Gordana Savic, [email protected]/8/2020
1
OPERACIONA ISTRAŢIVANJA
GORDANA SAVIĆ
UNIVERZITET U BEOGRADU, FAKULTET ORGANIZACIONIH NAUKA
LABORATORIJA ZA OPERACIONA ISTRAŢIVANJA ”JOVAN PETRIĆ”
CENTAR ZA MERENJE EFIKASNOSTI
Obnavljanje
Transportni problem - TP2
Transportni problem (TP)
Model TP se primenjuje u situacijama kada je potrebno
transportovati robu iz veceg broja ishodišta (npr. skladišta) do
određenog broja odredišta (npr. prodavnica) tako da ukupni
troškovi transporta budu minimalni.
Formulisan je sredinom XX veka, kada su napravljena i
pocetna istraţivanja. (Kantorovic, Hickok, Ivanovic, Vogel,
Dancig, Carns, Kuper, Ford, Ferguson, ...)
Linearni TP je spicifičan problem linearnog programiranja.
3
Transportni problem (TP)
Pretpostavke:
Vrši se tansport jedne vrste robe
Postoji m-punktova (ishodišta) A1,…,Ai,..,Am (Ai, i=1,...,m)
Skladišta raspolaţu sa količinom robe a1,... ,ai,..,am (ai, i=1,...,m) ,
respektivno (izraţene u određenim jedinicama mere).
Postoji n-punktova potrošnje (odredišta) B1,...,Bj,..,Bn (Bj, j=1,...,n)
Odredištima je potrebno isporučiti količine robe robe b1,... ,bj,..,bn, (bj,
j=1,...,n) (izraţene u određenim jedinicama mere).
Cena transporta jedinice robe iz svakog ishodišta do svakog odredišta je
poznata cij (i=1,...,m, j=1,...,n)
4
Transportni problem (TP)
Šema transporta Pretpostavke:
Postoji n-punktova (ishodišta)
A1,…,Ai,..,Am (Ai, i=1,...,m)
Skladišta raspolaţu sa količinom
robe a1,... ,ai,..,am (ai, i=1,...,m) ,
Postoji n-punktova potrošnje
(odredišta) B1,...,Bj,..,Bn (Bj,
j=1,...,n)
Odredištima je potrebno isporučiti
količine robe robe b1,... ,bj,..,bn,
(bj, j=1,...,n).
5
A1 Ai Am
B1 Bj Bn
amaia1
bnbjb1
. . .
. . . . . .
. . .
Transportni problem (TP)
Pretpostavke:
Roba se moţe transportovati iz bilo kog ishodišta A1,…,Ai,..,Am do bilo kog
odredišta B1,..., Bj,..,Bn .
Cena transporta jedinice robe iz svakog ishodišta do svakog odredišta je
poznata cij (i=1,...,m, j=1,...,n)
6
Transportni problem (TP)
Šema transporta Roba se moţe
transportovati iz bilo
kog ishodišta
A1,…,Ai,..,Am do bilo
kog odredišta B1,...,
Bj,..,Bn.
Cena transporta
jedinice robe iz svakog
ishodišta do svakog
odredišta je poznata cij
(i=1,...,m, j=1,...,n)
7
A1 Ai Am
B1 Bj Bn
c ij
cm1
c 11
c i1
c1j
c mj
c1n
cin
c mn
amaia1
bnbjb1
. . .
. . . . . .
. . .
Transportni problem (TP)
Šema transporta Potrebno je pronaći
ekonomični plan
transporta odnosno
količinu robe koja će se
transportovati iz i-tog
ishodišta do j-tog
odredišta:
xij (i=1,...,m, j=1,...,n)
8
A1 Ai Am
B1 Bj Bn
c ij
x ij
cm1
x mj
c 11
x 11
c i1
x i1
c1j
x1j
xm1
c mj
c1nx1n
cin
xin
c mn
x mn
amaia1
bnbjb1
. . .
. . . . . .
. . .
Transportni problem (TP)
Tabelarna forma
Šema transporta Tabelarna forma
9
A1 Ai Am
B1 Bj Bn
c ij
x ij
cm1
x mj
c 11
x 11
c i1
x i1
c1j
x1j
xm1
c mj
c1nx1n
cin
xin
c mn
x mn
amaia1
bnbjb1
. . .
. . . . . .
. . .
B1 Bj Bn Tražnja
A1
c11
x11
... c1j
x1j
... c1n
x1n
a1
... ... ... ...
Ai
ci1
xi1
... cij
xij
... cin
xin
ai
... ... ... ...
Am
cm1
xm1
... cmj
xmj
... cmn
xmn
am
Ponuda b1 bj bn
Transportni problem (TP)
Primer
Prodavnice
MagaciniB. Brdo Dorcol Slavija raspoloživo
Borca 14 12 15 100
Kneţevac 8 11 12 200
Palilula 9 5 8 100
Zvezdara 9 11 12 50
potrebno 150 200 50
10
m=4, n=3
Transportni problem (TP)
Primer
Prodavnice
Magacini(B1) B. Brdo (B2) Dorcol (B3) Slavija raspoloživo
(A1) Borca c11=14 c12=12 c13=15 a1=100
(A2) Kneţevac c21=8 c22=11 c23=12 a2=100
(A3) Palilula c31=9 c32=5 c33=8 a3=100
(A4) Zvezdara c41=9 c42=11 c34=12 a4=100
Potrebno b1= 150 b2=200 b3=50 =400
11
Ukupna ponuda=Ukupna tražnja Zatvoren (balansiran) TP
(a1+a1+a1+a1=b1+b2+b3=400)
Transportni problem (TP)
Tabelarna forma
Šema transporta Tabelarna forma
12
A1 Ai Am
B1 Bj Bn
c ij
x ij
cm1
x mj
c 11
x 11
c i1
x i1
c1j
x1j
xm1
c mj
c1nx1n
cin
xin
c mn
x mn
amaia1
bnbjb1
. . .
. . . . . .
. . .
B1 Bj Bn Tražnja
A1
c11
x11
... c1j
x1j
... c1n
x1n
a1
... ... ... ...
Ai
ci1
xi1
... cij
xij
... cin
xin
ai
... ... ... ...
Am
cm1
xm1
... cmj
xmj
... cmn
xmn
am
Ponuda b1 bj bn
1 1
m n
i j
i j
a b
Zatvoren (balansiran)TP
Zatvoreni (balansran)
transportni problem (ZTP)
Celokupna količina robe na
ishodištima (ponuda) će biti
transportovana
Celokupna količina robe
rtaţena u odredištima
(traţnja) će biti dostavljena
13
1 1
m n
i j
i j
a b
ZTP
Matematički model14
11 11(min) ( ) ij ij mn mnf x c x c x c x
1 1
m n
i j
i j
a b
Upravljačke odluke:količina robe koja se transportujeiz i-tog ishodišta do j-tog odredišta
xij (i=1,...,m, j=1,...,n)
Kriterjum upravljanjaUkupni troškovi transporta
Cilj:Minimizacija
ZTP
Matematički model15
11 11(min) ( ) ij ij mn mnf x c x c x c x
11 1 1 1... ...j nx x x a
1 1
m n
i j
i j
a b
1 ... ...i ij in ix x x a
1 ... ...m mj mn mx x x a
Količina robe
na ishodištima
Upravljačke odluke:količina robe koja se transportujeiz i-tog ishodišta do j-tog odredišta
xij (i=1,...,m, j=1,...,n)
Kriterjum upravljanja
Ukupni troškovi transporta
Cilj:
Minimizacija
Ograničavajući faktori p.o.
ZTP
Matematički model16
11 11(min) ( ) ij ij mn mnf x c x c x c x
11 1 1 1... ...j nx x x a
1 1
m n
i j
i j
a b
1 ... ...i ij in ix x x a
1 ... ...m mj mn mx x x a
Količina robe
na ishodištima
Upravljačke odluke:Količina robe koja se transportujeiz i-tog ishodišta do j-tog odredišta
xij (i=1,...,m, j=1,...,n)
x11, x12,..., xij,..., xmn
Kriterjum upravljanja
Ukupni troškovi transporta
Cilj:
Minimizacija
Ograničavajući faktori p.o.
Količina robe
potrebna odredištima
11 1 1 1... ...i mx x x b
1 ... ...j ij mj jx x x b
1 ... ...n in mn nx x x b
11, ..., ,..., 0ij mnx x x
Zatvoreni transportni problem (ZTP)
Broj ograničenja: m+n
Broj promenljivih: m*n
17
1 1 1
1 1 1
,
,
m n m
ij i
i j i
n m n
ij j
j i j
x a
x b
11 11(min) ( ) ij ij mn mnf x c x c x c x
11 1 1 1... ...j nx x x a
1 ... ...i ij in ix x x a
1 ... ...m mj mn mx x x a
11 1 1 1... ...i mx x x b
1 ... ...j ij mj jx x x b
1 ... ...n in mn nx x x b
11, ..., ,..., 0ij mnx x x
Osobina MM ZTP
Nezavisnost ogranicenja
Matematicki model ZTP ima m + n ogranicenja, ali
jedno od njih je linearno zavisno od ostalih,
tako da MM ZTP moţe imati najviše m+n-1 linearno
nezavisnih ogranicenja.
drugim recima, matrica A ekvivalentnog linearnog
problema moţe imati rang najviše m+n-1.
Posledica:
problem ZTP ima m+n-1 baznih promenljivih u svakom
baznom rešenju.
18
ZTP - Matematički model
Primer
Prodavnice
Magacini
(B1)
B. Brdo
(B2)
Dorcol
(B3)
Slavijaraspoloživo
(A1)
Borca
c11=14 c12=12 c13=15 a1=100
(A2)
Kneţevac
c21=8 c22=11 c23=12 a2=100
(A3)
Palilula
c31=9 c32=5 c33=8 a3=100
(A4)
Zvezdara
c41=9 c42=11 c34=12 a4=100
Potrebno b1= 150 b2=200 b3=50 =400
19
11 12 13 21 22 23
31 32 33 41 42 43
(min) ( ) 14 12 15 8 11 12
9 5 8 9 11 12
p.o.
f x x x x x x x
x x x x x x
1 11 12 13
2 21 22 23
3 31 32 33
4 41 42 43
: 100
: 100
: 100
: 100
A x x x
A x x x
A x x x
A x x x
1 11 21 31 41
2 12 22 32 42
3 13 23 33 43
11 12 43
: 150
: 200
: 50
, ,..., 0
B x x x x
B x x x x
B x x x x
x x x
Rešavanje TP20
Rešavanje TP
Osnovni koraci algoritma za rešavanje TP:
1. Inicijalizacija: naci pocetno bazno dopustivo rešenje. Ovo
rešenje se smatra tekucim.
2. Test optimalnosti: da li je tekuce bazno rešenje optimalno?
Ako jeste, KRAJ.
3. Nalaţenje „boljeg” rešenja: naći susedno bazno dopustivo
rešenje za koje je vrednost funkcije cilja manja i usvojiti ga
kao tekuce rešenje.
Vratiti se na korak 2.
21
Rešavanje TP
Za razliku od LP gde, po upotrebljivosti i
rasprostranjenosti, simpleks metoda dominira nad
ostalim algoritmima i rešava zadatak LP od
pocetka do kraja, kod TP postoji veci broj pribliţno
efikasnih procedura koje su specijalzovane za
određeni deo algoritma.
22
Rešavanje TP
Metode za dobijanje pocetnog baznog
dopustivnog rešenja
1. Metoda „severozapadnog ugla”;
2. Metoda najmanjeg elementa u matrici cena;
3. Vogelova aproksimativna metoda.
23
Metoda „severozapadnog ugla”
Bazne promenljive se određuju „redom” po glavnoj dijagonali
matrice cena pocevši od gornjeg levog (severozapadnog
ugla).
Algoritam (formalno):
Za svaki red i (iduci odozgo na dole):
1. U gornju levu celiju rasporediti maksimalno mogucu kolicinu robe iz
posmatranog ishodišta (vrednost bazne promenljive xij=max(ai,bj))
2. Izračunti preostale količine u ishodištima (ai= ai-xij)
3. Izračunti preostale količine u odredištima(bj= bj-xij)
4. Ako je preostalo robe u posmatranom ishodištu, preci na sledecu celiju desno
od nje i ponoviti korake od 1-3., u suprotnom preći na sledeći red (i+1).
Ova metoda ne vodi racuna o kvalitetu dobijenog rešenja
24
Metoda „severozapadnog ugla”
Primer
Iteraija i=1
25
Prodavnice
Magacini(B1) B. Brdo (B2) Dorcol (B3) Slavija raspoloživo
(A1) Borca c11=14x11=min(100,150)
c12=12 c13=15 a1=100
(A2) Kneţevac c21=8 c22=11 c23=12 a2=100
(A3) Palilula c31=9 c32=5 c33=8 a3=100
(A4) Zvezdara c41=9 c42=11 c43=12 a4=100
Potrebno b1= 150 b2=200 b3=50 =400
Metoda „severozapadnog ugla”
Primer
Iteraija i=1
26
Prodavnice
Magacini(B1) B. Brdo (B2) Dorcol (B3) Slavija raspoloživo
(A1) Borca c11=14x11=min(100,150)
c12=12 c13=15 a1=100a1=100-x11=100-100=0
(A2) Kneţevac c21=8 c22=11 c23=12 a2=100
(A3) Palilula c31=9 c32=5 c33=8 a3=100
(A4) Zvezdara c41=9 c42=11 c43=12 a4=100
Potrebno b1= 150
b1=150-x11=150-100=50
b2=200 b3=50 =400
Metoda „severozapadnog ugla”
Primer
Iteraija i=1
27
Prodavnice
Magacini(B1) B. Brdo (B2) Dorcol (B3) Slavija raspoloživo
(A1) Borca c11=14x11=min(100,150)
c12=12 c13=15 a1=0
(A2) Kneţevac c21=8 c22=11 c23=12 a2=100
(A3) Palilula c31=9 c32=5 c33=8 a3=100
(A4) Zvezdara c41=9 c42=11 c43=12 a4=100
Potrebno b1= 50 b2=200 b3=50 =400
Celokupna količina robe iz Borče je transportovana!
preći na sledeći red
Metoda „severozapadnog ugla”
Primer
Iteraija i=2
28
Prodavnice
Magacini(B1) B. Brdo (B2) Dorcol (B3) Slavija raspoloživo
(A1) Borca c11=14x11=100
c12=12 c13=15 a1=0
(A2) Kneţevac c21=8x21=min(100,50)
c22=11 c23=12 a2=100
a2= 100-x21= 100-50=50
(A3) Palilula c31=9 c32=5 c33=8 a3=100
(A4) Zvezdara c41=9 c42=11 c43=12 a4=100
Potrebno b1=50
b1=150-x11=50-0=0
b2=200 b3=50 =400
Celokupna tražena količina robe u odredište B. Brdo je transportovana, ali je ostalo robe u Kneževcu!
preći na sledeću ćeliju u istom redu
Metoda „severozapadnog ugla”
Primer
Iteraija i=2
29
Prodavnice
Magacini(B1) B. Brdo (B2) Dorcol (B3) Slavija raspoloživo
(A1) Borca c11=14x11=100
c12=12 c13=15 a1=0
(A2) Kneţevac c21=8x21=50
c22=11x22=min(50,200)
c23=12 a2=50
a2= 50-x22= 50-50=0
(A3) Palilula c31=9 c32=5 c33=8 a3=100
(A4) Zvezdara c41=9 c42=11 c43=12 a4=100
Potrebno b1=0 b2=200
b2=200-x22=
200-50=150
b3=50 =400
Celokupna količina robe iz Kneževca je transportovana!
preći na sledeći red
Metoda „severozapadnog ugla”
Primer
Iteraija i=3
30
Prodavnice
Magacini(B1) B. Brdo (B2) Dorcol (B3) Slavija raspoloživo
(A1) Borca c11=14x11=100
c12=12 c13=15 a1=0
(A2) Kneţevac c21=8x21=50
c22=11x22=50
c23=12 a2=0
(A3) Palilula c31=9 c32=5x32=min(100,150)
c33=8 a3=100
a3= 100-x32= 100-100=0
(A4) Zvezdara c41=9 c42=11 c43=12 a4=100
Potrebno b1=0 b2=150
b2=150-x32=
150-100=50
b3=50 =400
Celokupna količina robe iz ishodišta Palilula je transportovana!
preći na sledeći red
Metoda „severozapadnog ugla”
Primer
Iteraija i=3
31
Prodavnice
Magacini(B1) B. Brdo (B2) Dorcol (B3) Slavija raspoloživo
(A1) Borca c11=14x11=100
c12=12 c13=15 a1=0
(A2) Kneţevac c21=8x21=50
c22=11x22=50
c23=12 a2=0
(A3) Palilula c31=9 c32=5x32=100
c33=8 a3=0
(A4) Zvezdara c41=9 c42=11x42=min(100,50)
c43=12 a4=100
a4=100-x42=100-50=50
Potrebno b1=0 b2=50
b2=50-x42=50-50=0
b3=50 =400
Celokupna količina robe je transportovana u odredište Dorćol, a celokupna količina robe iz ishodišta Zvezdara nije transportovana!
preći na sledeće polje
Metoda „severozapadnog ugla”
Primer
Iteraija i=3
32
Prodavnice
Magacini(B1) B. Brdo (B2) Dorcol (B3) Slavija raspoloživo
(A1) Borca c11=14x11=100
c12=12 c13=15 a1=0
(A2) Kneţevac c21=8x21=50
c22=11x22=50
c23=12 a2=0
(A3) Palilula c31=9 c32=5x32=100
c33=8 a3=0
(A4) Zvezdara c41=9 c42=11x42=50
c43=12x43=min(50,50)
a4=50
a4=50-x43=50-50=0
Potrebno b1=0 b2=0 b3=50
b3=50-x43=50-50=0
=400
Celokupna količina robe je transportovana u odredište Slavija, a celokupna količina robe iz ishodišta Zvezdara je transportovana!
početni plan je određen
Metoda „severozapadnog ugla”
Primer
Početno rešenje
33
Prodavnice
Magacini(B1) B. Brdo (B2) Dorcol (B3) Slavija raspoloživo
(A1) Borca c11=14x11=100
c12=12 c13=15 a1=100
(A2) Kneţevac c21=8x21=50
c22=11x22=50
c23=12 a2=100
(A3) Palilula c31=9 c32=5x32=100
c33=8 a3=100
(A4) Zvezdara c41=9 c42=11x42=50
c43=12x43=50
a4=100
Potrebno b1=150 b2=200 b2=50 =400
Početno rešenje-bazne promenljive: XB0=x11
0, x210, x22
0, x320, x42
0, x430=(100, 50, 50, 100, 50, 50)
Vrednost funkcije cilja: f(X0)=c11*x110+c21*x21
0+c22*x220+c32* x32
0+c42* x420+c43* x43
0=
f(X0)=14*100+8*50+11*50+5*100+11*50+12*50=4000
Metoda najmanjeg elementa u
matrici cena
Ova metoda uzima u obzir kvalitet rešenja koristeci princip proţdrljivosti
(greedy).
Algoritam:
1. Naci se polje (i, j) sa najmanjom vrednošcu cij. Promenljivoj xij se
dodeljuje vrednost min(ai,bj).
2. Ako je ai≤ bj tada se izvrše sledece privremene transformacije: ai = 0,
bj = bj - ai , cij = , j=1,..., n
3. Ako je ai ≥ bj tada se izvrše sledece privremene transformacije: bj = 0,
aj = ai - bj , cij = , i=1,..., m
4. Koraci 1-3 se ponavljaju sve dok se ne rasporedi sva kolicina robe.
34
Metoda najmanjeg elementa u matrici cena
Primer
Iteraija i=1
1. min cij=c32=5 x32=min(200,100)=100
2. a3=100<b3=200 a3=0, b2=200-100=100
35
Prodavnice
Magacini(B1) B. Brdo (B2) Dorcol (B3) Slavija raspoloživo
(A1) Borca c11=14 c12=12 c13=15 a1=100
(A2) Kneţevac c21=8 c22=11 c23=12 a2=100
(A3) Palilula c31=9 c31= c32=5 c32=x32=min(200,100)
c33=8 c33= a3=100
a3=0
(A4) Zvezdara c41=9 c42=11 c43=12 a4=100
Potrebno b1= 150 b2=200
b2=100
b3=50 =400
Metoda najmanjeg elementa u matrici cena
Primer
Iteraija i=2
1. min cij=c21 =8 x21=min(150,100)=100
2. a2=100<b1=150 a2=0, b1=150-100=50
36
Prodavnice
Magacini(B1) B. Brdo (B2) Dorcol (B3) Slavija raspoloživo
(A1) Borca c11=14 c12=12 c13=15 a1=100
(A2) Kneţevac c21=8 c21=
x21=100
c22=11 c22= c23=12 c23= a2=100
a2=0
(A3) Palilula c31= c32=x32=100
c33= a3=0
(A4) Zvezdara c41=9 c42=11 c43=12 a4=100
Potrebno b1= 150
b2=50
b2=100 b3=50 =400
Metoda najmanjeg elementa u matrici cena
Primer
Iteraija i=3
1. min cij=c41 =9 x41=min(100,50)=50
2. b1=50<a4=100 b1=0, a4=100-50=50
37
Prodavnice
Magacini(B1) B. Brdo (B2) Dorcol (B3) Slavija raspoloživo
(A1) Borca c11=14 c11= c12=12 c13=15 a1=100
(A2) Kneţevac c21=
x21=100
c22= c23= a2=0
(A3) Palilula c31= c32=x32=100
c33= a3=0
(A4) Zvezdara c41=9 c41=
x41=50
c42=11 c43=12 a4=100
a4=50
Potrebno b1=50
b1=0
b2=100 b3=50 =400
Metoda najmanjeg elementa u matrici cena
Primer
Iteraija i=3
1. min cij=c42 =11 x42=min(100,50)=50
2. a4=50<b1=100 b1=0, a4=100-50=50
38
Prodavnice
Magacini(B1) B. Brdo (B2) Dorcol (B3) Slavija raspoloživo
(A1) Borca c11= c12=12 c13=15 a1=100
(A2) Kneţevac c21=
x21=100
c22= c23= a2=0
(A3) Palilula c31= c32=x32=100
c33= a3=0
(A4) Zvezdara c41=
x41=50
c42=11 c42=
x42=50
c43=12 c43= a4=50
a4=0
Potrebno b1=0 b2=100
b2=50
b3=50 =400
Metoda najmanjeg elementa u matrici cena
Primer
Iteraija i=3
1. min cij=c12 =12 x12=min(100,50)=50
2. b2=50<a4=100 b2=0, a1=100-50=50 x13=50
39
Prodavnice
Magacini(B1) B. Brdo (B2) Dorcol (B3) Slavija raspoloživo
(A1) Borca c11= c12=12
x12=50
c13=15
x13=50
a1=100
(A2) Kneţevac c21=
x21=100
c22= c23= a2=0
(A3) Palilula c31= c32=x32=100
c33= a3=0
(A4) Zvezdara c41=
x41=50
c42=
x42=50
c43= a4=0
Potrebno b1=0 b2=50 b3=50 =400
Metoda najmanjeg elementa u matrici cena
Primer
Početno rešenje
40
Prodavnice
Magacini(B1) B. Brdo (B2) Dorcol (B3) Slavija raspoloživo
(A1) Borca c11=14 c12=12
x12=50
c13=15
x13=50
a1=100
(A2) Kneţevac c21=8x21=100
c22=11 c23=12 a2=100
(A3) Palilula c31=9 c32=5x32=100
c33=8 a3=100
(A4) Zvezdara c41=9
x41=50
c42=11x42=50
c43=12 a4=100
Potrebno b1=150 b2=200 b2=50 =400
Početno rešenje-bazne promenljive: XB0=x12
0, x130, x21
0, x320, x41
0, x420=(50, 50, 100, 100, 50, 50)
Vrednost funkcije cilja: f(X0)=c12*x120+c13*x13
0+c21*x210+c32* x32
0+c41* x410+c42* x42
0=
f(X0)=12*50+15*50+8*100+5*100+9*50+11*50=3650
Vogelova aproksimativna metoda
Ova metoda uzima u obzir kvalitet rešenja koristeci princip gledanja
unapred (look ahead).
Algoritam:
1. Za svaki red i za svaku kolonu izracunati razliku između dva najmanja
elementa u matrici cena.
2. Izabrati red ili kolonu za koju je ova razlika najveca i u polje (i, j) koje
ima namanju vrednost u tom redu ili kolonu dodeliti vrednost min{ai, bj}.
3. Ako je ai ≤ bj tada red i iskljuciti iz daljeg razmatranja i aţurirati razlike
između dva najmanja elementa za svaku kolonu.
4. Ako je ai ≥bj tada kolonu j iskljuciti iz daljeg razmatranja i aţurirati
razlike između dva najmanja elementa za svaki red.
5. Koraci 2-4 se ponavljaju sve dok se ne rasporedi sva kolicina robe.
41
Vogelova aproksimativna metoda
Primer
Iteraija 1
42
Prodavnice
Magacini(B1) B. Brdo
b1= 150
(B2) Dorcol
b2=200 b2=100
(B3) Slavija
b3=50Razlika reda (RR)
(A1) Borca
a1=100
c11=14 c12=12 c13=15 14-12=2
(A2) Kneţevac
a2=100
c21=8 c22=11 c23=12 11-8=3
(A3) Palilula
a3=100 a3=0
c31=9 c32=5
x32=100
c33=8 8-5=3
(A4) Zvezdara
a4=100
c41=9 c42=11 c43=12 11-9=2
Razlika kolone
(RK)
9-8=1 11-5=6 12-8=4 max rezlika=6
1. max razlika = 6 bazna promenlijiva će biti u drugoj koloni (j=2)
2. minci2=c32 =5 x32=min(100,100)=100
3. a3=100<b2=100 a3=0, b2=200-100=100
Vogelova aproksimativna metoda
Primer
Iteraija 2
43
Prodavnice
Magacini(B1) B. Brdo
b1= 150 b1= 50
(B2) Dorcol
b2=200 b2=100
(B3) Slavija
b3=50Razlika reda (RR)
(A1) Borca
a1=100
c11=14 c12=12 c13=15 14-12=2, 15-14=1
(A2) Kneţevac
a2=100 a2=0
c21=8
x21=100
c22=11 c23=12 11-8=3, 12-8=4
(A3) Palilula
a3=100 a3=0
c31=9 c32=5
x32=100
c33=8 8-5=3
(A4) Zvezdara
a4=100
c41=9 c42=11 c43=12 11-9=2, 12-9=3
Razlika kolone
(RK)
9-8=1 11-5=6 12-11=1 12-8=4 12-12=0 max rezlika=4
1. max razlika = 4 bazna promenlijiva će biti u drugom redu (i=2)
2. minc2j=c21 =8 x21=min(100,150)=100
3. a2=100<b1=150 a2=0, b1=150-100=50
Metoda najmanjeg elementa u matrici cena
Primer
Iteraija 3
44
Prodavnice
Magacini(B1) B. Brdo
b1= 150 b1= 50 b1= 0
(B2) Dorcol
b2=200 b2=100
(B3) Slavija
b3=50Razlika reda (RR)
(A1) Borca
a1=100
c11=14 c12=12 c13=15 14-12=2, 15-14=1
(A2) Kneţevac
a2=100 a2=0
c21=8
x21=100
c22=11 c23=12 11-8=3, 12-8=4
(A3) Palilula
a3=100 a3=0
c31=9 c32=5
x32=100
c33=8 8-5=3
(A4) Zvezdara
a4=100 a4=50
c41=9
x41=50
c42=11 c43=12 11-9=2, 12-9=3
Razlika kolone
(RK)
9-8=1, 14-9=5, 11-5=6 12-11=1 12-8=4 12-12=0
15-12=3,
max rezlika=6
1. max razlika = 5 bazna promenlijiva će biti u prvoj koloni (j=1)
2. minci1=c41 =9 x41=min(50,100)=50
3. b1=50< a4=100 b1=50, a4=100-50=50
Metoda najmanjeg elementa u matrici cena
Primer
Iteraija 4
45
Prodavnice
Magacini(B1) B. Brdo
b1= 150 b1= 50 b1= 0
(B2) Dorcol
b2=200 b2=100
(B3) Slavija
b3=50 b3=0Razlika reda (RR)
(A1) Borca
a1=100
c11=14 c12=12
x12=100
c13=15 14-12=2, 15-14=1
(A2) Kneţevac
a2=100 a2=0
c21=8
x21=100
c22=11 c23=12 11-8=3, 12-8=4
(A3) Palilula
a3=100 a3=0
c31=9 c32=5
x32=100
c33=8 8-5=3
(A4) Zvezdara
a4=100 a4=50
a4=0
c41=9
x41=50
c42=11 c43=12
x43=50
11-9=2, 12-9=3
Razlika kolone
(RK)
9-8=1, 14-9=5, 11-5=6 12-11=1 12-8=4 12-12=0
15-12=3,
max rezlika=6
1. max razlika = 3 bazna promenlijiva će biti u trećoj koloni (j=3)
2. minci3=c43 =12 x43=min(50, 50)=50
3. b3=50= a4=50 b3=0, a4=0 x12=100
Metoda „severozapadnog ugla”
Primer
Početno rešenje
46
Prodavnice
Magacini(B1) B. Brdo (B2) Dorcol (B3) Slavija raspoloživo
(A1) Borca c11=14 c12=12x12=100
c13=15 a1=100
(A2) Kneţevac c21=8x21=100
c22=11 c23=12 a2=100
(A3) Palilula c31=9 c32=5
x32=100
c33=8 a3=100
(A4) Zvezdara c41=9
x41=50
c42=11 c43=12
x43=50
a4=100
Potrebno b1=150 b2=200 b2=50 =400
Početno rešenje-bazne promenljive: XB0=x12
0, x210, x32
0, x410, x43
0=(100, 100, 100, 50, 50)
Vrednost funkcije cilja: f(X0)=c12*x120+c21*x21
0+c32* x320+c41* x41
0+c43* x430=
f(X0)=12*100+8*100+5*100+9*50+12*50=3550
Metode za određivanje
početnog rešenja
Metode za dobijanje pocetnog baznog
dopustivnog rešenja
47
Metoda Vrednost f-je cilja Izbor
Metoda „severozapadnog ugla” fsu(X0)=4000
Metoda najmanjeg elementa u matrici cena fne (X0)=3650
Vogelova aproksimativna metoda. fvog (X0)=3550 √
fsu≥fne≥fvog
Eksperimentalno je utvrđeno da Vogelova aproksimativna metoda daje najmenju vrednos f-je cilja tj. pronalazi početo bazno rešenje koje je najbliže optimalnom!
Metode za pronalaţenje optimalnog rešenja
Transportni problem - TP48
Rešavanje TP
Metode za određivanje optimalnog rešenja
2. Provera optimalnosti:
Ako je rešenje optimalno; KRAJ
Ako nije optimalno: Korak 3
3. Pronaći “bolje” dopustivno bazno rešenje i vratiti
se na korak 2.
49
Rešavanje TP
Metode za određivanje optimalnog rešenja
1. Metoda „skakanja s kamena na kamen” (stepping
stone);
2. Metoda uslovno optimalnih planova;
3. Metoda potencijala (metoda simpleks
mnoţitelja, u-v metoda, MoDi metoda).
50
Metoda potencijala
Ova metoda proizilazi iz dualnog tumacenja
matematickog modela transportnog problema.
51
Zatvoreni transportni problem (ZTP)
ZTP-Primal ZTP-dual
52
1 1
(min) ( )
p.o.
m n
ij ij
i j
f x c x
1
, 1,...,n
ij i
j
x a i m
0, 1,..., ,
1,...,
i jx i m
j n
1 1
(max) ( , )
p.o.
m n
i j i i j j
i j
u v a u b v
1,..., , 1,...,i j iju v c i m j n
, , neograničeno,
1,..., ,
1,...,
i ju v
i m
j n
1
, 1,...,n
ij j
i
x b j n
iu
jv
ijx
Metod potencijala
Prema svojstvu komplementarnosti optimalnih
rešenja primara i duala vaţi:
53
* * *( ( )) 0, 1,..., , 1,...,ij ij i jx c u v i m j n
Metod potencijala
Uslov optimalnosti baznog rešenja X*
Ako je primenljiva xij bazna, tj. xij*> 0, tada vaţi
Ako je primenljiva xij nebazna, tj. xij*= 0, tada vaţi
54
* *( ) 0ij i jc u v
* *( ) 0ij i jc u v
Metod potencijala
Postupak utvrđivanja optimalnosti rešenja x
Za tekuce rešenje x odrediti dualne promenljive u i v rešavanjem
sistema jednacina ui + vj = cij za svako i, j za koje vaţi da je
promenljiva xij bazna.
Proveriti da li vaţi da za svaku nebaznu promenljivu vaţi
dij = cij - ui + vj ≥ 0
Ako vaţi, rešenje X je optimalno. Ako ne vaţi, treba odrediti novo
bazno rešenje, s tim što vrednosti dij predstavljaju jedinicne
priraštaje funkcije cilja ukoliko nebazna promenljiva xij postane
bazna.
55
Metod potencijala
Postupak utvrđivanja optimalnosti rešenja x
Sistem jednacina ui + vj = cij za svako i, j za koje vaţi da je
promenljiva xij bazna, ima m + n promenljivih i m + n – 1
jednacina.
Ovo znaci da je jedna promenljiva nezavisna, dok su ostalih
m+n–1 zavisne.
Prilikom rešavanja zadataka, dovoljno je na proizvoljan nacin
izabrati jednu dualnu promenljivu i dodeliti joj proizvoljnu
vrednost.
Ovaj postupak moţe imati teškoće kada je tekuce rešenje
degenerisano (neka bazna promenljiva jendaka 0).
56
Provera optimalnosti
Kriterijum optimalnosti
Bazno dopustivo rešenje Xk dobijeno u k-toj iteraciji sa
ukupnim troškovima transporta min Fk predstavlja optimalno
rešenje transportnog problema ukoliko je jedinična promena
troškova dij≥0 za sve nebazične promenljive xij=0,
i=1,...,m, j=1,...,n.
Polja na kojima je vrednost jedinične promene troškova negativna pruţaju mogućnost
za formiranje boljeg rešenja (moguće je smanjiti ukupne troškove transporta) ukoliko
bi se po nekom od njih vršio transport.
57
Kriterijum ulaska promenljive u bazu
Kriterijum ulaska promenljive u bazu U bazu ulazi ona nebazična promenljiva xsr za koju vaţi da je
Novo bazno dopustivo rešenje Xk+1 i odgovarajući ukupni troškovi Fk+1 :
Odrediti u transportnoj tabeli "poligon" P čije je jedno teme polje xsr, a ostala
temena čine polja (i,j) u kojima je se nalaze bazne promenljive (svaki red i kolona
sadrţe tačno dva temena poligona). Ukoliko je bazično dopustivo rešenje
nedegenerisano poligon P uvek postoji i jedinstven je.
Odrediti način promene vrednosti (dodavanje i oduzimanje vredsnosti ) u poljima
poligona P, tako da zbirovi redova i kolona u tabeli ostanu nepromenjeni. Na
osnovu toga moguće je odrediti skup temena poligona u kojima bi se vršilo
dodavanje P+, odnosno skup temena poligona u kojima bi se vršilo oduzimanje P-.
58
min{ : 0}sr ij ijd d d
Određivanje novog baznog rešenja59
1 *k
srx
1 *, ( , )k k
ij ijx x i j P
1 *, ( , )k k
ij ijx x i j P
1 , ( , )k k
ij ijx x i j P
*
( , )min k
iji j P
x
1 1 *k kijF F d Vrednost f-je
cilja
Vrednost nove
bazne
promenljive
Metoda potencijala primer
Primer
Prodavnice
Magacini
(B1)
B. Brdo
(B2)
Dorcol
(B3)
Slavijaraspoloživo
(A1)
Borca
c11=14 c12=12 c13=15 a1=100
(A2)
Kneţevac
c21=8 c22=11 c23=12 a2=100
(A3)
Palilula
c31=9 c32=5 c33=8 a3=100
(A4)
Zvezdara
c41=9 c42=11 c34=12 a4=100
Potrebno b1= 150 b2=200 b3=50 =400
Početno rešenje Matematički model - primal
60
11 12 13 21 22 23
31 32 33 41 42 43
(min) ( ) 14 12 15 8 11 12
9 5 8 9 11 12
p.o.
f x x x x x x x
x x x x x x
1 11 12 13
2 21 22 23
3 31 32 33
4 41 42 43
: 100
: 100
: 100
: 100
A x x x
A x x x
A x x x
A x x x
1 11 21 31 41
2 12 22 32 42
3 13 23 33 43
11 12 43
: 150
: 200
: 50
, ,..., 0
B x x x x
B x x x x
B x x x x
x x x
x12=100
x21=100
x32=100
x41=50 x31=50
rang matrice (m+n-1)=(4+3-1)=6 >
broj baznih promenljivih =5
Degenerisano rešenje
Metoda potencijala primer
Primer
Matematički model - primal Matematički model - dual
61
11 12 13 21 22 23
31 32 33 41 42 43
(min) ( ) 14 12 15 8 11 12
9 5 8 9 11 12
p.o.
f x x x x x x x
x x x x x x
1 11 12 13 1
2 21 22 23 2
3 31 32 33 3
4 41 42 43 4
: 100
: 100
: 100
: 100
A x x x u
A x x x u
A x x x u
A x x x u
1 11 21 31 41 1
2 12 22 32 42 2
3 13 23 33 43 3
11 12 43
: 150
: 200
: 50
, ,..., 0
B x x x x v
B x x x x v
B x x x x v
x x x
1 2 3 4 1 2 3(max) ( , )
p.o.
u v u u u u v v v
11 1 1
12 1 2
13 1 3
21 2 1
22 2 2
23 2 3
: 14
: 12
: 15
: 8
: 11
: 12
x u v
x u v
x u v
x u v
x u v
x u v
31 3 1
32 3 2
33 3 3
41 4 1
42 4 2
43 4 3
: 9
: 5
: 8
: 9
: 11
: 12
x u v
x u v
x u v
x u v
x u v
x u v
1 2 3 4 1 2 3, , , , , , neograničeno po znakuu u u u v v v
Metoda potencijala
Provera optimalnosti rešenja
Prodavnice
Magacini
(B1)
B. Brdo
(B2)
Dorcol
(B3)
Slavijaui
(A1)
Borca
c11=14 c12=12 c13=15 u1=
(A2)
Kneţevac
c21=8 c22=11 c23=12 u2=
(A3)
Palilula
c31=9 c32=5 c33=8 u3=
(A4)
Zvezdara
c41=9 c42=11 c34=12 u4= 0
vjv1= v2= v3=
Početno rešenje Bazne promenljive
62
x12=100
x21=100
x32=100
x41=50 x43=50
12 1 2
21 2 1
32 3 2
41 4 1
43 4 3
4
: 12
: 8
: 5
: 9
: 12
0
x u v
x u v
x u v
x u v
x u v
u
* * * *( ) 0 ( )ij i j i j ijc u v u v c
Broj promenljivih (m+n)=7 >
Broj jednačina =6
Jedna dualna promenljiva je
nezavisna i postaje jednaka 0.
1. Svakom redu odgovara dualna promenljiva ui
2. Svakoj koloni odgovara dualna promenljia vj
3. Promenljiva u koloni ili redu sa najvećim brojem
baznih promenljvih postaje jednaka 0 (u4= 0)
Metoda potencijala
Provera optimalnosti rešenja
Prodavnice
Magacini
(B1)
B. Brdo
(B2)
Dorcol
(B3)
Slavijaui
(A1)
Borca
c11=14 c12=12 c13=15 u1=
(A2)
Kneţevac
c21=8 c22=11 c23=12 u2=
(A3)
Palilula
c31=9 c32=5 c33=8 u3=
(A4)
Zvezdara
c41=9 c42=11 c34=12 u4= 0
vjv1=9-0=9 v2= v3=
Početno rešenje Bazne promenljive
63
x12=100
x21=100
x32=100
x41=50 x43=50
12 1 2
21 2 1
32 3 2
41 4 1 1 4
43 4 3
4
: 12
: 8
: 5
: 9 9 9 0 9
: 12
0
x u v
x u v
x u v
x u v v u
x u v
u
* * * *( ) 0 ( )ij i j i j ijc u v u v c
1. Svakom redu odgovara dualna promenljiva ui
2. Svakoj koloni odgovara dualna promenljia vj
3. Promenljiva u koloni ili redu sa najvećim brojem baznih
promenljvih postaje jednaka 0 (u4= 0)
4. Ostale promenljive se računaju korišćenjem datih jednačina.
Metoda potencijala
Provera optimalnosti rešenja
Prodavnice
Magacini
(B1)
B. Brdo
(B2)
Dorcol
(B3)
Slavijaui
(A1)
Borca
c11=14 c12=12 c13=15 u1=
(A2)
Kneţevac
c21=8 c22=11 c23=12 u2=8-9=-1
(A3)
Palilula
c31=9 c32=5 c33=8 u3=
(A4)
Zvezdara
c41=9 c42=11 c34=12 u4= 0
vjv1=9 v2= v3=12
Početno rešenje Bazne promenljive
64
x12=100
x21=100
x32=100
x41=50 x43=50
12 1 2
21 2 1 2 1
32 3 2
41 4 1 1
43 4 3 3
4
: 12
: 8 8 8 9 1
: 5
: 9 9
: 12 12
0
x u v
x u v u v
x u v
x u v v
x u v v
u
* * * *( ) 0 ( )ij i j i j ijc u v u v c
1. Svakom redu odgovara dualna promenljiva ui
2. Svakoj koloni odgovara dualna promenljia vj
3. Promenljiva u koloni ili redu sa najvećim brojem baznih
promenljvih postaje jednaka 0 (u4= 0)
4. Ostale promenljive se računaju korišćenjem datih jednačina.
Metoda potencijala
Provera optimalnosti rešenja
Prodavnice
Magacini
(B1)
B. Brdo
(B2)
Dorcol
(B3)
Slavijaui
(A1)
Borca
c11=14 c12=12 c13=15 u1=
(A2)
Kneţevac
c21=8 c22=11 c23=12 u2=-1
(A3)
Palilula
c31=9 c32=5 c33=8 u3=9-9=0
(A4)
Zvezdara
c41=9 c42=11 c34=12 u4= 0
vjv1=9 v2= v3=12
Početno rešenje Bazne promenljive
65
x12=100
x21=100
x32=100
x41=50 x43=50
12 1 2
21 2 1 2
32 3 2
31 3 1 3 3
41 4 1 1
43 4 3 3
4
: 12
: 8 1
: 5
: 9 9 9 9 0
: 9 9
: 12 12
0
x u v
x u v u
x u v
x u v u u
x u v v
x u v v
u
* * * *( ) 0 ( )ij i j i j ijc u v u v c
1. Nedostaju vrednosti za u1, u2 i v2 kao posledica degenerisnaog
rešenja.
2. (m+n-1)=(4+3-1)=6 > broj baznih promenljivih =5
Dodati jednu fiktivnu baznu promenljivu u prvi, treći red ili
drugu kolonu. Dodati promenljivu u polje najmanjih troškova
gde nema transporta x31= = 0. Nastaviti proračun.
x31=
Metoda potencijala
Provera optimalnosti rešenja
Prodavnice
Magacini
(B1)
B. Brdo
(B2)
Dorcol
(B3)
Slavijaui
(A1)
Borca
c11=14 c12=12 c13=15 u1=
(A2)
Kneţevac
c21=8 c22=11 c23=12 u2=-1
(A3)
Palilula
c31=9 c32=5 c33=8 u3=0
(A4)
Zvezdara
c41=9 c42=11 c34=12 u4= 0
vjv1=9 v2=-5 v3=12
Početno rešenje Bazne promenljive
66
x12=100
x21=100
x32=100
x41=50 x43=50
12 1 2
21 2 1 2
32 3 2 2
31 3 1 3
41 4 1 1
43 4 3 3
4
: 12
: 8 1
: 5 0 5 5
: 9 0
: 9 9
: 12 12
0
x u v
x u v u
x u v v
x u v u
x u v v
x u v v
u
* * * *( ) 0 ( )ij i j i j ijc u v u v c
1. Nedostaju vrednosti za u1, u2 i v2 kao posledica degenerisnaog
rešenja.
2. (m+n-1)=(4+3-1)=6 > broj baznih promenljivih =5
Dodati jednu fiktivnu baznu promenljivu u prvi, treći red ili
drugu kolonu. Dodati promenljivu u polje najmanjih troškova
gde nema transporta x31= = 0. Nastaviti proračun.
x31=
Metoda potencijala
Provera optimalnosti rešenja
Prodavnice
Magacini
(B1)
B. Brdo
(B2)
Dorcol
(B3)
Slavijaui
(A1)
Borca
c11=14 c12=12 c13=15 u1=17
(A2)
Kneţevac
c21=8 c22=11 c23=12 u2=-1
(A3)
Palilula
c31=9 c32=5 c33=8 u3=0
(A4)
Zvezdara
c41=9 c42=11 c34=12 u4= 0
vjv1=9 v2=-5 v3=12
Početno rešenje Bazne promenljive
67
x12=100
x21=100
x32=100
x41=50 x43=50
12 1 2 1
21 2 1 2
32 3 2 2
31 3 1 3
41 4 1 1
43 4 3 3
4
: 12 12 ( 5) 17
: 8 1
: 5 0 5 5
: 9 0
: 9 9
: 12 12
0
x u v u
x u v u
x u v v
x u v u
x u v v
x u v v
u
* * * *( ) 0 ( )ij i j i j ijc u v u v c
1. Nedostaju vrednosti za u1, u2 i v2 kao posledica degenerisnaog
rešenja.
2. (m+n-1)=(4+3-1)=6 > broj baznih promenljivih =5
Dodati jednu fiktivnu baznu promenljivu u prvi, treći red ili
drugu kolonu. Dodati promenljivu u polje najmanjih troškova
gde nema transporta x31= = 0. Nastaviti proračun.
x31=
Metoda potencijala
Provera optimalnosti rešenja
Prodavnice
Magacini
(B1)
B. Brdo
(B2)
Dorcol
(B3)
Slavijaui
(A1)
Borca
c11=14
d11=-12
c12=12 c13=15
d13=-14
u1=17
(A2)
Kneţevac
c21=8 c22=11
d22=17
c23=12
d23=1
u2=-1
(A3)
Palilula
c31=9 c32=5 c33=8
d33=-4
u3=0
(A4)
Zvezdara
c41=9 c42=11
d42=16
c34=12 u4= 0
vjv1=9 v2=-5 v3=12
Početno rešenje Nebazne promenljive
68
x12=100
x21=100
x32=100
x41=50 x43=50
11 11
13 13
22 22
23 23
33 33
42 42
: 14 9 17 12
: 15 12 17 14
: 11 ( 1) ( 5) 17
: 12 ( 1) 12 1
: 8 12 0 4
: 11 ( 5) 0 16
x d
x d
x d
x d
x d
x d
* *( )ij ij i jd c u v
1. Nedostaju vrednosti za u1, u2 i v2 kao posledica degenerisnaog
rešenja.
2. (m+n-1)=(4+3-1)=6 > broj baznih promenljivih =5
Dodati jednu fiktivnu baznu promenljivu u prvi, treći red ili
drugu kolonu. Dodati promenljivu u polje najmanjih troškova
gde nema transporta x31= = 0. Nastaviti proračun.
x31=
Metoda potencijala
Provera optimalnosti rešenja
Prodavnice
Magacini
(B1)
B. Brdo
(B2)
Dorcol
(B3)
Slavijaui
(A1)
Borca
c11=14
d11=-12
c12=12 c13=15
d13=-14
u1=17
(A2)
Kneţevac
c21=8 c22=11
d22=17
c23=12
d23=1
u2=-1
(A3)
Palilula
c31=9 c32=5 c33=8
d33=-4
u3=0
(A4)
Zvezdara
c41=9 c42=11
d42=16
c34=12 u4= 0
vjv1=9 v2=-5 v3=12
Početno rešenje Kriterijum optimalnosti
69
x12=100
x21=100
x32=100
x41=50 x43=50
Kriterijum optimalnosti nije zadovoljen: d11≤0, d13≤0, d33≤0
min dij=d13=-14 x13 postaje bazna promenljiva (x13=)
x31=
Kriterijum optimalnosti dij≥0, i,j,
Metoda potencijala
Provera optimalnosti rešenja
Prodavnice
Magacini
(B1)
B. Brdo
(B2)
Dorcol
(B3)
Slavijaui
(A1)
Borca
c11=14 c12=12 c13=15 u1=
(A2)
Kneţevac
c21=8 c22=11 c23=12 u2=
(A3)
Palilula
c31=9 c32=5 c33=8 u3=
(A4)
Zvezdara
c41=9 c42=11 c34=12 u4=
vjv1= v2= v3=
Početno rešenje Kriterijum optimalnosti
70
x12=100-
x21=100
x32=100+
x41=50 +
x13= 1. Kriterijum optimalnosti nije zadovoljen: d11≤0, d13≤0, d33≤0
min dij=d13=-14 x13 postaje bazna promenljiva (x13=)
2. Kreira se poligon (počinje se od nove bazne promenljive i u svakom
redu i svakoj koloni kroz koju prođe poligon mora da postoji po jedno
teme kome se dodaje P+ i jedno od kog se oduzima P- vrednost da bi
se zadržao balans ponude i tražnje).
3. Bira se vrednost
x31=-
Kriterijum optimalnosti dij≥0, i,j,
x43=50- *
( , )min min(50, ,100) 0k
iji j P
x
Metoda potencijala
Provera optimalnosti rešenja
Prodavnice
Magacini
(B1)
B. Brdo
(B2)
Dorcol
(B3)
Slavijaui
(A1)
Borca
c11=14
d11=2
c12=12 c13=15 u1=0
(A2)
Kneţevac
c21=8 c22=11
d11=3
c23=12
d23=1
u2=-4
(A3)
Palilula
c31=9
d31=4
c32=5 c33=8
d33=0
u3=-7
(A4)
Zvezdara
c41=9 c42=11
d42=2
c34=12 u4=-3
vjv1=12 v2=12 v3=15
I iteracija (k=1) Kriterijum optimalnosti
71
x12=100
x21=100
x32=100
x41=50
x13= Kriterijum optimalnosti je zadovoljen X1=X*
Kriterijum optimalnosti dij≥0, i,j,
x43=50
Optimalno rešenje-bazne promenljive: XB*=x12
*, x21*, x32
*, x41*, x43
*
=(100, 100, 100, 50, 50)
Vrednost funkcije cilja: f(X*)=c12*x12* +c21*x21*+c32* x32*+c41* x41
0+c43* x43*=
f(X*)=12*100+8*100+5*100+9*50+12*50=3550
•d33=0rešenje je višestruko!
•Drugo bazno optimalno rešenje XB* * se moţe pronaći
ako x33 uđe u bazu (radi se još jedna iteracija)
•Sva bazna optimalna rešenja predstavljaju linearnu
konveksnu kombinaciju X* = X * + (1-)X* *, 0≤≤1
Otvoreni model TP (OTP)
p.o.
72
1 1
(min) ( )m n
ij ij
i j
f x c x
11 12 1 1... nx x x a
1 1
m n
i j
i j
a b
21 22 2 2... nx x x a
1 2 ...m m mn mx x x a
11 21 1 1... mx x x b
12 22 2 2... mx x x b
1 2 ...n n mn nx x x b
Ograničenja za
ishodišta
Ograničenja za
odredišta
1 2, ,..., 0n n mnx x x
1 1
m n
i j
i j
a b
Balansiranje (zatvaranje) OTP
p.o.
73
1 1
(min) ( )m n
ij ij
i j
f x c x
11 12 1 1... nx x x a
21 22 2 2... nx x x a
1 2 ...m m mn mx x x a
11 21 1 1 2 1... m mx x x x b
12 22 2 1 2 2... m mx x x x b
1 2 1...n n mn m n nx x x x b
Ograničenja za
ishodišta
Ograničenja za
odredišta
1 2 1, ,..., ,..., 0n n mn m nx x x x
1
1 1
n m
j i m
j i
b a a
Otvoreni model TP (OTP)
p.o.
74
1 1
(min) ( )m n
ij ij
i j
f x c x
11 12 1 1... nx x x a
1 1
m n
i j
i j
a b
21 22 2 2... nx x x a
1 2 ...m m mn mx x x a
11 21 1 1... mx x x b
12 22 2 2... mx x x b
1 2 ...n n mn nx x x b
Ograničenja za
ishodišta
Ograničenja za
odredišta
1 2, ,..., 0n n mnx x x
1 1
m n
i j
i j
a b
Balansiranje (zatvaranje) OTP
p.o.
75
1 1
(min) ( )m n
ij ij
i j
f x c x
11 12 1 1 1 1... n nx x x x a
21 22 2 2 1 2... n nx x x x a
1 2 1...m m mn mn mx x x x a
Ograničenja za
ishodišta
Ograničenja za
odredišta
1 2 1, ,..., ,..., 0n n mn mnx x x x
1
1 1
m n
i j n
i j
a b b
1 1 2 1 1 1...n n mn nx x x b
11 21 1 1... mx x x b
12 22 2 2... mx x x b
1 2 ...n n mn nx x x b
Rešavanje problema OTP
Zatvaranje (balansiranje) TP dodavanjem reda ili
kolone
Određivanje početnog rešenja
Određivanje optimalnog rešenja
76
Zatvaranje OTP
Primer
Prodavnice
MagaciniB. Brdo Dorcol Slavija raspoloživo
Borca 14 12 15 100
Kneţevac 8 11 12 200
Palilula 9 5 8 100
Zvezdara 9 11 12 50
potrebno 150 200 50
77
4
1
100 200 100 50 450i
i
a
3
1
150 200 50 400 OTPj
j
b
4 3
1 3
450 400 50i j
i j
a b
Zatvaranje OTP
Primer
Prodavnice
MagaciniB. Brdo Dorcol Slavija FK Raspoloživo
Borca 14 12 15 0 100
Kneţevac 8 11 12 0 200
Palilula 9 5 8 0 100
Zvezdara 9 11 12 0 50
potrebno 150 200 50 50
78
•Uvedena je fiktivna kolona i povećane su dimenzije problema (m=4, n=4).
•ci4=0, i=1,...,4
Zatvaranje OTP
Primer (ponuda veća od traţnje)
Prodavnice
MagaciniB. Brdo Dorcol Slavija raspoloživo
Borca 14 12 15 100
Kneţevac 8 11 12 200
Palilula 9 5 8 100
Zvezdara 9 11 12 50
potrebno 150 200 50
79
4
1
100 200 100 50 450i
i
a
3
1
150 200 50 400 OTPj
j
b
4 3
1 3
450 400 50i j
i j
a b
Zatvaranje OTP
Primer
Prodavnice
MagaciniB. Brdo Dorcol Slavija FK Raspoloživo
Borca 14 12 15 0 100
Kneţevac 8 11 12 0 200
Palilula 9 5 8 0 100
Zvezdara 9 11 12 0 50
potrebno 150 200 50 50
80
•Uvedena je fiktivna kolona i povećane su dimenzije problema (m=4, n=4).
•ci4=0, i=1,...,4
Zatvaranje OTP
Primer (traţnja veća od ponude)
Prodavnice
MagaciniB. Brdo Dorcol Slavija raspoloživo
Borca 14 12 15 100
Kneţevac 8 11 12 200
Palilula 9 5 8 100
Zvezdara 9 11 12 50
potrebno 150 200 150
81
4
1
100 200 100 50 450i
i
a
3
1
150 200 150 500 OTPj
j
b
3 4
3 1
500 450 50j i
j i
b a
Zatvaranje OTP
Primer
Prodavnice
MagaciniB. Brdo Dorcol Slavija Raspoloživo
Borca 14 12 15 100
Kneţevac 8 11 12 200
Palilula 9 5 8 100
Zvezdara 9 11 12 50
FR 0 0 0 50
potrebno 150 200 50
82
•Uvedena je fiktivni red i povećane su dimenzije problema (m=5, n=3).
•ci4=0, i=1,...,4
Pitanja
Transporni problem: cilj i zadatak?
Zatvoreni trasnportni problem: pretpostavke?
Matematički model ZTP?
Matematički model OTP (ponuda veća od traţnje)?
Balansiranje OTP (ponuda veća od traţnje)?
Matematički model OTP (traţnja veća od ponude)?
Balansiranje OTP (traţnja veća od ponude)?
Metode za dobijanje početnog rešenja?
83
Pitanja
Metoda severozapadno ugla (osnovni koraci)
Metoda najmanjih troškova (osnovni koraci)
Vogelova aproksimativna metoda (osnovni koraci)
Metode za dobijanje optimalnog rešenja?
Metoda potencijala?
Dualni problem TP?
Svojstvo komplamentarnosti?
Jedinični priraštaj troškova (potencijal)?
84
Pitanja
Uslov optimalnosti baznog rešenja?
Kriterijum ulaska promenljive u bazu?
Dobijanje novog baznog rešenja u k+1
iteraciji?
Vrednost f-je cilja u k+1 iteraciji?
85
86
Hvala na pažnji