Download - Mater i 20 Anal is is 20 Kompleks
1. Bilangan Kompleks
BILANGAN KOMPLEKSSistem bilangan yang sudah dikenal sebelumnya yaitu sistem bilangan
real, tetapi sistem bilangan real ternyata masih belum cukup untuk
menyelesaikan semua bentuk persamaan. Oleh karena itu, perlu suatu jenis
bilangan baru yang disebut bilangan kompleks. Pengertian bilangan kompleks,
bidang kompleks dan sifat aljabar bilangan kompleks yang diuraikan dalam bab
ini diharapkan dapat menjadi dasar untuk mempelajari bab-bab selanjutnya.
Oleh karena itu, setelah membaca Bab I, mahasiswa diharapkan dapat
mengerti definisi bilangan kompleks.
mengerti sifat aljabar dan tafsiran geometri bilangan kompleks.
menuliskan bilangan kompleks dalam bentuk kutub, eksponen,
pangkat dan akar.
1.1 Pengertian Bilangan Kompleks
Mengapa perlu bilangan kompleks ?
mempunyai penyelesaian dengan .
tidak mempunyai penyelesaian jika .
Sehingga perlu mengidentifikasi suatu bilangan sehingga mempunyai
penyelesaian. Selanjutnya perlu dikembangkan suatu sistem bilangan yaitu
bilangan kompleks.
Definisi Bilangan Kompleks
Bilangan kompleks z : merupakan pasangan berurut dengan
. Ditulis : . merupakan bilangan yang berbentuk dengan
dan . Ditulis : .
Jika maka
= bagian riil z,
= bagian imajiner z,
= satuan imajiner dan .
Ada beberapa hal yang perlu diperhatikan dalam bilangan kompleks yaitu
1. = himpunan bilangan kompleks
1
1. Bilangan Kompleks
= .
2. Jika dan maka z dinamakan bilangan imajiner murni.
3. Jika dan maka z merupakan bilangan riil.
4. Kesamaan bilangan kompleks.
Misalkan dan .
jika dan hanya jika dan .
Contoh 1 a.
dan .
b.
dan . □□
1.2 Bidang Kompleks
Bilangan kompleks merupakan pasangan berurut , sehingga secara
geometri dapat disajikan sebagai titik pada bidang kompleks (bidang xy),
dengan sumbu x (sumbu riil) dan sumbu y (sumbu imajinair). Selain itu, bilangan
kompleks juga dapat disajikan sebagai vektor dalam bidang
kompleks dengan titik pangkal pada titik asal dan ujung vektor merupakan titik
.
y (sumbu imajinair)
•
O x (sumbu riil)
Gambar 1. Bidang kompleks
1.3 Operasi Aljabar
Operasi aljabar pada bilangan kompleks sesuai dengan operasi aljabar pada bilangan riil.
Operasi Aljabar pada bilangan kompleks
Misalkan dan .
a. Penjumlahan :
b. Pengurangan : c. Perkalian :
2
1. Bilangan Kompleks
d. Pembagian :
Perlu diperhatikan :
1. ( negatif z ).
Jika maka .
2. ( kebalikan z )
Jika maka .
Sifat Operasi Aljabar
a. Hukum komutatif
b. Hukum asosiatif
c. Hukum distributif
d. Elemen netral dalam penjumlahan ( )
e. Elemen netral dalam perkalian ( )
1.4 Modulus dan Bilangan Kompleks Sekawan
Penyajian bilangan kompleks sebagai vektor dapat digunakan untuk
mengembangkan konsep nilai mutlak bilangan riil pada bilangan kompleks.
Definisi modulus (nilai mutlak)
Modulus (nilai mutlak) didefinisikan sebagai
bilangan riil non negatif dan ditulis sebagai
Modulus z = = .
Secara geometri, menyatakan jarak antara titik dan titik asal.
Misalkan dan . Jarak antara dan didefinisikan dengan
.
3
1. Bilangan Kompleks
Selanjutnya, persamaan menyatakan bilangan kompleks z yang
bersesuaian dengan titik-titik pada lingkaran dengan pusat dan jari-jari R.
Definisi bilangan kompleks sekawan
Bilangan kompleks sekawan dari
didefinisikan sebagai bilangan kompleks .
Secara geometri, bilangan kompleks sekawan dinyatakan dengan titik
dan merupakan pencerminan titik terhadap sumbu riil.
Contoh 2 a. .
b. menyatakan lingkaran dengan pusat
dan jari-jari .
c. Jika maka . □□
Sifat Modulus dan Bilangan Kompleks Sekawan
a.
b.
c.
d.
e.
f.
g.
h.
i.
j.
k. ,
l.
m. Pertidaksamaan Segitiga :
n.
o.
4
1. Bilangan Kompleks
p. .
1.5 Bentuk Kutub
Bentuk kutub bilangan kompleks
Bilangan kompleks dapat disajikan dalam koordinat kutub . Misalkan dan maka dapat dinyatakan dalam bentuk kutub
dengan
r = modulus (nilai mutlak) = = . = argumen dari z =
= .
y • z = x+ iy r θ x
Nilai argumen dari z (arg z) tidak tunggal tetapi merupakan kelipatan (sesuai dengan
kuadran dimana titik z berada). Sedangkan, nilai utama (principal value) dari ditulis
dengan adalah tunggal.
Jelas, . Perlu diperhatikan bahwa :
Operasi aljabar bentuk kutub dan sifat argumen
Misalkan dan
dengan .a. Perkalian
.
b. Pembagian
.
.
c. Invers sebarang bilangan kompleks yaitu
5
1. Bilangan Kompleks
.
.
Contoh
3
Diketahui . Tentukan bentuk kutub dari z dan .
Penyelesaian :
Menggunakan sifat argumen diperoleh :
.
. □□
Selain dalam bentuk umum dan bentuk kutub , bilangan
kompleks juga dapat dinyatakan dalam bentuk eksponen.
Bentuk eksponen
Bentuk eksponen bilangan kompleks yaitu
dengan dinamakan rumus Euler.
Operasi aljabar bentuk eksponen
Misalkan dan .
a. Perkalian
b. Pembagian
c. Invers sebarang bilangan kompleks yaitu
Bentuk pangkat
Misalkan , maka menggunakan aturan pangkat seperti pada
bilangan riil diperoleh
,
6
1. Bilangan Kompleks
Rumus Moivre
Jika , maka bentuk pangkat di atas menjadi , atau
, . Selanjutnya dapat ditulis dalam bentuk
yang disebut Rumus Moivre .
1.6 Bentuk Akar
Bentuk akar
Misalkan , akar pangkat n dari bilangan kompleks ditulis
atau . Jika diberikan bilangan kompleks dan n bilangan bulat
positif, maka diperoleh n buah akar untuk yaitu
, .
Secara geometri, n buah akar tersebut merupakan titik-titik sudut segi n
beraturan pada suatu lingkaran dengan pusat titik O dan jari-jari .
Contoh 4
Tentukan semua akar dari dan gambarkan akar-akar tersebut
dalam bidang kompleks.
Penyelesaian :
Misalkan , maka dan ,
,
Sehingga diperoleh
.
.
.
y
7
1. Bilangan Kompleks
2
x . □□
Ringkasan
Bilangan kompleks mempunyai bentuk kutub , dan bentuk eksponen , dengan .
8
1. Bilangan Kompleks
2. FUNGSI ANALITIK
Fungsi f(z) disebut analitik di titik z0 apabila ada di semua
titik pada suatu lingkungan z0. Untuk menguji keanalitikan suatu fungsi
kompleks w = f(z) = u (x,y) + iv (x,y) digunakan persamaan Cauchy –
Riemann. Sebelum mempelejari persamaan Cauchy-Riemann akan
diperkenalkan terlebih dahulu pengertian tentang limit fungsi dan turunan
fungsi pada bilangan kompleks.
Oleh karena itu, setelah membaca Bab 2, mahasiswa diharapkan dapat
Mengerti definisi fungsi analitik
Menghitung nilai limit dari fungsi kompleks
Menentukan kekontinuan fungsi
Mencari turunan fungsi
Menentukan fungsi analitik dan fungsi harmonik
2.1 Fungsi Peubah Kompleks
9
1. Bilangan Kompleks
Definis
i
Misalkan S himpunan bilangan kompleks. Fungsi kompleks f
pada S adalah aturan yang mengawankan setiap
dengan biangan kompleks w.
Notasi w = f(z).
Dalam hal ini, S disebut domain dari f dan z dinamakan
variabel kompleks.
Misalkan w = u + iv adalah nilai fungsi f di z = x + iy, sehingga
u + iv = f(x + iy).
Masing-masing bilangan riil u dan v bergantung pada variabel riil x dan y,
sehingga f(z) dapat dinyatakan sebagai pasangan terurut dari variabel riil
x dan y, yaitu
f(z) = u(x,y) + iv(x,y).
Jika koordinat polar r dan θ pada x dan y digunakan, maka
u + iv = f(reiθ),
dimana w = u + iv dan z = reiθ. Sehingga f(z) dapat ditulis menjadi
f(z) = u(r,θ) + iv(r,θ).
Contoh
1
Misalkan w = f(z) = z2 +3z.
Tentukan u dan v serta hitung nilai dari f pada z = 1 + 3i. Nyatakan juga u
dan v dalam bentuk polar.
Penyelesaian:
Misal z = x + iy, sehingga
Jadi dan .
Untuk z = 1 + 3i maka .
Jadi u(1,3) = -5 dan v(1,3) = 15.
Jika koordinat polar digunakan dimana z = reiθ, maka
Jadi dan .
2.2 Pemetaan / Transformasi
10
1. Bilangan Kompleks
Sifat-sifat dari fungsi bernilai riil dapat dilihat dari grafik fungsinya.
Tetapi untuk w = f(z), dimana w dan z bilangan kompleks, tidak ada grafik
yang menyatakan fungsi f karena setiap bilangan z dan w berada di
bidang bukan di garis bilangan.
Definisi Transformasi
Korespondensi antara titik-titik di bidang-z dengan
titik-titik di bidang-w disebut pemetaan atau
transformasi dari titik-titik di bidang-z dengan titik-
titik di bidang w oleh fungsi f.
Pemetaan dapat berupa:
Translasi / pergeseran
Rotasi / perputaran
Refleksi / pencerminan
Sebagai contoh, pemetaan
w = z + 1 = (x+1) +iy, dimana z = x + iy, mentranslasikan / menggeser setiap
titik z satu satuan ke kanan.
, dimana z = reiθ dan i = eiπ/2, merotasi / memutar setiap
titik taknol z ke kanan dari pusatnya berlawanan arah jarum jam.
merefleksikan / mencerminkan setiap titik z = x + iy pada sumbu
riil.
2.3 Limit
Secara umum definisi limit dalam kompleks sama dengan definisi limit pada bilangan
riil dalam kalkulus. Kalau pada bilangan riil bila x mendekati x0 hanya mendekati sepanjang
garis riil sedangkan pada bilangan kompleks bila z mendekati z0 akan mendekati dari semua
arah dalam bidang kompleks.
Definisi
Limit
dibaca “limit f(z) untuk z menuju z0 sama
dengan w0 “, dan didefinisikan sebagai berikut:
11
1. Bilangan Kompleks
berlaku
.
Secara geometri definisi di atas mengatakan bahwa untuk setiap
lingkungan- dari w0, yaitu |w - w0|< ada suatu lingkungan- dari z0, yaitu
0 < |z - z0| < sedemikian sehingga setiap titik z pada image w berada
pada lingkungan-. Perhatikan Gambar 1 di bawah ini.
Gambar 1
Dalam hal ini
Jika limit tersebut ada, maka limitnya tunggal
z mendekati z0 dari berbagai arah atau lintasan
Jika untuk lintasan yang berbeda, nilai f(z) untuk z menuju z0
berbeda maka tidak ada
f(z) tidak disyaratkan terdefinisi di z = z0
Contoh 2 Misalkan . Buktikan .
Bukti:
Ambil ε > 0 sebarang. Pilih berlaku
12
1. Bilangan Kompleks
Jadi untuk setiap z dan positif berlaku bila
, lihat gambar 2.
Sehingga menurut definisi limit terbukti .
Gambar 2
Contoh 3 Misalkan . Buktikan tidak ada.
Bukti:
Akan ditunjukkan nilai limit dengan lintasan yang
berbeda.
Pendekatan sepanjang sb-x positif, dalam hal ini y
= 0.
.
Pendekatan sepanjang sb-y positif, dalam hal ini x
= 0.
.
Pendekatan sepanjang garis y = x.
.
13
1. Bilangan Kompleks
Karena pendekatan sepanjang arah yang berbeda
menghasilkan nilai yang tidak sama maka tidak
ada.
Teore
ma 1
Andaikan f(z) = u(x,y) + iv(x,y), z0 = x0 + iy0 , ω0 = u0 + iv0 maka
Bukti:
Misalkan ,
artinya
Pilih .Karena dan
maka bila .
Jadi .
Misalkan , artinya
bila .Perhatikan bahwa
dan
Sehingga bila
.
Jadi .
Teore
ma 2
Andaikan maka
.
14
1. Bilangan Kompleks
.
.
2.4 Limit Tak Hingga dan Limit di Tak Hingga
Kadang-kadang suatu bidang kompleks memuat titik di tak
hingga.Bidang kompleks yang memuat titik tersebut disebut bidang
kompleks yang diperluas.
Teore
ma 3
Jika z0 dan w0 titik-titik pada bidang z dan w, maka
1)
2)
3)
Bukti:
1) Misalkan , artinya bila
0 < |z – z0| < δ ............…………………………………..(#).
Akan dibuktikan .
Titik w = f(z) berada di suatu lingkungan-ε ,yaitu |w| > 1/ε dari ∞ bila z ada di lingkungan 0 < |z – z0| < δ dari z0.Sehingga persamaan (#) dapat ditulis menjadi
bila 0 < |z – z0| < δ.
Jadi .
2) Misalkan ,
artinya bila |z| >1/δ.............(*).
Akan dibuktikan .
Pada persamaan (*) rubah z dengan 1/z, maka akan
diperoleh bila 0 < |z – 0| < δ.
Jadi .
15
1. Bilangan Kompleks
3) Misalkan ,
artinya bila |z| > 1/δ ……………....
(**).
Akan dibuktikan .
Pada persamaan (**) rubah z dengan 1/z, maka akan
diperoleh bila 0 < |z – 0| < δ.
Jadi .
2.5 Kekontinuan
Definisi
Kontinu
Fungsi f(z) dikatakan kontinu di z = z0 jika
ada
f(z0) ada
Dengan kata lain f(z) kontinu di z = z0 jika
berlaku
.
Fungi kompleks f(z) dikatakan kontinu pada region D jika f(z) kontinu pada
tiap titik z dalam D. Misalkan f(z) = u(x,y) + iv(x,y) kontinu di z0 = x0 +
iy0 ,
u(x,y) dan v(x,y) kontinu di (x0,y0)
.
Sifat-sifat fungsi kontinu
1) Fungsi konstan kontinu pada bidang kompleks
2) Jika f dan g kontinu pada daerah D maka
a) f+g kontinu
b) f-g kontinu
16
1. Bilangan Kompleks
c) f.g kontinu
d) f/g kontinu kecuali di sehingga g(z0) = 0.
2.6 Turunan
Definisi
Turunan
Turunan fungsi f di z0, ditulis dengan
didefnisikan sebagai berikut:
jika limitnya ada.
Notasi untuk turunan f di z adalah .
Aturan turunan pada bilangan riil berlaku juga pada bilangan kompleks.
Aturan Turunan
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
Contoh
4
Tentukan turunan dari fungsi berikut:
1. f(z) = (2z2 + i)5
2.
Penyelesaian :
1. Dengan menggunakan aturan turunan (4) dan
aturan rantai diperoleh
.
17
1. Bilangan Kompleks
2. Dengan menggunakan aturan turunan (7) diperoleh
Sehingga untuk z = i diperoleh
.
Aturan Rantai
Misalkan f mempunyai turunan di z0, dan g mempunyai
turunan di f(z0). Maka fungsi F(z) = g[f(z)] mempunyai
turunan di z0, dan
Dengan kata lain, jika w = f(z) dan W = g(w) = F(z), maka
menurut aturan rantai
.
Contoh
5
Tentukan turunan dari fungsi f(z) = (2z2 + i)5 dengan
menggunakan aturan rantai!
Penyelesaian:
Misalkan w = 2z2 + I dan W = w5. Maka menurut aturan
rantai
= (5w4)(4z) = 20z(2z2 + i)4.
2.7 Persamaan Cauchy – Riemann
Persamaan Cauchy – Riemann merupakan persamaan yang sangat
penting pada analisis kompleks. Karena persamaan ini digunakan untuk
menguji keanalitikan suatu fungsi kompleks w = f(z) = u (x,y) + iv (x,y).
18
1. Bilangan Kompleks
Definisi Persamaan Cauchy - Riemann
Fungsi f dikatakan analitik pada domain D jika dan
hanya jika turunan parsial pertama dari u dan v
memenuhi persamaan Cauchy – Riemann, yaitu
dengan .
Contoh
6
Misalkan f(z) = z2 = x2 – y2 + 2ixy.
Apakah f(z) analitik untuk semua z ?
Penyelesaian :
f(z) analitik jika memenuhi persamaan Cauchy – Riemann,
.
Perhatikan bahwa
u = x2 – y2 dan v = 2xy. Maka ux = 2x = vy dan uy = -2y = -
vx. Karena memenuhi persamaan C-R maka f analitik untuk
semua z.
Teorema 4
Misalkan f(z) = u (x,y) + iv (x,y) terdefinisi dan kontinu di
suatu lingkungan dari z = x + iy dan mempunyai turunan
di z maka ux , vy , uy , vx ada dan memenuhi persamaan
Cauchy - Riemann .
Teorem
a 5
Jika dua fungsi kontinu yang bernilai riil u(x,y) dan v(x,y)
mempunyai turunan parsial pertamanya kontinu dan
memenuhi persamaan Cauchy – Riemann dalam domain D
19
1. Bilangan Kompleks
maka fungsi kompleks f(z) = u (x,y) + iv (x,y) analitik di D.
Contoh
7
Apakah f(z) = z3 analitik?
Penyelesaian
Perhatikan bahwa
u = x3 – 3xy2 dan v = 3x2y – y3. Maka ux = 3x2 – 3y2 =
vy dan uy = -6xy = -vx. Karena memenuhi persamaan C-
R maka f analitik untuk semua z.
2.8 Fungsi Analitik
Definisi Fungsi Analtik
Fungsi f(z) disebut analitik (atau holomorfik atau
reguler atau monogenik) di titik z0 apabila f’(z) ada di
semua titik pada suatu lingkungan z0.
Teorema 5 Misal f(z) = u(x,y) + iv(x,y). Andaikan
i. ux , vy , uy , vx kontinu di semua titik dalam
lingkungan tertentu N dari titik z0
ii. persamaan Cauchy- Riemann
berlaku di setiap titik di N
maka f(z) analitik di z0.
Contoh 8 Buktikan f(z) = | z | 2 tidak analitik
Bukti:
Karena f hanya mempunyai turunan di z = 0 atau f’(z)
tidak ada pada persekitaran z = 0.
Beberapa hal yang perlu diperhatikan
Jika f(z) analitik pada setiap titik di himpunan S maka f(z) analitik
pada S.
Jika f(z) analitik di seluruh bidang kompleks maka f(z) fungsi
menyeluruh /fungsi utuh (entire function).
20
1. Bilangan Kompleks
Daerah keanalitikan (region of analycity) bagi f adalah keseluruhan
titik pada bidang datar yang membuat f analitik.
Contoh 9Misalkan . Apakah f(z) analitik?
Penyelesaian:
f’(z) ada di semua z kecuali di z2 + 1 = 0 atau z = ±
i. Jadi f(z) analitik kecuali di z = ± i.
Definisi Titik Singular
Titik z0 dinamakan titik singular bagi f jika dan
hanya jika f gagal menjadi analitik pada z0 tetapi
setiap lingkungan z0 memuat paling sedikit satu titik
yang membuat f analitik.
Contoh 10 Misalkan . Tentukan titik singular dari f
dan tentukan dimana saja f(z) analitik!
Penyelesaian:
f’(z) ada di semua z kecuali di z3 + z = 0 atau di z
= 0 dan di z = ± i . Sehingga titik singular dari f
adalah di z = 0 dan di z = ± i. f(z) analitik
di semua z kecuali di z3 + z = 0 atau di z = 0
dan di z = ± i .
2.9 Fungsi Harmonik
Definisi Fungsi Harmonik
Fungsi riil H(x,y) yang mempunyai turunan parsial
orde 1 dan 2 yang kontinu dan memenuhi
21
1. Bilangan Kompleks
persamaan Laplace
disebut fungsi Harmonik.
Contoh 11 Misalkan u(x,y) = x2 – y2 dan v(x,y) = 2xy. Apakah u
dan v fungsi harmonik?
Penyelesaian:
Perhatikan bahwa:
ux = 2x vx =
2y
uxy = 0 vxy = 2
uy = -2y
vy =
2x
uyx = 0 vyx = 2
uxx = 2 vxx = 0
uyy = -2
vyy = 0
Karena ux = 2x = vy , uy = -2y = -vx , uxx + uyy = 2 +
(-2) = 0 dan vxx + vyy = 0 + 0 = 0 dimana u dan v
memenuhi persamaan Laplace maka u dan v fungsi
harmonik.
Definisi Fungsi Harmonik Sekawan
Misalkan f(z) = u + iv. v disebut fungsi harmonik
sekawan dari u jika u fungsi harmonik dan v fungsi
harmonik.
Contoh 12 Misalkan u(x,y) = y3 – 3x2y. Tentukan fungsi
harmonik sekawan dari u.
Penyelesaian:
ux = -6xy dan uy = 3y2 – 3x2. Menurut persamaan
22
1. Bilangan Kompleks
cauchy – Riemann diperoleh -6xy = ux = vy.
Sehingga ……….(1)
atau vx = -3y2 + h’(x).
Syarat persamaan Cauchy – Riemann yang kedua
harus dipenuhi, yaitu uy = -vx. Sehingga
..........
…………………………(2)
Dari (1) dan (2) diperoleh
v(x,y) = -3xy2 + x3 + c yang merupakan fungsi
harmonik sekawan dari u.
Contoh 13 Misalkan . Apakah fungsi tersebut
harmonik? Jika ya, tentukan fungsi analitik
sekawan dari
f(z) = u (x,y) + iv (x,y).
Penyelesaian:
Akan diselidiki apakah v merupakan fungsi
harmonik atau bukan.
Perhatikan bahwa:
vx = 2(x2 – y2 )2x = 4x3 – 4xy2
vy = 2(x2 – y2 )(-2y) = -4x2 + 4y3
23
1. Bilangan Kompleks
vxx = 12x2 – 4y2 dan vyy = -4x2 + 12y2 .
vxx dan vyy kontinu pada semua z, tetapi tidak
memenuhi persamaan Laplace, yaitu
vxx + vyy = 8x2 + 8y2 = 8(x2 +y2 ) ≠ 0. Jadi v bukan
fungsi harmonik.
Soal – soal Latihan
1. Tuliskan fungsi kedalam bentuk
f(z) = u(r,θ) + iv(r,θ).
2. Misalkan a dan b konstanta kompleks. Gunakan definisi limit untuk
membuktikan
a)
b)
3. Buktikan teorema 2 pada bagian 2.3
4. Gunakan induksi matematika untuk membuktikan dimana
n bilangan asli.
5. Tentukan pada persamaan
a)
b)
6. Misalkan u dan v bilangan riil dan misalkan .
Buktikan bahwa fungsi tersebut memenuhi persamaan Cauchy –
Riemann pada z = (0,0).
24