Download - Notes de Cours Généralités sur le calcul du champ magnétiqueDé nition du champ magnétique Dé nition Dé nition De nition Une particule chargé q en mouvement avec une vitesse!¡v

UNIVERSITÉ SULTAN MOULAY SLIMANEFaculté Polydisciplinaire

Béni Mellal

Notes de CoursÉlectromagnétisme dans le vide

Généralités sur le calcul du champ magnétique

Filières : SMP, SMC, SMA, SMI (S3)

Élaboré par:Pr Elmostafa ATIFY

Département de PhysiqueFP Béni Mellal

Dé�nition du champ magnétique

Outline

1 Dé�nition du champ magnétiqueDé�nition

Force de LorentzThéorème de superposition

2 Symétries et invariancesLes symétriesLes invariances

3 Loi de Biot et SavartChamp magnétique crée par une charge ponctuelleÉnoncé de la loi de Biot et SavartTopographie du champ magnétique

4 Les interactions magnétiquesDé�ntion de l'ampèreE�et Hall

E.ATIFY (F.P, Béni Mellal) Électromagnétisme dans le vide November 30, 2019 2 / 22

Dé�nition du champ magnétique

Dé�nition

La présence du courant électrique dans une région de l'espace modi�e ces propriétés. C'est lechamp magnétique.


Dé�nition du champ magnétique Dé�nition

Dé�nition

De�nition

Une particule chargé q en mouvement avec une vitesse −→v dans une région d'espace ou il existe lechamp d'induction magnétique

−→B subit la force

−→F dite de Lorentz, tel que :

−→F = q−→v ∧−→B (1)

Le champ magnétique−→B , ainsi dé�nit, est un pseudo-vecteur.

En e�et, il est dé�ni à partir d'un produit vectoriel. Le sens du vecteur−→B dépend de

l'orientation de l'espace.

Dans la suite on suppose que le sens de l'orientation de l'espace est le sens direct.L'unité de

−→B dans S.I est le Tesla (T).

Example

Ordre de grandeur de l'intensité du champ magnétique

Le champ magnétique terrestre

2.10−5T É B É 4.10−5T

Dans l'entrefer0,1T É B É 2T

Dans les supraconducteur5T É B É 50T



Dé�nition

De�nition




−→F = q−→v ∧−→B (1)



l'orientation de l'espace.Dans la suite on suppose que le sens de l'orientation de l'espace est le sens direct.

L'unité de−→B dans S.I est le Tesla (T).

Example



2.10−5T É B É 4.10−5T





Dé�nition

De�nition




−→F = q−→v ∧−→B (1)



l'orientation de l'espace.Dans la suite on suppose que le sens de l'orientation de l'espace est le sens direct.L'unité de

−→B dans S.I est le Tesla (T).

Example



2.10−5T É B É 4.10−5T





Théorème de superposition du champ magnétique

Une particule chargé q en mouvement avec une vitesse −→v dans une région d'espace ou il existe leschamps d'induction magnétique

−→B 1 et

−→B 2.

La force−→F 1 de Lorentz que subit par la charge par

−→B 1 :

−→F 1 = q−→v ∧−→B 1

La force−→F 2 de Lorentz que subit par la charge par

−→B 2 :

−→F 2 = q−→v ∧−→B 2

La force total−→F que subit la charge est :

−→F =−→F 1 +−→F 2 = q−→v ∧−→B 1 +q−→v ∧−→B 2 = q−→v ∧ (−→B 1 +−→B 2) (2)

La charge est comme elle est soumise à une force de Lorentz due au champ magnétique

−→B =−→B 1 +−→B 2 (3)

Theorem

−→B =∑

i

−→B i (4)


Symétries et invariances

Outline








Plan de symétrie

On considère une distribution de charge ayant un plan de symétrie π càd :

∀P,P′ ∈ (D) ( distribution de courant) tel que P′ = sym(π)(P) alors−→j (P′) = sym(π)

(−→j (P)

)(5)

Selon le principe de curie : "Toute transformation subit par la cause est transférée auxe�ets". Le champ magnétique présente une symétrie.

Le champ magnétique n'est pas un vrai vecteur :

∀M ,M ′ ∈ E (espace) tel que M ′ = sym(π)(M) alors −→B (M ′) =−sym(π)(−→

B (M))

(6)

On en déduit : { −→B t (M ′) = −−→B t (M)−→B n(M ′) = −→B n(M)

(7)

Cas important

Si M est un point du plan de symétrie π alors

−→B (M) ⊥ (π) (8)



Plan de d'antisymétrie

On considère une distribution de charge ayant un plan d'antisymétrie π′ càd :

∀P,P′ ∈ (D) ( distribution de courant) tel que P′ = sym(π′)(P) alors−→j (P′) =−sym(π′)

(−→j (P)

)(9)

Le champ magnétique subit la transformation suivante :

∀M ,M ′ ∈ E (espace) tel que M ′ = sym(π′)(M) alors−→B (M ′) = sym(π′)

(−→B (M)

)(10)

On en déduit : { −→B t (M ′) = −→B t (M)−→B n(M ′) = −−→B n(M)

(11)

Cas important

Si M est un point du plan d'antisymétrie π′ alors−→B (M) ∈ (π) (12)

Example (Cas d'un �l in�ni parcouru par un courant stationnaire)

On suppose que le �l in�ni est suivant l'axe Oz. Selon les symétries, le champ magnétique créepar le �l in�ni est suivant −→e θ: −→

B (M) = B(M)−→e θ (13)



Invariance par translation et par rotation

Invariance par translationSi la distribution de courant est invariante par translation le long de l'axe Oz alors le champmagnétique crée par la distribution ne dépend pas de z.

En système de coordonnées cartésiennes :

−−−→B(M) =−→B (x,y) (14)

En système de coordonnées cylindriques :

−−−→B(M) =−→B (r,θ) (15)

Invariance par rotationSi la distribution de courant est invariante par rotation d'angle θ alors le champ magnétiquecrée par la distribution ne dépend pas de θ.

En système de coordonnées cylindriques :

−−−→B(M) =−→B (r,z) (16)

En système de coordonnées sphériques :

−−−→B(M) =−→B (r,ϕ) (17)


Loi de Biot et Savart

Outline







Loi de Biot et Savart Champ magnétique crée par une charge ponctuelle

Champ magnétique crée par une charge ponctuelle

Soit une charge ponctuelle q de vitesse −→v . La charge est en P à l'instant t.La charge q crée un champ magnétique en un point M de l'espace, tel que :

−→B (M) = µ0

4πq−→v (P)∧

−−→PM−−→PM3

(18)

µ0 = 4π.10−7 dans S.I. la perméabilité magnétique du vide (19)

Si on note par −→u p =−−→PM

PMet par ||−−→PM|| = r. On peut écrire :

−→B (M) = µ0

4π

q−→v (P)∧−→u pr2

(20)


Loi de Biot et Savart Énoncé de la loi de Biot et Savart

Champ magnétique crée par une distribution linéique : Loi de Biot-Savart

Soit un �l conducteur parcouru par le courant d'intensité I. En un point P l'élément de courantest d

−→C (P).L'élément de courant s'ecrit :

d−→C (P) = I−→dl(P) ←− q−→v (P) (21)

−→dl(P) est orienté dans le sens du courant I.l'élément de courant d

−→C (P) crée un champ magnétique élémentaire en un point M de

l'espace, tel que :

d−→B (M) = µ0

4πd−→C (P)∧

−−→PM−−→PM3

(22)

De�nition (Loi de Biot-Savart)

Le champ magnétique crée par un élément de courant, qui se trouve en P, en un point de l'espaceM est donné par la loi de Biot et Savart :

d−→B (M) = µ0

4πI−→dl(P)∧

−−→PM−−→PM3

(23)

Forme intégrale

La champ magnétique crée par la distribution de courant linéique de longueur L est :

−→B (M) = µ0

4π

∫L

I−→dl(P)∧

−−→PM−−→PM3

(24)

Remarque

d−→B est ⊥ à −→dl et d−→B est ⊥ à −−→PM


Loi de Biot et Savart Énoncé de la loi de Biot et Savart

Champ magnétique crée par di�érentes type de distribution courant

Cas d'un distribution de courant volumique :L'élément de courant s'écrit :

d−→C (P) =−→j (P)dτ (25)

Le champ magnétique élémentaire crée par la distribution de courant volumique en un point Mest :

d−→B (M) = µ0

4π

−→j (P)dτ∧

−−→PM−−→PM3

(26)

La forme intégrale :

−→B (M) = µ0

4π

ÑV

−→j (P)dτ∧

−−→PM−−→PM3

(27)

Cas d'un distribution de courant surfacique :L'élément de courant s'écrit :

d−→C (P) =−→j s(P)dS (28)

Le champ magnétique élémentaire crée par la distribution de courant surfacique en un point Mest :

d−→B (M) = µ0

4π

−→j s(P)dS∧

−−→PM−−→PM3

(29)

La forme intégrale :

−→B (M) = µ0

4π

ÏS

−→j s(P)dS∧

−−→PM−−→PM3

(30)


Loi de Biot et Savart Topographie du champ magnétique

Ligne de champ magnétique

De�nition (Ligne de champ)

Une ligne de champ est une courbe orienté (dans le sens du champ magnétique) où le champmagnétique est tangent en chacun de ces points.

Équation d'une ligne de champ

Soit−→dl(M) un élément de longueur de la ligne de champ.

−→B (M) est parallèle à

−→dl(M) alors :

−→B (M)∧−→dl(M) =−→0 (31)

En système de coordonnées cartésiennes:

dx

Bx= dy

By= dz

Bz(32)

En système de coordonnées cylindriques:

dr

Br= rdθ

Bθ= dz

Bz(33)

En système de coordonnées sphériques:

dr

Br= rdθ

Bθ= rsin(θ)dϕ

Bϕ(34)


Loi de Biot et Savart Topographie du champ magnétique

Ligne de champ magnétique : exemple

Example (Champ magnétique crée par un �l )

Le champ magnétique crée par un �l (Oz) parcouru par un courant stationnaire d'intensité I enun point M distant de l'axe par r est :

−→B (M) = µ0I

2πr−→u θ (35)

Les lignes de champs sont des cerles d'axes Oz.

Équation de Maxwell-�ux

Les lignes de champ du champ magnétique sont des courbes fermées. Le champ magnétique n'estpas un champ divergent. Soit donc :

div(−→B ) = 0 (36)


Les interactions magnétiques

Outline








Force magnétique

Action subit par une charge mobileUne chargé mobile q en P de vitesse −→v (P) dans une région d'espace où il existe le champd'induction magnétique


−→F de Lorentz:

−→F = q−→v (P)∧−→B (P) (37)

q−→v (P) −→−→dC(P) (38)Action subit par une distribution volumique de courantLa force magnétique exercée sur un élément volumique de courant en P dans une régiond'espace où il existe le champ d'induction magnétique

−→B est :

d−→F =−→j (P)dτ∧−→B (P) (39)

Action subit par une distribution surfacique de courantLa force magnétique exercée sur un élément surfacique de courant en P dans une régiond'espace où il existe le champ d'induction magnétique

−→B est :

d−→F =−→j s(P)dS∧−→B (P) (40)



Force de Laplace

Soit un conducteur �liforme parcouru par un courant d'intensité I dans une région d'espace oùrègne un champ magnétique

−→B .

Les porteurs de charges mobiles subissent la force de Lorentz :

−→F = q−→v (P)∧−→B (P) (41)

Les trajectoires des charges ne sont plus rectilignes les charges se dévient vers les bords duconducteurs

L'action des charges �xes lissent les charges mobiles con�nés dans le conducteur :

l'action magnétique subit par les charges est transmise au conducteur.

De�nition (Force de Laplace)

La force magnétique exercée sur un conducteur linéique parcouru par un courant d'intensité Idans champ magnétique est dite force de Laplace. Un élément de longueur du conducteur subit laforce élémentaire de Laplace :

d−→F = I−→dl(P)∧−→B (P) (42)



Force d'interaction magnétique entre deux �ls

Soient deux �ls conducteurs parcouru par des courants d'intensité I1 et I2 distant de r.Le champs magnétique crée par le �l (1) en un point de l'espace M est :

−→B 1(M) =

µ0I12πr

−→u 1θ (43)

L'élément de courant en un point P du �l (2),−→dC2(P) = I2

−→dl2(P) subit la force de Laplace

élémentaire du champ crée par le �l(1) :

d−→F 1/2 = I2

−→dl2(P)∧−→B p(P) = I2

−→dl2(P)∧

µ0I12πa

−→u 1θ (44)

a est la distance entre les deux �ls.−→dl2(P) = dz−→e z

donc :

d−→F 1/2 = I2dz−→e z ∧

µ0I12πa

−→u 1θ =µ0I1I2

2πadz−→e z ∧−→u 1θ =−

µ0I1I22πa

dz−→e 1r (45)−→e 1r est orienté du �l(1) vers le �l(2).la force est attractive si I1 et I2 ont le même sens (signe) repulsive dans le cas contraire.Si I1 = I2 = 1 A et a = 1 m alors la force par unité de longueur exercée par le �l(1) sur le �l(2)est d'intensité :

dF1/2dz

= µ02π

= 2.10−7N/m (46)

De�nition (Ampère)

L'ampère est l'intensité du courant éléctrique qui parcours respectivement deux conducteursparallèle distant de 1 m et dont la force d'interaction magnétique par unité de longueur est del'ordre de 2.10−7N/m.



E�et Hall classique

Régime transitoire

I

I

qEh

Eh

qv

qv

B

B

v

v

B

F

F

D

l

Régime permanent



E�et Hall classique

En régime permanent

Apparition du champ de Hall;

La force de Hall compense la force magnétique;

−→F +−→F h =

−→0 (47)

Le champ de Hall−→E h est donné par :

−→F h = q

−→E h = −

−→F

q−→E h = −q−→v ∧

−→B−→

E h = −−→v ∧−→B

(48)

Sachant −→v est perpendiculaire à −→B , l'intensité du champ de Hall est :

Eh = vB (49)

La d.d.p de Hall est :UH = EhD = DvB (50)



E�et Hall classique suite

On note par n le nombre de charge q par unité de volume. La densité volumique de chargemobile est ρ, tel que :

ρ = nq (51)L'intensité du courant I à l'état stationnaire, qui traverse la section droite S = Dl, s'écrit sousla forme :

I =−→j .−→S = ρ−→v .−→S = n q v D l (52)On en déduit que :

vD = Inql

(53)

La tension de Hall s'écrit :

UH =1

nq

IB

l= RH

IB

l(54)

RH =1

nqest la constante de Hall et l épaisseur du matériau dans la direction de

−→B .

La mesure de UH permet de déduire le champ magnétique (Teslamètre à sonde) ou l'intensitédu courant électrique (capteur de courant à e�et Hall : pince ampèrmétrique à e�et Hall)Ordre de grandeur de UH

Cas d'un conducteur métallique : n ' 1029particule/m3; RH ' 10−10m3/C et UH ' 10−6V pour unépaisseur millimétrique.Cas d'un semi conducteur : pour l = 0,1 mm; I = 200mA; B = 200 mT alors RH = 3,12.10−4m3/C etUH = 124,8 mV


Définition du champ magnétiqueDéfinition

Symétries et invariancesLoi de Biot et SavartChamp magnétique crée par une charge ponctuelleÉnoncé de la loi de Biot et SavartTopographie du champ magnétique


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