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1
L-VaR Análise de Risco (13)
R.Vicente mpmmf
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2
Resumo
Impacto sobre o MercadoModelo em Tempo DiscretoEstratégia Ótima de ExecuçãoL-VaR Modelo em Tempo ContínuoBibliografia
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3
Impacto sobre o Mercado
0S
TS
TSPreço após
negócio
Preço de venda
Impacto Temporário
Impacto
Permanente
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4
Modelo em Tempo DiscretoAlmgren e Chriss (1999)
0 1
1
0, ,...,, 0,...,
N
k k k
t t t Tt t t k k Nτ τ+
= =− = ⇒ = =
Venda de grande quantidade X de um determinado ativo em N etapas :
T Nτ=
Holding Period
A quantidade do ativo em carteira em cada instante é :
0 1
1
, ,..., 0N
kk k k k
x X x xnn x x vτ−
= =
= − = Quantidade vendida por intervalo de tempo em k
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5
Modelo em Tempo DiscretoAlmgren e Chriss (1999)
0 1
1
, ,..., 0N
kk k k k
x X x xnn x x vτ−
= =
= − =
Cronograma de Execução
X
1x
2x
3x4x
0 T
3n
τ
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6
Modelo em Tempo DiscretoAlmgren e Chriss (1999)
1kS −
kS
kS
Movimento Browniano Aritmético
1k k k kS S nσ τε μτ γ−− = + −
DRIFTVOLATILIDADE
IMPACTO PERMANENTE
SOBRE O MERCADO
QUANTIDADE VENDIDA
k k kS S vε η− = + QUANTIDADE VENDIDA POR
UNIDADE DE TEMPO
IMPACTO TEMPORÁRIO
Preço de Venda
BID-ASK SPREAD
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7
Bid-Ask SpreadBangia, Diebold, Schuermann e Stroughair(1999)
COMPRA
VENDA
PREÇO
ILIQUIDEZ ENDÓGENA
TAMANHO DA POSIÇÃO
SPREAD
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8
Preço de VendaAlmgren e Chriss (1999)
( )
1
01
k k k k k
k
j k k kj
S S n v
S t X x v
σ τε μτ γ ε η
σ τε μ γ ε η
−
=
= + + − − −
= + + − − − −∑
PREÇO DE VENDA k
IMPACTO
PERMANENTERANDOM WALK até k
IMPACTO TEMPORÁRIO
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9
Valor Total da VendaAlmgren e Chriss (1999)
( ) ( ) ( )
( )( ) ( ) ( )
( )
1
1 0 1 11 1 1 1
1 1 11 1 1
20
1 1 1 1
N
k kk
N N k N
k k k k j k k kk k j k
N N N
k k k k k k k kk k k
N N N N
k k k k k kk k k k
S n S
x x S x x x x t
x x X x x x x x v
XS x x n X x X v
σ τ ε μ
γ ε η
σ τ ε μτ γ ε ητ
=
− − −= = = =
− − −= = =
= = = =
=
= − + − + −
− − − − − − −
= + + − − − −
∑
∑ ∑ ∑ ∑
∑ ∑ ∑
∑ ∑ ∑ ∑
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10
Custo da TransaçãoAlmgren e Chriss (1999)
2 20
1 1 1
1 12 2
N N N
k k k kk k k
S XS x x X X vσ τ ε μτ γ ε η γτ τ= = =
⎛ ⎞⎟⎜= + + − − − + ⎟⎜ ⎟⎟⎜⎝ ⎠∑ ∑ ∑
O custo (estocástico) final da transação é:
0
2 2
1 1 1
1 12 2
N N N
k k k kk k k
C XS XS
x x X X vσ τ ε μτ γ ε η γτ τ= = =
= −⎛ ⎞⎟⎜=− − + + + + ⎟⎜ ⎟⎟⎜⎝ ⎠∑ ∑ ∑
VARIÁVEL ESTOCÁSTICA
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11
Custo da TransaçãoAlmgren e Chriss (1999)
2 2
1 1 1
1 12 2
N N N
k k k kk k k
C x x X X vσ τ ε μτ γ ε η γτ τ= = =
⎛ ⎞⎟⎜=− − + + + + ⎟⎜ ⎟⎟⎜⎝ ⎠∑ ∑ ∑
2 2
1 1
1 1[ ]2 2
N N
k kk k
E C C x X X vμτ γ ε η γτ τ= =
⎛ ⎞⎟⎜= =− + + + + ⎟⎜ ⎟⎟⎜⎝ ⎠∑ ∑
22 2 2
1
[ ]N
kk
V C C C xσ τ=
= − = ∑
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12
Estratégia Ótima de ExecuçãoAlmgren e Chriss (1999)
2 2
1 1
1 1[ ]2 2
N N
k kk k
E C C x X X vμτ γ ε η γτ τ= =
⎛ ⎞⎟⎜= =− + + + + ⎟⎜ ⎟⎟⎜⎝ ⎠∑ ∑
22 2 2
1
[ ]N
kk
V C C C xσ τ=
= − = ∑
[ ] [ ]L E C r V Cα= +
Estratégia ótima minimiza o custo de Liquidação da Posição:
Custo Médio Custo de oportunidade do capital alocado
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13
Estratégia Ótima de ExecuçãoAlmgren e Chriss (1999)
221 1[ ] ( 1)
2 2 2XE C X N X XN
η γμτ γ ετ
⎛ ⎞⎟⎜=− − + + + + ⎟⎜ ⎟⎟⎜⎝ ⎠
2 21 1 1[ ] 1 13 2
V C X NN N
σ τ⎛ ⎞⎛ ⎞⎟ ⎟⎜ ⎜= − −⎟ ⎟⎜ ⎜⎟ ⎟⎟ ⎟⎜ ⎜⎝ ⎠⎝ ⎠
Assumindo vendas à velocidade constante:
1k kX X kv x XT N Nτ
⎛ ⎞⎟⎜= = = − ⎟⎜ ⎟⎟⎜⎝ ⎠
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14
Estratégia Ótima de ExecuçãoAlmgren e Chriss (1999)
22 2 21 1 1 11 1
2 2 3 2XL X X r X NN N N
η γγ ε α σ ττ
⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞⎟ ⎟ ⎟⎜ ⎜ ⎜=− + + + + − −⎟ ⎟ ⎟⎜ ⎜ ⎜⎟ ⎟ ⎟⎟ ⎟ ⎟⎜ ⎜ ⎜⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠
Assumindo que o drift é nulo a equação para o custo de liquidação é :
A condição para o mínimo custo é:
( )
2 22 2
2
1 1 112 3 2 0
2 11 12
r XL X NN N
NN
α σ τη γτ
⎛ ⎞⎟⎜ − ⎟⎜ ⎟⎜⎛ ⎞∂ ⎝ ⎠⎟⎜=− + + =⎟⎜ ⎟⎟⎜⎝ ⎠∂ ⎛ ⎞⎟⎜− − ⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠
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15
L-VaR
*[ ]L VaR V Cα− =
Estratégia Ótima de Execução
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16
Modelo em Tempo Contínuo
( )01
k
k j k k kj
S S t X x vσ τε μ γ ε η=
= + + − − − −∑0, Nτ → → ∞
0
( ) (0) ( ) ( ) ( )t
S t S z t t ds v s v tσ μ γ η= + + − −∫
PROCESSO DE WIENER
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17
Modelo em Tempo Contínuo0, Nτ → → ∞
2 2 2 2
0 0
1 1( ) (0) ( )2 2
T T
v dt S t XS v dt z t vT vT v T v Tσ μ ε η γ= + + − − −∫ ∫
2 20
1 1 1
1 12 2
N N N
k k k kk k k
S XS x x X X vσ τ ε μτ γ ε η γτ τ= = =
⎛ ⎞⎟⎜= + + − − − + ⎟⎜ ⎟⎟⎜⎝ ⎠∑ ∑ ∑
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18
Custo da Transação
0
2 2 2 2
0
(0) ( )
1 1( )2 2
T
T
C XS v dt S t
v dt z t vT vT v T v Tσ μ ε η γ
= −
=− − + + +
∫
∫
221 1[ ]
2 2XE C XT X XT
ημ ε γ=− + + +
2 2 2 2
0
1[ ] ( )3
T
V C v V dt z t T Xσ σ⎡ ⎤⎢ ⎥= =⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦∫
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19
Estratégia Ótima de Execução
221 1 1
2 2 3XL XT X X T XT
ημ ε γ σ=− + + + +
Assumindo que o drift é nulo a equação para o custo de liquidação é :
A condição para o mínimo custo é:
2
2
1 1 02 2 3
L X rX XT T T
η αμ σ∂ =− − + =∂
Considerando DRIFT nulo:23
* 2 3 XTrη
ασ
⎛ ⎞⎟⎜ ⎟= ⎜ ⎟⎜ ⎟⎟⎜⎝ ⎠
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20
Holding Period Ótimo e L-VaR
23
* 2 3 XTrη
ασ
⎛ ⎞⎟⎜ ⎟= ⎜ ⎟⎜ ⎟⎟⎜⎝ ⎠
0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 10000
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
HOLDING PERIOD
POSIÇÃO
Custo de oportunidade
Nível de Confiança
Volatilidade
Impacto temporário
Posição
12 2 4 3
* 2 21 23 3
XL VaR T Xr
ησ αα σ⎛ ⎞⎟⎜ ⎟− = = ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠
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21
Exemplos Numericos
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22
Bibliografia
•Hisata Y. e Yamai Y., Research Towards the Practical Apllication of Liquididy Risk Evaluation Methods, Monetary and Economic Studies , Dec/2000
Leituras ComplementaresShamroukh, N., Modeling Liquidity Risk in VaR Models, Algorithmcs UK, 2000
Bouchaud J.-P. et al., Fluctuations and response in financial markets: the subtle nature of ‘random’ price changes, Quantitative Finance, 4 (2004) 176-190.