Pendahuluan
• Persamaan Differensial adalah gabungan dari fungsi yang tidak diketahui dengan turunannya.
• Kategori Persamaan Differensial : – PD Biasa : Persamaan Differensial yang hanya memiliki satu
variabel bebas. Berdasarkan turunan tertinggi yang dimiliki, PDB
dikategorikan menjadi : • PDB Orde 1 : turunan pertama merupakan turunan tertinggi • PDB Orde 2 : turunan kedua merupakan turunan tertinggi • PDB Orde 3 : turunan ketiga merupakan turunan tertinggi. • Dan seterusnya
– PD Parsial Persamaan Differensial yang memiliki lebih dari satu
variabel bebas.
Pendahuluan
• Contoh Persamaan : 𝑑𝑦
𝑑𝑥= 𝑥 + 𝑦
• Turunan dilambangkan dengan : dy/dx atau f’(x) atau y’, sedangkan fungsi yang tidak diketahui dilambangkan dengan keberadaan variabel terikatnya.
• Pada contoh di atas, maka turunan dilambangkan dengan dy/dx dan fungsi yang tidak diketahui diwakili dengan variabel y.
4
Pendahuluan
22' yxy
Kategorikan : (PD / bukan PD / PDP / PDB ?)
02 2 yyxdx
dy
)2(3)(''' xSinyxCosyy
''1'2'''2 yyy
2
22
2
2
)1()(3y
ux
x
utxSin
t
u
4)(' 2 xxxf
)(;173' 53 tfytty
1. PDB orde 1
2. PDP
3. Bukan PD
4. PDB orde 2
5. PDB orde 3
6. Bukan PD
7. PDP
8. PDB orde 1
yxxyey
u
x
u
6
2
2
2
2
5
Pendahuluan
• Solusi PDB : – solusi analitik : salah satunya dengan teknik integral – solusi numerik : menggunakan metode hampiran.
• Solusi Numerik : mencari nilai fungsi di xr+1, dimana r menunjukkan jumlah
langkah atau iterasi. • Langkah/iterasi memiliki jarak yang sama (h) xr = x0 +rh; r = 0,1,2,…,n
PDB Orde Satu
• Suatu persamaan diferensial biasa orde pertama dengan kondisi awal secara umum dapat dinyatakan dengan notasi matematika
sebagai berikut 𝑑𝑦
𝑑𝑡= 𝑓 𝑡, 𝑦 dengan
𝑦 𝑡0 = 𝑦0
7
PDB Orde Satu
• Bentuk baku PDB orde satu :
• Contoh :
• Metode penyelesaian : – Euler
– Heun
– Runge Kutta
),(')(' yxfyxfdx
dy
yx
yxyyyyy
xy
xy
xyyyxyy
2'1)1(;'2
2
100'1)0(;100'2
Fungsi ode
• Persamaan diferensial biasa tunggal maupun sistem persamaan differensial biasa dapat diselesaikan dengan fungsi ode.
• Sintaks dari fungsi ode adalah 𝑦 = 𝑜𝑑𝑒(metode,y0, t0, t, func) • Dimana
– y0, t0 adalah kondisi awal dari persamaan diferensial. – Argumen input y0 harus berupa sebuah kolom vektor. – Argumen input t adalah vektor untuk menyatakan waktu-waktu
dimana persamaan differensialnya dihitung. – Argumen func adalah fungsi persamaan diferensial dan secara eksplisit
harus mempunyai argumen input t meskipun untuk persamaan diferensial yang bersifat autonomous.
– Argumen metode adalah argumen opsional untuk menyatakan metode yang digunakan dalam perhitungan.
Contoh 1
•𝑑𝑦
𝑑𝑡= −2𝑡𝑦 , 𝑦 0 = 1
• Penyelesaian:
– -->function dy = func(t,y) – --> dy = -2*t*y – -->endfunction – -->y0 = 1; – -->t = linspace(0,2,200); – -->y = ode(y0,0,t,func); – -->plot2d(t,y,style=2) – -->xtitle('','t','y')
Contoh 2
•𝑑𝑦1
𝑑𝑡= 2𝑦1 − 4𝑦2, 𝑦1 0 = 3
•𝑑𝑦2
𝑑𝑡= 𝑦1 − 3𝑦2, 𝑦2 0 = 0
• Penyelesaian: – -->function ydot = f(t,y) – --> ydot(1) = 2*y(1) - 4*y(2) – --> ydot(2) = y(1) - 3*y(2) – -->endfunction – -->y0 = [3; 0]; // Nilai awal – -->t = linspace(0,1,500); – -->y = ode('adams',y0,0,t,f); – -->plot2d(y(1,:),y(2,:),style=5) – -->xtitle('','y1','y2')
Contoh 3
• Persamaan diferensial orde kedua
•𝑑2𝑦
𝑑𝑥2 +𝑑𝑦
𝑑𝑥− 2𝑦 = 0, 𝑦 0 = 4,
𝑑𝑦
𝑑𝑥0 = −5
• Penyelesaian: • Agar sebuah persamaan diferensial orde-n dapat
diselesaikan dengan fungsi ode maka persamaan diferensial tersebut harus dinyatakan ke dalam sistem persamaan diferensial orde pertama yang ekuivalen.
• Misal 𝑦1 = 𝑦 dan y2 =dy
dx
•𝑑𝑦1
𝑑𝑥= 𝑦2 dan
𝑑𝑦2
𝑑𝑥= 2𝑦1 − 𝑦2
• Kondisi awal dapat dinyatakan dengan persamaan y1(0)=4 dan y2(0)=-5 – -->function dy = f_ode2(t,y)
– --> dy = [y(2); 2*y(1) - y(2)]
– -->endfunction
– -->y0 = [4; -5];
– -->x = linspace(0,2,500)';
– -->y = ode(y0,0,x,f_ode2);
– -->plot2d(x,y(1,:)',style=2), xtitle('','x','y')
Contoh 4
• Anggap ketika meluncur ke bawah seorang penerjun payung diasumsikan mendapatkan tahanan udara yang sebanding kuadrat dari kecepatannya maka kecepatannya dapat dinyatakan dalam persamaan diferensial sebagai berikut:
𝑑𝑦
𝑑𝑡= −
𝑏
𝑚(𝑣2 −
𝑚𝑔
𝑏)
• dimana v adalah kecepatan penerjun payung (m/s), m adalah massa penerjun payung (kg), g adalah percepatan gravitasi dan b adalah koefisien tahanan udara. Apabila diketahui m = 72.7 kg, g = 9.80 m/s2 dan b = 30 kg/m. Selesaikan persaman diferensial tersebut dan gambar laju dari penerjun payung sesaat setelah melompat sampai dua detik berikutnya ?
– -->g = 9.80; // percepatan gravitas (m/s^2) – -->m = 72.7; // massa penerjun payung – -->b = 30; // konstanta tahanan udara – -->v0 = 10; // kecepatan awal – -->function vdot = fode(t,v,m,g,b) – --> k = m*g/b – --> vdot = -b/m*(v^2 - k) – -->endfunction – -->t = linspace(0,2,500)'; – -->v = ode(v0,0,t,fode); – -->v($-4:$) ans = 4.874411 4.8743926 4.8743745 4.8743567 4.8743391 – -->plot2d(t,v,style=5) – -->xtitle('Model kecepatan penerjun payung','Waktu (s)','Kecepatan (m/s)')
Dari output di atas, diperoleh bahwa kecepatan akhir dari penerjun payung adalah sekitar 4.874 m/s.