Download - Pertemuan 6 Sm 1
-
7/22/2019 Pertemuan 6 Sm 1
1/27
POLITEKNIK HARAPAN BERSAMA
MATEMATIKA 1
-
7/22/2019 Pertemuan 6 Sm 1
2/27
POLITEKNIK HARAPAN BERSAMA
RekursiAda kalanya kita mengalami kesulitan untukmendefinisikan suatu obyek secara eksplisit.
Mungkin lebih mudah untuk mendefinisikan obyektersebut dengan
menggunakan dirinya sendiri. Inidinamakan sebagai proses rekursif.
Kita dapat mendefinikan barisan, fungsidanhimpunansecara rekursif.
-
7/22/2019 Pertemuan 6 Sm 1
3/27
POLITEKNIK HARAPAN BERSAMA
Barisan yang didefinisikan secara rekursif
Contoh:
Barisan bilangan pangkat dari 2
an= 2nuntuk n = 0, 1, 2, .
Barisan ini dapat didefinisikan secara rekursif:
a0= 1
an+1= 2an untuk n = 0, 1, 2,
Langkah-langkah untuk mendefinisikan barisan secara rekursif:
1. Langkah basis: Spesifikasi anggota awal.
2. Langkah rekursif: Berikan aturan untuk membangun anggota barudari anggota yang telah ada.
-
7/22/2019 Pertemuan 6 Sm 1
4/27
POLITEKNIK HARAPAN BERSAMA
Berikan definisi rekursif dari an
=rn, dengan rN,
r0 dan n bilangan bulat positif.
Solusi:Definisikan a0=r
0=1
dan an+1=r. an untuk n = 0, 1, 2,
Contoh barisan yang didefinisikansecara rekursif
-
7/22/2019 Pertemuan 6 Sm 1
5/27
POLITEKNIK HARAPAN BERSAMA
Fungsi yang didefinisikan
secara rekursifLangkah-langkah untuk mendefinisikan fungsi dengan
domain bilangan cacah:
1. Langkah basis: Definisikan nilai fungsi pada saat nol.
2. Langkah rekursif: Berikan aturan untuk mencarinilai fungsi untuk setiap bilangan bulat berdasarkannilai fungsi pada bilangan bulat yang lebih kecil.
Definisi seperti itu disebut rekursifatau definisi
induktif.
-
7/22/2019 Pertemuan 6 Sm 1
6/27
POLITEKNIK HARAPAN BERSAMA
f(0) = 3
f(n + 1) = 2f(n) + 3
Maka
f(0) = 3
f(1) = 2f(0) + 3 = 23 + 3 = 9
f(2) = 2f(1) + 3 = 29 + 3 = 21
f(3) = 2f(2) + 3 = 221 + 3 = 45
f(4) = 2f(3) + 3 = 245 + 3 = 93
Contoh fungsi yang didefinisikansecara rekursi
-
7/22/2019 Pertemuan 6 Sm 1
7/27
POLITEKNIK HARAPAN BERSAMA
Fungsi Rekursif
Fungsi yang berisi definisi dirinya sendiri
Fungsi yang memanggil dirinya sendiri
Prosesnya terjadi secara berulang-ulang
Yang perlu diperhatikan adalah stopping role
-
7/22/2019 Pertemuan 6 Sm 1
8/27
POLITEKNIK HARAPAN BERSAMA
Bagaimana kita dapat mendefinisikan fungsifaktorial f(n) = n! secara rekursif?
f(0) = 1
Karena (n+1)! = n! (n+1) maka
f(n + 1) = (n + 1)f(n)
f(0) = 1f(1) = 1 f(0) = 1 1 = 1
f(2) = 2 f(1) = 2 1 = 2
f(3) = 3 f(2) = 3 2 = 6
f(4) = 4 f(3) = 4 6 = 24
Contoh fungsi yang didefinisikansecara rekursif (2)
-
7/22/2019 Pertemuan 6 Sm 1
9/27
POLITEKNIK HARAPAN BERSAMA
Contoh fungsi yang didefinisikan
secara rekursif (3)
Bagaimana kita dapat
mendefinisikan fungsi
secara rekursif?
n
k
kanf0
)(
-
7/22/2019 Pertemuan 6 Sm 1
10/27
POLITEKNIK HARAPAN BERSAMA
Fibonacci Sepasang kelinci yang baru lahir (jantan dan
betina) ditempatkan pada suatu pembiakan.
Setelah dua bulan pasangn kelinci tersebutmelahirkan sepasang kelinci kembar (jantandan betina). Setiap pasangan kelinci yanglahir juga akan melahirkan sepasang kelinci
juga setiap 2 bulan. Berapa pasangan kelinciyang ada pada akhir bulan ke-12?
-
7/22/2019 Pertemuan 6 Sm 1
11/27
POLITEKNIK HARAPAN BERSAMA
Fibo (2)
-
7/22/2019 Pertemuan 6 Sm 1
12/27
POLITEKNIK HARAPAN BERSAMA
Fibo (3)
Deret Fibonacci adalah suatu deret
matematika yang berasal dari penjumlahandua bilangan sebelumnya.
1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21,
-
7/22/2019 Pertemuan 6 Sm 1
13/27
POLITEKNIK HARAPAN BERSAMA
Contoh terkenal: Bilangan Fibonacci
f0= 0, f1= 1
fn= fn-1+ fn-2, n=2,3,4,f0= 0
f1= 1
f2= f1+ f0= 1 + 0 = 1
f3= f2+ f1= 1 + 1 = 2
f4= f3+ f2= 2 + 1 = 3
f5= f4+ f3= 3 + 2 = 5f6= f5+ f4= 5 + 3 = 8
Tunjukkan bahwa untuk n 3,
fn < ndengan= (1+5)/2.
-
7/22/2019 Pertemuan 6 Sm 1
14/27
POLITEKNIK HARAPAN BERSAMA
Himpunan yang
didefinisikan secara rekursif
Langkah-langkah dalam mendefinisikan suatu
himpunan secara rekursif:
1.Langkah basis:
Spesifikasi koleksi awal dari anggota
2.Langkah rekursif:Mendefinisikan aturan konstruksi anggota
baru dari anggota yang telah diketahui
-
7/22/2019 Pertemuan 6 Sm 1
15/27
POLITEKNIK HARAPAN BERSAMA
Contoh himpunan yang didefinisikan secara
rekursif
Misalkan S didefinisikan secara rekursif oleh:
3 S
(x+y) S jika x S dan y S
Maka S adalah himpunan bilangan bulat positif yang habisdibagi 3.
Bukti:
Misalkan A himpunan yang beranggotakan semua bilanganbulat positif yang habis dibagi 3.
Untuk membuktikan bahwa A = S, harus ditunjukkan
A S and S A.
Bagian I:Akan dibuktikan A S, yaitu menunjukkan bahwa
setiap bilangan bulat positif yang habis dibagi 3 ada di S(dengan menggunakan induksi matematika).
-
7/22/2019 Pertemuan 6 Sm 1
16/27
POLITEKNIK HARAPAN BERSAMA
Misalkan P(n): proposisi 3n anggota S.
1. Langkah basis:P(1) benar, karena 3 S.
2. Langkah induktif:
Asumsikan P(k) benar, yaitu 3k S.
Akan ditunjukkan P(k+1) juga benar, yaitu
3(k+1) S
Karena 3k Sdan 3 S, berdasarkan definisi rekursif dariS, 3k+3 = 3(k+1) juga ada di S.
3. Konklusi:
Jadi, setiap bilangan bulat positif yang habis dibagi 3 ada di S.
Kesimpulan dari bagian Iadalah A S.
Contoh himpunan yang didefinisikan secara
rekursif (2)
-
7/22/2019 Pertemuan 6 Sm 1
17/27
POLITEKNIK HARAPAN BERSAMA
Contoh perluasan rekursiMisalkan didefinisikan
secara rekursif untuk (m,n)N x
N olehdan
nma
,
0jika,
0dan0jika,1
1,
,1
, nna
mnaa
nm
nm
nm
Tunjukkan bahwa
untuk setiap (m,n)N x N.
00,0 a
2/)1(, nnma nm
-
7/22/2019 Pertemuan 6 Sm 1
18/27
POLITEKNIK HARAPAN BERSAMA
Problems Faktorial
5! = 5 x 4 x 3 x 2 x 1
4! = 4 x 3 x 2 x 1
Berarti 5! = 5 x 4!
Metode Iteratif
Salah satu cara untuk menghitung adalah denganmenggunakan loop, yang mengalikan masing-masing bilangandengan hasil sebelumnya. Penyelesaian dengan cara ini
dinamakan iteratif, yang mana secara umum dapatdidefinisikan sebagai berikut:
n! = (n)(n-1)(n-2) (1)
-
7/22/2019 Pertemuan 6 Sm 1
19/27
POLITEKNIK HARAPAN BERSAMA
Faktorial RekursifMetode Rekursif
Cara lain untuk menyelesaikan permasalahan di atas
adalah dengan cara rekursi, dimana n! adalah hasil
kali dari n dengan (n-1)!. Untuk menyelesaikan (n-1)! adalah sama dengan n!,
sehingga (n-1)! adalah n-1 dikalikan dengan (n-2)!,
dan (n-2)! adalah n-2dikalikan dengan (n-3)! dan
seterusnya sampai dengan n = 1, kita menghentikan
penghitungan n!
-
7/22/2019 Pertemuan 6 Sm 1
20/27
POLITEKNIK HARAPAN BERSAMA
FPB (Faktor Persekutuan Terbesar)
Misal FPB 228 dan 90: 228/90 = 2 sisa 48
90/48 = 1 sisa 42
48/42 = 1 sisa 6
42/6 = 7 sisa 0
FPB adalah hasil terakhir sebelum sisa = 0 adalah 6
-
7/22/2019 Pertemuan 6 Sm 1
21/27
POLITEKNIK HARAPAN BERSAMA
Ilustrasi FPB rekursif
FPB(228,90) m>n
FPB(48,90) mn
FPB(42,48) mn
FPB(6,42) mn
FPB(0,6) m=0
-
7/22/2019 Pertemuan 6 Sm 1
22/27
POLITEKNIK HARAPAN BERSAMA
Legenda Menara Hanoi
(oleh Edouard Lucas abad 19) Seorang biarawan memiliki 3 menara.
Diharuskan memindahkan 64 piringan emas.
Diameter piringan tersebut tersusun dari ukuran kecil ke besar.
Biarawan berusaha memindahkan semua piringan dari menara
pertama ke menara ketiga tetapi harus melalui menara keduasebagai menara tampungan.
Kondisi: Piringan tersebut hanya bisa dipindahkan satu-satu.
Piringan yang besar tidak bisa diletakkan di atas piringan yang lebihkecil.
Ternyata : mungkin akan memakan waktu sangat lama (sampaidunia kiamat).
Secara teori, diperlukan 264-1 perpindahan. Jika kita salahmemindahkan, maka jumlah perpindahan akan lebih banyak lagi.
Jika satu perpindahan butuh 1 detik, maka total waktu yangdibutuhkan lebih dari 500 juta tahun !!.
-
7/22/2019 Pertemuan 6 Sm 1
23/27
POLITEKNIK HARAPAN BERSAMA
Tower of Hanoi
-
7/22/2019 Pertemuan 6 Sm 1
24/27
POLITEKNIK HARAPAN BERSAMA
Tower of Hanoi
Algoritma:
Jika n==1, pindahkan pringan dari A ke C Jika tidak:
Pindahkan n-1 piringan dari A ke B menggunakan C
sebagai tampungan
Pindahkan n-1 piringan dari B ke C menggunakan Asebagai tampungan
-
7/22/2019 Pertemuan 6 Sm 1
25/27
POLITEKNIK HARAPAN BERSAMA
Ilustrasi Tower of Hanoi
-
7/22/2019 Pertemuan 6 Sm 1
26/27
POLITEKNIK HARAPAN BERSAMA
Proses Kerja
-
7/22/2019 Pertemuan 6 Sm 1
27/27
POLITEKNIK HARAPAN BERSAMA
27
Soal latihan
Tentukan rumus (formula) rekursif barisan0, 3, 8, 15, 24,
Jika 2 merupakan faktor dari ,buktikan bahwa 2 juga merupakan faktordari
.
nn 2
)1()1( 2 nn
1.
2.