![Page 1: N ax a n. n a n Recordemos un poco... El resultado de la adición es: la suma El resultado de la sustracción es: la resta El resultado de la división es:](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022062318/551ce0d4550346447a8b4b5b/html5/thumbnails/1.jpg)
n ax a
n
![Page 2: N ax a n. n a n Recordemos un poco... El resultado de la adición es: la suma El resultado de la sustracción es: la resta El resultado de la división es:](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022062318/551ce0d4550346447a8b4b5b/html5/thumbnails/2.jpg)
n ax a
n
Recordemos un poco...
El resultado de la adición es: la suma
El resultado de la sustracción es: la resta
El resultado de la división es: el cociente
![Page 3: N ax a n. n a n Recordemos un poco... El resultado de la adición es: la suma El resultado de la sustracción es: la resta El resultado de la división es:](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022062318/551ce0d4550346447a8b4b5b/html5/thumbnails/3.jpg)
n ax a
n
Recordemos un poco...
El resultado de la multiplicación es:
el producto
![Page 4: N ax a n. n a n Recordemos un poco... El resultado de la adición es: la suma El resultado de la sustracción es: la resta El resultado de la división es:](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022062318/551ce0d4550346447a8b4b5b/html5/thumbnails/4.jpg)
n ax a
n
Hay unas multiplicaciones cuyo resultado puede ser escrito por simple inspección, es decir sin realizar la operación.
![Page 5: N ax a n. n a n Recordemos un poco... El resultado de la adición es: la suma El resultado de la sustracción es: la resta El resultado de la división es:](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022062318/551ce0d4550346447a8b4b5b/html5/thumbnails/5.jpg)
n ax a
n
UNIDAD 7:
PRODUCTOS NOTABLES Y
FACTORIZACIÓN
![Page 6: N ax a n. n a n Recordemos un poco... El resultado de la adición es: la suma El resultado de la sustracción es: la resta El resultado de la división es:](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022062318/551ce0d4550346447a8b4b5b/html5/thumbnails/6.jpg)
n ax a
n
A los resultados de las multiplicaciones que se pueden escribir por simple inspección, es decir sin realizar la operación, se les llama PRODUCTOS NOTABLES
![Page 7: N ax a n. n a n Recordemos un poco... El resultado de la adición es: la suma El resultado de la sustracción es: la resta El resultado de la división es:](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022062318/551ce0d4550346447a8b4b5b/html5/thumbnails/7.jpg)
n ax a
n
Los productos notables que estudiarás son:
o Binomio al cuadrado
o Binomios conjugados
o Binomios con un término común
o Binomios de la forma (ax + b) (cx + d)
o Binomio al cubo
![Page 8: N ax a n. n a n Recordemos un poco... El resultado de la adición es: la suma El resultado de la sustracción es: la resta El resultado de la división es:](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022062318/551ce0d4550346447a8b4b5b/html5/thumbnails/8.jpg)
n ax a
n
Los productos notables que estudiarás son:
o Binomio al cuadrado
o Binomios conjugados
o Binomios con un término común
o Binomios de la forma (ax + b) (cx + d)
o Binomio al cubo
![Page 9: N ax a n. n a n Recordemos un poco... El resultado de la adición es: la suma El resultado de la sustracción es: la resta El resultado de la división es:](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022062318/551ce0d4550346447a8b4b5b/html5/thumbnails/9.jpg)
n ax a
n
o Binomio al cuadrado
Vamos a asociar la operación algebraicas con unas situaciones geométricas…
![Page 10: N ax a n. n a n Recordemos un poco... El resultado de la adición es: la suma El resultado de la sustracción es: la resta El resultado de la división es:](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022062318/551ce0d4550346447a8b4b5b/html5/thumbnails/10.jpg)
n ax a
n
o Binomio al cuadrado
¿Cómo se calcula el área de un cuadrado?
¿Cómo se calcula el área de un rectángulo?
![Page 11: N ax a n. n a n Recordemos un poco... El resultado de la adición es: la suma El resultado de la sustracción es: la resta El resultado de la división es:](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022062318/551ce0d4550346447a8b4b5b/html5/thumbnails/11.jpg)
n ax a
n
o Binomio al cuadrado
¿Cuál es el área de este cuadrado?
8
8 8
8
![Page 12: N ax a n. n a n Recordemos un poco... El resultado de la adición es: la suma El resultado de la sustracción es: la resta El resultado de la división es:](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022062318/551ce0d4550346447a8b4b5b/html5/thumbnails/12.jpg)
n ax a
n
o Binomio al cuadrado
¿Cuál es el área de este cuadrado?
5
5 5
5
![Page 13: N ax a n. n a n Recordemos un poco... El resultado de la adición es: la suma El resultado de la sustracción es: la resta El resultado de la división es:](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022062318/551ce0d4550346447a8b4b5b/html5/thumbnails/13.jpg)
n ax a
n
o Binomio al cuadrado
¿Cuál es el área de este cuadrado?
a
a a
a
a2
![Page 14: N ax a n. n a n Recordemos un poco... El resultado de la adición es: la suma El resultado de la sustracción es: la resta El resultado de la división es:](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022062318/551ce0d4550346447a8b4b5b/html5/thumbnails/14.jpg)
n ax a
n
o Binomio al cuadrado
¿Cuál es el área de este rectángulo?
2
8 8
2
![Page 15: N ax a n. n a n Recordemos un poco... El resultado de la adición es: la suma El resultado de la sustracción es: la resta El resultado de la división es:](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022062318/551ce0d4550346447a8b4b5b/html5/thumbnails/15.jpg)
n ax a
n
o Binomio al cuadrado
¿Cuál es el área de este rectángulo?
1
5 5
1
![Page 16: N ax a n. n a n Recordemos un poco... El resultado de la adición es: la suma El resultado de la sustracción es: la resta El resultado de la división es:](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022062318/551ce0d4550346447a8b4b5b/html5/thumbnails/16.jpg)
n ax a
n
o Binomio al cuadrado
¿Cuál es el área de este rectángulo?
y
x x
y
xy
![Page 17: N ax a n. n a n Recordemos un poco... El resultado de la adición es: la suma El resultado de la sustracción es: la resta El resultado de la división es:](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022062318/551ce0d4550346447a8b4b5b/html5/thumbnails/17.jpg)
3
5
3
55
5
3
3
![Page 18: N ax a n. n a n Recordemos un poco... El resultado de la adición es: la suma El resultado de la sustracción es: la resta El resultado de la división es:](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022062318/551ce0d4550346447a8b4b5b/html5/thumbnails/18.jpg)
a
b
a
bb
b
a
a
![Page 19: N ax a n. n a n Recordemos un poco... El resultado de la adición es: la suma El resultado de la sustracción es: la resta El resultado de la división es:](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022062318/551ce0d4550346447a8b4b5b/html5/thumbnails/19.jpg)
2 2 2( ) 2a b a ab b
b
a
b
aa
a
b
b
(a + b)2 = a2 + ab + ab + b2
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2
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n ax a
n
o Binomio al cuadrado
Cuadrado del primer término
Dos veces el producto del primer término por el segundo
Cuadrado del segundo término
![Page 21: N ax a n. n a n Recordemos un poco... El resultado de la adición es: la suma El resultado de la sustracción es: la resta El resultado de la división es:](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022062318/551ce0d4550346447a8b4b5b/html5/thumbnails/21.jpg)
n ax a
n
o Binomio al cuadrado
Cuadrado del primer término:
27x
2xDos veces el producto del primer término por el segundo
2 (7) 14x xCuadrado del segundo término
49
![Page 22: N ax a n. n a n Recordemos un poco... El resultado de la adición es: la suma El resultado de la sustracción es: la resta El resultado de la división es:](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022062318/551ce0d4550346447a8b4b5b/html5/thumbnails/22.jpg)
n
a
n
o Binomio al cuadrado
2 27 14 49x x x
![Page 23: N ax a n. n a n Recordemos un poco... El resultado de la adición es: la suma El resultado de la sustracción es: la resta El resultado de la división es:](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022062318/551ce0d4550346447a8b4b5b/html5/thumbnails/23.jpg)
n
a
n
o Binomio al cuadrado
En general un binomio al cuadrado se determina de la siguiente forma:
cuadrado del primer término
(más) (menos)
dos veces el primer término por el segundo
más
cuadrado del segundo término
![Page 24: N ax a n. n a n Recordemos un poco... El resultado de la adición es: la suma El resultado de la sustracción es: la resta El resultado de la división es:](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022062318/551ce0d4550346447a8b4b5b/html5/thumbnails/24.jpg)
n
a
n
o Binomio al cuadrado
Un binomio al cuadrado tiene como resultado tres términos; se le llama TRINOMIO CUADRADO PERFECTO
![Page 25: N ax a n. n a n Recordemos un poco... El resultado de la adición es: la suma El resultado de la sustracción es: la resta El resultado de la división es:](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022062318/551ce0d4550346447a8b4b5b/html5/thumbnails/25.jpg)
n
a
n
o Binomio al cuadrado
El resultado de
210m es
2 100m
2 200 100m
2 200 100m m
2 20 100m m
![Page 26: N ax a n. n a n Recordemos un poco... El resultado de la adición es: la suma El resultado de la sustracción es: la resta El resultado de la división es:](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022062318/551ce0d4550346447a8b4b5b/html5/thumbnails/26.jpg)
n
a
n I N C O R R E C T O
INTENTA DE NUEVO
![Page 27: N ax a n. n a n Recordemos un poco... El resultado de la adición es: la suma El resultado de la sustracción es: la resta El resultado de la división es:](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022062318/551ce0d4550346447a8b4b5b/html5/thumbnails/27.jpg)
n
a
n ¡MUY BIEN!
SIGUIENTE EJERCICIO
![Page 28: N ax a n. n a n Recordemos un poco... El resultado de la adición es: la suma El resultado de la sustracción es: la resta El resultado de la división es:](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022062318/551ce0d4550346447a8b4b5b/html5/thumbnails/28.jpg)
n
a
n
o Binomio al cuadrado
El resultado de
210X es
2 100X
2 20 100X X
2 20 100X X
2 20 100X X
![Page 29: N ax a n. n a n Recordemos un poco... El resultado de la adición es: la suma El resultado de la sustracción es: la resta El resultado de la división es:](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022062318/551ce0d4550346447a8b4b5b/html5/thumbnails/29.jpg)
n
a
n I N C O R R E C T O
INTENTA DE NUEVO
![Page 30: N ax a n. n a n Recordemos un poco... El resultado de la adición es: la suma El resultado de la sustracción es: la resta El resultado de la división es:](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022062318/551ce0d4550346447a8b4b5b/html5/thumbnails/30.jpg)
n
a
n ¡MUY BIEN!
SIGUIENTE PRODUCTO NOTABLE
![Page 31: N ax a n. n a n Recordemos un poco... El resultado de la adición es: la suma El resultado de la sustracción es: la resta El resultado de la división es:](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022062318/551ce0d4550346447a8b4b5b/html5/thumbnails/31.jpg)
n ax a
n
o Binomios conjugados
Dos binomios son conjugados cuando solo difieren en el signo de uno de sus términos.
A los términos de diferente signo se les llama simétricos.
(x + z) y (x – z) son binomios conjugados, donde z y – z son los términos simétricos
![Page 32: N ax a n. n a n Recordemos un poco... El resultado de la adición es: la suma El resultado de la sustracción es: la resta El resultado de la división es:](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022062318/551ce0d4550346447a8b4b5b/html5/thumbnails/32.jpg)
n ax a
n
o Binomios conjugados
Dos binomios son conjugados cuando solo difieren en el signo de uno de sus términos.
A los términos de diferente signo se les llama simétricos.
(2 + a) y (2 – a) son binomios conjugados, donde a y – a son los términos simétricos
![Page 33: N ax a n. n a n Recordemos un poco... El resultado de la adición es: la suma El resultado de la sustracción es: la resta El resultado de la división es:](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022062318/551ce0d4550346447a8b4b5b/html5/thumbnails/33.jpg)
n ax a
n
o Binomios conjugados
Cuando se multiplican binomios conjugados el resultado es una diferencia de los cuadrados de ambas cantidades.
2 2b ba ba a
![Page 34: N ax a n. n a n Recordemos un poco... El resultado de la adición es: la suma El resultado de la sustracción es: la resta El resultado de la división es:](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022062318/551ce0d4550346447a8b4b5b/html5/thumbnails/34.jpg)
n ax a
n
o Binomios conjugados
Cuando se multiplican binomios conjugados el resultado es una diferencia de los cuadrados de ambas cantidades.
23 3 9b b b
![Page 35: N ax a n. n a n Recordemos un poco... El resultado de la adición es: la suma El resultado de la sustracción es: la resta El resultado de la división es:](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022062318/551ce0d4550346447a8b4b5b/html5/thumbnails/35.jpg)
n ax a
n
o Binomios conjugados
Cuando se multiplican binomios conjugados el resultado es una diferencia de los cuadrados de ambas cantidades.
224 4 515 5 26y y yx x x
![Page 36: N ax a n. n a n Recordemos un poco... El resultado de la adición es: la suma El resultado de la sustracción es: la resta El resultado de la división es:](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022062318/551ce0d4550346447a8b4b5b/html5/thumbnails/36.jpg)
n ax a
n
o Binomios conjugados
6 6x x
2 6x
2 36x
2 36x
2 12 36x x
![Page 37: N ax a n. n a n Recordemos un poco... El resultado de la adición es: la suma El resultado de la sustracción es: la resta El resultado de la división es:](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022062318/551ce0d4550346447a8b4b5b/html5/thumbnails/37.jpg)
n ax a
n I N C O R R E C T O
INTENTA DE NUEVO
![Page 38: N ax a n. n a n Recordemos un poco... El resultado de la adición es: la suma El resultado de la sustracción es: la resta El resultado de la división es:](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022062318/551ce0d4550346447a8b4b5b/html5/thumbnails/38.jpg)
n ax a
n ¡M U Y B I E N!
SIGUIENTE EJERCICIO
![Page 39: N ax a n. n a n Recordemos un poco... El resultado de la adición es: la suma El resultado de la sustracción es: la resta El resultado de la división es:](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022062318/551ce0d4550346447a8b4b5b/html5/thumbnails/39.jpg)
n ax a
n
o Binomios conjugados
3 32 7 2 7x x
64 49x
94 49x
94 49x
64 49x
![Page 40: N ax a n. n a n Recordemos un poco... El resultado de la adición es: la suma El resultado de la sustracción es: la resta El resultado de la división es:](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022062318/551ce0d4550346447a8b4b5b/html5/thumbnails/40.jpg)
n ax a
n I N C O R R E C T O
INTENTA DE NUEVO
![Page 41: N ax a n. n a n Recordemos un poco... El resultado de la adición es: la suma El resultado de la sustracción es: la resta El resultado de la división es:](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022062318/551ce0d4550346447a8b4b5b/html5/thumbnails/41.jpg)
n ax a
n ¡M U Y B I E N!
SIGUIENTE PRODUCTO NOTABLE
![Page 42: N ax a n. n a n Recordemos un poco... El resultado de la adición es: la suma El resultado de la sustracción es: la resta El resultado de la división es:](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022062318/551ce0d4550346447a8b4b5b/html5/thumbnails/42.jpg)
n
a
o Binomios con término común
Cuando vimos binomios conjugados vimos que a los términos que difieren en el signo se les llamó simétricos.
Al otro término se le denomina común.
![Page 43: N ax a n. n a n Recordemos un poco... El resultado de la adición es: la suma El resultado de la sustracción es: la resta El resultado de la división es:](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022062318/551ce0d4550346447a8b4b5b/html5/thumbnails/43.jpg)
n
a
o Binomios con término común
Ahora bien, ¿a qué se le llama binomios con término común?
Cuando hablamos de binomios con término común lo estamos haciendo de dos binomios; solo uno de los términos aparece en ambos binomios.
x a x b
Son de la forma:
![Page 44: N ax a n. n a n Recordemos un poco... El resultado de la adición es: la suma El resultado de la sustracción es: la resta El resultado de la división es:](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022062318/551ce0d4550346447a8b4b5b/html5/thumbnails/44.jpg)
o Binomios con término común
n
a
Observa que en el término común es x, mientras que los segundos términos en ambos binomios son diferentes.
x a x b
![Page 45: N ax a n. n a n Recordemos un poco... El resultado de la adición es: la suma El resultado de la sustracción es: la resta El resultado de la división es:](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022062318/551ce0d4550346447a8b4b5b/html5/thumbnails/45.jpg)
o Binomios con término común
El resultado de multiplicar dos binomios con término común se obtiene de la siguiente manera:• cuadrado del término común
• suma algebraica de los términos no comunes, multiplicada por el término común
• producto de los términos no comunes (considerando leyes de los signos)
![Page 46: N ax a n. n a n Recordemos un poco... El resultado de la adición es: la suma El resultado de la sustracción es: la resta El resultado de la división es:](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022062318/551ce0d4550346447a8b4b5b/html5/thumbnails/46.jpg)
o Binomios con término común
El resultado de multiplicar estos binomios con término común se obtiene de la siguiente manera:• cuadrado del término común
• suma algebraica de los términos no comunes, multiplicada por el término común
• producto de los términos no comunes (considerando leyes de los signos)
3 7x x
2x
3 7 4x x
3 7 21
![Page 47: N ax a n. n a n Recordemos un poco... El resultado de la adición es: la suma El resultado de la sustracción es: la resta El resultado de la división es:](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022062318/551ce0d4550346447a8b4b5b/html5/thumbnails/47.jpg)
o Binomios con término común
23 7 4 21x x x x
![Page 48: N ax a n. n a n Recordemos un poco... El resultado de la adición es: la suma El resultado de la sustracción es: la resta El resultado de la división es:](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022062318/551ce0d4550346447a8b4b5b/html5/thumbnails/48.jpg)
o Binomios con término común
3 8x x
2 24 11x x
2 24 11x x
2 11 24x x
2 11 24x x
![Page 49: N ax a n. n a n Recordemos un poco... El resultado de la adición es: la suma El resultado de la sustracción es: la resta El resultado de la división es:](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022062318/551ce0d4550346447a8b4b5b/html5/thumbnails/49.jpg)
o Binomios con término común
I N C O R R E C T O
INTENTA DE NUEVO
![Page 50: N ax a n. n a n Recordemos un poco... El resultado de la adición es: la suma El resultado de la sustracción es: la resta El resultado de la división es:](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022062318/551ce0d4550346447a8b4b5b/html5/thumbnails/50.jpg)
o Binomios con término común
¡MUY BIEN!
SIGUIENTE EJERCICIO
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o Binomios con término común
2 9 2 10a a
24 90a
22 2 90a a
24 2 90a a
24 2 90a a
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o Binomios con término común
I N C O R R E C T O
INTENTA DE NUEVO
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MUY BIEN
OTRO PRODUCTO NOTABLE
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o Binomios de la forma (ax + b) (cx + d)
La característica en este tipo de binomios es que los términos de uno de ellos son semejantes a los términos del otro.
Por ejemplo en los binomios (4x +7z) (5x + 2z), 4x y 5x son términos semejantes; del mismo modo 7z y 2z son semejantes.
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o Binomios de la forma (ax + b) (cx + d)
El producto de estos binomios se obtiene de la siguiente forma:• multiplicas los primeros términos de ambos
binomios
• multiplicas el primer término de cada binomio por el segundo término del otro binomio y se suman (algebraicamente) estos resultados
• se multiplican los segundos términos de ambos polinomios
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o (4x + 3y) (5x + 8y)
El producto de estos binomios se obtiene de la siguiente forma:• multiplicas los primeros términos de ambos
binomios
• multiplicas el primer término de cada binomio por el segundo término del otro binomio y se suman (algebraicamente) estos resultados
• se multiplican los segundos términos de ambos polinomios
220x
4 8 32x y xy 3 5 15y x xy 47xy
224y
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2 2204 47 25 8 43x y x yx y xy
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5 3 7 8x y x y
2 235 24x y
2 235 61 24x xy y
12 61 11x xy y
2 212 61 11x xy y
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INCORRECTO
INTENTA DE NUEVO
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¡MUY BIEN!
OTRO PRODUCTO NOTABLE
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o Binomio al cubo
Un binomio al cubo es de la forma (x + y)3
El desarrollo de este binomio tiene cuatro términos que se obtienen de la siguiente manera.
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o Binomio al cubo
o Cubo del primer términoo Tres veces el cuadrado del primer
término por el segundoo Tres veces el primer término por el
cuadrado del segundoo Cubo del segundo