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MÉTODOS DE INVESTIGACIÓN CUANTITATIVA
Sesión 5
- IDEAS INTRODUCTORIAS DE PROBABILIDAD- DISTRIBUCIÓN NORMAL
FÁTIMA PONCE 1
FÁTIMA PONCE 2
PUNTOS A TRATAR
Sesión 5:
IDEAS INTRODUCTORIAS DE PROBABILIDAD.Tipos de Probabilidades. Distribución de Probabilidad, Valor esperado y
varianza.Algunas Funciones de Distribución de
Probabilidad.DISTRIBUCIÓN NORMAL
La función de Distribución Normal y función de Distribución Normal Standard.
Uso de las tablas. Aplicaciones.
FÁTIMA PONCE 3
Se ocupa de deducciones acerca de una población en base a una muestra de dicha población.
Debido a que existe incertidumbre al tomar decisiones se emplea la Teoría de la probabilidad.
Se estima y/o testea, en situaciones de incertidumbre -con una probabilidad de error- a fin de realizar generalizaciones acerca de las propiedades de la población, para tomar una decisión.
ESTADÍSTICA INFERENCIAL
FÁTIMA PONCE 4
VARIABLE ALEATORIA
- Número de productos defectuosos.
- Sexo del cliente
0, 1, 2,…, 50
0 si hombre, 1 si mujer.
V.A. (x) valores de X V.A. (x) valores de X- Precio unitario
- Nivel tolerable de contamina-ción del agua.
5≤ x ≤ 12
0≤ x≤ 0.18
DISCRETA: Cuando el conjunto de realizaciones es
finito o infinito pero numerable.
CONTINUA: Cuando el conjunto de realizaciones es
infinitamente divisible (no numerable).
Es una descripción numérica de un experimento. Su valor o realización es incierto (no es conocido) hasta que el
experimento se lleve a cabo.
FÁTIMA PONCE 5
Es una medida numérica de la posibilidad de que un evento ocurra. Medida del grado de incertidumbre asociado a la ocurrencia de un evento.
¿QUÉ ES LA PROBABILIDAD?
Su valor está en una escala de 0 a 1.
Cierto
Imposible
.5
1
0
Es tan posible que el evento ocurra como que no ocurra
FÁTIMA PONCE 6
Existen 3 maneras básicas de clasificar la probabilidad. Son 3 planteamientos conceptuales diferentes para el estudio de la teoría de la probabilidad
TIPOS DE PROBABILIDAD
Probabilidad Clásica Probabilidad frecuencia relativa de ocurrencia. Probabilidad subjetiva.
Los expertos aún no se ponen de acuerdo sobre cuál de dichos planteamientos es el más apropiado
FÁTIMA PONCE 7
1. PROBABILIDAD CLASICA
Probabilidad que = N° resultados en los que se presenta el eventosuceda un evento Número Total de resultados posibles
C/u de los resultados posibles debe ser igualmente posible (equiprobabilidad).
O probabilidad a priori, dado que se puede saber la probabilidad sin necesidad de que el experimento se realice. Por ejemplo: Prob(cara)=1/2, o Prob(5)=1/6.
Pero esta probabilidad supone una especie de orden y simetría en el mundo, sin situaciones improbables: Al tirar la moneda sólo se espera que caiga cara o sello.
FÁTIMA PONCE 8
No la podemos definir sin que se realice algo de experimentación, necesitamos conocer sobre la frecuencia de ocurrencia de dichas probabilidades.Como por ejemplo:
¿Cuál es la probabilidad de que una empresa minera contamine el río que abastece de agua al pueblo?, ó
¿Cuál es la probabilidad que si se produce un terremoto en la Costa peruana éste se produzca en Ica?.
Se determina qué tan frecuentemente ha sucedido algo en el pasado y se emplea esta cifra para predecir la probabilidad de ocurrencia de ese evento en el futuro.
2. PROBABILIDAD FRECUENCIA RELATIVA DE OCURRENCIA
FÁTIMA PONCE 9
Basada en las creencias de las personas que efectúan la estimación de probabilidad.
Es la probabilidad asignada a un evento, basada en la evidencia que tenga disponible (que puede ser basada en la frecuencia relativa de ocurrencia de eventos pasados o simplemente de una creencia meditada).
Al asignar probabilidades subjetivas es normal que 2 personas obtengan probabilidades distintas para un evento.
3. PROBABILIDAD SUBJETIVA
FÁTIMA PONCE 10
Probabilidad previa: Estimación inicial de la probabilidad de un evento.
Probabilidad revisada o posterior: Probabilidad revisada de un evento basada en informaciones adicionales (como una muestra).
OTROS CONCEPTOS DE PROBABILIDAD
Dependencia estadística: Condición en la que la probabilidad de ocurrencia de un evento depende de la ocurrencia de algún otro, o se ve afectada por ésta.
Independencia estadística: Condición en la que la probabilidad de ocurrencia de algún evento no tiene efecto sobre la probabilidad de ocurrencia de otro evento.
CONCEPTO DE DEPENDENCIA
FÁTIMA PONCE 11
PROBABILIDAD MARGINAL
Probabilidad simple de presentación de un evento, P(A).Por ejemplo: Prob. de obtener un as, Prob. de sacar una cara al lanzar una moneda.
PROBABILIDAD CONJUNTA Probabilidad de que dos o más eventos se presenten
juntos o en sucesión. P(AB) o P(A,B) o P(AyB). Por ejemplo: Prob. de sacar un as de corazones, Prob.
de obtener 3 caras al lanzar una moneda 3 veces.
FÁTIMA PONCE 12
PROBABILIDAD CONDICIONAL
Es la probabilidad de que ocurra un evento en particular, dado que otro evento ya ocurrió.
P(A|B). Probabilidad de A “dado” B.
En el caso de eventos independientes, como el evento B no influye en el evento A:
P(A|B) = P(A)
FÁTIMA PONCE 13
TIPOS DE PROBABILIDADES
Condiciones deDependencia
Estadística
Condiciones deIndependencia
Estadística
Tipos deProbabilidad Símbolo
Marginal P( A ) P( A ) P(ABi)
Condicional P( A|B ) P( A ) P(A,B) / P( B )Conjunta P( A,B ) P( A ) x P( B ) P(A | B) x P(B )
Dos eventos A y B son independientes si: P(A|B) = P(A) ó P(B|A) = P(B)
Dem: P(A|B) = P(A,B) / P(B) = P(A) x P(B) / P(B) = P(A).
FÁTIMA PONCE 14
Regla de Adición: Si eventos son mutuamente excluyentes:
P(A o B) = P(A) + P(B).
Si eventos no son mutuamente excluyentes: P(A o B) = P(A) + P(B) – P(AB).
Probabilidad conjunta de 2 eventos independientes: P(AB) = P(A) x P(B)Probabilidad condicional de 2 eventos dependientes: P(A/B) = P(AB)/P(B) P(B/A) = P(AB)/P(A)
REGLAS DE PROBABILIDAD
FÁTIMA PONCE 15
TEOREMA DE BAYES: Para calcular probabilidades posteriores. Permite evaluar nueva información y revisar anteriores estimaciones (basadas en información limitada) de la probabilidad de que las cosas se encuentren en un estado o en otro.Permite calcular la probabilidad de un evento que está condicionado por la ocurrencia de dos o más eventos.
PROBABILIDAD POSTERIOR
Probabilidadesprevias
InformaciónNueva
Teorema de Bayes
Probabilidadesposteriores
FÁTIMA PONCE 16
En la toma de decisiones nos enfrentamos a eventos que se van a realizar con incertidumbre. Para facilitar una buena toma de decisiones se diseñan modelos según el contexto al cual se aproxime mejor su nivel de información con relación a los probables resultados.
Los individuos siempre estamos tomando decisiones, y dado que vivimos en un mundo incapaz de predecir con certeza el futuro, la probabilidad constituye parte importante de nuestra vida cotidiana.
PROBABILIDAD Y TOMA DE DECISIONES
MÉTODOS DE INVESTIGACIÓN CUANTITATIVA PROF: F. PONCE 16 de 64
FÁTIMA PONCE 17
INCERTIDUMBRE Y TOMA DE DECISIONES
¿Qué posibilidad hay que un cambio de estrategia de marketing eleve las ventas en 30%?
¿Cuál es la probabilidad de que el lanzamiento del nuevo producto genere una rentabilidad del 20%?.
En Finanzas: Las compañías de seguros emplean la probabilidad para tomar riesgo y decidir la prima que pagarán. Para tener ganancias, se debe tener más aciertos que errores.
¿Qué otros ejemplos podemos comentar?
FÁTIMA PONCE 18
PROBABILIDAD Y GRANDES DATOS“No se puede predecir el futuro, pero se puede utilizar la probabilidad matemática para determinar qué tan probable es que algo pueda, o no, suceder”.BIG DATA: Mientras más estadísticas puedan ser acumuladas sobre un resultado particular, mayor será la certeza.
Noticia sobre Uso en retail: Anticipar las preferencias del cliente http://cincodias.com/cincodias/2014/06/04/tecnologia/1401910197_449355.html
Ejemplos: Probabilidad y Futbol
(Alemania en mundial 2014)
IBM: Casos prácticos http://www.ibm.com/big-data/pe/es/big-data-and-analytics/case-studies.html#businessneed=marketingandsales
FÁTIMA PONCE 19
MODELOS:1. Contexto de Certidumbre: Se da por conocido el único
resultado posible de darse [prob.(ocurrencia) = 1].
2. Contexto de Incertidumbre: Se desconoce lo que podría ocurrir luego de tomar una decisión.
3. Contexto de Riesgo: Se diseña las funciones de distribución de probabilidad de las variables sobre las cuales tenemos un gran nivel de incertidumbre. Luego de ello se pueden hacer las estimaciones necesarias para facilitar la toma de decisiones.
PROBABILIDAD Y TOMA DE DECISIONES
FÁTIMA PONCE 21
La distribución de probabilidad de una V.A. describe cómo se distribuyen las probabilidades entre los valores de una V.A.
Es un conjunto de los valores xi (resultados de un experimento) tomados de una V.A. X y sus probabilidades o chances de ocurrencia asociadas.
Da toda la gama de valores que pueden ocurrir con base a un experimento y resulta similar a una distribución de frecuencias.
DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD
FÁTIMA PONCE 22
DISTRIBUCIÓN DE FRECUENCIAS VS DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDADES
Distribución de Frecuencias:
Listado de todos los resultados observados de un experimento.
Distribución de Probabilidades:
Listado de las probabilidades de todos los posibles resultados que pudieran ocurrir de un experimento.
FÁTIMA PONCE 23
DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD
Condiciones requeridas para:
Función de Probabilidad Función de densidad de
Discreta f(x): Probabilidad Continua f(x):
f(x) ≥ 0 valor de x f(x) ≥ 0 valor de x
f(x) = 1 f(xi) dx = 1
1
dxxf i
FÁTIMA PONCE 24
DISTRIBUCION DE PROBABILIDAD
f(x)
prob
abili
dad
De V.A Discreta De V.A Continua
f(x) da la probabilidad de que la V.A. tome un valor determinado.
f(x) da la probabilidad de que la V.A. tome cualquier valor dentro de un intervalo dado.
b
Prob[a X b] = f(x)dx aProb: es el área bajo la función de densid.
FÁTIMA PONCE 25
DISTRIBUCION DE PROBABILIDAD DISCRETA (Ejemplo)
La tabla siguiente es una distribución parcial de probabilidades para las ganancias proyectadas de una empresa (x ganancias en miles de S/.) durante el 1er año de operaciones:
x f(x)-100 0.10 0 0.20 50 0.30 100 0.25 150 0.10 200
a) ¿Cuál es el valor adecuado para f(200)?Qué interpretación le da a este valor?.
b) ¿Cuál es la probabilidad de que la empresa sea rentable?c) ¿Cuál es la probabilidad de que la empresa gane por lo
menos S/ 100,000?
0.05.
0.700.40
FÁTIMA PONCE 26
DISTRIBUCION DE PROBABILIDAD DISCRETA (Ejemplo)
Suponga una V.A discreta x: Número de proyectos en un año, puede tomar los valores 1, 2, 3, 4, 5 y 6 y de acuerdo con datos pasados se sabe que estos valores están asociados a una probabilidad de ocurrencia como se muestra en el cuadro:
f(x)
x
# de proyectos en un año
x f(x)1 0.182 0.393 0.244 0.145 0.046 0.01Total 1.00
FÁTIMA PONCE 27
DISTRIBUCION DE PROBABILIDAD DISCRETA
Una vez que se conoce la distribución de probabilidad es relativamente fácil determinar la probabilidad de diversos eventos que pueden ser útiles para tomar decisiones.
Del ejercicio anterior, se podría saber que: Es más probable que se realice 2 proyectos en un año,
ya que f(2) = 0.39, y La probabilidad de que se realicen 4, 5 ó 6 proyectos
es sólo 19%: f(4)+f(5)+f(6) = 0.14+0.04+0.01 = 0.19.
FÁTIMA PONCE 28
Valor Medio de una V.A. o Esperanza Matemática E(x) o Valor esperado de la V.A. es una medida de la localización central de la V.A.
Varianza de una V.A. ó Var(x) da una medida de variabilidad o dispersión en los valores de la V.A. Mide las dispersiones de las observaciones respecto a su media, es un valor teórico, no tiene interpretación ya que sus valores están expresados en unidades cuadradas.
CARACTERÍSTICAS IMPORTANTES DE UNA FUNCIÓN DE PROBABILIDAD
FÁTIMA PONCE 29
De una V. A. Continua
E(x) = = ∫xf(x)dx a<x<b
donde
x es el valor de la V.A.
f(x) es la función de densidad de probabilidad correspondiente.
1. ESPERANZA MATEMÁTICA
De una V.A. Discreta:
E(x)= = Σ xf(x)
donde x es el valor de la V.A.f(x) es la función de
probabilidad correspondiente.
FÁTIMA PONCE 30
Si a,b,c son constantes y X,Y son V.A.
E[a] = a
E[aX +bY] = aE[X] + bE[Y]
E[cXY] = cE[XY] si X e Y no son VA independientes
= cE[X]E[Y] si X e Y son VA independientes
E[ Xi] = E[Xi]
PROPIEDADES/OPERACIONES DE LA MEDIA
FÁTIMA PONCE 31
2. VARIANZA Y DESVIACIÓN ESTÁNDAR
De una V.A. Discreta
Var(x)= E[x-E(x)]2
Si E(x) = :Var(x)= 2 = Σ(x-)2f(x)
De una V.A. Continua
Var(x) =E[x-E(x)]2
Si E(x) = :
Var(x) = 2 = (x-)2f(x)
La desviación estándar: = 2
FÁTIMA PONCE 32
Si a,b,c son constantes y X,Y son V.A.
Var(a) = 0
Var(X) = E[(X-)2] = E[X2] - 2 = 2
Var(aX+b) = a2 Var(X)
Var(aX+bY) = a2 Var(X) + b2 Var(Y) + 2ab Cov(X,Y)
Var(aX-bY) = a2 Var(X) + b2 Var(Y) – 2ab Cov(X,Y)
Asumiendo que X e Y son variables dependientes.
OPERACIONES CON LA VARIANZA
FÁTIMA PONCE 33
EJEMPLO 1
Con los datos del ejercicio sobre número de proyectos, halle el valor esperado y la varianza de x.
Valor Esperado de X: E(x) = xf(x) = 2.5
x f(x)1 0.182 0.393 0.244 0.145 0.046 0.01
=1*0.18= 0.18=2*0.39= 0.78=3*0.24= 0.72=4*0.14= 0.56=5*0.04= 0.2=6*0.01= 0.06
2.5
xf(x)
FÁTIMA PONCE 34
Cont. EJEMPLO 1
Calculo de la varianza:
x ( x-)1 -1.52 -0.53 0.54 1.55 2.56 3.5
( x-)2 f(x) ( x-)2 f(x)2.25 0.18 0.4050.25 0.39 0.09750.25 0.24 0.062.25 0.14 0.3156.25 0.04 0.25
12.25 0.01 0.1225
Desviación estándar = = 2 = 1.1
Var(x)= 2= Σ(x-)2 f(x)
Var(x) = 2 = 1.25
FÁTIMA PONCE 35
A veces se quiere hablar de probabilidad de más de 1 V.A. simultáneamente, por ej,. Se quisiera analizar: ¿Cuál es la probabilidad que el precio sea < 5% y la cantidad 5%?: = Cuál es la prob que VA P5 y al mismo tiempo la VA C 5?
En ese caso estamos hablando de la función de probabilidad conjunta: f(p,c): prob(P5, C 5)
= Comprende el volumen bajo la función de probabilidad conjunta f(p,c) sobre el rectángulo que define el evento.
FUNCIÓN DE PROBABILIDAD CONJUNTA
FÁTIMA PONCE 36
Si X e Y son V.A. independientes:
Cov(X,Y) = E[(X-x)(Y-y)] = 0
En ese caso:
Var(aX+bY) = a2 Var(X) + b2 Var(Y)
Var(aX-bY) = a2 Var(X) + b2 Var(Y)
COVARIANZA DE X,Y
Si variables X e Y son dependientes:
Cov(X,Y) = E[(X-x)(Y-y)] = xy
donde: x=E(X) y y=E(Y)
FÁTIMA PONCE 37
Pero la magnitud de la covarianza es difícil de interpretar porque depende de las unidades de medida de las V.A., por ello mejor se emplea la CORRELACIÓN entre las variables:
Cov(X,Y) Corr(X,Y) = xy = ------------------------- Var(X) Var(Y)
La correlación, al igual que la covarianza, mide el grado de asociación lineal entre las variables aleatorias: -1 < xy < 1
CORRELACIÓN DE X,Y
o Si rxy = -1 Relación lineal negativa perfecta.o Si rxy = +1 Relación lineal positiva perfecta.o Si rxy = 0 No existe relación lineal entre las variables.
FÁTIMA PONCE 38
Dentro de las distribuciones de probabilidad discretas, las más empleadas son:Binomial, Poisson, Hipergeométrica.
Dentro de las distribuciones de probabilidad continuas, las más útiles y empleadas son:Normal, Normal Estándar (Z).Y la familia de la normal (Ji-cuadrado, t-student, F-Fisher)
DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD
FÁTIMA PONCE 39
La más importante es la distribución probabilística normal.Las distribuciones probabilísticas de V.A. continuas, tienden a seguir un patrón de comportamiento “normal”.Por ejemplo: la distribución probabilística de la esperanza de vida de un
foco, de un precio cobrado por un servicio.
DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD CONTINUAS
FÁTIMA PONCE 40
Más conocida y empleada de las distribuciones continuas.Tiene gran cantidad de aplicaciones prácticas pero además tiene una importante aplicación en la inferencia estadística.Tiene algunas propiedades que la hacen aplicable a un gran número de situaciones en las que es necesario hacer inferencias mediante la toma de muestras.Se ajusta a las distribuciones de frecuencias reales observadas en muchos fenómenos.
Por ejemplo: Peso, altura, coeficiente intelectual, etc., resultados de procesos y muchas otras medidas de interés
CARACTERÍSTICAS DE LA DISTRIBUCION DE PROBABILIDAD
NORMAL
FÁTIMA PONCE 41
Es acampanada,
Presenta un solo pico en el centro de la distribución (es unimodal): La media = la mediana = la moda.
Es simétrica respecto a su media.
Es asintótica al eje X: Las 2 colas de su distribución se extienden indifinidamente y no tocan el eje horizontal.
Depende de 2 parámetros: Su media () y su Desviación Estándar ().
CARACTERÍSTICAS DE LA DISTRIBUCION DE PROBABILIDAD
NORMAL
FÁTIMA PONCE 42
Las probabilidades correspondientes a la V.A. se dan mediante áreas bajo la curva normal. Toda el área bajo la curva de una distribución normal es 1. Como es simétrica, el área bajo la curva x a la izquierda de es 0.5 y el área bajo la curva x a la derecha es 0.5.
DISTRIBUCION DE PROBABILIDAD NORMAL
colacola=mediana= moda
x
50%50%
f(x)
Frec
uenc
ia d
e o
bser
vaci
ones
FÁTIMA PONCE 43
REGLA EMPÍRICA (Áreas bajo la curva normal)
Es el uso de la Normal en la inferencia estadística
-El 68.3% de todos los valores de una población normalmente distribuida se encuentran dentro de desde la media .
- El 95.5% de los valores estará a 2 desde la media ().
-El 99.7% de los valores estará a 3 desde la media ().
FÁTIMA PONCE 44
Hay tablas construidas para las situaciones diferentes a , 2, ó 3.
Las tablas indican porciones del área bajo la curva normal que están contenidas dentro de cualquier número de desviaciones estándar () a partir de la media.
REGLA EMPÍRICA(Áreas bajo la curva)
Para hallar la probabilidad de que una V.A. normal esté dentro de un determinado intervalo se calcula el área que se encuentra bajo la curva normal y sobre ese intervalo.
FÁTIMA PONCE 45
DISTRIBUCION DE PROBABILIDAD NORMAL ESTANDAR
Toda distribución normal puede convertirse en una Normal Estándar (Z): Restando la media () a cada observación y dividiendo luego entre la desviación estándar ():
Z N(0,1) Tiene media 0 (=0) y varianza 1 (=1).
El valor de Z es el número de desviaciones estándar () a las que una observación está por encima o por debajo de la media.
Estandarizar una distribución normal permite determinar más fácilmente la probabilidad de que ocurra cierto evento.
FÁTIMA PONCE 46
Distrib. Normal y Distrib. Normal Estándar
40 60 80 120 140 160100-3 -2 -1 +1 +2 +30
XZ
X tiene: = 100= 20
Z tiene:= 0= 1
z = x
FÁTIMA PONCE 47
En la pg AT1 de Levin y Rubin se tiene el área bajo la curva de distribución de probabilidad de la Z entre la media () y los valores positivos de z.
LA NORMAL ESTANDAR (Z)
= 0
Los 3 tipos de probabilidades que se necesitan calcular son: La P(z≤ valor dado) La P(a ≤ z≤ b) La P(z≥ valor dado)
FÁTIMA PONCE 49
EJERCICIO 1a
¿Cuál es la probabilidad de que un alumno seleccionado aleatoriamente realice una prueba entre 67 y 69 minutos?, sabiendo que esa prueba la resuelven con una media de 67 min. y una desviación estándar de 2 min.?
Sea X=duración de la prueba en minutos.¿Cuál es P(67≤ X ≤69),? = ¿Cuál es el área bajo la curva
que está entre 67 y 69 min.?. Hallar el valor de Z, sabiendo que Z = Xi –
Z= (69-67) / 2 = 1 y Z= (67-67) / 2 = 0 P(67≤ X ≤69) = P(0≤ Z ≤1)
Hallar el área en porcentajes (ver Tabla de la Z)
FÁTIMA PONCE 50
TABLA ZDa el área bajo la curva desde hasta algún valor por encima o por debajo de ésta.
0.3413
El 34.13% del área que está bajo la curva está entre 67 y 69.
Hay un 34.13% de probabilidad que un alumno seleccionado realice la prueba entre 67 y 69 minutos
FÁTIMA PONCE 51
EJERCICIO 1a
El 34.13% del área que está bajo la curva está entre 67 y 69.
Hay un 34.13% de probabilidad que un alumno seleccionado realice la prueba entre 67 y 69 minutos
X en minutos
P(X dure entre 67 y 69 minutos)= P(67≤ X ≤69)= P(Z dure entre 0 y 1)= P(0≤ Z ≤1)
=
FÁTIMA PONCE 52
EJERCICIO 1b
Dado que la distribución es simétrica, se sabe que en el área del lado derecho está el 50%,
1b. ¿Cuál es la probabilidad de que un alumno seleccionado realice la prueba en más de 69 minutos?
X en minutos
0.50por tanto el área de la cola será:
0.5-0.3413 = 0.1587
FÁTIMA PONCE 53
EJERCICIO 1c
Calculando:Z= (64.5-67)/2= -1.25 (ó 1.25) En tabla Z: Para Z=1.25 da
un área de 0.3944.
Z= (70.3-67) / 2 = 1.65En tabla Z: Para Z=1.65 da
un área de 0.4505
1c. ¿Cuál es la probabilidad que un alumno demore entre 64.5 y 70.3 minutos? = Área comprendida entre 64.5 y 70.3.
minutos
La probabilidad que un alumno seleccionado demore entre 64.5 y 70.3 minutos es 84.49%.
Por tanto: P(64.5 X 70.3)= P(-1.25 Z 1.65)= 0.3944+0.4505=0.8449
FÁTIMA PONCE 54
EJERCICIO 1d
La probabilidad que un alumno seleccionado demore entre 69.3 y 70.5 minutos es 8.5%.
Por tanto: P(69.3 X 70.5)=0.4599 - 0.3749=0.0850
minutos
Calculando:Z= (69.3-67)/2= 1.15 En tabla Z: Para Z=1.15 da
un área de 0.3749.
Z= (70.5-67)/2 = 1.75En tabla Z: Para Z=1.75 da
un área de 0.4599
1d. ¿Cuál es la probabilidad que un alumno demore entre 69.3 y 70.5 minutos? = Área comprendida entre 69.3 y 70.5.
FÁTIMA PONCE 55
EJERCICIO 1e1e. Para el 15% de quienes demoran más respondiendo el
examen, ¿Cuánto es el tiempo que les toma esta actividad?
Prob(Z>k) = 0.15
0.5-Prob(Z<k) = 0.35
X en minutos
0.150.35
X=?
k= 1.04
Por lo que:1.04 = (X-67)/2
X=1.04*2+67
X=69.08 min.
k=? Z
FÁTIMA PONCE 56
De acuerdo con las pruebas realizadas a los neumáticos producidos por una empresa, los ingenieros estiman que la duración media en kilómetros es = 36,500 km y que la desviación estándar = 5000, Además los datos recogidos indican que es razonable suponer una distribución normal.
¿Qué % de los neumáticos se espera duren más de 40,000 km? = P(x≥40000)
EJERCICIO 2
FÁTIMA PONCE 57
¿Qué % de los neumáticos se espera duren más de 40,000 km? = P(x≥40000)
EJERCICIO 2
X (kms) =36,500 40000
P(x≥40000) = ?
P(x≤ 40000) = 5000
Escala de X
Escala de Z0.7P(x≥40000) =
El 24.2% de los neumáticos durará más de 40,000 km.
P(z≥0.7) =
Ó 1- (0.5+0.2580) = 1 – 0.758 = 0.2420
(0.5-0.2580) = 0.2420
FÁTIMA PONCE 58
Empleando la Normal: comando es DISTR.NORM: DISTR.NORM(x,media, desv-estándar, acum)
EJERCICIO 2 EN EXCEL
= 0.7580
Por tanto P(x≥40000) = 1 - 0.7580 = 0.2420 El 24.2% de los neumáticos durará más de 40,000 km.
= DISTR.NORM(40000,36500,5000,VERDADERO)
O, empleando la Z: comando es
DISTR.NORM. ESTAND( Z )