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CENTRO DE INVESTIGACIN Y DE ESTUDIOSAVANZADOS DEL INSTITUTO POLITCNICO
NACIONAL
DEPARTAMENTO DE CONTROL AUTOMTICO
Control de un sistema de levitacinmagntica con compensacin de redes
neuronalesTesis que presenta
Ing. Panuncio Cruz Francisco
Para obtener el grado de
Maestro en ciencias
En la especialidad de
Control Automtico
Director de tesis:
Dr. Wen Yu Liu
Mxico, D.F. Octubre, 2009.
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AGRADECIMIENTOS
Agradezco a Dios por permitirme llegar a culminar mis estudios deposgrado en el CINVESTAV y por darme la vida a pesar de mis errores y
paciencia al presentar el presente trabajo, a Jesucristo por mantener la
esperanza en mi, de ser mejor ser humano mediante sus consejos y apoyo
total en mis metas y proyectos, a la Virgen de Guadalupe que como madre
me ha sabido guiar y valorar trazando un nuevo destino y cumpliendo este
sueo, ella sabe que se la dedico especialmente con todo mi amor y mi
corazn.
Agradezco a mis padres Panuncio Cruz y Matilde Francisco quienes han
credo en mi a pesar de mis tropiezos y los amo con toda mi alma, a mis
hermanos Analilia , Martha, Juan Carlos, Armando, Mara del Carmen,
Froylan, Gladys, Minerva, Luis Fernando y Hugo Enrique que son los
mejores hermanos que dios me ha dado. Gracias a mi ta Florencia y Priscila
por tantos aos de compartir escenas de la vida con nosotros.
A mis abuelos Armando (Q.E.P.D.), Minerva, Froylan (Q.E.P.D.) y
Melitona, por haberme dado unos padres nobles y vivir momentos
inmemorables de mi vida.
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A mis amigos de generacin de Maestra, que compartieron esta
experiencia, a Martha Belem, Martha Patricia, Omar, Ivn Gonzlez, Pedro,
Erick, Juan Luis, Cesar, Giovanny, Manuel, Rafael, Xavier e Ivn Torres y
quienes me ayudaron en las dudas de este trabajo a Dulce Citlali, Rita, Jess,
Jacob y Antonio.
Al Dr. Wen Yu Liu por permitirme realizar este trabajo bajo su tutela, por su
paciencia, consejos y apoyo en este trabajo el cual agradezco sinceramente.
Al Dr. Ieroham Barouh Solomon por sus comentarios de correccin en este
trabajo.
Un especial agradecimiento al Dr. Rafael Castro Linares por su valioso
aportacin y apoyo en esta tesis, apoyndome en las dudas y aclaraciones y
por corregir la redaccin final. Gracias por su paciencia.
Mis ms sinceros agradecimientos a la Dra. Martha Rzedowski Caldern por
su paciencia y apoyo en los cursos propeduticos de la maestra.
Un agradecimiento a la seora Graciela Meza Castellanos por los prestamos
de libros de la biblioteca de Ingeniera Elctrica, de ante mano gracias.
Agradezco al Consejo Nacional de Ciencia y Tecnologa el apoyo brindado
para cursar los estudios de Maestra en el Centro de Investigacin y de
Estudios Avanzados del IPN, en el Departamento de Control Automtico, a
travs de la beca que me fue otorgada durante la estancia del mismo.
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Resumen
Este trabajo presenta el modelado matemtico de un sistema de levitacin
magntica de atraccin con un grado de libertad aproximada al de
laboratorio experimental del departamento de control automtico. Este tipo
de sistema es altamente no lineal y es muy utilizado en trenes de alta
velocidad, industrias y aplicaciones acadmicas, la planta es linealizada
sobre un punto de operacin y se presenta la implementacin de un control
no lineal que logra estabilizar al sistema en lazo cerrado. Se realiza el
anlisis de estabilidad, se implementa el control no lineal en lazo cerrado, un
control PID y una compensacin neuronal, donde la red neuronal hace lafuncin de compensador para eliminar las incertidumbres y otras dinmicas
no modeladas. Tericamente, el control no lineal-red neuronal no presenta
errores en estado estacionario mientras que el control PID presenta errores
en estado estacionario que se refleja en la posicin final de la esfera.
Finalmente, la implementacin del sistema es en tiempo real, comparando
los controladores PID, no lineal y la compensacin con redes neuronales,
obteniendo mejor desempeo el controlador PID-red neuronal.
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Abstract
This work presents mathematical modeling of a magnetic levitation system
to attract with a degree of freedom approximate the experimental laboratoryof the department of automatic control. This type of system is highly
nonlinear and is widely used in high speed trains, industrial and academic
applications, the plant is linearized about an operating point and presents an
implementation of a nonlinear control that fails to stabilize the closed loop
system. There is an analysis of stability control is implemented nonlinear
closed loop PID control and neural compensation, where the neural network
serves as the compensator to eliminate uncertainties and other non-modeled
dynamics. Theoretically, the non-linear neural network has no steady state
error while the PID control crashes on steady state which is reflected in thefinal position of the sphere. Finally, implementation of the system is in real
time, comparing the PID controllers, nonlinear and compensation with
neural networks, giving better performance PID-neural network controller.
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ndice general
1. Introduccin 1
1.1. Motivacin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.2. Objetivos de la tesis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.3. Contribuciones de este trabajo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.4. Estructura de la tesis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2. Redes neuronales 7
2.1. Modelo de una neurona. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
2.2. Estructuras de las redes neuronales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2.2.1. Redes de alimentacin hacia adelante de una capa. . . . . . . . . . . 112.2.2. Redes de alimentacin hacia delante multicapa. . . . . . . . . . . . . 13
2.2.3. Redes de funciones radiales bsicas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.2.4. Redes neuronales dinmicas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
3. Modelado y anlisis matemtico de levitacin magntica 19
3.1. La fuerza electromagntica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
3.1.1. Diferentes modelos matemticos de la fuerza electromagntica . . . . 23
3.2. Modelo mecnico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273.2.1. Descripcin de modelos mecnicos para diferentes levitadores . . . . . 28
3.3. Modelo elctrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
3.3.1. Varios modelos elctricos de diferentes levitadores . . . . . . . . . . . 31
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ii NDICE GENERAL
3.4. Modelo completo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
3.4.1. Actuador . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 343.4.2. Sensor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
3.4.3. Modelo del levitador de laboratorio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
3.5. Aproximacin de un modelo lineal continuo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
4. Control de levitacin magntica 45
4.1. Linealizacin exacta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
4.1.1. Teora elemental de retroalimentacin para sistemas no lineales SISO 46
4.1.2. Linealizacin exacta va retroalimentacin del modelo matemtico del
levitador de laboratorio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
4.2. Controlador PID . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
4.3. Simulaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
4.3.1. Valores de las ganancias de control y de los parmetros del levitador
magntico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
4.3.2. Sistema no lineal con control no lineal por retroalimentacin . . . . . 56
4.3.3. Control PID . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
4.3.4. Conclusin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
5. Control de levitacin magntica con compensacin neuronal. 65
5.1. Regulacin con compensacin neuronal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
5.2. Seguimiento con compensacin neuronal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
5.3. Redes neuronales multicapa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
5.4. y son desconocidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
5.5. Simulaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
5.5.1. Regulacin y seguimiento cuando f es desconocida . . . . . . . . . . . 82
5.5.2. Regulacin y seguimiento cuando f y g son desconocidas . . . . . . . 945.5.3. Regulacin y seguimiento cuando f es desconocida con red neuronal
multicapa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
5.5.4. Conclusin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
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NDICE GENERAL iii
6. Aplicacin real 109
6.1. Sistema de Levitacin Magntica de Laboratorio Experimental . . . . . . . . 1096.1.1. Caractersticas del sistema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
6.1.2. Aplicaciones tpicas para enseanza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
6.1.3. Elementos fsicos del sistema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
6.1.4. Optoacoplador . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
6.1.5. Tarjeta de adquisicin de datos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
6.2. Control PID . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
6.2.1. Regulacin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
6.2.2. Conclusin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1236.3. Control no lineal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
6.3.1. Regulacin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
6.3.2. Conclusin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
6.4. Control con redes neuronales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140
6.4.1. Regulacin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140
6.4.2. Seguimiento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142
6.4.3. Conclusin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151
7. Conclusiones y trabajos a futuro 153
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ndice de figuras
1.1. Tren pasajero . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.2. Giroscopio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
2.1. Modelo no lineal de una neurona. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.2. Perceptrn multicapa. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.3. Esquema de una red neuronal dinmica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.4. Sistemas dinmicos y estticos equivalentes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
3.1. Sistema de suspensin electromagntica. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
3.2. Parte electrica del levitador magnetico. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
3.3. La inductancia de la bobina como una funcin de separacin. . . . . . . . . . 223.4. El comportamiento de la fuerza electromagntica como funcin de la posicin
y la corriente. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
3.5. Grfica de la fuerza electromagntica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
3.6. La fem como funcin decreciente que depende de la corriente y la posicin. . 26
3.7. Grfica de la fem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
3.8. Levitador de laboratorio. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
3.9. Levitador de repulsin. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
3.10. Diagrama esquemtico del levitador de atraccin. . . . . . . . . . . . . . . . 323.11. Diagrama esquemtico del sistema de suspensin electromagntica. . . . . . 33
3.12. Levitador de repulsion de anillo de Thomsons. . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
3.13. Diagrama a bloques del sistema de levitacin magntica. . . . . . . . . . . . 35
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vi NDICE DE FIGURAS
3.14. Familia de entradas caracteristicas PWM. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
3.15. Caractersticas aproximadas de Corriente vs Voltaje consumidas por la bobinadel electroimn. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
3.16. Diagrama de bloques funcional del LMD18200 . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
3.17. Diagrama a bloques de la etapa de potencia. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
3.18. Calibracin del sensor respecto al desplazamiento de la esfera . . . . . . . . . 40
4.1. Diagrama a bloques de un sistema por linealizacin retroalimentado. . . . . . 47
4.2. Seguimiento de la posicin para coordenadas z. . . . . . . . . . . . . . . . . 57
4.3. Seal de posicin llevada al punto de equilibrio. . . . . . . . . . . . . . . . . 58
4.4. Seal de velocidad llevada al punto de equilibrio. . . . . . . . . . . . . . . . 59
4.5. Seal de corriente en el punto de equilibrio. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
4.6. Posicin llevada al punto de equilibrio. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
4.7. Seguimiento de la seal de posicion con el controlador PID. . . . . . . . . . . 62
5.1. Seal de posicion sin compensar. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
5.2. Regulacion de posicin con compensacin neuronal. . . . . . . . . . . . . . . 86
5.3. Regulacion de la posicin con compensacin neuronal. . . . . . . . . . . . . . 87
5.4. Regulacin con compensacin neuronal de la posicin en forma matricial. . . 895.5. Seguimiento en la posicin con compensacin neuronal. . . . . . . . . . . . . 90
5.6. Seguimiento de posicion con compensacion neuronal. . . . . . . . . . . . . . 91
5.7. Seguimiento con compensacin neuronal de la posicin en forma matricial. . 92
5.8. Error de aprendizaje para la red neuronal. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
5.9. Regulacion de la posicin con compensacin neuronal. . . . . . . . . . . . . . 96
5.10. Regulacion de la posicin con compensacin neuronal . . . . . . . . . . . . . 97
5.11. Seguimiento de la posicin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
5.12. Seguimiento de la posicin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 995.13. Error de aprendizaje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
5.14. Regulacin de posicin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
5.15. Regulacin de la posicin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
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NDICE DE FIGURAS vii
5.16. Seguimiento de la posicin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
5.17. Seguimiento de la posicin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1055.18. Seal de error de aprendizaje. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
6.1. Prototipo del Sistema de Levitacin Magntica . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
6.2. Esquema de Levitacin Magntica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
6.3. Componentes no ensambladas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
6.4. Sistema de medicion con fotoemisor y fotoreceptor . . . . . . . . . . . . . . . 115
6.5. Diagrama fsico de la tarjeta de adquisicin de datos RT-DAC4/PCI . . . . . 116
6.6. Conexin de la tarjeta de aquisicion de datos con el levitador . . . . . . . . . 1176.7. Experimento PID en tiempo real. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
6.8. Simulacin en tiempo real de la posicin. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
6.9. Simulacin en tiempo real de la velocidad. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
6.10. Simulacin en tiempo real de la corriente. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
6.11. Simulacin en tiempo real del control PWM. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
6.12. Simulacin en tiempo real de la posicin. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
6.13. Simulacin en tiempo real de la velocidad. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
6.14. Simulacin en tiempo real de la corriente. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1256.15. Simulacin en tiempo real del control PWM. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
6.16. Simulacin de la esfera en el prototipo experimental. . . . . . . . . . . . . . 127
6.17. Esfera levitada en el prototipo experimental. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
6.18. Esfera levitada en el laboratorio en tiempo real. . . . . . . . . . . . . . . . . 129
6.19. Diagrama de bloques del prototipo experimental para regulacin. . . . . . . 130
6.20. Regulacin de la posicin experimental. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
6.21. Seal de velocidad en tiempo real. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132
6.22. Seal de corriente en tiempo real. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1336.23. Seal de control en tiempo real. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134
6.24. Diagrama en bloques de simulink del prototipo experimental. . . . . . . . . . 135
6.25. Regulacin de la posicin en tiempo real. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136
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viii NDICE DE FIGURAS
6.26. Seal de velocidad en tiempo real. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
6.27. Seal de corriente en tiempo real. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1386.28. Seal de control en tiempo real. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139
6.29. Diagrama de bloques en simulink del PID mas una red neuronal. . . . . . . . 141
6.30. Regulacin de la seal de posicin con redes neuronales. . . . . . . . . . . . . 142
6.31. Seal de velocidad en tiempo real. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143
6.32. Seal de corriente en tiempo real. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144
6.33. Seal de control en tiempo real. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145
6.34. Diagrama en bloques de simulink del prototipo experimental de PID mas redes
neuronales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1466.35. Seguimiento de la posicin en tiempo real de PID con redes neuronales. . . . 147
6.36. Seal de velocidad en tiempo real. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148
6.37. Seal de corriente en tiempo real. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149
6.38. Seal de control en tiempo real. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150
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2 Introduccin
Figura 1.1: Tren pasajero
Figura 1.2: Giroscopio
nentes superconductores ofrece el potencial para eliminar los sistemas de control y ms all
reduce la dispersin de potencia del sistema. La desventaja principal de los superconductores
es la necesidad de un refrigerante criognico que los utilizan para soportar altas densidades
de corriente y fuertes campos magnticos.
1.1. Motivacin
Aun cuando las desventajas del levitador magntico en repulsin se han estudiado ampli-
amente e implementados exitsamente en un gran nmero de veces, el levitador magntico de
atraccin enriquece las orientaciones que se tienen para estudiar, analizar y contruir dichos
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4 Introduccin
A grandes rasgos estas son las consideraciones ms importantes y otras que quizs no se
mencionan , pero tratar con estos prototipos son una lnea de investigacin interesante y queprogresivamente va dando resultados aproximados en la teora tomando el comportamiento
real de la planta.
Adems, estos tipos de sistemas son inestables en lazo abierto y en general se disean
controladores para estabilizarlos y lograr un funcionamiento adecuado. Debido a las no lin-
ealidades existentes , las ecuaciones diferenciales que gobiernan la dinmica del levitador
son transformados a un cambio de coordenadas y linealizadas en algn punto de operacin
para obtener un comportamiento estable del sistema cuando se presentan pequeas pertur-
baciones. Los mtodos mas utilizados para el diseo de estos controladores son las accionesproporcionales, integrales y derivativas (PID) y controladores de atraso-adelanto [7], mto-
do de control cuadrtico lineal con un filtro de Kalman para la estimacin de los estados
[9], controladores que aplican la tcnica de modos deslizantes [7] donde se muestra que un
controlador por modos deslizantes es superior al de un controlador clsico y controlador LQ.
1.2. Objetivos de la tesis
1. Analizar y disear el modelo matemtico del sistema de levitacin magntica del lab-oratorio, para disear y evaluar diferentes leyes de control tales como un control PID,
un control no lineal y uno usando redes neuronales.
2. Utilizar redes neuronales como trmino de compensacin en un controlador no lineal ,
para obtener una mejor respuesta del desplazamiento del objeto levitado.
3. Aplicacin real en el laboratorio de los controladores diseados.
1.3. Contribuciones de este trabajo
La contribucin de este trabajo de tesis , adems del anlisis del modelo matemtico y
diseo de los controladores , fue su aplicacin en la parte experimental dentro de algn rango
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1.4 Estructura de la tesis 5
de operacin en espacio de milmetros con respecto a la regulacin y seguimiento del objeto
levitado.
1.4. Estructura de la tesis
Este trabajo se organiza de la forma siguiente:
El captulo 1 menciona las descripciones tericas de la levitacin magntica y las
redes neuronales.
El captulo 2 describe la obtencin del modelo matemtico aproximado al de labora-torio., tanto no lineal como un modelo lineal continuo.
En el captulo 3 se enfoca al diseo del controlador no lineal y un controlador PID.
El captulo 4 muestra la compensacin de controlador no lineal con redes neuronales
con el anlisis de estabilidad.
Finalmente , en el captulo 5 concluye con la implementacin en tiempo real de los
controladores diseados en esta tesis.
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Captulo 2
Redes neuronales
Los sistemas biolgicos proveen de muchas pistas para el desarrollo del aprendizaje robus-
to (altamente estable) y de algoritmos adaptables. Dichos sistemas procesan la informacin
en forma diferente a los esquemas de control convencionales, ya que no estn basados en
ningn modelo , sin embargo son muy eficientes para tratar con incertidumbres y compleji-
dades.
Tales sistemas no requieren del desarrollo de un modelo matemtico para ejecutar tareas
complejas. Ciertamente, pueden aprender a ejecutar nuevas tareas y adaptarse fcilmentea cambios en el ambiente. Si los principios fundamentales de la computacin encajaran en
los sistemas biolgicos (por ejemplo: el cerebro), entonces una generacin totalmente nueva
de mtodos de control podra ser desarrollada mas all de las capacidades de las tcnicas
actuales, basadas en un modelo matemtico explcito.
Se dice que un sistema de control tiene la habilidad de aprender si adquiere informacin
durante la operacin, de comportamientos desconocidos de la planta y de su ambiente, tal que
la ejecucin completa sea mejorada. Con este enriquecimiento el controlador podra expandir
su regin de operacin, implementado as un sistema autnomo.Una clase de modelos, con la potencialidad de implementar este aprendizaje, son las redes
neuronales artificiales. Y aunque la morfologa neuronal del sistema nervioso es mucho ms
compleja, una analoga simplificada puede ser desarrollada, la cual podra ser utilizada en
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8 Redes neuronales
aplicaciones de ingeniera. Tomando como base esta comprensin simplificada, las estructuras
de las redes neuronales artificiales pueden ser desarrolladas.
2.1. Modelo de una neurona.
Una red neuronal artificial (RNA) [20]es un elemento capaz de procesar gran cantidad de
informacin en forma paralela y distribuida, inspirada en las redes neuronales biolgicas, las
cuales pueden almacenar conocimiento experimental y tenerlo disponible para su uso [17].
Algunas de sus similaridades con el cerebro son:
1. El conocimiento es adquirido a travs del proceso de aprendizaje.
2. La conectividad entre neuronas es llamada pesos sinpticos y estos son utilizados para
almacenar el conocimiento.
El procedimiento para el proceso de aprendizaje es conocido como algoritmo o ley de
aprendizaje. Su funcin es modificar los pesos sinpticos de la red neuronal para alcanzar
una meta preestablecida. La modificacin de los pesos provee el mtodo tradicional para el
diseo e implementacin de las redes neuronales.La neurona es la unidad fundamental para la operacin de la red neuronal . La figura
(2.1) muestra el esquema de una neurona.
Los elementos bsicos de la RNA son:
1. Un conjunto de uniones sinpticos, en cada elemento, caracterizadas por su propio
peso.
2. Un sumador , el cual suma los componentes de la seal de entrada multiplicados por
su respectivo peso sinptico.
3. Una funcin de activacin no lineal que transforma la salida del sumador en la entrada
de la siguiente neurona.
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2.1 Modelo de una neurona. 9
1x
2x
px
1kw
2kw
kpw
ky
Sealesdeentrada
Pesossinpticos
k
Umbral
Salida
Funcin deactivacin
k
kb
Bias
Figura 2.1: Modelo no lineal de una neurona.
4. Un umbral externo para reducir la entrada de la funcin de activacin.
En trminos matemticos, la -sima neurona se describe como:
=P
=1
= ( + )(2.1)
donde:
: -simo componente de la entrada.
: peso de la conexin entre la -sima componente de la entrada y la -sima neurona.
: salida del sumador.
: umbral.
() : funcin de activacin no lineal. : salida de la -sima neurona.
El uso del bias tiene el efecto de aplicar una transformacin afn a la salida de la
combinacin lineal del modelo de la figura (2.1), como se puede mostrar por:
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10 Redes neuronales
= + (2.2)
Por lo tanto, combinando la ecuacin (2.1) y (2.2), se puede obtener equivalentemente:
=
X=0
(2.3)
La funcin de activacin no lineal es denotado por () y genera el elemento de la salida
por lo tanto de (2.3), se obtiene:
= () (2.4)Una clasificacin para este tipo de funciones de activacin es la siguiente:
Diferenciable y No-diferenciable.
Tipo pulso y Tipo escaln.
Positiva y Promedio cero.
La primera clasificacin se distingue por tener funciones suaves y discontinuas. Las fun-
ciones suaves son necesarias para algunos algoritmos de adaptacin como el de propagacinhacia atrs (backpropagation), mientras que las funciones discontinuas (por ejemplo: las fun-
ciones de umbral) son necesarias para generar una salida binaria. La segunda clasificacin
se distingue por tener funciones con un solo valor significativo de salida cuando las entradas
estn cerca del cero, porque las funciones solo cambian significativamente alrededor del cero.
La ltima clasificacin se refiere a las funciones positivas que cambian de 0 en a 1 en
y a las funciones de promedio cero que cambian de 1 en a 1 en .
2.2. Estructuras de las redes neuronales.
La forma en que las neuronas de una red neuronal estn interconectados determina su
estructura. Para propsitos de identificacin y control, las estructuras ms usadas son:
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2.2 Estructuras de las redes neuronales. 11
1. Redes de alimentacin hacia adelante de una capa.
2. Redes de alimentacin hacia adelante multicapa.
3. Redes de funciones radiales bsicas.
4. Redes neuronales dinmicas.
2.2.1. Redes de alimentacin hacia adelante de una capa.
Esta es la forma ms simple de una red neuronal. Tiene slo una capa de neuronas. La ms
conocida es llamada Perceptrn. Bsicamente consta de una neurona con pesos sinpticosajustables y de una funcin de activacin.
El algoritmo de aprendizaje que ajusta los pesos de estas redes neuronales apareci por
primera vez en [48], [14]. Ah es probado que los vectores de informacin, usados para en-
trenar el perceptrn, son tomados de dos clases lineales separables, entonces el algoritmo de
aprendizaje del perceptrn converge y define una superficie de decisin : un hiperplano que
separa las dos clases. La prueba de convergencia, respectiva, es conocida como el teorema de
convergencia del perceptrn.
El perceptrn bsico es el llamado modelo de McCulloch-Pitts [37], en el cual la funcinde activacin () es de lmites extremos.
El propsito del perceptrn es el de clasificar la seal de entrada, con componentes 1,
2, . . . , , en una o dos clases: 1 o 2. La regla de decisin para la clasificacin consiste
en asignar a cada punto que corresponde a una entrada 1, 2, . . . , , la clase 1 si la
salida del perceptrn es igual a +1 y la clase 2 si es 1.
Usualmente el umbral es tratado como un peso sinptico conectado a una entrada fijada
en 1, as el vector de entrada queda definido por:
( ()) = (1 1 () 2 () ()) (2.5)
donde es la k-sima entrada.
El sumador que produce la salida es calculado por:
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12 Redes neuronales
() = () () = () () (2.6)
donde es el vector de los pesos sinpticos.
Para cualquier , en el espacio -dimensional, la ecuacin , con coordenadas 1, 2,
. . . , , define un hiperplano que separa las entradas en dos clases: 1 y 2. Si estas clases
son linealmente separables existe un vector tal que:
0 1
y
0 2
(2.7)
El algoritmo de aprendizaje adapta el vector de los pesos como sigue:
1 ( + 1) = () si 0 1 o 0 22 ( + 1) = () () () si 0 2 o
( + 1) = () + () () si 0 1
(2.8)
donde () es la constante de aprendizaje.
La convergencia de este algoritmo puede ser demostrada utilizando un argumento por
contradiccin.Si se observa nicamente la salida () , se define el error como:
() = () () (2.9)
donde () es una referencia deseada.
El algoritmo de mnimos cuadrados puede ser aplicado para minimizar el error. La ob-
tencin de este algoritmo esta basado en el mtodo del gradiente descendente. El cual da
por resultado la siguiente ley de aprendizaje:
( + 1) = () + () () (2.10)
donde es la tasa de aprendizaje, () es el vector de seal de entrada, () es el vector
de pesos y () es el vector de error el cual esta dado por:
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2.2 Estructuras de las redes neuronales. 13
Primercapa
oculta
Segundacapa
oculta
Capa desalida
Figura 2.2: Perceptrn multicapa.
() = () () () (2.11)
Puesto que el error depende linealmente de los pesos, este algoritmo asegura la obtencin
de un mnimo global.
2.2.2. Redes de alimentacin hacia delante multicapa.
Estas redes se distinguen por la presencia de una o mas capas ocultas, (ver figura 2.2),
cuyos nodos computacionales se llaman neuronas ocultas. Tpicamente, las neuronas en cada
capa tiene como seal de entrada las seales de salida de la capa precedente. Si cada neurona,
en cada capa, es conectada con todas las neuronas de las capas adyacentes la red neuronal se
dice que est totalmente conectada, en el caso opuesto , es llamada parcialmente conectada.
El perceptrn multicapa tiene las siguientes tres caractersticas:
1. La funcin de activacin para cada neurona es suave, en oposicin a la de lmites
extremos usada en el perceptrn de una sola capa. Usualmente, esta funcin no lineal
es una sigmoide definida por:
-
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14 Redes neuronales
() =1
1 + (2.12)
2. La red esta compuesta por una o mas capas ocultas de neuronas.
3. La red presenta un alto grado de conectividad.
El perceptrn multicapa obtiene su poder computacional a travs de la combinacin de
esta caractersticas y su habilidad de aprender de la experiencia. Sin embargo, la presencia
de no linealidades distribuidas y la alta conectividad de la red hacen el anlisis terico difcil
de realizar.
2.2.3. Redes de funciones radiales bsicas.
En el contexto de una red neuronal , los nodos de la capa escondida proveen una serie
de "funciones"que constituyen una "base arbitraria"para los patrones de entrada (vectores)
cuando estos se expanden a los espacios de los nodos de la capa escondida; esas funciones se
les denomina "funciones radiales bsicas". Las funciones radiales bsicas fueron introducidas
por primera vez para la solucin de problemas de interpolacin multivariable reales.
Cuando una red estndar de funciones radiales bsicas se usa para desarrollar una tareade clasificacin de patrones complejos, el problema se soluciona bsicamente al transformalo
a un espacio de muchas dimensiones de una manera no lineal. La justificacin para hacer
esto, esta provista por el teorema de Cover (1965) sobre los patrones de separabilidad, en
donde se establece que un problema de clasificacin de patrones complejos, enmarcada en
un espacio no lineal multidimensional, es ms fcil de separar de manera lineal, que si se
enmarca en un espacio de baja dimensin lineal.
Bsicamente el mapeo no lineal se usa para transformar un problema de clasificacin
separable no linealmente en uno separable linealmente.De forma similar, se puede utilizar un mapeo no lineal para aproximar una funcin no
lineal en un contexto mas sencillo.
ste tipo de red neuronal tiene tres capas totalmente diferentes:
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2.2 Estructuras de las redes neuronales. 15
1. La capa de nodos de entrada.
2. La capa oculta, en donde cada nodo ejecuta una transformacin no lineal de la entrada
denotada como funcin radial bsica.
3. La capa de salida, formada por una combinacin lineal de las salidas de las neuronas
de la capa oculta.
Los primeros trabajos en este tema se llevaron a cabo por Powell [44]. La primera apli-
cacin de las funciones radiales bsicas en el diseo de redes neuronales fue reportado en
[5]. Contribuciones especficas a la teora, diseo y aplicacin de estas funciones a las redes
neuronales, se encuentran en [39], [46] y [43].
2.2.4. Redes neuronales dinmicas.
ste tipo de redes se distinguen de las redes neuronales estticas porque tienen al menos
un ciclo de retroalimentacin. stos ciclos involucran el uso del tiempo discreto y de bifurca-
ciones compuestas por elementos de una unidad de retraso. sta unidad se denota por 1,
tal que ( 1) = 1 (), con indicando el -simo muestreo en el tiempo. La ecuacin
de las redes neuronales dinmicas es:
:
( + 1) = ( () ( + 1) ( ) ; () ( + 1) ( ))
:
b =
b + 1 (1 ) + 2 (2 )
(2.13)
donde () y () son funciones sigmoidales que dependen de los pesos 1 y 2 y de losestados de la planta, 1 y 2 son los pesos de la red neuronal, es la matriz Hurwirtz,
es la entrada de control yb es la derivada de los estados de la red neuronal y son los
estados de entrada a la red neuronal.
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16 Redes neuronales
A
s
1
1v
2v
1w
2w
MLP
Figura 2.3: Esquema de una red neuronal dinmica
Los ciclos de retroalimentacin traen como resultado un comportamiento dinmico no
lineal debido a la funcin de activacin no lineal de las neuronas. Como consecuencia, se les
llama redes neuronales dinmicas.
Estas redes neuronales ofrecen grandes ventajas computacionales. De hecho es bien sabido
que un sumador lineal esttico finito es equivalente a un sistema lineal retroalimentado deun solo polo, como se ve en la figura 2.4.
De la figura 2.4, el sumador de salida para la red esttica es:
() = () + ( 1) + + ( ) =X
=0
( ) (2.14)
El sistema lineal est descrito por:
() = ( 1) + () (2.15)
()
()=
1
1 1= 1 + 1 + + (2.16)
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2.2 Estructuras de las redes neuronales. 17
kx
kx 1kx
2kx
nkx
kv1
z
1z
1z
1z
kv 1kv
Figura 2.4: Sistemas dinmicos y estticos equivalentes.
donde 111
es una forma cerrada de un serie de tiempo y 1 + 1 + + es una forma
abierta de una serie de tiempo, por lo tanto para la red dinmica:
() = () 1 + 1 + + = () + ( 1) + + ( ) (2.17)De las ecuaciones (2.14) y (2.17), se ve que es claro que las dos estructuras son equiv-
alentes, pero desde el punto de vista computacional , el sistema con retroalimentacin es
equivalente a una muy grande, posiblemente infinita, estructura esttica. Esta propiedad es
muy interesante para identificacin y control, y abre el camino para las aplicaciones de las
redes neuronales dinmicas en estos campos.
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Captulo 3
Modelado y anlisis matemtico de
levitacin magntica
Ya que los sistemas de levitacion magnetica de atraccin que se analizan en este capitulo
son capaces de suspender objetos (ver figura 3.1), eliminando o reduciendo por completo la
friccin mecnica, de ah que la suspension de la esfera metlica en un campo magntico se
ha considerado de mucho inters desde el ao de 1930. Aparte de su impacto visual que sirve
para ilustrar muchos de los principios fundamentales de la ingeniera elctrica y electrnicacomo : electromagnetismo y electrodinmica, teora de control y circuitos de diseo analgico
y digital. La modelacin matemtica es una parte esencial que registra el comportamiento
aproximado a un levitador real , y con tcnicas de anlisis clsicos se desarrolla en forma
clara y precisa dicha modelo, analizando el origen del modelo matemtico y construyendo
la parte mecnica y elctrica, as como sus caractersticas electromagnticas.
En este capitulo se presenta un conjunto de reglas de diseo que se presenta permite
al lector un gran inters para el diseo del desplazamiento de la esfera determinado en el
rango de operacin. Todas las ecuaciones se derivan de principios electromagnticos, fsicos yelctricos, a fin de destacar el valor del sistema como una herramienta educativa. Se describen
modelos de diferentes levitadores y al final se obtiene un modelo aproximado al levitador de
laboratorio.
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20 Modelado y anlisis matemtico de levitacin magntica
Marco de soporte
Bobina
Electroimn
Fuente de luz
Esfera metlica levitada
Foto sensor
Figura 3.1: Sistema de suspensin electromagntica.
-
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3.1 La fuerza electromagntica 21
bobinaR xL
xR
Figura 3.2: Parte electrica del levitador magnetico.
3.1. La fuerza electromagntica
La estabilidad de la suspensin vertical de la esfera del levitador magntico del laboratorio
puede ser deducida mediante la suposicin de una dependencia funcional de la inductancia
terminal y usando mtodos de energa para calcular la fuerza de levitacin [52]. Un modelo
elctrico para evaluar el manejo del punto de impedancia de la bobina es como se muestra
en la figura (3.2). es la resistencia de la bobina en el espacio libre debido a la con-
ductividad elctrica finita del alambre, () es la inductancia como se ven en sus terminales.
() es la resistencia debido a las corrientes de remolino perdidas en la esfera levitada.Cuando la bobina es atraido cerca de la esfera , () se incrementa y la inductancia
terminal de la bobina decrece ya que el campo debajo de la bobina es modificada debido
a las corrientes inducidas. Es importante notar que tambin tiene una funcional
dependiente de la frecuencia de operacin, debido a la entrada del campo magntico hacia
la esfera. Un campo magntico que incide sobre un cuerpo o metal , induce corrientes de
remolino en la superficie del mismo que disminuyen exponencialmente y que depende de
igual modo de la distancia del objeto levitado hacia la bobina y un trmino de escala de
longitud.La variacin de inductancia entre esas dos terminales y que depende tambin de la
variacin de la esfera , ver figura (3.3) ,puede ser aproximada mediante una funcin ex-
ponencial [21]:
-
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22 Modelado y anlisis matemtico de levitacin magntica
0 0.005 0.01 0.015 0.020
1
2
3
4
0 0.005 0.01 0.015 0.020
1
2
3
4 1xL
rLL 0
rL
Inductancia
aDistancia de la esfera a la bobina,
Figura 3.3: La inductancia de la bobina como una funcin de separacin.
() = 0 +
(3.1)
El trmino 0 es la inductancia terminal de la bobina cuando est lejos de la esfera
( = ), el trmino es la inductancia terminal que decrece cuando la bobina esta cerca
de la esfera ( = 0), debido a las corrientes de remolino inducidas. La inductancia es una
funcin de la posicin de la bobina por encima de la esfera , y decae con caractersticas de
escala de longitud . La escala de longitud depende del tamao de la esfera y las dimensionesde la bobina.
La co-energa magntica del sistema es una funcin de la corriente de la bobina y la
separacin :
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3.1 La fuerza electromagntica 23
( ) = 12()2 (3.2)
La fuerza de origen magntico que acta sobre la esfera es dada por:
=
=
2
2 (3.3)
3.1.1. Diferentes modelos matemticos de la fuerza electromag-
ntica
Primero analizamos varios modelos matemticos para la fuerza electromagntica y su
comportamiento
Para darle un mejor sentido al modelo matemtico total del sistema y para su simulacin,
se realiza la transformacin a ecuaciones en espacio de estados, definiendo la siguientes
equivalencias:
1 =
2 =
3 =
= ()
(3.4)
donde (1 2 3 ) son la posicin, velocidad, corriente y el control ,respectivamente.
1) La fuerza electromagntica que aqu se analiza es del levitador del laboratorio (figura
3.4) y es una funcin exponencial debido a las propiedades de inductancia anteriormente
descritas y a la posicin de la esfera levitada con la bobina [21].
=2
2 (3.5)
2) En esta ecuacin de la fuerza electromagntica es una funcin lineal decreciente convalores negativos de la ganancia 1 , y es para aproximar el comportamiento del levitador
debido al movimiento de la esfera (figura 3.5), aunque la posicin real no puede ser cero
porque la esfera siempre va estar en una posicin deseada diferente de cero; matemticamente
-
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24 Modelado y anlisis matemtico de levitacin magntica
0
0.005
0.01
0.015
0.02
0
1
2
30
5
10
15
20
Posicion x1Corriente x3
Fuerzaelectromagnetica
Figura 3.4: El comportamiento de la fuerza electromagntica como funcin de la posicin y
la corriente.
-
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3.1 La fuerza electromagntica 25
00.005
0.010.015 0.02
0
12
30
2000
4000
6000
PosicinCorriente
Fuerzaelectromagntica
Figura 3.5: Grfica de la fuerza electromagntica
la fuerza electromagntica puede ser infinito y eso particularmente presentara un problema
de simulacin numrica [10].
= 1
31
2(3.6)
3) La expresin de esta fem (figura 3.6), muestra una aproximacin del modelo matemti-
co dinmico el cual , y son constantes determinadas por modelos numricos o por
mtodos empricos. La ecuacin (3.7) tiene que ser aproximado por parmetros constantes
en la regin de inters. Sin embargo, debido a la nolinealidad del campo magntico, esas
constantes pueden variar cuando esta fuerza que pasa por el sistema es grande [40]-[45].
=
(1 + )
(3.7)
4) ste modelo est aproximada mediante un polinomio de cuarto orden de acuerdo al
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26 Modelado y anlisis matemtico de levitacin magntica
-20
0
20
40
60
-5
0
50
0.5
1
1.5
2
2.5
x 107
PosicinCorriente
Fuerzaelectromagntica
Figura 3.6: La fem como funcin decreciente que depende de la corriente y la posicin.
-
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3.2 Modelo mecnico 27
0
0.005
0.01
0.015
0.02
0
1
2
30
50
100
150
200
PosicinCorriente
Fuerzaelectromagntica
Figura 3.7: Grfica de la fem
comportamiento real del levitador al que se este analizando o implementado [16], as la fem
depende de la corriente y de la posicin de la esfera (ver figura 3.7).
=23
119944 091653 + 07159 + 00304(3.8)
3.2. Modelo mecnico
Usando el principio fundamental de la dinmica(segunda ley de Newton), la dinmica dela esfera ferromagntica es dada por:
= (3.9)
-
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28 Modelado y anlisis matemtico de levitacin magntica
Donde la es la fuerza electromagntica que se genera en el efecto electromagnti-
co del sistema, es la masa y es la fuerza de gravedad que contrarrestra a la fuerzaelectromagntica basndonos en la definicin de la segunda ley de Newton.
Por consiguiente, sustituyendo el valor de la fuerza electromagntica calculada (3.3),
sustituimos ese valor en (3.9) y obtenemos:
+ = 2
2 (3.10)
Finalmente el modelo mecnico del sistema queda como:
=
22
+ (3.11)
3.2.1. Descripcin de modelos mecnicos para diferentes levita-
dores
Se muestran las partes mecnicas de diferentes modelos matemticos de levitadores mag-
nticos. stas ecuaciones estn gobernadas por la segunda ley de Newton donde la fuerza
electromagntica compensa a la fuerza de gravedad en el objeto levitado. y (1 2 3) de-scriben como variables de estado a la posicin, velocidad y corriente, respectivamente.
1) Modelo mecnico del levitador de la tesis, aproximada al de laboratorio (ver figura
3.8):
1 = 2
2 = 2
23
+
(3.12)
2) Modelo mecnico del levitador del laboratorio ms un trmino de perturbacin
(figura 3.8)
1 = 2
2 =
23
+ +
(3.13)
-
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3.2 Modelo mecnico 29
Figura 3.8: Levitador de laboratorio.
-
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30 Modelado y anlisis matemtico de levitacin magntica
Tabla ptica
Electroimn moviblede tierras raras
Sensor de laser
retroalimentado
Condicionamiento
electrnico dellaser
Amplificadorde alto flujo
de corriente
Figura 3.9: Levitador de repulsin.
3) Modelo mecnico de un levitador de repulsin con un trmino de friccin (figura 3.9),
esta caracterstica es debida al roce del anillo con el ncleo, donde = 2 es el trmino de
friccin [33].
= 2 (3.14)
1 = 2
2 = 2
23
2
(3.15)
4) Modelo mecnico con friccin mas una perturbacin que afecta al sistema (ver figura
3.9).
1 = 2
2 = 2
23
2
+
(3.16)
-
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3.3 Modelo elctrico 31
3.3. Modelo elctrico
Para la modelizacin de la parte elctrica del levitador (actuador dinmico) se utiliza la
ley de voltajes de kirchhoff y se aplica al diagrama elctrico del sistema, se sigue que:
() = () + ()()
(3.17)
Donde es la resistencia total del circuito, () es el trmino de inductancia el cual se
puede expresar como en la ecuacin (3.1) (ms adelante se sustituye su valor correspondiente)
y () es el voltaje instantneo que cruza a la bobina del imn y es la que controla la corriente
de excitacin ().Finalmente realizando las equivalencias de las variables de inters (1 2 3) como
la posicin, velocidad y corriente , respectivamente, se obtiene el modelo matemtico del
sistema de levitacin magntica del laboratorio en un sistema de ecuaciones en espacio de
estados. Aunque por cuestiones de diseo y construccin del levitador, la ecuacin (3.17) se
puede expresar como
3 =
0 +
1
3
0 +
1
+
0 +
1
(3.18)
El trmino y se tomarn como constantes de corriente remanentes debido a la histre-
sis que se genera por el calentamiento en la bobina con el voltaje de dc con la que trabaja
el sistema, aunque tambin pueden ser consideradas como trminos de compensacin de
corriente.
1 = 2
2 = 2
23
1 +
3 =
0+
1
3
0+
1
+
0+
1
(3.19)
3.3.1. Varios modelos elctricos de diferentes levitadores
La parte elctrica de algunos modelos de levitadores son las siguientes:
-
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32 Modelado y anlisis matemtico de levitacin magntica
Tarjeta
I/OCalculadora
Circuitoamplificador
Sensor
de corriente
Electroim
n
Foto emisor
Foto detectores
Figura 3.10: Diagrama esquemtico del levitador de atraccin.
1) Modelo elctrico del levitador aproximado al de laboratorio (figura 3.8), donde es el
control el cual esta controlado por voltaje, = 1
es la resistencia total del circuito y son constantes de remanencia en la bobina.
3 =
0 +
1
+
0 +
1
3
0 +
1
(3.20)
2) Modelo elctrico sin trminos remanentes de la bobina debido al calentamiento a la
excitacin con corriente directa.(ver figura 3.10),donde es el voltaje aplicado (control),
es la induccin de la bobina,y es la resistencia de la bobina.[16].
3 =
3 (3.21)
3) Modelo elctrico [51], el cual en particular el tercer trmino denota un voltaje el cual
vara con los cambios de la posicin de la esfera y su tasa de cambio es similar a un fuerza
-
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3.3 Modelo elctrico 33
m flujo magntico
txposicin dela esfera
abertura de aire
numero de vueltas
ti corriente tv voltaje
instantneo
imn
ixF ,fuerza
electromagntica
Figura 3.11: Diagrama esquemtico del sistema de suspensin electromagntica.
contraelectromotriz introducida en un motor de corriente directa.,adems = 02
2es un
factor de fuerza y es la resistencia total de circuito (ver figura 3.11)
3 =1
1
13 +
231
(3.22)
4) Modelo elctrico[3], que consta de una expresin de inductancia mutua (ver figura
3.12). Con frecuencia el flujo magntico a travs de un circuito vara con el tiempo como
consecuencia de las corrientes variables que existen en circuitos cercanos. sto da origen a
una fem inducida mediante un proceso conocido como induccin mutua, llamada as porque
depende de la interaccin de dos circuitos (dos actuadores), esta depende de la geometra
de los dos circuitos y de sus orientaciones relativas entre s. Es claro que al incrementarse laseparacin entre los circuitos, la inductancia mutua decrece ya que el flujo que une a los dos
circuitos decrece.
3 =
3
(3.23)
-
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34 Modelado y anlisis matemtico de levitacin magntica
Figura 3.12: Levitador de repulsion de anillo de Thomsons.
3.4. Modelo completo
El siguiente diagrama muestra el modelo completo el cual esta sometido el sistema de
levitacin magntica del laboratorio.
3.4.1. Actuador
Modulacin de ancho de pulso
La modulacin por ancho de pulsos ( PWM) de una seal o fuente de energa es una
tcnica en la que se modifica el ciclo de trabajo de una seal peridica (una sinusoidal o
una cuadrada, por ejemplo), ya sea para transmitir informacin a travs de un canal de
-
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3.4 Modelo completo 35
CircuitoPWM Circuito de
potencia
Tarjeta deadquisicinde datos
Expansor desalidasanalgicas
PC
Sensorespticos
U1=V cd
Planta
iU2=i Posicin (x) V=f(x) V
U2
t
Figura 3.13: Diagrama a bloques del sistema de levitacin magntica.
-
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36 Modelado y anlisis matemtico de levitacin magntica
ControlCicloPWM
t
Figura 3.14: Familia de entradas caracteristicas PWM.
comunicaciones o para controlar la cantidad de energa que se enva a una carga. La modu-lacin de ancho de pulso es una tcnica utilizada para controlar dispositivos, proporcionando
un voltaje de corriente continua. Se puedan controlar fuentes conmutadas, controles de mo-
tores, controles de elementos termoelctricos, choppers para sensores en ambientes ruidosos
y algunas otras aplicaciones .
Puesto que la respuesta del PWM es no lineal en relacin al voltaje de control y la
corriente que consume la bobina. El algoritmo en la computadora es la fuente del valor
deseado del control en la forma de seal de voltaje PWM. Debido a la alta frecuencia de la
seal PWM los valores de corriente medidos corresponden al valor de la corriente promedioen la bobina. sta caracterstica ha sido construida por el fabricante. Para una frecuencia fija
y un ciclo de trabajo variable PWM, se mide el amperaje en la bobina. Los datos medidos
son dados en la siguiente tabla.
-
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3.4 Modelo completo 37
Ciclo de trabajo PWM Amperaje [] Voltaje []0 0 0374811
01 025 0262899
02 051 0510896
03 077 0752465
04 102 0993620
05 128 1229133
06 152 1459294
07 174 165142408 199 1875539
09 221 2076814
1 243 2269865
Adems, se grafic el control de voltaje PWM contra la corriente que consume la bobina,
ver figura (3.15) y su comportamiento se aproxim mediante el siguiente polinomio, el cual
es de tendencia lineal.
() = 001682
+ 10451 00317 (3.24)
Circuito de potencia
El circuito de potencia o driver es el encargado de elevar el nivel de corriente con la que
trabajara la bobina, como se ha visto en los datos anteriores se ve que para que se origine
el efecto electromagntico la bobina consume hasta 2.43 A como mximo . La etapa de
potencia es controlada por el LMD18200 que es un Puente-H 3A diseado para aplicaciones de
control de movimiento . El dispositivo est construido utilizando una tecnologa multiproceso
que combina circuitera bipolar y control CMOS con dispositivos de potencia DMOS en lamisma estructura monoltica. Ideal para la conduccin de los motores DC y paso a paso,
el LMD18200 acomoda a las corrientes de pico de salida de hasta 6A. Es un dispositivo
innovador que facilita el circuito de baja prdida de deteccin de la corriente de salida.
-
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38 Modelado y anlisis matemtico de levitacin magntica
0 0.5 1 1.5 2 2.5-0.5
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
Seal de voltaje medido [V]
Corriente[A]
Figura 3.15: Caractersticas aproximadas de Corriente vs Voltaje consumidas por la bobina
del electroimn.
-
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3.4 Modelo completo 39
Figura 3.16: Diagrama de bloques funcional del LMD18200
Circuito de potencia MagLevSeal PWM
Etapa de potencia
Figura 3.17: Diagrama a bloques de la etapa de potencia.
-
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40 Modelado y anlisis matemtico de levitacin magntica
0 0.002 0.004 0.006 0.008 0.01 0.012 0.014 0.016 0.0180.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
4.5
5
5.5
Distancia (m)
Sealdelsensor(v)
Figura 3.18: Calibracin del sensor respecto al desplazamiento de la esfera
3.4.2. Sensor
La referencia de la figura (6.2) sirve para que, a travs de la calibracin del sensor, muestre
una relacin no lineal entre la salida del sensor (voltaje) y la posicin del objeto a levitar.
El experimento para esta identificacin se realiz en el laboratorio colocando la esfera a una
determinada posicin fija y mediante un tornillo ir ajustando los valores para que despus se
obtenga una curva y despus de tantas pruebas se encuentra en particular una que describe
mejor el desempeo del sistema.Esta grfica puede ser aproximada mediante un polinomio de un orden dado. Para este
caso usamos un polinomio de quinto orden. El cual es lo que obtenemos a la salida del sistema
total.
-
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3.4 Modelo completo 41
= () = () (3.25)
= 25697073504595 +124505001125418773635923 +7933024215021 + 5015
(3.26)
Realmente nuestra regin de trabajo consistir en tomar una pequea regin de inters
el cual consideraremos como una funcin lineal ya que la esfera se mover en espacios de
milmetros, con el fin de lograr un objetivo ms preciso sin implicarnos en la funcin no
lineal del sensor contra la posicin de la esfera. Una descripcin muy importante es que lamedicin se realiza del actuador hacia la esfera y no del tornillo de ajuste hacia la esfera.
3.4.3. Modelo del levitador de laboratorio
Primero introducimos las siguientes suposiciones para derivar un modelo nominal del
sistema mediante leyes fsicas.
La densidad de flujo magntico y el campo magntico no tienen ningn histresis.
No hay flujo de fuga en el circuito magntico
La permeabilidad magntica del electroimn es infinito
Las corrientes de remolino en el polo magntico pueden ser despreciados.
La inductancia en la bobina es constante alrededor del punto de operacin , y toda la
fuerza electromotriz debido al movimiento de la esfera de hierro puede ser despreciada.
Estas suposiciones no son muy fuertes y adecuadas alrededor del estado de equilibrio.Bajo esas suposiciones, derivamos las siguientes tres ecuaciones, el cual muestra una
ecuacin del movimiento de la esfera, la fuerza electromagntica y la ecuacin del circuito
electromagntico, respectivamente, asi, obtenemos el modelo completo que es similar a del
-
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42 Modelado y anlisis matemtico de levitacin magntica
levitador del laboratorio, que nos servir para la aplicacin de la ley de control as como su
estabilizacin.
1 = 2
2 = 2
23
1 +
3 =
0+
1
+ 0+
1 3
0+
1
= 1
(3.27)
3.5. Aproximacin de un modelo lineal continuo
El modelo del levitador magntico es altamente no lineal. Puede ser aproximado en
algn punto de operacin por un modelo lineal. El modelo lineal puede ser descrito por tres
ecuaciones diferenciales por el mtodo de aproximacin lineal por series de Taylor de primer
orden, en la forma:
= () + ()
= ()(3.28)
El cual, es aproximado a:
+
= (3.29)
donde =
=0
, =
=0
y = [1 0 0], ya que solo se esta tomando a la
posicin como salida.
Y sean las variables de desviacin lineal
1 = 1 1
2 = 2
2
3 = 3
3
=
(3.30)
-
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3.5 Aproximacin de un modelo lineal continuo 43
donde (1
2
3 ) son los puntos de equilibrio del sistema el cual son la posicin,
velocidad, corriente y el control en estado estacionario respectivamente, y de acuerdo almanual de levitador de laboratorio y tomando como referencia a la corriente, se obtuvieron
las siguientes constantes:
1 = 0004
2 = 0
3 = 08456
= 03264
(3.31)
-
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54/167
Captulo 4
Control de levitacin magntica
Muchas tcnicas lineales y no lineales se han propuesto para el control de estos sistemas, y
es bien conocido que para un rango de movimiento pequeo, el sistema no lineal se comporta
similarmente a su aproximacin lineal. Sin embargo, el desempeo de un control lineal sedeteriora rpidamente cuando el sistema se desva de su punto de operacin original. Es por
ello que en este capitulo se considera el diseo de un controlador no lineal mediante la tcnica
de linealizacin exacta por retroalimentacin. Tambin se disea un controlador PID , donde
este control es aproximado a un modelo lineal continuo (descrito en el capitulo anterior) para
controlar la posicin de la esfera en algunos de tantos puntos de equilibrio que se tiene en el
rango de operacin.
Finalmente se presentan los resultados de simulacin para el control no lineal y el con-trolador PID. En ellas es posible observar el desempeo del control no lineal mas eficiente
que el controlador PID debido a la cancelacin de no linealidades, aun as, el controlador
PID tambin tiene un funcionamiento bastante aceptable.
-
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46 Control de levitacin magntica
4.1. Linealizacin exacta
4.1.1. Teora elemental de retroalimentacin para sistemas no lin-
eales SISO
El punto de partida del anlisis completo es la nocin del grado relativo del sistema, el
cual es formalmente descrito en la siguiente direccin. El sistema no lineal de nica entrada-
nica salida [23] :
= () + ()
= () (4.1)
se dice que tiene grado relativo en un punto si
() () = 0 para toda en una vecindad de
y para todo 1
() 1 () 6= 0
Se debe de tomar en cuenta que puede haber puntos donde un grado relativo no puede
ser definido. Esto ocurre , de hecho, cuando la primera funcin de la secuencia
() () () que no es idnticamente cero (en una vecindad de
) tiene un cero exactamente en el punto = . Sin embargo el conjunto de puntos donde
un grado relativo puede definirse, es claramente un subconjunto denso y abierto del conjunto donde el sistema (4.1) puede estar definido.
En un sistema de nica entrada-nica salida, la estructura mas conveniente para un
Control en Retroalimentacin en Estado Esttico es aquel en que la variable de entrada es
igual a la
= () + () (4.2)
donde es la entrada de referencia externa . De hecho, la composicin de este control con
un sistema de la forma
= () + ()
= ()(4.3)
-
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56/167
4.1 Linealizacin exacta 47
vxx )(
)()(
xhy
uxgxfx
vu
y
x
Figura 4.1: Diagrama a bloques de un sistema por linealizacin retroalimentado.
produce un lazo cerrado caracterizado por la estructura similar
= () + () () + () ()
= ()(4.4)
Las funciones () y () que caracteriza al control (4.2) son definidos sobre un conjunto
abierto de
-
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48 Control de levitacin magntica
1 = 2
2 = 3
1 =
= () + ()
(4.7)
donde = (1). Recordar tambin que en el punto = (), y asi para todo en
una vecindad de , la funcin () es diferente de cero.
Suponemos ahora la siguiente ley de control por retroalimentacin del estado
=1
()( () + ) (4.8)
que de hecho existe y esta bien definida en una vecindad de . El sistema resultante en lazo
cerrado es gobernado por las siguientes ecuaciones
1 = 2
2 = 3
1 =
=
(4.9)
es decir, es lineal y controlable. As podemos concluir que para algn sistema no lineal con
grado relativo en algn punto puede ser transformado en un sistema, el cual en una
vecindad del punto
= (
), es lineal y controlable. Esto es importante para poner ennfasis que la transformacin en cuestin consiste en dos ingredientes bsicos:
() un cambio de coordenadas, definida localmente alrededor del punto
() una retro de estado, tambin definida localmente alrededor del punto
-
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58/167
4.1 Linealizacin exacta 49
4.1.2. Linealizacin exacta va retroalimentacin del modelo matemti-
co del levitador de laboratorio
Sea el modelo equivalente como (4.1 )el cual lo podemos escribir de la siguiente manera
con variables de desviacin lineal
1 = 2 +
2 = 2 = 1 ()
2 = 2
(3 +
3)2
(1+
1)
+ = 2 ()
3 =
0+
(1+1)
+
0+
(1+1)
3
0+
(1+1)
+
0+
(1+1)
= 3 () + 3 () 3 () 6= 0
= 1 +
1 = ()
(4.10)
De acuerdo a las definiciones y la teora anteriormente descrita, tomamos la salida de nue-
stro sistema y derivamos sucesivamente con las variables de desviacin lineal hasta encontrar
la ecuacin que relaciona la entrada del modelo matemtico.
Derivando tenemos que:
= 1 +
1
=
1 = 2 + 2
=
2 = 2 () = 2
(3 +
3)2
(1+
1)
+
= 2
h(3 +
3)21
(1+
1)
1
+
2(3 +
3)
3
(1+
1)
i=
22(2 +
2) (3 +
3)2
(1+
1)
+
0+
(1+
1)
(3 + 3)2(1+
1)
0+
(1+
1)
(3 + 3)(1+
1)
0+
(1+
1)
(3 + 3)(1+
1)
0+
(1+
1)
(3 + 3)(1+
1)
(4.11)
-
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50 Control de levitacin magntica
Para llegar a la entrada se deriv tres veces la salida, eso significa que el grado relativo del
sistema = 3 y es una condicin suficiente para garantizar la linealizacin entrada estado yel sistema es completamente linealizable por la condicin de la salida., tambin la dinmica
del sistema esta completa ya que es del rango pleno. Basndonos en las definiciones de las
condiciones de linealizacin, podemos seguir con el siguiente anlisis, haciendo el cambio de
coordenadas tenemos:
1 = () =
=h
1 0 0i
= 1
2 = () =
() = h 1 0 0 i
2
2 ()3 ()
= 2
3 = 2() =
()
() =
h0 1 0
i2
2 ()
3 ()
= 2 ()
(4.12)
Derivando las nuevas coordenadas en funcin de
1 = 2
2 = 33 =
2()
= = ( 1
2
3) + (
1
2
3)
(4.13)
con( 1
2
3) =
22(2 +
2) (3 +
3)2
(1+
1)
+
0+
(1+
1)
(3 + 3)2(1+
1)
0+
(1+
1)
(3 + 3)(1+
1)
0+(1+
1
)
(3 +
3)
(1+
1)
(4.14)
y
( 1
2
3) = 1
0 +
(1+
1)
(3 + 3)(1+1) (4.15)
-
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4.1 Linealizacin exacta 51
Debido que la ecuacin que corresponde a () y () queda inconclusa el valor de (3 +
3) , se puede encontrar su valor mediante la siguiente expresin:
3 = 2
(3 +
3)2
(1+
1)
+
2
(3 +
3)2
(1+
1)
= 3 +
(3 +
3) =
q2
(1+
1)
(3 + )
(4.16)
y sustituyendo el valor de (3 + 3), en () y ()
1 = 2
2 = 3
3 = (
1
2) + (
1
2)(4.17)
donde
( 1
2) =1
(2 +
2) (3 + ) +2
0+
(1+
1)
(3 + )
0+
(1+
1)
(q
2
(1+
1)
(3 + ))
(1+
1)
0+
(1+
1)
(q2 (1+
1)
(3 + ))
(1+
1)
( 1
2) =
0+
(1+
1)
q
2
(1+
1)
(3 + )
(1+
1)
(4.18)
Esta expresin queda en funcin de y se emplear para eliminar las no linealidades del sis-
tema y disear un control retroalimentado lineal. Para comprobar las condiciones suficientes
que se deben de cumplir con este difeomorfismo, obtenemos las siguientes matrices:
=
12
3
= () =
12
2
(3 +
3)2
(1+
1)
+
(4.19)
y aplicando la derivada parcial de con respecto a
-
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52 Control de levitacin magntica
=
1 0 00 1 0
22
(3 +
3)2
(1+
1)
0
(3 +
3)
(1+
1)
(4.20)
y como el det 6= 0 para 3 6= 0. Adems es controlable de rango n , se cumple con las
condiciones que se requieren para el cambio de coordenadas.
Con el control
=1
( 1
2)[( 1
2) + ] (4.21)
donde = 11 + 22 + 33 (4.22)
y eligiendo valores apropiados para 1 2 y 3 tal que
0 1 0
0 0 1
1 2 3
es estable.
Podemos cancelar las no linealidades y tener una sistema lineal y controlable. Por con-
siguiente el sistema queda
1 = 2
2 = 33 = 11 + 22 + 33
(4.23)
o
= (4.24)
donde
=
0 1 0
0 0 1
1 2 3
= [1 2 3] (4.25)
tal que los eigenvalores del sistema en lazo cerrado tengan parte real negativa. Finalmente ,el control completo no lineal convierte al sistema en lineal ya que es estable.
0 (4.26)
-
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4.2 Controlador PID 53
4.2. Controlador PID
La combinacin de los efectos de accin proporcional integral y derivativa , se denomina
comnmente accin de control PID. Esta combinacin tiene las ventajas de cada una de las
tres acciones de control individuales mencionadas anteriormente. La ecuacin matemtica
con esta accin de control esta dada por
() = () +
Z0
() + ()
donde () = () () : es la seal de error.
Y : es la ganancia proporcional, : es la ganancia integral y : es la gananciaderivativa.
En general, la funcin de transferencia de un control PID presenta la siguiente forma:
()
()= +
+ (4.27)
Debido que no es posible la derivacin exacta de una seal, es necesario la utilizacin de
una aproximacin del trmino derivativo por un filtro de primer orden pasa bajo, tenindose
entonces:()
()= +
+
+ 1(4.28)
Con un parmetro positivo muy pequeo.
Hay que notar que debido a la dinmica rpida del sistema de levitacin magntica, es
indispensable que el esquema de control considerado (cualquiera que se utilice) responda
suficientemente rpido. La seleccin adecuada de los valores de las ganancias del controlador
PID (, , ) que se requieren para el buen funcionamiento del sistema, se le conoce
como sintonizacin del controlador. Si se puede obtener un modelo matemtico de la planta,entonces es posible aplicar diversas tcnicas para determinar estos parmetros, de tal forma
que sea posible cumplir con las especificaciones transitorias y de estado estacionario del
sistema en lazo cerrado. Sin embargo, hay que recalcar que este sistema en particular es
-
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54 Control de levitacin magntica
altamente no lineal y de tercer orden, implica controlar tres variables a la vez, aunque en
este caso solo se tome una (la posicin) y no es fcil obtener dichos valores, el cual recurrimosa la tcnica del lugar de las races e ir sintonizando una ganancia (en este caso ) y dejando
dos fijas (, ).
4.3. Simulaciones
4.3.1. Valores de las ganancias de control y de los parmetros del
levitador magntico
Se seleccionaron los valores de la siguiente tabla:
Parametros Valores Unidades
00571(masa de la esfera) []
981
2
funcin de 1 y 3 [] 0017521 []
0 0038514 []
0005831 []
00243 []
25165 []
(4.29)
donde 1 [0 0016], 2 R, 3 [003884 238] y [0 1]
Ecuaciones de la planta no lineal y controlador no lineal para simulacin
Las ecuaciones para la planta son:
-
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4.3 Simulaciones 55
1 = 2 (4.30)
2 = 26347423 exp(
100058231
) + 981 (4.31)
3 =(25165 + 00243 3)
0038514 + 0017521 exp 100058231
Ecuaciones del controlador no lineal para simulacin
1 = 45246 1003(232 exp(
100058231 )) (4.32)
2 =526949(23 exp(
100058231
)
0038514 + 0017521 exp( 100058231
)
3 =12805(3 exp(100058231))
0038514 + 0017521 exp( 100058231
)
4 =1326067(033213 exp(
100058231
)
0038514 + 0017521 exp( 100058231
)
=1326067(3 exp(
100058231
)
0038514 + 0017521 exp(
100058231)
donde la ley de control es:
=1
1 2 3 4 + 1(1 ) + 22 + 3(263474
23 exp(
100058231
) + 981)
(4.33)
Para el control no lineal se obtuvieron las siguientes ganancias para la retroalimentacin,
tanto para la planta lineal y no lineal:
1 = 125
2 = 75
3 = 15
(4.34)
-
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56 Control de levitacin magntica
Ecuaciones para la planta lineal en coordenadas z y el controlador no lineal para
simulacin
Las ecuaciones para la planta son:
1 = 2
2 = 3
3 = (1 + 2 + 3 + 4) + () +
Las ecuaciones para el controlador no lineal son las siguientes:
1 = 1717298(2 + 0)(3 + 981 + 07005) (4.35)
2 =2(3 + 981 + 07005)
0038514 + 0017521 exp(10004800058231
))
3 = 12805
vuut(00380 exp( 1+0004800058231 )(3 + 981 + 07005) exp(10004800058231 )
0038514 + 0017521 exp(10004800058231
)
4 = 1326067((03880)vuut00380exp( 1+0004800058231 )(3 + 981 + 07005) exp(10004800058231 )0038514 + 0017521 exp(10004800058231
) )
= 1326067
vuut00380 exp( 1+0004800058231 )(3 + 981 + 07005) exp(10004800058231 )
0038514 + 0017521 exp(10004800058231
)
El cual el controlador es:
=1
[1 2 3 4 + 1(1 ) + 22 + 33] (4.36)
4.3.2. Sistema no lineal con control no lineal por retroalimentacin
La referencia para la simulacin esta dada por:
= 03 sin(005) + 04 (4.37)
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4.3 Simulaciones 57
0 10 20 30 40 50 600
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
t en segundos
Posicinencm
Posicin
Referencia
Figura 4.2: Seguimiento de la posicin para coordenadas z.
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58 Control de levitacin magntica
0 5 10 15 201.5
2
2.5
3
3.5
4
4.5
5x 10
-3
t en segundos
Posicinenmm
Posicin
Referencia
Figura 4.3: Seal de posicin llevada al punto de equilibrio.
La figura (4.2) muestra el seguimiento exacto de la posicin del sistema por linealizacinexacta con una referencia senoidal, pues se ve que es bastante eficiente y tiene una aproxi-
macin exacta.
En cuestin de la simulacin se tiene que:
= 0002 sin(05) + 0004 (4.38)
Las seales en el punto de operacin son las siguientes:Las grficas (4.3),(4.4) y (4.5) obtenidas , sealan los puntos de equilibrio del espacio de
trabajo para el levitador (aunque existen otros dentro del rango de operacin). Se observa
en general un buen desempeo.
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4.3 Simulaciones 59
0 5 10 15 20-8
-6
-4
-2
0
2
4x 10
-3
t en segundos
Velocidadenm/s
Velocidad
Figura 4.4: Seal de velocidad llevada al punto de equilibrio.
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60 Control de levitacin magntica
0 5 10 15 200.7
0.75
0.8
0.85
0.9
0.95
t en segundos
Corrienteenamperes
Corriente
Figura 4.5: Seal de corriente en el punto de equilibrio.
4.3.3. Control PID
Para la referencia de la simulacin del levitador, es:
= 0002sin() + 0004 (4.39)
Los valores obtenidos para las ganancias en el caso del controlador PID son:
= 130
= 500
= 6
(4.40)
En las figuras (??) y (4.7) se dan los resultados obtenidos en la simulacin del dispositivo,utilizando los parmetros de la tabla (4.29), las ganancias del controlador y la variable de
salida que es la posicin, en cual es deseada el punto de equilibrio. Comparando estos resul-
tados con el controlador no lineal por retroalimentacin se puede concluir que son similares
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4.3 Simulaciones 61
0 2 4 6 8 103
4
5
6
7
8
9
10x 10
-3
t en segundos
Posicinenmm
Posicin
Referencia
Figura 4.6: Posicin llevada al punto de equilibrio.
en cuanto a desempeo y buen funcionamiento en el rango de operacin, aunque si hay que
ajustarle dichos parmetros ya que es muy dificil de controlar porque la esfera slo se mueve
a escasos milmetros.
4.3.4. Conclusin
En las simulaciones de este capitulo , se examin el comportamiento del controlador no
lineal y del controlador PID . Todos los resultados estn realizados en lazo cerrado y son
localmente estables bajo ciertas suposiciones .
Hay que notar que para que el control PWM funcione es necesario una saturacin para
el control y especificar el rango de operacin apegado al dispositivo real para poder tener
comparaciones aproximadamente bien de las simulaciones con el objeto real.Los resultados mostrados en este capitulo presentan las siguientes ventajas:
El diseo del controlador no lineal es un sistema de grado relativo 3, por lo tanto no
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62 Control de levitacin magntica
0 2 4 6 8 101
2
3
4
5
6
7
8
9x 10
-3
t en segundos
Posicinenmm
Posicin
Referencia
Figura 4.7: Seguimiento de la seal de posicion con el controlador PID.
se tienen dinmicas internas que faltara por analizar, asi el anlisis esta completo.
El controlador no lineal diseado elimina todas las no linealidades y hace al sistema
totalmente lineal, adems su implementacin en el sistema no lineal es bastante eficientepara controlar la posicin del objeto levitado tomando las propiedades y las desventajas
del prototipo.
Para el diseo del controlador PID no fue tan fcil, debido a la complejidad del modelo
en la parte de la corriente , entonces al utilizar el mtodo del lugar de las races se
hizo tan compleja, ya que el sistema es tan sensible que los polos se hacen inestables,
es por ello que mejor se opt por usar el paquete de simulacin real del prototipo y se
obtienen buenos resultados , ya que los parmetros de simulacin estn estrictamente
restringidos, pero el procedimiento es el mismo como se describi anteriormente para
obtener las ganancias del controlador.
Finalmente, las simulaciones que se presentan se aproximan mucho al prototipo real ,sto
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4.3 Simulaciones 63
con el fin de poder tener una buena comparacin con el prototipo de laboratorio.
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Captulo 5
Control de levitacin magntica con
compensacin neuronal.
Si desea posicionar al levitador en puntos fijos de su espacio de trabajo (problema de
regulacin), el control no lineal puede prescindir de trminos de compensacin cuando la
funcin nominal es desconocida. En este capitulo el controlador no lineal requiere de trmi-
nos adicionales (trminos de compensacin) para compensar algunas no linealidades de la
dinmica del levitador con el propsito de hacer cero o acotar el error de seguimiento y hacerque el sistema en lazo cerrado sea estable. Para lograr esto, se propone una red neuronal
dinmica de una capa para estimar la compensacin que el control no lineal necesita para
resolver el problema de seguimiento de trayectoria. Dicha compensacin consta de dinmicas
no modeladas o incertidumbres y la variacin de la funcin nominal del controlador.
Posteriormente se garantiza que el punto de equilibrio del sistema en lazo cerrado (levi-
tador y control no lineal) es el error de seguimiento y que la prueba de estabilidad asegura
que el sistema en lazo cerrado es estable. Esto simplifica la implementacin del controlador
en un levitador real, reduciendo el tiempo de cmputo y requiriendo una red neuronal debaja complejidad.
Las leyes de aprendizaje que se obtienen son muy parecidas a la versin continua del
algoritmo de mnimos cuadrados, con algunos trminos adicionales. Adems, los valores
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66 Control de levitacin magntica con compensacin neuronal.
iniciales de los pesos de la red neuronal estn actualizados en lnea con los parmetros del
levitador magntico Finalmente, se presentan los resultados de simular el control no linealcompensado con la red neuronal. En ellas es posible observar la estabilidad del sistema
completo y su desempeo para diferentes pesos iniciales.
5.1. Regulacin con compensacin neuronal
Un sistema no lineal en su forma cannica controlable est dada por:
() = () + () + (5.1)
en el cual =
()
() es una parte conocida, es una incertidumbre
desconocida que se expresa como:
= () + (5.2)
donde son los pesos ideales obtenidos, y es el resultado de entrenar a la red, () es
la funcin de activacin no lineal y es un trmino constante real para indicar el error de
modelado por redes neuronales y esto es debido al ajuste inexacto del sistema no lineal al
entrenar los pesos de la red.En forma de espacio de estado est dado de la siguiente manera:
1
=
2
() + () +
(5.3)
donde = [1 2 ] son los estados de la planta.
Si () 6= 0 las no linealidades pueden ser canceladas por (regulacin):
= 1 ()
h ()c ()i (5.4)donde es la retroalimentacin de estado de la red neuronal y c son los pesos que se estnaprendiendo y = [12] son los estados de entrada a la red neuronal.
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5.1 Regulacin con compensacin neuronal 67
Por consiguiente
() = + c () (5.5)Sea
= 01 12 1 = (5.6)
donde = [0 1]
Por lo tanto, el sistema quedara como:
() = + c () (5.7)En forma matricial
= + c () (5.8)
donde =
0 1 0 0
1
0 1
= [0 0 1]
Los eigenvalores de es el () =
+ 11 + + 0
S1: Existe un
constante positiva tal que para todo , se tiene que
1
0 = R (5.9)
Teorema 5.1 Supngase queS1 se satisface, la ley de control
=1
()
h ()c ()i (5.10)
junto con la ley de adaptacinc = () (5.11)
garantiza que el estado esta acotado uniformemente 1 y el sistema es estable en el sentido de
Lyapunov en el conjunto definido por:
=n
R |k k2 2
o
(5.12)
1Sea una funcin ( ) continua con primera derivada con respecto al tiempo,
( ) continua, y sean
las funciones de clase , , y definidas en una vecindad alrededor del punto de equilibrio = 0 del
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68 Control de levitacin magntica con compensacin neuronal.
donde es la di