![Page 1: METODE NUMERIKmaulana.lecture.ub.ac.id/.../05/11-Diferensiasi-Numerik.pdf2014/05/11 · pada titik akhir dan nilai tersebut dirata-ratakan. Diferensiasi Numerik 17 Metode Heun Langkah-langkah](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022081410/609d7e955518dc6083792c9e/html5/thumbnails/1.jpg)
METODE NUMERIKDIFERENSIASI NUMERIK
http://maulana.lecture.ub.ac.id
![Page 2: METODE NUMERIKmaulana.lecture.ub.ac.id/.../05/11-Diferensiasi-Numerik.pdf2014/05/11 · pada titik akhir dan nilai tersebut dirata-ratakan. Diferensiasi Numerik 17 Metode Heun Langkah-langkah](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022081410/609d7e955518dc6083792c9e/html5/thumbnails/2.jpg)
Apersepsi
2Diferensiasi Numerik
![Page 3: METODE NUMERIKmaulana.lecture.ub.ac.id/.../05/11-Diferensiasi-Numerik.pdf2014/05/11 · pada titik akhir dan nilai tersebut dirata-ratakan. Diferensiasi Numerik 17 Metode Heun Langkah-langkah](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022081410/609d7e955518dc6083792c9e/html5/thumbnails/3.jpg)
Pendekatan Konsep Diferensiasi
3Diferensiasi Numerik
![Page 4: METODE NUMERIKmaulana.lecture.ub.ac.id/.../05/11-Diferensiasi-Numerik.pdf2014/05/11 · pada titik akhir dan nilai tersebut dirata-ratakan. Diferensiasi Numerik 17 Metode Heun Langkah-langkah](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022081410/609d7e955518dc6083792c9e/html5/thumbnails/4.jpg)
Jenis-Jenis Metode Diferensiasi
Metode Euler Metode Runge-Kutta Metode Taylor Metode Adam Metode Milne Metode Adam-Moulton Metode modifikasi Euler
4Diferensiasi Numerik
![Page 5: METODE NUMERIKmaulana.lecture.ub.ac.id/.../05/11-Diferensiasi-Numerik.pdf2014/05/11 · pada titik akhir dan nilai tersebut dirata-ratakan. Diferensiasi Numerik 17 Metode Heun Langkah-langkah](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022081410/609d7e955518dc6083792c9e/html5/thumbnails/5.jpg)
Metode Euler
Menghitung persamaan differensial melalui taksiran langsung dari slope xi diberi turunan pertama.
hyxfyy iiii ,1
5Diferensiasi Numerik
![Page 6: METODE NUMERIKmaulana.lecture.ub.ac.id/.../05/11-Diferensiasi-Numerik.pdf2014/05/11 · pada titik akhir dan nilai tersebut dirata-ratakan. Diferensiasi Numerik 17 Metode Heun Langkah-langkah](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022081410/609d7e955518dc6083792c9e/html5/thumbnails/6.jpg)
Metode Euler (Ex.)
Selesaikan persamaan differensial pada interval x = 0 s/d x = 1, h = ¼. Pada saat x = 0, nilai y = 1. Hitung kesalahan sebenarnya!
yxdxdy
6Diferensiasi Numerik
![Page 7: METODE NUMERIKmaulana.lecture.ub.ac.id/.../05/11-Diferensiasi-Numerik.pdf2014/05/11 · pada titik akhir dan nilai tersebut dirata-ratakan. Diferensiasi Numerik 17 Metode Heun Langkah-langkah](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022081410/609d7e955518dc6083792c9e/html5/thumbnails/7.jpg)
Metode Euler (Ex.) Untuk x = 0 y = 1 Untuk x = 0,25
yi+1 = yi + f(xi, yi).h= 1 + f(0,1).0,25== 1
Untuk x = 0,5yi+1 = yi + f(xi, yi).h
= 1 + f(0,25;1).0,25= = 1,0625
25,0101
25,0125,01
7Diferensiasi Numerik
![Page 8: METODE NUMERIKmaulana.lecture.ub.ac.id/.../05/11-Diferensiasi-Numerik.pdf2014/05/11 · pada titik akhir dan nilai tersebut dirata-ratakan. Diferensiasi Numerik 17 Metode Heun Langkah-langkah](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022081410/609d7e955518dc6083792c9e/html5/thumbnails/8.jpg)
Metode Euler (Ex.) Untuk x = 0,75
yi+1 = yi + f(xi, yi).h= 1,0625 + f(0,5;1,0625).0,25= = 1,1914
Untuk x = 1yi+1 = yi + f(xi, yi).h
= 1,1914 + f(0,75;1,1914).0,25= = 1,3961
25,00625,15,00625,1
25,01914,175,01914,1
8Diferensiasi Numerik
![Page 9: METODE NUMERIKmaulana.lecture.ub.ac.id/.../05/11-Diferensiasi-Numerik.pdf2014/05/11 · pada titik akhir dan nilai tersebut dirata-ratakan. Diferensiasi Numerik 17 Metode Heun Langkah-langkah](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022081410/609d7e955518dc6083792c9e/html5/thumbnails/9.jpg)
Metode Euler (Ex.)x y0 1
0,25 10,5 1,06250,75 1,1914
1 1,3961
9Diferensiasi Numerik
![Page 10: METODE NUMERIKmaulana.lecture.ub.ac.id/.../05/11-Diferensiasi-Numerik.pdf2014/05/11 · pada titik akhir dan nilai tersebut dirata-ratakan. Diferensiasi Numerik 17 Metode Heun Langkah-langkah](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022081410/609d7e955518dc6083792c9e/html5/thumbnails/10.jpg)
Metode Euler (Ex.)
Nilai eksakdxyxdyyx
dxdy
Cxy
dxxdyy
dxxdyy
dxxy
dy
2
21
21
212
0
0
0.
10Diferensiasi Numerik
![Page 11: METODE NUMERIKmaulana.lecture.ub.ac.id/.../05/11-Diferensiasi-Numerik.pdf2014/05/11 · pada titik akhir dan nilai tersebut dirata-ratakan. Diferensiasi Numerik 17 Metode Heun Langkah-langkah](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022081410/609d7e955518dc6083792c9e/html5/thumbnails/11.jpg)
Metode Euler (Ex.)
Pada saat x = 0; y = 1
Persamaan
202112 2 CC
2212 2 xy
11Diferensiasi Numerik
![Page 12: METODE NUMERIKmaulana.lecture.ub.ac.id/.../05/11-Diferensiasi-Numerik.pdf2014/05/11 · pada titik akhir dan nilai tersebut dirata-ratakan. Diferensiasi Numerik 17 Metode Heun Langkah-langkah](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022081410/609d7e955518dc6083792c9e/html5/thumbnails/12.jpg)
Metode Euler (Ex.)
Untuk x = 0,25
0315,1015625,1
0325,22
225,0212 2
yy
y
y
12Diferensiasi Numerik
![Page 13: METODE NUMERIKmaulana.lecture.ub.ac.id/.../05/11-Diferensiasi-Numerik.pdf2014/05/11 · pada titik akhir dan nilai tersebut dirata-ratakan. Diferensiasi Numerik 17 Metode Heun Langkah-langkah](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022081410/609d7e955518dc6083792c9e/html5/thumbnails/13.jpg)
Metode Euler (Ex.)
Untuk x = 0,5
1289,10625,1
25,0212 2
yy
y
13Diferensiasi Numerik
![Page 14: METODE NUMERIKmaulana.lecture.ub.ac.id/.../05/11-Diferensiasi-Numerik.pdf2014/05/11 · pada titik akhir dan nilai tersebut dirata-ratakan. Diferensiasi Numerik 17 Metode Heun Langkah-langkah](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022081410/609d7e955518dc6083792c9e/html5/thumbnails/14.jpg)
Metode Euler (Ex.)
Untuk x = 0,75
3010,1140625,1
275,0212 2
yy
y
14Diferensiasi Numerik
![Page 15: METODE NUMERIKmaulana.lecture.ub.ac.id/.../05/11-Diferensiasi-Numerik.pdf2014/05/11 · pada titik akhir dan nilai tersebut dirata-ratakan. Diferensiasi Numerik 17 Metode Heun Langkah-langkah](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022081410/609d7e955518dc6083792c9e/html5/thumbnails/15.jpg)
Metode Euler (Ex.)
Untuk x = 1
5625,125,1
21212 2
yy
y
15Diferensiasi Numerik
![Page 16: METODE NUMERIKmaulana.lecture.ub.ac.id/.../05/11-Diferensiasi-Numerik.pdf2014/05/11 · pada titik akhir dan nilai tersebut dirata-ratakan. Diferensiasi Numerik 17 Metode Heun Langkah-langkah](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022081410/609d7e955518dc6083792c9e/html5/thumbnails/16.jpg)
Metode Euler (Ex.)
x yEuler ysebenarnya t
0 1 1 0 %0,25 1 1,0315 3,0538 %0,5 1,0625 1,1289 5,8818 %0,75 1,1914 1,3010 8,4243 %
1 1,3961 1,5625 10,6496 %
%100
sebenarnya
sebenarnyaEulert y
yy
16Diferensiasi Numerik
![Page 17: METODE NUMERIKmaulana.lecture.ub.ac.id/.../05/11-Diferensiasi-Numerik.pdf2014/05/11 · pada titik akhir dan nilai tersebut dirata-ratakan. Diferensiasi Numerik 17 Metode Heun Langkah-langkah](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022081410/609d7e955518dc6083792c9e/html5/thumbnails/17.jpg)
Metode Heun
Untuk memperbaiki Metode Euler, digunakan Metode Heun dengan cara perbaikan dari perkiraan nilai slopenya.
Perbaikan perkiraan slope tersebut, ditempuh melalui nilai turunan dari slope-nya pada titik awal. Kemudian mencari turunan slope-nya pada titik akhir dan nilai tersebut dirata-ratakan.
17Diferensiasi Numerik
![Page 18: METODE NUMERIKmaulana.lecture.ub.ac.id/.../05/11-Diferensiasi-Numerik.pdf2014/05/11 · pada titik akhir dan nilai tersebut dirata-ratakan. Diferensiasi Numerik 17 Metode Heun Langkah-langkah](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022081410/609d7e955518dc6083792c9e/html5/thumbnails/18.jpg)
Metode Heun
Langkah-langkah Metode Heun:1. Mencari slope awal = f(xi, yi) 2. Slope awal pada no.1 digunakan untuk
ekstrapolasi nilai , dengan rumuso
1iy
hyxfyy iii
o
i ,1
18Diferensiasi Numerik
![Page 19: METODE NUMERIKmaulana.lecture.ub.ac.id/.../05/11-Diferensiasi-Numerik.pdf2014/05/11 · pada titik akhir dan nilai tersebut dirata-ratakan. Diferensiasi Numerik 17 Metode Heun Langkah-langkah](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022081410/609d7e955518dc6083792c9e/html5/thumbnails/19.jpg)
Metode Heun3. Persamaan prediktor ( ) digunakan untuk
mencari slope akhir (sebut dengan ), dengan rumus
4. Mencari slope rata-rata (sebut dengan )
o
1iy |
1iy
o
iii yxfy 11
|
1 ;
y
2
,, 11
o
iiii yxfyxfy
19Diferensiasi Numerik
![Page 20: METODE NUMERIKmaulana.lecture.ub.ac.id/.../05/11-Diferensiasi-Numerik.pdf2014/05/11 · pada titik akhir dan nilai tersebut dirata-ratakan. Diferensiasi Numerik 17 Metode Heun Langkah-langkah](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022081410/609d7e955518dc6083792c9e/html5/thumbnails/20.jpg)
Metode Heun5. Slope rata-rata ini yang sebenarnya digunakan
untuk mengekstrapolasikan yi ke yi+1
yi+1 = yi + (slope rata-rata).h
h
yxfyxfyy
o
iiii
ii
2
,, 11
1
20Diferensiasi Numerik
![Page 21: METODE NUMERIKmaulana.lecture.ub.ac.id/.../05/11-Diferensiasi-Numerik.pdf2014/05/11 · pada titik akhir dan nilai tersebut dirata-ratakan. Diferensiasi Numerik 17 Metode Heun Langkah-langkah](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022081410/609d7e955518dc6083792c9e/html5/thumbnails/21.jpg)
Metode Heun (Ex.)
Selesaikan persamaan differensial pada interval x = 0 s/d x = 1, h = ¼. Pada saat x = 0, nilai y = 1. Hitung kesalahan sebenarnya!
yxdxdy
21Diferensiasi Numerik
![Page 22: METODE NUMERIKmaulana.lecture.ub.ac.id/.../05/11-Diferensiasi-Numerik.pdf2014/05/11 · pada titik akhir dan nilai tersebut dirata-ratakan. Diferensiasi Numerik 17 Metode Heun Langkah-langkah](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022081410/609d7e955518dc6083792c9e/html5/thumbnails/22.jpg)
Metode Heun (Ex.)
22
![Page 23: METODE NUMERIKmaulana.lecture.ub.ac.id/.../05/11-Diferensiasi-Numerik.pdf2014/05/11 · pada titik akhir dan nilai tersebut dirata-ratakan. Diferensiasi Numerik 17 Metode Heun Langkah-langkah](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022081410/609d7e955518dc6083792c9e/html5/thumbnails/23.jpg)
Metode Heun (Ex.)
23
![Page 24: METODE NUMERIKmaulana.lecture.ub.ac.id/.../05/11-Diferensiasi-Numerik.pdf2014/05/11 · pada titik akhir dan nilai tersebut dirata-ratakan. Diferensiasi Numerik 17 Metode Heun Langkah-langkah](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022081410/609d7e955518dc6083792c9e/html5/thumbnails/24.jpg)
Metode Heun (Ex.)
24
![Page 25: METODE NUMERIKmaulana.lecture.ub.ac.id/.../05/11-Diferensiasi-Numerik.pdf2014/05/11 · pada titik akhir dan nilai tersebut dirata-ratakan. Diferensiasi Numerik 17 Metode Heun Langkah-langkah](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022081410/609d7e955518dc6083792c9e/html5/thumbnails/25.jpg)
Metode Heun (Ex.)
25
![Page 26: METODE NUMERIKmaulana.lecture.ub.ac.id/.../05/11-Diferensiasi-Numerik.pdf2014/05/11 · pada titik akhir dan nilai tersebut dirata-ratakan. Diferensiasi Numerik 17 Metode Heun Langkah-langkah](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022081410/609d7e955518dc6083792c9e/html5/thumbnails/26.jpg)
Metode Heun (Ex.)
x yHeun ysebenarnya t
0 1 1 0 %
0,25 1,0313 1,0315 0,01939 %
0,5 1,1284 1,1289 0,0443 %
0,75 1,3001 1,3010 0,06918 %
1 1,5608 1,5625 0,1088 %26Diferensiasi Numerik