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Page 1: Modélisation tridimensionnelle des écoulements diphasiques C. Morel, DER/SSTH

Modélisation tridimensionnelle des écoulements diphasiques

C. Morel, DER/SSTH

Page 2: Modélisation tridimensionnelle des écoulements diphasiques C. Morel, DER/SSTH

Plan de l’exposé

• Partie I: Etablissement des équations de bilans: masse, quantité de mouvement, enthalpie totale (Eqs. primaires)

• Partie II: Présentation des principales relations de fermetures

• Partie III: Equations de bilans supplémentaires: exemple de l’énergie cinétique turbulente et de l’aire interfaciale volumique en écoulement à bulles.

• Partie IV: Illustrations et références

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PARTIE I

ETABLISSEMENT DES EQUATIONS DE BILANS PRIMAIRES:

• Masse

• Quantité de mouvement

• Enthalpie totale

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Les équations locales et instantanées pour la phase k (1)

• Masse:

• Quantité de mouvement:

• Enthalpie totale:

G,Lk0v.t kkk

G,Lk.gpvv.t

vkkkkkk

kk

G,LkQv.q.

v.gt

pv

2

vh.

2

vh

t

kkkkk

kkk

k

2k

kk

2k

kk

Page 5: Modélisation tridimensionnelle des écoulements diphasiques C. Morel, DER/SSTH

Les équations locales et instantanées pour la phase k (2)

• Pour un fluide de Stokes et de Fourier:

• Loi d’état pour chaque phase:

• Qk et g sont des données du problème

kkkk

kkkk

h,pTT

h,p

kkk

kT

kkkk

k

Tq

vvIv.3

2

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Opérateur de moyenne et règles de Reynolds

• Statistique (opérateur le plus général)

• Temporel (écoulement stationnaire en moyenne)

• Spatial (écoulement homogène en moyenne)

• Linéarité de l’opérateur de moyenne

• Idempotence de l’opérateur <<F>> = <F>

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Utilisation des distributions

• Traitement des discontinuités aux interfaces

• Fonction Indicatrice de Phase (FIP):

• Equations vérifiées par la FIP:

contrairecasledans0

tttanins'làkphaseladansestxsi1t,xk

Ikk

kk

n

0.wt

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Extension des équations locales-instantanées au diphasique

• Les dérivées de k ne sont non nulles qu’au sens des distributions, et on a:

• Exemple: bilan de masse: k = k

Ikkkkk

kkkk

k

Ikkkkkkkkkk

n.wtttt

n

IkI

m

kkkkkkkk mˆn.wvv.

tk

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Quantité de mouvement et enthalpie

• Quantité de mouvement:

• Enthalpie totale Hk = hk + vk.vk/2:

Ikkkkkk

kkkkkkkkkkkkk

n.npvm

.gpvv.t

v

IkkkIkkIkkkkkkkk

kkkk

kkkkkkkkkk

n.v.n.qHmg.vQ

v..t

pq.vH.

t

H

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Opérateur de moyenne (1)

• < > = opérateur de moyenne d’ensemble

• Moyenne phasique:

• Taux de présence phase k:

• Moyenne de Favre:

k

kk

kk ˆt,x

kk ˆt,x

kk

kkk

kk

kkkk ˆt,x

Page 11: Modélisation tridimensionnelle des écoulements diphasiques C. Morel, DER/SSTH

Opérateur de moyenne (2)

• Moyenne aux interfaces:

• Aire interfaciale volumique:• Moyenne aux interfaces pondérée par le

changement de phase:

• Taux de production de masse:

I

kI

Ik aˆt,x

II ˆt,xa

Ikk mˆ

k

IkkI

Ik

Ikkk

ma

m

mˆt,x

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Equations moyennées

• Masse:

• Quantité de mouvement:

kkkkkkkk V.

t

ynoldsRedetenseur:VVvvˆ

mouvementdequantitéde

erfacialinttransfert:n.npvmˆM

M.gp

VV.t

V

kkkkkkkkT

k

Ikkkkkkk

kT

kkkkkkkkkk

kkkkkkkkk

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Décomposition du transfert de quantité de mouvement

• Cas d’un écoulement à bulles:

turbulentedispersionM

)lift(cetanporM

ajoutéemasseM

trainéeMM

reculdeforceVM

MpMM

TDk

Lk

Ak

Dkk

kkk

kkIkkk

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Quantité de mouvement: forme non conservative

• En soustrayant Vk*bilan masse:

...)ajoutéemasse,trainée(forcesautresM

reculdeforceVV

)stratifiéssécoulement(pressiondeécartpp

turbulenteetemoléculairdiffusion.

gravitéetpressiongradientgp

kphasemoyenneonaccélératiDt

VD

k

kkk

kkkIk

T

kkkk

kkkkkk

kkkkk

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Forme simplifiée dans code NEPTUNE_CFD

• Hypothèse simplificatrices: et

pression unique: d’où:kk VV

PppkkIk

...)ajoutéemasse,trainée(forcesautresM

turbulenteetemoléculairdiffusion.

gravitéetpressiongradientgP

kphasemoyenneonaccélératiDt

VD

k

T

kkkk

kkkk

kkkkk

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Bilan moyen d’enthalpie totale

• Hk: enthalpie totale moyenne

tpn.v.n.qHmˆE

Eg.VQ

v..t

pqq.

VH.t

H

kkIkkkIkkIkkk

kkkkkkkkk

kkkkkkkT

kkkk

kkkkkkkkk

Page 17: Modélisation tridimensionnelle des écoulements diphasiques C. Morel, DER/SSTH

Décomposition du transfert d’enthalpie totale

négligéstermest

Ppn.v.

moyennepressionentermet

P

erfaceintkphasechaleurdetransfertaq

phasechangementassociéenthalpie'dtransfertHˆE

kkIkkk

k

Iki

kkk

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Enthalpie totale: forme non conservative

chaleuretmasseerfacialinttransfertaqHH

)gravité,chaleur(cetandisàsourcesg.VQ

itécosvisdeetpressiondetermesv..t

P

turbulenteetemoléculairdiffusionqq.

totaleenthalpie'diationvarDt

HD

Ikikkk

kkkkkkkk

kkkkk

T

kkkk

kkkkk

Page 19: Modélisation tridimensionnelle des écoulements diphasiques C. Morel, DER/SSTH

Forme simplifiée dans code NEPTUNE_CFD

chaleuretmasseerfacialinttransfertaqHH

)chauffanteparoi.g.e,chaleur(cetandisàsourceQ

pressiondetermest

P

turbulenteetemoléculairdiffusionqq.

totaleenthalpie'diationvarDt

HD

Ikikkk

kkkk

k

T

kkkk

kkkkk

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PARTIE II

PRESENTATION DES PRINCIPALES RELATIONS DE FERMETURES:

• Transferts interfaciaux de masse et de chaleur

• Transfert interfacial de quantité de mouvement

• Transferts turbulents

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Transferts interfaciaux de masse et de chaleur

• Forme simplifiée du bilan interfacial d’enthalpie (Ishii, 1975; Ishii & Hibiki, 2005):

• Densité de flux de chaleur:

12

2,1kIki

122,1k

Ikikk HH

aq

0aqH

)ddiamètrebulles.g.e(PTTd

Nuq satk

kkki

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Transferts interfaciaux de quantité de mouvement

• Ecoulement à bulles (diamètre d):

• Trainée:

• Masse ajoutée:

• Portance (lift):

• Dispersion turbulente:

LGLGDLiDL

DG VVVVCa

8

1MM

Dt

VD

Dt

VD

1

21CMM LLGG

LAAL

AG

LLGLLLL

LG VVVCMM

LLTDTDL

TDG KCMM

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Transferts turbulents

• Tenseur de Reynolds (e.g. phase liquide):

• Viscosité turbulente:

• 2 inconnues à fermer: KL et L

)V.K(I3

2)VV( L

TLLLLL

TL

TLL

T

L

L

2LT

L

KC

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Partie III: Equations de bilans supplémentaires

• Moyenne d’un scalaire passif (scalaire convecté et diffusé par l’écoulement)

• Quantités turbulentes liées à l’écoulement (tensions de Reynolds, énergie cinétique turbulente…) ou au scalaire passif (variance et flux turbulent du scalaire passif)

• Quantités géométriques (e.g. aire interfaciale volumique aI, nombre volumique moyen de bulles…)

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Méthodes de dérivation des équations

• A partir des équations de bilans primaires (masse, quantité de mouvement, énergie) en gardant le même formalisme général (particulièrement difficile pour les grandeurs géométriques)

• Pour les écoulements DISPERSES, utilisation d’un formalisme particulaire introduisant une fonction de distribution des particules fluides: en taille, en vitesse…

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Exemple 1 (méthode 1): Energie Cinétique Turbulente (ECT)

• Intérêt: l’ECT est une des 2 variables principales du modèle K- permettant de fermer la viscosité turbulente.

• Définition: L’ECT est la différence entre la moyenne de l’énergie cinétique du mouvement total (local et instantané) et de l’énergie cinétique du mouvement moyen:

2

V

2

vˆK

2L

L

2L

L

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Eq. pour l’ECT (2)

• On suppose que le liquide (phase considérée) est incompressible et indilatable (L = cte).

• La méthode de dérivation suit celle employée en monophasique, et découle directement de la définition de la grandeur (ici KL) et des propriétés de l’opérateur de moyenne.

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Eq. pour l’ECT (3)

VI

I

2L

L

V

ILLLILLLL

IV

LLLLL

III

LLLL

L

L

L

2L

LLLLLLLLL

LLLLL

2

vmn.v.n.vp

1

V:vvv:

IIv2

vv.vp.

1

IVK.t

K

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Eq. pour l’ECT (4)

• I: transport par vitesse moyenne• II: diffusion turbulente• III: dissipation visqueuse• IV: production par le gradient de vitesse

moyenne• V: production/destruction interfaciale• VI: transfert d’ECT par changement de

phase

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Fermeture de l’Eq. d’ECT (1)

• I et IV ne nécessitent aucune modélisation supplémentaire

• III sera donnée par son équation (Eq. d’L)

• II: les 3 termes sont modélisés collectivement par une loi gradient:

LK

TL

L

L

L

2L

LLLLLLL Kv2

vv.vp

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Fermeture de l’Eq. d’ECT (2)

• VI est généralement supposé égal à LKL, et disparaît en mettant l’Eq. sous forme non conservative.

• V: terme difficile (production ou destruction de turbulence liquide par les interfaces).

Modèle simple en bulles (e.g. Lance, 1984): LGDG

LILLLILLL

L

VV.M1

n.v.n.vp1

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Eq. d’ECT fermée

LLLGDG

LLLLLLLL

LK

TL

LL

LLLLL

KVV.M1

V:vv

K.1

VK.t

K

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Equations de bilans géométriques

• Hypothèse d’écoulement à bulles sphériques (diamètre d)

• Introduction d’une fonction de distribution: f(d;x,t) telle que f(d;x,t)d = nombre volumique de bulles de diamètre compris entre d et d + d en (x,t)

• f(d;x,t) vérifie l’équation de Liouville-Bolzmann:

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Equation de Liouville-Bolzmann

• Variation du diamètre (bilan masse d’une bulle):

breakup/ecoalescencG fDt

Ddf

dvf.

t

f

oncondensati/névaporatio

G

G

gazdutédilatabili/ilitécompressib

GGG

G

m2.v

t3

d

Dt

Dd

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Exemple du nombre volumique

• Définition du nombre volumique de bulles:

• Equation de bilan pour n:

• avec les définitions:

dt,x;dfˆt,xn0

breakup/ecoalescencnG nvn.t

n

dt,x;dft,x;dvn

1ˆvetdfˆn

0 GnG0 breakup/ecoalescencbreakup/ecoalescenc

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Aire interfaciale volumique

• Définition de l’aire interfaciale volumique:

• Equation de bilan pour aI:

• avec les définitions:

dt,x;dfdˆa 2I

breakup/ecoalescencI

oncondensati/névaporatio

GG

gazdutédilatabili/ilitécompressib

GIGG

G

IIGI

I adfmd4

.vt3

a2va.

t

a

dt,x;dft,x;dvda

1ˆv

dfdˆa

G2

IIG

breakup/ecoalescenc2

breakup/ecoalescencI

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Sur les équations du modèle à deux fluides

• Ishii M., 1975, Thermo-fluid dynamic theory of two-phase flow, Eyrolles, Paris.

• Ishii M., Hibiki T., 2006, Thermo-fluid dynamics of two-phase flow, Ed. Springer.

• Oesterlé B., 2006, Ecoulements multiphasiques, Ed. Hermès, Lavoisier. • Drew D.A., Passman S.L., 1999, Theory of Multicomponent Fluids, Applied

mathematical sciences 135, Ed. Springer. • Ishii M., 1990, Two-fluid model for two-phase flow. Multiphase Science and

Technology, Hewitt G.F., Delhaye J.M., Zuber N. Eds., Vol. 5, pp. 1-58. • Kataoka I., 1986, Local instant formulation of two-phase flow, Int. J.

Multiphase Flow, Vol. 12, No. 5, pp. 745-758. • Kolev, N.I., 2002a, Multiphase Flow Dynamics 1: Fundamentals, Ed.

Springer.• Nigmatulin R.I., 1991, Dynamics of multiphase media, Vol. 1, Hemisphere

Publishing Corporation, New-York, Washington, Philadelphia, London.

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Sur la turbulence diphasique

• Kataoka I., Serizawa A., 1989, Basic equations of turbulence in gas-liquid two-phase flow, Int. J. Multiphase Flow Vol. 15, No. 5, pp. 843-855.

• Lance M., Bataille J., 1991, Turbulence in the liquid phase of a uniform bubbly air/water flow, J. Fluid Mech., Vol. 222, pp. 95-118.

• Lance M., Marié J.L., Bataille J., 1984, Modélisation de la turbulence de la phase liquide dans un écoulement à bulles, La Houille Blanche, No. ¾.

• Lance M., Marié J.L., Bataille J., 1991, Homogeneous turbulence in bubbly flows, J. Fluids Engineering, Vol. 113, pp. 295-300.

• Lance M. & Lopez de Bertodano M., 1994, Phase distribution phenomena and wall effects in bubbly two-phase flows, Multiphase Science and Technology, Vol. 8, Hewitt G.F., Kim J.H., Lahey R.T.Jr., Delhaye J.M. & Zuber N., Eds, Begell House, pp. 69-123.

• Lopez de Bertodano M., Lahey R.T., Jones O.C., 1994, Phase distribution in bubbly two-phase flow in vertical ducts, Int. J. Multiphase Flow Vol. 20, No 5, pp 805-818.

• Lopez de Bertodano M., Lahey R.T.Jr., Jones O.C., 1994, Development of a K- model for bubbly two-phase flow, Transactions of the ASME, J. of Fluids Eng., Vol. 116, pp. 128-134.

• Morel C., 1995, An order of magnitude analysis of the two-phase K- model, Int. J. Fluid Mech. Research, Vol. 22, Nos. 3&4, pp. 21-44.

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Sur l’aire interfaciale volumique

• Lhuillier D., Morel C., Delhaye J.M., 2000, Bilan d’aire interfaciale dans un mélange diphasique: approche locale vs approche particulaire, C. R. Acad. Sci. Paris, t. 328, Série IIb, pp. 143-149.

• Morel C., Goreaud N., Delhaye J.M., 1999, The local volumetric interfacial area transport equation: derivation and physical significance, Int. J. Multiphase Flow 25, pp. 1099-1128.

• Yao W., Morel C., 2004, Volumetric interfacial area prediction in upward bubbly two-phase flow, Int. J. Heat Mass Transfer 47 (2), pp. 307-328.

• Morel C., 2007, On the surface equations in two-phase flows and reacting single-phase flows, International Journal of Multiphase Flow 33, pp. 1045–1073

• Delhaye J.M., 2001, Some issues related to the modeling of interfacial areas in gas-liquid flows, Part I: The conceptual issues, C.R. Acad. Sci. Paris, t. 329, Série II b, pp. 397-410.

• Delhaye J.M., 2001, Some issues related to the modeling of interfacial areas in gas-liquid flows, Part II : Modeling the source terms for dispersed flows, C.R. Acad. Sci. Paris, t. 329, Série II b, pp. 473-486.


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