Download - Pertemuan 14 Dan 15 General Invers
-
7/26/2019 Pertemuan 14 Dan 15 General Invers
1/23
Page 1
GENERAL
INVERS
-
7/26/2019 Pertemuan 14 Dan 15 General Invers
2/23
Page 2
PENDAHULUAN
Jika Anxnadalah matriks nonsingular
d!t!rminan A " #$% maka solusi SPL
&!rikut !xist dan unik'
Ax ( g
Solusi )!rsamaan' x ( A*+g
Jika A tidak &u,ursangkar% atau&u,ursangkar ta)i singular maka solusin-a
&isa di.ari m!nggunakan Generaldan
ConditionalIn/!rs0
-
7/26/2019 Pertemuan 14 Dan 15 General Invers
3/23
Page 3
d!1inisi
2isal A adalah matriks mxn0 Jika matriks A*
ada dan m!m!nuhi 3 kondisi &!rikut% maka A
dis!&ut GENERAL INVERS dari A'
+0 AA*sim!tris
40 A*A sim!tris
50 AA*A ( A
30 A*
AA*
( A
P!rsamaan +$
-
7/26/2019 Pertemuan 14 Dan 15 General Invers
4/23
Page 4
6!or!ma+0 Jika g*in/!rs matriks A &!rukuran mxn
ada% maka ordo7ukurann-a adalah nxm0
40 Jika A adalah matriks nol &!rukuran
mxn% maka A*adalah matriks nol
&!rukuran nxm0
50 Untuk s!tia) matriks A t!rda)at A*-ang
m!m!nuhi )!rsamaan +$8 s!hingga
tia) matriks m!m)un-ai g*in/!rs0
-
7/26/2019 Pertemuan 14 Dan 15 General Invers
5/23
Page 5
6!or!ma30 Untuk s!tia) matriks A t!rda)at matriks A*
-g unik -g m!m!nuhi +$% s!hingga tia)matriks A m!miliki g*in/!rs -g unik
90 A6$*( A*$6
:0 A*$*( A
;0 Rank dari g*in/!rs A sama d!ngan rank A
-
7/26/2019 Pertemuan 14 Dan 15 General Invers
6/23
Page 6
6!or!ma
=0 Untuk s!m&arang matriks A%AA*$*( AA* dan A*A$*( A*A
+#0 2isaln-a P adalah matriks ortogonal
ordo mxm% > adalah matriks ortogonalordo nxn dan A adalah matriks mxn%maka
PA>$*( >6A*P6
++0 Jika A adalah matriks sim!tris% maka g*in/!rs matriks A ,uga sim!tris8s!hingga ,ika A ( A6maka A*( A*$6
-
7/26/2019 Pertemuan 14 Dan 15 General Invers
7/23Page 7
6!or!ma
+40Jika A ( A6maka AA*( A*A
+50 Jika A adalah matriks nonsingular%
maka A*+
( A*
+30 Jika A adalah matriks Id!m)ot!nt
-ang sim!tris maka A*( A8
S!hingga ,ika A ( A6dan A ( A4%maka A*( A
-
7/26/2019 Pertemuan 14 Dan 15 General Invers
8/23
Page 8
6!or!ma
+90 2isal D adalah matriks diagonalukuran nxn d!ngan !l!m!n dii% i (
+%4%5% 00n0 G*in/!rs matriks D adalah
matriks diagonal d!ngan !l!m!n
diagonal dari D*
sama d!ngan dii*+
,ika dii"#% dan sama d!ngan nol ,ika
dii(#0
?ontoh'
=
=
100
010
00
,
100
010
003 31
DmakaD
-
7/26/2019 Pertemuan 14 Dan 15 General Invers
9/23
Page 9
6!or!ma
+:0 Jika A adalah matriks d!ngan rank mmaka A*( A6AA6$*+dan AA*( I0 Jika
rank A adalah n maka A*( A6A$*+A6
dan A*A ( I0
+;0 2atriks AA*% A*A% I*AA*dan I*A*A
adalah id!m)ot!nt sim!tris0
+
-
7/26/2019 Pertemuan 14 Dan 15 General Invers
10/23
Page 10
SIS6E2 PERSA2AAN
LINEAR
Sist!m )!rsamaan lin!ar Ax( g
adalah konsist!n ,ika dan han-a ,ika'
AA*g ( g
Jika )!rsamaan lin!ar Ax( g
m!m)un-ai solusi% maka untuk tia)
/!ktor h ordo nx+% solusi untuk /!ktor
xadalah'
x( A*gB I C A*A$ h
-
7/26/2019 Pertemuan 14 Dan 15 General Invers
11/23
Page 11
GENERAL INVERS
2A6RIS HUSUS
-
7/26/2019 Pertemuan 14 Dan 15 General Invers
12/23
Page 12
6ERE2A
+0 Jika . adalah skalar -ang tidak nol%maka .A$*( +7.$A*
40 Jika A ( A+BA4BFBAtdan AiA,6( # dan
A,Ai ( # untuk s!mua I%, ( +%4%Ft% i",%maka A*(A+*BA4*BFAt*
50 Jika A adalah s!m&arang matriks nxm%
misal adalah matriks mxm -angnonsingular% dan misaln-a @(A0 2aka
@@*( AA*
-
7/26/2019 Pertemuan 14 Dan 15 General Invers
13/23
Page 13
6ERE2A
30 Jika A6A ( AA6maka A*A ( AA*dan An$*( A*$nuntuk n &ilangan &ulat )ositi1
90 Jika A ( @ x ?% maka
A*( @* x ?*%A*A ( @*@ x ?*?% dan
AA*( @@*x ??*
@ x ? dis!&ut kron!.k!r )rodu.t dari A dan @
:0 Jika
=
=
CC
BBAAdan
CC
BBA
0
0,
0
0
=
=
C
BAmaka
C
BA
0
0,
0
0
-
7/26/2019 Pertemuan 14 Dan 15 General Invers
14/23
Page 14
6ERE2A
;0 Jika a adalah /!ktor tidak nol% maka a*(
a6a$*+a6
-
7/26/2019 Pertemuan 14 Dan 15 General Invers
15/23
Page 15
2ENGHI6UNG
GENERALINVERS
-
7/26/2019 Pertemuan 14 Dan 15 General Invers
16/23
Page 16
A6A non singular d!t " #$
* 2atriks A tidak harus &u,ursangkar* @aris matriks A l!&ih &!sar dari kolom A
* A 1ull rank
* A*( A6A$*+0A6
?ontoh'
2)(,
11
54
12
=
= ArA
=
151
142.
11
54
12
151
142
1
A
-
7/26/2019 Pertemuan 14 Dan 15 General Invers
17/23
Page 17
A6A non singular d!t " #$
* @aris matriks A l!&ih k!.il dari kolom A* A 1ull rank
* A*( A6AA6$*+
* ?ontoh'
1
11
54
12
151142
11
54
12
=A
=151142A
-
7/26/2019 Pertemuan 14 Dan 15 General Invers
18/23
Page 18
Jika A6A$*+singular
Salah satu m!tod! )!n-!l!saianm!nggunakan kron!.k!r )rodu.t'
2isal
=42
21
21
A
[ ] [ ]
=
2
1
1
2121
2
1
1
atau
CBA =
-
7/26/2019 Pertemuan 14 Dan 15 General Invers
19/23
Page 19
Jika A6A$*+singular
[ ]211)(
2
1
1
6
11
==
=
TTBBBB
BJika
[ ]
==
=
2
1)(
21
511TT CCCC
CJika
= CBA
[ ]
=
=
422
211
2
1211
301
51
61A
-
7/26/2019 Pertemuan 14 Dan 15 General Invers
20/23
Page 20
2!tod! P!nros!
Jika A adalah matriks mxn d!ngan
rank r% maka g*in/!rs dari A da)at
dihitung s&&0'
+0 Hitung @ ( A6A
40 ?+( I
50 ?iB+( I+7i$tr?i@$ C ?i@% untuki(+%4%00r*+
30 A* ( r?rA67tr?r@$
-
7/26/2019 Pertemuan 14 Dan 15 General Invers
21/23
Page 21
Soal Latihan
+0 Hitung g*in/!rs!% dimana
=
2
5
1
3
1
a
=
11
11A
=
51
6012
25
3311
A
=
42
105
63
21
42
A
-
7/26/2019 Pertemuan 14 Dan 15 General Invers
22/23
Page 22
Soal Latihan40 S!l!saikan )!rsamaan &!rikut d!ngan
G!n!ral In/!rs'
=
26
10
8765
4321. xa
=
87
33
21
517224
0791
5342
. xb
=
2
2
22
1111
1111
11111111
4
1. xc
-
7/26/2019 Pertemuan 14 Dan 15 General Invers
23/23
Page 23
Soal Latihan50 S!l!saikan )!rsamaan &!rikut d!ngan
G!n!ral In/!rs'
30 Hitung g!n!ral in/!rs &!rikut
=
1
20
19
311
265
154
x
111222
321642
222111642321
000111
000321