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INDICEI.INTRODUCCIN2II.OBJETIVO2III.PRUEBA DE BONDAD DE AJUSTE SMIRNOV KOLMOGOROV2IV.DISTRIBUCION NORMAL4IV.1 FUNCION DENSIDAD DE PROBABILIDAD4IV.2 FUNCION DENSIDAD DE LA DISTRIBUCION NORMAL ESTANDAR4V.DISTRIBUCION LOG NORMAL DE 2 PARAMETROS4V.1 FUNCIN DENSIDAD:4VI.DATOS ESTACION SALLIQUE6VI.1 PRUEBA DE SMIRNOV - KOLMOGOROV - AJUSTE A LA DISTRIBUCION NORMAL ESTACION SALLIQUE9VI.2 PRUEBA DE SMIRNOV - KOLMOGOROV - AJUSTE A LA DISTRIBUCION LOG-NORMAL 2 PARAMETROS ESTACION SALLIQUE15VII.DATOS ESTACION CACAO21VII.1 PRUEBA DE SMIRNOV - KOLMOGOROV - AJUSTE A LA DISTRIBUCION NORMAL ESTACION CACAO ANLISIS DE Qmx22VII.2 PRUEBA DE SMIRNOV - KOLMOGOROV - AJUSTE A LA DISTRIBUCION LOG-NORMAL ESTACION CACAO ANLISIS DE Qmx28VII.1 PRUEBA DE SMIRNOV - KOLMOGOROV - AJUSTE A LA DISTRIBUCION NORMAL ESTACION CACAO ANLISIS DE Qmin34
I. INTRODUCCINEl estudio de frecuencia de caudales mximos es uno de los tpicos ms estudiados de la Hidrologa, dada la necesidad de estimar la probabilidad de ocurrencia de crecidas para el diseo de obras hidrulicas, proteccin de ciudades, etc.
El enfoque clsico del anlisis de frecuencia se basa en el empleo de una serie de datos observados de manera sistemtica en una seccin o punto de inters de un rio o una cuenca. Para el adecuado empleo de dicha serie, es necesario verificar en primera instancia el cumplimiento de tres requisitos: que la informacin confiable, completa y por ltimo que pase el mtodo estadstico S-K.
Dado que si bien es cierto los datos a estimar con relacin al tiempo son ocurrencias, predicciones, datos que no siempre sern ciertos; pero que nos precisan un porcentaje considerable de credibilidad, en el cual nos basamos para poder tener prevencin a futuro e informar o alertar a la poblacin de los mismos.II. OBJETIVO Determinar si los datos meteorolgicos se ajustan a una determinada distribucin, si se ajustan el ajuste es bueno y si no el ajuste no es aceptable III. PRUEBA DE BONDAD DE AJUSTE SMIRNOV KOLMOGOROV
Consiste en comparar las diferencias existentes entre la "probabilidad emprica de los datos de la muestra" y la "probabilidad terica", tomando los mximos del valor absoluto, de la diferencia del valor observado del valor de la recta terica del modelo, es decir: = mx. |F(x) P(x)|. (1)Siendo: : Estadstico Smirnov KolmogorovF(x) :Probabilidad de la distribucin de ajuste o tericaP(x):Probabilidad experimental o emprica de los datos (o frecuencia acumulada)
Tabla N02 Valores Crticos de o del estadstico Smirnov
Kolmogorov, para varios valores de N y niveles de significancia .Tamao de la muestra NNivel de significancia
0.200.100.050.01
50.450.510.560.67
100.320.370.410.49
150.270.300.340.40
200.230.260.290.36
250.210.240.270.32
300.190.220.240.29
350.180.200.240.29
400.170.190.210.25
450.160.180.200.24
500.150.170.190.23
N>501.07/ N1. 22/ N1.36 / N1. 63/ N
El estadstico , tiene su funcin de distribucin de probabilidades.
Si o es un valor crtico para un nivel de significancia , se tiene:
P ( o) =. (2) yP ( < o) =1- .(3)
Procedimiento para efectuar el ajuste, mediante el estadstico Smirnov Kolmogorov1) Clculo probabilidad emprica o experimental, P(x), de los datos, (uso de la expresin Weibull)P(x) = M / (N+1)M = N de orden; N: Total de datos.2) Clculo Probabilidad terica, F(x)3) Calcular: F(x) P(x)4) Seleccionar la mxima diferencia = mx. |F(x) P(x)|5) Hallar valor crtico del estadstico o para = 0.05. Ver tabla N 02.6) Comparar con o; si < o Ajuste Bueno o Ajuste No bueno.
IV. DISTRIBUCION NORMAL IV.1 FUNCION DENSIDAD DE PROBABILIDAD
Siendo: = Funcin densidad normal de la variable (x). = variable independiente. = media aritmtica de x. = Desviacin estndar de x. = funcin exponencial.
IV.2 FUNCION DENSIDAD DE LA DISTRIBUCION NORMAL ESTANDAR
Si
Los valores de: pueden ser fcilmente evaluados para en valor dado de x z.
V. DISTRIBUCION LOG NORMAL DE 2 PARAMETROS
V.1 FUNCIN DENSIDAD:
SI Y= variable aleatoria La funcin de distribucin de y es:
Donde Media = variancia Si , lo remplazamos como Si Por lo tanto, la funcin de distribucin de probabilidad de x es:
Donde:
Expresiones tiles para estimar parmetros:
Datos originales:
Variancia: Media: Hallo: Hallo: terico Tener: , nivel de significancia.VI. VII. DATOS ESTACION SALLIQUE
PRECIPITACION MAXIMA 24 H ESTACION SALLIQUE
ESTACION: SALLIQUELAT: 053932DPTO: CAJAMARCALONG: 791845PROV: JAENCATEGORIA: COALT: 1789 msnmDIST: SALLIQUE
PRECIPITACION MAXIMA 24 HORAS (mm)Pmax 24h (mm)
AoENEROFEBREROMARZOABRILMAYOJUNIOJULIOAGOSTOSETIEMBREOCTUBRENOVIEMBREDICIEMBRE
200219.62629.441.415.84.23.804.62219.71041.4
200310.817.82312.611.210.65.409.43.89.610.523
200474.517.417.812.25.63.203.823.317.218.223.3
2005515.63620.23.42.20014118.127.636
200614.542.936.251.2617.86.41.45.513.82033.651.2
200728.223.853198.815.81.25.82.524.818.41353
200814.436.230.422.45.29.410.42.82.330.823.4036.2
200924.41648.71611.230.64.610.517.414.818.648.7
201015.6273615.46.956.29.57.419.4920.436
201111.716.812.536.84.516.26.41.811.48.823.810.436.8
201225.725.71413.972.80.330.431.623.51231.6
20139.96.613.22.813.82.520.82.22200.26.820.8
Pmax28.242.95351.215.817.820.89.51431.623.833.6
Anlisis de los datos adquiridos de la estacin SALLIQUE
MESPrecipitacin Mxima 24Hrs (mm)
ENERO28.2
FEBRERO42.9
MARZO53
ABRIL51.2
MAYO15.8
JUNIO17.8
JULIO20.8
AGOSTO9.5
SETIEMBRE14
OCTUBRE31.6
NOVIEMBRE23.8
DICIEMBRE33.6
En la siguiente grfica se concluye que en los meses de febrero a abril hubo una elevada precipitacin, respecto a los otros meses; y a partir de mayo hasta diciembre, la precipitacin es moderada constantemente.
mAOPrecipitacin Mxima 24Hrs (mm)
1200241.4
2200323
3200423.3
4200536
5200651.2
6200753
7200836.2
8200948.7
9201036
10201136.8
11201231.6
12201320.8
En la siguiente grfica se concluye que los 12 aos presentados tienen una moderada precipitacin la cual flucta entre (20-50mm).
VI.1 PRUEBA DE SMIRNOV - KOLMOGOROV - AJUSTE A LA DISTRIBUCION NORMAL ESTACION SALLIQUE
Resumen de los parmetros de las precipitaciones ESTACIN SALLIQUEMAOPmax 24hORDENANDO LAS Pmax24h
1200241.420.8
220032323
3200423.323.3
420053631.6
5200651.236
620075336
7200836.236.2
8200948.736.8
920103641.4
10201136.848.7
11201231.651.2
12201320.853
Datos estadsticos:mX (mm)
120.8-15.700000246.49
223-13.500000182.25
323.3-13.200000174.24
431.6-4.90000024.01
536-0.5000000.25
636-0.5000000.25
736.2-0.3000000.09
836.80.3000000.09
941.44.90000024.01
1048.712.200000148.84
1151.214.700000216.09
125316.500000272.25
CALCULOS DE Z y F(Z):A continuacin se presenta las interpolaciones para el clculo de los F(Z):MF(z)F(z)
F(z)1-F(z)
1-1.45041781-P(1.4504178)0.073471
2-1.24717451-P(1.2471745)0.106169
3-1.21945961-P(1.2194596)0.111336
4-0.45267821-P(0.4526782)0.325392
5-0.04619161-P(0.0461916)0.481574
6-0.04619161-P(0.0461916)0.481574
7-0.02771501-P(0.0277150)0.488877
80.0277150P(0.0277150)0.511055
90.4526782P(0.4526782)0.674608
101.1270763P(1.1270763)0.870142
111.3580345P(1.3580345)0.912772
121.5243244P(1.5243244)0.936284
Finalmente se presenta:
Obtencin del Estadstico S-K y Verificacin de la ConfiabilidadPara la distribucin normal con N = 12 datos de Precipitacin mxima 24h de la estacin Tinajones, procedemos a Calcular el estadstico S-k, con un nivel de significancia de 0.05.
N
100.41
12S-K
150.34
Observamos que el mximo valor obtenido es 0.119434, y por ser , se concluye que la informacin es CONFIABLE.
Funcin Densidad de Probabilidad
X(mm)F(x)
20.80.01287325
230.01693336
23.30.01752217
31.60.03326643
360.03681631
360.03681631
36.20.03684145
36.80.03684145
41.40.03326643
48.70.01952815
51.20.01465643
530.01153315
Funcin Densidad de la Distribucin Normal Estndar
ZF(z)
-1.45041780.07347143
-1.247174550.10616907
-1.219459560.1113355
-0.452678170.32539185
-0.046191650.48157395
-0.046191650.48157395
-0.027714990.48887715
0.027714990.51105517
0.452678170.67460815
1.127076260.87014241
1.35803450.91277193
1.524324440.93628382
PERIODOS DE RETORNO
Para 25 aos:
Para 50 aos:
Para 100 aos:
Para 200 aos:
PROBABILIDAD DE OCURRENCIAPara Pmax
Para Pmax = 10 mm
Para Pmax = 20 mm
Para Pmax = 30 mm
Para Pmax = 40 mm
Interpolacin para probabilidad de ocurrencia
Cuadro de resumen de Probabilidad de Ocurrencia
VI.2 PRUEBA DE SMIRNOV - KOLMOGOROV - AJUSTE A LA DISTRIBUCION LOG-NORMAL 2 PARAMETROS ESTACION SALLIQUEResumen de los parmetros de las precipitaciones ESTACIN SALLIQUEMAOPmax 24hORDENANDO LAS Pmax24h
1200241.420.8
220032323
3200423.323.3
420053631.6
5200651.236
620075336
7200836.236.2
8200948.736.8
920103641.4
10201136.848.7
11201231.651.2
12201320.853
Datos estadsticos:
mX (mm)Y=Ln(x)
120.8-15.700000246.493.034953
223-13.500000182.253.135494
323.3-13.200000174.243.148453
431.6-4.90000024.013.453157
536-0.5000000.253.583519
636-0.5000000.253.583519
736.2-0.3000000.093.589059
836.80.3000000.093.605498
941.44.90000024.013.723281
1048.712.200000148.843.885679
1151.214.700000216.093.935740
125316.500000272.253.970292
CALCULOS DE Z y F(Z):A continuacin se presenta las interpolaciones para el clculo de los F(Z):MF(z)F(z)
F(z)1-F(z)
1-1.79177491-P(1.7917749)0.036588
2-1.44547931-P(1.4454793)0.074167
3-1.40084401-P(1.4008440)0.080634
4-0.35134871-P(0.3513487)0.362664
50.0976583P(0.0976583)0.538900
60.0976583P(0.0976583)0.538900
70.1167404P(0.1167404)0.546466
80.1733605P(0.1733605)0.568811
90.5790422P(0.5790422)0.718716
101.1383924P(1.1383924)0.872514
111.3108164P(1.3108164)0.905037
121.4298257P(1.4298257)0.923615
Finalmente se presenta:
Obtencin del Estadstico S-K y Verificacin de la ConfiabilidadPara la distribucin normal con N = 12 datos de Precipitacin mxima 24h de la estacin Tinajones, procedemos a Calcular el estadstico S-k, con un nivel de significancia de 0.05.
N
100.41
12S-K
150.34
Observamos que el mximo valor obtenido es 0.154285, y por ser , se concluye que la informacin es CONFIABLE.
PERIODOS DE RETORNO
Para 25 aos:
Para 50 aos:
Para 100 aos:
Para 200 aos:
PROBABILIDAD DE OCURRENCIAPara Pmax
Para Pmax = 10 mm
Para Pmax = 20 mm
Para Pmax = 30 mm
Para Pmax = 40 mm
Interpolacin para probabilidad de ocurrencia
Cuadro de resumen de Probabilidad de Ocurrencia
CUADRO RESUMEN DE LAS DISTRIBUCIONESDistribucinTiempos de Retorno (Aos)
2550100200
Normal55.4558.7361.6864.38
Logartmica58.1763.5368.7673.92
VIII. DATOS ESTACION CACAO
mQmax.Qmin.Qmed.Qmax. Ord.Qmin. Ord.Qmed. Ord.
1177.007.8023.58102.505.2619.23
2139.006.1020.12132.005.7619.65
3214.006.5021.04132.006.1019.66
4140.007.5019.65134.006.5020.12
5210.009.2020.45139.006.8020.45
6207.0011.7033.61140.006.8021.04
7205.0014.8039.50145.207.5021.17
8183.0011.6036.51160.007.5022.59
9132.0010.8031.49163.507.5023.12
10185.0012.3030.47164.707.8023.24
11145.205.7619.23177.008.0023.44
12102.506.8022.59181.708.2023.58
13160.009.2123.44183.009.2025.08
14181.7010.4026.63183.709.2025.26
15191.7010.2029.56185.009.2125.59
16164.7011.0021.17185.4010.2026.63
17163.505.2619.66187.8010.4029.56
18189.4010.5023.12189.4010.5029.57
19194.008.0025.59191.7010.7030.47
20134.007.5023.24192.9010.8031.49
21185.407.5031.54194.0011.0031.54
22192.908.2025.08205.0011.6032.74
23183.709.2025.26207.0011.7033.61
24132.0010.7029.57210.0012.3036.51
25187.806.8032.74214.0014.8039.50
VII.1 PRUEBA DE SMIRNOV - KOLMOGOROV - AJUSTE A LA DISTRIBUCION NORMAL ESTACION CACAO ANLISIS DE Qmx
Datos estadsticos:
CALCULOS DE Z y F(Z):
A continuacin se presenta las interpolaciones para el clculo de los F(Z):
Finalmente se presenta:
Obtencin del Estadstico S-K y Verificacin de la ConfiabilidadPara la distribucin normal con N = 25 datos de Precipitacin mxima 24h de la estacin Tinajones, procedemos a Calcular el estadstico S-k, con un nivel de significancia de 0.05.
N
200.29
25S-K
300.24
Observamos que el mximo valor obtenido es 0.167661, y por ser , se concluye que la informacin es CONFIABLE.PERIODOS DE RETORNO
Para 25 aos:
Para 50 aos:
Para 100 aos:
Para 200 aos:
PROBABILIDAD DE OCURRENCIAPara Qmax
Para Qmax = 150 m3/s
Para Qmax = 250 m3/s
Para Qmax = 350 m3/s
Interpolacin para probabilidad de ocurrencia
Cuadro de resumen de Probabilidad de Ocurrencia
VII.2 PRUEBA DE SMIRNOV - KOLMOGOROV - AJUSTE A LA DISTRIBUCION LOG-NORMAL ESTACION CACAO ANLISIS DE QmxDatos estadsticos:
CALCULOS DE Z y F(Z):
A continuacin se presenta las interpolaciones para el clculo de los F(Z):
Finalmente se presenta:
Obtencin del Estadstico S-K y Verificacin de la ConfiabilidadPara la distribucin normal con N = 25 datos de Precipitacin mxima 24h de la estacin Tinajones, procedemos a Calcular el estadstico S-k, con un nivel de significancia de 0.05.N
200.29
25S-K
300.24
Observamos que el mximo valor obtenido es 0.196760, y por ser , se concluye que la informacin es CONFIABLE.PERIODOS DE RETORNO
Para 25 aos:
Para 50 aos:
Para 100 aos:
Para 200 aos:
PROBABILIDAD DE OCURRENCIAPara Qmax
Para Qmax = 150 m3/s
Para Qmax = 250 m3/s
Para Qmax = 350 m3/s
Interpolacin para probabilidad de ocurrencia
Cuadro de resumen de Probabilidad de Ocurrencia
VII.3 PRUEBA DE SMIRNOV - KOLMOGOROV - AJUSTE A LA DISTRIBUCION NORMAL ESTACION CACAO ANLISIS DE Qmin
Datos estadsticos:
CALCULOS DE Z y F(Z):