![Page 1: MATEMATIKA III - anatsalits.files.wordpress.com fileDefinisi 3.1 (Integral Ganda Dua) Andaikan f adalah fungsi dua peubah yang terdefinisi pada suatu persegi panjang tertutup R. Jika](https://reader031.vdocuments.net/reader031/viewer/2022021609/5cc488de88c993412c8c1fef/html5/thumbnails/1.jpg)
PERTEMUAN KELIMA
MATEMATIKA III
http://nurtamam.blogspot.com
JURUSAN TEKNIK INFORMATIKA - FAKULTAS TEKNIK
UNIVERSITAS TRUNOJOYO MADURA
Oleh
Mohammad Edy Nurtamam, S.Pd., M.Si
![Page 2: MATEMATIKA III - anatsalits.files.wordpress.com fileDefinisi 3.1 (Integral Ganda Dua) Andaikan f adalah fungsi dua peubah yang terdefinisi pada suatu persegi panjang tertutup R. Jika](https://reader031.vdocuments.net/reader031/viewer/2022021609/5cc488de88c993412c8c1fef/html5/thumbnails/2.jpg)
Integral Reiman untuk fungsi satu peubah, telah diperkenalkan pada
matakuliah Matematika I. Ingat kembali kita membentuk partisi P dari
selang [a, b] menjadi selang bagian yang panjangnya Dxk, k = 1, 2, 3, . . .
n dan mengambil titik contoh dari selang bagian ke-k, dan kemudian
menuliskan
Kita akan meneruskan cara yang sama untuk mendefinisikan integral
untuk fungsi dua peubah.
Kita tetapkan R sebagai suatu persegi panjang dengan sisi-sisi sejajar
sumbu-sumbu koordinat yaitu
R = {(x, y)| a x b, c x d}
3.1 Integral Ganda-Dua atas Persegipanjang
kx
01
( ) lim ( ) .nb
k ka P
k
f x dx f x x
![Page 3: MATEMATIKA III - anatsalits.files.wordpress.com fileDefinisi 3.1 (Integral Ganda Dua) Andaikan f adalah fungsi dua peubah yang terdefinisi pada suatu persegi panjang tertutup R. Jika](https://reader031.vdocuments.net/reader031/viewer/2022021609/5cc488de88c993412c8c1fef/html5/thumbnails/3.jpg)
Definisi 3.1 (Integral Ganda Dua)
Andaikan f adalah fungsi dua peubah yang terdefinisi pada suatu persegi
panjang tertutup R. Jika
ada, kita katakan f terintegralkan pada R. Lebih lanjut
yang disebut Integral Ganda Dua f pada R, diberikan oleh
Catatan:
Nilai f(x,y) 0, maka
menyatakan VOLUME BENDA PEJAL di
bawah permukaan z = f(x, y) dan di atas
persegi panjang R.
(lihat Gambar 3.1)
01
lim ( , )n
k k kP
k
f x y A
( , ) ,R
f x y dA
01
( , ) lim ( , )n
k k kP
kR
f x y dA f x y A
( , ) ,R
f x y dAz =f(x,y)
R
![Page 4: MATEMATIKA III - anatsalits.files.wordpress.com fileDefinisi 3.1 (Integral Ganda Dua) Andaikan f adalah fungsi dua peubah yang terdefinisi pada suatu persegi panjang tertutup R. Jika](https://reader031.vdocuments.net/reader031/viewer/2022021609/5cc488de88c993412c8c1fef/html5/thumbnails/4.jpg)
1. Integral ganda-dua adalah bersifat linier
(i)
(ii)
2. Integral ganda-dua adalah aditif pada persegipanjang yang
saling melengkapi hanya pada suatu ruas garis
3. Sifat pembandingan berlaku. Apabila f(x, y) g(x, y) untuk
semua (x, y) di R, maka
3.2 Sifat-Sifat Integral Ganda-Dua
( , ) ( , )R R
kf x y dA k f x y dA
[ ( , ) ( , )] ( , ) ( , )R R R
f x y g x y dA f x y dA g x y dA
1 2
( , ) ( , ) ( , )R R R
f x y dA f x y dA f x y dA
( , ) ( , )R R
f x y dA g x y dA
![Page 5: MATEMATIKA III - anatsalits.files.wordpress.com fileDefinisi 3.1 (Integral Ganda Dua) Andaikan f adalah fungsi dua peubah yang terdefinisi pada suatu persegi panjang tertutup R. Jika](https://reader031.vdocuments.net/reader031/viewer/2022021609/5cc488de88c993412c8c1fef/html5/thumbnails/5.jpg)
Jika f(x, y) = 1 pada R, maka integral ganda-dua merupakan luas
R, sehingga
Contoh 3.1
Jika f merupakan fungsi tangga yaitu
Hitung dengan R = {(x, y) | 0 x 3, 0 y 3}
1 ( )R R
kdA k dA kA R
1, 0 3,0 1
( , ) 2, 0 3,1 2
3, 0 3, 2 3
x y
f x y x y
x y
( , )R
f x y dA
![Page 6: MATEMATIKA III - anatsalits.files.wordpress.com fileDefinisi 3.1 (Integral Ganda Dua) Andaikan f adalah fungsi dua peubah yang terdefinisi pada suatu persegi panjang tertutup R. Jika](https://reader031.vdocuments.net/reader031/viewer/2022021609/5cc488de88c993412c8c1fef/html5/thumbnails/6.jpg)
Penyelesaian
Perkenalkan daerah persegi panjang R1, R2, R3, sebagai berikut:
R1 = {(x, y) : 0 x 3, 0 y 1}
R2 = {(x, y) : 0 x 3, 1 y 2}
R3 = {(x, y) : 0 x 3, 2 y 3}
Selanjutnya kita gunakan sifat integral rangkap-dua, sehingga
diperoleh
= 1A(R1) + 2A(R2) + 3A(R3)
= 1.3 + 2.3 + 3.3
= 18
1 2 3
( , ) ( , ) ( , ) ( , )R R R R
f x y dA f x y dA f x y dA f x y dA
![Page 7: MATEMATIKA III - anatsalits.files.wordpress.com fileDefinisi 3.1 (Integral Ganda Dua) Andaikan f adalah fungsi dua peubah yang terdefinisi pada suatu persegi panjang tertutup R. Jika](https://reader031.vdocuments.net/reader031/viewer/2022021609/5cc488de88c993412c8c1fef/html5/thumbnails/7.jpg)
Misalkan f(x, y) 0 untuk semua (x, y) di R, maka kita mengartikan Integral Ganda-Dua merupakan Volume V benda Pejal di bawah permukaan dari gambar 3.3
Irisan oleh bidang y = konstanta Kepingan Volume yang berpadanan A(y) y
3.3 Integral Lipat
( , )R
V f x y dA
z
y
x
c da
b
R
z =f(x,y)
z
y
x
ca
bR
y
d
Luas A(y)
y
Gambar 3.3
![Page 8: MATEMATIKA III - anatsalits.files.wordpress.com fileDefinisi 3.1 (Integral Ganda Dua) Andaikan f adalah fungsi dua peubah yang terdefinisi pada suatu persegi panjang tertutup R. Jika](https://reader031.vdocuments.net/reader031/viewer/2022021609/5cc488de88c993412c8c1fef/html5/thumbnails/8.jpg)
Volume V dari kepingan secara hampiran diberikan oleh
V A(y) y
Ingat kembali Iris, Hampiri dan Integralkan, kita dapat
menuliskan
Sebaliknya, untuk y tetap kita dapat menghitung A(y) dengan
menggunakan integral tunggal biasa yaitu;
Sehingga dapat disimpulkan:
yang selanjutnya disebut INTEGRAL LIPAT (Iterasi)
( )
d
c
V A y dy
( ) ( , )
b
a
A y f x y dx
( , )
d b
c a
V f x y dx dy
![Page 9: MATEMATIKA III - anatsalits.files.wordpress.com fileDefinisi 3.1 (Integral Ganda Dua) Andaikan f adalah fungsi dua peubah yang terdefinisi pada suatu persegi panjang tertutup R. Jika](https://reader031.vdocuments.net/reader031/viewer/2022021609/5cc488de88c993412c8c1fef/html5/thumbnails/9.jpg)
Jadi kita akan dapatkan formula untuk menentukan volume benda
pejal yaitu
Kita akan langsung menuju contoh untuk memulai memahami
integral lipat.
Contoh 3.2
Hitunglah
( , ) ( , )
d b
R c a
f x y dA f x y dx dy
( , )
b d
a c
f x y dy dx
3.4 Menghitung Integral Lipat
2 2
0 1
(4 2 )x y dx dy
![Page 10: MATEMATIKA III - anatsalits.files.wordpress.com fileDefinisi 3.1 (Integral Ganda Dua) Andaikan f adalah fungsi dua peubah yang terdefinisi pada suatu persegi panjang tertutup R. Jika](https://reader031.vdocuments.net/reader031/viewer/2022021609/5cc488de88c993412c8c1fef/html5/thumbnails/10.jpg)
Penyelesaian
Pada proses pengintegralan yang berada dalam tanda kurung, y
dianggap konstanta, maka didapat
Selanjutnya
Jadi
2
2 2
1
1
(4 2 ) [2 2 ]x y dx x xy
(8 4 ) (2 2 ) 6 2y y y
2 2 2
0 1 0
(4 2 ) (6 2 )x y dx dy y dy
2 2
0[6 ]y y
(12 4) (0) 16
2 2
0 1
(4 2 ) 16.x y dx dy
![Page 11: MATEMATIKA III - anatsalits.files.wordpress.com fileDefinisi 3.1 (Integral Ganda Dua) Andaikan f adalah fungsi dua peubah yang terdefinisi pada suatu persegi panjang tertutup R. Jika](https://reader031.vdocuments.net/reader031/viewer/2022021609/5cc488de88c993412c8c1fef/html5/thumbnails/11.jpg)
Contoh 3.3
Hitunglah
Penyelesaian
Selanjutnya kita integralkan terhadap x
3 4
2
0 0
( 4 )x y dy dx
4
2 2 2 4
0
0
( 4 ) [ 2 ]x y dy x y y2(4 32)x
3 4 3
2 2
0 0 0
( 4 ) (4 32)x y dy dx x dx
3
3
0
432
3x x
34(3) 32(3) 60
3
![Page 12: MATEMATIKA III - anatsalits.files.wordpress.com fileDefinisi 3.1 (Integral Ganda Dua) Andaikan f adalah fungsi dua peubah yang terdefinisi pada suatu persegi panjang tertutup R. Jika](https://reader031.vdocuments.net/reader031/viewer/2022021609/5cc488de88c993412c8c1fef/html5/thumbnails/12.jpg)
Latihan 3.1
Untuk soal berikut, hitunglah masing-masing integral lipat
1. 7.
2.
3.
4.
5.
6.
3 1
0 0
4xydydx
2 2
1 0
(4 2 )xy y dydx
3 1
2
1 0
( 3 )xy y dxdy
2 1
3 2
1 0
(4 3 )x y dxdy
2 3
3 2 2
0 0
(2 6 )x y x y dxdy
1
0 0
( sin )x y dxdy
ln3 ln 2
0 0
x ye dydx
![Page 13: MATEMATIKA III - anatsalits.files.wordpress.com fileDefinisi 3.1 (Integral Ganda Dua) Andaikan f adalah fungsi dua peubah yang terdefinisi pada suatu persegi panjang tertutup R. Jika](https://reader031.vdocuments.net/reader031/viewer/2022021609/5cc488de88c993412c8c1fef/html5/thumbnails/13.jpg)
Pada sub pokok bahasan ini, kita dapat menghitung beraneka
ragam bentuk benda pejal.
Contoh 3.4
Carilah volume V dari benda pejal yang di bagian atas dibatasi
oleh z = 2 – x2 + y dan di bagian bawah oleh persegipanjang
R ={(x,y): 0 x 1, 0 y 2}
Penyelesaian
3.5 Menghitung Volume Benda Pejal
2 1
2 2
0 0
(2 ) (2 )R
V x y dA x y dxdy
21
313 0
0
2x x xy dy
2
0
5( )3
y dy
225 101
3 2 30
162 (0) Sat. Vol.
3y y
![Page 14: MATEMATIKA III - anatsalits.files.wordpress.com fileDefinisi 3.1 (Integral Ganda Dua) Andaikan f adalah fungsi dua peubah yang terdefinisi pada suatu persegi panjang tertutup R. Jika](https://reader031.vdocuments.net/reader031/viewer/2022021609/5cc488de88c993412c8c1fef/html5/thumbnails/14.jpg)
Latihan 3.2
Untuk soal berikut, hitunglah volume benda pejal berikut
1. Benda pejal dibawah bidang z = x + y + 1
atas R = {(x, y) : 0 x 1, 1 y 3}
2. Benda pejal dibawah bidang z = 3x + 4y
atas R = {(x, y) : 1 x 2, 1 y 4}
3. Benda pejal antara z = x2 + y2 + 2 dan z = 1 dan terletak
atas R = {(x, y) : – 1 x 1, 0 y 1}
![Page 15: MATEMATIKA III - anatsalits.files.wordpress.com fileDefinisi 3.1 (Integral Ganda Dua) Andaikan f adalah fungsi dua peubah yang terdefinisi pada suatu persegi panjang tertutup R. Jika](https://reader031.vdocuments.net/reader031/viewer/2022021609/5cc488de88c993412c8c1fef/html5/thumbnails/15.jpg)