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Métodos Matemáticos
INAOE CURSO PROPEDEUTICO PARA LA
MAESTRIA EN ELECTRONICA
Capítulo 2
2010
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EDO de segundo orden
Métodos Matemáticos - INAOE
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Ecuación Diferencial Ordinaria Lineal de 2o. OrdenForma General
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pc yyy
Sol. Complementaria es la sol. de la ec. homogénea asociada
La solución particular proviene de la forma de f(x)
)(2
2
xfcydx
dyb
dx
yda
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Ecuaciones Homogeneas
Ecuación diferencial de segundo orden, lineal, de coeficientes constantes, homogénea
2
20
d y dya b cy
dx dx
2 0am bm c
mxey
02 mxmxmx ceebmeam
Ecuación característica
aacbb
m2
42
2,1
3 casos:Raíces reales y diferentesRaíces reales e ingualesRaíces complejo conjugadas
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1er. Caso: ecuación auxiliar con Raices reales y diferentes.
2 0am bm c
1 2 1 2, , y m m m m R
1 2
2
20 es m x m xd y dy
a b cy y Ae Bedx dx
aacbb
m2
42
2,1
0)4( 2 acb
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2o. Caso: ecuación auxiliar con Raices reales e iguales
ecuación auxiliar:
Con solución:
donde:
2 0am bm c
aacbb
m2
42
2,1
0)4( 2 acb
1 2 1 2, , y m m m m R
1
2
20 es ( ) m xd y dy
a b cy y A Bx edx dx
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3er. Caso: ecuación auxiliar con Raices complejo conjugadas
ecuación auxiliar:
Con solución:
2 0am bm c
aacbb
m2
42
2,1
0)4( 2 acb
abac
ja
bm
24
2
2
2,1
jm 2,1
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( ) ( )j x j x
x j x j x
y Ae Be
e Ae Be
cos sin and cos sinj x j xe x j x e x j x
( )cos ( )sin
cos sin
j x j xAe Be A B x j A B x
C x D x
cos sinxy e C x D x
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EJEMPLO: EDO homogénea
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EJEMPLO: EDO no-homogénea
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Ecuaciones diferenciales de segundo orden
Métodos Matemáticos - INAOE
Ecuaciones Homogeneas: ejemplo
Solucionar:
Su ecuación característica es:
Cuyas raíces son
reales y distintas
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Ecuaciones diferenciales de segundo orden
Métodos Matemáticos - INAOE
Solucionar:
Su ecuación característica es:
Cuyas raíces son
reales e iguales
Ecuaciones Homogeneas: ejemplo
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Ecuaciones diferenciales de segundo orden
Ecuaciones No-homogeneas. Coeficientes indeterminados
La ecuación diferencial de segundo orden, de coeficientes constantes, lineal, no homogénea, es del tipo:
La solución está dada en dos partes y1 + y2:
(a) La parte 1, y1 es la solución a la ecuaciòn homogénea, y es llamada la solución complementaria.
(b) La parte 2, y2 la cual es llamada la solución particular.
2
2( )
d y dya b cy f x
dx dx
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Ecuaciones diferenciales de segundo orden
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Ejemplo. Resolver:
(a) solución complementaria
Ecuación auxiliar: m2 – 5m + 6 = 0 la solución m = 2, 3
Y la solución complementaria es y1 = Ae2x + Be3x , donde:
22
25 6
d y dyy x
dx dx
21 1
125 6 0
d y dyy
dx dx
Ecuaciones No-homogeneas: Solución complementaria
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(b) Solución Particular
Se presupone una forma para y2 tal que y2 = Cx2 + Dx + E, y se sustituye en:
Lo cual da:
222 2
225 6
d y dyy x
dx dx
2 26 (6 10 ) (2 5 6 ) 0 0Cx D C x C D E x x
1/ 6 : 5 /18 : 19 /108C D E
2
2
5 19
6 18 108
x xy
…Solución Particular :
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(c) La solución completa a:
consiste de:
Solución complementaria + solución particular
La cual es:2
2 31 2
5 19
6 18 108x x x x
y y y Ae Be
22
25 6
d y dyy x
dx dx
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COEFICIENTES INDETERMINADOS
La forma general que se presupone para la integral particular depende de la forma del lado izquierdo de la ecuación no homogénea. La tabla siguiente puede ser usada como una guía:
2 2
( ) Assume
sin or cos sin cos
sinh or cosh sinh coshkx kx
f x y
k C
kx Cx D
kx Cx Dx E
k x k x C x D x
k x k x C x D x
e Ce
Ecuaciones No-homogeneas: Solución Particulares
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Solucionar:
EJEMPLO :
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Ejemplo:
Solucionar:
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Ec. Homogénea asociada:
08´´ yy
Polinomio característico:
082 222,1 j
EJEMPLO: Resolver la sig. Ec. Dif. no-homogénea de coef. constantes :
xeyy x 528´´
222
221
jjc ekeky
Por ecuación de Euler:
xsencxcyc )22()22(cos 21
Se propone sol. particular:CBxAey x
p
Derivando dos veces:x
p Aey ´´
Substituyendo en la ec. original y resolviendo para las constantes ABC:
08/59/2 CBA
xey xp 8
592
xexsencxcy x
85
92
)22()22(cos 21
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ECS. DIF. LINEALES DE ORDEN SUPERIOR :
Homogénea:
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Ejemplo:
Polinomio característico:
Sacando raíces:
Solución:
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![Page 28: Métodos Matemáticos](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022081514/5681351f550346895d9c8176/html5/thumbnails/28.jpg)
Cada par de raíces complejo conjugadas DIFERENTES :
Genera un par de funciones linealmente independientes:
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xyy sec´´
j 2,12 01
senxcxcyc 21 cos
senxvxvy p 21 cos
0)´(cos)´(
0´cos´
21
21
xvsenxv
senxvxv
1´cos
´ 21 vxxsen
v
xvxv 21 ;cosln
senxxxxy p coslncos
senxxxxsenxcxcyyy pc coslncoscos 21
Ejemplo: Resolver por variación de parámetros la sig. ec.