Advanced Numerical Methods 79
روش هاي عددي حل معادالت دیفرانسیل پاره ايPartial differential equations (PDE)
Advanced Numerical Methods 80
مقدمهدهنده یک تابع با تعدادي متغیر استمعادالت دیفرانسیل جزئی، نشان.
معادله الپالس دو بعدي
معادله موج یک بعدي
يیک بعد) دیفیوژن(معادله نفوذ
اشد،ببیشترهامتغیرتعدادحالتی کهدر.دهدمینشانرامتغیردوبامعادالتفوق،معادالت.کرداستفادهدیفرانسیلمعادالتبیاندرجبرياپراتورهايازتوانمی
اپایغیربعديسهدیفیوژنمعادله
Advanced Numerical Methods 81
دسته بندي معادالت دیفرانسیل پاره اي: مقدمهگویندمعادله دیفرانسیل به باالترین مرتبه مشتق موجود در معادله میمرتبه.
اولمرتبهدیفرانسیلمعادله
چهارممرتبهدیفرانسیلمعادله
خطیرادیفرانسیلمعادله)Linear(رمقادیازتابعیمشتقات،ضرایبتمامصورتی کهدرگویند.نباشدوابسته
Linear
Non Linear
هستندهمگنمعادالتقبل،صفحهمعادالت.
.باشدمی) Poisson(این معادله همان معادله پوآسون . اي غیرهمگن استمعادله فوق، معادله
Advanced Numerical Methods 82
مشخصه معادالت دیفرانسیل پاره اي: مقدمهدادنشانزیربه صورتتوانمیرامتغیردوبادیفرانسیلمعادلهیککلی،حالتدر:
ضرایببهتوجهبادیفرانسیلمعادله)مشخصه(نوعA،BوCشودمیتعیین.
.استمخروطیمقاطعبنديطبقهبهشبهبسیاربنديطبقهاین
ACB 42 −=∆
GFfEfDfCfBfAf yxyyxyxx =+++++
022 =+++++ FEyDxCyBxyAx
Advanced Numerical Methods 83
مقدمهبیضويمعادالت
oگذاردمیتأثیردیگرنقاطبروبودهنقاطسایرازمتاثرمیدانازنقطههر.oدارداثرحلمیداندرباالدست،همودستپایینهماطرافمرزهاي.oهستندبیضويمعادالتلزج،سیالبرحاکماستوکس-ناویرمعادلهوالپالسمعادالت.oبعديسهودوبعديدائمحرارتانتقالمعادلهمانند.oندارندحقیقیمشخصهمنحنیبیضويمعادالت.
يمیدان بیضو
مرز میدان محیط اطراف
y
x
Advanced Numerical Methods 84
مقدمه
)زمانی(شرط اولیه
شرط مرزي)مکانی(
شرط مرزي)مکانی(
زمانزمان
محیط اطراف
سهمويمعادالتoهستنددائمغیربه صورتعمدتاًمسائل.oاستمتأثراطرافمرزهاياززمانیگامهردروشودمیبرداشتهگامزمانجهتدر.oاستسهموينوعازحرارتانتقالدائمغیرمعادلهمثالعنوانبه.oداردمضاعفحقیقیمشخصهمنحنییکمعادلهاین.
Advanced Numerical Methods 85
مقدمههذلولیمعادالت
oمثال متداول این نوع معادالت، حرکت امواج و سیستم هاي ارتعاشی است .oودها به توسعه ناپیوستگی منجر شتواند در یک سو بی تأثیر باشد و انتقال ویژگیمرزها می.oمعادله موج، دو منحنی مشخصه حقیقی دارد.
Advanced Numerical Methods 86
)Elliptic(معادالت بیضوي ودائمهدایتحرارتانتقالدرمعادلهاین.استالپالسمعادلهبیضوي،معادالتشکلترینرایج
.داردکاربرددائمجرمینفوذ
زیرشکلبه)انرژيتولیدبدونو(دائمحرارتانتقالمعادله،فوریهحرارتیهدایتقانونبهتوجهبا:است
02 =∇ f
0=
∂∂
∂∂
+
∂∂
∂∂
+
∂∂
∂∂
zTk
zyTk
yxTk
x
:داریم،kحرارتی،هدایتضریببودنثابتفرضبا
02 =∇=++ TTTT zzyyxx
:می شودنوشتهزیربه صورتبعديدوفضايدرمعادلهاینهمچنین
0=+ yyxx TT ( )( ) 0 411404 22 ⟨−=−=− ACB
Advanced Numerical Methods 87
)Elliptic(معادالت بیضوي تولیدابدائمهدایتحرارتانتقال.استپوآسونمعادلهبیضوي،پرکاربردمعادالتازدیگریکی
.استمعادلهنوعاینازاينمونهداخلی،حرارت
حرارتیهدایتضریببودنثابتفرضبا:
kQTTTT zzyyxx
−=∇=++ 2
0=+
∂∂
∂∂
+
∂∂
∂∂
+
∂∂
∂∂ Q
zTk
zyTk
yxTk
x
Advanced Numerical Methods 88
)Parabolic(معادالت سهموي ائمدغیردیفیوژنمعادله.استسهمويمعادالتازنوعیکدائم،غیرهدایتحرارتانتقالمعادله:شودمینوشتهزیربه صورتکلیحالتدر
شودمینوشتهزیربه صورتدائمغیرحالتدرحرارتیهدایتحرارتانتقالمعادله:
:نوشتزیرصورتبهتوانمیرامعادلهاینحرارتی،خواصبودنثابتفرضبا
:داریممعادلهاینبراي
fft2∇= α
( )
∂∂
∂∂
+
∂∂
∂∂
+
∂∂
∂∂
=∂
∂zTk
zyTk
yxTk
xtCTρ
( ) TTTTT zzyyxxt2 ∇=++= αα
( )( ) 00404 22 =−=− αACB
Advanced Numerical Methods 89
)Hyperbolic(معادالت هذلولوي داردکاربرد...وارتعاشاتگازها،دینامیکدرکهاستمسائلاینترینرایجموج،معادله.
:شودمینوشتهزیربه صورتاول،مرتبهخطیموجمعادله
.آوریدبه دسترا2مرتبهموجمعادلهاول،مرتبهخطیموجمعادلهازاستفادهبا:تمرین
fcftt22 ∇=
0=∂∂
+∂∂
xuc
tu
Advanced Numerical Methods 90
)Elliptic(هاي حل معادالت بیضوي روش
Advanced Numerical Methods 91
مقدمه
Domain f(x,y)
BoundaryConditions
x
y
:هدف.استمشخصمرزيشرایطبا)پوآسونیا(الپالسمعادلهحل
( )yxFff
ff
yyxx
yyxx
,
0
=+
=+
Advanced Numerical Methods 92
)Finite Difference(روش اختالف محدود کنیمبنديشبکهرامحاسباتیمیدانکهاستالزمابتداروش،ایندر.
x
y
i i+1 imaxi-1
j-1j
j+1
jmax
11
2
2
ارايدمحاسباتیمیدانکنیممیفرضاینجادراندازه.استyوxراستايدراندازههمشبکه.می باشدΔyوΔxراستا،هردرشبکه
:بگیریدنظردرقرارداديصورتبهرازیرموارد
( )jixji
ji fxf
xyxf
,,,
=∂∂
=∂
∂
( ) jiji fyxf ,, =
( )jixxji
ji fx
fx
yxf,,2
2
2
2 ,=
∂
∂=
∂
∂
Advanced Numerical Methods 93
)Finite Difference(روش اختالف محدود
نقطهدرتابعدوممشتقبرايمرکزيدوممرتبهتقریبکلی،حالتدرi,jاستزیربه صورت:
:نوشتتوانمیهمyجهتدردوممشتقبراي
2,1,,1
,2
x
ffff jijiji
jixx∆
+−= −+
21,,1,
,2
y
ffff jijiji
jiyy∆
+−= −+
Advanced Numerical Methods 94
)Finite Difference(روش اختالف محدود :بگیریدنظردررابعديدوالپالسمعادله
:یمکنمیجایگزینمعادلهدرراهاجملهازیکهربرايمحدوداختالفتقریبازشدهمحاسبهمقادیر
:داریمکنیم،مرتبi,jنقطهدرتابعمقدارحسببررامعادالتصورتی کهدر
0=+ yyxx ff
022
21,,1,
2,1,,1 =
∆
+−+
∆
+− −+−+
y
fff
x
fff jijijijijiji
( ) 012 ,2
1,2
,11,2
,1 =+−+++ −−++ jijijijiji fffff βββ
( )21,
2,11,
2,1
,12 β
ββ
+
+++= −−++ jijijiji
jiffff
f
yx
∆∆
=β
Advanced Numerical Methods 95
)Finite Difference(روش اختالف محدود استبرابرهمباجهتدودرمحاسباتیشبکهاندازهکهخاصیحالتدر)Δx=Δy(:
هتجدودرمحاسباتیشبکهحالتی کهدردهدمینشانوداردسادهتفسیریکفوقرابطهنقاطدرآنریاضیمتوسطباi,jنقطهدرتابعمقداریعنی.داردايسادهجوابمساله،است،برابر
.استبرابراطراف،میدانمجهولنقاطدرراتابعمقدارتوانمیمحدوداختالفروشرابطهحلبانهایتدر
ادالتمعدستگاهحلبراي.استمعادالتدستگاهحلمستلزمکاراین.آوردبه دستمحاسباتی.کرداستفادهشد،تشریحپیشفصولدرکهحلهايروشازتوانمی
چیست؟روشخطايدرمحاسباتیشبکهنقش
( )1,,11,,1,
,1,,11,,1
41
04
−−++
−−++
+++=
=−+++
jijijijiji
jijijijiji
fffff
fffff
Advanced Numerical Methods 96
)Finite Difference(روش اختالف محدود .بگیریدنظردرراجامدجسمدرهدایتیحرارتانتقالمساله:مثال.استشدهذکرمرزيشرایطبهتوجهباصفحهدردمامحاسبههدف
مراحل حل چیست؟
0=+ yyxx TT
Advanced Numerical Methods 97
)Finite Difference(روش اختالف محدود
Advanced Numerical Methods 98
)Finite Difference(روش اختالف محدود
آیا شرط همگرایی براي این ماتریس برقرار است؟
Advanced Numerical Methods 99
اعمال شرط مرزي
Dirichlet Boundary Condition:
Neumann Boundary Condition:
Mixed Boundary Condition:
تفسیر فیزیکی هر یک از این شرایط مرزي در معادله هدایت حرارتی چیست؟در مرز مجهول است؟) مثال دما در معادله انرژي(در کدام حالت مقدار تابع
جهتدرمشتقصورتایندر.باشدعایقراست،سمتصفحهقبل،مثالدرکنیدفرضxدر:استزیربه صورتFDEکلیمعادله.استصفرراست،سمتصفحهروينقاط
نیم؟توانیم براي نقاط مرزي هم اعمال کآیا این معادله که براي تمام نقاط داخل مرز است را می
( ) 012 ,2
1,2
,11,2
,1 =+−+++ −−++ jijijijiji fffff βββ
Advanced Numerical Methods 100
اعمال شرط مرزي
بهتوانمیرامرزيگرهدرxراستايدرجزئیمشتق:آوردبه دستFDEروشاززیرصورت
:آیدمیبه دستفوقمعادالتترکیببامرزدرشدهاصالحمعادله
( )2,1,1, 2
xOxff
f jijijix ∆+
∆
−= −+
( ) 012 ,2
1,2
,11,2
,1 =+−+++ −−++ jijijijiji fffff βββ
xfff jixjiji ∆+= −+ ,,1,1 2
( ) xfffff jixjijijiji ∆−=+−++ −−+ ,,2
1,2
,11,2 2122 βββ
Advanced Numerical Methods 101
معادالت سهمويParabolic Equations
Advanced Numerical Methods 102
مقدمه
هدایتحرارتانتقالمسالهنوعیکروبروشکل.دهدمینشانرادائمغیر
شرط اولیه
شروط مرزي
xxt TT α=
Advanced Numerical Methods 103
مقدمهoمجزاسازيروشبامسالهتحلیلیحل
.آیدمیبه دستمتغیرهاoردرادماتوزیعتوانمیآنازاستفادهبا.آوردبه دستلحظههر
Advanced Numerical Methods 104
مقدمه
شکل کلی معادله سهموي
Advanced Numerical Methods 105
مقدمهآن هارایجنوعدو.داردوجودسهمويمعادالتبامهندسیدرزیاديمسائلDiffusion
EquationsوAdvection-Diffusion Equationsهستند.
استاولیهشرطیکبهنیازمسائلایندر.
بهمسائلاینinitial-boundary value problemهستندمعروف.
xxxt
xxtfuff
ffα
α=+
=
Advanced Numerical Methods 106
اصول مقدماتیازهمسالشودمیمشاهدهشکلدرکههمان طورسهمويجزئیمشتقاتدیفرانسیلمعادالتحلدر.ودشمیانجامزمانیجهتدربرداشتنگامبامعادالتحلواقعدر.استباز)زماناینجادر(سمتیکنقطهحلPگامدرn+1گامدراطرافنقاطسایربهوابستهتواندمیn+1یاnاینبر.باشد
:داردوجودرویکرددواساس1-Implicit)ضمنی(2-Explicit)صریح(
Advanced Numerical Methods 107
اصول مقدماتی
Explicit
Implicit
وشرازسریع ترکلیبه طورصریحروشاهدستگحلبهنیاززیرا.استضمنی
مشکلهاروشایناما.نداردمعادالت.دارنددنبالبهراعدديخطايانتشار
Advanced Numerical Methods 108
روش اختالف محدود
به صورترازیرموارد.دهدمینشانسهمويمسالهیکبرايرامحاسباتیناحیهزیرشکل:کنیدفرضقراردادي
Advanced Numerical Methods 109
روش اختالف محدود
ی شودماستفادهجلوبهروزمانیاولمرتبهتقریباززمانیمشتقگسسته سازيبراي:
.زدتقریبزیربه صورتراiنقطهدرمکانیدوممرتبهمشتقمحدود،اختالفتقریبباتوانمی.شودمحاسبهnزمانیگامازتقریب هاکهاستاینبرفرض
:کنیممیجایگزیناصلیمعادلهدرراآمدهبه دستتقریبمقادیر
tfff
ni
nin
it ∆−
=+1
211 2
xffff
ni
ni
nin
ixx∆
+−= −+
Advanced Numerical Methods 110
روش اختالف محدود
Diffusion(نفوذعدد Number(
.شودمیشناختهزیرعنوانباتقریباینForward Time Central Space (FTCS)
دهد؟بندي را نشان میاین رابطه چه نوع فرمول
Explicit
Advanced Numerical Methods 111
روش اختالف محدودفرضبارامسالهاین.بگیریدنظردرراقبلمسالهdکنیممیحل)مختلفزمانیگام(متفاوت..آیدمیبه دستزیرجواب هايحالت،دوایندر
:پایداريشرط
Advanced Numerical Methods 112
روش اختالف محدودNumerical(عددياطالعاتتوزیع Information Propagation(روشدرFTCSزیربه صورت:است
.استنفوذعددبهوابستهعدديروشاطالعاتتوزیعکهدهدمینشانفوقرابطه
.استO(Δx2)وO(Δt)ازروشایندرخطامقدارConditionally(استپایدارشرایطیتحتروشاین Stable(.
کند؟ر میبا کوچک شدن اندازه شبکه براي برقراري شرط پایداري، گام زمانی چگونه تغییاین روش پایدار است؟d<=0.5با توجه به فرموالسیون روش، به نظر شما چرا براي