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TABLA DE CONVERSIONES
UNIVERSIDAD PERUANA LOS ANDES
Educación a Distancia.
Huancayo.
Impresión Digital
SOLUCIONES GRAFICAS SAC
Jr. Puno 564 - Hyo.
Telf. 214433
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ÍNDICE
UNIDAD TEMÁTICA I
LÓGICA PROPOSICIONAL
Página
Biografía de George Boole (1815 – 1864) 11
Objetivo general 12
Objetivos específicos 12
Mapa mental de lógica proposicional 14
1 Breve historia de la lógica 15
2 Lógica proposicional 18
3 Conectivos u operadores lógicos 21
4 Clases de proposiciones lógicas 22
5 Operaciones con proposiciones 23
6 Tabla de valores de verdad 26
7 Implicación lógica equivalencia lógica 28
ACTIVIDAD DE APRENDIZAJE Nro. 01
8 Leyes del álgebra proposicional 31
ACTIVIDAD DE APRENDIZAJE Nro. 02
9 La inferencia lógica o argumento lógico 34
ACTIVIDAD DE APRENDIZAJE Nro. 03
10 Circuitos lógicos o booleanos 36
ACTIVIDAD DE APRENDIZAJE Nro. 04
AUTOEVALUACIÓN Nro. 01
SOLUCIONARIO DE LA AUTOEVALUACIÓN Nro.01
BIBLIOGRAFIA
DIRECCIONES ELECTRONICAS
CRONOGRAMA DE ENTREGA DE ACTIVIDADES DE
APRENDIZAJE – I UNIDAD
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8
UNIDAD TEMÁTICA II
SISTEMA DE NÚMEROS REALES
Página
Objetivo general 45
Objetivos específicos 45
Mapa mental de sistema de números reales 46
1 Conjuntos numéricos 47
2 Axiomas teoremas de los números reales 49
3 Axiomas de la adición y multiplicación de los números
reales
51
4 Axiomas de orden 51
ACTIVIDAD DE APRENDIZAJE Nro. 01
5 Ecuaciones 59
6 Ecuación de primer grado con una incógnita 60
7 Sistema de ecuaciones 628 Ecuación de segundo grado 63
9 Ecuación polinómica 66
ACTIVIDAD DE APRENDIZAJE Nro. 02
10 Inecuaciones de primer grado con una variable 70
11 Inecuaciones de segundo grado 71
ACTIVIDAD DE APRENDIZAJE Nro. 03
12 Inecuaciónes polinómicas 7313 Inecuación fraccionaria 75
ACTIVIDAD DE APRENDIZAJE Nro. 04
14 Valor absoluto 76
ACTIVIDAD DE APRENDIZAJE Nro. 05
AUTOEVALUACIÓN Nro. 02
SOLUCIONARIO DE LA AUTOEVALUACIÓN Nro.02
BIBLIOGRAFIA
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9
CRONOGRAMA DE ENTREGA DE ACTIVIDADES DE
APRENDIZAJE – II
UNIDAD TEMÁTICA III
RELACIONES DE R EN R
Página
Objetivo general 87
Objetivos específicos 87
Mapa mental de relaciones de R en R 88
1 Relaciones binarias 89
2 Producto cartesiano 89
3 Relación binaria 90
4 Dominio y rango de una relación 90
ACTIVIDAD DE APRENDIZAJE Nro. 015 Gráfica de una relación 93
ACTIVIDAD DE APRENDIZAJE Nro. 02
6 Relaciones especiales 100
ACTIVIDAD DE APRENDIZAJE Nro. 03
7 Distancia entre dos puntos 107
8 Pendiente de una recta 108
ACTIVIDAD DE APRENDIZAJE Nro. 04 AUTOEVALUACIÓN Nro. 03
SOLUCIONARIO DE LA AUTOEVALUACIÓN Nro.03
BIBLIOGRAFIA
CRONOGRAMA DE ENTREGA DE ACTIVIDADES DE
APRENDIZAJE – III UNIDAD
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10
UNIDAD TEMÁTICA IV
FUNCIONES DE R EN R
Página
Mapa mental de funciones de R en R 118
1 Funciones 119
2 Dominio y rango de una función 120
3 Cálculo del dominio de funciones usuales 120
ACTIVIDAD DE APRENDIZAJE Nro. 01
4 Cálculo del rango de una función 124
ACTIVIDAD DE APRENDIZAJE Nro. 02
5 Gráfica de una función 127
ACTIVIDAD DE APRENDIZAJE Nro. 03
ACTIVIDAD DE APRENDIZAJE Nro. 04
AUTOEVALUACIÓN Nro. 04
SOLUCIONARIO DE LA AUTOEVALUACIÓN Nro. O4
BIBLIOGRAFÍA 139CRONOGRAMA DE ENTREGA DE ACTIVIDADES DE
APRENDIZAJE – IV UNIDAD
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11
LÓGICA PROPOSICIONAL
GEORGE BOOLE (1815 – 1864)
Nació el 2 de Noviembre de 1815 en Lincoln,
Lincolnshire (Inglaterra), primero concurrió a una
escuela en Lincoln, luego a un colegio comercial.
Boole no estudió para un grado académico, pero a la
edad de 16 años fue profesor auxiliar de colegio.
Abrió su propio colegio y empezó a estudiar
matemáticas por si mismo.
Tardó en darse cuenta que había perdido casi cinco años tratando de aprender las
materias en vez de tener un profesor experto. En ese periodo Boole estudió los
trabajos de Laplace y Lagrange , tomando apuntes, los cuales llegaron a ser más
tarde las bases para sus primeros papeles matemáticos.
Boole fue nominado para una cátedra de matemáticas en el Queens College, en
1849, donde enseñó por el resto de su vida, ganándose una reputación como un
prominente y dedicado profesor.
En el 1854 publicó Las leyes del pensamiento sobre las cuales son basadas las
teorías matemáticas de Lógica y Probabilidad. Boole aproximó la lógica en una
nueva dirección reduciéndola a un álgebra simple, incorporando lógica en las
matemáticas. Agudizó la analogía entre los símbolos algebraicos y aquellos que
representan formas lógicas. Su álgebra consiste en un método para resolver
problemas de lógica que recurre solamente a los valores binarios 1 y 0 y a tres
operadores: AND (y), OR (o) y NOT (no). Comenzaba el álgebra de la lógica
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12
llamada Álgebra Bo oleana , la cual ahora encuentra aplicación en la construcción
de computadores, circuitos eléctricos, etc.
Muchos honores le fueron concedidos a Boole, fue reconocido como el genio en
su trabajo recibió grandes honores de las univers idades de Dubl in y Oxford y
fue elegido miembro académico de la Real Sociedad (1857). Sin embargo, su
carrera que comenzó un tanto tarde terminó infortunadamente temprano cuando
murió a la edad de 49 años, el 8 de Diciembre de 1864 en Ballintemple, County
Cork (Irlanda). Las circunstancias son descritas por Macfarlane de la siguiente
forma:
"Un día en el 1864 caminó desde su casa al colegio, una distancia de dos millas,
con una lluvia torrencial y luego dio una conferencia con la ropa empapada. El
resultado fue un resfrío febril el cuál pronto dañó sus pulmones y terminó su
carrera....."
El trabajo de Boole llegó a ser un paso fundamental en la revolución de los
computadores, cuando Claude Shannon en 1938, demostró como las
operaciones booleanas elementales, se podían representar mediante circuitosconmutadores eléctricos, y como la combinación de estos podía representar
operaciones aritméticas y lógicas complejas. Shannon demostró asimismo que el
álgebra de Boole se podía utilizar para simplificar circuitos conmutadores.
OBJETIVO GENERAL
Aplicar las leyes del álgebra proposicional en la resolución de ejercicios y
problemas sobre proposiciones e inferencias lógicas
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13
OBJETIVOS ESPECÍFICOS
Reconocer la importancia del estudio de la lógica y valorar el aporte de
matemáticos
Diferenciar enunciado de proposición Diferenciar los conectivos lógicos
Comparar las proposiciones simples y compuestas
Diferenciar y generalizar los valores veritativos de los operadores de:
negación, conjunción, disyunción inclusiva, la condicional, la bicondicional
y la disyunción exclusiva
Construir tablas de valores de verdad y determinar si es tautología,
contradicción y contingencia Verificar la implicación y la equivalencia lógica con tablas de verdad
Simplificar proposiciones lógicas aplicando las leyes del álgebra
proposicional
Aplicar las leyes del álgebra proposicional y otros métodos en la
validación de argumentos lógicos
Construir circuitos lógicos
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MAPA MENTAL DE LÓGICA PROPOSICIONAL
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15
BREVE HISTORIA DE LA LÓGICA
INTRODUCCIÓN
El nacimiento de la lógica propiamente dicho está directamente relacionado con el
nacimiento intelectual del ser humano. La lógica emerge como mecanismo
espontáneo en el enfrentamiento del hombre con la naturaleza, para
comprenderla y aprovecharla. Poncairé destaca cinco etapas o revoluciones en
ese proceso que se presentan entre dos grandes tópicos: del rigor y la formalidad,
a la creatividad y el caos. Las etapas se identifican como: Revolución Matemática,
Revolución Científica, Revolución Formal y Revolución Digital además de la
próxima y prevista Revolución Lógica.
LA MATEMÁTICA Y LA LÓGICA
Del año 600 a. c. hasta 300 a. c. se desarrollan en Grecia los principios formales
de las matemáticas. Este periodo clásico lo protagonizan Platón, Aristóteles y
Euclides. Platón propone ideas o abstracciones. Aristóteles resuelve el
razonamiento deductivo y sistematizado. Euclides es el autor que establece el
método axiomático. En los Elementos Euclides organiza las pruebas deductivasde que dispone dentro de una estructura sistemática, rigurosa, y altamente
eficaz.
PLATÓN
Platón, 427 a. c. - 347 a. c., propone instaurar en Siracusa una utópica república
dirigida por filósofos. Crea la Academia de Atenas que no era solo una institución
filosófica, sino centro de formación política para jóvenes aristócratas. Segúnalgunos especialistas, Platón edifica su teoría del conocimiento con el fin de
justificar el poder emergente de la figura del filósofo. Sostiene la existencia de dos
mundos, el mundo de las ideas y el de mundo físico de los objetos. Según Platón,
lo concreto se percibe en función de lo abstracto y por tanto el mundo sensible
existe gracias al mundo de las ideas. Platón escoge el formato d iálo go como
forma de transmisión del pensamiento.
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16
ARISTÓTELES
Los tratados de lógica de Aristóteles, 384 a. c. - 332 a. c., conocidos como
Organón, contienen el primer tratado sistemático de las leyes de pensamiento
para la adquisición de conocimiento. Representan el primer intento serio que
funda la lógica como ciencia. Aristóteles no hace de la lógica una disciplina
metafísica sino que establece correspondencias recíprocas entre pensamiento
lógico y estructura ontológica. El s i log ismo fue adoptado por los escolásticos que
representan el sistema teológico-filosófico, característico de la Edad Media. La
escolástica, sin embargo, acabó por sobrecargar la teoría del silogismo, lo que
acarreó su descrédito a partir del Renacimiento. Los lógicos de la edad moderna
como Ramée, Arnauld, Nicole, Leibniz, Euler, y Lambert procuraron simplificarla al
máximo, y su tratamiento matemático se completó hasta principios del siglo XX
con Boole, De Morgan, Frege y Russell. Desde entonces el s i log ismo se incluye
en la lógica de predicados de primer orden y en la lógica de clases, y ocupa en la
ciencia lógica un papel mucho menor que en otros tiempos.
EUCLIDES
Matemático alejandrino autor de la universal obra, los célebres Elementos . Unode los textos matemáticos más relevantes de la historia del pensamiento científico
hasta del siglo XIX. Los Elementos están divididos en XIII Libros y constituyen la
recopilación más exhaustiva de las matemáticas conocidas en el año 300 a.c. Su
valor universal lo propaga el uso riguroso del método deductivo que distingue
entre principios - definiciones, axiomas y postulados-, y teoremas, que se
demuestran a partir de los principios. A lo largo de la historia se mantuvo la
sospecha de que el quinto postulado era demostrable a partir de los anteriores. Eldeseo de resolver tal hipótesis ocupa hasta el siglo XIX con la construcción de las
geometrías no euclidianas y se deduce con ellas la imposibilidad de demostrar el
quinto postulado.
LA CIENCIA MATEMÁTICA
Ante el retroceso de la escuela clásica de los griegos se presentan periodos de
autoridad religiosa. El Renacimiento es el inicio de una nueva revolución que
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revive la ciencia y las matemáticas. Los representantes más destacados son
Descartes, Newton y Leibniz. Este periodo abarca del año 1500 d.c. al 1800
d.c.
GEORGE BOOLE
El lógico y matemático George Boole, 1815 -1864 aplica el cálculo matemático a
la lógica, fundando el álgebra de la lógica. En cierto modo realiza el sueño de
Leibniz de una character is t ica universal is o cálculo del raciocinio. El empleo de
símbolos y reglas operatorias adecuadas permite representar conceptos, ideas y
razonamientos mediante variables y relaciones (ecuaciones) entre ellas. Boole dio
un método general para formalizar la inferencia deductiva, representando
complicados raciocinios mediante sencillos sistemas de ecuaciones. Así, la
conclusión de un silogismo se encuentra eliminando el término medio de un
sistema de tres ecuaciones, conforme a las reglas del álgebra común, La
formalización de la lógica, iniciada por Boole, ha contribuido poderosamente a
aclarar la estructura de los objetos lógicos, en contraposición a los materiales y
aun en contraposición a los matemáticos, pese a las analogías formales entre la
matemática y la lógica, que Boole señaló. Su obra principal es Invest ig ación de
las leyes del pensamiento en las que se fundan las teorías matemáticas de la
lógica y la probabilidad, 1854, que aún hoy se lee con deleite.
AUGUSTUS DE MORGAN
La mayor contribución de Augustus De Morgan (1806-1871) en el estudio de la
lógica incluye la formulación de las Leyes de Morgan y su trabajo fundamenta la
teoría del desarrollo de las relaciones y la matemática simbólica moderna o lógicamatemática. De Morgan es autor de la mayor contribución como reformador de la
lógica.
LA REVOLUCIÓN DIGITAL
Esta revolución se inicia con la invención de la computadora digital y el acceso
universal a las redes de alta velocidad. Tur ing relaciona lógica y computación
antes que cualquier computadora procese datos. Weiner funda la ciencia de la
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Cibernética. En las Escuelas modernas de Computación están presentes Lógicos
que han permitido avances importantes como Hoare que presenta un sistema
axiomático de los sistemas de programación con un sistema de verificación y
deducción de programas a partir de especificaciones.
2. LOGICA PROPOSICIONAL
Los lenguajes naturales y formales tienen puntos en común que nos pueden
servir de inicio para una discusión. En principio se tiene la existencia de un
conjunto finito, llamado alfabeto, el cual esta constituido de símbolos simples
llamados comúnmente letras. En los lenguajes naturales se tienen como
ejemplos los alfabetos: latino, árabe-persa, entre otros. En los formales como
la lógica se tiene el lexicón del: cálculo proposicional y de predicados.
Mediante la concatenación de las letras del alfabeto formaremos: monemas,
fonemas o palabras que determinan un conjunto extendido denominado y
se encuentran en el interior de un enunciado. El conjunto de palabras que
tengan un significado constituirán el diccionario del lenguaje (p. ejem. el
Webster) y, en lenguajes formales todas las palabras que puedan ser
aceptadas por un cierto autómata. A partir de lo anterior, tendremos que unlenguaje se considera como un conjunto, usualmente es infinito, de oraciones
o enunciados que se forman con palabras del diccionario. En este punto,
podemos distinguir entre dos clases de lenguajes; los ``lenguajes naturales"
como el francés, inglés, y castellano y, los ``lenguajes formales" como el de
las matemáticas y la lógica.
El ser humano en la vida diaria, se comunica con sus semejantes a través de
un lenguaje determinado (oral, escrito,..., etc.) por medio de las denominadas
frases u oraciones, estas pueden tener diferentes significados pero siempre
van a resumirse a las formas de verdaderas o falsas, siendo este el
precedente fundamental para el desarrollo del pensamiento humano. Lo
importante en el presente estudio es el hecho de que, a partir de los
enunciados (frases u oraciones) y de acuerdo a su significado es posible
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establecer una proposición y a partir de un conjunto de estas podemos llegar a
una conclusión, siendo la ciencia encargada del estudio de estas, la lógica.
1.1. ENUNCIADO.- Denominamos así a toda frase u oración.
Ejemplos:
1) Prohibido fumar.
2) 922 y x
3) El 15 de agosto del 2 007 un terremoto sacudió el Perú
4) 4x – 1= – 5
5) ¿Qué hora es?
6) ¡Mamá!
7) El es estudiante de la facultad
8) 943
9) ¿Estás sorda o qué?
10) ¡Auxilio!
11) Deténgase.
12) Dumbledore y Harry sonrieron.
13) Karina es administradora o abogada.
14) ¿Dónde estabas?
15) Prohibido hacer ruido
16) ¡Hilary! ¡Hilary!
1.2. PROPOSICIÓN.- Una proposición es un enunciado que tiene la
propiedad de ser verdadera (V) o falsa (F), pero no ambas
simultáneamente.
Representación simbólica: p, q, r, s, t,..., etc.
Ejemplos:
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20
REPRESENTAC
IÓN
SIMBÓLICA
PROPOSICIÓN
VALOR
DE
VERDAD
p: El cuadrado tiene tres lados F
r: El perro tiene dos patas F
s: Ica es la región más afectada por el
terremoto del 2 007
V
t: El parque de la identidad se encuentra
ubicado en Chilca
F
p: - 4 + 9 = 7 F
r: 3,56 > 0,099 V
El valor veritativo o valor de verdad de una proposición se expresa
simbólicamente. Si p es una proposición, su valor de verdad se denota por
V(p)
Se escribe: V(p) = V. Si valor de verdad de la proposición p es verdadera
Se lee: el valor de verdad de la proposición p es verdadera
Se escribe: V(p) = F. Si valor de verdad de la proposición p es falsa
Se lee: el valor de verdad de la proposición p es falsa
1.3. EXPRESIONES QUE NO SON PROPOSICIONES LÓGICAS
Son las expresiones que indican orden, saludo, exclamación o
interrogación. Es decir, estas expresiones sólo se quedan como
enunciados.
Ejemplos:
- ¡Buenos días!. - ¡Hola, Harry!
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- ¿Quién tocó la puerta?
- No faltes.
- ¿Así se llaman esas criaturas?
- ¿Qué edad tienes?
- Prohibido fumar.
- ¡Viva la matemática!
1.4. ENUNCIADO ABIERTOS
Los enunciados que usan las palabras “el”, “ella” o las letras x, y, z ,...,
etc. No tienen la propiedad de ser verdaderos o falsos, es decir, no
son proposiciones. Pero, si a estas palabras o letras se les asigna un
determinado objeto o valor, llamado constante, el resultado es una
proposición. A este tipo de enunciados se les denomina enunc iados
abiertos .
Ejemplos:
- Ella es estudiante de contabilidad
- x – 3 > 7
- 5x + 3y = 2
Si en el primer ejemplo reemplazamos ella por Meredditt, se tiene,
“Meredditt es estudiante de contabilidad”, que es una proposición
donde su valor de verdad es V ó F dependiendo de que si Meredditt
sea o no estudiante de contabilidad.
Si en el segundo ejemplo “x” toma un valor menor o igual que 10 la
proposición es falsa y si “x” toma un valor mayor a 10 la proposición es
verdadera.
En el tercer ejemplo las variables o letras “x” , “y” pueden tomar
infinitos valores para que el valor de verdad de la ecuación seaverdadera o falsa.
3. CONECTIVOS U OPERADORES LÓGICOS
Los conectivos lógicos son símbolos que enlazan proposiciones simples o
atómicas, sin formar parte de ellas: estos símbolos también toman el nombre
de operadores.
Los conectivos lógicos que usamos en matemática son:
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22
LENGUAJE
COLOQUIAL
LENGUAJE
SIMBÓLICO
NOMBRE DEL OPERADOR
no La negación
y La conjunción
o La disyunción inclusiva
Si ... entonces ... La condicional
... sí y sólo sí ... La bicondicional
O bien ... o bien La disyunción exclusiva
= Delta (Cuarta letra del alfabeto griego que corresponde a d latina)
4. CLASES DE PROPOSICIONES LÓGICAS
a. PROPOSICIONES SIMPLES O ATÓMICAS
Cuando en ella no existe conectivo u operador lógico alguno.
Ejemplos:
- p: El cuadrado tiene 5 lados
- q: 3 x 4 = 12
- r: 9 es múltiplo de 3
b. PROPOSICIONES COMPUESTAS O MOLECULARES
Cuando en ella existe o está presente al menos un conectivo u
operador lógico.
Ejemplos:
- p: 7512
- q p: Romel jugó, aunque estuvo lesionado
- q p: Llegué tarde porque el carro se malogró
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5. OPERACIONES CON PROPOSICIONES
Así como en aritmética y en álgebra se estudian operaciones entre números,
en lógica se estudian operaciones entre proposiciones.
a. LA NEGACIÓN
La negación de una proposición p se escribe “~
p” y se lee “no p” ó “no es cierto que p” ó “es
falso que p” y es otra proposición que niega
que se cumpla p.
p ~ p
V F
F V
Ejemplo:
Sea la proposición: p: 4 x 5 = 20 (V)
Su negación es: ~ p: no es cierto que 4 x 5 = 20 (F)
o se puede escribir: ~ p: 4 x 5 20 (F)
simbólicamente: V( ~ p) = F
b. LA CONJUNCIÓN
Dadas las proposiciones p, q, se simboliza “p
q” y se lee “p y q”, sólo es verdadero
cuando ambos son verdaderos, en los
demás casos siempre es falso .
p q p q
V V V
V F F
F V F
F F F
Ejemplo:
Sean la proposiciones:
p: 7 es un número par (F)
q: 7 es menor que 5 (F)
p q: 7 es un número par y 7 es menor que 5 (F)
simbólicamente: V(p q) = F
NOTA: En toda proposición, las palabras: “ pero”, “sin embargo”,
“además”, “no obstante”, “aunque”, “a la vez” , etc. Equivalen al
conectivo ” “
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c. LA DISYUNCIÓN INCLUSIVA
Dadas dos proposiciones p, q se escribe “p
q” y se lee “p ó q”, sólo es falso cu ando
ambo s so n falsos , en los demás c asos
siemp re es verdadero.
p q p q
V V V
V F V
F V V
F F F
Ejemplo:
Dadas las proposiciones:
p: 4 < 7 (V)
q: 4 = 7 (F)
p q: 4 < 7 ó 4 = 7 (V)
Simbólicamente: V(p q) = V
d. LA CONDICIONAL
Dadas dos proposiciones p, q se escribe
“p q” y se lee “si p entonces q” ó “p implica
q” ó “p es suficiente para que q”, etc., sólo es
fa lso cuando el pr imero es verdadero y el
segun do es f also, en los demás caso s
siemp re es verdadero.
( p = antecedente y q = consecuente)
p q p q
V V V
V F F
F V V
F F V
Ejemplo:
p q: Si gano las elecciones entonces bajaré el precio de los
combustibles
Ejemplo:
Sean las proposiciones:
p: 3 es un número primo (V)
q: 31 es un número par (F)
p q: si 3 es un número primo entonces 31
es un número par (F)
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Simbólicamente: V(p q) = F
NOTA: En toda proposición las palabras: “ porque”, “puesto que”, “ya
que”, “siempre que”, “cuando”, “si”, “cada vez que”, “dado que”,
son conectivos que representan a la condicional. Se caracterizan porque
después de cada uno de estos términos esta el antecedente
Ejemplo:
No jugué porque llegué tarde
p: no jugué (consecuente)
q: llegué tarde (antecedente)
Simbólicamente: q p
e. LA BICONDICIONAL
Dadas dos proposiciones p, q se escribe
“p q” y se lee “p si y solo si q”, es verdadero
cuando los valores de verdad son iguales y es
fa lso cuando los dos valores de verdad son
diferentes.
p q p q
V V V
V F F
F V F
F F V
Ejemplo:
Sean las proposiciones:
p: 3 < 7 (V)
q: 3 + 5 < 7 + 5 (V)
p q: 3 < 7 si y solamente si 3 + 5 < 7 + 5 (V)
simbólicamente: V(p q) = V
f. canon LA DISYUNCIÓN EXCLUSIVA
Dadas las proposiciones p, q se escribe “p
q” y se lee “o bien p o bien q”, es falso
si los valores de verdad de las
propos ic iones son iguales y es
verdadero si los valores de verdad de
las propo s ic iones son di ferentes .
p q p q
V V F
V F V
F V V
F F F
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Ejemplo:
Sean las proposiciones:
p: 4 > 7 (F)
q: 4 < 7 (V)
p q: o bien 4 > 7 o bien 4 < 7 (V)
simbólicamente: V(p q) = V
6. TABLA DE VALORES DE VERDAD
Consiste en obtener los valores del operador principal a partir de la validez de
cada una de las variables proposicionales.
Para evaluar una tabla de verdad de dos variables proposicionales se
necesitan 22
= 4 valores de verdad en cada columna. En general el númerode valores de verdad que se asigna a cada variable resulta de aplicar la
fórmula n2 , donde “n” es el número de variables que hay en el esquema
molecular o proposición lógica.
Las combinaciones de todas las posibilidades de V y F se hacen en las
columnas de referencia al margen izquierdo del esquema, luego se procede a
aplicar la regla a cada uno de los operadores, empezando por el de menor
alcance hasta llegar al de mayor jerarquía.
p q p q p q p q p q p q
V V V V V V F
V F F V F F V
F V F V V F V
F F F F V V F
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Ejemplo: Construye la tabla de verdad del esquema molecular:
~ )~()(~)( q pq p
Solución
Aplicando la fórmula 422 2 n (n = 2) porque el número de variables o
proposiciones son 2, p y q.
En la columna de p se escribe hacia abajo 2 verdaderos y dos falsos,
seguidamente en la siguiente columna, columna de q se escribe, un
verdadero y un falso, un verdadero y un falso.
Para resolver se tiene en cuenta los signos de agrupación y el orden, en
nuestro ejemplo se procede así:
Se resuelve la columna 1 con el operador de la conjunción.
Se resuelve la columna 2, en este caso, es la negación del resultado de la
columna 1.
Se resuelve la columna 3, que es la negación de la proposición p.
Se resuelve la columna 4, que es la negación de la proposición q.
Columna 5, es el resultado de operar las columnas 3 y 4, con el operador
de la disyunción inclusiva.
Columna 6, es el resultado de operar las columnas 2 y 5, con el operador
de la bicondicional.
OBSERVACIÓN
- Para combinar los valores de verdad de las variables p y q, serealiza lo siguiente: n = 2 ( 2 variables)
- Se aplica la fórmula 2n = 22 = 4- Significa que en la primera columna se tendrán 4 valores, 2
verdaderos y 2 falsos- En la segunda columna se tendrán la mitad de lo anterior, en
este caso, un verdadero y un falso
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La columna 6 es el resultado de evaluar el esquema molecular o proposición
compuesta por el método de la tabla de valores de verdad. La columna
resultado presenta diferentes formas, que a continuación estudiamos.
a. TAUTOLOGÍA.- Llamamos tautología si en la columna resultado todos
los valores son verdaderos
b. CONTRADICCIÓN.- Llamamos contradicción si en la columnaresultado todos los valores son falsos.
c. CONTINGENCIA.- Llamamos contingencia si en la columna resultado
se encuentra verdaderos y falsos, sin considerar cuántos verdaderos o
cuántos falsos existan, es suficiente que se encuentren ambos.
7. IMPLICACIÓN LÓGICA Y EQUIVALENCIA LÓGICA
IMPLICACIÓN LÓGICASe llama implicación lógica o simplemente implicación a toda condicional
q p que sea tautología.
Ejemplo:
Verifica si la siguiente condicional es una impl icación lógica :
pqq p ~~
p q ~ )~()(~ )( q pq p
V V
V F
F V
F F
F
V
V
V
V
F
F
F
V
V
V
V
F
F
V
V
F
V
V
V
F
V
F
V
PASOS 2 1 6 3 5 4
TAUTOLOGÍA
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En la columna resultado se observa los valores de verdad, en este caso todos
son verdaderos. Entonces, afirmamos que la condicional es tautología, por
tanto, es una imp l icación lógica . Si en la columna resultado se obtiene
contradicción o contingencia, entonces, no existe implicación lógica.
EQUIVALENCIA LÓGICA
Se llama equivalencia lógica o simplemente equivalencia a toda bicondicional
q p que sea tautología.
Ejemplo:
Verifica si la siguiente bicondicional es una equivalencia lógica :
pq p p
Como se verifica que el resultado de la bicondicional, es tautología, afirmamos
que es una equivalencia lógica.
Entonces, podemos afirmar que: pq p p
p q p~ q~ )( q p
V VV F
F V
F F
VF
V
V
FF
F
V
FV
F
V
VV
V
V
FF
V
V
p q pq p p
V V
V F
F V
F F
V
V
F
F
V
V
F
F
V
V
V
F
V
V
V
V
V
V
F
F
RESULTADOS IDÉNTICOS
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Nro. 01
1) Escribe al lado derecho de cada una de estas expresiones, si es: enunciado,
proposición o enunciado abierto.
(1) ¡Hola que tal!
(2) x² + 1 < 10(3) 7 + 9 > 5
(4) Él es administrador y contador
(5) ¿Vives con tu primo?
(6) ¡Adiós!
2) Expresa en el lenguaje simbólico:
a) No es cierto que, Yadhira no vive en Huancayo entonces vive en
Concepciónb) Maritza es contadora y administradora
3) Que diferencias y similitudes estableces entre una proposición simple y una
proposición compuesta
4) Determina los valores de verdad de las siguientes proposiciones:
a) Huancayo es una ciudad con 5 mil habitantes
b) Es falso que, Andrés Avelino Cáceres no nació en El Tambo
c) 20 es múltiplo de 4, pero 7 es menor o igual que 10
d) O 9 es mayor que 5 o es menor que 5
e) 24 es múltiplo de 8 puesto que 24 es un número impar
5) Si: p~qq p~qr q p~~ , es verdadera. Calcula los
valores de verdad de p, q y r.
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6) Si: s~r ~q~ p , es falsa. Determina los valores de verdad de los
esquemas moleculares:
a) p~s~q~~ b) ;q~ p~sr ~~
7) Sabiendo que el valor de verdad de la proposición compuesta:
t p s sq pq A r p~ , es siempre falsa. Determina el
valor de verdad de la proposición t pr sr ~q p~
8) Construye las tablas de valores de verdad de las siguientes proposiciones y
evalúa si es tautología, contradicción o contingencia:a) pq~~Δ p~q~ p b) q~r p~r ~ q p
9) Dadas las proposiciones: p p M q~ y q p N q~ . Evalúa si
M implica a N.
10) Dadas las proposiciones q p~q pS y q~ p~ T Evalúa si S
es equivalente a T.
8. LEYES DEL ÁLGEBRA PROPOSICIONAL
Las proposiciones equivalentes se convierten en leyes lógicas. Existen
infinitas proposiciones equivalentes. Pero sólo consideraremos algunas a las
que llamaremos leyes del álgebra proposicional
1) Leyes del tercio excluido
p~ p V p~ p F
6) Leyes distributivas
r pq pr q p
r pq pr q p
r pq pr q pr pq pr q p
2) Ley de involución o doble
negación
~(~p) p
7) Leyes de De Morgan
q~ p~q p~
q~ p~q p~
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3) Ley de idempotencia
p p p p p p
8) Leyes condicionales
~´q pq p~
q p~q p
4) Leyes conmutativas
pqq p
pqq p
pqq p
9) Leyes bicondicionales
q~ p~q pq p
pqq pq p
5) Leyes asociativas
r q pr q p
r q pr q p
r q pr q p
10) Leyes de absorción
q pq p~ p
pq p p
q pq p~ p
pq´p p
11) Formas normales para la conjunción y disyunción
VV pFF p
pF p pV p
FFFVVV
Las leyes del álgebra proposicional se aplican o utilizan en la validación de
proposiciones compuestas, es decir, para determinar el valor de verdad de
una proposición. Además se utiliza en la simplificación de proposiciones
compuestas
Ejemplo:
Simplifica la proposición q p q~ p~ aplicando las leyes del álgebraproposicional
q p q~ p~~ ……………… Ley condicional
q p p q~ ……………… Ley de doble negación
qq~ p ……………… Ley distributiva
V p ……………… Ley del tercio excluido
p ……………… Formas normales
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Nro. 02
Simplifica los siguientes esquemas moleculares aplicando las leyes del álgebra
proposicional:
1) p q~q p~~
2) pq~ p~ q p
3) q p~q p~q~ p~~ p
4) q~q~ p~q~ p~ pq pq p
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9. LA INFERENCIA LÓGICA O ARGUMENTO LÓGICO
Se llama inferencia lógica o argumento lógico a toda condicional de la forma:
q p... p p k 21 donde las proposiciones k p p p ,...,, 21 son llamadas
premisas, y originan como consecuencia otra proposición denotada por q
llamada conclusión.
Una inferencia puede ser tautología, contingencia o contradicción.
Si la condicional es una tautología, es decir si es una implicación entonces
recibe el nombre de argum ento válido o inf erenc ia válida .
Si la condicional no es una tautología entonces se denomina falacia o
simplemente argumento no válido.
Ejemplo:
Válida el argumento pq p
Solución
Aplicando las leyes del álgebra proposicional
p q p~ …………….. Ley condicional
q p p~ …………….. Leyes asociativa y conmutativa
pV …………….. Ley del tercio excluido
V …………….. Formas normales
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Nro. 03
1) Verifica la validez de los siguientes argumentos aplicando las leyes del
álgebra proposicional y construyendo tablas de verdad:
a)
q~
________
q p~
q p
b)
q~ p~
____ __________
s~q~
sr q p
c)
s
sr
r pq
p
____ __________
q~ p~~
2) Dados los argumentos siguientes, determina en cada caso si es un
argumento válido o si es una falacia traduciendo previamente a símbolos:
a) Si 10 es impar, entonces 4 no divide a 11
7 no es primo 0 4 divide a 11
Pero 7 es primo
10 es par
b) Si el ómnibus sufrió desperfectos en el camino entonces Patricia
llegará tarde a la Universidad. Pero, Patricia no llegará tarde a la
Universidad. Por tanto, si el ómnibus sufrió desperfectos en el
camino entonces Patricia viajó en taxi.
c) Si trabajo no puedo estudiar
Estudio o apruebo matemática
Trabajé
Por lo tanto, aprobé matemática
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d) En el cumpleaños de mi esposa le llevaré flores. Es el cumpleaños
de mi esposa o trabajo hasta tarde; pero hoy no le llevaré flores a mi
esposa. Por tanto, hoy trabajé hasta tarde.
10.CIRCUITOS LÓGICOS O BOOLEANOS
El valor de verdad de una proposición puede asociarse al paso de corriente
eléctrica por un circuito eléctrico controlado por un interruptor. Es decir, si el
interruptor está cerrado entonces pasa corriente y si el interruptor está
abierto entonces no pasa corriente.
p p
CIRCUITO CERRADO CIRCUITO ABIERTO
(pasa corriente: V) (no pasa corriente: F)
a. CIRCUITOS EN SERIE
Son aquellos que constan de dos interruptores p y q conectados en
serie, de modo que en todo el circuito pasará la corriente solamente enel caso en que ambos interruptores p y q se encuentren cerrados.
p q
Esto corresponde a la tabla de valores de verdad de la conjunción.
p q p q1 1 1
1 0 0
0 1 0
0 0 0
OBSERVACIÓNV=1F=0
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b. CIRCUITOS EN PARALELO
Son aquellos circuitos que constan de dos interruptores p y q conectados
en paralelo, de modo que para que pase la corriente en el circuito es
suficiente que alguno de los interruptores p o q esté cerrado y solamente
deja de circular la corriente si ambos están abiertos.
Esto corresponde a la tabla de verdad de la disyunción inclusiva.
SIMBOLOGÍA:De aquí en adelante esquematizaremos a un interruptor “p”
simplemente como:
Nro. 04
Construye los siguientes circuitos:
1) q p~s~q p~~ p
2) q~ p~ q p
p q p q
1 1 1
1 0 1
0 1 1
0 0 0
p
q
p
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3) q~ p~ p~ p~ pq~
4) p~r ~ p~q p~~
Dados los siguientes circuitos, simplifica y expresa el resultado como proposición:
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Nro. 01
1) Escribe al lado derecho de cada una de las siguientes expresiones, si es:
enunciado, proposición o enunciado abierto:
1) 72 x
2) ¿Quién llamó por teléfono?
3) 1059 4) Ella es contadora y administradora
5) ¡Viva el Perú!
6) Si hoy es jueves entonces mañana es viernes
2) Escribe en el lenguaje simbólico:
1) No es cierto que, Yumara no es alcaldesa de Huancayo
2) Yulissa llegó tarde porque el carro no se malogró
3) Dadas las proposiciones:
p : Yamile estudió matemática
q : Yamile aprobó matemática
Expresa en el lenguaje escrito:
1) q p~~
2) q p~
4) Determina los valores de verdad de las siguientes proposiciones:
1) Alan García no es el alcalde de Huancayo
2) Es falso que, las rosas no son de color negro
5) Escribe al lado derecho de cada expresión, si es una proposición simple o
compuesta
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1) Hoy es lunes
2) Si estudio entonces seré un buen profesional
3) 734
4) Alberto es docente de la facultad
6) Si la proposición q r p~ es verdadera. Calcula los valores de verdad de:
1) r ~ q p
2) pqr ~
7) Construye las tablas de valores de verdad de las siguientes proposiciones y
evalúa si es: tautología, contradicción o contingencia1) pq~q p~
2) q p p q~
8) Dadas las proposiciones: q p~ R y q p~ S . Evalúa si R implica a S
9) Dadas las proposiciones: q p~~ M y pq~ N . Evalúa si M y N son
proposiciones equivalentes
10) Simplifica el siguiente esquema molecular aplicando las leyes del álgebra
proposicional
pq~~ pq p
11) Valida el siguiente argumentoTrabajo o apruebo matemática
Si trabajo no puedo estudiar
Aprobé matemática
Por lo tanto, estudie
12) Construye el circuito correspondiente a la proposición:
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p~q~ q p
13) Expresa como proposición el circuito
SOLUCIONARIO DE AUTOEVALUACIÓN Nro. 01
1)
1) Enunciado abierto
2) Enunciado
3) Proposición
4) Enunciado abierto
5) Enunciado
6) Proposición
2)
1) p~~
2) pq~
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3)
1) No es cierto que, Yamile no estudia matemática pero aprobó
2) Yamile no estudia matemática entonces aprueba
4)
1) Verdadero
2) Falso
5)
1) Proposición simple
2) Proposición compuesta
3) Proposición compuesta
4) Proposición simple
6) p = V ; q = V y r = F
1) Verdadero
2) Verdadero
7)
1) Contingenciap q p q~ q p~
V V F V V F F V V
V F F V F F V V V
F V V V V V F F F
F F V F F V V V F
2) Tautología
p q q p q~ p
V V V F F V V
V F V V V V V
F V F F F V V
F F F F V V F
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8) R no implica a S, porque al construir su tabla de verdad se obtiene como
resultado contingencia
9) M y N son proposiciones equivalentes, porque al construir su tabla de
verdad estas son iguales en sus diferentes combinaciones
10) pq~q p~~ p
pq~ pq~ p
pq~q~ p
q~ p
11) q p
r p ~
q
_________
r
Al validar por cualquier método se obtiene como resultado contingencia, es
decir, el argumento no es válido
12)
13) q~ p~q p~ q p
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44
1. ALLEN R. A. 1 992. Álgebra intermedia, 2da. Edición, Editorial, Prentice Hall,
México
2. FIGUEROA G. R. 2 003. Matemática básica I, 5ta. Edición, Editorial América,
Lima - Perú
3. VENERO B. A. 2 002. Matemática básica, SE, Editorial San Marcos, Lima –
Perú
4. EDUARDO BELLO REGUERA. 2006. Discurso del método, sexta edición,Editorial Tecnos, Madrid – España.
5. MOSTERIN, JESUS y TORRETTI, ROBERTO. 2 002. Diccionario de lógica
y filosofía de la ciencia, primera edición, Alianza editorial S.A.Madrid –España
DIRECCIONES ELECTRÓNICAS
1 Antonio Escohotado. Génes is y Evo luc ión del Pensam ien to Científico.
www.escohotado.com
3 Cfr. Escohotado. El Pen sam ien to Preci entífic o . Tema 1.www.escohotado.com
4 Alfred Tarski. Wikipedia.
en.wikipedia.org/wiki/Tarski
CRONOGRAMA DE ENTREGA DE ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE – I
UNIDAD
ACTIVIDADDE
APRENDIZAJ
E
FECHAHOR
A
FORMADEL AL
DIA MES AÑO DIA ME
S
AÑO
1
2
3
4
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SISTEMA DE NÚMEROS REALES
OBJETIVO GENERAL
Resolver ejercicios y problemas de ecuaciones, sistema de ecuaciones,
inecuaciones y valor absoluto aplicando los axiomas, teoremas y
definiciones de los números reales.
OBJETIVOS ESPECÍFICOS
Comparar axiomas, teoremas y definiciones de los números reales
Resolver ejercicios y problemas de ecuaciones de primer grado,
segundo grado y polinómicas
Resolver ejercicios y problemas sobre sistema de ecuaciones linealescon dos y tres incógnitas
Resolver ejercicios y problemas de inecuaciones primer grado,
segundo grado, polinómicas y fraccionarias
Definir valor absoluto e identificar sus propiedades
Resolver ejercicios y problemas de ecuaciones e inecuaciones con
valor absoluto
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46
MAPA MENTAL DE SISTEMA DE NÚMEROS REALES
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47
1. CONJUNTOS NUMÉRICOS
EL CONJUNTO DE LOS NÚMEROS NATURALES
N = { 0, 1, 2, 3, 4, 5, ... }
EL CONJUNTO DE LOS NÚMEROS ENTEROS
Z = { ... , -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...}
N
EL CONJUNTO DE LOS NÚMEROS RACIONALES
Q = { ... , -1,2
1 , 0,
2
1, 1, ... }
El conjunto de los números racionales tienen una característica, que llevados a
su forma decimal, son periódicos (puros o mixtos).
Por periodo entendemos al número o números de la parte decimal que se
repiten hasta el infinito.
Ejemplos:
a) 1,234666…
Es un decimal periódico mixto, tiene una parte no periódica conformada por
los números 234 y una parte periódica que es el número 6, la parteperiódica se repite hasta el infinito.
b) -3,777…
Es un decimal periódico puro, porque inmediatamente después de la coma
aparece el periodo, es decir, en este caso, el número 7 que se repite hasta
el infinito.
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48
c) 32,767676…
Es un decimal periódico puro, porque inmediatamente después de la coma
aparece el periodo, es decir, en este caso, el periodo está conformado por
el número 76, la misma que se repite hasta el infinito.
d) 15,2999…
Es un decimal periódico mixto, porque antes del periodo encontramos el
número 2 que no es parte del periodo. En este caso el periodo está
conformado por el número 9.
EL CONJUNTO DE LOS NÚMEROS IRRACIONALES
I = { ... , - , - e, 2 , 2 , e, }
Ejemplo:
2 = 1,4142135623730950488016887242097...
Los números irracionales más importantes son:
El número: (pi) que es la razón existente entre la longitud de la
circunferencia y el diámetro de la misma.
= 3,1415926535897932384626433832795...
El número: “ e “ , que es el limite de “ n “ cuando tiende al infinito.
n
nn
11e lim
e = 2,7182818284590452353602874713527...
Los números irracionales tienen una característica, que llevados a su forma
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49
decimal estos números no son periódicos.
EL CONJUNTO DE LOS NÚMEROS REALES
El conjunto de los números reales es la reunión del conjunto de los números
racionales (periódicos) con el conjunto de los números irracionales (no
periódicos).
R = Q I
EL CONJUNTO DE LOS NÚMEROS COMPLEJOS
C = { a + bi / a R b R , i = 1 }
Los números complejos están conformados por los números que tienen una parte
real y una parte imaginaria.
a + bi
PARTE REAL PARTE IMAGINARIA
Simbólicamente se tiene:
z b
z abi aZ
Im
Re
Ejemplo:
a) Z = – 4 – 7i b) Z = 8 + 5i
2. AXIOMAS Y TEOREMAS DE LOS NÚMEROS REALES
EL SISTEMA DE LOS NÚMEROS REALES
El sistema de los números reales es el conjunto de los números reales ( R )
con las operaciones de adición (+) y multiplicación (.) y una relación de orden “
< “.
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50
AXIOMAS
AXIOMAS DE IGUALDAD:
a, b, c y d R , se cumplen los axiomas siguientes:
1) AXIOMA DE REFLEXIVIDAD
Todo número real es igual a sí mismo:
a = a
2) AXIOMA DE SIMETRÍA
Si un número es igual a otro, entonces el segundo es igual al primero:
Si a = b b = a
3) AXIOMA DE TRANSITIVIDAD
Si un número es igual a otro, y este otro es igual a un tercero, entonces el
primero es igual al tercero:
Si a = b b = c a = c
4) AXIOMA DE ADICIÓN DE LA IGUALDAD
Si a = b c = d a + c = b + d
5) AXIOMA DE MULTIPLICACIÓN DE LA IGUALDAD
Si a = b c = d a c = b d
6) PRINCIPIO DE SUSTITUCIÓN DE LOS NÚMEROS REALES
Todo número real puede ser reemplazado por su equivalente.
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3. AXIOMAS DE LA ADICIÓN Y LA MULTIPLICACIÓN DE LOS NÚMEROS
REALES
El sistema de los números reales se construye a partir de los axiomas de
la adición y multiplicación.
a, b y c R se cumplen los siguientes axiomas:
PARA LA ADICIÓN
PARA LA MULTIPLICACI N
1. AXIOMAS DE CLAUSURA
( a + b ) R ( a.b ) R
2. AXIOMAS DE CONMUTATIVIDAD
a + b = b + a a.b = b.a
3. AXIOMAS DE ASOCIATIVIDAD
( a + b ) + c = a + ( b + c ) = a + b +
c
( a.b ).c = a. (b.c ) = a.b.c
4. AXIOMAS DE IDENTIDAD O ELEMENTO NEUTRO
a + 0 = 0 + a = a a.1 = 1.a = a
5. AXIOMAS DE INVERSOS
a + ( -a ) = ( -a ) + a = 0 a . a- = a- . a = 1
6. AXIOMAS DE DISTRIBUTIVIDAD
a ( b + c ) = a.b + a.c ; ( b + c ).a = b.a + c.a
4. AXIOMAS DE ORDEN
a, b y c R se cumplen los siguientes axiomas:
1) AXIOMA DE TRICOTOMÍA
Dados a y b R una y solamente una de las siguientes relaciones se
cumple:
a < b ; a = b ; a > b
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52
2) AXIOMA DE TRANSITIVIDAD
Si : a < b b < c a < c
3) AXIOMAS DE MONOTONÍA
CONSISTENCIA ADITIVA
Si : a < b c R a + c < b + c
CONSISTENCIA MULTIPLICATIVA
Si: a < b c > 0 ac < bc
Si: a < b c < 0 ac > bc
5. TEOREMAS
TEOREMAS RELATIVOS A LA IGUALDAD
1) TEOREMA DE IGUALDAD – ADICIÓN
Si: a = b a +c = b + c ; c R
2) TEOREMA DE IGUALDAD MULTIPLICACIÓN
Si: a = b a.c = b.c ; c R
3) TEOREMA DE CANCELACIÓN - ADICIÓN
Si: a + c = b + c a = b
4) TEOREMA DE CANCELACIÓN – MULTIPLICACIÓN
Si: a.c = b.c c 0 a = b
TEOREMAS DE LOS NÚMEROS REALES
1) TEOREMA:
a R, se cumple a.0 = 0
2) TEOREMA:
a R, se cumple -a = (-1) a
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53
COROLARIO:
a.(-b) = - (ab) = (-a) b , a, b R
3) TEOREMA:
- (-a ) = a, a R
4) TEOREMA:
( - a ) ( -b ) = a.b , a, b R
5) TEOREMA:
a R, a 0 se tiene ( a –1 ) – 1 = a
6) TEOREMA:
( ab ) –1 = a –1. b –1, a, b R donde a 0, b 0 , a.b 0
TEOREMAS DE LA RELACIÓN DE ORDEN
1) Si a < c b < d a + b < c + d
2) Si a < b - a > - b
DEFINICIÓN DE SUSTRACCIÓN DE LOS NÚMEROS REALES
a, b R a - b = a + ( - b )
DEFINICIÓN DE DIVISIÓN DE LOS NÚMEROS REALES
., Rba 0b , se tiene:
1. bab
a
.,, Rcyd ba se cumplen los siguientes teoremas:
OTROS TEOREMAS
1) TEOREMA:
acabcba
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54
2) TEOREMA:
bd
ac
d
c
b
a. , 0,0 d b
3) TEOREMA:
xb
xa
b
a
.
. , 0,0 xb
4) TEOREMA:
bcad d
c
b
a , 0,0 d b
5) TEOREMA:
baba
1.
1
.
1 , 0,0 ba
6) TEOREMA:
1.. ba xab x , 0b
7) TEOREMA:
11. abba , 0a
8) TEOREMA:
Si 000. baba
9) TEOREMA:
bd
bcad
d
c
b
a , 0,0 d b
10) TEOREMA:
bd
bcad
d
c
b
a , 0,0 d b
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55
Existen otros teoremas, solamente hemos mencionado aquellos que son
fundamentales y más usuales.
DEMOSTRACIÓN DE TEOREMAS Y OTROS
1) Si: a = b a +c = b + c ; c R
1) ba …………… Por hipótesis
2) cc …………… Axioma de reflexividad
3) cbca …… Axioma de adición de la igualdad
2) Si: a = b a.c = b.c ; c R
1) ba …………. Por hipótesis
2) cc ………….. Axioma de reflexividad
3) bcac ……….. Axioma de multiplicación de la igualdad
3) Si: a.c = b.c c 0 a = b
1) bcac …………………….. Por hipótesis
2) 11 cbccac ………. Teorema: si bcacba
3) 11 .. ccbcca ………… Axioma de asociatividad
4) 1.1. ba …………………… Axioma de inverso multiplicativo
5) ba ………………………. Axioma de neutro multiplicativo
4) a R, se cumple -a = (-1) a
1) a ……………………… Por hipótesis
2) 0 a ………………….. Axioma de neutro aditivo
3) 0.aa ………………… Teorema: 00. a
4)
11 aa …………
Axioma de inverso aditivo
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56
5) 11. aaa ……….. Axioma de distributividad
6) 11. aaa ……… Axioma de asociatividad
7) 1 aaa ……….. Axioma de neutro multiplicativo8) 10 a ………………. Axioma de inverso aditivo
9) 1a ………………….. Axioma de neutro aditivo
10) a1 ………………….. Axioma de conmutatividad
5) a.(-b) = - (ab) , a, b R
1) ba …………………… Por hipótesis
2) ba 1 ………………… Teorema: aa 1
3) ba 1 ………………… Axioma de asociatividad
4) ba1 ………………… Axioma de conmutatividad
5) ab1 ………………… Axioma de asociatividad
6) ab …………………… Teorema: aa 1
6) - (-a ) = a, a R
1) a ………………….. Por hipótesis
2) 0 a ……………… Axioma de neutro aditivo
3) aaa ……. Axioma de inverso aditivo
4) aaa ……. Axioma de conmutatividad
5) aaa 1 …. Teorema: aa 1
6) aaa 1 …. Axioma de asociatividad
7) aaa .11 .. Axioma de neutro multiplicativo
8) aa 11 ……… Axioma de distributividad
9) aa .0 ……………. Axioma de inverso aditivo
10) aa 0. ……………. Axioma de conmutatividad
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57
11) a0 …………………… Teorema 00. a
12) a ……………………….. Axioma de neutro aditivo
7) ( - a ) ( -b ) = a.b , a, b R
1) ba ……………… Por hipótesis
2) ba 1 …………….. Teorema: aa 1
3) ba 1 …………… Axioma de asociatividad
4) ba 1 …………… Axioma de conmutatividad5) ba 1 …………… Axioma de asociatividad
6) ba ……………… Teorema: aa 1
7) ba …………………… Teorema aa
8) ab ……………………… Axioma de asociatividad
8) xb
xa
b
a
.
. , 0,0 xb
1)b
a …………………….. Por hipótesis
2) 1ab …………………. Definición de división
3) 1.. 1ba …………….. Axioma de neutro multiplicativo
4) 11 .. x xba ……….. Axioma de inverso multiplicativo
5) 11 ... x xba ………… Axioma de asociatividad
6) 11. xb xa …………. Axioma de conmutatividad
7) 11. xbax ……….. Axioma de asociatividad
8) 1bxax ………….. Teorema 111 baab
Ejemplos:
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58
Demuestra que 5 – 9 = – 4
1) )9(5 ……………… Por definición de sustracción
2) 915 …………….. Por teorema aa 1
3) 4515 …………….. Por el principio de sustitución
4) 41515 …………….. Por axioma de distributividad
5) 455 …………….. Por teorema aa 1
6) 455 …………….. Por axioma de asociatividad
7) 40 …………….. Por axioma de inverso aditivo
8) – 4 …………….. Por axioma de
identidad aditiva y definición de sustracción
Nro. 01
1) Realiza un gráfico conjuntista considerando todos los conjuntos numéricos.
2) Demuestra los teoremas aplicando los axiomas y/o teoremas.
a) Si: a + c = b + c a = b
b) a R, se cumple a.0 = 0
c) (ab) –1 = a –1. b –1, a, b R donde a 0, b 0 , a.b 0
d) xb
xa
b
a
.
. , 0,0 xb
3) Demuestra las igualdades siguientes aplicando axiomas y teoremas:
a) 12 – 4 = 8 b) 3 – 4 = – 1 c) – 6 – 7 = – 13 d) 7 – 10 = –3
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59
ECUACIONES
6. ECUACIÓN
Una ecuación es una igualdad que sólo se verifica o satisface para
determinados valores de sus incógnitas.
PROPIEDADES
Estas propiedades se conocen con el nombre de teoremas nos servirán para
resolver las ecuaciones.
a) Si a ambo s miem bro s de una igualdad se le sum a una misma cant idad
la igualdad se mant iene.
b) Si en ambos miembros de una igualdad cancelamos una misma
cant idad la igualdad se mant iene.
;: RcbacbcaSi
c) Si a ambo s miembro s de una igualdad lo mu l t ip l icamos por un a
mism a cant idad la igualdad se mant iene.
d) Si en ambos m iembros de una igualdad cancelamo s una mism a
cant idad la igualdad s e mant iene.
0;...: c R c bac bc aSi
Los cuatro teoremas que hemos mencionado no son los únicos para resolver una
ecuación, es necesario aplicar los axiomas de igualdad, los axiomas de adición y
multiplicación de los números reales y otros teoremas.
R c c bc abaSi :
0;..: c R c c bc abaSi
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60
7. ECUACIÓN DE PRIMER GRADO CON UNA INCÓGNITA
Son aquellas ecuaciones que presentan la siguiente forma: 0bax
COMO SE RESUELVE UNA ECUACIÓN DE PRIMER GRADO CON UNA
INCÓGNITA
1.- Se suprimen los signos de agrupación o colección si es que hubiera,
efectuando las operaciones que se presenten.
2.- Se efectúa de tal manera que la variable x quede con signo positivo, ya sea en
el primer miembro o en el segundo miembro. Aplicando las reglas y/o
axiomas.
3.- Las constantes se pasan al miembro donde no está la variable. Aplicando las
reglas ya mencionadas.
4.- Se reducen los términos semejantes y se opera las constantes para luego
despejar la incógnita o variable.
Ejemplo:
Resuelve la ecuación: – 5x – 2 = x – 3
Solución
Pasamos – 5x del primer miembro al segundo miembro como 5x
Pasamos – 3 del segundo miembro al primer miembro como 3
– 2 + 3 = x + 5x
Para resolver x + 5x, se operan los coeficientes 1 y 5, el resultado lleva x,
así: ( 1 + 5 )x = 6x
– 2 +3 = 6xOperamos los números – 2 + 3 del primer miembro 1 = 6x
Como 6 está multiplicando a x en el segundo miembro, pasa al primer
miembro dividiendo
x6
1
Aplicando el axioma de simetría se tiene
61 x
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61
Ejemplo:
Determina el conjunto solución de:2
1
4
31
3
2 x x
Solución
Pasamos x3
2 del primer miembro al segundo miembro como x3
2 y
pasamos2
1del segundo miembro al primer miembro como
2
1
x x3
2
4
3
2
11
Resolviendo2
11 en el primer miembro se tiene
2
3
2
12
21
121
Resolviendo x x3
2
4
3 en el segundo miembro se tiene
Entonces: x12
1
2
3
x debe quedar sólo en el segundo miembro, es decir, debe estar despejado
El número 1 que está multiplicando a x en el segundo miembro pasa al
primer miembro dividiendo
El número 12 que está dividiendo a x en el segundo miembro pasa al
primer miembro multiplicando
x x x x
12
1
12
89
34
2433
3
2
4
3
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62
x12
123
Simplificando y operando se tiene
–18 = x
Aplicando el axioma de simetría
x = – 18
7.SISTEMA DE ECUACIONES
SISTEMA DE ECUACIONES DE PRIMER GRADO CON DOS VARIABLES
Ax + By = C ....................Ecuación (1)
Dx + Ey = F .....................Ecuación (2)
Un sistema de dos ecuaciones de primer grado con dos variables se resuelve
por los métodos: reducción, sustitución, igualación, Cramer, Gauss-Jordan
etc.
Ejemplo:
Resuelve el sistema:
2..............42
1.............1332
y x
y xaplicando los métodos de
reducción y sustitución.
Soluciones
A) MÉTODO DE REDUCCIÓN
Multiplicamos a la ecuación (2) por (-2)
2..............842
1................1332
y x
y x
3
217
y
y
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63
El valor de 3 y , reemplazamos en la ecuación (2)
432
42
x
y x
2
64
46
x
x
x
Respuesta: 2 x ; 3 y
B) MÉTODO DE SUSTITUCIÓN
Despejamos la variable “x” en la ecuación (2)
42 y x
Este resultado reemplazamos en la ecuación (1)
8137
13384
133422
1332
y
y y
y y
y x
3
217
y
y
Reemplazamos el valor de 3 y en (2)
2
46
432
42
x
x
x
y x
Respuesta: 2 x ; 3 y
8. ECUACIÓN DE SEGUNDO GRADO
Toda ecuación que se puede reducir a la forma general:
constantes:c b,a,
incógnita:x0a donde 0c bxax 2
se llama ecuación de segundo grado o ecuación cuadrática.
Para determinar el tipo de solución que tiene una ecuación de segundo grado
se calcula el discriminante acb 42 .
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64
Si > 0 , la ecuación tiene dos raíces reales diferentes.
Si = 0 , la ecuación tiene dos raíces reales iguales.
Si < 0 , la ecuación tiene dos raíces complejas.
Es necesario determinar el discriminante de una ecuación de segundo grado
para determinar qué tipo de raíces tiene, complejas o reales.
RESOLUCIÓN DE UNA ECUACIÓN DE SEGUNDO GRADO
Para resolver una ecuación de segundo grado con una incógnita existen varios
métodos. Toda ecuación de segundo grado con una incógnita tiene dos
soluciones o dos raíces.
A) MÉTODO DEL ASPA
Si calculamos el discriminante de la ecuación de segundo grado y el
resultado es 0 (cero) o es un número que tiene raíz cuadrada exacta,
entonces, se puede resolver por el método del aspa, en caso contrario no
es posible resolver por este método.
Para resolver una ecuación de segundo grado por el método del aspa, se
factoriza el polinomio aplicando el método del aspa simple. Luego, cada
factor se iguala a cero (0), seguidamente se despeja la variable. Los dosresultados obtenidos son el conjunto solución o raíces de la ecuación.
Ejemplo: Resuelve: 01253 2 x x
Solución
01253 2 x x
x3 4
x 3
0343 x x
03043 x x
3
4 x 3 x
B) LA FÓRMULA GENERAL O FÓRMULA CUADRÁTICA
Cuando una ecuación de segundo grado no es posible resolver por el
método del aspa, recurrimos a la fórmula general o fórmula cuadrática. Es
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65
decir cuando se obtiene como discriminante un número diferente de 0
(cero) o cuando este número no tiene raíz cuadrada exacta.
a
acbb x 2
42
Aplicando este método es posible resolver cualquier ecuación de segundo
grado.
Ejemplo:
Resuelve: 21112 2 x x
Solución
021112 2 x x , identificamos los valores: a = 2; b = -11 y
c = - 21, luego reemplazamos en la fórmula general o cuadrática.
22
212411112
x =4
28911=
4
1711
74
28
4
17111
x
2
3
4
6
4
1711
x x
TEOREMA
Si x1 y x2 son las raíces de cualquier ecuación de segundo grado se tiene:
a
b x x
21
a
c x x 21.
C) COMPLETANDO CUADRADOS
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Para resolver por este método, el polinomio de segundo grado se
transforma hasta convertirlo en un trinomio cuadrado perfecto, luego se
despeja la variable “x”.
Ejemplo:
Resuelve: 0202 x x
Solución
0204
1
2
12
x
4
81
2
12
x
4
81
2
1 x
2
1
2
9 x
2
1
2
9 x
2
1
2
9 x
4 x 5 x
9. ECUACIÓN POLINÓMICA
NÚMERO DE RAÍCES DE UN POLINOMIO
TEOREMA FUNDAMENTAL DEL ÁLGEBRA
Todo polinomio P(x) de grado mayor o igual que 1, tiene por lo menos una
raíz, puede ser real o compleja.
Todo polinomio de grado “n” tiene “n” raíces
Pasos:- Se trabaja solamente con los términos
que tienen variable.- El coeficiente del término de segundo
grado debe ser 1. De no ser así,obligatoriamente se tiene que factorizar.
- Se extrae raíz cuadrada de 2 x ,
obteniéndose x .- Se escribe el signo del término con
variable x - Se calcula la mitad del coeficiente del
término con variable x
- Se encierra en paréntesis los resultados
obtenidos en los tres pasos anterioresinmediatos, y se eleva al cuadrado.
- Luego se resta el cuadrado del segundotérmino del binomio elevado al cuadrado.
- Se copia los demás términosnormalmente.
- Se procede a despejar x con las técnicasya conocidas.
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Ejemplo:
Resuelve la ecuación polinómica 01036 23 x x x
Solución
MÉTODO DE LOS DIVISORES BINÓMICOS
Se utiliza para resolver ecuaciones polinómicas que aceptan como
factores a binomios de la forma ax + b, basándose en el principio de la
división algebraica, si el polinomio se anula para x = a, entonces un factor
será (x – a).
Ordenamos en forma decreciente y completamos el polinomio.
Resolvemos como el método de Ruffini, probamos con los divisores del
último término, es decir 10: 10;5;2;1 . En este caso cumple con el
número -2
1 6 3 -10
x = -2 -2 -8 10
1 4 -5 0
Se tiene un nuevo polinomio de menor grado. Se continúa como en el caso
anterior. Pero esta vez con los divisores de 5: 5;1 . Por ser el último
coeficiente.
Ahora cumple con 1. Se continúa:
1 6 3 -10
x =-2 -2 -8 10
1 4 -5 0
x =1 1 5
1 5 0
x = -5 -5
1 0
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68
Los resultados: -2; 1 y – 5 son los valores que toma “x”
Es decir el conjunto solución es 5;1;2
RAÍCES RACIONALES DE UN POLINOMIO
TEOREMA DE GAUSS
Dado un polinomio de grado “n” con coeficientes enteros, para calcular las raíces
racionales se considera como “p” a los divisores del término independiente y
como “q” a los divisores del coeficiente del primer término. Entonces las raíces se
obtienen al dividir p entre q, es decir q
p
x
Ejemplo:
Resuelve la ecuación: 026 2 x x
Solución
A los divisores del último coeficiente “2” llamaremos “p” ( 2;1 ) y a los divisores
del primer coeficiente “6” llamaremos “q” ( 6;3;2;1 ). Con los divisores de “p” y
“q”, se forman las siguientes fracciones:q
p:
3
2;
6
1;
3
1;
2
1
6 1 -2
2
1 x 3 2
3
2 x
6 4 0
- 4
6 0
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Nro. 02
ECUACIÓN DE PRIMER GRADO
Resuelve la ecuación:
1)4
33
2
1 x 2) x x
7
4
8
2
12
13) 3
2
5
7
54
3
2 x x
SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES CON DOS INCOGNITAS
4)35
432
y x
y x5)
42
73
y x
y x 6)
2
625
y x
y x
ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO
Calcula el discriminante de cada una de las ecuaciones de segundo grado,
interpreta que tipo de raíces tendría cada ecuación y calcula las raíces:
7) 0123 2 x x 8) 0122 x x 9) 0632 x x
Calcula los valores de “x” en:
10)32
3
2
1
x
x
x
x11)
3
3
32
2
25
x
x
x
x
Calcula las raíces de las ecuaciones completando cuadrados:
12) 0142 x x 13) 0954 2 x x
14) Calcula el conjunto de valores de k para los que x tome valores reales
en la ecuación xk k x 2132
15) Calcula el conjunto de valores de m para que la siguiente ecuación no
tenga soluciones reales: 05435
2 mmx xm
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70
16) Determina el conjunto de valores de k para que la ecuación 22 kx x
tenga dos raíces, una de las cuales es 1.
ECUACIÓN POLINÓMICA
Calcula las raíces de las ecuaciones:
17) 01243 23 x x x 18) 021176 23 x x x
10. INECUACIONES DE PRIMER GRADO CON UNA VARIABLE
Una inecuación de primer grado con una variable es aquella que tiene una
sola variable (incógnita) con exponente 1.
Estas inecuaciones son de la forma:
0;0
0;0
baxbax
baxbax
PROPIEDADES DE LAS DESIGUALDADES
1) Propiedad Aditiva:
cbcabaSi :
2) Propiedad Cancelativa de la adición:
bacbcaSi :
3) Propiedad Multiplicativa:
bcacb y caSi:
bcacb y caSi:
0
0
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4) Propiedad Cancelativa de la multiplicación:
babc y cacSi:
babc y cacSi:
0
0
Ejemplo:
Resuelve: 3x – 2 4
Solución
– 2 del primer miembro lo pasamos al segundo miembro como 2
3x 4 + 2
3x 6
3 del primer miembro está multiplicando a x, entonces, pasa al segundo
miembro dividiendo
x 3
6
Efectuando
x 2
Respuesta: x 2 ó ;2 x
11. INECUACIONES DE SEGUNDO GRADO
Una inecuación de segundo grado con una incógnita es de la forma:
0
0
0
0
0
2
2
2
2
a
cbxax
cbxax
cbxax
cbxax
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72
RESOLUCIÓN DE INECUACIONES DE SEGUNDO GRADO
Se siguen los siguientes pasos:
a) Se factoriza el polinomio utilizando cualquier método, luego cada factor se
iguala a cero, para luego despejar la variable, obteniendo de esta manera
los puntos críticos. Si se aplica la fórmula general, entonces en forma
directa se obtiene los puntos críticos.
b) Se traza la recta numérica real, en esta se ubican los puntos críticos.
c) Si la desigualdad o inecuación es > ó < , los puntos críticos son abiertos.
d) Si la desigualdad o inecuación es ó , los puntos críticos son cerrados.
e) La recta real ha sido dividida en tres partes o intervalos, empezamos del
lado derecho y anotamos en cada parte o intervalo los signos + y - en
forma ordenada.
f) Si el sentido de la desigualdad es < ó se elige el intervalo que lleva el
signo (-).
g) Si el sentido de la desigualdad es > ó se eligen los intervalos que llevan
el signo (+).
Ejemplo:
Resuelve la inecuación: 062 x x
Solución
Factorizando el polinomio se tiene
023 x x
Se iguala cada factor a cero (0) y se despe ja la variable “x”
3
03
x
x
2
02
x
x
Los valores obtenidos se llaman puntos críticos:
;23;..S C
++ -
-3 2
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73
Nro. 03
Resuelve las siguientes inecuaciones:
1) 1243 x x 2) 162 x x
3) 362 x x 4) x x x 42132
5) 0132 x x 6) 0753 2 x x
7) 0755 2 x x 8) 016 2 x x
12. INECUACIONES POLINÓMICAS
0... 01
1
1 a xa xa xa x P n
n
n
n
0... 01
1
1 a xa xa xa x P n
n
n
n
Una inecuación polinómica se resuelve de acuerdo a la naturaleza de sus
raíces.
Ejemplo:
Determina el conjunto solución de 05132 x x x
Solución
Se calcula los puntos críticos de cada factor, es decir, se iguala cada factor a
cero (0)
3
03
x
x
1
01
x
x
5
05
x
x
Los puntos críticos se ubican en la recta real: si la desigualdad es > ó < son
abiertos y si la desigualdad es ó son cerrados
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74
Se trazan curvas, desde el lado derecho hacia la izquierda, tomando como
referencia para estas los puntos críticos.
El número uno (1) no es considerado para el trazo de la curva porque esta
proviene de un factor que tiene exponente par. Concluimos que cuando el o
los puntos críticos provienen de un factor que tiene exponente par, estos no
se toman en cuenta para el trazo de la curva.
Luego, a partir del lado derecho se codifican con los símbolos + y –
alternando hasta cubrir el último intervalo o curva.
El resultado final puede estar conformado por los intervalos que tienen el
código + o por los intervalos que tienen el código -. Esto depende del sentido
de la desigualdad. Si la desigualdad es:> ó se eligen los intervalos que llevan el código +
< ó se eligen los intervalos que llevan el código –
En nuestro ejemplo el sentido de la desigualdad es , por tanto, elegimos el
intervalo con código –
Pero no debemos olvidar, los puntos críticos que no se tomaron en cuenta
para el trazo de las curvas al final, deben ser evaluados. Si el punto críticoes cerrado se toma en cuenta y si el punto crítico es abierto entonces no se
toma en cuenta.
13;5.. S C
++
-
-5 -3 1
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75
13. INECUACIÓN FRACCIONARIA
0 xQ
x P
0 xQ
x P ; 0 xQ
Ejemplo
Resuelve la inecuación:
03
5427
x
x x
Solución
Se trabaja como en el caso de las inecuaciones polinómicas, pero esta vez,
los puntos críticos que se obtengan del numerador pueden ser abiertos o
cerrados y dependerán de la desigualdad, pero, los puntos críticos que
provienen del denominador siempre serán abiertos.
En nuestro ejemplo los puntos críticos son: 4 x (cerrado), 3 x (abierto)y 5 x (cerrado)
Después de procesar como en el caso anterior se obtienen el siguiente
resultado: ;34;..S C
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76
Nro. 04
Resuelve las siguientes inecuaciones:
1) 0533 x x
2) 0215274 x x x
3) 05126152 x x x
4)
025
532
x x
x x
5)
0
42
13196
x x
x x
14. VALOR ABSOLUTO
Definición:
0:
0:0
0:
:
x si x
x si
x si x
x
PROPIEDADES
1) Raa 0
2) aa
3) Raaa
4) baab
5) 0; bb
a
b
a
6) baba ( desigualdad triangular )
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77
PROPIEDADES PARA RESOLVER ECUACIONES E INECUACIONES
CON VALOR ABSOLUTO
1) 00 aa
2) bababba 0
3) bababa
4) Si 0b , entonces:
i) babba
ii) babba
5) Si 0b , entonces:
i) bababa
ii) bababa
6) i) 2aa
ii)22
aa
Ejemplo
Resuelve: 75 x
Solución
Aplicando la propiedad 2 se tiene
12
75
x
x
2
75
x
x
12;2.. S C
Ejemplo
Resuelve: 732 x
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78
Solución
5
102
732
x
x
x
2
42
372
732
732
x
x
x
x
x
Estos intervalos se llevan a la recta real y el resultado debe ser la intersección
de ambos. Que al final da como resultado: 5;2.. S C
Nro. 05
Determina el valor de “x” en:
1) 723 x 2) 252 x x
3) 3732 x x 4) x x 5462
5) 012 x x 6) 8) 1354 x x
9) 635 x x 10) 762 x
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79
Nro. 02
1) Demuestra aplicando axiomas y teoremas de los números reales:
acabcba
2) Demuestra aplicando axiomas y teoremas de los números reales:
-2 – 3 = - 5
3) Calcula el valor de “x” en: 3753 x x
4) Deter
5) mina el valor de “x” en:
2
3
4
3
2
1
3
1 x x
6) Resuelve el sistema por los métodos de reducción y sustitución:
2............32
1...............53
y x
y x
7) Calcula el discriminante de la ecuación: 02
2
x x
8) Calcula la raíz de la ecuación completando cuadrados
01522 x x
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80
9) Determina el valor de k, para que la ecuación k xk xk 2214 2
tenga raíces iguales
10) Resuelve la inecuación:532 x x
11) Resuelve la inecuación: 0122 x x
12) Resuelve la inecuación: 0412973 x x x
13) Resuelve la inecuación:
0
3
5175
x
x x
14) Resuelve: 132 x x
15) Resuelve: 323 x
SOLUCIONARIO DE LA AUTOEVALUACIÓN Nro.02
1) acabcba
1) cba ………………. Por hipótesis
2) cba …………… Definición de sustracción3) caab …………… Axioma de distributividad
4) acab …………. Teorema abba
5) acab ………………. Definición de sustracción
2) – 2 – 3 = - 5
Demostración
1) 32 …………… Por hipótesis2) 32 ………….. Por definición de sustracción
3) 3121 ………….. Teorema: aa 1
4) 321 ………….. Por axioma de distributividad
5) 51 ………….. Por principio de sustitución
6) 5 ………….. Teorema: aa 1
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81
3) 5373 x x
2
84
84
x
x
x
4) Calculamos el mínimo común múltiplo de los denominadores
122;4;2;3... mcm y multiplicamos a cada término de la ecuación por este
valor
2
3.12
4
3.12
2
1.12
3
1.12 x x
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Simplificamos y operamos
61894
18964
x x
x x
5
24
245
245
x
x
x
5) A) MÉTODO DE REDUCCIÓN:
Multiplicamos a la ecuación (1) por 2
2..............321.............1026
y x y x
1
77
x
x
El valor de 1 x reemplazamos en la ecuación (2) y despejamos la variable
“y”
2
42
133
321
32
y
y
y
y
y x
Respuesta: 1 x ; 2 y
B) MÉTODO DE SUSTITUCIÓN
Para resolver por este método se siguen los pasos mencionados en el
capítulo correspondiente y llegamos al mismo resultado, es decir:Respuesta: 1 x ; 2 y
6) 211 cba
acb 42
21412
81
9
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7) Completando cuadrados:
161
01511
2
2
x
x
161 x
41 x
41 x
Al final se obtienen los siguientes resultados
3
41
x
x;
5
41
x
x
8) Ordenando la ecuación: k xk xk 224 2
0224 2 k xk xk
Los valores de los coeficientes son. 4 k a ; 22 k b y k c
Para que las raíces de una ecuación de segundo grado sean iguales, su
discriminante debe ser cero (0)0
042 acb
044222 k k k
0164484 22 k k k k
2
1
48
k
k
9) 532 x x
8
352
x
x x
8;.. S C
10) Factorizamos el polinomio
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84
034 x x
Calculando los puntos críticos: 4 x y 3 x
Después de graficar se obtiene como resultado: 4;3.. S C 11) 0412
973 x x x
Se calculan los puntos críticos de cada factor
2 x ; 1 x ; 4 x
Se aplica el método gráfico y se llega al siguiente resultado
;41;2..S C
12)
0
3
5175
x
x x
35;1.. S C
13) Resuelve: 132 x x
4;3
2..S C
14) 323 x
RS C ..
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85
6. FIGUEROA G. R. 2 003. Matemática básica I, 5ta. Edición, Editorial América,
Lima - Perú
7. VENERO B. A. 2 002. Matemática básica, SE, Editorial San Marcos, Lima –
Perú
8. LAZARO C. 2 000. Matemática básica, 4ta edición, editorial Moshera, Lima – Perú.
9. ESPINOZA R. E. 2 002. Análisis matemático I, 3ra. Edición, Editorial
servicios gráficos J.J., Lima – Perú.
CRONOGRAMA DE ENTREGA DE ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE – II
UNIDAD
ACTIVIDAD
DE
APRENDIZAJE
FECHA
HOR
A
FORMADEL AL
DIA MES A O DIA MES
A O
1
2
3
4
5
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86
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87
RELACIONES DE R EN R
OBJETIVO GENERAL
Graficar, calcular el dominio y rango de relaciones de R en R
OBJETIVOS ESPECÍFICOS
Definir pares ordenados y resolver problemas sobre igualdad de pares
ordenados
Aplicar las propiedades del producto cartesiano al resolver ejercicios
Construir la gráfica de una relación, determinar su dominio y rango
Determinar el dominio, rango y graficar las relaciones: la recta, la
parábola, la circunferencia, la elipse y la hipérbola Aplicar la distancia entre dos puntos al calcular la pendiente de una
recta
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88
MAPA MENTAL DE RELACIONES DE R EN R
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89
RELACIONES BINARIAS
1. RELACIONES BINARIAS
PAR ORDENADOLlamamos par ordenado a un conjunto ordenado de dos elementos a y b al cual
denotamos por (a;b) , donde “a” es la primera componente y “b” la segunda
componente.
Ejemplos: (2;4) , (- 4;7)
IGUALDAD DE PARES ORDENADOS
Dos pares ordenados (a;b) y (c;d) son iguales si y solo si sus primeras componentes
son iguales: a = c, así como también sus segundas componentes: b = d. es decir:
d bcad ;cb;a
Ejemplo:
Dados los pares ordenados: y x3;14; y x2 calcula los valores de “x” e “y”
Solución
Aplicando el teorema de igualdad de pares ordenados se tiene:
4 y x3
1 y x2
Resolviendo el sistema de ecuaciones se obtiene como resultado
1 y1 x
2. PRODUCTO CARTESIANO
Consideremos dos conjuntos A y B, llamamos producto cartesiano de A y B, al
conjunto formado por todos los pares ordenados (a;b) de tal manera que la primera
componente “a” pertenece al conjunto A y la segunda componente “b” pertenece al
conjunto B.
Se denota:
Bb A AxB/aba; AxB
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90
Ejemplo.
Sean 4,5 B y3 ,2 ,1 A , se tiene: 5;3 ,4;3 ,5;2 ,4 ,2 ,5 ,1 ,4;1 AxB
PROPIEDADES DEL PRODUCTO CARTESIANO1) BxA AxB
2) φ xAφφ Ax
3) AxC AxBC B Ax
4) AxC AxBC B Ax
5) AxC AxBC B Ax
6) BxC Ax xC AxB
7) Si C , BxC AxC B A
8) Si CxD AxB DCyB A
NOTA.- Si los conjuntos A y B son finitos y tienen m y n elementos respectivamente,
entonces el producto cartesiano A x B tiene m x n elementos.
3. RELACIÓN BINARIA
Sean A y B dos conjuntos. Un conjunto R de pares ordenados se llama una relación
de A en B si R es un subconjunto cualquiera de A x B.
R es una relación de A en B R A x B.
Una relación de A en B es también llamada una RELACIÓN BINARIA.
DEFINICIÓN.- Se dice que un conjunto R es una relación en A si R A x A.
Ejemplo:
Si R es una relación en 9 ,3 ,2 A tal que 2 x1 y / AxA y; x R
Entonces 9;9 ,3;9 ,2;9 ,3;3 ,2;3 ,3;2 ,2;2 R
4. DOMINIO Y RANGO DE UNA RELACIÓN
Sea R una relación de A en B; es decir R A x B. Se llama dominio de la relación R
al conjunto de las primeras componentes de los pares ordenados de R. Y se llama
rango de la relación R al conjunto de todas las segundas componentes de los pares
ordenados de R.
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B R y; x / y R Rang
A R y; x / x R Dom
Al conjunto A se le llama conjunto de partida de la relación R y al conjunto B se le
llama conjunto de llegada.
Ejemplo:
Sea 3;5 ,2;4 ,1;4 ,2;3 ,1;3 ,3;2 ,1 ,2 ,1;1 R , se tiene 5 ,4 ,3 ,2 ,1 R Dom y
3,2,1 R Rang .
y
A BR
Dom(R)Rang(R)
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Nro. 01
1) Dados 206 x12 / Z x A y 400 x10 / Z x B2 . ¿Cuántos
elementos tiene A x B?
2) Dadas las relaciones en Z, 3 y2 x / y; x R 2
1 y y x y x / y; x R2 .
Calcula 21 R R .
3) Dado el universo 4 ,3 ,2 ,1U , y las relaciones y x / y; x R1 ,
3 y / y; x R2 y y x / y; x R3 . Calcula 213 R R R
4) Dados los conjuntos, 5 x y par es x / N x B y 6 x ,impar es x / N xC .
Calcula y x BxC y x R /;1 , además determina su dominio y rango
5) Si 6/ x Z x A y 6/ x Z x B . Calcula 9/;2 y x AxB y x R ,
además determina su dominio y rango.
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5. GRÁFICA DE UNA RELACIÓN
Ejemplo:
Bosqueja la gráfica de la relación: 0 y4 x yx / R y; xS 22
Solución
Para graficar vamos a seguir 6 pasos:
1) DETERMINACIÓN DE LAS INTERSECCIONES CON LOS EJES
COORDENADOS
Intersección con el eje “x”
Se resuelve la ecuación 00; x f
Reemplazamos “y” por 0 y despejamos “x”
004 x x0 2
00 x0
0 x
Significa que la curva interseca al eje “x” en el punto 0;0
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Intersección el eje “y”.
Se resuelve la ecuación 0 y;0 f
Reemplazamos “x” por 0 y despejamos “y”.
0 y400 y2
0 y400
0 y
Significa que la curva interseca al eje “y” en el punto 0;0
0 0
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
5
4
3
2
1
-1
-2
-3
-4
-5
X
Y
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2) DETERMINACIÓN DE LA SIMETRÍA DE LA CURVA CON RESPECTO A LOS
EJES Y AL ORIGEN
Simetría con respecto al eje “x” debe cumplir:
y; x f y; x f
y4 x yx y4 x x y22
y4 x yx y4 x yx22
No existe simetría con respecto al eje “x” porque: y; x f y; x f
Simetría con respecto al eje “y” debe cumplir:
y; x f y; x f
y4 x yx y4 x x y 22
y4 x yx y4 x yx 22
No existe simetría con respecto al eje “y” porque y; x f y; x f :
(0;0)
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
5
4
3
2
1
-1
-2
-
-
-
X
Y
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96
Simetría con respecto al origen, debe cumplir:
y; x f y; x f
y4 x yx y4 x x y 22
y4 x yx y4 x yx 22
No existe simetría con respecto al origen porque: y; x f y; x f
3) DETERMINACIÓN DE LA EXTENSIÓN DE LA CURVA
Cálculo del dominio:
Se despeja la variable “y” y se evalúa que valores reales debe tomar “x” de tal
manera que “y” también sea real.
4 x
x y
2
El denominador debe ser diferente de cero, por tanto
2 x
04 x 2
Entonces 2 ,2 R f Dom
Cálculo del rango:
Se despeja la variable “x” y se evalúa, que valores reales puede tomar “y” de tal
manera que “x” también sea real.
y2
y16 11 x
2
El denominador debe ser diferente de cero, por tanto:
0 y
0 y2
Entonces 0 R f Rang
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97
4) DETERMINACIÓN DE LAS ECUACIONES DE LAS ASÍNTOTAS
Asíntotas verticales:
Se obtienen del denominador cuando “y” está despejado.
4 x x y 2
2 x
04 x 2
Las asíntotas son: x = 2 y x = - 2
Asíntotas horizontales
Se obtienen del denominador cuando “x” está despejado:
y
y x
2
1611 2 ; 02 y ; 0 y
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
5
4
3
2
1
-1
-2
-3
-4
-5
X
Y
Y=0
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
5
4
3
2
1
-1
-2
-3
-4
-5
X
YX = - 2 X = 2
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98
5) TABULACIÓN
Se calcula un número suficiente de puntos para obtener una gráfica con mayor
aproximación:
4 x
x y
2
x < -2 -2 < x < 2 x > 2
X - 4 - 3 - 2,5 - 1,5 - 1 0 1 1,5 2,5 3 4
Y - 0,3 - 0,6 - 1,1 0,8 0,3 0 - 0,3 - 0,8 1,1 0,6 0,3
6) MAPEO Y TRAZO DE LA CURVA
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
5
4
3
2
1
-1
-2
-3
-4
-5
X
X = - 2 X = 2
Y=0
Y
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99
Nro. 02
Bosqueja la gráfica de las siguientes relaciones
1) 0 y4 x yx / R y; xS 22
2) 0 x y4 yx / R y; x R222
3) 01 y3 x y / R y; x R
222
4) 0 y4 x4 y x / R y; xT
22222
5) 05 y3 xy / R y; x M 2
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100
6. RELACIONES ESPECIALES
A) LA RECTA
Se define: bax y R y x R /;2
, donde R R Dom y R R Rang
Ejemplo:
Bosqueja la gráfica, calcula el dominio y el rango de la función:
12/; 2 x y R y x R
Solución
Para graficar una recta es suficiente contar con dos puntos, tabulando se tiene:
B) LA PARÁBOLA
Ecuaciones de la parábola:
Forma canónica: 2 x y ; 0;0k ;hV
Forma ordinaria: k h xa y2 ; k ;hV
si 0a la parábola se abre hacia arriba
si 0a , la parábola se abre hacia abajo.
Forma general: 0a;cbxax y 2 , para graficar es necesario completar
cuadrados para llevar a la forma ordinaria.
Ejemplo
x 0 1
y -1 1
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
5
4
3
2
1
-1
-2
-3
-4
-5
X
Y
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101
Construye la gráfica y determina el dominio y rango de: 2 x y
Solución
Tabulando:x … -2 -1 0 1 2 …
y … 4 1 0 1 4 …
;0 f Rang y R f Dom
Ejemplo
Calcula el dominio rango y grafica la función: 232 x y
Su vértice 2;3V
2;RangoyR Dominio
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
5
4
3
2
1
-1
-2
-3
-4
-5
X
Y
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
5
4
3
2
1
-1
-2
-3
-4
-5
X
Y
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102
C) LA CIRCUNFERENCIA
Una circunferencia es el conjunto de todos los puntos y; x P del plano, que
equidistan de un punto fijo k ;hC llamado centro. Al valor de dicha distancia
constante se le llama radio de la circunferencia y se denota por “r”.
22k yh xr
Ecuaciones de la circunferencia:
Forma canónica: 222 r y x ; 0;0C k ;hC ; r = radio
Forma ordinaria: 222r k yh x ; k ;hC ; r = radio
Forma general: 0 F Ey Dx y x22
En general r h;r h R Dom y r k ;r k R Rang
Ejemplo
Construye su gráfica, determina dominio y rango de222
3 y x
Solución
x
y
h
k C(h;k)
P(x;y)
r
X
Y
-3
-3 3
3
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103
3;3 R Rang y3;3 R Dom
Ejemplo
Construye su gráfica, determina dominio y rango de 222 223 y x
Solución
Su centro es 2;3C
6 ;1 R Dom y 0;4 R Rang D) LA ELIPSE
Ecuaciones de la elipse
Forma canónica: 12
2
2
2
b
y
a
x; 0;0C k ;hC ;
a = semieje mayor o menor
b = semieje mayor o menor
Forma ordinaria: 12
2
2
2
b
k ya
h x ; k ;hC ;
a = semieje mayor o menor
b = semieje mayor o menor
Forma general: 022 F Ey Dx By Ax donde B A
Ejemplo:Calcula el dominio, rango y bosqueja la gráfica de 3694/;
222
1 y x R y x R
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
5
4
3
2
1
-1
-2
-3
-4
-5
X
Y
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104
Solución
Se transforma hasta llevar a la forma ordinaria de la elipse
123 2
2
2
2
y x donde a = 3 y b = 2
Graficando:
Dominio: 3;3
Rango: 2;2
E) LA HIPÉRBOLA
Ecuaciones de la hipérbola
Forma canónica: 12
2
2
2
b
y
a
x; 0;0C k ;hC ;
a = semieje mayor o menor
b = semieje mayor o menor
Forma ordinaria:
12
2
2
2
b
k y
a
h x; k ;hC ;
a = semieje mayor o menor
b = semieje mayor o menor
Forma general: 022 F Ey Dx By Ax donde
Ejemplo
Construye su gráfica, determina dominio y rango de:
11
1
2
2/;
2
2
2
2
2 y x R y x R
Y
X
-2
-3 3
2
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105
Solución
121;2 baC
;40; R Dom
R R Rang
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
5
4
3
2
1
-1
-2
-3
-4
-5
X
Y
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106
Nro. 03
Bosqueja su gráfica, determina su dominio y rango de cada una de las siguientes
relaciones:
1) 4 y3 x2 / R y; x R2
2) 02 y5 x2 / R y; x R2
3) 01 y x4 / R y; x R 22
4) 05 y3 x3 / R y; x R 22
5) 04 y4 x2 x / R y; x R222
6) 92 y3 x / R y; x R222
7) 432/;222 y x R y x R
8) 432/;
222
y x R y x R
9)
12
3
1
2/;
2
2
2
2
2 y x R y x R
10)
13
2
2
1/;
2
2
2
2
2 y x R y x R
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107
7. DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS
La distancia entre dos puntos 11 y; x P y
22 y; xQ y que denotamos por Q; P d d ,satisface la siguiente relación pitagórica:
2
12
2
12 y y x xQ; P d d
Ejemplo
Calcula la distancia de 4;3 P a 8;6 Q
224836 Q; P d
PUNTO MEDIO DE UN SEGMENTO.- las coordenadas del punto medio M, dados
los puntos 11 y; x P y 22 y; xQ , está dada por el teorema:
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108
2;
2
2121 y y x x M
Ejemplo:
Dados los puntos 4;1 A y 2;3 B ,. Calcula las coordenadas del punto medio del
segmento AB
Solución
2
24;
2
31 M 1,1 M
8. PENDIENTE DE UNA RECTA
9.
Se llama pendiente de la recta L, al valor de la tangente de su ángulo de inclinación α
y se denota con la letra m:12
12
x x
y yα g tanm
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109
En cualquier ecuación de la recta, si despejamos la variable “y” se obtiene: bmx y
, en este caso el coeficiente de “x”, es decir “m” es la pendiente.
Ejemplo
Dados los puntos 2;1 M y 4;3 N . Calcula la pendiente de la recta que pasa por estos
puntos
Solución
Aplicando el teorema de pendiente de una recta dado dos puntos
2
1
4
2
13
24
m
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110
Nro. 04
1) Calcula la distancia de A a B si A = (-4;7) y B = ( 2;5)
2) Halla las pendientes de las rectas que pasan por los puntos:
a) (-2;3) y (6;1) b) (0;-1) y (4;-2)
3) Una recta L con pendiente negativa pasa por (-1;1) y dista 5 unidades del punto
A = (4;1). Calcula la pendiente y la ecuación de L.
4) Una recta que pasa por el origen corta a las rectas x – y = 3 , Y = 2x +4 en los
puntos A y B respectivamente. Si el origen es punto medio del segmento AB ,
calcula las coordenadas del punto A.
5) Halla la ecuación de la recta que es mediatriz del segmento que une a los puntos
A(7;4) y B(-1;-2)
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111
Nro. 03
1) Dados los conjuntos 12/ x Z x A y 2/ x N x B . Calcula AxB
2) Dados los conjuntos 5/ x Z x M y 41/ x N x N . Calcula
2/;1 y x MxN y x R
3) Bosqueja la gráfica de 02 y2 x2 xy / R y; x N 2
4) Bosqueja la gráfica, calcula el dominio y el rango de: 23/; 2 x y R y x R
5) Bosqueja la gráfica, calcula el dominio y el rango de: 34/; 22 x x y R y x R
6) Bosqueja la gráfica, calcula el dominio y el rango de:
0464/;222 y y x x R y x R
7) Bosqueja la gráfica, calcula el dominio y el rango de:
13
1
2
2/;
2
2
2
2
2 y x R y x R
8) Bosqueja la gráfica, calcula el dominio y el rango de:
13
1
2/;
2
2
2
22 y x
R y x R
9) Dados los puntos 3;1 A y 4;2 B . Calcula la distancia entre ellos
10) Calcula la pendiente de la recta que pasa por los puntos 2;1 M y 5;3 N
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112
SOLUCIONARIO DE LA AUTOEVALUACIÓN Nro. O3
1) Determinando por extensión los dos conjuntos se tiene: 1,0,1 A y 1,0 B .
Luego 1;1,0;1,1;0,0:0,1;1,0;1 AxB
2) Expresando los conjuntos por extensión 4,3,2,1 M y 4,3,2 N
2;21 R ; 21 R Dom y 2¨1 R Rang
3) La gráfica de 02 y2 x2 xy / R y; x N 2
4) Gráfica de 23/; 2 x y R y x R
x 1 2
y 1 4
- 5 - 4 - 3 - 2 - 1 0 1 2 3 4 5
5
4 3
2 1
- 1
- 2 - 3
- 4 - 5
X
Y
- 5 - 4 - 3 - 2 - 1 0 1 2 3 4 5
5
4 3
2 1
- 1
- 2 - 3
- 4 - 5
X
Y
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113
5) 34/; 22 x x y R y x R
Completando cuadrados se tiene la ecuación de la circunferencia en su forma
ordinaria
12 2 x y 1;2 V
R R Dom y ;1 R Rang
6) 0464/;222 y y x x R y x R
Completando cuadrados y llevando a la forma ordinaria de la ecuación de la
circunferencia se tiene
222332 y x
1;5 R Dom y 6;0 R Rang
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
5
4
3
2
1
-1
-2
-3
-4
-5
X
Y
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
5
4
3
2
1
-1
-2
-3
-4
-5
X
Y
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114
7)
1
3
1
2
2/;
2
2
2
2
2 y x R y x R
1;2 C , valores de los semiejes: 2a y 3b
4;0 R Dom y 2;4 R Rang
8)
13
1
2/;
2
2
2
22 y x
R y x R
1;0 C ; 2a ; 3b
;22; R Dom R R Rang
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
5
4
3
2
1
-1
-2
-3
-4
-5
X
Y
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
5
4
3
2
1
-1
-2
-3
-4
-5
X
Y
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115
9) Aplicando el teorema de distancia entre dos puntos
22
3412 ABd
2
11 22
ABd
ABd
10) Aplicando el teorema de pendiente de una recta dado dos puntos
2
3
13
35
m
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116
1. FIGUEROA G. R. 2 003. Matemática básica I, 5ta. Edición, Editorial América, Lima
- Perú
2. VENERO B. A. 2 002. Matemática básica, SE, Editorial San Marcos, Lima – Perú
3. LAZARO C. 2 000. Matemática básica, 4ta edición, editorial Moshera, Lima –
Perú.
4. ESPINOZA R. E. 2 002. Análisis matemático I, 3ra. Edición, Editorial servicios
gráficos J.J., Lima – Perú.
5. LÁZARO M . C. 2 000. Relaciones y funciones de R en R, 4ta. Edición, editorial
Moshera, Lima – Perú.
CRONOGRAMA DE ENTREGA DE ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE – III UNIDAD
ACTIVIDAD
DE
APRENDIZAJ
E
FECHA
HOR
A
FORMADEL AL
DIA MES AÑO DIA ME
S
AÑO
1
2
3
4
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117
FUNCIONES DE R EN R
OBJETIVO GENERAL
Graficar, calcular el dominio y rango de relaciones y funciones de R en R
OBJETIVOS ESPECÍFICOS
Definir una función y calcular el dominio de las funciones: función polinómica,
función raíz de índice par, función raíz de índice impar, función racional,
función logarítmica y función exponencial
Calcular el rango de una función con y sin dominio restringido
Graficar funciones
Graficar y calcular el dominio y rango de las funciones: constante, identidad,
lineal, raíz cuadrada, valor absoluto, cuadrática y polinomial
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MAPA CONCEPTUAL DE FUNCIONES DE R EN R
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119
FUNCIONES
1. FUNCIONES
Uno de los más importantes conceptos de la matemática se refiere a un tipo especial
de relaciones entre los elementos de dos conjuntos A y B, llamadas funciones de A enB.
Una función expresa la idea de una cantidad que depende de otra. Por ejemplo el
área de un círculo depende de la medida de su radio, si se conoce la medida de la
longitud del radio, su área está completamente determinada. Luego decimos que el
área de un círculo es una función de la longi tud de su radio.
INTRODUCCIÓN AL CONCEPTO DE FUNCIÓN
Suponga usted que viaja en un automóvil cuya velocidad promedio es de 40
kilómetros por hora. Entonces, la distancia recorrida se determina por medio del
tiempo que se ha viajado.
distancia = velocidad x tiempo
Simbólicamente, esta relación se puede expresar con la ecuación d = 40t
Donde d es la distancia recorrida en el tiempo t (medido en horas). Para t = 2 horas,
la distancia recorrida es:
D = 40(2) = 80 kilómetros
De manera semejante, para cada valor específico de t 0 la ecuación produce
exactamente un valor para d. Esta correspondencia entre la distancia d y el tiempo t
constituye un ejemplo de una relación que llamaremos func ión. Específicamente,
decimos que la ecuación d = 40t define a d en función de t.
Y decimos que d = 40t define a d en función de t porque a cada elemento de t le
corresponde exactamente un valor de d. Primero, escogemos un valor para t Luego,
hay un valor correspondiente de d, que depende de t; d es la variable dependiente y t
es la variable independiente de la función definida por medio de d = 40t.
DEFINICIÓN DE FUNCIÓN
Una función es una correspondencia entre dos conjuntos, un conjunto de partida y un
conjunto de llegada, tal que a cada valor del dominio le corresponde exactamente un
valor del rango.Una función de A en B es una relación AxB f que hace corresponder a cada
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120
elemento del conjunto A a lo más un elemento y del conjunto B, se denota por
B x f y . Al conjunto A se le llama conjunto de partida y al conjunto B conjunto de
llegada.
2. DOMINIO Y RANGO DE UNA FUNCIÓN
Se llama dominio de una función f al conjunto de todos sus antecedentes (primeras
componentes), y se denota por:
A x f y / B y / A x
A f y; x / B y / A x f dom
Se llama rango o recorrido de la función f al conjunto de las imágenes de todos los
elementos de A, vía f; y se denota Ran(f) ó R f .
3. CÁLCULO DEL DOMINIO DE FUNCIONES USUALES
a) FUNCIONES POLINÓMICAS
Si: 01
2n
2n
1n
1n
n
n aa... xa xa xa x P
; 0an
Es un polinomio de grado “n” con coeficientes racionales.
Dom R x P , es decir, el dominio de cualquier función polinómica es el
conjunto de números reales
Ejemplo:
Calcula el dominio de 2 x x x f 2
Solución
R f Dom
a.
b.
x.
d.
e.
A
.p
.q
.y
.r
.s
B f
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121
b) FUNCIONES CON RAÍCES DE ÍNDICE PAR
Si: 0 xu / R x f Dom Z n; xu x f n2
Ejemplo: Calcula el dominio de x21 x f
Solución
x21 xu como 0 xu entonces 0 x21
resolviendo se tiene2
1 x
2
1; f Dom
c) FUNCIONES CON RAÍCES DE ÍNDICE IMPAR
Si: xu Dom f Dom Z n; xu x f 1n2
Ejemplo: Calcula el dominio de 3 2 5 x x f
Solución
Como el dominio de x f es igual al dominio de xu y 5 x xu 2 este es un
polinomio, entonces su dominio es R.
d) FUNCIONES RACIONALES
Si: polinomios son xQ y x P ; xQ
x P x f
Entonces:
0 xQ / R x ó
0 xQ / R x R f Dom
Ejemplo: Calcula el dominio de la función 9 x
2 x x f
2
Solución
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122
En el numerador, “x” puede tomar cualquier valor real, pero, en el denominador
“x” no puede tomar los valores de -3 y 3.
C.S. 3 ,3 R f Dom
Los diversos casos mencionados no siempre se presentan independientemente,es posible que en algunos ejercicios se presenten combinaciones de estos.
Ejemplo: Determina el dominio de 2
x9
3 x x f
Solución
0 x9 2 , factorizando se tiene 03 x3 x , calculamos los puntos críticos x
= - 3 y x = 3. Luego, obtenemos como resultado 3;3 f Dom
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123
Nro. 01
Determina el dominio de:
1) 5 x4 x3 x f 2
2) 8 x x f
3) 6 x x x f 2
4) 5 x x4 x x f 23
5) 3 2 2 x x7 x f
6) 1 x
x x f
2
2
7) 6 x
x3 x f
8) 5 x
2 x x f
9) 2 x
1 x
x f
2
10) 5 2 4 x x f
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124
4. CÁLCULO DEL RANGO DE UNA FUNCIÓN
Al determinar el rango de una función se presentan dos casos:
CASO 1: (SIN RESTRICCIÓN)Cuando la función está definida en todo su dominio, entonces es suficiente despejar la
variable “x” en términos de “y”= f(x), para luego analizar ¿Qué valores reales toma “y”
de tal manera que “x” también sea real?. Como si se tratará del cálculo del dominio,
pero esta vez, se trabaja con “y”.
Ejemplo: Dada la función 4 x
x2 x f
2 , donde 2 ,2 R f Dom . Calcula el rango
de f .
Solución
Paso 1.- Se despeja la variable “x”.
4 x
x2 y
2
0 x2 y4 y x2
0 y4 x2 y x2
Para despejar la variable “x” aplicamos la fórmula general:
y2
y4 y422 x
2
y
y411 x
2
Paso 2.- Analizamos: , R y R x donde 0 y Luego: 0 R f Rang
Ejemplo:
Calcula el rango de 4 x
x x f
2
2
; 2 ,2 R f Dom
Solución
Despejando “x”: 22 x y4 yx
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125
0 y4 x yx 22
y41 y x2
1 y
y4 x2
1 y
y4 x
Evaluando los valores reales que debe tomar “y” para que “x” también sea real:
01 y
y4
.
Efectuando se obtiene: ;10; f Rang
CASO 2: (CON RESTRICCIÓN)
Cuando el dominio de la función se encuentra restringido. En este caso se pueden
utilizar diversos métodos de resolución.
Ejemplo:
Sea la función R2;1: f , definida por 1 x3 x f . Determina el rango de f .
Solución:
Método 1
Sabemos que 2;1 x ; 1 x3 y
Luego: 2 x1
6 x33 (se multiplicó por 3)
51 x34 (se resto a cada miembro 1)
Luego: 5 y4 ( 1 x3 y )
Como “y” representa al rango, entonces:
5;4 f Rang
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126
Método 2
Despejamos “x” en 1 x3 y
31 y x como 2;1 x
23
1 y1
(el objetivo es despejar “y”)
6 1 y3 (se multiplicó por 3 a cada miembro)
5 y4 (se restó a cada miembro 1)
Luego, como “y” representa al rango se tiene:
5;4 f Rang
Ejemplo: Sea la función R8;2: f , definida por x x4
1 x f
2 . Calcula el rango
de f .
SoluciónCompletando cuadrados se tiene:
12 x4
1 y
2
Método 1
Sabemos que 8;2 x
8 x2
6 2 x4 (se restó a cada miembro 2)
Como uno de los extremos es negativo y el otro es positivo no es posible elevar al
cuadrado ambos miembros directamente. Pero, si es posible si aplicamos la siguiente
propiedad:b x00 xab xa
: R x 0b0a:Si
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127
Luego:
02 x4 6 2 x0
02 x4 6 2 x0
222 02 x4 222 6 2 x0
02 x16 2 36 2 x0
2
0
4
2 x4
2
94
2 x0
2
( se dividió a cada miembro entre 4)
11
4
2 x3
2
814
2 x1
2
(Se resto 1 a cada miembro)
Como 12 x4
1
y
2
ó
14
2 x
y
2
1 y3 8 y1
Reuniendo los dos intervalos se tiene:
8;1 f Rang
Método 2
Se tiene 12 x4
1
y
2
, despejando x:
4 y42 x , sabemos que 8;2 x
Luego.
84 y422
6 4 y44 ( se restó 2 a cada miembro)
Aplicando la propiedad:
04 y44 6 4 y40
04 y44 6 4 y40 (se multiplicó a la primera inecuación por -1)
04 y416 36 4 y40 (se elevó al cuadrado a las inecuaciones)
4 y412 32 y44 (se restó cuatro a cada miembro de las
inecuaciones)
1 y3 8 y1 (se dividió entre 4 a las inecuaciones)
Reuniendo las dos inecuaciones e obtiene: 8;1 f Rang
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Nro. 2
Calcula el rango de cada una de las funciones:
1) 1 x x x f 2
2) 1 x x f 2
3) 1 x21 x4 x f
2
1;2:12 xSi x x f
4) 4;1:4252 xSi x x x f
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5. GRÁFICA DE UNA FUNCIÓN
Para graficar una función se realizan los siguientes pasos:
(Es exactamente igual a la gráfica de una relación)
a) Cálculo del dominio y rango de la función
b) Determinación de las asíntotas, verticales y horizontales.
c) Tabulación, asignar valores a “x” para obtener otros valores en “y”.
d) Mapeo, es ubicar los puntos en el plano cartesiano.
e) Trazo de la curva, unir los puntos mediante curvas.
Ejemplo:
Bosqueja la gráfica de la función:1 x
x y
Solución:
a) Cálcu lo del domin io y rango de la fun ción
Como1 x
x y
, evaluamos que valores reales debe tomar x de tal manera que
y también sea real. Luego: 1 R Dom
Despejamos la variable y
1 y
y x
y1 y x
y x xy
x y xy
Evaluamos que valores reales puede tomar y de tal manera que x también sea
real. Luego: 1 R Rang
b) Determ in ación de las asínto tas
Asíntota vertical, se obtiene de1 x
x y
; 1 x
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130
Asíntota horizontal, se obtiene de1 y
y x
; 1 y
c) Tabulación El dominio 1 R Dom nos sirve para tabular.
1; ;1
x … -4 -3 -2 0 1 2 …
y …
3
4
2
3
2 0
2
1
3
2
…
d) y e) Mapeo y trazo de la cu rva.
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
5
4
3
2
1
-1
-2
-3
-4
-5
X
Y
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Nro. 3
Construye la gráfica de las siguientes funciones:
1) 4 x
2 x x f
2
2) 3 x
x x f
3) x
2 x x f
2
4)
1 x si; x
1 x si; x x f
3
2
5) 1
2
x
x x f
6. FUNCIONES ESPECIALES:
a) FUNCIÓN CONSTANTE
A la función f le llamamos función constante, si su regla de correspondencia es:
c x f , donde c es una constante. Su dominio es R f Dom , su rango es
c f Rang
X
Y
0
c c x f
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b) FUNCIÓN IDENTIDAD
A la función f le llamaremos función identidad, si su regla de correspondencia es: x x f ó x y . Su dominio es R f Dom , su rango es R f Rang .
c) FUNCIÓN LINEAL
A la función f le llamaremos función lineal, si su regla de correspondencia es:
bax x f . Donde a y b son constantes y 0a . También se expresa de la
forma bax y , donde su dominio es R f Dom y su rango es R f Rang .
FUNCIÓN RAÍZ CUADRADA
A la función f, le llamaremos función raíz cuadrada, si su regla de correspondencia
es: x x f ó x y . Donde su dominio es R f Dom , su rango es
;0 f Rang
X
Y
0
x x f
X
Y
0
bax x f
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d) FUNCIÓN VALOR ABSOLUTO
A la función f le llamaremos función valor absoluto, si su regla de correspondencia
es:
0 x; x
0 x; x x:donde , x x f
Donde R f Dom y ;0 f Rang
e) FUNCIÓN CUADRÁTICA
A la función f, le llamaremos función cuadrática, si su regla de correspondencia es:
R x;cbxax x f 2
X
Y
0
x x f
1 4
1
2
X
Y
0
x x f
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k h xa x f 2
abajohaciaabre se parábolalaaSi
arribahaciaabre se parábolalaa si
k hV
0:
0:
,
f) FUNCIÓN POLINOMIAL
Qa; N n; R x;a xa... xa xa x P 01
1n
1n
n
n
Su gráfica es una curva continua
Ejemplo: Bosqueja la grafica de 433 x x x f
Solución:
Tabulando y graficando se tiene:
x - 2 - 1 0 1 2
y 2 6 4 2 6
X
Y
0
k
h
V(h;k)
(0;0)
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
5
4
3
2
1
-1
-2
-3
-4
-5
5
4
3
2
1
-1
-2
-3
-4
-5
X
Y
X
Y
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Nro. 04
Construye su gráfica y determina dominio y rango de las siguientes funciones:
1) 3 x f
2) 4;1 x si 2 x5 x f
3) 12 x x f 4) 2;0 x si 1-2x x f
5) 2 x x f
6) 23 x x f
7) 12 x x f
8) 122
x x f
9) 342 x x x f
10) 222 x x x f
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Nº 04
1) Calcula el dominio de 5373245 x x x x f
2) Calcula el dominio de 4 2 1 x x f
3) Calcula el dominio de 5
2
x
x x f
4) Calcula el dominio de 5
92
x
x x f
5) Calcula el rango de 0132 x y xy
6) Calcula el rango de 32 x x f si 5;3 x
7) Construye la gráfica de la función 3
x
x x f
8) Bosqueja la gráfica de 3 x f
9) Bosqueja la gráfica de 12 x x f
10) Construye la gráfica de 2 x x f
SOLUCIONARIO DE LA AUTOEVALUACIÓN Nro. O4
1) R f Dom
2) 12 x
Factorizando 11 x x
Calculando los puntos críticos 1 x ; 1 x
Aplicando el método gráfico en la resolución de
inecuación se tiene ;11; f Dom
3) 2 R x Dom
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137
4) 5 R x Dom
5) Despejando la variable “x” se tiene3
12
y
y x
3 R f Rang
6) 7;9 x Rang
7) La gráfica de 3
x
x x f es
8) La gráfica de 3 x f es
9) La gráfica de 12 x x f es
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
5
4
3
2
1
-1
-2
-3
-4
-5
X
Y
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
5
4
3
2
1
-1
-2
-3
-4
-5
X
Y
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10) La gráfica de 2 x x f
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
5
4
3
2
1
-1
-2
-3
-4
-5
X
Y
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
5
4
3
2
1
-1
-2
-3
-4
-5
X
Y
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1. FIGUEROA G. R. 2 003. Matemática básica I, 5ta. Edición, Editorial América, Lima
- Perú
2. VENERO B. A. 2 002. Matemática básica, SE, Editorial San Marcos, Lima – Perú
3. LAZARO C. 2 000. Matemática básica, 4ta edición, editorial Moshera, Lima –
Perú.
4. ESPINOZA R. E. 2 002. Análisis matemático I, 3ra. Edición, Editorial servicios
gráficos J.J., Lima – Perú.
5. LÁZARO M. C. 2 000. Relaciones y funciones de R en R, 4ta. Edición, editorial
Moshera, Lima – Perú.
CRONOGRAMA DE ENTREGA DE ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE – IV UNIDAD