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Máximos e mínimos de funções de duas variáveis
Cálculo Diferencial e Integral III
Suzana M. F. de Oliveira
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2
Índice
● Revisão● Máximos e mínimos ● Resumo● Bibliografia
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Revisão
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4
Revisão
● Derivadas direcionais– Inclinação em qualquer
direção
Inclinação =
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5
Revisão
● Derivadas direcionais– Inclinação em qualquer
direção● Gradiente
– Inclinação máxima
Inclinação =
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6
Revisão
● Derivadas direcionais– Inclinação em qualquer
direção● Gradiente
– Inclinação máxima– É o vetor
normalàs curvade nível
Inclinação =
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Máximos e mínimos de funções de duas variáveis
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8
Máximos e mínimos defunções de duas variáveis● Motivação
– Cadeia de montanhas
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9
Máximos e mínimos defunções de duas variáveis● Motivação
– Cadeia de montanhas
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10
Máximos e mínimos defunções de duas variáveis● Definições: Máximos e mínimos
– Uma função f de duas variáveis tem em um ponto (x0, y0)...
● um máximo relativo se houver um círculo centrado em (x0, y0) tal que f(x0, y0) ≥ f(x, y) em quaisquer pontos (x, y) dentro do círculo
● um máximo absoluto se f(x0, y0) ≥ f(x, y) em quaisquer pontos (x, y) do domínio de f
● um mínimo relativo se houver um círculo centrado em (x0, y0) tal que f(x0, y0) ≤ f(x, y) em quaisquer pontos (x, y) dentro do círculo
● um mínimo absoluto se f(x0, y0) ≤ f(x, y) em quaisquerpontos (x, y) do domínio de f
Não seespecifica
o raio
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11
Máximos e mínimos defunções de duas variáveis● Definições: Máximos e mínimos
– Uma função f de duas variáveis tem em um ponto (x0, y0)...
● um máximo relativo se houver um círculo centrado em (x0, y0) tal que f(x0, y0) ≥ f(x, y) em quaisquer pontos (x, y) dentro do círculo
● um máximo absoluto se f(x0, y0) ≥ f(x, y) em quaisquer pontos (x, y) do domínio de f
● um mínimo relativo se houver um círculo centrado em (x0, y0) tal que f(x0, y0) ≤ f(x, y) em quaisquer pontos (x, y) dentro do círculo
● um mínimo absoluto se f(x0, y0) ≤ f(x, y) em quaisquerpontos (x, y) do domínio de f
Não seespecifica
o raio
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12
Máximos e mínimos defunções de duas variáveis● Definições: Máximos e mínimos
– Uma função f de duas variáveis tem em um ponto (x0, y0)...
● um máximo relativo se houver um círculo centrado em (x0, y0) tal que f(x0, y0) ≥ f(x, y) em quaisquer pontos (x, y) dentro do círculo
● um máximo absoluto se f(x0, y0) ≥ f(x, y) em quaisquer pontos (x, y) do domínio de f
● um mínimo relativo se houver um círculo centrado em (x0, y0) tal que f(x0, y0) ≤ f(x, y) em quaisquer pontos (x, y) dentro do círculo
● um mínimo absoluto se f(x0, y0) ≤ f(x, y) em quaisquerpontos (x, y) do domínio de f
Não seespecifica
o raio
Extremorelativo
Extremoabsoluto
Extremoabsoluto
Extremorelativo
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13
Máximos e mínimos defunções de duas variáveis● Conjuntos limitados
– Para funções de uma variável● Distinção entre domínio finito e infinito na reta x
– Para funções de duas variáveis● Limitado: o conjunto inteiro couber dentro de algum
retângulo● Ilimitado: não há retângulo que contenha todos os
pontos do conjunto
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14
Máximos e mínimos defunções de duas variáveis● Conjuntos limitados
– Para funções de uma variável● Distinção entre domínio finito e infinito na reta x
– Para funções de três variáveis● Limitado: o conjunto inteiro couber dentro de alguma
caixa● Ilimitado: não há caixa que contenha todos os pontos
do conjunto
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15
Máximos e mínimos defunções de duas variáveis● Definição: Teorema do valor extremo
– Se f(x, y) for contínua em um conjunto fechadoe limitado R, então f terá máximo e mínimo absolutos em R
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Máximos e mínimos defunções de duas variáveis● Exemplo: A região quadrada R cujos pontos
satisfazem as desigualdades
é um conjunto fechado e limitado no plano xy
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17
Máximos e mínimos defunções de duas variáveis● Exemplo: A região quadrada R cujos pontos
satisfazem as desigualdades
é um conjunto fechado e limitado no plano xy– O teorema anterior
garante a existência de extremos absolutos em R
– Ocorrem nos pontos A e D
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Máximos e mínimos defunções de duas variáveis● Observações:
– Uma função descontínua em um conjunto fechado e limitado não precisa ter extremos absolutos
– Uma função contínua em um conjunto que não é fechado ou que não é limitado tampouco precisa ter algum extremo absoluto
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19
Máximos e mínimos defunções de duas variáveis● Encontrando extremos relativos
– Função de uma variável● Se uma função g tiver um extremo relativo em um
ponto x0 onde g é diferenciável, então g’(x0) = 0
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20
Máximos e mínimos defunções de duas variáveis● Encontrando extremos relativos
– Função de uma variável● Se uma função g tiver um extremo relativo em um
ponto x0 onde g é diferenciável, então g’(x0) = 0
Vai seranálogo para
duas variáveis
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21
Máximos e mínimos defunções de duas variáveis● Encontrando extremos relativos
– Função de uma variável
Pontoestacionárioé o que tem
derivadazero
O sinalda derivadanão mudaem pontosde inflexão
O sinalda derivada
segundaindica
mínimo oumáximo
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22
Máximos e mínimos defunções de duas variáveis● Encontrando extremos relativos
– Teorema: Se f tiver um extremo relativo em um ponto (x0, y0) e se as derivadas parciais de primeira ordem de f existirem nesse ponto, então
Máximorelativo
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23
Máximos e mínimos defunções de duas variáveis● Encontrando extremos relativos
– Definição: Um ponto (x0, y0) no domínio de uma função f(x, y) é denominado ponto crítico da função se
● fx(x0, y0) = 0 e fy(x0, y0) = 0; ou ● uma ou ambas as derivadas parciais não
existirem em (x0, y0)
![Page 24: Máximos e mínimos de funções de duas variáveis · Motivação – Cadeia de ... vértices (0, 0), (3, 0) e (0, 5) Pontos críticos Pontos de fronteira análise. 41 Máximos e](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022070221/6138dd3c0ad5d20676498640/html5/thumbnails/24.jpg)
24
Máximos e mínimos defunções de duas variáveis● Encontrando extremos relativos
– Definição: Um ponto (x0, y0) no domínio de uma função f(x, y) é denominado ponto crítico da função se
● fx(x0, y0) = 0 e fy(x0, y0) = 0; ou ● uma ou ambas as derivadas parciais não
existirem em (x0, y0)
os extremos relativosocorrem nos pontos críticos
![Page 25: Máximos e mínimos de funções de duas variáveis · Motivação – Cadeia de ... vértices (0, 0), (3, 0) e (0, 5) Pontos críticos Pontos de fronteira análise. 41 Máximos e](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022070221/6138dd3c0ad5d20676498640/html5/thumbnails/25.jpg)
25
Máximos e mínimos defunções de duas variáveis● Encontrando extremos relativos
– Definição: Um ponto (x0, y0) no domínio de uma função f(x, y) é denominado ponto crítico da função se
● fx(x0, y0) = 0 e fy(x0, y0) = 0; ou ● uma ou ambas as derivadas parciais não
existirem em (x0, y0)
– Pontos de mínimo e máximonão precisam ocorrer em todosos pontos críticos
● Pontos de sela
Mínimo relativo em um planoe máximo em outro
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26
Máximos e mínimos defunções de duas variáveis● Encontrando extremos relativos
– Exemplo: Pontos críticos no (0,0)verificado
algebricamente e visto
geometricamente
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27
Máximos e mínimos defunções de duas variáveis● Encontrando extremos relativos
– Exemplo: Pontos críticos no (0,0)
Mínimo relativoe absoluto Mínimo relativo
e absoluto
Máximo relativoe absoluto
A função écontínua, porém
não tem derivadasparciais na origem
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Máximos e mínimos defunções de duas variáveis● Teorema: Teste da derivada segunda
– Seja f uma função de duas variáveis com derivadas parciais de segunda ordem contínuas em algum círculo centrado em um ponto crítico (x0, y0) e seja
● Se D > 0 e fxx(x0, y0) > 0, então f terá um mínimo relativo em (x0, y0).
● Se D > 0 e fxx(x0, y0) < 0, então f terá um máximo relativo em (x0, y0).
● Se D < 0, então f terá um ponto de sela em (x0, y0).● Se D = 0, então nenhuma conclusão pode ser
tirada.
Vem da matrizHessiana
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29
Máximos e mínimos defunções de duas variáveis● Exemplo: Localize todos os extremos relativos
e pontos de sela:
Processo: achar pontos críticos
e calcular D
![Page 30: Máximos e mínimos de funções de duas variáveis · Motivação – Cadeia de ... vértices (0, 0), (3, 0) e (0, 5) Pontos críticos Pontos de fronteira análise. 41 Máximos e](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022070221/6138dd3c0ad5d20676498640/html5/thumbnails/30.jpg)
30
(2, 6) é o únicoponto crítico
Máximos e mínimos defunções de duas variáveis● Exemplo: Localize todos os extremos relativos e
pontos de sela:
– Pontos críticos● Derivadas parciais
● Cálculo do ponto crítico
– Cálculo de D● Derivadas parciais de segunda ordem
● AnáliseMínimorelativo
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31
Máximos e mínimos defunções de duas variáveis● Exemplo: Localize todos os extremos relativos
e pontos de sela:
– Gráfico
Mínimo relativono ponto (2,6)
![Page 32: Máximos e mínimos de funções de duas variáveis · Motivação – Cadeia de ... vértices (0, 0), (3, 0) e (0, 5) Pontos críticos Pontos de fronteira análise. 41 Máximos e](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022070221/6138dd3c0ad5d20676498640/html5/thumbnails/32.jpg)
32
Máximos e mínimos defunções de duas variáveis● Exercício: Localize todos os extremos relativos
e pontos de sela:
Processo: achar pontos críticos
e calcular D
![Page 33: Máximos e mínimos de funções de duas variáveis · Motivação – Cadeia de ... vértices (0, 0), (3, 0) e (0, 5) Pontos críticos Pontos de fronteira análise. 41 Máximos e](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022070221/6138dd3c0ad5d20676498640/html5/thumbnails/33.jpg)
33
Máximos e mínimos defunções de duas variáveis● Exercício: Localize todos os extremos relativos
e pontos de sela:
– Pontos críticos● Derivadas parciais
● Cálculo do ponto crítico
– Cálculo de D● Derivadas parciais de segunda ordem
![Page 34: Máximos e mínimos de funções de duas variáveis · Motivação – Cadeia de ... vértices (0, 0), (3, 0) e (0, 5) Pontos críticos Pontos de fronteira análise. 41 Máximos e](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022070221/6138dd3c0ad5d20676498640/html5/thumbnails/34.jpg)
34
Máximos e mínimos defunções de duas variáveis● Exercício: Localize todos os extremos relativos
e pontos de sela:
– Análise
Pontode sela
Máximosrelativos
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35
Máximos e mínimos defunções de duas variáveis● Exercício: Localize todos os extremos relativos
e pontos de sela:
– Análise
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36
Máximos e mínimos defunções de duas variáveis● Exercício: Localize todos os extremos relativos
e pontos de sela:
– Análise
O padrão “número oito” étípico de um mapa de contornos
em um ponto de sela
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37
Máximos e mínimos defunções de duas variáveis● Teorema: Se uma função f de duas variáveis
tiver um extremo absoluto em um ponto interior de seu domínio, então esse extremo ocorrerá em um ponto crítico
É preciso verificarqual o ponto relativo de
menor/maior valor
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38
Máximos e mínimos defunções de duas variáveis● Encontrando extremos absolutos em conjuntos
fechados e limitadosPodem ocorrer ou nafronteira de R ou no
interior de R
Se forno interior,é em um
ponto crítico
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39
Máximos e mínimos defunções de duas variáveis● Encontrando extremos absolutos em conjuntos
fechados e limitadosPasso 1:
Encontre os pontos críticos de f que estão situados no interior de R.
Passo 2: Encontre todos os pontos de fronteira nos quais os extremos podem ocorrer.
Passo 3: Calcule f(x, y) nos pontos obtidos nos passos precedentes. O maior desses valores é o máximo absoluto eo menor é o mínimo absoluto
![Page 40: Máximos e mínimos de funções de duas variáveis · Motivação – Cadeia de ... vértices (0, 0), (3, 0) e (0, 5) Pontos críticos Pontos de fronteira análise. 41 Máximos e](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022070221/6138dd3c0ad5d20676498640/html5/thumbnails/40.jpg)
40
Máximos e mínimos defunções de duas variáveis● Encontrando extremos absolutos em conjuntos
fechados e limitados– Exemplo: Encontre os valores máximo e mínimo
absolutos na região triangular fechada R de vértices (0, 0), (3, 0) e (0, 5)
Pontos críticos
Pontos de fronteira
análise
![Page 41: Máximos e mínimos de funções de duas variáveis · Motivação – Cadeia de ... vértices (0, 0), (3, 0) e (0, 5) Pontos críticos Pontos de fronteira análise. 41 Máximos e](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022070221/6138dd3c0ad5d20676498640/html5/thumbnails/41.jpg)
41
Máximos e mínimos defunções de duas variáveis● Encontrando extremos absolutos em conjuntos
fechados e limitados– Exemplo: Encontre os valores máximo e mínimo
absolutos na região triangular fechada R de vértices (0, 0), (3, 0) e (0, 5)
● Pontos críticos
(1, 2) é o únicoponto crítico
Está nointerior de R
![Page 42: Máximos e mínimos de funções de duas variáveis · Motivação – Cadeia de ... vértices (0, 0), (3, 0) e (0, 5) Pontos críticos Pontos de fronteira análise. 41 Máximos e](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022070221/6138dd3c0ad5d20676498640/html5/thumbnails/42.jpg)
42
Máximos e mínimos defunções de duas variáveis● Encontrando extremos absolutos em conjuntos
fechados e limitados– Exemplo: Encontre os valores máximo e mínimo
absolutos na região triangular fechada R de vértices (0, 0), (3, 0) e (0, 5)
● Pontos de fronteira– Seguimento de reta entre (0, 0) e (3, 0)
Não tem pontocrítico, assim osvalores extremos
ocorrem nosextremos de u:(0, 0) e (3, 0)
![Page 43: Máximos e mínimos de funções de duas variáveis · Motivação – Cadeia de ... vértices (0, 0), (3, 0) e (0, 5) Pontos críticos Pontos de fronteira análise. 41 Máximos e](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022070221/6138dd3c0ad5d20676498640/html5/thumbnails/43.jpg)
43
Máximos e mínimos defunções de duas variáveis● Encontrando extremos absolutos em conjuntos
fechados e limitados– Exemplo: Encontre os valores máximo e mínimo
absolutos na região triangular fechada R de vértices (0, 0), (3, 0) e (0, 5)
● Pontos de fronteira– Seguimento de reta entre (0, 0) e (3, 0)
– Seguimento de reta entre (0, 0) e (0, 5)
Não tem pontocrítico, assim osvalores extremos
ocorrem nosextremos de u:(0, 0) e (3, 0)
Pontos de extremo(0, 0) e (0, 5)
![Page 44: Máximos e mínimos de funções de duas variáveis · Motivação – Cadeia de ... vértices (0, 0), (3, 0) e (0, 5) Pontos críticos Pontos de fronteira análise. 41 Máximos e](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022070221/6138dd3c0ad5d20676498640/html5/thumbnails/44.jpg)
44
Máximos e mínimos defunções de duas variáveis● Encontrando extremos absolutos em conjuntos
fechados e limitados– Exemplo: Encontre os valores máximo e mínimo
absolutos na região triangular fechada R de vértices (0, 0), (3, 0) e (0, 5)
● Pontos de fronteira– Seguimento de reta entre (0, 5) e (3, 0)
● Substituindo em f
y− y0=y1− y0x1−x0
(x−x0)
Ponto crítico (7/5, 8/3),pontos de extremo (0, 5) e (3, 0)
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45
Máximos e mínimos defunções de duas variáveis● Encontrando extremos absolutos em conjuntos
fechados e limitados– Exemplo: Encontre os valores máximo e mínimo
absolutos na região triangular fechada R de vértices (0, 0), (3, 0) e (0, 5)
● Análise
Máximo Mínimo
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46
Máximos e mínimos defunções de duas variáveis● Encontrando extremos absolutos em conjuntos
fechados e limitados– Exemplo: Determine as dimensões de uma caixa
retangular aberta no topo, com um volume de 32 cm3 e cuja construção requeira uma quantidade mínima de material
Minimizara área dasuperfícieda caixa
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47
Máximos e mínimos defunções de duas variáveis● Encontrando extremos absolutos em conjuntos
fechados e limitados– Exemplo: Determine as dimensões de uma caixa
retangular aberta no topo, com um volume de 32 cm3 e cuja construção requeira uma quantidade mínima de material
● x = comprimento da caixa (em cm)● y = largura da caixa (em cm)● z = altura da caixa (em cm)● S = área da superfície da caixa (em cm2)
● Restrição de volume
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48
Máximos e mínimos defunções de duas variáveis● Encontrando extremos absolutos em conjuntos
fechados e limitados– Exemplo: Determine as dimensões de uma caixa
retangular aberta no topo, com um volume de 32 cm3 e cuja construção requeira uma quantidade mínima de material
● x = comprimento da caixa (em cm)● y = largura da caixa (em cm)● z = altura da caixa (em cm)● S = área da superfície da caixa (em cm2)
● Restrição de volumeS é uma função
de duas variáveis
![Page 49: Máximos e mínimos de funções de duas variáveis · Motivação – Cadeia de ... vértices (0, 0), (3, 0) e (0, 5) Pontos críticos Pontos de fronteira análise. 41 Máximos e](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022070221/6138dd3c0ad5d20676498640/html5/thumbnails/49.jpg)
49
Máximos e mínimos defunções de duas variáveis● Encontrando extremos absolutos em conjuntos
fechados e limitados– Exemplo: Determine as dimensões de uma caixa
retangular aberta no topo, com um volume de 32 cm3 e cuja construção requeira uma quantidade mínima de material
● Reescrevendo S (como função de duas variáveis)x e y
devem serpositivos
![Page 50: Máximos e mínimos de funções de duas variáveis · Motivação – Cadeia de ... vértices (0, 0), (3, 0) e (0, 5) Pontos críticos Pontos de fronteira análise. 41 Máximos e](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022070221/6138dd3c0ad5d20676498640/html5/thumbnails/50.jpg)
50
Máximos e mínimos defunções de duas variáveis● Encontrando extremos absolutos em conjuntos
fechados e limitados– Exemplo: Determine as dimensões de uma caixa
retangular aberta no topo, com um volume de 32 cm3 e cuja construção requeira uma quantidade mínima de material
● Reescrevendo S (como função de duas variáveis)x e y
devem serpositivos
O problemase resume a
achar o mínimode S no primeiro
quadrante
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Máximos e mínimos defunções de duas variáveis● Encontrando extremos absolutos em conjuntos
fechados e limitados– Exemplo: Determine as dimensões de uma caixa
retangular aberta no topo, com um volume de 32 cm3 e cuja construção requeira uma quantidade mínima de material
● Reescrevendo S (como função de duas variáveis)x e y
devem serpositivos
O problemase resume a
achar o mínimode S no primeiro
quadrante
A região não élimitada nem fechada,
não dando garantiaque exista um mínimo
absoluto
Se existir,é em um ponto
crítico de S
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Máximos e mínimos defunções de duas variáveis● Encontrando extremos absolutos em conjuntos
fechados e limitados– Exemplo: Determine as dimensões de uma caixa
retangular aberta no topo, com um volume de 32 cm3 e cuja construção requeira uma quantidade mínima de material
● Reescrevendo S (como função de duas variáveis)
● Pontos críticos
Ponto críticoaceito (4, 4)
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53
Máximos e mínimos defunções de duas variáveis● Encontrando extremos absolutos em conjuntos
fechados e limitados– Exemplo: Determine as dimensões de uma caixa
retangular aberta no topo, com um volume de 32 cm3 e cuja construção requeira uma quantidade mínima de material
● Verificando se é um ponto de mínimo
∂2S
∂ x2=128x3
=12843
=2 ,∂2S
∂ y2=128y3
=12843
=2,∂2S
∂ xy=1
D=∂2S
∂ x2∂2S
∂ y2−( ∂
2S∂ xy )
2
=2.2−12=3
Como Sxx
e D sãopositivos, o ponto
é de mínimo!
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Resumo
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55
Resumo
● Máximos e mínimos relativos e absolutos
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56
Resumo
● Máximos e mínimos relativos e absolutos
● Conjuntos limitadose ilimitados– Pontos de extremo
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57
Resumo
● Máximos e mínimos relativos e absolutos
● Conjuntos limitadose ilimitados– Pontos de extremo
● Pontos críticos– fx(x0, y0) = 0 e fy(x0, y0) = 0; ou – uma ou ambas as derivadas parciais
não existirem em (x0, y0)
![Page 58: Máximos e mínimos de funções de duas variáveis · Motivação – Cadeia de ... vértices (0, 0), (3, 0) e (0, 5) Pontos críticos Pontos de fronteira análise. 41 Máximos e](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022070221/6138dd3c0ad5d20676498640/html5/thumbnails/58.jpg)
58
Resumo
● Máximos e mínimos relativos e absolutos
● Conjuntos limitadose ilimitados– Pontos de extremo
● Pontos críticos– fx(x0, y0) = 0 e fy(x0, y0) = 0; ou – uma ou ambas as derivadas parciais
não existirem em (x0, y0)
● Derivada segunda
![Page 59: Máximos e mínimos de funções de duas variáveis · Motivação – Cadeia de ... vértices (0, 0), (3, 0) e (0, 5) Pontos críticos Pontos de fronteira análise. 41 Máximos e](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022070221/6138dd3c0ad5d20676498640/html5/thumbnails/59.jpg)
59
Resumo
● Exercícios de fixação:– Seção 13.8
● Exercícios de compreensão 13.8● 9-20
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60
Resumo
● Próxima aula:– Multiplicadores de Lagrange
● Encontrar extremos de uma função de uma ou mais variáveis suscetíveis a uma ou mais restrições.
● Graficamente– A linha a vermelho indica
a restrição g(x,y)=c– As linhas azuis são os
contornos de f(x,y).– A solução ocorre no
ponto em que aslinhas vermelha eazul se tocamtangencialmente
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Bibliografia
![Page 62: Máximos e mínimos de funções de duas variáveis · Motivação – Cadeia de ... vértices (0, 0), (3, 0) e (0, 5) Pontos críticos Pontos de fronteira análise. 41 Máximos e](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022070221/6138dd3c0ad5d20676498640/html5/thumbnails/62.jpg)
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Bibliografia
● Bibliografia básica:– ANTON, Howard; BIVENS, Irl; DAVIS, Stephen.
Cálculo, v. 2. 10a ed. Porto Alegre: Bookman, 2012.
● Seção 13.8