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Matemática e suas Tecnologias - Matemática
Ensino Médio, 2° AnoSemelhança de triângulos
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Os triângulos e suas aplicações no cotidiano
Você já parou para imaginar como seria a nossa vida sem as formas triangulares?
? ? ? ? ?Já se perguntou sobre as utilidades delas para o
mundo do trabalho ou já observou, nos espaços que você frequenta, onde estas formas estão presentes?
MATEMÁTICA, 2º Ano do Ensino MédioSemelhança de triângulos
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O conhecimento sobre triângulos é fundamental para diversos ramos das ciências e o domínio de suas propriedades é elemento essencial para entender suas utilidades.
Como você pode notar, é comum encontrar vários exemplos práticos do cotidiano, no qual estas formas peculiares estão presentes.
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É fácil enxergar as formas triangulares a nossa volta. Veja:
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Imagem: Timeroot / GNU Free Documentation License
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Tipos de triângulos
É importante lembrar também que um triângulo pode ser classificado “simultaneamente”, de acordo com seus lados e ângulos.
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Quanto aos lados, os triângulos podem ser classificados em:
Triângulo equilátero:
Quando possui todos os lados congruentes, ou seja, iguais.
Um triângulo equilátero é também um triângulo equitângulo, ou seja, possui ângulos congruentes.
Observação:
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Triângulo isósceles:
Quando possui pelo menos dois lados de mesma medida e dois ângulos congruentes.
• O triângulo equilátero é também um caso especial de um triângulo isósceles, porque apresenta não somente dois, mas todos os três lados iguais, assim como os ângulos que medem todos 60º;
• num triângulo isósceles, o ângulo formado pelos lados congruentes é chamado ângulo do vértice. Os demais ângulos denominam-se ângulos da base e são congruentes.
Observações:
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Triângulo Escaleno:
Quando possui as medidas dos três lados diferentes.
Os ângulos internos de um triângulo escaleno também possuem medidas diferentes.
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É importante lembrar também que, quanto aos ângulos, os triângulos podem ser classificados em:
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Triângulo retângulo:
Triângulo retângulo é todo triângulo que tem um ângulo reto. O triângulo ABC é retângulo em A e seus elementos são:a: hipotenusab e c: catetosh: altura relativa a hipotenusam e n: projeções ortogonais dos catetos sobre a hipotenusa
Imagem: E2m / Domínio Público
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Triângulo obtusângulo:
Um triângulo obtusângulo possui um ângulo obtuso (maior que 90º) e dois ângulos agudos (menores que 90º).
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Imagem: E2m / GNU Free Documentation License
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Triângulo acutângulo:
Em um triângulo acutângulo, os três ângulos são agudos (formando 180°).
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Imagem: Darsie / GNU Free Documentation License
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Congruência e semelhançaObserve as figuras abaixo: Fig.A Fig.B
As figuras acima são congruentes, pois possuem mesma forma e lados correspondentes com medidas iguais, o que leva a deduzir que os ângulos correspondentes também possuem medidas iguais.
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4,5m 6,2m
6m
4,5m 6,2m
6m
Y
α
β
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Agora observe as seguintes figuras:Fig. A Fig. B
Note que os lados correspondentes dos triângulos A e B são proporcionais, pois as razões entre as medidas dos mesmos são iguais, ou seja:
13,5 = 3 18 = 3 18,6 = 3 4,5 6 6,2
Concluímos, então, que as figuras A e B são semelhantes, pois seus ângulos correspondes possuem medidas iguais e todos os seus lados são proporcionais.
MATEMÁTICA, 2º Ano do Ensino MédioSemelhança de triângulos
13,5m 18,6m
18m
Y
α
β
4,5m 6,2m
6m
Y
α
β
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Como reconhecer triângulos semelhantes?
Para saber se dois triângulos são semelhantes, basta observar se eles obedecem a um dos seguintes casos:
MATEMÁTICA, 2º Ano do Ensino MédioSemelhança de triângulos
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1º CASO: ÂNGULO/ÂNGULO
“Dois triângulos são semelhantes quando dois ângulos que se
correspondem são respectivamente congruentes.”
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A C
B
R
Q
P
^ ^
^ ^ABC ~ PQR
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2º CASO: LADO/ÂNGULO/LADO
“Dois triângulos são semelhantes quando dois lados que se correspondem são proporcionais e quando os ângulos
determinados por estes lados são congruentes.”
MATEMÁTICA, 2º Ano do Ensino MédioSemelhança de triângulos
A C
B
R
Q
P
^ ^
ABC ~ PQR
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3º CASO: Relação LADO/LADO/LADO
“Dois triângulos são semelhantes quando os três lados que se
correspondem são proporcionais.”
MATEMÁTICA, 2º Ano do Ensino MédioSemelhança de triângulos
ABC ~ PQRA
C
B
R
Q
P
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Teorema de Tales:Cortando-se um feixe de retas paralelas por duas retas transversais, os segmentos determinados sobre uma transversal são proporcionais aos correspondentes determinados sobre a outra.
Observe a situação abaixo: Analisando a figura ao lado pelo teorema mencionado acima, conclui-se que:
Ou também que:
MATEMÁTICA, 2º Ano do Ensino MédioSemelhança de triângulos
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Desafio:
As redes de água e esgoto da Rua do Funil, na cidade de Tacaratu/PE, estão distribuídas conforme mostra a figura abaixo:
Se as linhas azuis (transversais) representam passarelas para pedestres, paralelas entre si, e as linhas pontilhadas representam as tubulações de esgoto e água,respectivamente, qual das duas redes é a maior?
MATEMÁTICA, 2º Ano do Ensino MédioSemelhança de triângulos
Início da rua
Fim da rua
Calçada200m
250m
300m
x
Calçada
Esgoto/Água
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Pelo Teorema de Tales, deduzimos que:
A rede de água mede 500 metros, pois:
200 + 300 = 500
Já a rede de esgoto mede 625 metros, porque:
250 + 375 = 625
200 = 250300 X
200 . X = 300 . 250
200 X = 75.000
X = 75.000 200X = 375 metros
Resposta: a rede de esgoto, pois, mede 125 metros a mais que a rede de água.
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Segmentos proporcionais determinados num triângulo
1º Caso: Uma reta paralela a um dos lados de um triângulo, de modo que intercepte os outros dois lados em pontos distintos, determina, nesses dois lados, segmentos proporcionais.
Sendo assim:
MATEMÁTICA, 2º Ano do Ensino MédioSemelhança de triângulos
A
B
C
P Q
r
r//AC BP, PA, BQ E QC são proporcionais.
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2º Caso: a bissetriz de um ângulo interno de um triângulo determina, no lado oposto a este ângulo, dois segmentos proporcionais aos outros dois lados deste triângulo.
Desta forma:
MATEMÁTICA, 2º Ano do Ensino MédioSemelhança de triângulos
BD é bissetriz AD, DC, AB E BC são proporcionais.x x
A
B
CD
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Vamos ver como estas propriedades funcionam:
MATEMÁTICA, 2º Ano do Ensino MédioSemelhança de triângulos
A
B
C
P Q
r
3cm
9cm
12cm
x
Solução:
1°) Sabendo que no triângulo abaixo r//AC, calcule o valor de X.
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MATEMÁTICA, 2º Ano do Ensino MédioSemelhança de triângulos
A
B
CD
5cm 6cm
3cm X
Solução:
2°) Sabendo que BD é bissetriz do ângulo B do triângulo abaixo, determine a medida do segmento DC
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Relações métricas no triângulo retângulo:
MATEMÁTICA, 2º Ano do Ensino MédioSemelhança de triângulos
Imagem: E2m / Domínio Público
a2 = b2 + c2
b2 = ma
c2 = na
h2 = mn
ah = bc
a = m + n
Em um triângulo qualquer:
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Note que, do triângulo anterior, derivam dois outros triângulos que determinam as relações métricas:
MATEMÁTICA, 2º Ano do Ensino MédioSemelhança de triângulos
Sendo assim, por semelhança de triângulos, temos:
Teorema de Pitágoras:
ch
nm
hbc
n m
hb
A
BC D
A’ A’’
B C C Da
b2 = ma
c2 = na
h2 = mn
ah = bca2 = b2 + c2
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Conhecendo apenas duas medidas no triângulo retângulo, é possível descobrir as outras quatro aplicando as relações métricas vistas anteriormente. Veja:
Exemplo:
Use as relações métricas do triângulo retângulo para encontrar as medidas desconhecidas da figura abaixo:
Note que todas as medidas desconhecidas foram encontradas por meio das relações métricas demonstradas anteriormente.
MATEMÁTICA, 2º Ano do Ensino MédioSemelhança de triângulos
c
n 9,6m
h12m
BC D a
A
c2 = na
c2 = 15.5,4
c2 = 81
c2 = 9m
h2 = mn
h2 = 9,6.5.4
h2 = 7,2n
b2 = ma
122 = 9,6a
a = 144/9,6
a = 15m
a = m + n
15 = 9,6 + n
n = 19 - 9,6
n = 5,4m
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Agora use o que você aprendeu para resolver os seguintes desafios:
MATEMÁTICA, 2º Ano do Ensino MédioSemelhança de triângulos
1º) Um prédio projeta uma sombra de 41,25m de comprimento no mesmo instante em que Juliana, que tem 1,8m de altura, projeta uma sombra de 6,75m. Qual é a altura do prédio?
2º)Uma determinada firma imobiliária resolveu lotear um terreno em 4 outros menores com duas frentes: uma para a rua 1 e outra para rua 2, como mostra a figura abaixo. Sabendo-se que as divisões laterais são perpendiculares à rua 1 e que a frente total para a rua 2 é de 480m, qual a medida da frente de cada lote, para a rua 2, respectivamente?
a) 40m; 80m; 120m; 160mb) 45m; 85m; 125m; 165mc) 48m; 96m; 144m; 192md) 55m; 95m; 135m; 175me) 60m; 100m; 140m; 180m
120m90m60m30m
Rua 1
Rua 2
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MATEMÁTICA, 2º Ano do Ensino MédioSemelhança de triângulos
.
8
6
x
y
3º) (UFR-RJ) Pedro está construindo uma fogueira representada pela figura abaixo. Ele sabe que a soma de x com y é 42 e que as retas r, s e t são paralelas.A diferença de x- y é:A) 2 B) 4 C) 6 D) 10 E) 12
r
s
t
4º) Na figura a seguir, AB || CD então x e y valem, respectivamente:
a)25cm e 13 cmb)4/3 e 16/3c)20 cm e 12 cmd)40cm e 24 cme)40 cm e 28 cm
F
DC
X AB
32 cm24 cm
18 cm y
70 cm
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SOLUÇÕES DOS DESAFIOS:
1º) solução:
Utilizando Hp para indicar a altura do prédio, Sp para indicar a sombra projetada pelo prédio, Hj para a altura de Juliana e Sj para indicar a sombra projetada pela mesma, temos:
Lembre-se de que os raio de sol se propagam na Terra por linhas paralelas, o que faz com que a altura do prédio seja proporcional à sua sombra, assim como a Altura de Juliana é proporcional à sombra projetada pela mesma.
Sendo assim, conclui-se que a altura do prédio é de 11 metros.
MATEMÁTICA, 2º Ano do Ensino MédioSemelhança de triângulos
Sp = 41,25mHp = xHj = 1,8mSj = 6,75m
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2º) solução:
Portanto, a alternativa correta é a letra C.
MATEMÁTICA, 2º Ano do Ensino MédioSemelhança de triângulos
120m90m60m30m
Rua 1
Rua 2
x
y
z
w
Marcando as medidas a seremconhecidas
Note que o comprimento da rua 1Na figura é R1=30+60+90+120 R1 = 300m
Aplicando o Teorema de Tales:
Pela proporção, conclui-se que:y= 2x = 96m z = 3x = 144m e w = 4x = 192m
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3º) solução:
Alternativa C.
MATEMÁTICA, 2º Ano do Ensino MédioSemelhança de triângulos
8
6
x
y
Se temos x+y = 42 e 8+16 = 14, Aplicando o Teorema de Tales teremos:
r
s
t
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4º) solução:
Portanto, a alternativa correta é a letra D.
MATEMÁTICA, 2º Ano do Ensino MédioSemelhança de triângulos
F
DC
X AB
32 cm24 cm
18 cm y
70 cm
Note que que na figura os triângulos ABF eCDF são semelhantes e que FC = 42 cm,Desta forma:
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EXERCÍCIOS COMPLEMENTARES1º) Calcule o valor de cada uma das variáveis dos casos de
semelhança de triângulos propostos a seguir:
MATEMÁTICA, 2º Ano do Ensino MédioSemelhança de triângulos
3cm 4cm
5cm
6cm
X
Y
![Page 36: MMatemática 2º Ano Ι Médio-Semelhança de Triângulos](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022062308/563db81c550346aa9a90a705/html5/thumbnails/36.jpg)
Os triângulos anteriores podem ser definidos como semelhantes a partir da relação: ÂNGULO/ ÂNGULO
MATEMÁTICA, 2º Ano do Ensino MédioSemelhança de triângulos
![Page 37: MMatemática 2º Ano Ι Médio-Semelhança de Triângulos](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022062308/563db81c550346aa9a90a705/html5/thumbnails/37.jpg)
MATEMÁTICA, 2º Ano do Ensino MédioSemelhança de triângulos
5
X
12
Y
9
3B)
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MATEMÁTICA, 2º Ano do Ensino MédioSemelhança de triângulos
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Como você pôde notar, há várias situações- -problema do cotidiano que podem ser resolvidas a partir do conhecimento de algumas propriedades dos triângulos.
Agora que você já está “fera” nesse assunto, é hora de pesquisar nos livros outros exercícios para treinar o aprendeu e se dar bem no vestibular.
Mantenha o foco nos estudos e boa sorte!
MATEMÁTICA, 2º Ano do Ensino MédioSemelhança de triângulos
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Tabela de Imagensn° do slide
direito da imagem como está ao lado da foto
link do site onde se consegiu a informação Data do Acesso
3a Ottre / Domínio Público http://commons.wikimedia.org/wiki/
File:Vietnamese_wooden_ceiling.jpg17/09/2012
3b John Fielding / Creative Commons Attribution-Share Alike 2.0 Generic
http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Ramps_in_the_Skate_Park_Penistone_-_geograph.org.uk_-_482429.jpg
17/09/2012
3c 1sttimeright / GNU Free Documentation License
http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Billiard_Rack.jpg
17/09/2012
4a Timeroot / GNU Free Documentation License
http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Triangular_cupola_net.PNG
17/09/2012
4b Werewombat / GNU Free Documentation License
http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Multnomah_Falls_Lodge_triangular_window_-_Oregon.jpg
17/09/2012
4c Sh Sharayan / Walters Art Museum / GNU Free Documentation License
http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Sh_Sharayan_-_Triangular_Pendant_from_a_Woman%3Fs_Headpiece_-_Walters_572314_-_Back_Detail_A.jpg
17/09/2012
5a Erik Christensen / GNU Free Documentation License
http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Nor%C3%B0rag%C3%B8ta,_Faroe_Islands_(3).JPG
17/09/2012
5b Qurren / GNU Free Documentation License http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Joetsu_Karyoku_powerline_tower_construction.jpg
17/09/2012
5c Matteo / Creative Commons Attribution 2.0 Generic
http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Woman_with_wheelbarrow.jpg
17/09/2012
![Page 41: MMatemática 2º Ano Ι Médio-Semelhança de Triângulos](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022062308/563db81c550346aa9a90a705/html5/thumbnails/41.jpg)
Tabela de Imagensn° do slide
direito da imagem como está ao lado da foto
link do site onde se consegiu a informação Data do Acesso
7 Img / GNU Free Documentation License http://pt.wikipedia.org/wiki/Ficheiro:Triangolo-
Equilatero.png17/09/2012
8 Darsie / GNU Free Documentation License http://pt.wikipedia.org/wiki/Ficheiro:Triangle.Isosceles.png
17/09/2012
9 Img / GNU Free Documentation License http://pt.wikipedia.org/wiki/Ficheiro:Triangolo-Scaleno.png
17/09/2012
10 E2m / Domínio Público http://pt.wikipedia.org/wiki/Ficheiro:Tri%C3%A2ngulo_ret%C3%A2ngulo.svg
17/09/2012
11 E2m / GNU Free Documentation License http://pt.wikipedia.org/wiki/Ficheiro:Triangolo-Ottuso.png
17/09/2012
12 Darsie / GNU Free Documentation License http://pt.wikipedia.org/wiki/Ficheiro:Triangle.Acute.png
17/09/2012
26 E2m / Domínio Público http://pt.wikipedia.org/wiki/Ficheiro:Tri%C3%A2ngulo_ret%C3%A2ngulo.svg
18/09/2012