![Page 1: Matična ploča Škola za medicinske sestre Vrapče …...Brojevni sustavi Što je brojevni sustav? •Brojevni sustav je skup znakova i pravila za pisanje tih znakova. •ljudi se](https://reader030.vdocuments.net/reader030/viewer/2022041017/5ecab1fad37eba17c30c45c1/html5/thumbnails/1.jpg)
Brojevni sustavi
![Page 2: Matična ploča Škola za medicinske sestre Vrapče …...Brojevni sustavi Što je brojevni sustav? •Brojevni sustav je skup znakova i pravila za pisanje tih znakova. •ljudi se](https://reader030.vdocuments.net/reader030/viewer/2022041017/5ecab1fad37eba17c30c45c1/html5/thumbnails/2.jpg)
Što je brojevni sustav?
• Brojevni sustav je skup znakova i pravila za pisanje tih znakova.
• ljudi se u svakodnevnom životu koriste dekadskim sustavom (znamenke od 0 do 9)
• brojevne sustave dijelimo na pozicijske i nepozicijske
![Page 3: Matična ploča Škola za medicinske sestre Vrapče …...Brojevni sustavi Što je brojevni sustav? •Brojevni sustav je skup znakova i pravila za pisanje tih znakova. •ljudi se](https://reader030.vdocuments.net/reader030/viewer/2022041017/5ecab1fad37eba17c30c45c1/html5/thumbnails/3.jpg)
Podjela brojevnih sustava
• kod nepozicijskih sustava značenje pojedine znamenke ne ovisi o njezinu položaju u zapisanom broju (kod rimskog brojevnog sustava znamenka I uvijek ima vrijednost 1)
• kod pozicijskih brojevnih sustava vrijednost znamenke ovisi o njezinu položaju u zapisanom broju (npr. kod dekadskog brojevnog sustav u broju 111 prva jedinica označava broj 100, druga broj 10, a treća broj 1)
rimske znamenke vrijednosti
I 1
V 5
X 10
L 50
C 100
D 500
M 1000
![Page 4: Matična ploča Škola za medicinske sestre Vrapče …...Brojevni sustavi Što je brojevni sustav? •Brojevni sustav je skup znakova i pravila za pisanje tih znakova. •ljudi se](https://reader030.vdocuments.net/reader030/viewer/2022041017/5ecab1fad37eba17c30c45c1/html5/thumbnails/4.jpg)
Zadatci:
• sljedeće brojeve iz rimskog sustava zapišite u dekadski• CCXXI
• MCMXCVIII
• sljedeće brojeve iz dekadskog sustav zapišite u rimskom• 257
• 1489
![Page 5: Matična ploča Škola za medicinske sestre Vrapče …...Brojevni sustavi Što je brojevni sustav? •Brojevni sustav je skup znakova i pravila za pisanje tih znakova. •ljudi se](https://reader030.vdocuments.net/reader030/viewer/2022041017/5ecab1fad37eba17c30c45c1/html5/thumbnails/5.jpg)
Rješenja:
• rimski u dekadske:• CCXXI = C + X + X +I = 100 + 10 +10 + 1 = 121
• MCMXCVIII = M + CM + XC + V + I + I + I = 1000 + (-100 + 1000) + (-10 + 100) + 5 + 1 + 1 + 1 = 1998
• dekadske u rimske:• 257 = 200 + 50 + 7 = 100 + 100 + 50 + 5 + 1 + 1 + 1 = C + C + L + V + I
+ I = CCLVII
• 1489 = 1000 + 400 + 80 + 9 = 1000 + (-100 + 500) + 50 +10 +10 + 10 + (-1 + 10) = M + CD + L + X + X + X+ IX = MCDLXXXIX
![Page 6: Matična ploča Škola za medicinske sestre Vrapče …...Brojevni sustavi Što je brojevni sustav? •Brojevni sustav je skup znakova i pravila za pisanje tih znakova. •ljudi se](https://reader030.vdocuments.net/reader030/viewer/2022041017/5ecab1fad37eba17c30c45c1/html5/thumbnails/6.jpg)
Brojevni sustavi koji opisuju rad u računalu:
• binarni (2 bita, znamenke: 0 i 1, baza: 2)
• oktalni (8 bita, znamenke: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 i 7, baza: 8)
• heksadekadski (16 bita, znamenke: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E i F, baza: 16)
![Page 7: Matična ploča Škola za medicinske sestre Vrapče …...Brojevni sustavi Što je brojevni sustav? •Brojevni sustav je skup znakova i pravila za pisanje tih znakova. •ljudi se](https://reader030.vdocuments.net/reader030/viewer/2022041017/5ecab1fad37eba17c30c45c1/html5/thumbnails/7.jpg)
dekadski brojevi
binarni heksadekadski oktalni
0 0 0 0
1 1 1 1
2 10 2 2
3 11 3 3
4 100 4 4
5 101 5 5
6 110 6 6
7 111 7 7
8 1000 8 10 (1+0)
9 1001 9 11 (1+1)
10 1010 A 12 (1+2)
11 1011 B 13 (1+3)
12 1100 C 14 (1+4)
13 1101 D 15 (1+5)
14 1110 E 16 (1+6)
15 1111 F 17 (1+7)
![Page 8: Matična ploča Škola za medicinske sestre Vrapče …...Brojevni sustavi Što je brojevni sustav? •Brojevni sustav je skup znakova i pravila za pisanje tih znakova. •ljudi se](https://reader030.vdocuments.net/reader030/viewer/2022041017/5ecab1fad37eba17c30c45c1/html5/thumbnails/8.jpg)
Pravila pretvaranja iz jednog brojevnog sustava u drugi
• gledamo tablice kad pretvaramo broj iz binarnoga brojevnog sustava u heksadekadski (uzimamo po četiri znamenke) ili oktalni (uzimamo po tri znamenke)
• kod pretvaranja u dekadski brojevni sustav svaku znamenku broja (slijeva nadesno) množimo s bazom drugoga brojevnog sustava koja je potencirana s brojem pozicije znamenke u broju
• kad pretvaramo dekadske brojeve u druge brojevne sustave, onda dijelimo brojeve s bazom drugih brojevnih sustava sve dok ne dođemo do nule; kao rješenje uzimamo ostatke dijeljenja
![Page 9: Matična ploča Škola za medicinske sestre Vrapče …...Brojevni sustavi Što je brojevni sustav? •Brojevni sustav je skup znakova i pravila za pisanje tih znakova. •ljudi se](https://reader030.vdocuments.net/reader030/viewer/2022041017/5ecab1fad37eba17c30c45c1/html5/thumbnails/9.jpg)
Pretvaranje iz binarnih brojeva u dekadske
100011(2)
1*25 + 0*24 + 0*23 + 0*22 + 1*21 + 1*20
32 + 0 + 0 + 0 + 2 + 1 = 35(10)
![Page 10: Matična ploča Škola za medicinske sestre Vrapče …...Brojevni sustavi Što je brojevni sustav? •Brojevni sustav je skup znakova i pravila za pisanje tih znakova. •ljudi se](https://reader030.vdocuments.net/reader030/viewer/2022041017/5ecab1fad37eba17c30c45c1/html5/thumbnails/10.jpg)
Pretvaranje iz binarnih brojeva u dekadske
101.11 (2)
1*22 + 0*21 + 1*20 + 1*2-1 + 1*2-2
4 + 0 + 0 + 1 + 0.5 + 0.25 = 5.25(10)
v
![Page 11: Matična ploča Škola za medicinske sestre Vrapče …...Brojevni sustavi Što je brojevni sustav? •Brojevni sustav je skup znakova i pravila za pisanje tih znakova. •ljudi se](https://reader030.vdocuments.net/reader030/viewer/2022041017/5ecab1fad37eba17c30c45c1/html5/thumbnails/11.jpg)
Zadatci:
• pretvorite iduće binarne brojeve u dekadske:• 11001
• 11100101
• 111.001
![Page 12: Matična ploča Škola za medicinske sestre Vrapče …...Brojevni sustavi Što je brojevni sustav? •Brojevni sustav je skup znakova i pravila za pisanje tih znakova. •ljudi se](https://reader030.vdocuments.net/reader030/viewer/2022041017/5ecab1fad37eba17c30c45c1/html5/thumbnails/12.jpg)
Rješenja:
• 11001 = 20 + 23+ 24 = 25
• 11100101 = 20 + 22+ 25 + 26 + 27 = 229
• 111.001 = 20 + 21+ 22 + 2−3 = 1 + 2 + 4 + 0.125 =7.125
![Page 13: Matična ploča Škola za medicinske sestre Vrapče …...Brojevni sustavi Što je brojevni sustav? •Brojevni sustav je skup znakova i pravila za pisanje tih znakova. •ljudi se](https://reader030.vdocuments.net/reader030/viewer/2022041017/5ecab1fad37eba17c30c45c1/html5/thumbnails/13.jpg)
Pretvaranje iz binarnih brojeva u oktalne
101.11 (2)
(10)
101110
5.6 (8)
•
10111 (2)
010111
27(8)
uzimamo po 3 znamenke te ih pomoću tablice
pretvaramo
![Page 14: Matična ploča Škola za medicinske sestre Vrapče …...Brojevni sustavi Što je brojevni sustav? •Brojevni sustav je skup znakova i pravila za pisanje tih znakova. •ljudi se](https://reader030.vdocuments.net/reader030/viewer/2022041017/5ecab1fad37eba17c30c45c1/html5/thumbnails/14.jpg)
Pretvaranje iz binarnih brojeva u heksadekadske
101.11 (2)
(10)
01011100
5.C (16)
•
10111 (2)
00010111
17(16)
uzimamo po 4 znamenke te ih pomoću tablice
pretvaramo
![Page 15: Matična ploča Škola za medicinske sestre Vrapče …...Brojevni sustavi Što je brojevni sustav? •Brojevni sustav je skup znakova i pravila za pisanje tih znakova. •ljudi se](https://reader030.vdocuments.net/reader030/viewer/2022041017/5ecab1fad37eba17c30c45c1/html5/thumbnails/15.jpg)
Zadatci:
• iz binarnog u oktalni:• 10011
• 101.11
• iz binarnog u heksadekadski:• 10000111
• 100.111
![Page 16: Matična ploča Škola za medicinske sestre Vrapče …...Brojevni sustavi Što je brojevni sustav? •Brojevni sustav je skup znakova i pravila za pisanje tih znakova. •ljudi se](https://reader030.vdocuments.net/reader030/viewer/2022041017/5ecab1fad37eba17c30c45c1/html5/thumbnails/16.jpg)
Rješenja:
• iz binarnog u oktalni:• 010011 = 23
• 101.110 = 5.6
• iz binarnog u heksadekadski:• 10000111 = 87
• 0100.1110 = 4.E
![Page 17: Matična ploča Škola za medicinske sestre Vrapče …...Brojevni sustavi Što je brojevni sustav? •Brojevni sustav je skup znakova i pravila za pisanje tih znakova. •ljudi se](https://reader030.vdocuments.net/reader030/viewer/2022041017/5ecab1fad37eba17c30c45c1/html5/thumbnails/17.jpg)
Pretvaranje iz dekadskih brojeva u binarne
49/2=24.524/2=1212/2=66/2=33/2=1.51/2=0.5
100011
110001(2)
49(10)
![Page 18: Matična ploča Škola za medicinske sestre Vrapče …...Brojevni sustavi Što je brojevni sustav? •Brojevni sustav je skup znakova i pravila za pisanje tih znakova. •ljudi se](https://reader030.vdocuments.net/reader030/viewer/2022041017/5ecab1fad37eba17c30c45c1/html5/thumbnails/18.jpg)
Pretvaranje iz decimalnih brojeva u binarne
28/2=1414/2=77/2=3.53/2=1.51/2=0.5
00111
11100
28.48(10) 0.48*2=0.960.96*2=1.920.92*2=1.840.84*2=1.680.68*2=1.360.32*2=0.72
…
11100.011110…(2)
![Page 19: Matična ploča Škola za medicinske sestre Vrapče …...Brojevni sustavi Što je brojevni sustav? •Brojevni sustav je skup znakova i pravila za pisanje tih znakova. •ljudi se](https://reader030.vdocuments.net/reader030/viewer/2022041017/5ecab1fad37eba17c30c45c1/html5/thumbnails/19.jpg)
Pretvaranje iz dekadskih brojeva u oktalne i heksadekadske
49/8 = 66/8 = 0
16
61(8)
49(10)
49/16 = 33/16 = 0
13
31(16)
![Page 20: Matična ploča Škola za medicinske sestre Vrapče …...Brojevni sustavi Što je brojevni sustav? •Brojevni sustav je skup znakova i pravila za pisanje tih znakova. •ljudi se](https://reader030.vdocuments.net/reader030/viewer/2022041017/5ecab1fad37eba17c30c45c1/html5/thumbnails/20.jpg)
Zadatci:
• pretvorite iduće dekadske brojeve u binarne:• 56
• 23.52
• pretvorite iduće dekadske brojeve u oktalne• 23
• pretvorite iduće dekadske brojeve u heksadekadske• 18
![Page 21: Matična ploča Škola za medicinske sestre Vrapče …...Brojevni sustavi Što je brojevni sustav? •Brojevni sustav je skup znakova i pravila za pisanje tih znakova. •ljudi se](https://reader030.vdocuments.net/reader030/viewer/2022041017/5ecab1fad37eba17c30c45c1/html5/thumbnails/21.jpg)
Rješenja:
• pretvorite iduće dekadske brojeve u binarne:• 56 = 111000
• 23.5 = 10111.1
• pretvorite iduće dekadske brojeve u oktalne• 23 = 27
• pretvorite iduće dekadske brojeve u heksadekadske• 18 = 12
![Page 22: Matična ploča Škola za medicinske sestre Vrapče …...Brojevni sustavi Što je brojevni sustav? •Brojevni sustav je skup znakova i pravila za pisanje tih znakova. •ljudi se](https://reader030.vdocuments.net/reader030/viewer/2022041017/5ecab1fad37eba17c30c45c1/html5/thumbnails/22.jpg)
Pretvaranje oktalnih brojeva u dekadske
• 47(8) = (7*80) + (4*81) = 7 + 32 = 39(10)
• 13.22(8) = (3*80) + (1*81) + (2*8-1) + (2*8-2) = 11.281(10)
![Page 23: Matična ploča Škola za medicinske sestre Vrapče …...Brojevni sustavi Što je brojevni sustav? •Brojevni sustav je skup znakova i pravila za pisanje tih znakova. •ljudi se](https://reader030.vdocuments.net/reader030/viewer/2022041017/5ecab1fad37eba17c30c45c1/html5/thumbnails/23.jpg)
Pretvaranje oktalnih brojeva u binarne
• 47(8) = 100111(2)
• 4 = 100, 7 = 111
• 13.22(8) =111.1010 (2)
• 1 = 1, 3 = 11, 2 = 10
![Page 24: Matična ploča Škola za medicinske sestre Vrapče …...Brojevni sustavi Što je brojevni sustav? •Brojevni sustav je skup znakova i pravila za pisanje tih znakova. •ljudi se](https://reader030.vdocuments.net/reader030/viewer/2022041017/5ecab1fad37eba17c30c45c1/html5/thumbnails/24.jpg)
Pretvaranje iz heksadekadskih brojeva u dekadske
• 1D(16) = 13*160 + 1*161 = 29(10)
• 2.B(16) = 11*16 -1 + 2*160 = 2.6875(10)
![Page 25: Matična ploča Škola za medicinske sestre Vrapče …...Brojevni sustavi Što je brojevni sustav? •Brojevni sustav je skup znakova i pravila za pisanje tih znakova. •ljudi se](https://reader030.vdocuments.net/reader030/viewer/2022041017/5ecab1fad37eba17c30c45c1/html5/thumbnails/25.jpg)
Pretvaranje iz heksadekadskih brojeva u binarne
• 1D(16) = 00011101(2)
• 1 = 0001, D = 1101
• 2.B(16) = 0010.1011(2)
• 2 = 0010, B = 1011
![Page 26: Matična ploča Škola za medicinske sestre Vrapče …...Brojevni sustavi Što je brojevni sustav? •Brojevni sustav je skup znakova i pravila za pisanje tih znakova. •ljudi se](https://reader030.vdocuments.net/reader030/viewer/2022041017/5ecab1fad37eba17c30c45c1/html5/thumbnails/26.jpg)
Zbrajanje binarnih brojeva
broj koji se prenosi za zbrajanje u idući stupac
bojevi koji se prenose tijekomzbrajanja donja dva broja
![Page 27: Matična ploča Škola za medicinske sestre Vrapče …...Brojevni sustavi Što je brojevni sustav? •Brojevni sustav je skup znakova i pravila za pisanje tih znakova. •ljudi se](https://reader030.vdocuments.net/reader030/viewer/2022041017/5ecab1fad37eba17c30c45c1/html5/thumbnails/27.jpg)
Množenje binarnih brojeva
1 * 1 = 1, 1 * 0 = 0, 1 * 1 = 1, 1 * 1 = 11011 (prvi broj za zbrajanje) nastao je množenjem
prve znamenke množitelja (1011) sa svim znamenka množenika (1101)
množenik (1101) se množi od zadnje znamenke prema prvoj (množimo od desna prema lijevo)
0 * 1 = 0, 0 * 0 = 0, 0 * 1 = 0, 0 * 1 = 00000 (drugi broj za zbrajanje) nastao je množenjem
druge znamenke množitelja (1011) sa svim znamenkama množenika (1101)
svaki novi zbrajatelj pomičete za jedan stupac ulijevo
![Page 28: Matična ploča Škola za medicinske sestre Vrapče …...Brojevni sustavi Što je brojevni sustav? •Brojevni sustav je skup znakova i pravila za pisanje tih znakova. •ljudi se](https://reader030.vdocuments.net/reader030/viewer/2022041017/5ecab1fad37eba17c30c45c1/html5/thumbnails/28.jpg)
Oduzimanje binarnih brojeva
0 – 0 = 0
0 – 1 = 1prenosi se jedan
1 – 0 = 1
1 – 1 = 0
1111- 101
1010
10111- 1001
101111
- 100101110
![Page 29: Matična ploča Škola za medicinske sestre Vrapče …...Brojevni sustavi Što je brojevni sustav? •Brojevni sustav je skup znakova i pravila za pisanje tih znakova. •ljudi se](https://reader030.vdocuments.net/reader030/viewer/2022041017/5ecab1fad37eba17c30c45c1/html5/thumbnails/29.jpg)
Oduzimanje binarnih brojeva (metoda dvojnog komplementa)
• 1001 – 101 = 1001 – 0101 = 1001 + 1 + 1010
• 1111 – 1010 = 1111 + 0101 + 1
1001+0001+101010100
1111+0001+010110101
![Page 30: Matična ploča Škola za medicinske sestre Vrapče …...Brojevni sustavi Što je brojevni sustav? •Brojevni sustav je skup znakova i pravila za pisanje tih znakova. •ljudi se](https://reader030.vdocuments.net/reader030/viewer/2022041017/5ecab1fad37eba17c30c45c1/html5/thumbnails/30.jpg)
Zapis brojeva pomoću dvojnog komplementa
• brojevi se zapisuju u 8 bitova
• ako je broj negativan, onda je predznak 1
• ako je broj pozitivan, onda je predznak 0
16(10) = 10000(2)
0 0 0 1 0 0 0 0
-16(10)
0 0 0 1 0 0 0 0
1 1 1 0 1 1 1 1
+1
=1 1 1 1 0 0 0 0
![Page 31: Matična ploča Škola za medicinske sestre Vrapče …...Brojevni sustavi Što je brojevni sustav? •Brojevni sustav je skup znakova i pravila za pisanje tih znakova. •ljudi se](https://reader030.vdocuments.net/reader030/viewer/2022041017/5ecab1fad37eba17c30c45c1/html5/thumbnails/31.jpg)
Tehnika klizne decimalne točke
• tehnika kojom broj zapisujemo tako da ima samo jednu cjelobrojnu znamenku iza koje slijedi decimalni dio i eksponent
• npr. 7123.567 = 7.123567 * 103
• mantisa je broj 7.123567, eksponent je 3
• 101 = 1.01 * 102 (mantisa je 1.011, a eksponent je 2)
![Page 32: Matična ploča Škola za medicinske sestre Vrapče …...Brojevni sustavi Što je brojevni sustav? •Brojevni sustav je skup znakova i pravila za pisanje tih znakova. •ljudi se](https://reader030.vdocuments.net/reader030/viewer/2022041017/5ecab1fad37eba17c30c45c1/html5/thumbnails/32.jpg)
IEEE 754 (Institute of Electrical and Electronics Engineers 754)
• ovaj standard koristi 32 bita za prikaz znakova
• u zapisu broja razlikujemo tri djela: predznak, karakteristiku i mantisu bez vodeće jedinice
• predznak za pozitivne brojeve je 0, a za negativne 1
• karakteristika = eksponent + 127
broj 11.25(10) u IEEE 754 standardu
11.25(10) = 1011.01(2) = 1.01101(2) * 103
karakteristika - 3 + 127 = 130(10) = 10000010(2)
0 10000010 01101 000000000000000000
predznak, karakteristika, mantisa bez vodeće jedinice, nule koje dodajemo dok sveukupno ne dobijemo 32 bita
![Page 33: Matična ploča Škola za medicinske sestre Vrapče …...Brojevni sustavi Što je brojevni sustav? •Brojevni sustav je skup znakova i pravila za pisanje tih znakova. •ljudi se](https://reader030.vdocuments.net/reader030/viewer/2022041017/5ecab1fad37eba17c30c45c1/html5/thumbnails/33.jpg)
ASCII kod
• ASCII kod sastoji se od 7 bitova te time može prikazati 27 – 127 znakova
• znakove pretvaramo u heksadekadske brojeve koristeći se tablicom tako da za svaku ćeliju gdje je znak prvo napišemo njezinu oznaku stupca te retka
• Golf2• G = 47(16), o = 5f(16), l = 6c(16), f = 66(16), 2 = 42(16)
• dobivene heksadecimalne vrijednosti možemo po potrebi dalje pretvarati u druge brojevne sustave