MATEMATIKA INFORMATIKA 2
FENI ANDRIANI
TEKNIK INFORMATIKAUNIVERSITAS GUNADARMA
SAP (1)Buku : Suryadi H.S. 1991, Pengantar Aljabar dan Geometri analitik
• Vektor– Definisi, Notasi, dan Operasi Vektor– Susunan Koordinat Ruang Rn
– Vektor di dalam Rn
– Persamaan garis lurus dan bidang rata
• Ruang Vektor– Field– Ruang Vektor di atas suatu Field– Ruang Vektor Bagian– Vektor Bebas Linier dan Bergantungan Linier– Kombinasi Linier dan Arti Kombinasi Linier secara ilmu ukur.– Teorema-teorema mengenai Kombinasi Linier.– Dimensi dan Basis.
SAP (2)• Matriks
– Definisi dan Notasi Matriks– Operasi pada Matriks– Transpose dari suatu matriks– Beberapa Jenis Matriks khusus– Transformasi Elementer pada Baris & Kolom– Matriks Ekivalen– Ruang Baris dan Ruang Kolom dari suatu matriks– Rank Matriks
• Determinan– Pendahuluan (Permutasi)– Sifat-sifat Determinan– Minor dan Kofaktor– Ekspansi secara Baris dan Kolom– Menghitung nilai Determinan dgn sifat-sifat Determinan
SAP (3)
• Matriks Invers– Definisi matriks invers– Matriks Singular, Non-singular– Matriks Adjoint dan Invers– Mencari Matriks Invers dgn Transformasi Elementer dan Partisi– Invers pada matriks yang tidak bujur sangkar
• Persamaan-persamaan Linier– Persamaan Linier dan Susunan Persamaan Linier.– Susunan Persamaan Linier Homogen dan Penyelesaiannya.– Susunan Persamaan Linier Non-homogen dan Penyelesaiannya
SAP (4)• Transformasi Linier
– Pengertian Transformasi– Pergantian Basis– Transformasi Vektor Linier– Ruang Peta dan Ruang Nol– Produk Transformasi– Transformasi Invers– Transformasi Similaritas– Eigenvalue dan Eigenvector– Diagonalisasi– Transformasi ortogonal– Rotasi– Transformasi Simetris
•
Vektor adalah Besaran yangmemiliki besar dan arah,bila dijumlahkan akanmenghasilkan :
( ) ( ) 0b b
VEKTOR
Komponen vektor• Komponen vektor merupakan proyeksi vektor pada
sumbu sistem koordinatKomponen vektor : cos dan sinx ya a a a
Besar vektor
2 2 dan tan xx y
y
aa a a
a
• Komponen vektor merupakan proyeksi vektor pada
Vektor satuan:
Vektor satuan pada arah positif sumbu x, ydan z diberi tanda : ˆˆ ˆ, d a ni j k
Perkalian vektor :
• Perkalian vektor dengan skalar :Jika vektor a dikalikan dengan skalar s akanmenghasilkan vektor baru dengan besar nilaiabsolute s dengan arah a jika s positif, danberlawanan arah jika s negatif. Vektordibagi dengan s berarti kita mengkalikandengan 1/s.
• Perkalian vektor dengan vektor :Menghasilkan skalar : Scalar Product
Dikenal sebagai : Dot product
a
. c o sa b a b
Dot Product
RUANG VEKTOR
RUANG VEKTOR
SUBRUANG
RUANG VEKTOR – KOMBINASI LINIER
RUANG VEKTOR – BEBAS LINIER
RUANG VEKTOR – BASIS & DIMENSI
MATRIKS
Definisi:Matriks adalah sekumpulan bilangan yangdisusun dalam sebuah empat persegi panjang,secara teratur, di dalam baris-baris dan kolom-kolom.
mna......m2
am1
a........................... 2na......
22a
21a
1na......
12a
11a
Matriks di atas disebut matriks ukuran m x n
Operasi Matriks
1. Operasi KesamaanDua matriks A dan B disebut sama, jika:
a) A dan B sejenisb) Setiap unsur yang seletak sama.
1321C,
1321B,
1321A
A = B, A ≠ C, B ≠ C
2. Penjumlahan dua matriks
Definisi:Jumlah dua matriks A dan B yang sejenis adalahsebuah matriks C yang sejenis pula denganunsur-unsur , dimana terdapat hubungan:
.ij
c
ijb
ija
ijc
ij
cC,ij
bB,ij
aA
9152C,
5142B,
4210A
13362-
9152
4210CA
9152-
5142
4210BA
Sifat-sifat penjumlahan:
Komutatif : A + B = B + A
Assosiatif : A + (B + C) = (A + B) + C
3.Perkalian dengan skalar ( )Perkalian sebuah matriks dengan skalar ( )maka setiap unsur matriks tersebut terkalikandengan skalar ( ).
, maka A = .
ij
aA
ija
Sifat-sifat perkalian matriks dengan skalar
1. (A + B) = A + B2. ( + β ) A = A + β A3. (β A) = β A
4. Perkalian dua matriks
Definisi:
Dua matriks A (m x n), dan B (p x q) didefinisikanhasil kalinya, jika n = p , maka hasilkali adalahmatriks C (m x q) dengan unsur-unsur:
n
1k kjb
ika
ijc
njb
ina.......
j3b
3ia
j2b
2ia
j1b
1ia
ijc
Catatan:• Perkalian 2 matriks AB dapat didefinisikan, jika
banyaknya kolom matriks A = banyaknya barismatriks B.
• Hasil kali dua matriks AB adalah suatu matriksdengan banyaknya baris = banyaknya baris matriksAdan banyaknya kolom = banyaknya kolom matriks B.
• Pada umumnya AB ≠ BAContoh:
20C,432
B,321A
BxA
1 x 3 3 x 1 1 x 1
iterdefinistdkBxAC
954100532
10532
954100532
B,10532A
2 x 2 3 x 3
Macam-macam matriks
1. Matriks bujursangkar
Definisi: matriks bujursangkar adalah matriksdimana banyaknya baris = banyaknya kolom
2. Matrik satuan/ matriks identitas
• Matriks bujur sangkar
• Setiap unsurnya nol, kecuali didiagonal utama = 1
954
100
532
B,105
32A
Contoh :
100
010
001
3I,
10
01
2I
A.I = I.A
I.I = I
3. Matriks segitiga
• Matriks bujursangkar
• Unsur di atas/di bawah diagonal utama adalah nol
Contoh :
87
01B,
900
740
321
A
4.Matriks Tranpose
• Tidak perlu bujursangkar
• Setiap baris ditukar tempat dengan kolom
Contoh :
172
054B~,
10
75
24
B
321A~,
3
2
1
A
Sifat-sifat matriks transfose
TTT
TT
TT
TTT
AB4.(AB)A)(A3.
A)2.(ABAB)1.(A
λλ
Contoh
TTT
TT
TT
T
AB(AB)
34120132
021AB
021B,120132
A
34(AB)34
AB
021
B,103212
A
5. Matriks simetris
Matriks A disebut simetris apabila
• Matriks Bujur sangkar
Contoh
A~A
870
732
021
32
21,
6. Matriks skew simetris
Matriks A disebut matriks skew simetri jika
• Bujur sangkar
Contoh
A~A
070
702
020
,02
20
Matriks Skew simetris , maka
Untuk I = j maka
Jadi diagonal utama matriks skew simetris = 0
A~A ji
aij
a
iia
iia 0
ii2a
7. Matriks Diagonal
• Matriks bujursangkar
• Semua unsur nol, kecuali didiagonal utama
500
030
001
9. Matriks Nol• Tidak perlu matriks bujur sangkar• Semua unsurnya nol
000
000
A.0 = 0
A + 0 = A
A.B = 0, apakah A = 0 ?atau B = 0? atau kedua-duanya nol
Transformasi (operasi) Elementer pada Barisdan Kolom Matriks
Transformasi Elamenter pada matriks adalah: Penukaran tempat baris ke i dan ke j (baris ke i dijadikan
baris ke j dan baris ke j dijadikan baris ke i), ditulis H (A) Penukaran tempat kolom ke i dan kolom ke j (kolom ke i
dijadikan kolom ke j atau sebaliknya), ditulis K (A) Memperkalikan baris ke i dengan skalar ≠ 0, ditulis
H (A) Memperkalikan kolom ke i dengan ≠ 0, ditulis K (A) Menambah baris ke i dengan kali baris ke j, ditulis
H (A)
ij
ij
i)(
i)(
ij)(
Menambah kolom ke i dengan kali kolom ke j,ditulis
K (A)
Kadang untuk operasi (1) dan (3) dapat dilakukan dalamsatu langkah : Menambah kali baris ke i dengan
kali baris ke j, ditulis H (A)
Demikian pula untuk untuk operasi (2) dan (4)
Bila menggunakan operasi baris maka disebut operasibaris elementer (OBE)
)(
ij
1
2
i)(
1
j)(
2
Contoh:
2-4-22-4413
12028
02-22-12134028
02-22-40281213
103120141213
tersebut.BCarilah.
elementersitransformasederetan
dihasilkan yangBmatrikcarilah103120141213
A
(1)41K
(2)3K
HH
H
(2)3
K,(1)41
K
,12
H,(2)2
H,(-1)31
H
121
31
22
)(
)(
,
Invers Suatu Transformasi Linier
Jika suatu transformasi elementer adalah:• A = H (B) = H (B)
• A = K (B) = K (B)
• A = H (B) = H (B)
• A = K (B) = K (B)
• A = H (B) = H (B) A = K (B) = K (B)
)(
ij ij
ij
-1
ij
i
-1
i1/-1
i)( -1
i1/
ij)( -1
ij)(
ij)( -1
ij)(
A110222112604
110226042211
111326042211
131124062112
132124062122
A..CarilahK,K,H,H:turut-berturutelementersitransforma
sederetandengan Adaridiperoleh,132124062122
B
12H1)(31H
13K(1/2)2K
(2)
213
(1)
3112
Contoh
Penggunaan OBE
• Mencari Rank Matriks
Adalah jumlah maksimum baris/kolom yangbebas linier ( tidak semua unsur dalam suatubaris/kolom nol)
• Mecari invers matriks
( A:I ) ( I:A )-1OBE
Contoh
344212132
Adarimatriksrank1.Cari2)(
31
1)(21
H
H
31022-0132 )1(
2)2(
3H
40022-0132
)2(2
)1(3H
00022-0132
Maka rank matriks A = 2
• Misalkan
• Determinan hanya untuk matriks bujur sangkar• Untuk order lebih dari 2, digunakan pengertian
minor dan kofaktor.
• Ilustrasi:
• Minor komponen adalah
• Kofaktor komponen adalah
DETERMINAN MATRIKS
det A = | A | := ad-bc
Dengan cara yang sama diperoleh
Menentukan tanda + atau – pada kofaktor, diperhatikanskema berikut :
Diperoleh
Definisi determinan matriks 3 x 3:
Coba terapkan untuk menghitung determinan matriks A.
• Secara umum untuk matriks n x n:
• Atau dalam bentuk
• Atau dalam bentuk
• Contoh :
• Cara cerdas: pilih kolom kedua
• Pilih lagi kolom kedua
Adjoint matriks
• Misalkan A matriks n x n dengan kofaktoraij adalah Cij maka matriks
• Contoh:
disebut matriks kofaktor dari A, dantransposenya disebut adjoint A, ditulisadj(A).
Kofaktor A :
Invers matriks
• Invers matiks A adalah
• Contoh: diperhatikan kembali matriks Asebelumnya, mudah diperoleh det(A) = 64,jadi
Metoda Cramer untuk SPL
• Misalkan SPL Ax = b maka
dimana Aj adalah matriks yang diperoleh denganmengganti kolom ke j matriks A dengan vektor b.
• Contoh:
• Diperoleh Penyelesaiannya
Anton, Howard, 2000, Elementary Linear Algebra: Eight Edition, John Willeyand Sons, Inc., New York.
Vanstone, Scott A. and van Oorschot, Paul C., 1989, An Introduction to ErrorCorrecting Codes with Applications, Kluwer Academic Publishers,Massachusetts, USA.
REFERENSI
