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Newton Verfahren
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Näherungsverfahren zur Lösung nichtlinearer Gleichungen
Anwendbar bei stetig differenzierbaren Funktionen
Benannt nach Sir Isaac Newton 1669 Iteration
Das Newton Verfahren
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Die zu lösende Gleichung in die Form f(x)=0 bringen
Näherungen der Nullstellen der Gleichung finden:◦ Ausgangsstelle xn wählen
◦ Tangente bei xn bilden
◦ Nullstelle xn+1 der Tangente bestimmen
◦ Nullstelle xn+1 als neue Ausgangsstelle xn wählen
xn nähert sich der Nullstelle der Gleichung an
Iterationschritt
Theoretische Vorgehensweise
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Theoretische Vorgehensweise
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Tangente bei xn , also im Punkt P( xn | f(xn) ):
t: y = m x + b t: y = f‘(xn) • x + b
P( xn | f(xn) ) einsetzen:
f(xn) = f‘(xn) xn + b b = f(xn) – f‘(xn) • xn
t: y = f‘(xn) • x + f(xn) – f‘(xn) • xn
t: y = f(xn) + f‘(xn) • (x - xn)
Bestimmung der Nst. der Tangente
Tangente bei xn
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Nullstelle der Tangente:Nst. wird als xn+1 bezeichnet:
t(xn+1) = 0 = f(xn) + f‘(xn) • (xn+1 - xn)
- f(xn) = f‘(xn) • (xn+1 - xn)
- f(xn) / f‘(xn) = xn+1 - xn
xn - f(xn) / f‘(xn) = xn+1
xn+1 = xn - f(xn)/f‘(xn)
Bestimmung der Nst. der Tangente
Nst. der Tangente
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Konvergenz (= etwa Ännäherung)
Newton Verfahren ist lokal konvergentKonvergenz von xn zu einer Nullstelle ist nur garantiert,
wenn der Startwert schon „ausreichend nahe“ der Nullstelle gewählt wurde
xn kann sich nach dem ersten Iterationsschritt auch weiter entfernen und sich dann erst der Nullstelle annähern
xn kann während der Iteration immer wieder hin und her, also von der einen auf die andere Seite der Nullstelle, springen
Problematisch: Fällt xn auf eine Extremstelle, so hat die Tangente keine Nullstelle und die Gleichung xn+1 = xn - f(xn)/f‘(xn) ist dementsprechend nicht lösbar, da f‘(xn) = 0 wäre und im Nenner steht