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Filtragem Digital
● Um dos grandes objetivos da aula:● Aprendermos a encontrar a resposta ao impulso a
partir da equação de diferenças
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Iremos assumir sempre nesse curso condições iniciais nulas (sistema em repouso)!
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2.4.3 Representações em diagrama de blocos de sistemas de primeira ordem descritos por equações diferenciais e de diferenças● Exemplo
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Exemplo: obtenha a eq de diferenças
● Obs o delay D é representado por z-1, devido isso ser um "atraso" na transformada Z
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Como se implementa um filtro digital em software dada eq diferenças
● Exemplo:
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Equação não-recursiva ==>Filtro não-recursivo
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Resposta ao impulso para sistemas não-recursivos é simples!
● Filtro não-recursivo tem resposta ao impulso finita e é chamado FIR ("finite impulse response")
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Para filtros FIR, os coeficientes da equação de diferença são os mesmos valores da
resposta ao impulso!● Exemplo:● y[n] = 3 x[n] + 2 x[n-1] – 4x[n-2] (eq. Diferença)● Queremos mostrar que gera:
● h[n] = 3 d[n] + 2 d[n-1] -4 d[n-2] (resp. Impulso)● Além de como o livro sugere, pode-se provar
pela Análise de Fourier:
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Estratégia para se obter a resposta ao impulso
● Lembrar que a convolução y[n] = x[n] * h[n] vira multiplicação no domínio da transformada (frequência): Y(ejW) = X(ejW) H(ejW)
● Definição de resposta em frequência:● H(ejW) = Y(ejW) / X(ejW)
● Resposta ao impulso é a transformada inversa da resposta em frequência● h[n] = Fourier_inversa { H(ejW) }
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Continuando exemplo de resposta ao impulso de FIR
y[n] = 3 x[n] + 2 x[n-1] – 4x[n-2] (eq. Diferença)– Usando Fourier dos dois lados:
● Y(ejW) = 3 X(ejW) + 2 X(ejW)e-jW - 4 X(ejW)e-2jW – Colocando em evidência
● Y(ejW) = X(ejW) (3 + 2 e-jW - 4 e-2jW)
● H(ejW)=Y(ejW)/X(ejW) = (3 + 2 e-jW - 4 e-2jW)– Achando a resposta ao impulso por transformada inversa
● h[n] = 3 d[n] + 2 d[n-1] -4 d[n-2] ● É fácil obter h[n] a partir da equação de diferenças de
FIR por inspeção. Daí nem é preciso o acima. Mas qdo há recursão, a estratégia é muito útil!
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Resposta ao impulso quando há recursão
● Exemplo do livro
Assumiremos condição inicial nula, o que é diferente desse exemplo no livro!
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Continuando exemplo de resposta ao impulso quando o filtro tem recursão
y[n] = x[n] + 1/2 y[n-1] (eq. Diferença)– Usando Fourier dos dois lados:
● Y(ejW) = X(ejW) + 1/2 Y(ejW)e-jW
– Passando pro outro lado e colocando em evidência
● Y(ejW) (1 – 1/2e-jW)= X(ejW)
● H(ejW)=Y(ejW)/X(ejW) = 1/(1 – 1/2e-jW)– Achando a transformada inversa, já que a=1/2 < 1
●
● Resultado no livro:
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Nomenclatura: filtros FIR e IIR
● Todo filtro com equação de diferenças não-recursiva é FIR
● Filtros recursivos tipicamente possuem resposta ao impulso de duração infinita (IIR, de infinite impulse response)
● Assim, na prática, FIR é sinônimo de não-recursivo e IIR de recursivo.
● Contudo, isso não está estritamente certo. É possível se criar filtros recursivos que possuam resposta ao impulso finita (exemplo: cancelando pólos e zeros, o que será visto adiante)
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Próximos capítulos: transformadas Z e de Laplace
● Todas ajudam a lidar com respostas ao impulso!
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Filtros analógicos: treine com Filter Pro da Texas Instruments (it is free)! http://www.ti.com/tool/filterpro
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Filtros Digitais
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Respostas em freq dos filtros analógico e digital
● Comparando:
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Usando livro-texto do Oppenheim: Mapa de estudo para filtragem
Softwares: fdatool do Matlab e Filter Pro - http://www.ti.com/tool/filterpro
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É útil ao aluno estudar as Seções 6.5 e 6.6, mas para quizzes e provas, cai apenas as
seções 6.1 a 6.4 do Capítulo 6