Download - Modul Analisa Numerik
AN
Cand
Poli
MOMATA
NALISA
Disusra Mecc
iteknik PBan
2
ODUL
A KULIAA NUM
sun Olehca Sufy
PIKSI Gndung 2011
AH MERIK
h: yana S.S
anesha
Si
2
Kata Pengantar
Maha Besar Allah SWT yang memberikan kekuatan pada penyusun, sehingga mampu menyelesaikan modul kuliah analisa numerik ini. Mudah-mudahan modul kuliah ini dapat bermanfaat dan dimanfaatkan sebaik-baiknya bagi para pembaca yang berkepentingan mempelajari dan memahami konsep analisa numerik.
Elemen-elemen dasar pemahaman yang cukup baik tentang materi kalkulus, aljabar linear, dan algoritma akan membantu dalam memahami permasalahan-permasalahan yang menggunakan konsep penyelesaian dengan analisa numeric ini.
Cara yang paling efektif dalam mempelajari analisa numerik ini adalah aktif dengan membaca, bertanya, dan terus mencoba dan mencoba berbagai latihan-latihan soal yang ada dan tentunya mengaplikasikanya dalam bahasa pemograman.
Cukup banyak keterbatasan dan kekurangan yang ada dalam modul kuliah analisa numerik ini. Untuk itu adanya saran dan kritik dari pembaca sangat diperlukan penyusun untuk perbaikan modul ini dimasa mendatang agar lebih baik lagi.
Atas terselesaikannya modul ini, penyusun ucapkan terima kasih kepada pihak-pihak yang telah membantu dalam keberadaan dan keberlangsungan modul ini terutama semua civitas akademik Politeknik Piksi Ganesha dan pihak lain yang ikut membantu dan mendoakan penyusun sehingga mampu menyusun modul kuliah analisa numerik ini.
Bandung , April 2011
Penyusun
3
Daftar Isi
Kata Pengantar ............................................................................................................ 2 Daftar isi......................................................................................................... 3 Daftar Gambar.............................................................................................. 5 Daftar Tabel................................................................................................... 6 Deskripsi Mata Kuliah………….……………………………….………….. 7 Tujuan Mata Kuliah Umum...….……………………………….………….. 7 Tujuan Mata Kuliah Khusus.….……………………………….………….. 7 BAB I PENDAHULUAN
1.1 Definisi analisa numerik..................................................... 8 1.2 Tahap penyelesaian secara numerik...................................... 10 1.3 Galat (Kesalahan)………………………………………….11
BAB II SISTEM PERSAMAAN NON-LINEAR 2.1 Metode Tertutup
2.1.1 Metode tabel..………………………………………….. 13 2.1.2 Metode grafik….………………………………………. 15 2.1.3 Metode bisection...…………………………………….. 16 2.1.4 Metode regulasi falsi………………………………… ...17
2.2 Metode Terbuka 2.2.1 Metode iterasi………………………………………….. 19 2.2.2 Metode Newton Rapshon…..…………………………. 20 2.2.3 Metode secant… ...…………………………………….. 23
BAB III INTERPOLASI
3.1 Interpolasi Linear… ……………………….………………... 29 3.2 Interpolasi Kuadratik……………………………..………… 30 3.3 Interpolasi Polinomial………………………….……….…… 31 3.4 Interpolasi Lagrange………………………….……….…… 32
BAB IV INTEGRASI NUMERIK 4.1 Dasar pengintegralan numerik…………….………………... 35 4.2 Metode Reimann…………….…………………..………… 38 4.3 Metode Trapesium…………………………….……….…… 39 4.4 Metode Simpson 1/3…………………….……….………… 40 4.5 Metode Simpson 3/8………………………….……….…….. 42 4.6 Metode Integrasi Gauss………………….……….………… 43 4.7 Penerapan Integrasi Numerik………………….……….…….. 44
4
BAB V PERSAMAAN LINEAR SIMULTAN 5.1 Eliminasi Gauss… ……………………….………………... 50 5.2 Eliminasi Gauss Jordan…………………………..………… 56 5.3 Dekomposisi LU………………………….……….…… 58 5.4 Iterasi Gauss-Seidel………………………….……….…… 62
DAFTAR PUSTAKA ................................................................................. 67
5
Daftar Gambar
Gambar Nama gambar Halaman 1.1 Bagan Metode Analisa Numerik 8 2.1 Grafik akar persamaan kuadrat 10 2.2 Metode Grafik 15 2.3 Bisection 16 2.4 Daerah akar fungsi 17 2.5 Regulasi Falsi 18 2.6 Newton Rapshon 20 2.7 Penyelesaian dengan Newton Rapshon 20 2.8 Metode Secant 23 2.9 Grafik fungsi metode secant 24 2.10 Flowchart Metode Secant 25 3.1 Grafik Interpolasi 28 3.2 Interpolasi Linear 29 3.3 Interpolasi kuadratik 30 4.1 Dasar pengintegralan numeric 36 4.2 Pendekatan solusi integrasi numeric 36 4.3 Grafik Linear dan kuadratik 37 4.4 Grafik kubik dan polinomial 37 4.5 Grafik polynomial data 37 4.6 Grafik luas dengan integral 38 4.7 Metode Reimann 38 4.8 Grafik Solusi reimann 39 4.9 Metode Trapesium 40 4.10 Metode Simpson 1/3 41 4.11 Pembagian h metode simpson 1/3 42 4.12 Metode Simpson 3/8 42 5.1 Solusi sitem persamaan linear 48 5.2 Flowchart system persamaan linear 55
6
Daftar Tabel
Tabel Keterangan Halaman
2.1 Metode tabel 14 2.2 Contoh metode tabel 15 2.3 Penentuan metode bisection 18 2.4 Iterasi 20 2.5 Iterasi Newton Rapshin 25 2.6 Perbandingan Metode system persamaan linear 26
7
A. Deskripsi Mata Kuliah Pada mata kuliah ini disajikan beberapa analisa numerik. Pertama-tama diberikan beberapa definisi, teorema yang berhubungan dengan analisa numerik, termasuk penyajian bilangan, galat dan beberapa konsep dasar yang terkait. Selanjutnya dibahas penyelesaian persamaaan non linear dengan menggunakan metode grafik, tabel, Bisection, Newton Raphson, Secant, dan Modifikasi metode Newton untuk Polinomial. Pembahasan Sistem Linear meliputi aljabar matriks, metode penyelesaian Sistem Linear dengan metode iterasi Jacobi, Gauss Seidel dan penyelesaian sistem linear tridiagonal. Sementara metode numerik untuk aljabar matriks dibahas mengenai menghitung determinan dan invers matriks. Untuk Interpolasi dibahas Interpolasi Polinomial yang meliputi Interpolasi Linear dan Kuadrat, Interpolasi Beda terbagi Newton, dan Interpolasi Lagrange, Integral numerik yang meliputi Konsep dasar Integral Numerik, Diantaranya Metode Reimann dan Trapezoid juga Metode Newton-Cotes termasuk Aturan Simpson 1/3 dan Aturan Simpson 3/8. Ditambah pengenalan tentang differensiasi numeric seperti konsep finite difference dan berbagai analisa numerik tersebut diaplikasikan dalam bahasa pemograman B. Tujuan Kompetensi Umum Setelah mengikuti mata kuliah ini, mahasiswa diharapkan dapat menggunakan dan menginterpretasikan beberapa analisa numerik beserta algoritmanya kepada berbagai masalah yang berhubungan dengan masalah numerik. C. Tujuan Kompetensi Khusus • Menjelaskan penyajian bilangan, analisis kesalahan, pemilihan metode aritmetika
dan konsep-konsep dasar yang berhubungan dengan metode numerik • Menyelesaikan persamaan non linear dengan beberapa metode dan
menginterpreasikan hasilnya beserta algoritmanya • Menyelesaikan Sistem Linear dengan beberapa metode dan menginterpreasikan
hasilnya beserta algoritmanya • Menentukan determinan dan invers matriks dan menginterpretasikan hasilnya beserta
algoritmanya • Menentukan suatu interpolasi dari barisan data dengan beberapa metode dan
menginterpreasikan hasilnya beserta algoritmanya • Menghitung integral secara numerik dengan beberapa metode.
8
BAB I PENDAHULUAN
A. Tujuan Kompetensi Khusus • Mahasiswa dapat mengetahui dan memahami pengertian dan maksud pembelajaran
analisa numerik dan mampu mengetahui perbedaanya dengan metode analitik dan metode empirik
• Menjelaskan penyajian bilangan, analisis kesalahan (galat), pemilihan metode aritmetika dan konsep-konsep dasar yang berhubungan dengan metode numeric
B. Uraian Materi 1.1 Definisi Analisa Numerik Dalam metode penyelesaian permasalahan di berbagai disiplin ilmu pengetahuan, seperti dalam bidang fisika, kimia, matematika atau ekonomi, atau pada persoalan di bidang rekayasa (engineering), seperti Teknik Sipil, Teknik Mesin, Elektro, dan sebagainya, diantaranya pada umumnya harus diformulasikan dalam notasi matematika sebelum dianalisa secara kualitatif baik secara analitik (secara eksakta) ataupun secara numerik, walaupun ada beberapa pula yang menggunakan metode penyelesaian secara empiris (melalui percobaan).
Gambar 1.1. Bagan Metode Penyelesaian Metode analitik adalah metode sebenarnya yang dapat memberikan solusi sebenarnya (exact solution) atau solusi sejati artinya metode penyelesaian model matematika dengan rumus-rumus aljabar yang sudah baku (lazim) dan solusi yang dihasilkan memiliki galat atau error = 0. Namun metode analitik hanya unggul pada sejumlah persoalan matematika yang terbatas. Padahal persoalan yang muncul dalam dunia nyata seringkali melibatkan bentuk dan proses yang rumit. Akibatnya nilai praktis penyelesaian metode analitik menjadi terbatas. Bila metode analitik tidak dapat lagi diterapkan, maka solusi persoalan sebenarnya masih dapat dicari dengan menggunakan metode numerik. Metode numerik adalah teknik yang digunakan untuk memformulasikan persoalan matematik sehingga dapat dipecahkan dengan operasi perhitungan/aritmetika biasa (tambah, kurang, kali, dan bagi). Metode artinya cara, sedangkan numerik artinya angka. Jadi metode numerik secara harafiah berarti cara berhitung dengan menggunakan angka-angka. Dari penjelasan tersebut terdapat dua hal mendasar mengenai perbedaan antara metode numerik dengan metode analitik yaitu pertama, solusi dengan menggunakan metode numerik selalu berbentuk angka sedangkan metode analitik umumnya menghasilkan solusi dalam bentuk fungsi matematik yang selanjutnya fungsi matematik tersebut dapat dievaluasi untuk menghasilkan nilai dalam bentuk angka. Kedua, dengan metode numerik, kita hanya memperoleh solusi yang menghampiri atau mendekati solusi
Metode Penyelesaian
Analitik Numerik Empirik
9
sejati sehingga solusi numerik dinamakan juga solusi pendekatan (approxomation), namun solusi pendekatan dapat dibuat seteliti yang kita inginkan. Solusi hampiran jelas tidak tepat sama dengan solusi sejati, sehingga ada selisih antara keduanya. Selisih inilah yang disebut dengan galat (error). Sebagai contoh ilustrasi, tinjau sekumpulan persoalan matematik di bawah ini. (1) Tentukan akar-akar persamaan polinom:
06662.14389924.177.7 23467 =+−−++− xxxxxx (2) Selesaikan sistem persamaaan lanjar (linear)
(3) Tentukan nilai maksimum fungsi tiga matra (dimension):
(4) Hitung nilai integral-tentu berikut
(5) Diberikan persamaan differensial biasa (PDB) dengan nilai awal:
Hitung nilai y pada t = 1.8! Untuk menyelesaikan soal-soal seperti di atas dengan metode analitik, sangatlah sulit. Soal (1) misalnya, biasanya untuk polinom derajat dua masih dapat mencari akar-akar polinom dengan rumus abc, grafik atau difaktorkan. Sedangkan untuk polinom berderajat banyak seperti diatas memerlukan bantuan numerik. Soal (2) pun sama, untuk menyelesaikan persamaan linear dengan banyak peubah juga sulit untuk diselesaikan secara analitik, begitupun dengan soal lainya. Dari Ilistrusi diatas dapat disimpulkan mengenai alasan menggunakan MetodeNumerik • Tidak semua permasalahan matematis atau perhitungan dapat diselesaikan dengan
mudah. • Dibutuhkan metode yang menggunakan analisis-analisis pendekatan persoalan non
linier untuk menghasilkan nilai yang diharapkan. • Kesulitan menggunakan metode analitik untuk mencari solusi exact dengan jumlah
data yang besar, diperlukan perhitungan komputer, metode numerik menjadi penting untuk menyelesaikan permasalahan ini
• Pemakaian metode analitik terkadang sulit diterjemahkan kedalam algoritma yang dapat dimengerti oleh komputer. Metode numeric yang memang berangkat dari pemakaian alat bantu hitung merupakan alternatif yang baik dalam menyelesaian persoalan-persoalan perhittungan yang rumit.
10
Beberapa kriteria penyelesaian perhitungan matematika • Bila persoalan merupakan persoalan yang sederhana atau ada theorem analisa
matematika yang dapat digunakan untuk menyelesaikan persoalan tersebut, maka penyelesaian matematis (metodeanalitik) adalah penyelesaian exact yang harus digunakan. Penyelesaian ini menjadi acuan bagi pemakaian metode pendekatan.
• Bila persoalan sudah sangat sulit atau tidak mungkin diselesaiakan secara matematis (analitik) karena tidak ada theorem analisa matematik yang dapat digunakan, maka dapat digunakan metode numerik.
• Bila persoalan sudah merupakan persoalan yang mempunyai kompleksitas tinggi, sehingga metode numeric pun tidak dapat menyajikan penyelesaian dengan baik, maka dapat digunakan metode-metode simulasi.
1.2 Tahap-Tahap Memecahkan Persoalan Secara Numerik Ada enam tahap yang dilakukan dakam pemecahan persoalan dunia nyata dengan metode numerik, yaitu 1. Pemodelan Ini adalah tahap pertama. Persoalan dunia nyata dimodelkan ke dalam persamaan matematika (lihat contoh ilustrasi pada upabab 1.2) 2. Penyederhanaan model Model matematika yang dihasilkan dari tahap 1 mungkin saja terlalu kompleks, yaitu memasukkan banyak peubah (variable) atau parameter. Semakin kompleks model matematikanya, semakin rumit penyelesaiannya. Mungkin beberapa andaian dibuat sehingga beberapa parameter dapat diabaikan.Contohnya, faktor gesekan udara diabaikan sehingga koefisian gesekan di dalam model dapat dibuang. Model matematika yang diperoleh dari penyederhanaan menjadi lebih sederhana sehingga solusinya akan lebih mudah diperoleh. 3. Formulasi numerik Setelah model matematika yang sederhana diperoleh, tahap selanjutnya adalah memformulasikannya secara numerik, antara lain: a. menentukan metode numerik yang akan dipakai bersama-sama dengan analisis galat awal (yaitu taksiran galat, penentuan ukuran langkah, dan sebagainya). Pemilihan metode didasari pada pertimbangan: - apakah metode tersebut teliti? - apakah metode tersebut mudah diprogram dan waktu pelaksanaannya cepat? - apakah metode tersebut tidak peka terhadap perubahan data yang cukup kecil? b. menyusun algoritma dari metode numerik yang dipilih. 4. Pemrograman Tahap selanjutnya adalah menerjemahkan algoritma ke dalam program computer dengan menggunakan salah satu bahasa pemrograman yang dikuasai. 5. Operasional Pada tahap ini, program komputer dijalankan dengan data uji coba sebelum data yang sesungguhnya. 6. Evaluasi Bila program sudah selesai dijalankan dengan data yang sesungguhnya, maka hasil yang diperoleh diinterpretasi. Interpretasi meliputi analisis hasil run dan membandingkannya dengan prinsip dasar dan hasil-hasil empirik untuk menaksir kualitas solusi numerik, dan keputusan untuk menjalankan kembali program dengan untuk memperoleh hasil yang lebih baik.
11
1.3 Galat (Kesalahan) Penyelesaian secara numerik dari suatu persamaan matematis hanya memberikan nilai perkiraan yang mendekati nilai eksak (yang benar) dari penyelesaian analitis. Ada 3 macam kesalahan dasar; 1. Galat bawaan 2. Galat pemotongan 3. Galat pembulatan Galat bawaan (Inheren) Yaitu Galat dalam nilai data dan terjadi akibat kekeliruan dalam menyalin data, salah membaca skala atau kesalahan karena kurangnya pengertian mengenai hukum-hukum fisik dari data yang diukur. Contoh : Pengukuran selang waktu 2,3 detik : • Terdapat beberapa galat karena hanya dg suatu kebetulan selang waktu akan diukur
tepat 2,3 detik. • Beberapa batas yg mungkin pada galat inheren diketahui : • Berhub dg galat pd data yg dioperasikan oleh suatu komputer dg beberapa prosedur
numerik. Galat Pemotongan (Truncation Error) • Berhubungan dengan cara pelaksanaan prosedur numerik • Contoh pada deret Taylor tak berhingga :
........!9!7!5!3
sin9753
−+−+−=xxxxxx
• Dapat dipakai untuk menghitung sinus sebarang sudut x dalam radian • Jelas kita tdk dapat memakai semua suku dalam deret, karena deretnya tak berhingga • Kita berhenti pada suku tertentu misal x9 • Suku yg dihilangkan menghasilkan suatu galat • Dalam perhitungan numerik galat ini sangat penting Galat Pembulatan • Akibat pembulatan angka • Terjadi pada komputer yg disediakan beberapa angka tertentu misal; 5 angka : • Penjumlahan 9,2654 + 7,1625
hasilnya 16,4279 Ini terdiri 6 angka sehingga tidak dapat disimpan dalam komputer kita dan akan
dibulatkan menjadi 16,428
C. Rangkuman • Metode numerik adalah teknik yang digunakan untuk memformulasikan persoalan
matematik sehingga dapat dipecahkan dengan operasi perhitungan/aritmetika biasa (tambah, kurang, kali, dan bagi).
• metode numerik, kita hanya memperoleh solusi yang menghampiri atau mendekati solusi sejati sehingga solusi numerik dinamakan juga solusi pendekatan (approxomation),
• Tahap-Tahap Memecahkan Persoalan Secara Numerik yaitu pemodelan, penyederhanaan model, pemograman, operasional, evaluasi
• Penyelesaian secara numerik dari suatu persamaan matematis hanya memberikan nilai perkiraan yang mendekati nilai eksak (yang benar) dari penyelesaian analitis, yaitu Galat bawaan, Galat pemotongan, Galat pembulatan
12
D. Tugas Buatlah sebuah kajian literatur tentang manfaat analisa numeric di berbagai bidang baik sains, rekayasa, maupun informatika! E. Evaluasi
1. Apa perbedaan dari metode analitik, metode empirik, dan metode numerik? 2. Apa yang dimaksud pemodelan dan model matematika? 3. Jelaskan tahapan-tahapan penyelesaian secara numerik dan dimanakah peran
orang informatika dalam tahapan tersebut? 4. Mengapa dalam konsep analisa numerik ada yang dinamakan galat? 5. Jelaskan definisi dan berbagai jenis-jenis galat? 6. Apa yang dimaksud ketidakpastian dalam proses fisis dan pengukuran? 7. Sebutkan manfaat apa saja yang akan kalian dapat dalam mempelajari analisa
numerik?
13
BAB II SISTEM PERSAMAAN NON-LINEAR
A. Tujuan Kompetensi Khusus • Menyelesaikan persamaan non linear dengan beberapa metode pengurung dan
menginterpreasikan hasilnya beserta algoritmanya • Menyelesaikan persamaan non linear dengan beberapa metode terbuka dan
menginterpreasikan hasilnya beserta algoritmanya B. Uraian Materi Pada umumnya untuk mendapatkan penyelesaian matematika yang menjabarkan model persoalan nyata di berbagai bidang, sering solusi yang harus dicari berupa suatu nilai variabel x sehingga f(x) =0 artinya nilai-nilai x yang menyebabkan nilai f(x) sama dengan nol. Atau dalam arti lain kita menentukan akar-akar persamaan non linier tersebut. Beberapa metoda untuk mencari akar yang telah dikenal adalah:
Dengan memfaktorkan atau dengan cara Horner. Sebagai contoh, untuk mencari akar dari persamaan x2 – 2x − 8 = 0 ruas kiri difaktorkan menjadi (x−4) (x+2) = 0 sehingga diperoleh akar persamaannya adalah x = 4 dan x = -2.
Penyelesaian persamaan kuadrat ax2 + bx + c = 0 dapat dihitung dengan menggunakan rumus ABC.
Akar persamaan f(x) adalah titik potong antara kurva f(x) dan sumbu X.
Gambar 2.1 Grafik akar persamaan kuadrat
Penyelesaian persamaan linier mx + c = 0 dimana m dan c adalah konstanta, dapat dihitung dengan : mx + c = 0 , sehingga, x = -
m
ax 212=
14
Akan tetapi, akar persamaan akan sulit dicari jika persamaan tersebut tidak dapat difaktorkan menjadi bilangan bulat yang bukan pecahan dan cara-cara analitik diatas. Sebagai contoh adalah akar dari persamaan polinom derajat tiga atau lebih. Sehingga terdapat metode-metode secara numerik untuk menyelesaikan kasus-kasus persamaan non-linear yang kompleks dan rumit yaitu metode tertutup dan terbuka.. 2.1. Metode Tertutup (Akolade atau Bracketing Methods)
Mencari akar pada range [a,b] tertentu juga dibutuhkan dua tebakan awal. Dalam range [a,b] dipastikan terdapat satu akar Hasil selalu konvergen disebut juga metode konvergen
Yang termasuk meode tertutup antara lain: Metode Tabel dan Grafik Metode Bisection Metode Regulasi Falsi
2.1.1 Metode Tabel Dimana untuk x di antara a dan b dibagi sebanyak N bagian dan pada masing-masing bagian dihitung nilai f(x) sehingga diperoleh tabel : Tabel 2.1 Metode Tabel Algoritma Metode Tabel:
X f(x)
x0=a f(a)
x1 f(x1)
x2 f(x2)
x3 f(x3)
…… ……
xn=b f(b)
ConSelUnt10 bTab
X
-1
-0
-0
-0
-0
-0
-0
-0
-0
-0
0,
.2.1Seluntmemkas
(xf
Jad
‐1
ntoh: esaikan perstuk mendapabagian sehinbel 2.2 Conto
X f
1,0 -
0,9 -
0,8 -
0,7 -
0,6 -
0,5 0
0,4 0
0,3 0
0,2 0
0,1 0
,0 11.2 Metodain metode
tuk memperomotong sum
sar dari akar ) 23 −= xxx
di terlihat bah
1,5 ‐1
samaan : x+eatkan penyengga diperoloh metode taf(x)
-0,63212
-0,49343
-0,35067
-0,20341
-0,05119
0,10653
0,27032
0,44082
0,61873
0,80484
1,00000 e Grafik table dapat oleh taksiran
mbu x. Titik tersebut. Mi
14 −+ x ma
hwa f(x) = y
‐8
‐6
‐4
‐2
0
2
4
6
8
10
12
‐0,5 0
ex = 0 dengalesaian dari eh : abel
KelemMetodpenyeini tidlinier. awal mmenggmenen
pula melalun akar persini untuk m
isalkan kita aka grafik ter
Gambay = 0, terletak
0,5
an range x = persamaan
Dari tableantara –0,masing -0diambil kedibagi 10 nol pada x
mahan Metode table inelesaian dengdak digunaka Tetapi memengetahui gunakan mntukan peny
ui pendekatanamaan f(x)
menyatakan akan menyersebut diluki
ar 2.2 Metodk diantara su
y = 1x3 ‐
1 1,5
. , di atas range
e diperoleh6 dan –0,5 0,0512 dan eputusan pen
maka diperx = -0,57 den
ode Tabel ni secara ugan error yanan dalam peetode ini diarea penyele
metode yaelesaian
n grafik, den= 0 yaitu mf(x) = 0, melesaikan periskan:
de grafik umbu x : 0.2
‐ 1x2 + 4x ‐ 1
2 2
[ ]0,1−e x =
h penyelesaidengan nila
0,1065, snyelesaiannyroleh f(x) tengan F(x) = 0
umum sulit ng kecil, karenyelesaian pigunakan seesaian yang
ang lebih
ngan membumengamati demberikan srsamaan
x -1 -0.7-0.5-0.20 0.20.50.71 1.21.51.72
5-0.5.
2,5
[ 0,1− dibagi men
ian berada ai f(x) masinehingga da
ya di x=-0,6.erdekat deng0,00447
mendapatkrena itu metopersamaan nebagai taksi
benar sebelbaik dal
uat grafik fudimana letaksuatu pendek
y -7
75 -4.985 -3.3725 -2.07
-1 25 -0.045 0.87575 1.859
3 25 4.3905 6.12575 8.296
11
]0 njadi
di ng-
apat
gan
kan ode non iran lum lam
ungsi k dia katan
84375 781
4685 93
06 5 68
16
2.1.3 Bisection (METODE BAGI DUA) Prinsip: Ide awal metode ini adalah metode tabel, dimana area dibagi menjadi N bagian. Hanya saja metode bisection ini membagi range menjadi 2 bagian, dari dua bagian ini dipilih bagian mana yang mengandung dan bagian yang tidak mengandung akar dibuang. Hal ini dilakukan berulang-ulang hingga diperoleh akar persamaan. Langkah 1 : Pilih a sebagai batas bawah dan b sebagai batas atas untuk taksiran akar sehingga terjadi perubahan tanda fungsi dalam selang interval. Atau periksa apakah benar bahwa f(a) . f(b) < 0
Gambar 2.3 Bisection
Langkah 2 : Taksiran nilai akar baru, c diperoleh dari :
c=
17
Langkah 3 : Menentukan daerah yang berisi akar fungsi: o Jika z merupakan akar fungsi, maka f(x < z) dan f(x > z) saling berbeda tanda. o f(a)*f(c) negatif, berarti di antara a & c ada akar fungsi. o f(b)*f(c) positif, berarti di antara b & c tidak ada akar fungsi
Gambar 2.4 Daerah akar fungsi
Langkah 4 : Menentukan kapan proses pencarian akar fungsi berhenti: Proses pencarian akar fungsi dihentikan setelah keakuratan yang diinginkan dicapai, yang dapat diketahui dari kesalahan relatif semu.
Contoh : Carilah salah satu akar persamaan berikut: xe-x+1 = 0 disyaratkan bahwa batas kesalahan relatif (εa) =0.001, dengan menggunakan range x=[−1,0] Dengan memisalkan bahwa :
(xl) = batas bawah = a (xu) = batas atas = b (xr) = nilai tengah = x
maka diperoleh tabel biseksi sebagai berikut
2⇒Χ
18
Tabel 2.3 Tabel Penentuan Metode Bisection
Pada iterasi ke 10 diperoleh x = -0.56738 dan f(x) = -0.00066 Untuk menghentikan iterasi, dapat dilakukan dengan menggunakan toleransi error atau iterasi maksimum. Catatan : Dengan menggunakan metode biseksi dengan tolerasi error 0.001 dibutuhkan 10 iterasi, semakin teliti (kecil toleransi errornya) maka semakin bear jumlah iterasi yang dibutuhkan. 2.1.4 Metode Regula Falsi
o Metode pencarian akar persamaan dengan memanfaatkan kemiringan dan selisih tinggi dari dua titik batas range.
o Dua titik a dan b pada fungsi f(x) digunakan untuk mengestimasi posisi c dari akar interpolasi linier.
o Dikenal dengan metode False Position
Gambar 2.5. Grafik Regulasi Falsi
×= awala perkiraanε
19
Algoritma Metode Regulasi Falsi:
2.2 Metode Terbuka
Diperlukan tebakan awal xn dipakai untuk menghitung xn+1 Hasil dapat konvergen atau divergen
2.2.1 Metode Iterasi Sederhana Bentuk lain metode penentuan akar persamaan adalah dengan memulai suatu perkiraan harga akar persamaan yang kemudian dengan serangkaian nilai perkiraan ini, mulai x0 (perkiraan awal), x1, x2, …., xk, akhirnya konvergen pada Ω, yaitu xn cukup dekat pada Ω menurut tingkat kecermatan yang diinginkan, dapat ditulis sebagai berikut: f(x) = x – g(x) = 0, sehingga Ω = g(Ω). Bentuk iterasi satu titik ini dapat dituliskan dalam bentuk: x(n+1)=g(xn), Dimana n=0,1,2,3,.... , Contoh: menyusun kembali persamaan tersebut dalam bentuk Ω = g(Ω). ( i ) ( ii ) ( iii ) ( iv) Dari rumusan pertama dapat dinyatakan persamaan iterasinya sebagai dengan n = 1,2,3,....., Jika diambil dari nilai xo = 1, maka:
)(fbfx −=
=x3(x=
20
Dan seterusnya. Hasilnya dapat ditabelkan sebagai berikut
Tabel 2.4. Tabel Iterasi
iterasi x g(x) Ea
1 1 4.795832
2 4.795832 2.677739 -79.1
3 2.677739 3.235581 17.24086
4 3.235581 3.030061 -6.78272
5 3.030061 3.098472 2.207889
6 3.098472 3.074865 -0.76773
7 3.074865 3.082913 0.26104
8 3.082913 3.080158 -0.08944
9 3.080158 3.081099 0.030566
10 3.081099 3.080777 -0.01045
Algoritma program dengan metode Iterasi a). Tentukan X0, toleransi, dan jumlah iterasi maksimum. b). Hitung Xbaru= g(X0). c). Jika nilai mutlak (Xbaru - X0) < toleransi, diperoleh tulisan xbaru sebagai hasil perhitungan;jika tidak, lanjutkan ke langkah berikutnya. d). Jika jumlah iterasi > iterasi maksimum, akhiri program. e). X0 = Xbaru, dan kembali ke langkah (b).
2.2.2 Newton Rapshon Salah satu metode penyelesaian akar-akar persamaan non linier f(x), dengan menentukan satu nilai tebakan awal dari akar yaitu xi, dengan rumus: Grafik Pendekatan Metode Newton-Raphson
Gambar 2.6. Grafik Newton Rapshon
)(xf
0 x
1+− ii xx
)( ixf
)( ixf
ix
Kemiringan )(' 1+ixf
1+ix
)( 1+ixf
Kemiringan )(' ixf
1+ix
)( 1+ixf
2+ix
055686.3)20843867.23(32 =+×=x
21
Gambar 2.7 Penyelesaian metode newton-rapshon Pernyataan Masalah: Gunakan Metode Newton-Raphson untuk menaksir akar dari : f(x) = e-x-x , menggunakan sebuah tebakan awal x0= 0.
Langkah 1: Turunan pertama dan kedua dari fungsi f(x) = e-x-x , dapat dievaluasikan sebagai :
Langkah 2:
Lakukan uji syarat persamaan
Lak AkaTab
Kel1. t2. 3. 4. U k
Langkahkukan Iterasi
ar x akan sebel 2.5 Tabe
Contoh
f(x) = xDenganPerkiraaMaka: f(5)=53f'(5)=3(xbaru=5
iterasi Xk
1 5
2 3.7
3 3.2
4 3.0
5 3.0
lemahan MJika fungsi ftersebut tidaTidak dapat Tidak bisa mmeskipun adUntuk persakedua f(x) a
h 3: i dengan :
emakin akural Iterasi New
x3 - 3x - 20, mn demikian xan awal xo =
-3.(5)-20 =9(5)2-3 =72 5-(90/72)=3.k X
3
75 3
201754 3
085854 3
080868 3
Metode Newtf(x) mempun
ak dapat dicamencari aka
mencari akarda akar penyamaan non liakan menjadi
ix
at, jika nilai fwton Rapsho
maka f1(x) =x k+1 = xk - (x= 5
90
.75 Xk+1
3.75
3.201754
3.085854
3.080868
3.080859
ton-Raphsonnyai beberapari secara berar kompleksr persamaan yelesaiannyainier yang cui sulit.
('(
1 ii fxfx −=+
f(x) semakinon
= 3x2- 3 x3
k - 3xk - 20
f(xk)
90
21.48438
3.216661
0.127469
0.00023
n pa akar (titikrsamaan. (imajiner).yang tidak m
a. ukup komple
)()
i
i
xx
n mendekati
) / (3x2k - 3)
f'(xk)
72
39.1875
27.7536
25.5674
25.4752
k) penyelesai
memenuhi p
eks, pencaria
0
).
F
2
5 3
69344 0
4865 0
25192 7
ian, akar-ak
ersyaratan p
an turunan p
F(xk+1)
21.484375
3.216661132
0.127469447
0.000229985
7.53268E-10
kar penyelesa
persamaanny
pertama dan
2
7
5
0
aian
ya,
Alg
2.2MaturuevaSeh did
met
goritma Tentuka Hitung Jika nil
perhitun jika tid Jika jum X = Xb
.3 Metodeasalah yang dunan pertamaluasi turunahingga denga
dapat:
tode secant m
1ix =+
an Xo, toleraXbaru = x - lai mutlak (ngan;
dak, lanjutkanmlah iterasi >baru, dan kem
e Secant didapat dalam
ma, yakni f’(an f ’(xi), san jalan pend
memerlukan
)()((
1i
ii xf
xxfx −=−
ansi, dan jumf'(x0)/f(X0).
(Xbaru - X0)
n ke langkah> iterasi mak
mbali ke langk
m metode N(x). Masalahsehingga tudekatan
n dua taksiran
Gamba
f ' (
)()1
i
ii
xfxx
−−−
mlah iterasi m
< toleransi
h berikutnyaksimum, akhkah (b).
Newton-Raphh potensial
urunan dapat
n awal untuk
ar 2.8 Metod
i
ii x
xfx =−
−
1
1)()
maksimum.
i, diperoleh
a. hiri program.
hson adalah dalam metot dihampiri
,
k x.
de Secant
i
i
xxf
−−
1
)()
tulisan xba
.
terkadang suode Newton-
oleh beda
aru sebagai
ulit mendapa-Raphson ad
hingga ter
hasil
atkan dalah rbagi.
24
Contoh: Selesaikan Persamaan:
Berdasarkan gambar grafk didapatkan akar terletak pada range [0.8, 0.9], maka X0 = 0.8 dan x1 = 0.9, sehingga:y0 = F(x0) = -0.16879y1 = F(x1) = 0.037518 Iterasi Metode Secant adalah sbb:
Gambar 2.9 Grafik fungsi untuk range [-1,1 Algoritma Metode Secant : 1. Definisikan fungsi F(x) 2. Ambil range nilai x =[a,b] dengan jumlah pembagi p 3. Masukkan torelansi error (e) dan masukkan iterasi n 4. Gunakan algoritma tabel diperoleh titik pendekatan awal x0 dan x1 untuk setiap range yang diperkirakan terdapat akar dari : F(xk) * F(xk+1)<0 maka x0 = xk dan x1=x0+(b-a)/p . Sebaiknya gunakan metode tabel atau grafis untuk menjamin titik pendakatannya adalah titik pendekatan yang konvergensinya pada akar persamaan yang diharapkan.
25
5. Hitung F(x0) dan F(x1) sebagai y0 dan y1 6. Untuk iterasi I = 1 s/d n atau |F(xi)|≥ e
Hitung yi+1 = F(xi+1) 7. Akar persamaan adalah nilai x yang terakhir
Gambar 2.10. Flowchart Metode Secant
26
Perbandingan Berbagai Metode. Dari berbagai metode, baik metode tertutup maupun terbuka, maka dapat disimpulkan seperti disajikan dalam tabel berikut ini: Tabel 2.6 Perbandingan berbagai metode system persamaan non-linear Metode Tebakan
awal Laju konversi relatif
Stabilitas Akurasi Luas aplikasi
Upaya program
Komentar
Langsung - - - - Sangat terbatas
- -
Grafik - - - Kurang Akar sesung-guhnya
- Memakan waktu lebih banyak daripada metode numerik
Bagidua 2 Perlahan Selalu konvergen
Baik Akar sesung-guhnya
Mudah -
Regula Falsi
2 Sedang Selalu konvergen
Baik Akar sesung-guhnya
Mudah -
Iterasi satu titik
1 Perlahan Bisa divergen
Baik Umum Mudah -
Newton-Raphson
1 Cepat Bisa divergen
Baik Umum, dibatasi jika f’(x)=0
Mudah Memerlukan evaluasi f’(x)
Modifikasi Newton-Raphson
1 Cepat bagi akar berganda; sedang bagi akar tunggal
Bisa divergen
Baik Umum, didesain khusus bagi akar berganda
Mudah Memerlukan evaluasi f’’(x) dan f’(x)
Secant 2 Sedang hingga cepat
Bisa divergen
Baik Umum Mudah Tebakan awal tak harus mengurung akar
Modifikasi Secant
1 Sedang hingga cepat
Bisa divergen
Baik Umum Mudah -
27
C. Rangkuman
1. Metode-metode secara numerik untuk menyelesaikan kasus-kasus persamaan non-linear yang kompleks dan rumit yaitu metode tertutup dan terbuka..
2. Metode Tertutup (Akolade atau Bracketing Methods) • Mencari akar pada range [a,b] tertentu juga dibutuhkan dua tebakan awal. • Dalam range [a,b] dipastikan terdapat satu akar • Hasil selalu konvergen disebut juga metode konvergen
3. Yang termasuk meode tertutup antara lain: • Metode Tabel dan Grafik • Metode Bisection • Metode Regulasi Falsi
4. Metode tabel ini secara umum sulit mendapatkan penyelesaian dengan error yang kecil, karena itu metode ini tidak digunakan dalam penyelesaian persamaan non linier.
5. Metode bisection ini membagi range menjadi 2 bagian, dari dua bagian ini dipilih bagian mana yang mengandung dan bagian yang tidak mengandung akar dibuang. Hal ini dilakukan berulang-ulang hingga diperoleh akar persamaan.
6. Metode Regula Falsi yaitu metode pencarian akar persamaan dengan memanfaatkan kemiringan dan selisih tinggi dari dua titik batas range.
7. Metode Terbuka • Diperlukan tebakan awal • xn dipakai untuk menghitung xn+1 • Hasil dapat konvergen atau divergen
8. Yang termasuk metode terbuka adalah: • Metode Iterasi Sederhana • Metode Newton-Raphson • Metode Secant.
9. metode iterasi adalah dengan memulai suatu perkiraan harga akar persamaan yang kemudian dengan serangkaian nilai perkiraan ini
10. Newton-Rapshon menentukan satu nilai tebakan awal dari akar yaitu xi, dengan rumus:
11. metode secant memerlukan dua taksiran awal untuk x D. Tugas Pilihlah satu metode untuk menyelesaikan persamaan non-linear diatas, kemudian cobalah membuat programnya dengan menggunakan bahasa MATLAB! E. Evaluasi Gunakan Metode Bisection dan Newton Rapshon untuk memperkirakan akar dari f(x) =0. Yang ada diantara titik a dan b berkut ini. 3)( 4 −+= xxxf , a = 1 dan b = 2.
)(')(
1i
iii xf
xfxx −=+
28
BAB III INTERPOLASI
A. Tujuan Kompetensi Khusus
• Menentukan suatu Interpolasi linear dan kuadratik dari barisan data dengan beberapa metode dan menginterpreasikan hasilnya beserta algoritmanya.
• Menentukan suatu polinomial dari barisan data dengan beberapa metode dan menginterpreasikan hasilnya beserta algoritmanya
B. Uraian Materi Interpolasi adalah teknik mencari harga suatu titik diantara 2 titik yang nilai fungsi pada ke-2 titik tersebut sudah diketahui. Kegunaan dari interpolasi itu sendiri sangat penting karena Data yang sering dijumpai di lapangan sering dalam bentuk data diskrit yang umumnya disajikan dalam bentuk tabel. Sebagai gambaran, sebuah eksperimen di laboratorium fisika dasar mengenai hubungan antara jarak tempuh benda yang jatuh bebas terhadap waktu tempuh menghasilkan data seperti disajikan dalam tabel berikut: Tabel 3.1 Tabel data interpolasi
y (meter) 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 t (detik) 1.45 2.0 2.4 2.85 3.0 3.5 3.75 4.0 4.2 4.52
Permasalahan yang sering ditemui pada data di atas adalah menentukan suatu nilai di antara titik-titik tersebut yang dapat diketahui tanpa melakukan pengukuran kembali. Misalkan kita ingin mengetahui berapa jarak tempuh benda ketika waktu tempuhnya 7,5 detik? Pertanyaan ini tidak secara langsung dapat dijawab, karena fungsi yang menghubungkan variabel t dan y tidak diketahui. Salah satu solusinya adalah mencari fungsi yang mencocokkan (fit) titiktitik dalam tabel di atas. Pendekatan semacam ini disebut pencocokan kurva (curve fitting) dan fungsi yang diperoleh dengan pendekatan ini merupakan fungsi hampiran. Tentu saja nilai fungsi yang diperoleh juga merupakan nilai hampiran (hasilnya tidak setepat nilai eksaknya), tetapi cara pendekatan ini dalam praktek sudah mencukupi karena formula yang menghubungkan dua variabel atau dua besaran fisika sulit ditemukan.
Bila data yang diketahui mempunyai ketelitian yang sangat tinggi, maka kurva pencocokannya dibuat melalui titik-titik, persis sama apabila kurva fungsi yang sebenarnya diplot melalui setiap titik-titik yang bersangkutan. Di sini kita dikatakan melakukan interpolasi titik-titik data dengan sebuah fungsi (Gambar disamping)
Gambar 3.1 Grafik interpolasi
Interpolasi memegang peranan yang sangat penting dalam metode numerik. Fungsi yang tampak sangat rumit akan menjadi sederhana bila dinyatakan dalam polinom interpolasi. Sebagian besar metode integrasi numerik, metode persamaan difrensial biasa dan metode
29
turunan numerik didasarkan pada polinom interpolasi sehingga banyak yang menyatakan bahwa interpolasi merupakan pokok bahasan yang fundamental dalam metode numerik.
Ada beberapa jenis interpolasi diantaranya: Interpolasi Linier Interpolasi Kuadratik Interpolasi Polinomial Interpolasi Lagrange
3.1 Interpolasi Linear Interpolasi linear adalah interpolasi dua buah titik dengan sebuah garis lurus. Misalkan dua buah titik, ( x1 , y1 ) dan (x2 , y2 ). Polinom yang menginterpolasi kedua titik itu adalah persamaan garis lurus berbentuk:
Gambar 3.2 Grafik Interpolasi Linear Persamaan garis lurus yang melalui 2 titik P1(x1,y1) dan P2(x2,y2) dapat dituliskan dengan:
Sehingga diperoleh persamaan dari interpolasi linier sebagai berikut:
Algoritma Interpolasi Linier : (1) Tentukan dua titik P1 dan P2 dengan koordinatnya masing-masing (x1,y1) dan (x2,y2) (2) Tentukan nilai x dari titik yang akan dicari (3) Hitung nilai y dengan :
(4) Tampilkan nilai titik yang baru Q(x,y)
30
Contoh: Diketahui data sebagai berikut :
x -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7
y 9 4 1 0 1 4 9 16 25 36 49
Tentukan harga y pada x = 6,5 ! Jawab : x = 6,5 terletak antara x=6 dan x=7, sehingga dengan menggunakan rumus: , didapat: Alternatif 2 : x = 6,5 terletak antara x=1 dan x=7, dengan rumus yang sama, didapat: Jika kita bandingkan kedua kedua hasil tersebut yakni: Karena hubungan. x dan y adalah y = x2 maka untuk harga x = 6,5 didapat y = (6,5)2 = 42,25 Kesalahan mutlak (E), untuk : y = 42.5 |42.5 – 42.25| = 0.25 = 25 % Sedangkan untuk y = 45 |45 – 42.25| = 3.25 = 325 % Terlihat bahwa y = 42.5 lebih akurat, jadi dapat disimpulkan bahwa Semakin kecil interval antara titik data, hasil perkiraan interpolasi akan semakin baik. 3.2 Interpolasi Kuadratik Banyak kasus, penggunaan interpolasi linier tidak memuaskan karena fungsi yang diinterpolasi berbeda cukup besar dari fungsi linier. Untuk itu digunakan polinomial lain yang berderajat dua (interpolasi kuadrat) atau lebih mendekati fungsinya. Interpolasi Kuadratik digunakan untuk mencari titik-titik antara dari 3 buah titik P1(x1,y1), P2(x2,y2) dan P3(x3,y3) dengan menggunakan pendekatan fungsi kuadrat.
Gambar 3.3 Grafik Interpolasi Kuadratik
(11 kkkk yxxyy −−+= ++ )3649()67(36 =−−+=y )48()6(1)149()17(1 +=−−+=y
31
Untuk memperoleh titik Q(x,y) digunakan interpolasi kuadratik sebagai berikut:
Algoritma Interpolasi Kuadratik: (1) Tentukan 3 titik input P1(x1,y1), P2(x2,y2) dan P3(x3,y3) (2) Tentukan nilai x dari titik yang akan dicari (3) Hitung nilai y dari titik yang dicari menggunakan rumus dari interpolasi kuadratik:
(4) Tampilkan nilai x dan y 3.3 Interpolasi Polinomial Interpolasi polynomial digunakan untuk mencari titik-titik antara dari n buah titik P1(x1,y1), P2(x2,y2), P3(x3,y3), …, PN(xN,yN) dengan menggunakan pendekatan fungsi polynomial pangkat n-1:
Masukkan nilai dari setiap titik ke dalam persamaan polynomial di atas dan diperoleh persamaan simultan dengan n persamaan dan n variable bebas:
Penyelesaian persamaan simultan di atas adalah nilai-nilai a0, a1, a2, a3, …, an yang merupakan nilai-nilai koefisien dari fungsi pendekatan polynomial yang akan digunakan. Dengan memasukkan nilai x dari titik yang dicari pada fungsi polinomialnya, akan diperoleh nilai y dari titik tersebut. Algoritma Interpolasi Polynomial : (1) Menentukan jumlah titik N yang diketahui. (2) Memasukkan titik-titik yang diketahui Pi = xi yi untuk i=1,2,3,…,N (3) Menyusun augmented matrik dari titik-titik yang diketahui sebagai berikut:
(4) Menyelesaikan persamaan simultan dengan augmented matrik di atas dengan menggunakan metode eliminasi gauss/Jordan. (5) Menyusun koefisien fungsi polynomial berdasarkan penyelesaian persamaan
32
simultan di atas.
(6) Memasukkan nilai x dari titik yang diketahui (7) Menghitung nilai y dari fungsi polynomial yang dihasilkan
(8) Menampilkan titik (x,y) 3.4 Interpolasi lagrange Interpolasi polynomial digunakan untuk mencari titik-titik antara dari n buah titik P1(x1,y1), P2(x2,y2), P3(x3,y3), …, PN(xN,yN) dengan menggunakan pendekatan fungsi polynomial yang disusun dalam kombinasi deret dan didefinisikan dengan:
Algoritma Interpolasi Lagrange : (1) Tentukan jumlah titik (N) yang diketahui (2) Tentukan titik-titik Pi(xi,yi) yang diketahui dengan i=1,2,3,…,N (3) Tentukan x dari titik yang dicari (4) Hitung nilai y dari titik yang dicari dengan formulasi interpolasi lagrange
(5) Tampilkan nilai (x,y) Contoh: Nilai yang berkorespondensi dengan y = 10log x adalah :
X 300 304 305 307
10log x 2,4771 2,4829 2,4843 2,4871
Carilah 10log 301 ? Untuk menghitung y(x) = 10log 301 dimana x = 301, maka nilai diatas menjadi
x0 = 300 x1 = 304 x2 = 305 x3 = 307
y0 = 2,4771 y1 = 2,4829 y2 = 2,4843 y3 = 2,4871
Dengan menggunakan interpolasi lagrange
−−−= 4771,2)307300)(305300)(304300()(xy −−− 4829,2)307304)(305304)(300304(
478,2)( =xy
33
Contoh 2 : Bila y1 = 4, y3 = 12, y4 = 19 dan yx = 7, carilah x ? Karena yang ditanyakan nilai x dengan nilai y diketahui, maka digunakan interpolasi invers atau kebalikan yang analog dengan interpolasi Lagrange. Nilai sebenarnya dari x adalah 2, karena nilai-nilai atau data diatas adalah hasil dari polinom y(x) = x2 + 3. Adapun untuk membentuk polinom derajat 2 dengan diketahui 3 titik, dapat menggunakan cara yang sebelumnya pernah dibahas dalam hal mencari persamaan umum polinomial kuadrat.
C. Rangkuman 1. Interpolasi adalah teknik mencari harga suatu titik diantara 2 titik yang nilai fungsi
pada ke-2 titik tersebut sudah diketahui 2. Interpolasi linear adalah interpolasi dua buah titik dengan sebuah garis lurus.
Misalkan dua buah titik, ( x1 , y1 ) dan (x2 , y2 ). Polinom yang menginterpolasi kedua titik itu adalah persamaan garis lurus
3. Interpolasi Kuadratik digunakan untuk mencari titik-titik antara dari 3 buah titik
P1(x1,y1), P2(x2,y2) dan P3(x3,y3) dengan menggunakan pendekatan fungsi kuadrat.
4. Interpolasi polynomial digunakan untuk mencari titik-titik antara dari n buah titik
P1(x1,y1), P2(x2,y2), P3(x3,y3), …, PN(xN,yN) dengan menggunakan pendekatan fungsi polynomial pangkat n-1:
5. P1(x1,y1), P2(x2,y2), P3(x3,y3), …, PN(xN,yN) dengan menggunakan pendekatan
fungsi polynomial yang disusun dalam kombinasi deret dan didefinisikan dengan:
D. Tugas Carilah sebuah data di lapangan (x,y) dan kemudian lakukan interpolasi pada saat x tertentu!
−−= ()194)(124(x −− )1912)(412( 1219)(419( −−7142 =−+=x
34
E. Soal
1. Cari nilai y untuk titik x =2.5 yang berada diantara titik (1,5), (2,2) dan (3,3) dengan menggunakan interpolasi kuadratik !
2. Diketahui data berikut:
x 100 110 120 130
10log x
2 2.0413
2.0791
2.1139
Carilah 10log 115 dengan menggunakan Interpolasi Lagrange dari data diatas..
∏∑≠= −
−=
11 )()(
j ji
jN
ii xx
xxyy
3. Hitunglah interpolasi dari data yang diketahui berikut ini:
a) Jika dari data-data diketahui bahwa ℓn (9,0) = 2,1972 dan ℓn (9,5) = 2,2513 maka tentukanlah nilai ℓn (9,2) dengan interpolasi linear sampai 5 angka dibelakang koma.
b) Diberikan data ℓn (8,0) = 2,0794, ℓn (9,0) = 2,1972 dan ℓn (9,5) = 2,2513. Tentukanlah nilai ℓn (9,2) dengan interpolasi kuadratik
35
BAB IV NUMERIK
A. Tujuan Kompetensi Khusus
• Menghitung integral secara numerik dengan beberapa metode persegi panjang dan
trapezium • Menghitung integral secara numerik dengan aturan simpson 1/3 dan aturan simpson
3/8
B. Uraian Materi Di dalam kalkulus, terdapat dua hal metode penting untuk menyelesaikan permasalahan matematis yaitu integral dan turunan (derivative). Pengintegralan numerik merupakan alat atau cara yang digunakan untuk memperoleh jawaban hampiran (aproksimasi) dari pengintegralan yang tidak dapat diselesaikan secara analitik. Kita lihat contoh berikut: Fungsi yang dapat dihitung integralnya secara analitik :
Fungsi yang rumit misalnya : Perhitungan integral adalah perhitungan dasar yang digunakan dalam kalkulus, dalam banyak keperluan. digunakan untuk menghitung luas daerah yang dibatasi oleh fungsi y = f(x) dan sumbu x. Penerapan integral semisal menghitung luas dan volume-volume benda putar dan juga yang lainya. 4.1 Dasar Pengintegralan Numerik
Penjumlahan berbobot dari nilai fungsi
Cxxxdxx
Cxdxx
Cbaadxbax
Cbaadxbax
Ca
edxe
Cnaxdxax
axax
nn
+−=
+=
++=+
++−=+
+=
++
=
∫∫
∫∫
∫
∫+
||ln||ln
||ln1
)sin(1)cos(
)cos(1)sin(
1
1
dxex
x x5.02
0
23
sin5.01)1cos(2
∫ +++
)(...)()(
)()(
1100
0
nn
i
n
ii
b
a
xfcxfcxfc
xfcdxxf
+++=
≈∑∫=
Per
f n jug
I =
nf
MelakuintegralMetodeeksak.
rhitungan int
dapat berupa polinomia
dxxfb
a∫ ≅= )(
n ax += 0)(
Gam
ukan penginl yaitu penjume Numerik h
tegral mengg
a fungsi linel dapat didas
dxxfb
a n∫≅ )(
axa ++1 L
mbar 4.1 Da
nteralan padmlahan bagi
hanya menco
Gambar
gunakan For Nilai ham
ear, kuadratsarkan pada
nn axa +−−
11
asar Pengint
da bagian-baian-bagian. oba untuk le
4.2 Pendeka
rmula Newto
mpiran f(x) d
, kubik, ataudata.
nn x
tegralan Num
agian kecil,
ebih cepat d
atan solusi
on-Cotes yai
dengan polyn
upun polyno
merik
, seperti sa
an lebih me
itu berdasark
nomial:
omial yang l
aat awal be
endekati jaw
kan pada
lebih tinggi.
elajar
waban
Dan
37
Gambar 4.3 Linear dan kuadartik
Gambar 4.4 Kubik dan polynomial yang lebih tinggi
Gambar 4.5 Polinomial dapat didasarkan pada data
Intenumsatuvarnumper Lu
GamCondanx = Sol 4.2
SelujuyaitConCar
egrasi secaramerik integru variabel, priabel bebas, meric dapat rbedaan yanguas (L) =
mbar 4.6 Grntoh : Hitun
n 4.
lusi:
Metode P Bagi
Hitun Hitun Juml
ain mengamung kanan sutu nilai fungntoh: ri luas daerah
∫b
a
= L4
0∫
= Lh
k∑=
a numeric mran (fungsi yproses disebu
proses disebdilakukan dg diintgrasik
rafik Luas Inng luas daer
Pendekatan interval a sa
ng nilai fungng luas tiap-lahkan semu
mbil tinggi pub-interval kgsi pada ujun
h di bawah k
( )dxxf
x dx )( 312 =x
)f(x . h k
h
1∑=
merupakan pryang diintegut QUADRAbut CUBATengan meny
kan antara [ a
ntegrasi ah di atas su
Persegi Panampai b atas
gsi pada ujun-tiap persegi ua luas perseg
ersegi panjake-k tersebutng kiri sub-in
kurva f(x) =
)4( x 3331
4
0=
)
roses menghigrasi). Jika
ATUR MECHTURE MECHyatakan f(x) a,b].
umbu x yang
njang ( Intes n sub-interv
ng-ujung subpanjang ters
gi panjang te
Gambar
ang ke-k, samt, juga dapatnterval, ataup
x2, antara x
64 )0( - 3331 =
itung integrafungsi yangHANIC, dan
HANIC. Mendalam rumu
g dibatasi ole
egral Reimaval
b-interval tersebut → Pk ersebut
r 4.7 Metode
ma dengan ft mengambilpun juga pad
x = 0 sampai
s 1.332 34 =
( = bh
al berdasarkag diintegrasin bila fungsinyelesaikan
usan interpol
eh kurva y =
ann )
rsebut → f = h * f (xk )
e Reimann
f (xk ) yaitu nl tinggi samda :
x = 4
luassatuan
) na - b
f((x 1-k
an sejumlah ikan mempui mempunya seca
lasi dalam fu
= x2, antara x
f (xk )
nilai fungsi a dengan f (
2) / )x+ k
nilai unyai ai dua ara ungsi
x = 0
pada (xk-1 )
DenTab
Sec TerAlg
4.3 BagHitHitLua Lu
(0
==
=L
ngan mengabel 4.1. Perh
cara kalkul
rdapat kesagoritma Me
Definisi Tentuka Tentuka Hitung Hitung
Metode Tgi interval (atung nilai funtung luas trapas trapesium
as Total = t = h
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
0
= 2h
(( )( )85,31.0
01.001.0
)(.10
0
=++
= ∑=i
ixfh
Gammbil h=0.1 m
hitungan inte
lus :
alahan e = 0tode Integrikan fungsi fan batas bawan jumlah peh=(b-a)/N
Trapesium a, b) menjadngsi pada ujupesium → P
m ke-1 = t1 = ke … ke
t1 + t2 + ……h/2 ( f(x0) + f
0.1 0.
⎜⎝
⎛+ ∑
−
=
2 )f(x0
n
k
385,009.004.0 ++
1
0
= ∫ xL
∑=
=N
ifhL
0.
mbar 4.8 Grmaka dipero
egral dengan
,385 - 0,333al Reimannf(x)
wah dan bataembagi area
di n sub-interung-ujung suPk = h * f (xk½ ( f(x0) + f
e-2 = t2 = ½ …………….
e-n = tn = ½ …. + tn
f(x1) ) + h/2
2 0.3
+∑−
=
f(x )f(x1
1k
2.016.09 ++
|31 1
032 = xdxx
ixf )(
rafik Solusi Moleh tabel :
metode Rei
= 0,052 n:
s atas integrN
rval yang samub-interval tk ) f(x1) ) * h =( f(x1) + f(x2
( f(xn-1) + f(x
( f(x1) + f(x
0.4 0.5
⎟⎠
⎞ )xn
.036.025 ++
.....3333,00=
Metode Reim
imann
rasi
ma → tersebut →
= h/2 ( f(x0) +2) ) * h = h/
xn) ) * h = h
x2) ) + …….
0.6 0.
( = n- bh
064.049 ++
.
mann
f (xk )
+ f(x1) ) /2 ( f(x1) + f
h/2 (f(xn-1) +
+ h/2 (f(xn-1
.7 0.8
) a
)00.181.0 +
f(x2) )
+ f(xn) )
1) + f(xn) )
0.9 1
x**2
HitSol Int
Lua Alg• • • • • 4.4 Per f
b
a∫
tung luas daelusi: terval (0, 4)
xk
f(x
as total:
goritma MeDefinisikaTentukan Tentukan Hitung h=Hitung
Aturan Srumusan Atu
=2h
21
=
L
[3
)(2
0
fh
cdxxfi
=
≈∑=
G
erah di bawa
dibagi menj0
xk) 0
tode Integran y=f(x) batas bawahjumlah pem
=(b-a)/n
Simpson 1/3uran Simpson
⎜⎝
⎛+ ∑ 2 )f(x
2 0h
( 4(1 2 0 21
++
⎜⎝
⎛+= fhL 0 2
2
(4)(
)(
0
0
xfxf
fcxfc ii
+
=
Gambar 4.9
ah kurva f(x)
adi 4 sub-int1
1
asi Trapezo
h (a) dan batmbagi n
n 1/3 diapro
+∑=
f(x )f(x3
1k
k
) 16 9)4 =++
⎟⎠
⎞+∑
−
=n
n
ii ff
1
12
])()
()(
21
10
xfx
xfcxf
+
+
Grafik Meto
= x2, antara
terval, n = 42
4
oida
tas atas integ
ksimasi den
⎟⎠
⎞ )x4
22 =
)() 221 xfcx +
ode Trapesiu
a x = 0 samp
→ h = (4 -3
9
grasi (b)
gan fungsi p
)
um
pai x = 4
0)/4 = 1 4
16
parabola:
Per
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=
(
xxx
h
let
L
(L
∫ fb
a
a∫
rumusan ters
=⇒==⇒==⇒=
=−
=
=
−−
+
−−
=
,2
x, x
((
(()(
2
1
0
20
2
10
1
ξξξ
ξ
xxxxxx
ab
at
xxxxxxxxx
21()( −
=ξξξ
1
1
(
(
(
)(−
+
=
+
≈ ∫
xf
xf
xf
hdxxf
dx)x(fb
a=∫
Ga
sebut didapat
−
=−
==
−−−−
10
1
d ,
a x,
))())())(
))(
1
12
120
10
201
21
ξh
xx
b
fxxx
xxx
fxx
xx
1()()0xf −+
3
2
23
0
1
0
21
23(
2)
23(
2)
1)
)(
+
−
−
=
∫
ξξhx
ξξhx
ξ(hx
fdξL ξ
[ )(3h
0xf=
ambar 4.10
t dari penuru
=
+
−−
+
hdx
2b
)(
(( )(
2
10
xf
xxxxx
)() 12 xf +−ξ
1
1
2
1
1
1
2
22
1
10
)2
)()2
)()
(2
)(
−
−
−
+
+
∫
ξ
xf
xfdξ
ξξhx
)(4 1xf ++
Grafik Meto
unan berikut
−−
))())(
210
20 fxxx
xxx
(2
)1( xf+ξξ
1
1
3
1
1
)3
(
)1(2
)1
−
−
−
+
−
∫ξξh
ξξh
dξξ
])( 2xf+
ode Simpson
t ini:
)( 1xf
)2x
)dξ
n 1/3
AtaGreAlg
4.5 Atu
fb
a∫
au penurunaegory derajagoritma:
a) Definisib) Tentukac) Hitung d) Inisialise) Hitung
= sum +f) Hitung g) Tulis ha
Aturan Siuran Simpso
[83
)(3
0
h
cdxxfi
=
≈∑=
Gambar 4.1
n perumusant 2 yang mel
ikan fungsi ian batas pen: h = (b-a)/n
sasi sum = Funtuk i = 2
+ 2 x F (a+ixnilai integraasil perhitun
impson 3/8 n 3/8 diaapr
Ga
[ (3)(
fc)(
0
0
fxf
xfc ii
+
=
11. Grafik pe
n tersebut dlalui ketiga t
integran gintegralan
n (a) + 4 x F sampai i = n
xh) + 4 x F (aal I = h/3 x (sgan
roksimasi de
ambar 4.12 G
)(3)(
x(fc)x(f
21
10
xfx +
+
embagian h p
dapat pila dititik tersebut
a dan b dan j
(a+h) n-1 dengan ia+(i+1)h) sum + F(b))
ngan fungsi
Grafik Meto
])()
)x(fc)x
3
221
xf+
+
pada metode
dapat dari Pt.
jumlah segm
indeks perta
kubik
ode Simpson
)x(fc 33+
e simpson 1/
Polinom inte
men n (harus
ambahan sam
n 3/8
/3
erpolasi New
s genap)
ma dengan 2
wton-
sum
43
Error Pemenggalan Algoritma:
a) Definisikan fungsi integran b) Tentukan batas pengintegralan a dan b dan jumlah segmen n (harus kelipatan 3) c) Hitung : h = (b-a)/n d) Inisialisasi sum = F (a) + 3 x F (a+h) + 3 x F (a+2h) e) Hitung untuk i = 3 sampai i = n-1 dengan indeks pertambahan sama dengan 3 sum
= sum + 2 x F (a+ih) + 3 x F (a+(i+1)h) + 3 x F (a+(i+2)h) f) Hitung nilai integral I = 3h/8 x (sum + F(b))
Tulis hasil perhitungan 4.6 Metode Integrasi Gauss Metode Newton Code (Trapezoida, Simpson) berdasarkan titik 2 data diskrit, dengan batasan h sama dan Luas dihitung dari a sampai b, mengakibatkan error yang dihasilkan cukup besar. Oleh karena itu, diperlukan metode Integrasi Gauss. Persamaan dibawah ini dinamakan metode Gauss Legendre 2 titik: Algoritma Integrasi Kuadratur Gauss dengan Pendekatan 2 titik: • Definisikan fungsi f(x) • Tentukan batas bawah (a) dan batas atas integrasi (b) • Hitung nilai konversi variabel :
• Tentukan fungsi g(u) dengan:
• Hitung
h ; )(6480)(80 )4()4(5 ffhEt =−=−= ξξ
()3()(1 +=∫− ffdxxf
()(22 uabx +−= ( ()()(2)( 2121 uabfabug +−−=
4.7 Me
DarDen Den Den Me Lua Vol Con
=L
=L
=L
Beberapaenghitung L
Untuk mmenandaisatu kotakpanjangnyPada gamhal ini n=
ri tabel di atangan mengg
ngan mengg
ngan mengg
enghitung L
as benda put
lume benda
ntoh :
7316
0
== ∑=i
iyh
2 160⎜⎝
⎛+= yyh
3 160⎜⎜⎝
⎛+= yyh
a PenerapanLuas Daerah
menghitung i atau membk. Bila satu ya adalah 10
mbar di atas, =22). Tinggi
as, luas areagunakan meto
gunakan meto
gunakan meto
Luas dan Vo
tar:
putar:
5.3
215
1
=⎟⎠
⎞+ ∑
=iiy
4 ++ ∑=ganjili
iy
=pL 2π
=pV
n Integrasi h Berdasark
luas integrabuat garis gr
kotak mew00.000 mm amulai sisi kpada setiap
a dapat dihituode integras
ode integras
ode integras
olume Bend
5.73
72 =⎟⎟⎠
⎞∑=genapi
iy
∫b
a
dxxf )(π
[ ]∫=b
a
dxf 2)(π
Numerik kan Gambar
al di peta rid pada setiakili 1 mm,
atau 100 m.kiri dengan ggrid adalah
ung dengan mi Reimann
i trapezoida
i Simpson
a Putar
74
dx
r
di atas, yaap step satudengan ska
grid ke 0 dansebagai berik
menggunaka
ang perlu duan h yang dala yang tert
n sisi kanan kut:
an 3 macam
dilakukan addinyatakan dtera maka be
grid ke n (d
metode:
dalah dalam erarti
dalam
Rua•
• Bag BagSedden
PadDen Lu LuaVol Vol
Ra1.
2.
3.
IIL
IIV
====L
61
===V
ang benda pubagian I membagi-bagian II
gian I:
gian II: dangkan untngan mengam
da bagian II ngan mengg
as permuka
as = 1758.4 lume botol
lume = 1892
angkuman Pengintegjawaban secara anMetode P
Metode Tr
= Lh
1k∑=
⎜⎝
⎛= f(x
2hL
=IL
=IIL
π2
2)( =IVIhL
( ) π2
== IVIhV
4.1758560
10856 +++
πππ
IIII LLL
ππ
6024.1187196 +
++= III VVV
utar dapat didan III m
-bagi kembadan IV perlu
tuk menghitmbil h=1 dip
dan IV: gunakan integ
aan dari bot
cm2
adalah:
24.78 cm3
gralan numehampiran (a
nalitik. Pendekatan P
rapesium
)f(x . h k
+ ∑−
=
f(x 2 )x1
10
n
k
π 5)7)(4(2 =
( )π )12(122=
IIL
22 50⎢⎣
⎡++ yyh
225
20⎢
⎣
⎡++ yyh
10288 +++
πIVIII L
ππ 34565. ++ IVIII VV
ibedakan memerupakan bali ruangnya,u diperhitung
dan
datung bagian peroleh:
dan grasi trapezo
tol adalah:
erik merupakaproksimasi)
Persegi Panja
+ )f(x )x nk
π56 V
π288=
IVL=
1024
1
=⎥⎦
⎤∑=i
iy
124
1
2 =⎥⎦
⎤∑=i
iy
08π
ππ 5.1187+
enjadi 4 bagibentuk silind, gkan kemba
an II dan IV
oida dapat di
kan alat atau ) dari pengi
ang ( Integra
⎠
⎞
π )7)(4(=IV
(π2=IIV
IVII VV =
π8
π5.187
ian der yang ti
ali.
diperlukan
iperoleh:
cara yang dntegralan ya
al Reimann )
π196)2 =
( )( ) 31212 2 =
dak perlu d
pembagian
digunakan unang tidak da
)
π456
dihitung de
area , misa
ntuk memperapat diselesa
engan
alkan
roleh aikan
46
4. Perumusan Aturan Simpson 1/3 diaproksimasi dengan fungsi parabola:
5. Aturan Simpson 3/8 diaaproksimasi dengan fungsi kubik
C. Tugas Pilihlah satu metode untuk menyelesaikan integral secara numerik diatas, kemudian coba aplikasikan algoritmanya dalam sebuah bahasa pemograman menggunakan bahasa pemograman MATLAB! D. Evaluasi
Perbandingkan berbagai metode dengan metode Reimann, Trapezoid, dan aturan simpson untuk menghitung integral di bawah ini!
dxx∫2
0
4 , n = 4
[ ])()(4)(3
)()()()()(
210
221100
2
0
xfxfxfh
xfcxfcxfcxfcdxxf ii
i
b
a
++=
++=≈∑∫=
[ ])()(3)(3)(83
)x(fc)x(fc)x(fc)x(fc)()(
3210
33221100
3
0
xfxfxfxfh
xfcdxxf ii
i
b
a
+++=
+++=≈∑∫=
47
BAB V PERSAMAAN LINEAR SIMULTAN
A. Tujuan Kompetensi Khusus • Menyelesaikan Sistem Linear dengan beberapa metode dan menginterpreasikan
hasilnya beserta algoritmanya. • Menentukan Determinan dan invers matriks dan menginterpretasikan hasilnya beserta
algoritmanya B. Uraian Materi Kasus-kasus persamaan linier akan banyak ditemui dalam masalah rekayasa atau science baik dari cara analisis maupun hitungan rumusan model matematika permasalahan. Kasus yang terpenting adalah jika jumlah besaran atau variabel yang dicari sama jumlahnya dengan jumlah persamaan atau lazim disebut persamaan linear simultan. Terdapat beberapa metode yang akan dipelajari guna menyelesaikan persamaan linear simultan ini. Persamaan linier simultan adalah suatu bentuk persamaan-persamaan yang secara bersama-sama menyajikan banyak variabel bebas. Bentuk persamaan linier simultan dengan m persamaan dan n variabel bebas dapat dituliskan sebagai berikut:
dimana: aij untuk i=1 s/d m dan j=1 s/d n adalah koefisien atau persamaan simultan xi untuk i=1 s/d n adalah variabel bebas pada persamaan simultan Penyelesaian persamaan linier simultan adalah penentuan nilai xi untuk semua i=1 s/d n yang memenuhi semua persamaan yang diberikan. Permasalahan persamaan linier simultan merupakan permasalahan yang banyak muncul ketika berhubungan dengan permasalahan multi-variabel dimana setiap persamaan merupakan bentuk persamaan linier atau dengan kata lain setiap variabel berpangkat paling besar satu. Persamaan linier simultan di atas dapat dinyatakan sebagai bentuk matrik yaitu :
atau dapat dituliskan:
48
Matrik A dinamakan dengan Matrik Koefisien dari persamaan linier simultan, atau ada yang menamakan dengan matrik Jacobian. Vektor x dinamakan dengan vektor variabel (atau vektor keadaan) dan vektor B dinamakan dengan vektor konstanta. Augmented Matrix ( matrik perluasan ) dari persamaan linier simultan adalah matriks yang merupakan perluasan matrik A dengan menambahkan vector B pada kolom terakhirnya, dan dituliskan: Augmented (A) = [A B] Sehingga secara detail, augmented matrik dari persamaan linier simultan dapat dituliskan:
Persamaan Linier Simultan atau Sistem Persamaan Linier mempunyai kemungkinan solusi:
Tidak mempunyai solusi Tepat satu solusi Banyak solusi
Gambar 5.1 Grafik solusi persamaan linear Contoh permasalahan 1: Seorang pembuat boneka ingin membuat dua macam boneka yaitu boneka A dan boneka B. Kedua boneka tersebut dibuat dengan menggunakan dua macam bahan yaitu potongan kain dan kancing. Boneka A membutuhkan 10 potongan kain dan 6 kancing, sedangkan boneka B membutuhkan 8 potongan kain dan 8 kancing. Permasalahannya adalah berapa buah boneka A dan boneka B yang dapat dibuat dari 82 potongan kain dan 62 kancing ? Permasalahan ini dapat dimodelkan dengan menyatakan : x = jumlah boneka A dan y = jumlah boneka B. Untuk setiap bahan dapat dinyatakan bahwa: Potongan kain 10 untuk boneka A + 8 untuk boneka B = 82 Kancing 6 untuk boneka A + 8 untuk boneka B = 62
49
Atau dapat dituliskan dengan : 10 x + 8 y = 82 6 x + 8 y = 62 Penyelesaian dari permasalahan di atas adalah penentuan nilai x dan y yang memenuhi kedua persamaan di atas. Contoh permasalahan 2 : Diketahui panas beberapa titik pada plat baja yaitu pada sisi luar. Bila ditentukan bahwa aliran panas bergerak secara laminar dan panas pada sebuah titik adalah rata-rata panans dari 4 titik tetangganya, maka dapat dihitung panas pada titik T1 dan T2 sebagai berikut:
Persamaan panas pada titik T1 dan T2 dapat dihitung dengan:
Persamaan linier simultan dari permasalahan di atas adalah:
Penyelesaian permasalahan di atas adalah nilai T1 dan T2 yang memenuhi kedua persamaan . Theorema 4.1. Suatu persamaan linier simultan mempunyai penyelesaian tunggal bila memenuhi syarat-syarat sebagai berikut. 1) Ukuran persamaan linier simultan bujursangkar, dimana jumlah persamaan sama
dengan jumlah variable bebas. 2) Persamaan linier simultan non-homogen dimana minimal ada satu nilai vector
konstanta B tidak nol atau ada bn ≠ 0. 3) Determinan dari matrik koefisien persamaan linier simultan tidak sama dengan nol. Untuk menyelesaikan permasalahan-permasalahan persamaan linier simultan dapat dilakukan dengan menggunakan metode-metode analitik seperti pemakaian metode grafis, aturan Crammer, atau invers matrik. Metode-metode tersebut dapat dilakukan dengan mudah bila jumlah variabel dan jumlah persamaannya di bawah 4, tetapi bila ukurannya besar maka metode-metode di atsa menjadi sulit dilakukan, sehingga pemakaian metode numerik menjadi suatu alternatif yang banyak digunakan. Metode numerik yang dapat digunakan untuk menyelesaikan permasalahan persamaan linier simultan antara lain: (1) Metode Eliminasi Gauss (2) Metode Eliminasi Gauss-Jordan (3) Metode Iterasi Gauss-Seidel
50
5.1 Metode Eliminasi Gauss Metode Eliminasi Gauss merupakan metode yang dikembangkan dari metode eliminasi, yaitu menghilangkan atau mengurangi jumlah variabel sehingga dapat diperoleh nilai dari suatu variable bebas. Untuk menggunakan metode eliminasi Gauss ini, terlebih dahulu bentuk matrik diubah menjadi augmented matrik sebagai berikut :
Metode eliminasi gauss, adalah suatu metode dimana bentuk matrik di atas, pada biagan kiri diubah menjadi matrik segitiga atas atau segitiga bawah dengan menggunakan OBE (Operasi Baris Elementer).
Metode dasar untuk menyelesaikan Sistem Persamaan Linier adalah mengganti sistem yang ada dengan sistem yang baru yang mempunyai himpunan solusi yang sama dan lebih mudah untuk diselesaikan. Sistem yang baru diperoleh dengan serangkaian step yang menerapkan 3 tipe operasi. Operasi ini disebut Operasi Baris Elementer 1. Mengalikan persamaan dengan konstanta kecuali nol 2. Mempertukarkan dua baris 3. Menambahkan perkalian suatu baris pada baris lainya. Gauss menyelesaikan persamaan linear simultan melalui proses menghilangkan atau mengganti secara beruntun beberapa besaran yang dicari sampai sistem menjadi satu persamaan dengan satu besaran. Persamaan yang menyatakan satu variabel yang tidak diketahui disebut persamaan PIVOTAL atau persamaan POROS. Jika telah diketahui nilai satu variabel, maka variabel lainnya diperoleh melalui proses substitusi ke belakang dengan menggunakan persamaan pivotal. Dalam penyelesaian numerik cara Gauss selalu ditentukan terlebih dahulu persamaan pivotal atau persamaan poros bagi variabel, yaitu persamaan yang mempunyai koefisien terbesar dari besaran yang akan dieliminasi. Apabila besaran yang akan dieliminasi secara berturut-turut adalah x
1,x
2, maka persamaan pivotal pertama diperoleh dari koefisien x
1 mutlak yang terbesar. P Persamaan ini dipindahkan posisinya pada susunan baris pertama, sehingga koefisien yang terbesar berada pada lokasi diagonal a
11. Persamaan pivotal kedua x
2 dari hasil susunan
persamaan pivotal pertama dipilih dari koefisien besaran x2
yang terbesar. Demikian seterusnya sehingga tersusun persamaan linear simultan dengan koefisien diagonal dapat ditulis sebagai berikut:
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣ nnnnn nnaaaa aaaa aaaa .................. ......321 3333231 2232221 ⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣ nnnnccc ccc ...000 ............... ...00 ...0 333 22322
⎢⎢⎢⎢⎢⎣ nnnnaaa aaa ............... ...2n1 22221
51
Tinjaulah contoh penyelesaian sistem persamaan linear dengan cara Gauss sebagai berikut. Persamaan linear dengan 4 besaran yang tidak diketahui disusun pada empat persamaan:
Besaran yang akan dihilangkan berturut-turut adalah x
1, x
2, dan x
3. Karena koefisien x
1 terbesar pada persamaan (3), ini merupakan persamaan pivotal pertama. Nyatakan x
1 dari
persamaan ini:
Masukkan nilai x
1 ini pada persamaan (1), (2), dan (4):
Dari persamaan (6), (7), dan (8) terlihat koefisien terbesar x
2 pada persamaan (6), sehingga
ini merupakan persamaan pivotal kedua. Nyatakan x
2 dari persamaan ini:
Persamaan (10) adalah persamaan pivotal ketiga, sehingga:
Isikan (12) ke (11) sehingga diperoleh:
52
Dengan cara subsitusi ke belakang, besaran x3, x
2 dan x
1 diperoleh dari persamaan (12), (9)
dan (5). Dengan mengisikan nilai x4
ke persamaan (12) diperoleh x3
= 0.22636 dan dengan mengisikan nilai x
3 dan x
4 ke persamaan (9) didapat x
2 = 0.208898, sehingga nilai x
1 dapat
diperoleh dari persamaan (5) dari x2, x
3, da x
4 yang telah diketahui, yaitu x
1 = 1.038335.
Hasil penyelesaian sistem :
Untuk memeriksa kebenaran keempat nilai di atas, masukkan nilai x
1, x
2, x
3, dan x
4 pada
persamaan (1), (2), (3) dan (4). Terlihat bahwa cara Gauss menyelesaikan sistem persamaan linear adalah dengan mengubah sistem persamaan yang diketahui menjadi persamaan pivotal sistem triangulasi. Dalam penyajian matriks, susunan akhir menjadi :
Dengan mudah dari matriks ini dihitung determinan, berupa perkalian nilai koefisien diagonal utama : D = 5.36 x 4.287538 x 1.47564 x (-3.117463) = -105.720. Dengan penjelasan dalam contoh di atas, Algoritma Program mengubah bentuk umum persamaan simultan :
53
Hal ini dilakukan melalui proses me-nol-kan kolom 1 sampai kolom n-1 di bawah posisi diagonal. Untuk tujuan ini dibutuhkan (n-1) tahapan proses. Setiap tahap k, k = 1, 2, ..., n-1 akan menghasilkan nilai 0 pada kolom k tanpa mengubah nilai 0 yang sudah ada pada kolom sebelumnya. Ini berarti bahwa pada setiap tahap dicari suatu pengali m
ik, dan
kemudian dilakukan pengurangan hasil pengali dari baris persamaan pivoting yang ditinjau dengan persamaan dari baris lainnya sedemikian rupa sehingga diperoleh nilai nol. Untuk mendapatkan nilai nol pada kolom pertama di bawah diagonal elemen a
11 pada contoh
berikut:
Secara umum :
Pada proses perhitungan besaran ini sesungguhnya hanya ditinjau nilai j = k+1, k+2, .., n, karena besaran nol di bawah posisi diagonal tidak memerlukan perhitungan lanjut. Dengan substitusi ke belakang
54
dengan i = n-1, n-2, ..., 2, 1, akan diperoleh besaran variabel yang dicari. Elemen a
kk yang digunakan menghitung m
ik disebut elemen PIVOT. Pada tahap akhir
penghitungan, determinan dunyatakan sebagai :
Sehingga jika ada pivot bernilai nol, berarti determinan |A| = 0. Ini menunjukkan invers [A]
-1 tidak ada, dan tidak ada penyelesaian unik persamaan sebab solusi vektor x dicari dari
x = [A]-1
b. Jika pada proses eliminasi nilai a
kk bernilai 0, tetapi elemen di bawahnya bukan 0, maka
perlu modifikasi susunan baris, dengan pertukaran baris dalam matriks untuk mendapatkan pivot yang bukan bernilai 0. Proses ini disebut proses PIVOTING. Suatu pivot bernilai kecil sekali, dan sistem persamaan mempunyai nilai determinan yang kecil; sistem disebut berkondisi ill (ill conditioned); yang berarti solusi yang akan diperoleh tidak memberikan hasil yang besar. Penjelasan uraian ini dapat dilihat pada solusi dua persamaan berikut
yang dalam penyajiannya secara grafik hampir paralel. Solusi persamaan ini tidak stabil dan hasilnya dengan cara apa pun tidak akan memberikan nilai yang benar. Algoritma yang memberikan sifat tidak stabil harus dicegah dengan menetapkan syarat perlu :
Dengan ketentuan ini, prosedur pivoting perlu dimodifikasi pada tahap ke-k, sebelum dibentuk pengali m
ik dengan penyusunan baris baru sedemikian rupa untuk memperoleh
nilai mutlak terbesar elemen dalam kolom k di posisi diagonal utama. Algoritma Program Algoritma penyelesaian persamaan simultan cara eliminasi Gauss : a). Masukkan nilai matriks [A] dan b yang membentuk persamaan simultan linear. b). Bentuk matriks gabungan [G] yang merupakan gabungan matriks [A] dan b. c). Lakukan eliminasi untuk me-nol-kan bagian segitiga bawah matriks. d). Lakukan substitusi mundur untuk mendapatkan hasil perhitungan. e). Tulis keluaran dan akhiri program.
55
Gambar 5.2 Flowchart Penyelesaian Numerik SistemPersamaan Linear
56
5.2 Metode Eliminasi Gauss Jordan Metode ini merupakan pengembangan metode eliminasi Gauss, hanya saja augmented matrik, pada sebelah kiri diubah menjadi matrik diagonal.
Penyelesaian dari persamaan linier simultan diatas adalah nilai d1,d2,d3,…,dn dan atau: Teknik yang digunakan dalam metode eliminasi Gauss-Jordan ini sama seperti metode eliminasi Gauss yaitu menggunakan OBE (Operasi Baris Elementer). Hanya perhitungan penyelesaian secara langsung diperoleh dari nilai pada kolom terakhir dari setiap baris. Contoh 1: Selesaikan persamaan linier simultan: Penyelesaian dengan operasi baris elementer: Penyelesaian persamaan linier simultan : x1 = 2 dan x2 = 1 Contoh 2:
B2-2B1 B3-3B1
½ B2 B3-3B2
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣ nnnnn nnaaaa aaaa aaaa .................. ......321 3333231 2232221 ⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣ 1...000 ............... 0...100 0...010
421+x ⎢⎣42
⎢⎣⎡− ⎢⎣⎡⎢⎣−
1001110
3112/2 202
21
12
BBB
bB
563 342 =−+ =−+ zyx zyx
⎢⎢⎣ −−563 342 ⎢⎢⎣ −−−563 720⎢⎢⎣ −−−−1130 720 ⎢⎢⎣ −−−−1130 10 27
57
-2 B3 B1- B2
B2 + 7/2 B3
B1 - 11/2 B3 Solusi x = 1, y=2 dan z=3 Secara umum prosedur me-nol-kan unsur pada posisi atas dan bawah diagonal dilakukan dengan pengali.
bagi unsur di bawah pivotal dan bagi unsur di atas pivotal, dengan i = 2,3, ..., n dan l = k-1, k-2, ....., 1, dan
Dengan hanya unsur diagonal matriks ≠ 0 dapat dilakukan normalisasi pada matriks. Hasil perhitungan langsung didapatkan pada kolom terakhir matriks. Bentuk matriks gabungan setelah normalisasi adalah sebagai berikut :
Algoritma Metode Eliminasi Gauss-Jordan adalah sebagai berikut: (1) Masukkan matrik A, dan vektor B beserta ukurannya n (2) Buat augmented matrik [A|B] namakan dengan A (4) Untuk baris ke i dimana i=1 s/d n (a) Perhatikan apakah nilai ai,i sama dengan nol : Bila ya :
pertukarkan baris ke i dan baris ke i+k≤n, dimana ai+k,i tidak sama dengan nol, bila tidak ada berarti perhitungan tidak bisa dilanjutkan dan proses
dihentikan dengan tanpa penyelesaian. Bila tidak : lanjutkan
⎢⎢⎣ −−212700 10 ⎢⎢⎣ −100 10 27
⎢⎢⎣ −100 10 27 ⎢⎢⎣ 100 010
58
(b) Jadikan nilai diagonalnya menjadi satu, dengan cara untuk setiap kolom k dimana k=1 s/d n+1, hitung
(5) Untuk baris ke j, dimana j = i+1 s/d n Lakukan operasi baris elementer: untuk kolom k dimana k=1 s/d n Hitung c = aj,i Hitung a j,k = a j,k − c.ai,k (6) Penyelesaian, untuk i = n s/d 1 (bergerak dari baris ke n sampai baris pertama) xi = ai,n+1 5.3 METODE DEKOMPOSISI LU Dari pembuktian matematika, jika suatu matriks [A] bukanlah singular sifatnya (ada penyelesaian yang unik :
triangular [L] dan [U]. [L] disebut matriks triangular bawah yang elemen matriksnya mempunyai nilai satu pada diagonal dan nilai 0 di atas diagonal, seperti :
[U] disebut matriks triangulasi atas dengan nilai elemen di bawah diagonal sama dengan 0. Dengan demikian : [A] = [L] [U] Bila persamaan linear yang simultan dinyatakan dalam matriks [A]x =b, maka mengisikan matriks [A] dengan [L] [U] menghasilkan [L][U]x =b (5.21)
59
Berarti terdapat dua sistem : [L] z = b untuk mencari z, dan [U] x = z untuk memperoleh x. Matriks [U] sama dengan matriks triangulasi yang diperoleh dari metode Gauss. Penyelesaian [U] x = z dilakukan dengan cara substitusi ke belakang, setelah diketahui nilai z, yang diselesaikan dari [L] z = b. Unsur elemen matriks [L] merupakan pengali dalam proses eleminasi Gauss, sehingga menyimpan pengali ini selama proses eliminasi menjadi dasar pembentukan matriks [L] dan [U]. Metode penyelesaian seperti ini disebut metode dekomposisi LU. Algoritma proses dekomposisi LU: a). Mendapatkan matriks [L] dan [U]. b). Menyelesaikan [L]z = b. c). Menyelesaikan [U]x = z Proses ini mempunyai syarat telah memasukkan prosedur pivotal. Selanjutnya, cara dekomposisi ini mempunyai keunggulan dari cara Gauss, yaitu untuk nilai b yang berbeda-beda cukup dilakukan satu kali penguraian matriks [A] ke [L][U]. Sebagai contoh, ditinjau proses dekomposisi LU untuk menyelesaikan persamaan 3x
1 + 2x
2 - 5x
3 = 8
5x1 - 2x
2 + 3x
3 = 5
x1 + 4x
2 - 2x
3 = 9
Dalam bentuk matriks :
Dari persamaan awal terlihat perlu dilakukan proses pivotal untuk koefisien x
1
yang diubah susunannya menjadi
Karena proses dekomposisi LU pada matriks A, cukup ditulis
Proses pertama ialah menghilangkan elemen di bawah a
11 menjadi nol. Secara umum:
60
Susunan baru [A] :
Dari susunan unsur tidak ada perubahan pivotal untuk meneruskan proses triangulasi.
61
sedangkan [L] ialah
Dekomposisi [A] = [L][U]
Penyelesaian dari persamaan menjadi :
Dari langkah (a), vektor b dapat mempunyai nilai yang berbeda, sehingga vektor z sebagai vektor antara mendapatkan nilai vektor x menjadi fasilitator penyelesaian persamaan bagi berbagai nilai vektor b. []bxA= Metode dekomposisi LU banyak dipakai dalam pemrograman solusi analisis sistem yang baku, yang unsur matriks [A] tetap, tetapi unsur vektor b yang terkait dengan pengaruh luar terhadap sistem mempunyai beberapa variasi. Algoritma Program Algoritma penyelesaian persamaan simultan linear dengan metode dekomposisi LU: a). Masukkan nilai matriks [A] dan b. b).Lakukan dekomposisi matriks [A] (algoritma diberikan selengkapnya pada Bagan Alir
Program program). c). Lakukan substitusi ke depan. d). Lakukan substitusi ke belakang untuk mendapatkan penyelesaian persamaan. e). Tulis keluaran dan akhiri program.
62
5.4 Metode Iterasi Gauss-Seidel Metode interasi Gauss-Seidel adalah metode yang menggunakan proses iterasi hingga diperoleh nilai-nilai yang berubah. Bila diketahui persamaan linier simultan: Berikan nilai awal dari setiap xi (i=1 s/d n) kemudian persamaan linier simultan diatas dituliskan menjadi: Dengan menghitung nilai-nilai xi (i=1 s/d n) menggunakan persamaan-persamaan di atas secara terus-menerus hingga nilai untuk setiap xi (i=1 s/d n) sudah sama dengan nilai xi pada iterasi sebelumnya maka diperoleh penyelesaian dari persamaan linier simultan tersebut. Atau dengan kata lain proses iterasi dihentikan bila selisih nilai xi (i=1 s/d n) dengan nilai xi pada iterasi sebelumnya kurang dari nilai tolerasi error yang ditentukan. Untuk mengecek kekonvergenan :
Hati-hati dalam menyusun sistem persamaan linier ketika menggunakan metode iterasi Gauss-Seidel ini. Perhatikan setiap koefisien dari masing-masing xi pada semua persamaan di diagonal utama (aii).Letakkan nilai-nilai terbesar dari koefisien untuk setiap xi pada diagonal utama. Masalah ini adalah ‘masalah pivoting’ yang harus benar-benar diperhatikan, karena penyusun yang salah akan menyebabkan iterasi menjadi divergen dan tidak diperoleh hasil yang benar. Berikan nilai awal : x1 = 0 dan x2 = 0. Susun persamaan menjadi:
nnnnnn nn nnxaxaxaxa xaxaxaxa xaxaxaxa =++++ =++++ =++++ ... .......................................... ......332211 3333232131 2323222121
(( 12211 2323121222 11 ....1 ............................................................ ....12 −−−−−= −−−−= nnnnnnnn naxaxabax xaxaxabax
63
Nilai interasi ke-7 sudah tidak berbeda jauh dengan nilai interasi ke-6 maka proses dihentikan dan diperoleh penyelesaian:
Algoritma Metode Iterasi Gauss-Seidel adalah sebagai berikut: (1) Masukkan matrik A, dan vektor B beserta ukurannya n (2) Tentukan batas maksimum iterasi max_iter (3) Tentukan toleransi error ε (4) Tentukan nilai awal dari xi, untuk i=1 s/d n (5) Simpan xi dalam si, untuk i=1 s/d n (6) Untuk i=1 s/d n hitung :
(7) iterasi iterasi+1
(8) dih(5) 5.5 ConMrblobonMoVar x1 x2Per B1 B2Dip 10 2 xme
Diparti ConPerDikalirdar
Bila iterasi hentikan dari
Contoh Pntoh 1. .X membuatk B2, sedan
neka yang daodel Sistem riabel yang adalah juml
2 adalah jumlrhatikan da1: 10 bahan u2: 2 bahan unperoleh mod0 x1 + 5 x2 =x1 + 6 x2 = tode elimin
peroleh x1 =inya bahan y
ntoh Kasusrmasalahan aketahui panaran panas beri 4 titik tetan
lebih dari mi penyelesaia
Penyelesaian
t 2 macam bgkan bonekaapat dihasilkPersamaan dicari adallah boneka Alah boneka B
ari pemakaiauntuk bonekntuk boneka
del sistem per= 80 36 asi Gauss-J
= 6 dan x2 = yang tersedia
2: aliran panas as beberapa ergerak secangganya, ma
max_iter atauannya adalah
n Permasala
boneka A dana B memerlu
kan bila tersen Linier : lah jumlah bA B an bahan :
ka A + 5 baha A + 6 bahanrsamaan lini
Jordan
4, a dapat dibua
pada plat batitik pada p
ara laminar aka dapat dih
u tidak terdah xi untuk i=
ahan Persam
n B. Bonekaukan bahan 5edia 80 blok
boneka, ang
han untuk bon untuk bonier
at 6 boneka A
aja plat baja yait
dan panas phitung panas
apat ei <ε u=1 s/d n. Bil
maan Linier
a A memerlu5 blok B1 dabahan B1 da
ggap:
oneka B = 80eka B = 36
A dan 4 bon
tu pada sisi pada sebuahs pada titik T
untuk i=1 s/dla tidak mak
r Simultan
ukan bahan 1an 6 blok B2an 36 blok b
0
neka B.
luar. Bila dh titik adalahT1 dan T2 seb
d n maka prka ulangi lan
10 blok B1 d2. Berapa jubahan B2.
ditentukan bah rata-rata pbagai beriku
roses. ngkah
dan 2 mlah
ahwa panas ut:
65
Persamaan panas pada titik T1 dan T2 dapat dihitung dengan:
Sistem persamaan linier dari permasalahan di atas adalah:
Penyelesaian dengan menggunakan iterasi Gauss-Seidel, terlebih dahulu ditentukan nilai pendekatan awal T1=0 dan T2=0 dan fungsi pengubahnya adalah :
Diperoleh hasil perhitungan untuk toleransi error 0.0001 sebagai berikut:
Jadi temperatur pada T1=23,3333 dan T2=43,3333
C. Rangkuman 1. Persamaan linier simultan adalah suatu bentuk persamaan-persamaan yang secara
bersama-sama menyajikan banyak variabel bebas. Bentuk persamaan linier simultan dengan m persamaan dan n variabel bebas dapat dituliskan sebagai berikut:
66
2. Persamaan Linier Simultan atau Sistem Persamaan Linier mempunyai kemungkinan
solusi: • Tidak mempunyai solusi • Tepat satu solusi • Banyak solusi
3. Metode eliminasi gauss, adalah suatu metode dimana bentuk matrik di atas, pada biagan kiri diubah menjadi matrik segitiga atas atau segitiga bawah dengan menggunakan OBE (Operasi Baris Elementer).
4. Operasi Baris Elementer • Mengalikan persamaan dengan konstanta kecuali nol • Mempertukarkan dua baris • Menambahkan perkalian suatu baris pada baris lainya.
5. Persamaan yang menyatakan satu variabel yang tidak diketahui disebut persamaan PIVOTAL atau persamaan POROS
6. Suatu pivot bernilai kecil sekali, dan sistem persamaan mempunyai nilai determinan yang kecil; sistem disebut berkondisi ill (ill conditioned); yang berarti solusi yang akan diperoleh tidak memberikan hasil yang besar.
7. Dekomposisi LU
8. Metode interasi Gauss-Seidel adalah metode yang menggunakan proses iterasi hingga
diperoleh nilai-nilai yang berubah
D. Tugas Pilihlah satu metode untuk menyelesaikan Sistem Persamaan Linear secara numerik diatas, kemudian coba aplikasikan algoritmanya dalam sebuah bahasa pemograman menggunakan bahasa pemograman MATLAB! E. Evaluasi
Perbandingkan metode Eliminasi Gauss, Iterasi Gauss-Seidel, dan Aturan Cramers dalam menyelesaikan persamaan linear di bawah ini:
768510232
1432
321
321
321
=+−=++−
=++
xxxxxx
xxx
67
DAFTAR PUSTAKA
Numerical Analysis Using Matlab and SpreadSheets. Steven T. Karris. Orchard
Publications
P. L. DeVries, A First Course in Computational Physics (John Wiley & Sons, Inc., New
York, 1994)
Metode Numerik dalam Ilmu Rekayasa Sipil. Amriyansyah Nasution dan Hasballah
Zakaria. Penerbit ITB.2001
Metode Numerik Sebagai Algoritma Komputasi. Slide Nana Ramadijanti
Metode Numerik. Diktat ajar Irfan Subakti
MODUL 8 Interpolasi dan Regresi. Diktat ajar Zuhair
A. Pustaka Anton, Howard. Dasar-dasar Aljabar Linear Jilid 2 Edisi 7. 2000. Penerbit Interaksara. Jakarta Buku Ajar Aljabar Linear Oleh Yuliant Sibaroni 2002 Aljabar Linier Elementer. Mahmud ’Imrona. 2002 PAUL CALTER, 1979, Theory and Problems of Technical Mathematics, Schaum’s outline, Mc GRAW.HILL BOOK COMPANY Slide: AgusSoft, dll. Gilbert Strang, Linear Algebra and its Applications, second edition, Harcourt Brace Jovanovich, 1980. Evar D. Nering, Linear Algebra and Matrix Theory, second edition, John Wiley, 1970. Serge Lang, Linear Algebra, Addison-Wesley, 1966.