo o 11*11 l0 oL, o o ? ,J L' o o 4l1x+=1tl
4r* 1 <n= -' l
x3= -Z
r L J /
0
-+-1
0
Ji.r{e,-, l i^earuiL e,.a;b zq . In{"ko re-i"ie'-. ' 7 6ous"ouo ".df*/o,pt-i ko{e ri png3iplelo ,..".*ri Lo e f {e,^e,n*ae alnr- i oletaci .1 a'' 1' ,p;eohf1
f ,^1s^" *, / t ' lerpC' i1 t ulora\ fr iL-*r,e " ,^..*r ' l ka ,-? (r^*er-t
je ; . te,.J.. €trosf"r,aa
;rel/^*i / re)i f tv ) ista." '
P.- ,^*, ' X1aX. AZX+=0
{. {Z<z+k\ l+71* +(=o
X4 t xz UXa * '1= - 3*9
7
51
5D
1
'R q iite" ?6-:t-11* , . kif,, ^i u ,oy t-nl"ilre k o<ficteuutov e n^ kYA ta
I vr t-a*s vlevae c*^ a"t rl,(e',
l (er re vatnm u*t r ike eo.ak - f fer l ( t^ ^ez( , , .c t ,^k, )e r ' -e i , {g,nnlo,nll,o et+a. f DoLi^- jo *nkr, o(^ t-?3'tas eaaZlet oo( rPo/")
h 4v*3o a,
-odt*/a*2008, stromar.si 49
BI t I . v t
Lq-h Ko po tsc€tq oa^4+ i t k ' ; h , . \ a
A - ! , , v \
fT , t$C?a'o I 'v1?urt J
l h V e f Z t ' oI '
s ( e o { ' + i l 4 aJ
'Wuefe 1
1 4,() 3.2 o o^ n*-r*o r r lurn ic t h .
l l
rct g c,trJ
9 '
Q*LuL t ta -g
-l ,/
t 6auiJouo r"elot l .ooAtq l i ,u r kv cro l r .<fn i
,l
Do,a. ' 7* ,nh o o.ntr ikozx.
A'x=I
)e J'r sfer. (rne"rrial eno,El>
aopet
i 'n.verZhe
l f , , V ? ? t q e
ti"iL^
^"{r;k,
Lr. t r:,|-e er
v
, ?€s l t 'v 'oI
, , t * e " ^
il
^AI]:..-"::]Ari =|ilt[:
ec
c
Do , tr"b(y..o rei i f . ' vris * " * f . r ^€o t (u raQ oper
f- 'rl ^Jl;I Ait- ,'-l lo
P"Jo$^o
;L?4 c.(r '^rat- cr't IA F;:] =|ilo(oii^o 1,. s t"/p
F"flJoh,"o Z, r l" [p"
u tllJ o bi ̂ , zo Jnl\ ' s
[r]il
e qaZ Lr "D"
ol*
ol,
iLt -e j i o " o s i , f e * ?ha
ro - l r i ke , l ' e3 ' ,ao s rs *e'. € t^ac L
u .Jno uponoL ,no
lo[y"" i^ s " r? r ,?
uk te l, s i"te'r,^ o va c i1 '?
:1i, A-'l
2008, stromar.si 50
A-'=1
-1'l
7oo1
{j,-,^r,- la 2L, A=n i A,lti: f r' r t r
o1o
1o
0
71o
't c) 0 J,r, , ur\
i i ?INtst t1
T
+ n+li+J
A41',\()1
-7 f j:l I-I \LT
-F
= f;;l,rlX,J
tl'rJI
f,.,-c,- A: P,
AX
[ai I]-[r-111
t, 1 o ol n A -1 t-r o o-l',0 1 ol-lo 1 1jo 7 ol,t-1 o21J,ur, ! , ,1p O f \ -1 A 1J'{
it i lSr'nh D o:+ i tl,,-i ! iJ-L', I ii:r't 3 +J
?1-Z
z100
il;I
t) i ^e rnz i j t hx t - t<1 . t
[ ta ^o) ' bOk.n o.olrn{n^ ko.6 l, k, n^ r^^^ t1-ik.s{" I pe ,^ ̂ wo.{r,k" dtue,t*5ie a
Kun J*{i^ for^^
Ah x h
X4 X
lar*a X'r+ X
k^;JFt> - 1
i-
L>1
ce )t- 4 / .er-, . ' r t 's ka r seie f e A por?vao her 'n ' , .Lko .po lev 'uo Ae- - i ' { , d^ .
Vr. b,,
iar,^*-TVA
4 < 6
P ,r o i ? ^
[he,nu, , jen" kv. . , l rofn.^ for^n ^*{r i Le A
je ^"{r i l '^ J;"e.=,je 'r*1, 1o rtwib.t""ej j e
',,1 h :i;;] = x, X.r ̂,2,,. F,{ -o,}kunJrnl^ , f , "Fa.r r ̂
(nr^n) . , l .er- - r^ i f .k^,:c k ro r l ro l ^o fo -^^ tw ,e ,anJ-e
, o -
gli&"{a*2008, stromar.si 51
iz.d< tt^ "ra{< X j. vreolnot} her^,{tk" for^e 1-uol^o ;t'e"il.
D,r,^* Ro/; bi u',, le| 't cl* )z 8W)=7'AXr e c j" A l ;.1,^r3k+r-n,
{xr{x) =X'/' X = t A f= tx' /,XI=X' Ai{x')' ="""' ̂ =/'t
r^f=r{ :l;[. f*q,p,aivnuo (B.ir= r'c'
=X'AX1f:AA" rruo otoL*ot;iz,-cl< Z^ v.:o,k X . iu uyerl'orf o":!^':r
r!r:"i{ske for^z
Zitlo (ninu 1c.al"tru Jel") iet1,tr^arao ;f .
r' : i^; F,ff:!; r+11;^'e;: :t*w,'f!' i {" itj7":,,:.-1, *!iii^,
I
fln=yJAX r(X,IX;'= x'A'X:-{'n ,+Y&-* st";L
,+ l'"r"'^, h"ro,.t,rtP-,".",- A= h .,il A=],lI^ 'il A'=01 'fl
-rA-- a' , {ore j 1 je (e" . ' , - { r*q
e1E"' ;lLtl = E; t2 J W; :'; :' lx=f6lf-L4
' l x z
xtAX=0"ol fri*i:- +u++4+(2 +i)x/ =
z >. f
= tq* fi+z eft
2008, stromar.si 52
2008, stromar.si 53
2008, stromar.si 54
2008, stromar.si 55
2008, stromar.si 56
2008, stromar.si 57
2008, stromar.si 58
2008, stromar.si 59
2008, stromar.si 60
2008, stromar.si 61
2008, stromar.si 62
2008, stromar.si 63
2008, stromar.si 64
2008, stromar.si 65
2008, stromar.si 66
2008, stromar.si 67
2008, stromar.si 68
2008, stromar.si 69
2008, stromar.si 70
2008, stromar.si 71
2008, stromar.si 72
2008, stromar.si 73
2008, stromar.si 74
2008, stromar.si 75
2008, stromar.si 76
2008, stromar.si 77
2008, stromar.si 78
2008, stromar.si 79
2008, stromar.si 80
2008, stromar.si 81
2008, stromar.si 82
2008, stromar.si 83
2008, stromar.si 84
2008, stromar.si 85
2008, stromar.si 86
2008, stromar.si 87
2008, stromar.si 88
2008, stromar.si 89
2008, stromar.si 90
2008, stromar.si 91
2008, stromar.si 92
2008, stromar.si 93
2008, stromar.si 94
2008, stromar.si 95
2008, stromar.si 96
2008, stromar.si 97
2008, stromar.si 98
2008, stromar.si 99
2008, stromar.si 100
2008, stromar.si 101
2008, stromar.si 102
2008, stromar.si 103
2008, stromar.si 104
hk ,tr< uv\ {^^kri1e ol,rL'D";, . l D*lR, D c
,ul i (Gnh,b+kl -(h, i l<O rv te^ pr i , . . '1-^
' Zq. vsak h i " k v tek i Joro l n ; )h ' r i oko( i ,
h- f<I t ren f*^Lci )e o luek )prqruoQ{-k Lo^- i ' l .o( ; tpaf-c i , - tu ' , i uo(ro l .uu p-ueJ 'o i , , . "d, -uf l "J^ 7eo(a-
D.^., . , i r" t*,4 . \r f . ;k ; Ul l ("^kci j^ uk ' fr€u..
k i zorl o;-c,
*/ ine *ttQ uu.o
\ J t e S
P,Jrr*,
PtL,.ntui',
h (a,bl= Osho. , lo je p . { re | " i p 'Jo j zq ru ' {o6 ek t t renu vc 'L / ( - (*(o,Ll 'o i ,^ (o(a, i l=0. ?F
'
_ t - l r l tl e c l i t r 4 c b / /
T '1 ' -a^ l , r i : ( : : : . {oe
kr^ qe 2^/o i ta fea ' ' pog a j^ ' v le j | " ;k i 'n '
M; pa n*)n ' r r r ln )e v tock i ,
l)e ;-: T-oi kr,, f i yo c/' >L a )o .po1i *( F.q *Ji J*t 1^ "kt(r '^I.
y f tn(er 'rL sfogiot^qybt i l ' {oih.^( ie eksffr- ' t^
ko-kTttuJ; r !^e k.ete e,-- po- uSolav(jua a z e(r u'g'ta i patc i o [a) a.i o"
Uni F, l . ,z ,kot (o, f ) s{ . .c- ioeart ,a. {ozkcal* , .kc i )< f . Z^pi i i , - To16r jevo'
vrs{o S" ikc; )c f
x5.o+.700I
'pr e he ̂(j i 'k
[R' i.,. \/ -Fo.,fiif,cii '^ +'
((^*h, b+k) -(h,b)> O / ( / *c- p"td€t ' ,^
fr 'kr i rc ' to-o^ "a. kporcl ; t , - lo f -qkci ie ! . forut (= ( !* , .L)
Pr{e,. \ { p 2n^kr i in r" ' r -e . ent sb'e(-"^t1ftk. 'x , ' I^ t '41.\
kof fJ. .c i , j< e"" " .p,-c^eul i ; "ke ekrfuet v {oaki 2 '=a.
^. .o Li( i . od.uoJ te f .nkc)e fo rpreLe$' , .k i x u J. tk 'n ,uok O.I o PoLe4t
(x( u'61 = o '
. c 'e t ik, i r ,^-^o ie 4ruqo koo-Jiu,o{o Jobino L = (h, a I in' .d ' { .o t ( tpe( jen. ruJ^ a-c?q b i f i fu / i
l . i kr,b) eksfrs^, ie
j e ekslY e. ^iri r-,,n r-
) e .k sfre,.. ̂ ,Joti nrn /
r fo . -ke (atL) .
f " a o i ) '
pogo)*>f nkt f r un
" t 'a c i ona r he *o r fce
4 Q+k,6+k ) -(t^, i l = ("( o,b)h r ( th, LJk + I 1.7.^(o,L)1,' * 2(*oG,L)A&t
2008, stromar.si 105
) + ,--* -],*l
#^;{ " t:fr''"f r.1 : ̂?Y';:!l :,' r="( I u,U,b) ,n . '<
e ' ( * (o ,LJ=o io ,s p u-r. t^i t-iz {, t| *(^.LF 0 -( a r -
. (6*\,b*k) -4(o,b)= ! (*l,r*ZB hlrt ck')n/{ A,k)
t ' " :1 , t l ^ t . t r t^ zcr ^n i [^ , ur r r l^ r , s f ; , , ia h tzraa
+ ( n*A, [,+k)l - (U,L)' ,r I i
pre, lz^,nk ko* Aqz*2Bi,hk+ckz,
--*p,: ; ,^u (* l ha\ +otkr l t j i wai i r ,
A lrz + z tsh k + c k' = uh* stJ'! [4 Q, I!)\4'T
-t
pkf ^ , . j Lu ' ,L vve/ r " ' { i / , ^ ; , (vg( i t o ' ^ .^ i ; i od o ' - f^ ( i (i [er^o,
J
(*)
P r , c ? w ? 7 Alo
,f.) 0 e(e( e
2.) Z,; fefe'^
3.) ce
AC-BZ>O , po*en^ ie i fevec ,nG^ku p-e ' r f f veut .pofeu nG^" 'k ' . " ,o : - ' , t iuJeu i , ^ ar ( " ,d j : L i^ ;a^q, . .
J, (" l"pk. hn7u{,Jen 'r h v (o, b) i e . u\ 4lf,s i^ n
"-,.O , " lub;^ , pr ( t -c*x / ; ; , . ;1 u . r r luo ' { ' rA h rur k vpo >', ' ( iw o ' i^ ' eu, k ta-f h?ntd*iu uo i f e, j (o. V! ; k i h ,L ) a i ek r fee- , "u .
vQ. *o
o - i ^o , J , . - j eje '4?o;
Jui t,.nio,i i:., t * e , .nA t " . *
P r ; * Q ? v t V f
AC-80- -o ! te
P." t re, . e . .p i je .o ie .ek sc )pot-h. . ,? /e f i^ ic i j . F{"ss ? i ru" ^n{r ,ke. ,2,^'p*n-k"1-" 6i. o=n^k A= P*'"t^,Lf , a=ku(i,b), c=poo[",A1
T"rei
H(^,rr{; 1"n1I
(odG,n' , l
oz,oho'x ^1 [,A)r,fi."
r^") =0,[AW-o kutLuf) LB
B-lCJ
' : p*^ h,,b) 1*, t^,b)-("v (o,ie
= ,,le*fti 3] = Ac-BP,' i?^ p6 J"l H,h,A) L)z
2008, stromar.si 106
;+ r€[< i f t /r . i .r". F,D-R, D rR'roJrt"4(; i"i fn^kci','.N n', b! h,b') tt,.Jt o4Qt- rna
!-* ' (o,61 .d in {*(n,.bl=9,4)l a ( i, d"{ H (; (bl"= (*"
Jt d4 x,n(nrb1>o t 'polrn
Juuf t f ^ { zue?r^o Po .c i n |u
toak^ {n^kci1, F(torei
G,bl ,( uz G,b) - (v Q(b)') o i".
b ) n t u , i * q L' ) e v lozL i (^ ,
i l .?"* (o^ ,L\<O t2,1 2. je ,1 e{M(^,4)=
v {d;k i (a,Lf , . ;
pu{ .e - je v
!;:i:ro)^(',7{' ; k i ( o ,b ) , ^ok t i h tah
(?,b1.* +:3,r?t Ll2 <0 ,Po*r"*f ;k i
' ( ; (b) ' j , ' " , l lo,
3- \ i , je , lu { .N. {o ,b)=o. 5 poa.z io J r*q tL , oJuo, /o ,, lo(d i t ; c .L t r
)u v f "ak i G; i l ek 'u{ r? tuc ̂[ t ccp.
P,- ' ,^ci- .( &,,V1= xtn t ' - 6*t - 33x 41ry +20
Maj pre i pai i ie"o s{ ' ;o^ar ae loJke
(" = 3*t - 6^U *39
{f 2 T- 6>+ 18
(sc-eroo (* ,V l z* k .^{e.e.
3 * ' -6,0-- 30 =O ) x?-2 % - ' t3=O
h g t + o r Q * o
2^A,-6r+48=O ? u- 3x+3 =O =)*t= 3>.-3
xz- 2' IJ*- 3)^'lz-0
,. ' -6x-{ FO
[* -1)(x-S =o
=s.=6
(s,6)
s k,li
Ti:;!e ',
,(1,- 6)
xz
" [ z
T2 j sfac io r r rn r ,^ i I " " .k ; .
2008, stromar.si 107
t ,zzki ? Pre-eri^. Jeter l . ; ̂ u 'n{o H "toe),uu " '- l" , l 'oK[l ,{o t fo ci on^r ̂ 'l
("" = 6x
fu"r= -$
$t"o= /
= ?Z -36 = -2+ <O:l)n],,,,16: Je(lL-6
f-r/.f H fJ
bx"'l-6
-61l=60-35=ZQ>0z)
(s,6)= 6 J= 3o>o i e
Fr^ kci j . p r i do Jo.{^€r,71
,)=ar+f6. -',1 =c/e nr:t
Ls 2) 6/) 16
i-L ,)." ek'{rea, ' ker- (**( I Z l s f \ - t r l . q J v '
/+eK5 trem
lR , 0, R' . ( ia ?c-o ekrfrr , . {ed; )e . t r_
I k'v)=Q
V foa(iv { . , ;k i
\ /
V ezoLlqrAi6,.
PogoJur
e I (lt-6)
ni , [ . t f r€ ra -
rz(t6)
etH(qsl
Pug*j 3(x,Vl - O i*en,. ieni (v. i l ; vee -
Pogo j qk,g l= 0 ,Ao[oi^ 1,1sko l r i '1*$" v . rav.nin i ' .T or e i , ' ts .d
-eno
;F--/"i'-ij { ; 5'7' r.r . ;i;i" ̂:' - I;;l;; " t :: ! ;^ "' } !' i, *t,',; "' T' i "
n c c ( t o l ( f r V t ^ , { l O ,
{ezaa. i cksft t - 1*, ,^Lci je + QLko poi i l te '^. an 7)vo- qai i ' , ,o ' I
1.1 Vs.^ gk,^r. l =o ^06 ' ,"pLici(n"
ol ." [o"- lnnkci j ' q =?(x) ' P"k^
e(^) ' 4(r , t ( tJ fr^rkci 7r^ ernc rPF?'^e'^I iL;ki 6, . . {"n c ek- ' t - . . . " ' i7t t ' . '
Toye1 oqot-c"+ 'e\"{ i #=f i"()"
\-/
veno po, d,n j' # =#.^bp+)+, # = O ((})
2008, stromar.si 108
D^(1 e,
MsJuoJ
ve J x
<<)g
Jy
t \p [ t t i tu , gooLon" f * "ku j t 3=t(*) fn )Q
V ttnuino fo
AA+Udx d^,1
t+) =o\ Jr l -
ars
v ?,^, zbo (d in do bi^-
%*-o
r{.0( i
Z- l V"3^j ek>{r en [ ' Lko poi i 'ce ' . " {^ ,J i .z l^g! hb te ' 'a n"{oJo- ' ; ; , : -kJ ' '1"" ,
' Aef i r , , ro^o
' t^ . ' " f t , . kc ' ;o f re ' ( s fee" 'e" t i ' ' " k
L^ uo ' ( eo ln i i , . o - c - i h ,,,
F (r, no,x)= 4&,^t)* Z g k,ns)p {* . ,^ .^ i r , " , Lu,graageva {n^Lclr '^ , a ?n
L^gruugev La[ t ; r [ ;k"*u '
Vg7". ,^ . ek>fre- pole. - . po i ie ' -p foko, J^ ToiJ ie^ ' , ,^ouo" l* i "c k i f r "* f ^"kc i je ' F, fore) t -e i i ' . . o eaaE b?'
l * * , \[ - x * w
F.=oE =D'
a Lc^5^ .A t * \eve ,n {o lo (o_hL=o,
P i , . J . ? r "^o F" 'L i v e2o^c
skr*;l^ iy"-ki ir"": 'pFs,^s^\i , ' ' t( +(rr! ,f^) . ,, l=0.i ' ; " i ; . ' v??eh' ) t k , Y^ l J 0 , "
' ' - / f ln [ * " - " 'xa
L: l r1r tgo vo. . t^ . nkc- i , ja i . ,Y
{ ' : - P ' tu-€t 'n F kr , - ' . . * ' , ) ' t , " '4 ' ' )
? t ( ; , - : . . - *n ) - ,J- ; -P;&' , ' ' x?\ ) { ' " rL '^ l ' :^ (* ' " ' 'x^ l
Fx^=o F^"=oF..,r--o :
0p"nb."
l - t =o
4J"a
4 *=oALJ^r
-
2008, stromar.si 109
Pk,"tr\=*nt k,^vl'o i
Pi-',* e i-
2- ,,^. .i i ,"
h k,"d= <*rv -' l
V'1-x'?=0 :) x=U
do[ t i^ ,
\ 44X= ) l u r " 0=
Z
n{ . ^ ^ ( ( 4
(*trr -fut<-o
k=% T*=1 ( \.Y)4nA=* try=1 )
al, po it' ?votwt o Sc v € ? i.
X +X - ' l = O t{o ci ouc (- r^t^ {oi[ .^ T G, 3rl ,
/=:+, , \
t ' Q, t,Q\= I Q,,6:lt 2- Ah,y l= xy+ L (x*3 *1)
F* = V+?-
Fr;= x+2'
F1 =)<{ rA"1
-\ x= az-/
fi=L
=>
-)
V--L'
_7_z -1=o + 21= -,1
sfacio" ,4Fha lo"-k . . .n f (? ,
2008, stromar.si 110
2008, stromar.si 111
2008, stromar.si 112
2008, stromar.si 113
2008, stromar.si 114
2008, stromar.si 115
2008, stromar.si 116
2008, stromar.si 117
2008, stromar.si 118
2008, stromar.si 119
2008, stromar.si 120
2008, stromar.si 121
2008, stromar.si 122
2008, stromar.si 123
2008, stromar.si 124
2008, stromar.si 125
2008, stromar.si 126
2008, stromar.si 127
2008, stromar.si 128
2008, stromar.si 129
2008, stromar.si 130
2008, stromar.si 131
2008, stromar.si 132
2008, stromar.si 133
2008, stromar.si 134
2008, stromar.si 135
2008, stromar.si 136
2008, stromar.si 137
2008, stromar.si 138
2008, stromar.si 139
2008, stromar.si 140
2008, stromar.si 141
2008, stromar.si 142
2008, stromar.si 143
2008, stromar.si 144
2008, stromar.si 145