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Modélisation géométrique de la cornée
Sébastien RICHARD
Juin 2001
Equipe LXAO
sous la direction de Rémy Bulot
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Introduction
Correction des anomalies de la vision : incisions radiaires, laser ...
L'intervention sur la forme de la cornée est une opération classique (75% de la puissance dioptrique de l'œil)
Nécessité d'une connaissance précise des caractéristiques de l'œil du patient
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Défauts de vision
Amétropies Amétropies
myopie, hypermétropie, astigmatie, kératocône
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Appareils de mesure
• échographie
• scanner
• IRM
• IRMF
• vidéokératographe
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Le vidéokératographe
• mire composée de 8 anneaux lumineux concentriques
• caméra (capture d'image)
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Principe
La cornée du patient se comporte comme un miroir convexe et réfléchit les rayons lumineux issus de la mire.
Etude qualitative des anomalies de surface antérieure de la cornée d’après la distorsion d’une mire réfléchie
rayon lumineux
mire lumineuse sur un cône
capteur ccd
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Image acquise par un vidéokératographe
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Principe de mesure
1 : Reconnaissance des contours de la mire (2D)1 : Reconnaissance des contours de la mire (2D)
2 : Reconstruction en 3D de la surface à partir des contours 2 : Reconstruction en 3D de la surface à partir des contours
Des algorithmes existent dans le vidéokératographe, mais :
• trop simplistes
• trop restrictifs
modélisation peu fiable
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Contours détectés par le vidéokératographe
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Reconstruction 3D par le vidéokératographe
ProblèmeProblème
Perte d'information lors de l'acquisition 2D
Connaissance à prioriConnaissance à priori
Hypothèses du vidéokératographe : symétrie cylindrique*, …
(* non valide sur le kératocône !)
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Nouvelle méthode de mesure
• reconnaissance de contours dans une reconnaissance de contours dans une image en niveau de gris :image en niveau de gris :
thèse soutenue en 1998 par M. Caprioglio
• reconstruction 3D de la cornée à partir reconstruction 3D de la cornée à partir des contoursdes contours
basée sur les modèles déformables
thèse en cours …
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Modèles déformables
Forme qui respecte un modèle géométriquemodèle géométrique S(v) prédéfini :
"ossature" avec des paramètres (degrés de libertédegrés de liberté)
Forme avec une capacité de réaction :
propriétés intrinsèques physiques et/ou fonctionnelles (énergie interneénergie interne)
Forme immergée dans un milieu :
interaction du modèle avec le milieu (énergie externeénergie externe)
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Modèles déformables
L'énergie interne quantifie les contraintes appliquées au modèle géométrique
L'énergie externe quantifie la "distance" aux données (les attracteurs)
Energie totale (S(v))Energie totale (S(v)) = Energie interne(S(v)) + Energie externe(S(v))
AjusterAjuster un modèle déformable : minimiser l'énergie totale
Etotale(S(v)) = Finterne(S(v)) + Fexterne(S(v)) = 0
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Modèles déformables
Résultat dépendant :Résultat dépendant :
• du modèle (géométrique, physique …) choisi
• du modèle d'interaction avec le milieu
• des données
• des conditions initiales (forme, position …)
Energie totale
minimum local
minimum local
minimum local
?
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Méthodologie
Analyse ascendanteAnalyse ascendante
• reconnaissance des contours
• définition d'un modèle
• lancer de rayon inverse pour ajuster
modèle qualitatifmodèle qualitatif de cornée :
Avantage : calculé sur des résultats intermédiaires fiables (contours dans l'image)
Inconvénient : incertitude introduite par l'approximation faite dans la détection des contours
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Méthodologie
Analyse descendante (méthode originale)Analyse descendante (méthode originale)
Ajustement fin sur les données initiales (image en niveau de gris) avec contraintes physiques : élasticité, raideur ...
Image initiale But : éliminer les incertitudes introduites par les étapes intermédiaires
modèle quantitatifmodèle quantitatif de cornée
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Modèle de cornée
B-splines bicubiques uniformesB-splines bicubiques uniformes
classe spéciale de B-splines, à la fois utiles et faciles à manier
Propriétés particulières :
• déformation locale par déplacement d'un point de contrôle
• possibilité de continuité d'ordre 2 à la jonction des carreaux
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B-splines bicubiques uniformes
Nous utiliserons une représentation paramétrique afin de faciliter le calcul des points appartenant à la surface et de permettre aisément le déplacement d'un point courant le long de la surface
m
i
n
jnm,ji
jn
im vRuRu ,v
0 0
ΟQ OM
iniin
in ttCtR 1
Riesenfeld de Polynômes
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B-splines classiques
Maillage "rectangulaire"
Avantage : pas de point singulierpas de point singulier
Inconvénient : maillage finmaillage fin (un carreau intersecte au plus un contour)
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B-splines cylindriques
Avantage : maillage plus grosmaillage plus gros (pavage "calque" l'échantillonnage induit par la forme de la mire)
Inconvénient : point singulier au sommet de la cornéepoint singulier au sommet de la cornée
Calcul d'un point de la surface paramétrique à partir des points de contrôle exprimés en coordonnées cylindriques (, , z)
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B-splines cylindriques
espace cartésien
espace cylindrique
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Simulation par lancer de rayon inverse
PrincipePrincipe
1 : l'image est le point de départ
2 : calcul de l'intersection avec le modèle géométrique
3 : calcul de l'intersection avec la mire
contours d’une mire virtuellecontours détectés
diaphragme1
3
2
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Intersection avec le modèle géométrique
Principe Principe
pour chaque rayon issu d'un pixel
recherche d'un carreau candidat
M S M' (rayon P) minimiser d(MM')
Méthode de NewtonMéthode de Newton
),(.),(.),(' iiviiuii vuv
OMvu
u
OMvuMM
),(),( 11 viuiii vuvu
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Carreau candidat
IdéeIdée
Un carreau de surface est contenu dans l'enveloppe convexe de ses seize points de contrôle
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Ajustement (1/2)
Ajustement du modèle sur les contours détec
contours d’une mire virtuellecontours détectés
} erreur
diaphragme
Ajustement du modèle sur les contours détectés (résultat intermédiaire) par lancer de rayon inverse
modèle qualitatifmodèle qualitatif
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Ajustement (2/2)
Minimisation d'un critère d'énergieMinimisation d'un critère d'énergie
e=0
pour j variant de 1 à nbContours
pour i variant de 1 à nj
eij = dist(Ci
j, Kj)
e += eij
Pij : ie point du contour j de l'image
Kj : contour j de la mire
nj : nombre de points du contour j
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Ajustement - Mise en évidence de l’intérêt d’une représentation cylindrique
IdéeIdée
Chaque contour de l'image est associé à une bande de carreaux du modèle
PrincipePrincipe
L'ajustement se fait contour par contour : la déformation du modèle se fait à partir des points de contrôle associés à la bande de carreaux concernée en fonction de l'évaluation de l'erreur
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Juin 2001 Sébastien Richard - Equipe LXAO 28
Continuité surfacique
Continuité paramétriqueContinuité paramétrique
• liée à la paramétrisation et ne donne pas forcément une information intéressante quant à la forme de la courbe
• une même courbe possède une infinité de paramétrisation dont les continuités peuvent aller de C0 à C
Continuité géométriqueContinuité géométrique
• information précise quant à la forme, (une courbe G1 continue apparaît "douce" visuellement)
• l'abscisse curviligne ne se définit pas de manière simple pour une courbe quelconque et les dérivées sont de ce fait encore plus complexes à calculer
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Juin 2001 Sébastien Richard - Equipe LXAO 29
Continuité géométrique
DéfinitionDéfinition
Le raccordement de deux surfaces contigus est dit G1 continu si et seulement si la continuité C0 est vérifiée et si les plans tangents aux deux surfaces sont définis continus et se confondent en tous points du bord commun
Problème au sommetProblème au sommet
Contraintes fortes (symétrie au niveau du sommet)
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Juin 2001 Sébastien Richard - Equipe LXAO 30
Travaux en cours
• Modèle physique (contraintes "réalistes" compensent perte d'info 2D)
• Ajustement du modèle cartésien
• Ajustement du modèle cylindrique
• Comparaison des résultats
• Ajustement fin dans l'image en niveau de gris
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Juin 2001 Sébastien Richard - Equipe LXAO 31
Perspectives
• Intégration dans un modèle complet de l'œil (sources multiples d'info : vidéokératographie, ultrasons, lampes à fentes …)
• Réalité virtuelle (simuler ce que le patient voit, les actes chirurgicaux …)