Download - ODVOD FUNKCIJE
1
y=f(x) dana zvezna funkcija v točki x
hx poljubna sprememba neodvisne spremenljivke x
( ) ( )f h xfxy sprememba funkcije
zaradi zveznosti: 0y če 0h
diferenčni kvocient ( ) ( )
( )x xf h f
hh
diferenčni kvocient je pri h = 0 nedoločen
2
Definicija
Naj bo funkcija f(x) definirana na intervalu [a,b] in poljubno izbrana točka tega intervala. Če obstaja
,x a b
0
( ) ( )( )lim
h
f h ff
x x
hx
imenujemo število odvod funkcije f v točki x
( )f x
3
Odvod je torej število, od katerega se diferenčni kvocient v točki x loči tako malo, kot hočemo, če je le sprememba neodvisne spremenljivke dovolj majhna, torej
( )f x
0, 0( ) ( )
( )f h f
fh
x xx
če je le h
4
Izrek
Če je funkcija v kakšni točki x intervala [a,b] odvedljiva, je v tisti točki tudi zvezna
Geometrično odvod funkcije predstavimo s tangensom naklonskega kota tangente na krivuljo s pozitivno smerjo abscisne osi.
5
1. Odvod konstante je enak nič
f(x) = C ( ) 0f x
2. Ovdod vsote je enak vsoti odvodov
F(x) = f(x) + g(x) ( ) ( ) ( )x f gxF x
Posplošitev
1 2( ) ( ) ( ) ... ( )nF fx x x xf f
1 2( ) ( ) ( ) ... ( )nF f fx x xfx
6
3. Odvod razlike
je enak razliki odvodov
F(x) = f(x) - g(x) ( ) ( ) ( )x f gxF x
4. Odvod produkta
F(x) = f(x).g(x) ( ) ( ). ( ) ( ). ( )x x xf g f gxF x
5. Funkcijo pomnoženo s konstanto odvajamo tako,da konstanto pred odvod izpostavimo.
F(x) = C.f(x) ( ) . ( )CxF xf
7
6.Odvod kvocienta
( )( )
( )
xfF
gx
x 2
( ). ( ) ( ). ( )( )
( )
x xf g f gxF
xg
xx
7. Odvod sestavljene funkcije
Dani funkciji y = f(u) in u = u(x) in
( )y uf ( )u xu
Funkcija F(x) = f[u(x)] ima odvod
( ) ( ). ( )x xuF f u
8
1. Potenčna funkcija
ny x1. nny x n R
2. Logaritemska funkcija
y x alog 1
.lnxy
a
lny x1
yx
9
3. Eksponenta funkcija
xy a lnxy a a
xy e xey4. Sinusna funkcija
sin( )y x cos( )xy
5. Kosinusna funkcija
cosy x sin( )xy
10
6. Tangensna funkcija
tan( )y x2
1
cos ( )xy
7. Kotangensna funkcija
y xctg 2
1
sin ( )xy
8. Arkus-sinusna funkcija
arcsin xy 2
1
1y
x
11
9. Arkus-kosinusna funkcija
arccos xy 2
1
1y
x
10. Arkus-tangensna funkcija
arctan xy 2
1
1y
x
11. Arkus-kotangensna funkcija
arc xy ctg 2
1
1y
x
12
Za diferenčni kvocient in odvod velja
( )y
f xx
in gre ,ko gre0 0x
xsprememba neodvisne spremenljivke x
y
sprememba odvisne spremenljivke y
13
Zvezo lahko tudi zapišemo ( ). . xf x xy
Kadar je tako majhna količina da velja ,imenujemo
x0x
diferencial neodvisne spremenljivke x in ga pišemo x
dx x
Diferencial funkcije(dy) imenujemo količino
( ).xd fy dx
14
Velja
dy y
Odvod funkcije simbolično tudi pišemo
( )f xx
d
d
y
Geometrično diferencial funkcije predstavlja spremembo na tagenti na krivuljo v točki odvoda, ko se neodvisna spremenljivka spremeni za dx
15
Kadar je odvod funkcije f(x) odvedljiva funkcija, jo lahko ponovno odvajamo
( )f x
( ) ( )f x f x
( )xf drugi odvod funkcije
( ) ( )xf f x tretji odvod funkcije
16
V splošnem
, , , , ,(4) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )..... ( )nx x x x xf f f f f xf
drugi,tretji,...odvod imenujemo višji odvodi ali odvodi višjega reda.
17
Problem
Kako izračunati vrednost funkcije f(x) v kakšni točki, če funkcija ni polinom
y xf vsaj n-krat odvedljiva funkcija
a : poljubno realno število za katerega je f(x) definirana
h : poljubna sprememba neodvisne spremenljivke
18
Vrednost funkcije v x = a + h moremo zapisati
( )2 3( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ...1! 2! 3! !
nn
nh h hf
ha a a a
af f
hf f af
nR
( 1)1( . )
( 1)!
n
nnf
n
a hhR
Temu zapisu pravimo Taylor-jeva vrsta
0 1
nR ostanek Taylor-jeve vrsta
lim 0n
nR
19
Za a = 0 in h = x Taylor-jevo vrsto imenujemo MacLaurin-ova vrsta
(3
)2(0) (0) (0) (0)
( ) (0) ...1! 2! 3! !
nn
n
x x Rn
fx
ff x
fx
ff
( )1
1 ( )
( 1)!
nn
n
xx
fR
n
ostanek MacLaurinove vrste
0 1 lim 0n
nR
Za dovolj velik n ostanek lahko zanemarimo
Uporabna za računanje vrednosti funkcij
20
Dana je funkcija ( )
( )( )
xf x
x
,x x odvedljivi pri x = a in je ter ,torej je f(x) pri x = a nedoločena.
0a 0a
Velja
( ) ( )
( ) ( )limx a
x a
x a
21
Funkcija je na nekem intervalu konkavna, kadar je vbokla navzdol.
velja ( ) 0f x
Funkcija je na nekem intervalu konveksna,kadar je vbokla navzgor
velja ( ) 0f x
22
Definicija
Funkcija y = f(x) ima v točki x = a ekstrem, kadar je sprememba funkcije v tej točki istega predznaka za vsako dovolj majhno spremembo neodvisne sremenljivke.
x h sprememba neodvisne spremenljivke
hy af a f sprememba funkcije
Ekstrem,kadar je za vsak h istega predznaka
y
23
3 2.5 2 1.5 1 0.5 0 0.5 1 1.5 2
5
2.5
2.5
5
7.5
10
12.5
1515
7
f x( )
df x( )
23 x x
24
Ekstrem imenujemo maksimum, kadar je sprememba funkcije za vsak h negativna in minimum, kadar je ta sprememba za vsak h pozitivna
y
torej
maksimum0y
minimum
0y
25
Izrek
Funkcija ima v točki x = a ekstrem natanko tedaj, kadar za to točko velja
1 ( ) 0f a
2 ( ) 0f a
maksimum
( ) 0f a
( ) 0f a minimum
26
Funkcija ima v točki x = a prevoj, kadar tangenta v tej točki spremeni stran krivulje
V prevoju lahko ( ) 0f a
Problem
Funkcija y = f(x) ima v točki x = a
( ) 0f a in ( ) 0f a
27
Velja
Če je ( ) 0, ( ) 0,f a af .... ( 1) ( ) 0nf a
in ( ) ( ) 0nf a
x = a prevoj,če je n liho število
x = a ekstrem,če je n sodo število
maksimum za ( ) ( ) 0nf a
minimum za ( ) ( ) 0nf a