Download - Modul 5. Planaritas (2x Pert)
-
8/17/2019 Modul 5. Planaritas (2x Pert)
1/44
Modul 5
Planaritas
Drs. Emut, M.Si
ada Modul 4, Anda telah mempelajari koleksi jenis graf yang disebut
pohon. Anda pun telah mempelajari sifat-sifat pohon dan bermacam-
macam pohon. Salah satu sifat yang menarik dalam pohon G (p,! adalah
hubungan antara banyaknya simpul dan banyaknya rusuk, yakni p " # $.
Sifat ini dan sifat lainnya akan digunakan dalam pembahasan modul-modul
selanjutnya. %leh karena itu Anda diharapkan untuk selalu memahami dan
mengingat konsep-konsep penting tersebut.
P
&alam Modul ' ini, akan dibahas sifat planaritas dari suatu graf. Graf
planar G (p,! adalah suatu koleksi graf yang dapat dibentangkan atau
dipancangkan dalam sebuah bidang datar dengan sifat tidak ada dua rusuk
yang berpotongan. &i samping definisi graf planar, akan dibicarakan juga
tentang ciri-ciri graf planar, rumus uler, genus, graf polihedral, dan diakhiri
dengan graf infinit.
Setelah menyelesaikan modul ini Anda diharapkan akan memiliki
kemampuan-kemampuan sebagai berikut)
$. menjelaskan perbedaan antara graf planar dan graf sebidang*
+. menghitung banyaknya daerah suatu graf planar*
. menjelaskan daerah terhubung sederhana*
4. menjelaskan rumus uler pada graf sebidang serta perluasan rumus itu*
'. menjelaskan baha graf bipartit lengkap - ( ,! dan graf lengkap '
( ! adalah nonplanar*
/. menjelaskan mengapa hanya terdapat lima graf polihedral*
0. menghitung banyaknya rusuk, titik, dan sisi setiap polihedral*
1. menjelaskan makna genus untuk suatu permukaan*
2. menjelaskan graf-graf yang bergenus $*
$3. menjelaskan daerah terhubung sederhana (+-sel! pada torus*
PENDAHULUAN
-
8/17/2019 Modul 5. Planaritas (2x Pert)
2/44
5.2 Pengantar Teori Graph
$$. menggambarkan beberapa graf lengkap yang dapat dipancangkan pada
bola dan torus*
$+. menuliskan beberapa rumus tentang graf-graf nonplanar*$. menjelaskan graf-graf dual dan graf-graf infinit*
$4. menggambarkan beberapa graf teroidal.
emampuan tersebut sangat penting bagi semua guru matematika SM.
&engan kemampuan ini cakraala matematika Anda akan menjadi semakin
luas dan akan menambah rasa percaya diri dalam mengajar serta bergaul.
&ak positip lain, Anda akan makin cinta terhadap bidang studi
matematika ini dan akan tumbuh rasa bangga terhadap tugas mengajar matematika sendiri. ondisi ini akan dapat memoti5asi Anda untuk
meningkatkan profesionalitas kerja, khususnya pengabdian Anda dalam
mengajar.
ntuk membantu Anda menguasai kemampuan di atas, dalam modul ini
akan disajikan pembahasan dalam dua egiatan 6elajar (6! sebagai
berikut)
egiatan 6elajar $ ) Graf 7lanar dan Graf Sebidang.
egiatan 6elajar + ) Genus suatu Graf dan Graf &ual.
Agar Anda berhasil dengan baik dalam mempelajari modul ini, ikuti
petunjuk belajar sebagai berikut)
$. Bacalah dengan cermat bagian pendahuluan modul ini sampai Anda
memahami apa, untuk apa, dan bagaimana mempelajari modul ini.
+. Baca sepintas bagian demi bagian dan temukan kata-kata kunci dan
kata-kata yang Anda anggap baru. 8angan terkejut jika Anda belum
memahami pada pembacaan yang pertama.. Tangkaplah pengertian demi pengertian dari isi modul ini melalui
pemahaman sendiri dan tukar pikiran dengan mahasisa lain atau
dengan tutor Anda.
4. 8ika pada pembacaan yang pertama dan Anda belum paham adalah
kejadian yang wajar . 9oba ulangi lagi. Gunakan alat-alat bantu pensil
dan kertas untuk coret-coret bilamana diperlukan.
'. Mantapkan pemahaman Anda melalui diskusi mengenai hasil
pemahaman Anda dalam kelompok kecil atau bersama tutor.
-
8/17/2019 Modul 5. Planaritas (2x Pert)
3/44
Kegiatan Belajar 1
Graf Planar dan Graf Sebidang
onsep utama dalam teori graf adalah planaritas dan bilangan kromatik.
ombinasi kedua konsep itu memunculkan permasalahan pelik yang
terkenal dengan) Masalah mpat :arna. 7ada egiatan 6elajar $ ini akan
didiskusikan konsep planaritas.
K
GRAF PLANAR DAN GRAF SEBIDANG
Suatu graf planar G (p,q) adalah graf yang dapat digambarkan di bidang
datar sehingga tidak ada dua rusuknya yang berpotongan kecuali pada
simpul-simpulnya.
Contoh
&iberikan suatu graf G (',2!, sebagai berikut.
Gambar '.$
Graf G di atas, dapat digambarkan pada bidang datar dengan beberapa
bentuk. Gambar '.$ (a! merupakan salah satu gambar graf G dengan rusuk-
rusuk yang berpotongan. ;amun demikian, G dapat digambarkan pada
bidang datar tanpa adanya perpotongan rusuk-rusuknya kecuali pada simpul-
simpulnya, sebagaimana terlihat pada Gambar '.$ (b!. Menurut definisi
diketahui baha G adalah graf planar.
Graf planar yang telah digambar di bidang datar sedemikian rupa sehinggatidak ada dua rusuknya yang berpotongan disebut graf sebidang .
-
8/17/2019 Modul 5. Planaritas (2x Pert)
4/44
8adi, graf pada Gambar '.$ (a! adalah bukan graf sebidang, akan tetapi graf
pada Gambar '.$ (b! adalah graf sebidang.
Misalkan G adalah graf sebidang dan perhatikanlah bagian-bagian bidang datar yang ditinggalkan setelah kita mengangkat rusuk-rusuk dan
simpul-simpul dari G (boleh dibayangkan baha bidang tempat gambar di
buat dari tanah liat!. 7otongan-potongan bidang terhubung ini disebut daerah
(region! dari G. &aerah dalam G terdiri atas + jenis yaitu daerah dalam dan
daerah luar . Setiap graf sebidang senantiasa mempunyai satu daerah luar.
Simpul-simpul dan rusuk-rusuk dari G yang bertemu dengan daerah
-
8/17/2019 Modul 5. Planaritas (2x Pert)
5/44
&engan cara yang sama diperoleh der( der (
ondisi ini bukan suatu kebetulan, sebab setiap graf sebidang G (p,!
dengan r daerah berlaku hubungan p ? # r " +. 7ersamaan tersebut
merupakan temuan Matematikaan @eonard uler yang dikenal dengan
Teorema "uler untuk graph sebidang .
RUMUS EULER DAN PERLUASANNYA
Teorema #$$ (!umus "uler)
8ika G (p,! adalah graf sebidang terhubung yang mempunyai r daerah
maka p - # r " +.
Catatan
Graf G (p,! sebidang terhubung adalah syarat perlu untuk berlakunya p - #
r " +, tetapi bukan syarat perlu dan cukup. Maksudnya, jika berlaku p - # r
" +, belum tentu graf G (p,! sebidang terhubung. ita buktikan rumus uler
tersebut.
6ukti
ita gunakan induksi matematik atas banyaknya rusuk .
(i! 8ika G graf sebidang terhubung dengan banyak rusuk " $, maka G
adalah pohon sehingga banyaknya simpul p " + (ingat p " #$! dan
memiliki banyaknya daerah r " $. Akibatnya, diperoleh p - # r " + - $
# $ " +. 8adi rumus benar untuk " $.
(ii! &iasumsikan rumus benar untuk graf terhubung dengan banyak simpul
p, banyak rusuk " k dan banyak daerah r, yakni, p - k # r " +.
-
8/17/2019 Modul 5. Planaritas (2x Pert)
6/44
(iii! Akan dibuktikan rumus juga benar untuk " k # $. Ambillah sebarang
graf terhubung sebidang G dengan banyak simpul p, banyak rusuk
" k # $, dan banyak daerah r. Akan dibuktikan baha p - (k # $! # r " +. Ada dua kasus yang mungkin, yaitu untuk G pohon
dan G bukan pohon.
%asus $
8ika G pohon maka berlaku rumus p " # $ sehingga didapat p " k # $ # $ "
k # + dan memiliki r " $. &engan demikian diperoleh p - (k#$! # r " (k#+! -
(k#$! # $ " +. 8adi rumus benar untuk " k # $.
%asus &$
Misalkan G bukan pohon. arena G terhubung dan bukan pohon maka G
mempunyai sikel S. 7ilih salah satu rusuk e pada S. 7andang G - e adalah
graf terhubung dengan banyak simpul p, dan banyak rusuk (k#$! - $ " k, dan
banyak daerah r - $, sebab sebuah rusuk adalah batas dua daerah. arena G -
e mempunyai rusuk sebanyak k, menurut asumsi pada (ii!, rumus benar untuk
graf G - e, sehingga) p - k # (r - $! " + menjadi p - (k#$! # r " +. 8adi, berlaku
untuk G bukan suatu pohon.6erdasarkan bukti tersebut, diperoleh kesimpulan baha persamaan
p # ? r " + berlaku untuk setiap banyak rusuk dan terbuktilah eorema
'.$.
Teorema #$&$
8ika G adalah graf sebidang terhubung dengan banyak simpul p, p B ,
dan banyak rusuk maka berlaku C p - /.
Catatan.
ontra positif dari teorema ini adalah jika B p - / maka graf G (p, ! tidak
terhubung planar. on5ersnya belum tentu benar* artinya, jika dalam graf G
(p,! berlaku C p-/, maka G(p,! belum tentu planar terhubung. Sekarang
kita buktikan eorema '.+.
6ukti
6ukti dengan teknik langsung. ntuk p " , paling banyak . 8adi rumus benar. Misalkan G adalah graf terhubung sebidang dengan p B 4. Misalkan
banyak daerah adalah r. Setiap daerah paling sedikit dibatasi oleh rusuk,
-
8/17/2019 Modul 5. Planaritas (2x Pert)
7/44
jadi r daerah paling sedikit dibatasi oleh +D banyaknya rusuk (setiap rusuk
menjadi batas + daerah!. arena banyaknya rusuk adalah , maka
≥ rD+ atau r ≤ +D ($!Menurut eorema '.$, p - # r " +, (+!
($! masuk (+!, menjadi p - # +D ≥ +yakni p - # + B /
atau C p - /.
Teorema #$'$
Graf bipartit lengkap ,
adalah non planar
6ukti
ndaikan ,
planar. @ihat Gambar '.(a!. 6anyaknya simpul p " /,
banyaknya rusuk " (./!D+ " 2. Menurut eorema '.$, p - # r " +,
sehingga r " + - / # 2 " '. 8ika ,
planar, maka satu daerah yang terjadi
paling sedikit dibatasi oleh 4 rusuk. 8adi + B 4r dan karena " 2, maka
$1 ≤ 4r atau r ≤ 2D+, yang tentu saja kontradiksi dengan r " '. 7engandaianharus diingkar.
Gambar 5.3.
Teorema #$$
Graf lengkap ' adalah non planar.
6ukti
arena G adalah graf lengkap ' maka dipeorleh p " ' dan " ' ('-$!D+ "$3. Akibatnya, didapat p ? / " . ' ? / " 2 C " $3. Menurut kontrapositif
-
8/17/2019 Modul 5. Planaritas (2x Pert)
8/44
dari eorema '.+ didapat jika B p ? / maka G bukan graf terhubung
planar. 8adi, ' adalah graf non planar .
Teorema #$#$
Setiap graf planar G memuat suatu simpul 5 sedemikian rupa sehingga
deg 5 C '.
Catatan
ontra positif dari eorema '.'. adalah jika setiap simpul dalam G berderajat
/ atau lebih maka G adalah graf non planar.
6ukti
Andaikan semua simpul dalam G (p,! berderajat / atau lebih maka
menurut eorema 8abat tangan didapat + " > der (5! E > / " /p sehingga
E p. 7ada sisi lain, menurut eorema '.+ diperoleh ≤ p ? /, sehingga C p. Fal ni kontradiksi dengan E p. Akibatnya, pengandaian salah,
sehingga tidak semua simpul berderajat / atau lebih. &engan kata lain,
terdapat suatu simpul 5 dalam G dengan deg 5 ≤ '.
SUBDIVISI SUATU GRAF
Misalkan G suatu graf. Graf subdi*isi G adalah suatu graf yang
diperoleh dari G dengan memasukkan simpul-simpul berderajat + ke dalam
rusuk-rusuk dari G (beberapa pengarang menyebutnya dengan konfigurasi
atau kontraksi!.
Contoh &
&iberikan graf, yaitu graf G, F dan =, sebagaimana pada Gambar '.4. Graf
F adalah suatu graf yang diperoleh dari G dengan memasukkan dua simpul
berderajat dua, yakni u dan 5. Menurut definisi, F merupakan graf subdi5isi
dari G, sedangkan = bukan graf subdi5isi dari G.
u
5
-
8/17/2019 Modul 5. Planaritas (2x Pert)
9/44
Gambar '.4.
Sekarang akan dibicarakan teorema yang sangat terkenal dalam teorigraf, yakni eorema urato5ski. Akan tetapi, buktinya terlalu panjang untuk
disajikan di sini. 6ukti teorema dapat dilihat, antara lain pada 6erge, 9.
dalam Hhe heory of Graph and ts ApplicationsI, 8ohn :iley and Sons,
;e Jork, $2/+ atau pada @iu, 9.@, H +ntroduction to Combinatorical
athematicsI, McGra-Fill 9ompany, ;e Jork, $2//.
Teorema #$ (Teorema %uratowski)
Suatu graf G adalah planar jika dan hanya jika G tidak memuat subgraf yang isomorphik dengan ,
atau ' atau sebarang subdi5isi dari
, atau
'.
Contoh '
Graf bipartet lengkap ,4, yakni ,4 adalah graf non planar karena ,4
memuat ,.
GRAF PLATONIK (GRAF POLIHEDRAL)
Graf platonik adalah graf planar yang memiliki sifat) semua simpulnya
berderajat sama, yakni d$, dan semua daerahnya dibatasi oleh banyak rusuk
yang sama, yakni d+, dengan ketentuan d
$ B , d
+ B . Graf platonik adalah
HkerangkaI dari polihedral pejal atau masif. ;ama-nama seperti) polihedral,
polihedron, benda platonik, dan bidang banyak teratur sering dipakai secara
sinonim.
Marilah kita analisis apa saja polihedral itu. Misalkan G (p,! adalah graf platonik dengan banyak daerah r.
$. 6erdasarkan eorema 8abat tangan, diperoleh baha jumlah dari derajat
simpul-simpul yaitu pd$ sama dengan + banyaknya rusuk, yaitu +.
(ingat ) > deg (5! " + !. 8adi pd$ " + atau " (pd$!D+
+. 6anyaknya daerah adalah r, dan setiap daerah dibatasi oleh d+ rusuk.
Maka banyaknya rusuk adalah rd+D+. 8adi kita peroleh " rd+D+.
8ika kita gunakan hasil pada ($!, maka (pd$!D+ " rd+D+ atau r " (d$Dd+!p.
. Menurut
-
8/17/2019 Modul 5. Planaritas (2x Pert)
10/44
edua ruas dikalikan dengan +d+ sehingga
+d+ p ? d$ p d+ # +d$ p " 4d+
atau (+d$ # +d+ ? d$d+!p " 4d+4. arena p dan 4d
+ adalah bilangan bulat positif, maka dari hasil dalam (!
dapat disimpulkan baha +d$ # +d
+ - d
$d
+ B 3. etaksamaan ini dapat
dianalisis selanjutnya sebagai berikut)
d$d
+ - +d
$ - +d
+ # 4 C 4
(d$ - +! (d
+ - +! C 4.
'. arena d$ B , d
+ B , maka ada pasangan-pasangan d
$ dan d
+ tertentu
saja yang memenuhi ketaksamaan itu. 7erhatikanlah abel di baah iniuntuk berbagai nilai d$ dan d
+ yang memenuhi (4! beserta nilai p, dan r
yang terkait.
d1 d2(3)
p=4d2/(2d1+2d2-d1d2)
(1)
q=d1p/2
(2)
r=(d1/d2)p
Nama
Polihedron
3 3 p = 12/3 = 4 q = 6 r = 4Tetrahedron = bidang
4 teratur
3 4 p = 16/2 = q = 12 r = 6 !e"#ahedron = bid$ 6teratur = "ubu#
3 % p = 2&/1 = 2& q = 3& r = 12'ode"ahedron =
bidang 12 teratur
4 3 p = 12/2 = 6 q = 12 r = "tahedron = bidang
teratur
% 3 p = 12/1 = 12 q = 3& r = 2&"o#ahedron =
bidang 2& teratur
6enda-benda platonik diberi nama menurut banyaknya daerah. Sebagai
catatan, jika benda platonik masif atau dimensi maka daerah ini adalah
KsisiL dinotasikan S, simpul disebut Ktitik-sudutL, dilambangkan , dan rusuk
tetap diberi nama KrusukL benda itu, dilambangkan dengan
-
8/17/2019 Modul 5. Planaritas (2x Pert)
11/44
Gambar '.'.
Gambar polihedral pejal diperlihatkan pada Gambar './. di baah ini
-
8/17/2019 Modul 5. Planaritas (2x Pert)
12/44
Gambar 5.6.
Contoh
6uktikanlah baha graf terhubung planar G dengan banyak simpul
kurang dari $+ mempunyai suatu simpul dengan derajat paling banyak 4.
Catatan
ontra positif dari 9ontoh 4 adalah jika G suatu graf dengan banyak simpul
kurang dari $+ dan setiap simpulnya berderajat ' atau lebih.
7enyelesaian
Bidang-12 teraturDodekahedron
-
8/17/2019 Modul 5. Planaritas (2x Pert)
13/44
Akan dibuktikan dengan teknik kontra positif. 6erdasarkan ketentuan
diketahui baha graf G (p,!, dengan p ≤ $$. ndaikan untuk setiap simpul 5
di G berderajat ' atau lebih, yakni, deg 5 B ' untuk setiap 5 di G. Akibatnya, banyaknya rusuk di G lebih dari '.$$ " ''. Menurut eorema 8abat tangan
diperoleh + B '' atau B +1. &ari pihak lain, menurut eorema '.+, didapat
C p - / " - / " +/. ontradiksi. 7engandaian harus diingkar, yaitu tidak
semua simpul berderajat ' atau lebih. &engan kata lain, terdapat simpul
dalam G dengan derajat 4 atau kurang.
Contoh
Selidikilah, apakah graf pada Gambar '.0.(a! merupakan graf planar
7enyelesaian
Mula-mula carilah sirkuit yang terpanjang . ita peroleh sirkuit itu
adalah a, f, c, h, d, g, e, a yang memuat semua ke delapan simpul. Sekarang
cobalah menambahkan keempat rusuk-rusuk yang lain, ah, bf, cg, dan de.
&engan cara mengambil simetri dalam-dan-luar, kita dapat memulai dengan
menggambar ah, di sebelah dalam. @ihat Gambar '.0(b!. emudian, bf dan
cg harus berada di sebelah luar. Artinya, G dapat digambarkan dalam bidangdatar sehingga tidak terdapat rusuk-rusuk yang berpotongan kecuali pada
simpul-simpul. 8adi, G adalah graf planar.
Gambar 5.7.
Contoh #
6uktikanlah baha graf 7etersen (yakni graf reguler- dengan $3
simpul! adalah non planar. @ihat Gambar '.1(a!.
-
8/17/2019 Modul 5. Planaritas (2x Pert)
14/44
Gambar '.1
6ukti
Graf dalam Gambar '.1 mempunyai p " $3, " ($3.!D+ " $'. Menurut
eorema '.+, C p - / atau $' C .$3 - / " +4. 8adi memenuhi eorema '.+.
Maka graf 7etersen planar. Bukti ini salah. Sebab kon5ers dari teorema tidak
berlaku. Mohon Anda amati lagi eorema '.+ dengan teliti. 6ukti yang benar
adalah sebagai berikut.ita coba mencari subdi5isi , atau ' (eorema urato5ski!.
7erhatikan dua himpunan simpul M " N$, +, O dan ; " Na, b, cO. Fimpunan
simpul membentuk , . ernyata terdapat F suatu graf bagian dari graf
7eterson dan merupakan graf subdi5isi ,. epatnya, F diperoleh dari ,
dengan memasukkan 4 simpul berderajat dua, yaitu simpul u, 5, dan y.
(7erhatikan Gambar '.1 (b!!. 6erdasarkan eorema urato5ski disimpulkan
baha graf 7eterson merupakan graf nonplanar.
lternatif$ ndaikan graf tersebut terhubung planar. &aerah-daerah yangterbentuk dibatasi oleh paling sedikit 4 rusuk. 8ika banyaknya daerah adalah r
maka banyaknya rusuk 4rD+ " +, atau r " . 8adi r " " $'. Menurut
eorema '.$ (
-
8/17/2019 Modul 5. Planaritas (2x Pert)
15/44
.en/elesaian 0
&alam ikosahedron (bidang-+3 teratur! dimensi didapat r " +3 dan setiap
daerah (sisi! merupakan KsegitigaL sehingga " +3 . D+ " 3. &enganeorema uler, diperoleh p " ? r # + " 3 ? +3 # + " $+. emudian,
banyaknya garis yang menghubungkan dua simpul adalah $+ . $$ D + " //.
8adi, banyaknya garis diagonal " // - 3 " /.
Cara lain$
Sebuah simpul 5 berdekatan (berikatan! dengan ' simpul yang merupakan
KrusukL. Fal itu berakibat, banyaknya simpul yang berjauhan (merupakan
rusuk tetapi jauh! adalah $+ - $ - ' " /. arena p " $+ simpul (titik! maka
banyaknya diagonal " $+ . /D+ " /.
$! Apakah perbedaan antara graf planar dan graf sebidang
+! 6erdasarkan graf F, pada Gambar '.4, buktikan baha jumlah dari
derajat daerah-daerah dalam F sama dengan + kali banyaknya rusuknya.
! 8ika graf G (p,! terhubung dan P p ? /, maka G (p,! planar.
6enarkah 8elaskan jaaban AndaQ
4! 6uktikan, jika G (p,! suatu graf planar, terhubung dengan p E 4 dan
tidak memuat sikel segitiga maka P +p ? 4.
'! unjukkan baha +,$4 adalah suatu subdi5isi dari +,$3.
7eriksa dan teliti kembali jaaban Anda, sekarang cocokkan jaaban
dengan kunci jaaban berikut ini.
LATIHAN
ntuk memperdalam pemahaman Anda mengenai materi di atas,
kerjakanlah latihan berikutQ
-
8/17/2019 Modul 5. Planaritas (2x Pert)
16/44
.etunjuk 1awaban 2atihan
$! Graf planar adalah graf yang dapat digambar dalam bidang datar dengan
cara demikian sehingga tidak ada dua rusuk yang berpotongan,
sedangkan graf sebidang adalah graf planar yang telah digambar di
bidang datar tanpa ada dua rusuk yang berpotongan. Setiap graf sebidang
merupakan graf planar dan tidak berlaku sebaliknya.
+! Graf F (0,0! dan memiliki + daerah yaitu daerah dalam
-
8/17/2019 Modul 5. Planaritas (2x Pert)
17/44
Graf planar adalah graf yang dapat digambar pada bidang datar
sedemikian hingga tidak ada dua rusuk saling berpotongan, kecuali pada
simpul, sedang graf sebidang adalah graf planar yang telah digambar
pada bidang datar. Graf bipartet lengkap , dan graf lengkap ' adalah
graf non planar. Semua graf yang memuat graf yang isomorfik dengan
' atau , atau graf subdi5isi dari ' atau , adalah non planar .8ika graf G (p,! terhubung sebidang, maka berlaku rumus uler
yaitu p ? # r " +, dengan r adalah banyaknya KdaerahL dalam graf
sebidang itu. 7erluasan eorema uler adalah jika graf G (p,! terhubungdan planar maka berlaku C p ? /. ntuk meneliti planaritas suatu graf
G (p,! dapat digunakan kontra positif eorema '.+. Selain itu, dapat
pula dengan menggambar langsung dengan langkah-langkah sebagai
berikut)
$. 9arilah sirkuit terpanjang di G yang memuat semua simpulnya.
+. Gambarlah rusuk-rusuk yang belum dipakai dengan cara simetri-
dalam-dan-luar.
$! entukan banyaknya simpul dan derajat daerah < dari graf G pada
Gambar '.$3, di baah ini.
Gambar '.$3
A. 2 simpul, der(
ANGKUMAN
TE! "#MATI" 1
7ilihlah satu jaaban yang paling tepatQ
-
8/17/2019 Modul 5. Planaritas (2x Pert)
18/44
+! Manakah di antara graf-graf G, F, dan dalam Gambar '.$$ yang
merupakan graf non planar
A. G dan F
6. G dan
9. F dan
&. tidak ada
! 6erapakah nilai der(
-
8/17/2019 Modul 5. Planaritas (2x Pert)
19/44
9. + dan
&. dan 4
'! 8ika G (p,! adalah graf terhubung planar, maka gambar penyajian graf
sebidangnya ada bermacam-macam bentuk yang mungkin. 6anyaknya
daerah r dari graf sebidang yang disajikan adalah)
A. tergantung cara penggambaran
6. tergantung dapat digambar atau tidaknya
9. banyak daerahnya sama
&. tergantung sirkuitnya
/! 7erhatikanlah graf sebidang pada Gambar '.$. 3egi-n adalahdaerah dalam graf sebidang yang batasannya ada sebanyak n rusuk.
6anyaknya segi-, segi-4 dan segi-' dalam graf G adalah
Gambar '.$
A. $ segi-, $ segi-4 dan $ segi-'
6. $ segi-, $ segi-4 dan + segi-'
9. + segi-, $ segi-4 dan $ segi-'
&. + segi-, $ segi-4 dan + segi-'
0! 6ilangan pemotongan dari graf G, dinotasikan c(G! adalah bilangan
minimum dari pasangan-pasangan rusuk yang berpotongan jika G
digambar dalam bidang datar. Akibatnya, jika G suatu graf planar maka
c(G! " 3. 6esarnya nilai dari c( '! adalah ...
A. $
6. +
9.
&. '
•
-
8/17/2019 Modul 5. Planaritas (2x Pert)
20/44
1! Graf G disebut graf kritis jika G graf non planar tetapi subgrafnya G ? 5
adalah planar, untuk sebarang simpul 5 di G. &iantara graf berikut yang
merupakan graf kritis adalah ..A. /6. , dan '9. ,4 dan /&. Setiap graf subdi5isi dari ' atau ,
2! 6erapakah banyaknya diagonal ruang pada dodekahedron dimensi
A. $3
6. 43
9. /&. $33
$3! 6erapakah banyaknya diagonal ruang terpanjang pada dodekahedron
dimensi
A. $3
6. 43
9. ''
&. $33
9ocokkanlah jaaban Anda dengan unci 8aaban es =ormatif $ yang
terdapat di bagian akhir modul ini. Fitunglah jaaban yang benar.
emudian, gunakan rumus berikut untuk mengetahui tingkat penguasaan
Anda terhadap materi egiatan 6elajar $.
Arti tingkat penguasaan) 23 - $33 " baik sekali
13 - 12 " baik
03 - 02 " cukup C 03 " kurang
ingkat penguasaan "8umlah 8aaban yang 6enar
T$338umlah Soal
-
8/17/2019 Modul 5. Planaritas (2x Pert)
21/44
Apabila mencapai tingkat penguasaan 13 atau lebih, Anda dapat
meneruskan dengan egiatan 6elajar +. Bagus! 8ika masih di baah 13,
Anda harus mengulangi materi egiatan 6elajar $, terutama bagian yang belum dikuasai.
-
8/17/2019 Modul 5. Planaritas (2x Pert)
22/44
Kegiatan Bela jar $
Genus suatu Graf, Graf Dual,dan Graf Infinit
PEMANCANGAN
6eberapa aspek dalam teori graf terkait sangat erat dengan beberapa
cabang matematika seperti topologi, khususnya pada pokok bahasanKpermukaan atau luasan topologiL. Sebenarnya, kita telah mendiskusikan
hubungan antara graf dan permukaan tersebut pada egiatan 6elajar $, yaitu
ketika kita mempelajari graf planar. ;amun demikian, kita akan perluas dan
perdalam hubungan antara graf planar dengan luasan bola dan sejenisnya.
elah kita ketahui baha hanya kelompok graf tertentu yang dapat kita
gambar di bidang datar sedemikian rupa sehingga tidak ada rusuk-rusuknya
yang berpotongan terkecuali pada simpul-simpulnya. elompok inilah yang
disebut graf planar. 7enggambaran yang demikian itu disebut suatu pemancangan (embedding ! dari graf itu di bidang datar. idaklah terlalu sulit
untuk memahami baha graf-graf planar mana yang dapat dipancangkan
pada pemukaan suatu bola. Graf bola adalah graf-graf yang dapat
dipancangkan pada permukaan sebuah bola tanpa ada dua rusuk yang
berpotongan.
Contoh
Gambar '.$4(a! menunjukkan graf bola yang dihasilkan dari pemancangangraf 4 pada pemukaan bola.
(a! (b!
-
8/17/2019 Modul 5. Planaritas (2x Pert)
23/44
Gambar 5.14.
6erdasarkan pengertiannya, dapat dipahami baha graf-graf bola
dan graf-graf planar adalah tepat sama (ekui5alen!. Secara umum, setiap graf dapat dipancangkan pada ruang dimensi-.
Torus
6entuk permukaan lain yang memainkan peran cukup penting dalam
topologi adalah permukaan bentuk donat yang disebut torus. Suatu
permasalah yang menarik untuk dijaab yaitu apakah suatu graf planar dapat
dipancangkan pada torus dan sifat-sifat apakah yang dimilikinya. 8aaban
dari permasalahan ini dijelaskan dalam bentuk contoh +.
Contoh &
Gambar '.$4(b! di atas, menunjukkan pemancangkan graf lengkap 4 pada
torus.
8ika G adalah graf yang dipancangkan pada suatu torus, maka daerah-
daerah dari G adalah potongan-potongan terhubung dari torus yang tertinggal
setelah simpul-simpul dan rusuk-rusuk dari G diangkat. (ngat kembalidefinisi KdaerahL dalam kasus graf sebidang!. &alam kasus 4 yang
dipancangkan pada Gambar '.$4(b!, terdapat 4 daerah.
Menurut definisinya, semua daerah adalah terhubung, apakah graf-graf
itu dipancangkan pada bola atau pun pada torus. Akan tetapi, suatu daerah
dapat juga memiliki sifat penting lainnya. Suatu daerah disebut terhubung
sederhana ( simpl/ connected ! jika sebarang kur5a tertutup sederhana (seperti
elips atau lingkaran! dapat Ksecara kontinu disusutL dalam daerah itu sehingga
menjadi sebuah titik di daerah itu. &aerah yang demikian juga disebut &-sel .
&aerah +-sel ini secara topologik ekui5alen dengan ruang dimensi-+ pada
ruang uclid. mpamanya, daerah < dalam Gambar ',$4(b!, adalah bukan
daerah terhubung sederhana, sebab jika kita mempunyai kur5a tertutup
sederhana 9 seperti tampak pada daerah
-
8/17/2019 Modul 5. Planaritas (2x Pert)
24/44
halnya bagi graf-graf terhubung yang dipancangkan pada permukaan torus.
Artinya, tidak setiap graf planar terhubung yang dipancangkan pada torus
selalu menghasilkan daerah yang terhubung. Suatu graf disebut toroidal apabila graf itu dapat dipanjangkan pada torus.
Contoh '
Graf planar 4 adalah toroidal, sebagaimana terlihat pada Gambar '.$4 (b!.
Secara umum berlaku baha setiap graf planar adalah toroidal. Akan tetapi
kon5ers pernyataan ini adalah salah. Maksudnya terdapat graf-graf non
planar yang tidak dapat dipancangkan pada permukaan torus. Salah satu
contohnya adalah ' (yang non planar! dapat dipancangkan pada torusseperti diperlihatkan pada Gambar '.$'.
Gambar 5.15.
M#$gga%&ar 'aa Torus
9ara lain menggambar graph pada torus sering terbukti menyenangkan.
7ertama-tama perhatikan bagaimana mengonstruksi torus. ita mulai dengan
persegi panjang, dan kemudian kita gulung dalam bentuk tabung. emudian
kita tekuk bidang alas dan atas ini sehingga melekat lagi, sehingga akhirnya
diperoleh suatu torus. Gambar '.$/ menjelaskan masalah ini.
-
8/17/2019 Modul 5. Planaritas (2x Pert)
25/44
Gambar '.$/.
Sekarang menggambar graph yang akan dipancangkan. 7ada persegi
panjang dalam Gambar '.$0(a!, titik-titik yang berlabel A, nanti pada torus
akan menjadi titik yang sama, demikian juga titik berlabel 6. 8adi, ' dapat
dipancangkan pada torus seperti dalam Gambar '.$0(b!.
Gambar '.$0.
G#$us
&alam topologi, suatu torus juga dikenal sebagai bola dengan satu
KpeganganL (handle!, seperti ditunjukkan dalam Gambar '.$1(a!. ita
mengatakan baha torus dan bola dengan satu pegangan adalah Kekui5alensecara topologisL atau Khomeomorphik L. 6anyaknya pegangan suatu
permukaan (bola! disebut genus dari permukaan itu. &engan genus γ (G!dari graph G mempunyai genus bilangan γ , dimaksudkan genus terkecil darisemua permukaan di mana graph G dapat dipancangkan. arena permukaan
bola dan bidang datar adalah ekui5alen topologis, maka graph-graph genus 3
adalah graph-graph planar. Graph dengan genus $ adalah graph-graph
nonplanar yang dapat dipancangkan pada torus.
Contoh
Graph non planar ' merupakan graph dengan genus $, sebagaimana
disajikan pemancangannya pada gambar '.$1 berikut.
-
8/17/2019 Modul 5. Planaritas (2x Pert)
26/44
Gambar '.$1.6erdasarkan definisi genus maka ' akan dapat dipancangkan pada
permukaan yang mempunyai genus lebih dari $. &apat dengan mudah Anda
menunjukkan baha , dapat dipancangkan pada permukaan genus $, dan
tentu saja berlaku untuk permukaan bergenus +, seperti ditunjukkan dalam
Gambar '.$1(b!.
Anda telah mengetahui rumus uler yang menyatakan hubungan antara
banyaknya simpul p, banyaknya rusuk dan banyaknya daerah r dari graph
sebidang G(p,!.
-
8/17/2019 Modul 5. Planaritas (2x Pert)
27/44
Teorema
8ika G(p,! adalah graph terhubung dengan p B , maka
γ (G! B D/ ? pD+ # $
Teorema #
Genus dari graph lengkap p, γ ( p!, p B 4, dinyatakan dengan rumus)
γ ( p! "$+
4!,!(p(p −−,
dengan pembulatan ke atas jika nilainya γ (G! B 3.
Contoh #
Graph / mempunyai genus $ sebab γ ( '! " ('-!('-4!D$+ " $D/ B 3 sehingganilainya dibulatkan ke atas, yaitu γ ( '! " $.
Teorema
Genus dari graph bipartit lengkap m,n, γ ( m,n!, dinyatakan denganrumus)
γ (Km,n) =( !( +!
, , +4
m n
m n
% %
&
dengan pembulatan ke atas jika nilainya B 3.
Contoh
Graph 4,4 mempunyai genus $ sebab γ ( '! " (4-!(4-+!D4 " $D+ B 3 sehingganilainya dibulatkan ke atas, yaitu γ ( 4,4! " $.
Gra' Dua"
Multigraph sebidang M disebut juga sebagai peta. &ua daerah di M
dikatakan berdekatan jika kedua daerah itu mempunyai sebuah rusuk
persekutuan.
Contoh 4
7erhatikan graph pada Gambar '.$2(a!, daerah r $ dan r + berdekatan,
sedangkan r $ dan r tidak.7erhatikan multigraph sebidang M. &alam setiap daerah di M kita
pilih sebuah titik, dan jika dua buah daerah mempunyai rusuk persekutuan,
-
8/17/2019 Modul 5. Planaritas (2x Pert)
28/44
kedua titik yang telah dipilih itu hubungkan dengan sebuah kur5a melalui
(memotong! rusuk persekutuan itu. ur5a-kur5a ini dapat digambar dengan
cara demikian rupa sehingga setiap dua kur5a tidak berpotongan. Maka kita peroleh peta (multigraph! baru MV, yang disebut dual dari M, sedemikian
sehingga setiap simpul dari MV bersesuaian dengan tepat satu daerah di M.
Gambar '.$2(b! menunjukkan dual dari peta M pada Gambar '.$2(a!. Mudah
dilihat baha setiap daerah di MV tepat memuat sebuah simpul di M dan
setiap rusuk di MV akan berpotongan tepat pada simpul di M dan sebaliknya.
Maka peta M adalah dual dari peta MV
Gambar 5.1.
Graph dual mempunyai banyak penerapan misalnya pada permasalahan
graph euler, permasalahan pearnaan (simpul, rusuk atau daerah!. Masalah
pearnaan graph akan dibicarakan pada Modul /.
Gra' Las Ta*r$gga (I$+$)
7ada subbabb ini akan dibicarakan sebuah jenis graph, yaitu graph latis
takberhingga (infinit!. &efinisi graph infinit 2&, adalah sebagai berikut.
Simpul-simpul adalah titik-titik dalam bidang datar yang absis dan
ordinatnya bilangan bulat. &ua buah simpul dikatakan berdekatan jika kedua
simpul itu mempunyai jarak geometrik sama dengan satu satuan panjang.
Sebagian dari graph @+ dilukiskan pada Gambar '.+3. Fal itu karena
banyaknya simpul dalam @+ adalah takberhingga sehingga tidak mampu
melukis seluruh gambar graphnya.
r $
r +
r
-
8/17/2019 Modul 5. Planaritas (2x Pert)
29/44
Gambar 5.2!.
&alam graph infinit kita tidak dapat mempunyai sikel Familton seperti
didefinisikan dalam Modul , egiatan 6elajar $, sebab sikel hanyalah
mempunyai simpul-simpul yang banyaknya finit. Akan tetapi, jika kita
memikirkan sikel Familton sebagai Kfaktor-+L terhubung dari suatu graph, hal
ini dapat bermakna bagi graph infinit seperti halnya untuk graph finit. ntuk
graph finit, suatu faktor-+ terhubung adalah sikel hamilton, dan untuk graph
infinit, faktor-+ itu adalah lintasan terentang tanpa batas. &engan kata lain,
lintasan itu adalah infinit di kedua arahnya. ita akan menamakan lintasan
terentang demikian ini sebagai garis 5amilton$ &alam suatu graph infinit
terdapat beberapa garis Familton. &engan kata lain, eksistensi garis
Familton dalam suatu graph infinit adalah tidak tunggal.
Contoh 6
&iberikan graph infinit @+ sebagaimana tertuang pada Gambar '.+$ berikut.
Salah satu garis Familton dari @+ adalah lintasan yang digambarkan dengan
garis tebal. Sedangkan Gambar '.++ memperlihatkan penguraian atau
dekomposisi @+ ke dalam dua garis.
Gambar 5.21 Gambar 5.22
-
8/17/2019 Modul 5. Planaritas (2x Pert)
30/44
ntuk memperluas definisi sirkuit uler dalam graph infinit maka
diperlukan suatu modifikasi. Suatu sirkuit "uler adalah jalur uler yang
infinit pada kedua arahnya. &engan kata lain, sirkuit euler adalah jalur yangmemuat setiap rusuk dan setiap simpul dari graph infinit dan tidak
mempunyai simpul permulaan atau simpul akhir. &engan istilah yang lebih
praktis, graph infinit dengan garis "uler dapat dibuat dari sepotong kaat
yang panjangnya tak berhingga.
Gambar '.+ memperlihatkan contoh sederhana dari suatu garis uler
dalam @+. Gambar garis uler dalam Gambar '.+4, semakin komplek atau
sangat ruet. ;amun demikian, kedua garis uler ini memiliki keteraturan
sehingga masing-masing membentuk simetri-putar. 6erdasarkan Gambar '.+ diperoleh pusatnya adalah titik tengah dari rusuk di tengah. Fal ini
berakibat baha jika Anda memutar gambar itu $13o mengelilingi pusatnya,
gambar itu tetap kelihatan sama. 7ada Gambar '.+4 pusat dari simetri-putar
adalah simpul dimana kedua garis hamilton berpotongan. Artinya, jika Anda
memutar 23o maka kedua garis hamilton itu bertukar tempat.
Gambar 5.23 Gambar 5.24
Sirkuit uler dan jalur uler kedua-duanya telah didefinisikan untuk
graph finit. elah kita lihat bagaimana memodifikasi definisi keduanya dalam
graph infinit. 7ertama, dalam graph finit, lintasan uler mempunyai dua titik
ujung, sedangkan dalam graph infinit kita dapat membuangnya salah satu.
edua, suatu jalur dalam graph infinit memuat setiap rusuk dari graph itu
tepat satu kali, disebut jalur "uler satu-arah. 8elaslah baha y sebagai
simpul ujung harus mempunyai derajat ganjil, dan simpul-simpul lainnya
harus berderajat genap. etapi, hal ini tidaklah cukup. Anda hendaknya
mencari jalur uler satu-arah dalam graph sarang labah-labah infinit pada
Gambar '.+'.
-
8/17/2019 Modul 5. Planaritas (2x Pert)
31/44
Gambar 5.25 Gambar 5.26
Suatu jalur 5amilton satu-arah dalam graph infinit adalah lintasan yang
panjangnya infinit, bermula pada suatu simpul W dan melalui setiap simpul
dari graph itu. &erajat dari W tidak menjadi masalah.
LATIHAN
ntuk memperdalam pemahaman Anda mengenai materi di atas,
kerjakanlah latihan berikutQ
-
8/17/2019 Modul 5. Planaritas (2x Pert)
32/44
$! Apakah yang dimaksud dengan pemancangan (embedding ! suatu graph
dan gambarkan pemancangan dari ,+ pada torus
+! Apakah yang dimaksud dengan Kgraph bolaL.
! Apakah graph toroidal itu Apakah graph G,4 yang merupakan subdi5isi
dari , merupakan toroidal.
4! Apakah yang dimaksud dengan Kdaerah terhubung sederhanaL atau
daerah +-sel itu
'! Apakah yang dimaksud dengan KhomeomorphikL dua atau lebih
permukaan
/! Apakah genus suatu permukaan itu Apa pula genus graph G
0! Apakah graph dual dari graph G dan tentukan graph dual dari 4
1! &alam graph @+, suatu garis Familton adalah pohon terentang yang
setiap simpul-simpulnya hanya berderajat dua. 9arilah pohon terentang
dari @+ sedemikian rupa sehingga tidak mempunyai simpul-simpul
berderajat +.
2! 9arilah subgraph terentang dalam @+ di mana setiap simpulnya berderajat
.
$3! 9ari penguraian atau dekomposisi dari @+ ke dalam empat faktor-$.
$$! 9arilah penguraian atau dekomposisi dari @+ ke dalam subgraph-
subgraph yang isomorphik dengan
a. graph segi-4 atau 94
b. 9g
c. 9$+
d. mumnya 94t
$+! 6uktikanlah baha tidaklah mungkin menguraikan @+ ke dalam
subgraph-subgraph yang isomorphik dengan 9/.
$! &itentukan bilangan bulat t B $, buktikanlah baha @+ dapat diuraikan ke
dalam subgraph-subgraph yang isomorphik dengan 8t, yaitu yang
panjangnya t.
$4! raikan @+ ke dalam
a. tiga subgraph terhubung b. tiga subgraph terhubung isomorphik
-
8/17/2019 Modul 5. Planaritas (2x Pert)
33/44
$'! ita definisikan M+ adalah latis terdiri atas titik-titik dengan koordinat
bulat di dalam bidang datar sedemikian rupa sehingga titik-titik yang
jarak geometrinya √+ adalah berdekatan. Apakah ;+ terhubung$/! ita definisikan ;+ sebagai latis yang terdiri titik-titik dengan koodinat
bulat di dalam bidang datar sedemikian rupa sehingga titik-titik dengan
jarak geometri √' adalah berdekatan. Apakah ;+ terhubung
.etunjuk 1awaban 2atihan
$! 7emancangan suatu graph adalah penggambaran suatu graph pada
permukaan bidang datar atau permukaan bola dengan syarat tidak adadua rusuk berpotongan (terkecuali pada simpul!.
7emancangan ,+ pada torus, tersaji pada Gambar '.+0 di baah ini
Gambar '.+1
+! Graph bola adalah graph-graph yang dapat dipancangkan pada
permukaan sebuah bola tanpa ada dua rusuk yang berpotongan.! Suatu graph disebut toroidal apabila graph itu dapat dipancangkan pada
torus.
Graph bipartet lengkap , adalah troidal sebab dapat dipancangkan
pada torus, seperti terlihat pada Gambar '.+1 berikut.
-
8/17/2019 Modul 5. Planaritas (2x Pert)
34/44
Gambar '.+1
4! &aerah terhubung sederhana adalah daerah pada pemancangan graph
pada permukaan dengan sifat setiap kur5a tertutup sederhana dapatdisusut menjadi sebuah titik yang berada di titik itu.
'! Fomeomorphik dua atau lebih permukaan adalah dua permukaan atau
lebih yang secara topologi ekui5alen
/! Genus suatu permukaan adalah banyaknya pegangan pada suatu
permukaan. Genus suatu graph adalah banyaknya pegangan minimal
suatu permukaan sehingga G dapat dipancangkan pada permukaan itu.
0! Graph dual dari G adalah graph GV sedemikian rupa sehingga setiap
daerah di G bersesuaian dengan setiap simpul GV, setiap dua daerah berdekatan pada G bersesuaian dengan dua simpul berdekatan pada GV
dan sebaliknya. &ual dari 4 yaitu 4V seperti terlukis pada Gambar '.+2
berikut.
4 4V
Gambar '.+2
1! 7erhatikan Gambar '.+$. 7ohon terentang dari @+ yang memiliki
simpul-simpul yang tidak berderajat dua dapat dilukis seperti pada
Gambar '.+$, tetapi setiap kali berbelok meleati dua baris atau kolom.
Fal itu berakibat titik-titik pada baris dan kolom menjadi berderajat 4.
2! &engan cara yang analog, sebagaimana Gambar '.+$, tetapi setiap kali berbelok meleati satu barisDatau kolom.
-
8/17/2019 Modul 5. Planaritas (2x Pert)
35/44
$3! 7erhatikan Gambar '.++ yang menjelaskan tentang dekomposisi @+
kedalam dua garis Familton. ntuk menguraikan @+ ke dalan 4 faktor-$
dapat dilakukan secara analog, bedanya dengan loncat KduaL.$$! 6entuk dekomposisi dari @+ terhadap subgraph yang isomorphik dengan
94 akan berbentuk bujursangkar berisi satu. Sedangkan dekomposisi @ +
yang isomorphik dengan 91 akan berbentuk bujursangkar berisi dua.
&engan cara yang sama (analog!, dekomposisi @+ terhadap subgraph
yang isomorphik dengan 94t akan berbentuk bujursangkar yang berisi t,
untuk suatu t bilangan cacah.
$+! arena dekomposisi @+ akan berupa bujursangkar maka tidak akan kita
temukan suatu bujursangkar berisi 4t yang mempunyai keliling /, t bilangan cacah.
$! a. ntuk menguraikan @+ kedalam bentuk tiga subgraph terhubung maka
dapat dilakukan dengan melukis dua garis Familton.
b. Sedangkan untuk menguraikan (dekomposisi! @+ kedalam bentuk tiga
subgraph terhubung isomorphik maka dapat dilakukan dengan
melukis tiga garis Familton
$4! 6enar. Anda dapat membuktikan dengan mendefinisian ;+ dengan
simpul-simpul sebagai titik-titik pada bidang uclid dan dua simpuldikatakan berdekatan jika kedua simpul berjarak √+. Maka setiap duasimpul pada ;+ akan terdapat jalur yang menghubungkannya.
$'! 6enar, analog soal no. $4.
-
8/17/2019 Modul 5. Planaritas (2x Pert)
36/44
Graph infinit atau latis infinit adalah graph sebidang dengan banyak
simpul infinit atau takhingga. &efinisi lintasan, jalur, sikel dan sirkuit
untuk graph infinit ada sedikit perubahan dari yang didefinisikan pada
graph finit.
Setiap graph sebidang dapat dipancangkan pada permukaan sebuah
bola. 6idang datar dan permukaan bola adalah homeomorphik. Graph-
graph nonplanar tak dapat dipancangkan pada permukaan bola, akan
tetapi dapat dipancangkan pada permukaan bola yang diberi KpeganganL.
6anyaknya pegangan pada permukaan bola disebut genus permukaanitu. 7ermukaan bola dan bidang datar adalah permukaan dengan genus 3
(nol!. orus adalah permukaan berbentuk kue donat dan permukaan ini
homeomorphik dengan permukaan bergenus $. Genus graph terhubung
G adalah banyaknya pegangan minimal sedemikian sehingga graph G
dapat dipancangkan di permukaan itu. Graph bipartit ,, graph-graph
lengkap ', /, dan 0 adalah graph bergenus $ sehingga dapat
dipancangkan pada torus atau pada permukaan bola berpegangan $.
$! Misalkan ' dipancangkan pada sebuah torus. 6anyaknya daerah
terhubung sederhana pada ' adalah
A.
6. 4
9. '
&. /
+! 8ika , dipancangkan pada permukaan bola dengan genus $, maka
banyaknya daerah -+ sel adalah ....
A.
6. 4
9. '
&. /
! 8ika , dipancangkan pada permukaan bola genus +, maka banyaknya
daerah terhubung sederhana adalah ....A. +
6.
ANGKUMAN
TE! "#MATI" $
7ilihlah satu jaaban yang paling tepatQ
-
8/17/2019 Modul 5. Planaritas (2x Pert)
37/44
9. 4
&. '
4! Misalkan G adalah graph planar terhubung. 6anyaknya daerah yang
diperoleh jika G dipancangkan pada permukaan dan banyaknya daerah
jika G dipancangkan pada suatu torus adalah ....
A. sama banyak
6. tidak sama
9. lebih banyak pada bola
&. lebih sedikit pada bola
'! 8ika G(p,! adalah graph terhubung dapat dipancangkan pada sebuah bidang dan banyaknya daerah yang terjadi adalah r, maka p - # r " +.
8ika G(p,! adalah graph terhubung dan dapat dipancangkan pada sebuah
torus sedemikian rupa sehingga setiap daerah dari r daerah /ang terjadi
adalah terhubung tunggal, berapakah nilai p # - r
A.
6. +
9. $
&. 3
/! Menurut eorema $, jika G(p, ! adalah graph terhubung yang dapat
dipancangkan pada permukaan bola, dan mempunyai daerah
sebanyak r, maka nilai p - # r adalah ....
A. 3
6. $
9. +
&.
0! Menurut eorema ', genus graph lengkap 1 adalah ....
A. $6. +
9.
&. 4
1! Menurut eorema /, genus graph bipartit /,/ adalah ....
A. $
6. +
9.
&. 4
2! 8ika genus graph lengkap n yaitu γ ( n! " 0 maka nilai n adalah
-
8/17/2019 Modul 5. Planaritas (2x Pert)
38/44
A. $3
6. $$
9. $+&. tidak ada
$3! Menurut eorema dan eorema /, banyaknya daerah jika graph bipartit
lengkap ',' dipancangkan pada permukaan bergenus adalah ....
A. $$
6. $3
9. 2
&. 1
9ocokkanlah jaaban Anda dengan unci 8aaban es =ormatif + yang
terdapat di bagian akhir modul ini. Fitunglah jaaban yang benar.
emudian, gunakan rumus berikut untuk mengetahui tingkat penguasaan
Anda terhadap materi egiatan 6elajar +.
Arti tingkat penguasaan) 23 - $33 " baik sekali
13 - 12 " baik
03 - 02 " cukup
C 03 " kurang
Apabila mencapai tingkat penguasaan 13 atau lebih, Anda dapat
meneruskan dengan modul selanjutnya. Bagus! 8ika masih di baah 13,
Anda harus mengulangi materi egiatan 6elajar +, terutama bagian yang
belum dikuasai.
ingkat penguasaan "8umlah 8aaban yang 6enar
T$338umlah Soal
-
8/17/2019 Modul 5. Planaritas (2x Pert)
39/44
"un#i $a%aban &es '(rmatif
Tes 7ormatif
$! 9. p " ' simpul dan der(
/! &. + segi-, $ segi-4 dan + segi-'
0! A, $
1! 6. , dan '
2! &. $33. &alam dodekahedron, r " $+, setiap daerah (sisi! merupakan
KsegilimaL sehingga " $+.'D+ " 3, p " + # - r " +3. 6anyaknya
garis hubung antara dua titik " +3.$2D+ " $2D+ " $23. Setiap sisi
mempunyai (' - !.'D+ " ' diagonal sisi. 6anyaknya diagonal sisi
" $+.' " /3. 8adi banyaknya diagonal ruang " $23 - 3 - /3 " $33.
Cara lain
Setiap titik Kberdekatan dengan 2 titik lain (ini menjadi rusuk atau
diagonal sisi. 8adi setiap titik KberjauhanL dengan $3 titik lainnya
(merupakan diagonal ruang!. 6anyaknya diagonal ruang "
$3.+3D+ " $33.
$3! A. $3. &iagonal terpanjang diperoleh dari dua titik yang KberhadapanL.
arena banyaknya titik " +3, jadi yang berhadapan " $3 pasang.
Tes 7ormatif &
$! 9 '. &aerah terhubung sederhana dari hasil pemancangan ' pada
torus adalah daerah yang melekat pada bola. 7erhatikan dengan
seksama Gambar '.+0 (a!.
-
8/17/2019 Modul 5. Planaritas (2x Pert)
40/44
+! 6. . 7ermukaan bola dengan genus $ adalah permukaan bola yang
memiliki pegangan $. Maka pemancangan ' pada permukaan bola
bergenus $ adalah daerah-daerah yang melekat pada bola. &etailnya
tersaji pada Gambar '.+0(b!.
! 6. +. 7emancangan , pada permukaan bola bergenus +, terlukis pada
Gambar '.+1. 6anyaknya daerah terhubung sederhananya adalah +.
Gambar '.+1
4! A. arena G suatu graph planar terhubung maka banyaknya daerah
terhubung sederhana pada pemancangan graph G pada permukaan
bola dan torus adalah sama.
'! &. 3. Anda gunakan eorema dan karena G(p,! bergenus $ maka
didapat p ? # r " + ? + γ (G! " + ? +.$" 3
/! 9. +. 6erdasarkan eorema $ didapat p ? # r " + ? + n, dengan n banyaknya genus. arena permukaan bola adalah permukaan
bergenus 3 maka diperoleh p-#r " + ? +.3 " +
0! 6. +. arena 1 sehingga didapat p "1 maka diperoleh
γ ( 1! "$+
4!,!(p(p −−" (1-!(1-4!D$+ " 'D B 3.
&engan menggunakan eorema ', dan mengingat γ ( 1!" 'D B 3sehingga dibulatkan keatas, yaitu γ ( 1!" +.
1! 9. . &engan menggunakan eorema / didapat
-
8/17/2019 Modul 5. Planaritas (2x Pert)
41/44
γ (K5,7) =( !( +!
, , +4
m nm n
% %&
" ('-!(0-+! D 4 " 'D+.arena γ ( ',0! " 'D+ B 3 maka γ ( ',0! " . (pembulatan keatas!.
2! &. tidak ada, karena γ ( n! " 0 maka menurut eorema ' didapat0 " (n-4!(n-!D$+ sehingga 14 " (n-4!(n-!. arena jika
γ ( n! B 3 maka pembulatan ke atas sehingga persamaan menjadi 140+ P (n-4!(n-! P 14. Fal ini berakibat, tidak ada nilai n cacah yang
memenuhi pertidaksamaan ini.
$3! 6. $3. Menurut eorema /, diperoleh γ ( ','! " ('-!('-+! D 4 " D+sehingga γ ( ','! " +. emudian, substitusi γ ( ','! " + ke eorema dan diperoleh r " + ? p # - γ ( ','! " + ? $3 # +3 ? + " $3.
-
8/17/2019 Modul 5. Planaritas (2x Pert)
42/44
Daftar Pusta)a
9hartrand, Gary, and @esniak, @inda. ($21/!. Graph 8 9igraph$ Second
dition. 6elmont, 9alifornia) :adsorth. nc.
@ipschutW, Seymour. ($20/!. 9iscrete athematics. SchaumLs %utline Series.
;e Jork) McGra-Fill.
@iu, 9.@. ($21'!. "lements of 9iscrete athematics. ;e Jork) McGra-
Fill.
-
8/17/2019 Modul 5. Planaritas (2x Pert)
43/44
G@%SA
-
8/17/2019 Modul 5. Planaritas (2x Pert)
44/44
Genus dari suatu permukaan adalah banyaknya pegangan dalam permukaan
bola.
Genus dari graph terhubung G adalah banyaknya pegangan (genus! terkecildari semua permukaan dimana graph G dapat dipancangkan pada
permukaan tersebut.
5eksahedron adalah suatu bidang / teratur
5omeomorphik adalah ekiu5alen secara topologi
+kosahedron adalah suatu bidang 4 teratur
%urato*ski (teorema! ) Suatu graph G adalah planar jika dan hanya jika G
tidak memuat subgraph yang isomorphik dengan ' atau , atau
sebarang subdi5isi dari , dan '.
2atis (infinity! adalah suatu graph (X,! dengan X(G! )himpunan simpul-simpulnya adalah himpunan titik-titik dalam uclid yang absis yang
ordinatnya bilangan cacah dan (G! adalah himpunan rusuk dan setiap
dua simpul berikatan jika kedua simpul memiliki jarak geometri sama
dengan satu satuan panjang.