DIMENSI FRAKTAL HIMPUNAN JULIA
SKRIPSI
Diajukan untuk Memenuhi Salah Satu Syarat Memperoleh Gelar Sarjana Sains
Program Studi Matematika
Oleh: Titik Murwani
NIM: 063114002
PROGRAM STUDI MATEMATIKA JURUSAN MATEMATIKA FAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGI
UNIVERSITAS SANATA DHARMA YOGYAKARTA
2011
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
ii
FRACTAL DIMENSION OF JULIA SETS
THESIS
Presented as Partial Fulfillment of the Requirements To Obtain the Sarjana Sains Degree
In Mathematics
By : Titik Murwani
Student Number: 063114002
MATHEMATICS STUDY PROGRAM MATHEMATICS DEPARTMENT
SCIENCE AND TECHNOLOGY FACULTY SANATA DHARMA UNIVERSITY
YOGYAKARTA 2011
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
v
HALAMAN PERSEMBAHAN
Jika Anda menerima Tuhan, Anda harus memahami bahwa Dia ada dalam semua yang kita lakukan.
dalam semua relasi, dalam semua tantangan, dalam semua rintangan.
Kerja menjadi sebuah ibadah jika dilakukan bersamaNya di pikiran kita.
(Vijay Eswaran)
Semuanya kupersembahakan untuk Bapak dan Ibu Marto Wiyono Orang tuaku dan saudaraku
dan juga Dia
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
vii
ABSTRAK
Dimensi fraktal memberikan kemungkinan untuk mengukur kompleksitas suatu
fraktal. Dua metode yang umum digunakan untuk menghitung dimensi fraktal adalah
dimensi Hausdorff dan dimensi hitung kotak. Ciri umum dari dua dimensi tersebut
adalah tidak harus bilangan bulat. Dimensi Hausdorff dan dimensi kotak dari
himpunan Julia dihitung dengan menggunakan konsep similaritas fungsi teriterasi.
Himpunan Julia dibangun dari fungsi kompleks kuadratik, yaitu 푓 :ℂ → ℂ, dengan
푓 (푧) = 푧 + 푐 dan 푐 adalah bilangan kompleks. Himpunan Julia penuh 퐾(푓 ) adalah
himpunan titik-titik di ℂ yang memiliki orbit yang terbatas terhadap 푓 . Himpunan
Julia 퐽(푓 ) adalah batas dari himpunan Julia penuh 퐾(푓 ). Beberapa sifat dari sistem
fungsi teriterasi akan digunakan untuk menunjukkan bahwa dimensi Hausdorff dan
dimensi hitung kotak dari himpunan Julia adalah sama.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
viii
ABSTRACT
Fractal dimension provides the possibility to measure complexity of fractal geometry.
Two methods commonly used to calculate dimension are Hausdorff dimension and
box counting dimension. The common feature of these dimensions is that they need
not be integer. The Hausdorff and box counting dimension of Julia set is calculated
using the self-similarity concept of iterated function. The Julia sets are generated
from the quadratic complex function, i.e 푓 :ℂ → ℂ, where 푓 (푧) = 푧 + 푐 and 푐 is a
complex number. The filled Julia set 퐾(푓 ) is the collection of points in ℂ whose
orbits with respect to 푓 are bounded. The Julia set 퐽(푓 ) is the boundary of 퐾(푓 ).
Some properties of the iterated function system are used to show that Hausdorff and
box counting dimension of Julia sets are the same.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
x
KATA PENGANTAR
Segala puji dan syukur kepada Tuhan yang selalu memberikan kasih dan berkat
sehingga penulis dapat meneyelesaikan skripsi ini.
Skripsi ini disusun untuk memenuhi salah satu syarat untuk memperoleh gelar
Sarjana Sains. Penulis menyadari bahwa skripsi tidak akan selesai tanpa dukungan
dari berbagai pihak. Oleh karena itu, penulis ingin menyampaikan terima kasih
kepada:
1. Prof. Drs. Frans Susilo, S.J.,Ph.D. selaku dosen pembimbing yang telah
berkenan membimbing, memberikan ilmu, dan perhatiannya kepada penulis
selama penulisan skripsi.
2. Bapak Yosef Agung Cahyanta, S.T., M.T. selaku Dekan Fakultas Sains dan
Teknologi yang telah mendukung penulis selama penyusunan skripsi ini.
3. Ibu Lusia Krismiyati Budiasih, S.Si, M.Si selaku Kaprodi Matematika dan
Ibu Maria Vianney Any Herawati, S.Si.,M.Si. selaku Wakaprodi
Matematika sekaligus Dosen Pembimbing Akademik angkatan 2006 yang
telah berkenan untuk menguji skripsi ini dan selalu memberikan nasehat,
saran, dukungan dan ilmu yang sangat berharga kepada penulis.
4. Bapak Herry Pribawanto Suryawan, S.Si.,M.Si yang telah memberikan ide
dalam pemilihan topik skripsi ini, atas nasehat, saran, pengalaman,
pengetahuan serta atas pinjaman buku-bukunya dan berbagai kesempatan
diskusi yang diberikan kepada penulis selama menempuh pendidikan.
5. Bapak Zaerilus Tukija dan segenap staff sekretariat Fakultas Sains dan
Teknologi yang telah membantu dalam penulis selama menempuh studi.
6. Perpustakaan Universitas Sanata Dharma dan staf yang telah menyediakan
fasilitas dan kemudahan kepada penulis selama masa studi.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
xi
7. Orang tuaku, Bapak Darwinto dan Ibu Sri Darmini yang selalu memberikan
dukungan, nasehat dan doa dalam segala hal dan menyediakan apa saja yang
dibutuhkan.
8. Sahabat-sahabatku, Diyah Sayekti, S.Si., Rochi Ifahyani Siagian, S.Si.,
Laurencia Rosarianes Yogimurti, Maria Endah Savitri, Marcellina Dewi
Abu, Fery Kristianingrum, Metta Diwya Kundalini, dan Sisiria Mardiawati
yang selalu menemani dalam suka dan duka dan yang selalu memahami
penulis.
9. Teman-teman 2004-2009 yang telah menemani, mendukung dan berbagi
banyak pengalaman kepada penulis.
10. Semua pihak yang telah membantu penulis selama menempuh studi dan
penuyusunan skripsi ini yang tidak bisa disebutkan satu persatu.
Yogyakarta, 24 Januari 2010
Penulis
Titik Murwani
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
xii
DAFTAR ISI
Halaman
HALAMAN JUDUL ........................................................................................ i
HALAMAN JUDUL DALAM BAHASA INGGRIS ......................................... ii
HALAMAN PERSETUJUAN PEMBIMBING .................................................. iii
HALAMAN PENGESAHAN ............................................................................ iv
HALAMAN PERSEMBAHAN ......................................................................... v
HALAMAN PERNYATAAN KEASLIAN KARYA ......................................... vi
HALAMAN ABSTRAK .................................................................................... vii
HALAMAN ABSTRACT.................................................................................. viii
LEMBAR PERNYATAAN PERSETUJUAN PUBLIKASI KARYA ILMIAH
UNTUK KEPENTINGAN AKADEMIS ........................................................... ix
KATA PENGANTAR ....................................................................................... x
DAFTAR ISI ..................................................................................................... xii
BAB I PENDAHULUAN .................................................................................. 1
A. Latar Belakang Masalah ..................................................................... 1
B. Rumusan Masalah ............................................................................... 3
C. Pembatasan Masalah ........................................................................... 3
D. Tujuan Penulisan ................................................................................ 4
E. Manfaat Penulisan ............................................................................... 4
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
xiii
F. Metode Penulisan ................................................................................ 4
G. Sistematika Penulisan ......................................................................... 4
BAB II RUANG METRIK DAN RUANG FRAKTAL ...................................... 6
A. Ruang Metrik.................................................................................... 6
B. Ruang Fraktal ................................................................................... 26
C. Ukuran Lebesgue .............................................................................. 28
D. Fungsi Kompleks ............................................................................. 37
E. Sistem Fungsi Iterasi ........................................................................ 39
BAB III DIMENSI FRAKTAL .......................................................................... 43
A. Ukuran Hausdorff ............................................................................ 43
B. Dimensi Hausdorff ........................................................................... 51
C. Dimensi Hitung Kotak ...................................................................... 54
BAB IV DIMENSI FRAKTAL HIMPUNAN JULIA ........................................ 63
A. Himpunan Julia ................................................................................ 63
B. Penghitungan Dimensi Fraktal Himpunan Julia ................................ 68
BAB V PENUTUP ............................................................................................ 73
5.1 Kesimpulan ..................................................................................... 73
5.2 Saran ............................................................................................... 74
DAFTAR PUSTAKA ........................................................................................ 75
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
BAB I
PENDAHULUAN
A. LATAR BELAKANG MASALAH
Fraktal adalah cabang baru dalam matematika dan seni. Orang semakin
mengenali fraktal karena gambar–gambar yang dihasilkan menarik. Sistem–sistem
fisika dan benda–benda kreatifitas manusia bukanlah bentuk–bentuk geometri
yang teratur. Hal yang membuat fraktal semakin menarik adalah kemampuannya
dalam mendeskripsikan fenomena-fenomena alam seperti garis pantai, gunung,
kehidupan organisme dalam persamaan matematika.
Fraktal bisa dihasilkan dengan cara mengulang suatu pola sehingga memi-
liki struktur yang serupa dengan bentuk semula untuk tiap bagiannya. Pengulang-
an pola–pola tersebut menyebabkan suatu fraktal dapat memiliki detil tak hingga.
Geometri fraktal mampu mendeskripsikan bentuk–bentuk yang tak hingga ba-
nyaknya.
Meskipun fraktal sangat berkaitan dengan teknologi komputer, tetapi frak-
tal ditemukan sebelum teknologi komputer berkembang. Benoit Mandelbrot ada-
lah orang yang pertama kali mengenalkan istilah fraktal pada tahun 1982 dalam
bukunya yang berjudul “ The Fractal Geometry of Nature ”. Kata fraktal berasal
dari kata fractus ( Bahasa Latin ) yang berarti patah, rusak atau tidak teratur. Se-
belum istilah fraktal digunakan, benda–benda yang tidak teratur disebut kurva
monster.
Dua sifat penting yang dimiliki fraktal adalah sifat self–similarity ( kese-
bangunan diri ) dan dimensinya yang tidak bulat. Sifat self–similarity dapat terli-
hat jelas pada pohon pakis. Setiap bagian dari pohon pakis itu memiliki bentuk
yang serupa dengan bentuk awalnya atau bentuk utuhnya.
Mandlebrot mendefinisikan fraktal sebagai himpunan yang mempunyai
dimensi tak bulat. Setiap bangun dalam geometri Euclid memiliki dimensi yang
bulat, misalnya titik berdimensi nol, garis lurus dan kurva berdimensi satu, bidang
datar dan luasan berdimensi dua, dan benda–benda ruang seperti bola, kubus ber-
dimensi tiga. Secara umum fraktal memiliki bentuk yang tidak teratur dan dimen-
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
2
sinya tidak bulat, sehingga konsep fraktal tidak dapat dijelaskan dengan konsep
geometri klasik (Geometri Euclid).
Bilangan yang digunakan untuk membandingkan fraktal yang satu dengan
yang lain disebut dimensi fraktal. Secara intuitif, gagasan mengenai dimensi me-
ngarah pada bilangan bulat seperti pada objek geometri pada umumnya, namun
gagasan tersebut dipatahkan oleh Hausdorff dan Besicovitch. Konsep mengenai
dimensi yang takbulat ini pertama kali dikenalkan oleh Felix Hausdorff dan Ab-
ram Samoilovitch Besicovitch pada tahun 1918, dan kemudian dimensi ini disebut
dimensi Hausdorff- Besicovitch, atau dimensi Hausdorff. Dimensi Hausdorff dari
himpunan 퐹 sangat bergantung pada ukuran Hausdorff berdimensi 푠 dari himpu-
nan 퐹, yaitu 퐻 (퐹), dengan 푠 adalah bilangan real positif, yaitu
푑푖푚 (퐹) = inf{푠:퐻 (퐹) = 0} = sup{푠:퐻 (퐹) = ∞},
dengan ℋ (퐹) = lim → inf{∑ |푈 | : {푈 } adalah selimut-훿 dari 퐹}.
Metode lain yang sering digunakan untuk mencari dimensi fraktal dari
suatu himpunan adalah dimensi hitung kotak atau dimensi Minkowski–Bouligand.
Untuk menghitung dimensi hitung kotak dari suatu himpunan, misal himpunan 퐹,
himpunan tersebut diselimuti oleh jaring-jaring kemudian dihitung banyaknya jaring
yang menyelimuti 퐹. Gagasan mendasar dari dimensi ini adalah menghitung berapa
banyak perubahan yang terjadi bila ukuran dari jaring tersebut diubah. Dimensi
hitung kotak bergantung pada konsep lim inf dan lim sup. Misalkan 푁(퐴, 휀) adalah
jumlah minimum dari jaring-jaring bersisi 훿 yang menyelimuti 퐹. Dimensi hitung
kotak bawah dari 퐹 dihitung dengan rumus
dim 퐹 = lim→
inflog풩 (퐹)− log 훿
dan dimensi hitung kotak atas dari 퐹
dım 퐹 = lim→
suplog풩 (퐹)− log 훿 .
Jika dim 퐹 = dım 퐹, maka nilainya disebut dimensi hitung kotak 퐹.
Beberapa contoh fraktal yang umum adalah himpunan Mandelbrot, himpu-
nan Julia, himpunan Cantor, segitiga Sierpinski, karpet Sierpinski, spons Menger,
kurva Koch. Himpunan Mandelbrot dan himpunan Julia adalah dua contoh fraktal
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
3
yang sangat terkenal, yang tergolong ke dalam fraktal bilangan kompleks. Him-
punan Julia ditemukan lebih dulu daripada himpunan Mandelbrot. Himpunan Julia
ditemukan oleh Gaston Maurice Julia, seorang matematikawan Perancis yang ber-
profesi sebagai tentara.
Himpunan Julia dibangun dari pemetaan fungsi teriterasi 푓 : ℂ → ℂ yang
didefinisikan dengan 푓 = 푧 + 푐, dengan 푐 adalah bilangan kompleks. Barisan
bilangan kompleks 푧,푓 (푧),푓 (푧), … ,푓 (푧), … yang terbentuk disebut orbit dari
titik 푧휖ℂ terhadap pemetaan fungsi kompleks 푓 . Barisan bilangan kompleks dari 푧
dikatakan terbatas jika terdapat bilangan positif 푚 sedemikian sehingga
|푓 (푧)| < 푚 untuk semua bilangan bulat positif 푛. Himpunan semua titik 푧 yang
orbitnya terhadap pemetaan 푓 yang terbatas disebut himpunan Julia penuh, dan
dinotasikan dengan 퐾(푓 ). Batas dari himpunan Julia penuh tersebut yang ke-
mudian disebut himpunan Julia dan dinotasikan dengan 퐽(푓 ).
Dimensi himpunan Julia dihitung dengan menggunakan sifat invarian ter-
hadap suatu pemetaan kontraksi 푓 :ℝ → ℝ , 푖 = 1, 2, …푚 di ruang metrik (푋,푑)
dengan 푐 adalah konstanta kontraksi untuk 푓 . Himpunan Julia bersifat invarian
terhadap 푓 sehingga dim 퐽(푓 ) = 푑푖푚 퐽(푓 ) = 푠 untuk 푐 tertentu dan dengan 푠
memenuhi ∑ 푐 = 1.
B. RUMUSAN MASALAH
1. Apa yang dimaksud dengan dimensi fraktal?
2. Bagaimana menghitung dimensi hitung kotak dan dimensi Hausdorff ?
3. Bagaimana menghitung dimensi fraktal pada himpunan Julia?
C. PEMBATASAN MASALAH
Dalam penulisan skripsi ini hanya akan dibahas dimensi fraktal. Penulis
tidak akan membahas mengenai komputasi tentang dimensi fraktal. Penulis hanya
akan menggunakan dua metode untuk menghitung dimensi fraktal, yaitu dimensi
Hausdorff dan dimensi hitung kotak.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
4
D. TUJUAN PENULISAN
Penyusunan skripsi ini bertujuan untuk mempelajari dimensi fraktal, khu-
susnya dimensi Hausdorff dan dimensi hitung kotak pada himpunan Julia.
E. MANFAAT PENULISAN
Manfaat yang akan diperoleh setelah mempelajari topik ini adalah dapat
memahami dimensi fraktal dan mengetahui langkah penghitungan dimensi Haus-
dorff dan dimensi hitung kotak pada himpunan Julia.
F. METODE PENULISAN
Metode yang digunakan penulis adalah metode studi pustaka, yaitu dengan
mempelajari buku-buku dan karangan-karangan yang berkaitan dengan topik
skripsi ini, sehingga tidak ada hal-hal baru.
G. SISTEMATIKA PENULISAN
BAB I. PENDAHULUAN
A. Latar Belakang Masalah
B. Rumusan Masalah
C. Pembatasan Masalah
D. Tujuan Penulisan
E. Manfaat Penulisan
F. Metode Penulisan
G. Sistematika Penulisan
BAB II. RUANG METRIK DAN RUANG FRAKTAL
A. Ruang Metrik
B. Ruang Fraktal
C. Ukuran Lebesgue
D. Fungsi Kompleks
E. Sistem Fungsi Iterasi
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
5
BAB III. DIMENSI FRAKTAL
A. Ukuran Hausdorff
B. Dimensi Hausdorff
C. Dimensi Hitung Kotak
BAB IV. DIMENSI FRAKTAL HIMPUNAN JULIA.
A. Himpunan Julia
B. Penghitungan Dimensi Fraktal Himpunan Julia
BAB V. PENUTUP
A. Kesimpulan
B. Saran
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
BAB II
RUANG METRIK DAN RUANG FRAKTAL
Dalam bab ini dibahas tentang pengertian-pengertian dasar yang akan diguna-
kan dalam pembahasan selanjutnya, antara lain: ruang metrik, ruang fraktal, ukuran
Lebesgue, fungsi kompleks dan sistem fungsi iterasi.
A. Ruang Metrik
Konsep jarak memiliki peran penting untuk mendefinisikan kekonvergenan, ke-
kontinuan, dan keterdiferensialan suatu fungsi. Jarak dari titik 푥 ke titik 푦, ditulis
푑(푥, 푦), adalah sebuah bilangan real positif. Ruang metrik merupakan himpunan yang
dilengkapi dengan konsep jarak antara dua titik. Konsep ruang metrik diformulasikan
oleh M. Frechet pada tahun 1906. Pada bagian ini akan dibahas konsep-konsep him-
punan terbuka, himpunan tertutup, kekonvergenan, kekontinuan, dan kekompakan
dalam ruang metrik.
Definisi 2.1.1
Misalkan 푋 adalah suatu himpunan takkosong. Metrik pada 푋 adalah fungsi bernilai
real 푑:푋 × 푋 → ℝ yang memenuhi sifat-sifat berikut ini:
1. 푑(푥, 푦) ≥ 0,∀푥,푦휖푋.
2. 푑(푥, 푦) = 0 ↔ 푥 = 푦,∀푥, 푦휖푋.
3. 푑(푥, 푦) = 푑(푦,푥),∀푥, 푦휖푋 (Simetri).
4. 푑(푥, 푦) ≤ 푑(푥, 푧) + 푑(푧,푦),∀푥,푦, 푧 휖푋 (Ketaksamaan segitiga).
Sebuah metrik 푑 juga disebut fungsi jarak. Himpunan takkosong 푋 yang
dilengkapi dengan sebuah metrik 푑 pada 푋 disebut ruang metrik, ditulis (푋, 푑). Ang-
gota-anggota dari himpunan 푋, yang merupakan sebuah ruang metrik, disebut titik.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
7
Contoh 2.1.1
Akan dibuktikan bahwa fungsi 푑: ℝ × ℝ → ℝ didefinisikan sebagai berikut:
푑(푥,푦) = |푥 − 푦|
merupakan metrik pada himpunan dari semua bilangan real ℝ.
Penyelesaian:
Untuk menunjukkan bahwa 푑(푥,푦) merupakan metrik pada himpunan ℝ cukup
dibuktikan bahwa 푑(푥,푦) memenuhi sifat-sifat pada Definisi 2.1.1.
(1) Nilai mutlak suatu bilangan real selalu bernilai taknegatif, yaitu
푑(푥, 푦) = |푥 − 푦| ≥ 0,∀푥, 푦 휖 ℝ.
(2) 푑(푥, 푦) = 0,∀푥, 푦 휖 ℝ ⇔
|푥 − 푦| = 0,∀푥, 푦 휖 ℝ ⇔
푥 − 푦 = 0,∀푥,푦 휖 ℝ ⇔
푥 = 푦,∀푥, 푦 휖 ℝ
(3) 푑(푥, 푦) = |푥 − 푦|,∀푥, 푦 휖 ℝ
= |−푦 + 푥|,∀푥,푦 휖 ℝ
= |푦 − 푥|,∀푥, 푦 휖 ℝ
= 푑(푦, 푥),∀푥,푦 휖 ℝ
(4) 푑(푥,푦) = |푥 − 푦|,∀푥, 푦 휖 ℝ
= |푥 − 푧 + 푧 − 푦|,∀푥,푦, 푧 휖 ℝ
≤ |푥 − 푧| + |푧 − 푦|,∀푥,푦, 푧 휖 ℝ
≤ 푑(푥, 푧) + 푑(푧, 푦),∀푥, 푦, 푧 휖 ℝ
Dari (1), (2), (3), dan (4) disimpulkan bahwa 푑(푥,푦) merupakan metrik pada himpu-
nan ℝ, dan disebut metrik biasa pada ℝ.
Contoh 2.1.2
Misalkan 푋 = ℝ , 푥 = (푥 ,푥 ) dan 푦 = (푦 , 푦 ). Jarak Euclides 푑(푥, 푦) yang diberi-
kan oleh
푑(푥,푦) = (푥 − 푦 ) + (푥 − 푦 ) ,
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
8
adalah metrik dan disebut metrik biasa pada ℝ .
Definisi 2.1.2
Misal 푑 adalah metrik pada 푋, 푎 adalah titik di 푋, dan 퐴 adalah subhimpunan takko-
song dari 푋. Jarak antara titik 푎 ∈ 푋 dengan subhimpunan 퐴 didefinisikan:
푑(푎,퐴) = 푖푛푓{푑(푎,푥):푥 ∈ 퐴}.
Contoh 2.1.3
Misalkan 퐴 = {푥 ∈ ℝ: 0 < 푥 ≤ 1} dan 푑 adalah metrik biasa pada ℝ. Jarak
푑(0,퐴) = 푖푛푓{푑(0,푥): 0 < 푥 ≤ 1}
푑(0,퐴) = 푖푛푓{|0− 푥|: 0 < 푥 ≤ 1}
푑(0,퐴) = 푖푛푓{푥: 0 < 푥 ≤ 1} = 0
Definisi 2.1.3
Misal 푑 adalah metrik pada 푋, dan diberikan sebarang dua subhimpunan takkosong 퐴
dan 퐵 dari ruang metrik (푋, 푑). Jarak antara dua subhimpunan takkosong 퐴 dan 퐵
dari 푋 didefinisikan 푑(퐴,퐵) = sup{푑(푎,퐵): 푎 ∈ 퐴}.
Definisi 2.1.4
Misal 푑 adalah metrik pada 푋. Diameter dari 퐴 subhimpunan takkosong dari 푋
didefinisikan:
푑(퐴) = 푠푢푝{푑(푥, 푦): 푥, 푦 ∈ 퐴}.
Bila 푑(퐴) < ∞, maka diameter 퐴 dikatakan berhingga. Bila 푑(퐴) = ∞, maka diame-
ter 퐴 dikatakan takhingga. Selanjutnya 푑(∅) didefinisikan sama dengan −∞.
Definisi 2.1.5
Suatu metrik 푑 pada himpunan takkosong 푋 dikatakan terbatas jika terdapat bilangan
real 푘 > 0 sedemikian sehingga
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
9
푑(푥, 푦) ≤ 푘,∀ 푥,푦 ∈ 푋.
Ruang metrik (푋, 푑) dengan metrik terbatas disebut ruang metrik terbatas.
Definisi 2.1.6
Diketahui (푋,푑) suatu ruang metrik, 푎 ∈ 푋 dan 푟 > 0. Bola terbuka dengan pusat 푎
dan jari-jari 푟 didefinisikan
퐵 (푎) = {푥 ∈ 푋: 푑(푥, 푎) < 푟}
Himpunan
퐵 [푎] = {푥 ∈ 푋:푑(푥,푎) ≤ 푟}
disebut bola tertutup dengan pusat 푎 dan jari-jari 푟.
Berdasarkan dua defnisi di atas, jelas bahwa 퐵 (푎) ⊂ 퐵 [푎], untuk setiap 푎 ∈ 푋 dan
푟 > 0. Himpunan kosong dan 푋 dapat dipandang berturut-turut sebagai bola dengan
jari-jari 푟 = 0 dan jari-jari 푟 = ∞. Dalam ruang metrik (ℝ, 푑), bola terbuka 퐵 (푎)
merupakan selang terbuka (푎 − 푟,푎 + 푟), sedangkan bola tertutup 퐵 [푎] merupakan
selang tertutup [푎 − 푟, 푎 + 푟].
Dalam ruang diskret (푋, 푑), bola terbuka 퐵 (푎) dapat didefinisikan seperti berikut:
퐵 (푎) = {푎} jika 0 < 푟 ≤ 1푋 jika 푟 > 1.
Dan bola tertutup didefinisikan
퐵 [푎] = {푎} jika 0 < 푟 < 1푋 jik푎 푟 ≥ 1.
Definisi 2.1.7
Misalkan (푋,푑) adalah sebuah ruang metrik dan 푎 ∈ 푋. Subhimpunan 푁 dari 푋 di-
sebut kitar dari titik 푎 jika terdapat sebuah bola terbuka 퐵 (푎) yang berpusat di 푎 dan
termuat di 푁 , yaitu 퐵 (푎) ⊆ 푁 untuk suatu 푟 > 0.
Contoh 2.1.4
Setiap bola terbuka merupakan kitar dari setiap titiknya.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
10
Misalkan 퐵 (푎) bola terbuka dan ambil sebarang 푥 ∈ 퐵 (푎). Jika 푥 = 푎, maka
푎 ∈ 퐵 (푎) ⊆ 퐵 (푎), yaitu 퐵 (푎) kitar dari 푥. Jika 푥 ≠ 푎, untuk menunjukkan bahwa
퐵 (푎) merupakan kitar dari 푥, harus ditunjukkan bahwa terdapat 푟 > 0 sedemikian
sehingga
퐵 (푥) ⊆ 퐵 (푎).
Diketahui bahwa 푥 ∈ 퐵 (푎), maka 푑(푥,푎) < 푟. Diambil 푟 = 푟 − 푑(푥,푎) > 0. Am-
bil sebarang ∈ 퐵 (푥) , maka 푑(푦, 푥) < 푟 , sehingga dengan menggunakan ke-taksa-
maan segitiga diperoleh
푑(푦, 푎) ≤ 푑(푦,푥) + 푑(푥, 푎) < 푟 + 푑(푥,푎) = 푟.
Diperoleh bahwa 푑(푦, 푎) < 푟, berarti 푦 ∈ 퐵 (푎). Jadi 퐵 (푥) ⊆ 퐵 (푎), yaitu 퐵 (푎)
kitar dari 푥.
Definisi 2.1.8
Diberikan (푋,푑) suatu ruang metrik dan 퐴 subhimpunan takkosong dari 푋. Titik
푥 ∈ 푋 disebut titik interior dari subhimpunan 퐴 jika terdapat 푟 > 0 sedemikian se-
hingga 퐵 (푥 ) ⊂ 퐴.
Definisi 2.1.9
Subhimpunan 퐴 di 푋 disebut himpunan terbuka jika semua titik dari 퐴 adalah titik
interior. Dengan kata lain, subhimpunan 퐴 dari suatu ruang metrik (푋, 푑) dikatakan
terbuka di 푋 terhadap metrik 푑 jika 퐴 merupakan kitar untuk setiap titiknya, yaitu un-
tuk setiap 푎 ∈ 퐴, terdapat 푟 > 0 sedemikian sehingga 퐵 (푎) ⊂ 퐴.
Teorema 2.1.1
Setiap bola terbuka 퐵 (푎) adalah himpunan terbuka.
Bukti:
Diketahui 퐵 (푎) bola terbuka yang berpusat di 푎. Ambil sebarang ∈ 퐵 (푎) , maka
푑(푥, 푎) < 푟. Misalkan 휀 = 푟 − 푑(푥, 푎) > 0 adalah jari-jari bola terbuka dengan pusat
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
11
푥, yaitu 퐵 (푥). Ambil sebarang 푦 ∈ 퐵 (푥), maka 푑(푦, 푥) < 휀. Dengan menggunakan
sifat ketaksamaan segitiga diperoleh
푑(푦,푎) ≤ 푑(푦, 푥) + 푑(푥, 푎) < 휀 + 푑(푥, 푎) = 푟.
Jadi 푑(푦, 푎) < 푟, yang menunjukkan bahwa 푦 ∈ 퐵 (푎). Maka 퐵 (푥) ⊆ 퐵 (푎). Ter-
bukti bahwa bola terbuka 퐵 (푎) merupakan himpunan terbuka. ∎
Teorema 2.1.2
Dalam setiap ruang metrik (푋, 푑)
(1) Gabungan dari sebarang keluarga dari himpunan-himpunan terbuka adalah ter-
buka
(2) Irisan dari keluarga berhingga himpunan-himpunan terbuka adalah terbuka.
Bukti:
(1) Diberikan 퐴 sebarang himpunan dan 퐺 dengan 훼 ∈ 퐴 adalah keluarga himpunan
terbuka. Akan dibuktikan bahwa 푆 = ⋃ 퐺 ∈ adalah terbuka. Ambil sebarang
푥 ∈ 푆, maka terdapat 훼 ∈ 퐴 sedemikian sehingga 푥 ∈ 퐺 . Himpunan
퐺 merupakan himpunan terbuka, maka terdapat 푟 > 0, sedemikian sehingga
퐵 (푥) ⊆ 퐺 . Maka 퐵 (푥) ⊆ ⋃ 퐺∈ = 푆. Jadi terbukti 푆 terbuka.
(2) Diberikan keluarga berhingga himpunan terbuka 퐺 ,퐺 ,퐺 , … ,퐺 . Akan dibuk-
tikan 푇 = ⋂ 퐺 terbuka. Ambil sebarang 푥 ∈ 푇, maka 푥 ∈ 퐺 , untuk setiap
푗 = 1, 2, 3, … ,푛. Diketahui 퐺 adalah himpunan yang terbuka, maka terdapat
푟 > 0 sedemikian sehingga 퐵 (푥) ⊆ 퐺 , untuk masing-masing 푗 = 1, 2, 3, … , 푛.
Jika diambil 푟 = min {푟 , 푟 , 푟 , … , 푟 }, maka 푟 > 0 dan 퐵 (푥) ⊆ 퐵 (푥) ⊆ 퐺
untuk setiap 푗 = 1, 2, 3, … , 푛. Maka 퐵 ⊆ ⋂ 퐺 = 푇. Terbukti bahwa 푇 adalah
terbuka. ∎
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
12
Definisi 2.1.10
Diberikan (푋,푑) suatu ruang metrik dan 퐴 subhimpunan takkosong dari 푋. Titik
푥 ∈ 푋 disebut titik limit dari subhimpunan 퐴 jika untuk setiap 푟 > 0 berlaku
퐵 (푥 ) ∩ (퐴 − {푥 }) ≠ ∅.
Definisi 2.1.11
Himpunan 퐴 di 푋 disebut himpunan tertutup jika semua titik limitnya adalah anggota
dari 퐴.
Lema 2.1.1
Misalkan (푋,푑) ruang metrik. Himpunan kosong ∅ dan 푋 adalah himpunan terbuka.
Bukti:
Suatu implikasi bernilai benar apabila antesedennya salah. Implikasi “jika 푥 ∈ ∅,
maka 푥 adalah titik interior dari ∅” adalah pernyataan yang benar untuk setiap 푥 ∈ 푋.
Jadi ∅ adalah himpunan terbuka.
Selanjutnya, ambil sebarang 푥 ∈ 푋. Dipilih 푟 = 1, maka 퐵 (푥) ⊆ 푋.
Terbukti 푋 terbuka. ∎
Teorema 2.1.3
Himpunan 퐹 dalam ruang metrik (푋,푑) adalah tertutup jika dan hanya jika 퐹 ter-
buka.
Bukti:
Akan dibuktikan bahwa jika 퐹 tertutup, maka 퐹 terbuka. Diberikan sebarang himpu-
nan 퐹 tertutup. Jika 퐹 = 푋 − 퐹 = ∅, maka 퐹 terbuka. Jika 퐹 ≠ ∅, diambil seba-
rang 푥 ∈ 퐹 , berarti 푥 ∉ 퐹. Diketahui bahwa 퐹 himpunan tertutup, maka 푥 bukan titik
limit 퐹, sehingga ada 푟 > 0 sedemikian sehingga 퐵 (푥)∩ 퐹 = ∅. Jadi 퐵 (푥) ⊆ 퐹 .
Terbukti bahwa 퐹 terbuka.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
13
Sebaliknya, diberikan himpunan 퐹 terbuka. Ambil sebarang 푥 ∈ 푋 dan 푥 titik limit
퐹. Akan dibuktikan 푥 ∈ 퐹. Andaikan 푥 ∉ 퐹, yaitu 푥 ∈ 퐹 , maka ada 푟 > 0 sedemi-
kian sehingga 퐵 (푥) ⊆ 퐹 . Maka 퐵 (푥) ∩ 퐹 = ∅. Akibatnya 푥 bukan titik limit 퐹.
Hal ini kontradiksi karena 푥 titik limit 퐹. Jadi 푥 ∈ 퐹. Terbukti 퐹 tertutup. ∎
Teorema 2.1.4
Dalam setiap ruang metrik (푋, 푑)
(1) Irisan dari sebarang keluarga himpunan-himpunan tertutup adalah tertutup
(2) Gabungan keluarga berhingga himpunan-himpunan tertutup adalah tertutup
Bukti:
(1) Misalkan ℱ = {퐹 , 푎 ∈ Λ} adalah suatu keluarga himpunan tertutup. Dengan hu-
kum De Morgan diperoleh
퐹∈
= 퐹∈
.
Menurut Teorema 2.1.3, jika 퐹 tertutup, maka 퐹 terbuka. Himpunan 퐹 ada-
lah himpunan terbuka, sehingga menurut Teorema 2.1.2, ⋃ 퐹∈ adalah ter-
buka. Jadi (⋃ 퐹∈ ) = ⋂ 퐹∈ adalah tertutup karena komplemen himpunan
terbuka adalah himpunan tertutup menurut Teorema 2.1.3.
(2) Diberikan keluarga berhingga himpunan-himpunan tertutup 풢 = {퐺 ,퐺 , … ,퐺 }
dan misalkan 푇 = ⋃ 퐺 . Dengan hukum De Morgan diperoleh
푇 = 퐺 = 퐺 .
Himpunan 퐺 adalah himpunan tertutup untuk setiap 푗 = 1, 2, 3, … , 푛. Jadi 퐺
terbuka untuk setiap 푗 = 1, 2, 3, … ,푛. Dengan Teorema 2.1.2, maka ⋂ 퐺 ter-
buka. Jadi 푇 = ⋂ 퐺 terbuka. Karena 푇 terbuka, maka 푇 tertutup.
Terbukti bahwa 푇 = ⋃ 퐺 tertutup. ∎
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
14
Teorema 2.1.5
Setiap bola tertutup adalah himpunan tertutup.
Bukti:
Diberikan 퐵 [푥] sebarang bola tertutup di ruang metrik (푋, 푑). Akan dibuktikan
bahwa 퐵 [푥] terbuka. Ambil sebarang 푦 ∈ 퐵 [푥] , maka 푦 ∉ 퐵 [푥]. Hal ini berarti
푑(푥, 푦) > 푟. Misalkan 푟 = 푑(푥,푦) − 푟 > 0. Ambil sebarang 푧 ∈ 퐵 (푦), maka
푑(푧, 푦) < 푟 , sehingga
푑(푧, 푦) < 푑(푥,푦) − 푟
푟 < 푑(푥, 푦) − 푑(푧, 푦)
푟 < 푑(푥, 푧) + 푑(푧,푦) − 푑(푧,푦)
푟 < 푑(푥, 푧).
Karena 푑(푥, 푧) > 푟, maka 푧 ∉ 퐵 [푥], yaitu 푧 ∈ 퐵 [푥] . Jadi 퐵 (푦) ⊂ 퐵 [푥] . De-
ngan demikian 퐵 [푥] terbuka. ∎
Definisi 2.1.12
Misal (푋,푑) adalah ruang metrik dan 퐴 ⊆ 푋. Penutup dari 퐴, ditulis 퐴̅, adalah gabu-
ngan dari 퐴 dengan himpunan semua titik limitnya. Jadi 퐴̅ = 퐴 ∪ 퐴′, dengan 퐴′ ada-
lah himpunan semua titik limit 퐴.
Contoh 2.1.5
Misal (ℚ, 푑) ruang metrik dengan metrik biasa dan 퐸 = : 푛 ∈ ℕ ⊂ ℚ. Semua titik
anggota himpunan 퐸 bukan titik limit. Satu-satunya titik limit 퐸 adalah nol. Jadi
퐸 = 퐸 ∪ {0}.
Teorema 2.1.6
Misalkan 퐴 dan 퐵 adalah sebarang himpunan dari ruang metrik (푋,푑). Maka
(1) 퐴 tertutup.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
15
(2) Jika 퐴 ⊆ 퐵, maka 퐴̅ ⊆ 퐵.
(3) 퐴 = 퐴 jika dan hanya jika 퐴 tertutup.
(4) 퐴̅ adalah irisan dari semua himpunan tertutup yang memuat 퐴.
(5) 퐴̅ adalah himpunan tertutup terkecil yang memuat 퐴.
(6) 퐴 ∪ 퐵 = 퐴̅ ∪ 퐵.
(7) 퐴 ∩ 퐵 ⊆ 퐴̅ ∩ 퐵.
Bukti:
(1) Untuk membuktikan bahwa 퐴̅ tertutup, akan dibuktikan bahwa 퐴̅ terbuka, yaitu
untuk setiap 푥 ∈ 퐴̅ ada 푟 > 0 sedemikian sehingga 퐵 (푥) ⊆ 퐴̅ . Jika 퐴̅ = ∅,
maka 퐴̅ terbuka. Jika 퐴̅ ≠ ∅, ambil sebarang 푥 ∈ 퐴̅ , maka 푥 ∉ 퐴̅, sehingga
푥 ∉ 퐴 dan 푥 ∉ 퐴′. Maka ada 푟 > 0 sedemikian sehingga 퐵 (푥) ∩ 퐴 = ∅. Ambil
sebarang 푦 ∈ 퐵 (푥), maka 푑(푥, 푦) < 푟. Misal 푟 = 푟 − 푑(푥,푦). Ambil sebarang
푧 ∈ 퐵 (푦), maka 푑(푦, 푧) < 푟 . Dengan ketaksamaan segitiga diperoleh
푑(푥, 푧) ≤ 푑(푥,푦) + 푑(푦, 푧) < 푟 − 푟 + 푟 = 푟
sehingga 푧 ∈ 퐵 (푥). Jadi 퐵 (푦) ⊆ 퐵 (푥). Karena 퐵 (푥) ∩ 퐴 = ∅, maka 퐵 (푦) ∩
퐴 = ∅, yang berarti 푦 ∉ 퐴 dan 푦 ∉ 퐴′, yaitu 푦 ∉ 퐴̅, sehingga 푦 ∈ 퐴̅ . Maka
퐵 (푥) ⊆ 퐴̅ Jadi 퐴̅ terbuka. Dengan Teorema 2.1.3, terbukti 퐴̅ tertutup.
(2) Ambil sebarang 푥 ∈ 퐴̅, maka 퐵 (푥) ∩ 퐴 ≠ ∅,∀ 푟 > 0. Karena 퐴 ⊆ 퐵, maka
퐵 (푥) ∩ 퐵 ≠ ∅. Jadi 푥 ∈ 퐵, sehingga terbukti 퐴̅ ⊆ 퐵.
(3) Akan dibuktikan jika 퐴 = 퐴̅, maka 퐴 tertutup. Dari (1) sudah terbukti bahwa 퐴̅
tertutup. Karena 퐴 = 퐴̅, jadi 퐴 tertutup. Berikutnya akan dibuktikan jika 퐴 tertu-
tup, maka 퐴 = 퐴̅. Untuk membuktikannya akan ditunjukkan bahwa 퐴 ⊆ 퐴̅ dan
퐴 ⊇ 퐴̅. Berdasarkan definisi penutup 퐴, yaitu 퐴̅ = 퐴 ∪ 퐴′, maka 퐴 ⊆ 퐴̅.
Kemudian diambil sebarang 푥 ∈ 퐴̅, maka 푥 ∈ 퐴 atau 푥 ∈ 퐴′. Jika 푥 ∈ 퐴, maka
퐴 ⊇ 퐴̅. Jika 푥 ∈ 퐴′, maka 푥 titik limit 퐴. Diketahui bahwa 퐴 tertutup, maka 푥 ∈
퐴. Jadi terbukti 퐴 ⊇ 퐴̅. Dengan demikian terbukti bahwa 퐴 = 퐴̅.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
16
(4) Misalkan 퐹 adalah irisan dari semua himpunan tertutup yang memuat 퐴. Jadi 퐹
merupakan himpunan tertutup dan 퐴 ⊆ 퐹. Dengan menggunakan (2) dan (3)
diperoleh 퐴̅ ⊆ 퐹 = 퐹 karena 퐹 tertutup. Jadi 퐴̅ ⊆ 퐹. Selanjutnya 퐴̅ merupakan
himpunan tertutup yang memuat 퐴. Himpunan 퐹 adalah irisan dari semua himpu-
nan tertutup yang memuat 퐴. Jadi 퐹 ⊆ 퐴̅. Terbukti 퐹 = 퐴̅.
(5) Akibat dari bukti (4), maka 퐴̅ ⊆ 퐹. Penutup dari 퐴 merupakan himpunan tertutup
yang memuat 퐴. Jadi 퐴̅ merupakan himpunan tertutup terkecil yang memuat 퐴.
(6) Karena 퐴 ⊆ 퐴 ∪ 퐵 dan 퐵 ⊆ 퐴 ∪ 퐵, maka dengan (2) diperoleh 퐴̅ ⊆ 퐴 ∪ 퐵 dan
퐵 ⊆ 퐴 ∪ 퐵. Jadi 퐴̅ ∪ 퐵 ⊆ 퐴 ∪ 퐵. Kemudian, harus dibuktikan bahwa 퐴 ∪ 퐵 ⊆
퐴̅ ∪ 퐵. Diambil sebarang 푥 ∈ 퐴 ∪ 퐵. Andaikan 푥 ∉ 퐴̅ ∪ 퐵. Maka 푥 ∉ 퐴̅ dan
푥 ∉ 퐵, sehingga terdapat bola terbuka 퐵 (푥) yang tidak memuat titik di 퐴, dan
terdapat bola terbuka 퐵 (푥) yang tidak memuat titik di 퐵. Misalkan 푟 =
min {푟 , 푟 }. Bola terbuka 퐵 (푥) tidak memuat titik-titik dari 퐴 ∪ 퐵. Hal ini
kontradiksi karena 푥 ∈ 퐴 ∪ 퐵. Dengan demikian pengandaian bahwa 푥 ∉ 퐴̅ ∪ 퐵
tidak benar. Jadi 퐴 ∪ 퐵 ⊆ 퐴̅ ∪ 퐵.
(7) Karena 퐴 ∩ 퐵 ⊆ 퐴 dan 퐴 ∩ 퐵 ⊆ 퐵, maka dengan (2) diperoleh 퐴 ∩ 퐵 ⊆ 퐴̅ dan
퐴 ∩ 퐵 ⊆ 퐵. Jadi 퐴 ∩ 퐵 ⊆ 퐴̅ ∩ 퐵. ∎
Teorema 2.1.7
Misalkan (푋,푑) ruang metrik dan 퐴 ⊂ 푋, maka
퐴̅ = {푥 ∈ 푋:퐵 (푥)∩ 퐴 ≠ ∅,∀ 푟 > 0}
Bukti:
Ambil sebarang 푥 ∈ 퐴̅, maka 푥 ∈ 퐴 atau 푥 ∈ 퐴′. Jika 푥 ∈ 퐴, maka jelas bahwa
퐵 (푥) ∩ 퐴 ≠ ∅,∀ 푟 > 0. Jika 푥 ∈ 퐴′, maka 퐵 (푥) ∩ (퐴 − {푥}) ≠ ∅,∀ 푟 > 0, se-
hingga 퐵 (푥) ∩ 퐴 ≠ ∅,∀ 푟 > 0. Terbukti 퐴̅ ⊆ {푥 ∈ 푋:퐵 (푥) ∩ 퐴 ≠ ∅,∀ 푟 > 0}.
Selanjutnya, ambil sebarang 푥 ∈ 푋 sedemikian sehingga 퐵 (푥) ∩ 퐴 ≠ ∅,∀ 푟 > 0.
Misalkan 푥 ∉ 퐴, maka 퐴 = 퐴 − {푥}. Diketahui bahwa 퐵 (푥) ∩ 퐴 ≠ ∅,∀ 푟 > 0, maka
퐵 (푥) ∩ (퐴 − {푥}) ≠ ∅,∀ 푟 > 0, yaitu 푥 ∈ 퐴′. Jadi 푥 ∈ 퐴 atau 푥 ∈ 퐴′, yaitu 푥 ∈ 퐴̅.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
17
Terbukti 퐴̅ ⊇ {푥 ∈ 푋:퐵 (푥)∩ 퐴 ≠ ∅,∀ 푟 > 0}.
Dengan demikian terbukti 퐴̅ = {푥 ∈ 푋:퐵 (푥) ∩ 퐴 ≠ ∅,∀ 푟 > 0}. ∎
Definisi 2.1.13
Misalkan (푋,푑) suatu ruang metrik. Barisan {푥 } di 푋 dikatakan konvergen ke suatu
titik 푥 ∈ 푋 jika untuk setiap 휀 > 0 terdapat bilangan positif 푚 sedemikian sehingga
푑(푥 ,푥) < 휀, untuk setiap 푛 ≥ 푚. Titik 푥 disebut limit barisan {푥 } dan ditulis
lim → 푥 = 푥 atau 푥 → 푥. Barisan yang tidak konvergen disebut divergen. Dengan
perkataan lain, barisan {푥 } di 푋 dikatakan konvergen ke suatu titik 푥 ∈ 푋 jika dan
hanya jika untuk sebarang bola terbuka 퐵 (푥) yang berpusat di 푥 terdapat bilangan
positif 푚 sedemikian sehingga 푥 ∈ 퐵 (푥) untuk semua 푛 ≥ 푚.
Teorema 2.1.8
Jika (푋, 푑) adalah suatu ruang metrik, maka setiap barisan di 푋 yang konvergen akan
konvergen ke satu titik.
Bukti:
Diberikan barisan {푥 } yang konvergen. Andaikan barisan {푥 } konvergen ke titik 푥
dan titik 푦 yang berbeda. Ambil sebarang 휀 > 0, maka ada 푛 ,푛 ∈ ℕ sedemikian
sehingga 푑(푥 ,푥) < untuk setiap 푛 ≥ 푛 dan 푑(푥 ,푦) < untuk setiap 푛 ≥ 푛 .
Ambil 푛 = max {푛 , 푛 }, maka untuk 푛 ≥ 푛 berlaku
푑(푥,푦) ≤ 푑(푥,푥 ) + 푑(푥 ,푦) <휀2 +
휀2 = 휀.
Jadi untuk setiap 휀 > 0 berlaku 푑(푥, 푦) < 휀. Ini berarti 푥 = 푦. Terbukti bahwa bari-
san konvergen ke satu titik. ∎
Definisi 2.1.14
Sebuah barisan {푎 } dalam ruang metrik (푋,푑) disebut barisan Cauchy jika untuk
setiap 휀 > 0 terdapat bilangan bulat positif 푛 sedemikian sehingga 푑(푥 ,푥 ) < 휀,
untuk setiap 푛,푚 > 푛 .
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
18
Teorema 2.1.9
Setiap barisan {푥 } yang konvergen di ruang metrik (푋, 푑) adalah barisan Cauchy.
Bukti:
Diberikan ruang metrik (푋, 푑) dan barisan {푥 } di (푋,푑) yang konvergen ke 푥. De-
ngan Definisi 2.1.13 maka untuk setiap 휀 > 0 terdapat 푛 sedemikian sehingga
푑(푥 ,푥) < untuk setiap 푛 > 푛 . Dengan ketaksamaan segitiga, untuk 푚,푛 ≥ 푛
berlaku 푑(푥 ,푥 ) ≤ 푑(푥 ,푥) + 푑(푥,푥 ) < + = 휀. Jadi {푥 } merupakan barisan
Cauchy. ∎
Contoh 2.1. 6
Diberikan barisan {푥 } = di ruang metrik (푋, 푑) dengan 푋 = (0, 1] pada garis
real dan 푑 adalah metrik biasa. Tunjukkan bahwa barisan {푥 } merupakan barisan
Cauchy yang konvergen ke 0 tetapi 0 ∉ 푋.
Penyelesaian:
Diberikan 휀 > 0, terdapat 푁 sehingga < 휀. Untuk setiap 푛 ≥ 푁 dan 푚 ≥ 푁 dan
dimisalkan 푛 ≥ 푚 berlaku
푑(푥 ,푥 ) = 푑1푛 ,
1푚 =
1푛 −
1푚 <
1푚 ≤
1푁 < 휀.
Barisan {푥 } merupakan barisan Cauchy yang konvergen ke 0 tetapi 0 ∉ 푋 .
Definisi 2.1.15
Misalkan {푥 } adalah barisan di ruang metrik (푋, 푑). Barisan {푛 } adalah barisan bi-
langan bulat positif dengan 푛 < 푛 < 푛 < ⋯, maka barisan 푥 disebut subbari-
san dari {푥 }.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
19
Korolari 2.1.1
Jika suatu barisan Cauchy dalam ruang metrik (푋, 푑) memuat subbarisan yang
konvergen, maka barisan tersebut konvergen ke limit subbarisannya.
Bukti:
Diberi {푥 } barisan Cauchy di 푋. Maka untuk setiap 휀 > 0, terdapat bilangan bulat
positif 푛 sedemikian sehingga 푑(푥 ,푥 ) < 휀 untuk setiap 푚, 푛 ≥ 푛 . Misalkan
푥 adalah subbarisan yang konvergen ke 푥. Karena {푛 } adalah barisan bilangan
positif yang bersifat naik, maka 푑 푥 , 푥 < 휀 untuk 푚, 푛 ≥ 푛 . Diperoleh
푑(푥, 푥 ) ≤ 푑 푥, 푥 + 푑 푥 ,푥 < 푑 푥,푥 + 휀.
Untuk 푚 → ∞, maka 푑 푥, 푥 → 0, sehingga 푑(푥,푥 ) < 휀. ∎
Definisi 2.1.16
Suatu ruang metrik (푋, 푑) dikatakan lengkap jika setiap barisan Cauchy dalam 푋 kon-
vergen ke suatu titik di 푋.
Contoh 2.1.7
Ruang ℝ dengan metrik biasa merupakan ruang metrik yang lengkap.
Diberikan {푥 } barisan Cauchy di ℝ, maka untuk 휀 > 0 terdapat 푁 ∈ ℕ sedemikian
sehingga |푥 − 푥 | < 휀 untuk semua 푚,푛 ≥ 푁. Dipilih 휀 = 휀, maka terdapat 푁
sedemikian sehingga|푥 − 푥 | < , untuk semua 푚, 푛 ≥ 푁 . Misal 푦 = 푥 .
Kemudian dipilih 휀 = , maka terdapat 푁 > 푁 sedemikian sehingga |푥 − 푥 | <
, dan misalkan 푦 = 푥 . Kemudian dipilih 휀 = , maka terdapat 푁 > 푁 sedemi-
kian sehingga |푥 − 푥 | < dan misalkan 푦 = 푥 . Langkah di atas terus berlanjut
dan diperoleh barisan {푦 } sedemikian sehingga
|푦 − 푦 | = 푥 − 푥 < , untuk 푁 > 푁 .
|푦 − 푦 | = 푥 − 푥 < , untuk 푁 > 푁 .
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
20
|푦 − 푦 | = 푥 − 푥 < , untuk 푁 > 푁 .
⋮
|푦 − 푦 | = 푥 − 푥 < , untuk 푁 > 푁 .
Karena 푦 − 푦 = 푦 − 푦 + 푦 − 푦 + 푦 −⋯− 푦 , maka
|푦 − 푦 | = |푦 − 푦 | <휀
2 =휀2 .
Diperoleh |푦 − 푦 | < . Jadi {푦 } = 푥 konvergen ke 푦 . Dengan Korolari 2.1.1,
terbukti bahwa {푥 } barisan Cauchy yang konvergen. Maka menurut Definisi 2.1.16,
ℝ dengan metrik biasa merupakan ruang metrik lengkap.
Contoh 2.1.8
Himpunan 퐸 = {푥 ∈ ℝ|0 < 푥 ≤ 1} dengan metrik biasa merupakan ruang metrik ti-
dak lengkap. Diberikan 푥 = . Dalam Contoh 2.1.6 sudah dibuktikan bahwa {푥 }
adalah barisan Cauchy yang konvergen ke 0. Ruang metrik 퐸 tidak lengkap karena
terdapat barisan Cauchy di 퐸 yang tidak konvergen.
Definisi 2.1.17
Misal (푋,푑 ) dan (푌,푑 ) adalah ruang metrik . Fungsi 푓:푋 → 푌 dikatakan kontinu di
푎 ∈ 푋 jika untuk setiap 휀 > 0 terdapat 훿 > 0 sedemikian sehingga 푑 푓(푥),푓(푎) <
휀 untuk setiap 푥 yang memenuhi 푑 (푥,푎) < 훿.
Jika 푓 kontinu di setiap titik di 푋, maka 푓 dikatakan kontinu pada 푋.
Contoh 2.1.9
Jika (푋, 푑 ) dan (푌, 푑 ) ruang metrik, maka fungsi konstan 푓:푋 → 푌 kontinu.
Penyelesaian:
Diberikan 휀 > 0 dan 푎 ∈ 푋. Untuk fungsi konstan 푓(푥) = 푐, berlaku
푑 푓(푥),푓(푎) = 푑 (푐, 푐) = 0 < 휀 untuk setiap 푥 ∈ 푋.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
21
Contoh 2.1.10
Diketahui ruang metrik ℝ dengan metrik biasa. Diberikan fungsi 푓:ℝ → ℝ dengan
definisi 푓(푥) = 푥 untuk semua 푥 ∈ ℝ. Tunjukkan bahwa 푓 kontinu.
Penyelesaian:
Diambil sebarang 푐 ∈ ℝ. Diberikan 휀 > 0, harus dicari 훿 > 0 sedemikian sehingga
untuk setiap 푥 ∈ ℝ yang memenuhi |푥 − 푐| < 훿 berlaku |푓(푥)− 푓(푐)| < 휀.
Jika 훿 = 1, maka untuk |푥 − 푐| < 1 berlaku
|푥 + 푐| = |푥 − 푐 + 2푐| ≤ |푥 − 푐| + |2푐| < 1 + |2푐|
Dengan demikian jika dipilih 훿 = min 1,| |
, maka untuk 푥 yang memenuhi
|푥 − 푐| < 훿 berlaku
|푓(푥)− 푓(푐)| = |푥 − 푐 | = |푥 − 푐||푥 + 푐| < 훿(1 + |2푐|) ≤| |
(1 + |2푐|) = 휀,
untuk = 1 ≤| |
, dan
|푓(푥)− 푓(푐)| = |푥 − 푐 | = |푥 − 푐||푥 + 푐| < 훿(훿 + |2푐|) ≤| |
(1 + |2푐|) = 휀 ,
untuk 훿 =| |
< 1.
Terbukti 푓 kontinu di 푐.
Contoh 2.1.11
Diberikan fungsi 푓:ℝ → ℝ yang didefinsikan oleh
푓(푥) = sin 푥
di ruang metrik ℝ dengan metrik biasa. Fungsi 푓 merupakan fungsi yang kontinu.
Himpunan terbuka (0, 2휋) di ℝ dipetakan ke himpunan tertutup [−1,1] di ℝ.
Teorema 2.1.10
Diketahui (푋,푑 ) dan (푌, 푑 ) ruang metrik. Fungsi 푓:푋 → 푌 kontinu jika dan hanya
jika untuk setiap himpunan terbuka 퐺 di 푌, 푓 (퐺) adalah himpunan terbuka di 푋.
Bukti:
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
22
Misalkan 푓 kontinu dan 퐺 adalah sebarang subhimpunan terbuka di 푌. Akan
ditunjukkan 푓 (퐺) = {푥 ∈ 푋: 푓(푥) ∈ 퐺} terbuka di 푋. Jika 푓 (퐺) = ∅, maka
푓 (퐺) terbuka. Jika 푓 (퐺) ≠ ∅, ambil sebarang 푥 ∈ 푓 (퐺), maka 푓(푥) ∈ 퐺.
Diketahui bahwa 퐺 terbuka, maka terdapat bola terbuka 퐵 푓(푥) sedemikian se-
hingga 퐵 푓(푥) ⊆ 퐺. Karena 푓 kontinu, maka terdapat bola terbuka 퐵 (푥) sedemi-
kian sehingga 푓 퐵 (푥) ⊆ 퐵 푓(푥) ⊆ 퐺. Jadi 퐵 (푥) ⊆ 푓 (퐺) sehingga 푓 (퐺)
terbuka.
Berikutnya akan dibuktikan jika 푓 (퐺) terbuka untuk setiap himpunan terbuka 퐺 di
푌, maka 푓:푋 → 푌 kontinu. Ambil sebarang 푥 ∈ 푋 dan 휀 > 0. Bola 퐵 푓(푥) adalah
himpunan terbuka di 푌, maka 푓 퐵 푓(푥) juga terbuka.
Karena 푥 ∈ 푓 퐵 푓(푥) , maka terdapat 훿 > 0 sedemikian sehingga 퐵 (푥) ⊆
푓 퐵 푓(푥) . Jadi 푓 퐵 (푥) ⊆ 퐵 푓(푥) . Terbukti bahwa 푓 kontinu di setiap titik
dari 푋. ∎
Teorema 2.1.11
Diketahui (푋,푑 ) dan (푌, 푑 ) ruang metrik. Fungsi 푓:푋 → 푌 kontinu jika dan hanya
jika untuk setiap subhimpunan tertutup 퐹 di 푌, 푓 (퐹) tertutup di 푋.
Bukti:
Diberikan 푓:푋 → 푌 kontinu dan 퐹 himpunan tertutup di 푌. Karena 퐹 tertutup, maka
퐹 terbuka sehingga 푓 (퐹 ) terbuka. Karena 푓 (퐹 ) = 푓 (퐹) terbuka, maka
푓 (퐹) tertutup. Jadi terbukti bahwa 푓 (퐹) tertutup di 푋.
Sebaliknya, misalkan 푓 (퐹) tertutup di 푋 untuk setiap subhimpunan tertutup 퐹 di 푌.
Maka 퐻 = 퐹 terbuka di 푌 dan 푓 (퐹) = 푓 (퐹 ) = 푓 (퐻) terbuka di 푋. De-
ngan Teorema 2.1.10 terbukti bahwa fungsi 푓 kontinu. ∎
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
23
Definisi 2.1.18
Misalkan (푋,푑 ) dan (푌,푑 ) adalah dua ruang metrik. Fungsi 푓:푋 → 푌 dikatakan
kontinu seragam jika untuk setiap 휀 > 0 ada 훿 > 0 sedemikian sehingga
푑 푓(푥),푓(푦) < 휀 untuk setiap 푥,푦 ∈ 푋 yang memenuhi 푑 (푥,푦) < 훿.
Contoh 2.1.12
Fungsi 푓: (0, 1) → ℝ yang didefinisikan oleh 푓(푥) = tidak kontinu seragam.
Ambil 휀 = dan sebarang 훿 > 0. Dipilih 푥 = dan 푦 = di mana < 훿.
Maka
푑(푥,푦) = |푥 − 푦| =1푛 −
1푛 + 1
=1
푛(푛 + 1) <1푛 < 훿
tetapi 푑 푓(푥),푓(푦) = |푛 − (푛 + 1)| = 1 > 휀.
Contoh 2.1.13
Fungsi 푓: [0, 1] → ℝ yang didefinisikan oleh 푓(푥) = 푥 merupakan fungsi yang kon-
tinu seragam. Diberikan 휀 > 0 dan dipilih 훿 = . Untuk sebarang 푥,푦 ∈ [0, 1] yang
memenuhi |푥 − 푦| < , berlaku
|푓(푥)− 푓(푦)| = |푥 − 푦 |
= |푥 + 푦||푥 − 푦| ≤ 2|푥 − 푦| < 휀.
Terbukti bahwa fungsi 푓 kontinu seragam pada interval [0, 1].
Definisi 2.1.19
Misal (푋,푑) adalah ruang metrik. Keluarga subhimpunan 풢 = {퐺 :훼 ∈ 퐴} di 푋 di-
sebut selimut dari subhimpunan 퐸 di 푋 jika 퐸 ⊆ ⋃ 퐺∈ .
Jika setiap 퐺 terbuka di 푋, maka 풢 = {퐺 :훼 ∈ 퐴} disebut selimut terbuka dari 퐸.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
24
Jika ℋ merupakan selimut terbuka dari 퐸 dan ℋ ⊂ 풢, maka ℋ disebut subselimut
terbuka dari 퐸.
Definisi 2.1.20
Subhimpunan 퐸 dari ruang metrik (푋,푑) dikatakan kompak jika setiap selimut ter-
buka dari 퐸 memuat subselimut berhingga, yaitu untuk setiap keluarga himpunan ter-
buka 풢 = {퐺 :훼 ∈ 퐴} dengan 퐸 ⊆ ⋃ 퐺∈ , terdapat subkeluarga berhingga
퐺 ,퐺 ,퐺 , … ,퐺 sedemikian sehingga 퐸 ⊆ ⋃ 퐺 .
Contoh 2.1.14
Ruang metrik (푋, 푑) dengan 푋 himpunan berhingga adalah himpunan kompak.
Misalkan 푋 = {푥 ,푥 ,푥 … , 푥 }, dan 풢 = {퐺 :훼 ∈ 퐴} selimut terbuka untuk 푋, yaitu
푋 ⊆ ⋃ 퐺∈ . Untuk 푥 , ada 훼 ∈ 퐴 sedemikian sehingga 푥 ∈ 퐺 , untuk 푥 ada
훼 ∈ 퐴 sedemikian sehingga 푥 ∈ 퐺 , dan seterusnya, untuk 푥 ada 훼 ∈ 퐴 sedemi-
kian sehingga 푥 ∈ 퐺 . Diperoleh ℋ = 퐺 ,퐺 ,퐺 , … ,퐺 adalah subkeluarga
berhingga dari 풢 yang merupakan subselimut dari 푋, maka 풢 memuat subselimut ber-
hingga ℋ. Jadi 푋 kompak.
Teorema 2.1.12
Setiap subhimpunan tertutup dari ruang metrik yang kompak merupakan himpunan
yang kompak.
Bukti:
Misalkan (푋,푑) ruang metrik yang kompak, dan 퐹 adalah sebarang subhimpunan
takkosong dan tertutup dari 푋. Akan ditunjukkan bahwa 퐹 kompak.
Misalkan 풢 = {퐺 :훼 ∈ 퐴} keluarga himpunan-himpunan terbuka di 푋 dan 퐹 ⊆
⋃ 퐺∈ . Jika 퐻 = (⋃ 퐺∈ ) ∪ 퐹 , maka 퐻 selimut terbuka dari 푋. Diketahui
bahwa 푋 kompak, maka 퐻 memiliki subselimut berhingga yang memuat 퐹. Jadi 퐹
kompak. ∎
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
25
Contoh 2.1.15
Ruang metrik ℝ dengan metrik biasa bukan merupakan ruang yang kompak. Selimut
terbuka – 푛, 푛 :푛 ∈ ℕ dengan ⋃ (−푛, 푛) =ℝ tidak memiliki subselimut ber-
hingga. Jadi ℝ tidak kompak.
Definisi 2.1.21
Himpunan 퐴 dikatakan terbatas jika terdapa bilangan 푀 > 0 sedemikian sehingga
untuk setiap 푥,푦 ∈ 퐴 berlaku 푑(푥,푦) < 푀.
Teorema 2.1.13
Setiap subhimpunan 퐹 yang kompak di ruang metrik (푋,푑) adalah himpunan yang
tertutup dan terbatas.
Bukti :
Diketahui 퐹 subhimpunan yang kompak. Untuk membuktikan bahwa 퐹 tertutup, akan
dibuktikan 퐹 terbuka. Diambil sebarang 푦 ∈ 퐹 dan 푥 ∈ 퐹. Misal 푟 = 푑(푥,푦) > 0
sehingga dapat dibuat bola terbuka 퐵 (푥) dan 퐵 (푦) sedemikian sehingga
퐵 (푥)(푥) ∩ 퐵 (푦) = ∅. Koleksi 풢 = 퐵 (푥):푥 ∈ 퐹 merupakan selimut terbuka
dari 퐹, yaitu 퐹 ⊆ ⋃ 퐵 (푥)∈ . Diketahui bahwa 퐹 kompak, maka ada
푥 ,푥 ,푥 , … ,푥 sedemikian sehingga 퐹 ⊆ ⋃ 퐵 (푥 ). Misal 퐴 = ⋂ 퐵 (푦).
Dengan Teorema 2.1.2 (2), yaitu irisan dari keluarga berhingga himpunan terbuka
adalah terbuka, maka 퐴 merupakan himpunan yang terbuka yang memuat 푦. Karena
퐵 (푥 ) ∩ 퐵 (푦) = ∅,∀ 푖 = 1,2,3, …푛, maka
퐵 (푥 ) ∩ ⋂ 퐵 (푦) = 퐵 (푥 ) ∩ 퐴 = ∅. Sehingga ⋃ 퐵 (푥 ) ∩ 퐴 = ∅.
Karena 퐹 ⊆ ⋃ 퐵 (푥 ), maka 퐹 ∩ 퐴 = ∅. Jadi 퐴 ⊆ 퐹 . Karena 퐹 =
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
26
⋃ 퐴∈ , maka dengan Teorema 2.1.2 (1) 퐹 terbuka. Dengan Teorema 2.1.3 ter-
bukti bahwa 퐹 tertutup.
Selanjutnya akan dibuktikan bahwa 퐹 adalah himpunan terbatas. Misalkan {퐵 (푥 )}
adalah selimut dari 퐹, yaitu 퐹 ⊆ ⋃ 퐵 (푥 ). Karena 퐹 kompak, maka terdapat
푥 ,푥 ,푥 , … ,푥 sedemikian sehingga 퐹 ⊆ ⋃ 퐵 (푥 ). Misalkan
푀 = max 푑 푥 ,푥 , 1 ≤ 푖 < 푗 ≤ 푛 . Ambil sebarang 푥, 푦 ∈ 퐹, maka ada 푥 dan 푥
sedemikian sehingga 푥 ∈ 퐵 (푥 ) dan 푦 ∈ 퐵 푥 . Dengan ketaksamaan segitiga
diperoleh
푑(푥,푦) ≤ 푑(푥, 푥 ) + 푑 푥 , 푥 + 푑 푥 , 푦 ≤ 1 + 푀 + 1 = 2 + 푀.
Terbukti bahwa 퐹 terbatas. ∎
B. Ruang Fraktal
Diberikan (푋, 푑) adalah ruang metrik lengkap. Misalkan ℋ(푋) adalah keluarga
subhimpunan takkosong yang kompak dari 푋, yaitu
ℋ(푋) = {퐴:퐴 ⊂ 푋,퐴 ≠ ∅,퐴 kompak}.
Definisi 2.2.1
Misal (푋,푑) adalah ruang metrik lengkap. Jarak Hausdorff antara 퐴 dan 퐵 di ℋ(푋)
adalah
ℎ(퐴,퐵) = max{푑(퐴,퐵), 푑(퐵,퐴)}.
Teorema 2.2.1
ℎ adalah sebuah metrik pada ℋ(푋).
Bukti:
Untuk menunjukkan bahwa ℎ adalah metrik, maka harus dibuktikan bahwa ℎ meme-
nuhi sifat-sifat metrik.
(1) ℎ(퐴,퐵) = max {푑(퐴,퐵), 푑(퐵,퐴)}. Jika ℎ(퐴,퐵) = 푑(퐴,퐵), maka
ℎ(퐴,퐵) = 푑(퐴,퐵) = sup{푑(푎,퐵): 푎 ∈ 퐴}
= sup inf{푑(푎, 푏):푏 ∈ 퐵} : 푎 ∈ 퐴 ≥ 0,
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
27
karena 푑 adalah sebuah metrik, sehingga 푑(푎, 푏) ≥ 0.
Jika ℎ(퐴,퐵) = 푑(퐵,퐴), maka
ℎ(퐵,퐴) = 푑(퐵,퐴) = sup{푑(푏,퐴): 푏 ∈ 퐵}
= sup inf{푑(푏,푎): 푎 ∈ 퐴} :푏 ∈ 퐵 ≥ 0,
karena 푑 adalah sebuah metrik, sehingga 푑(푏, 푎) ≥ 0.
(2) Jika 퐴 = 퐵, maka untuk ∀푎 ∈ 퐴 memenuhi 푑(푎,퐵) = 0 dan ∀푏 ∈ 퐵 memenuhi
푑(푏,퐴) = 0. Dengan Definisi 2.2.1, maka
ℎ(퐴,퐵) = max{푑(퐴,퐵),푑(퐵,퐴)}
= max sup{푑(푎,퐵): 푎 ∈ 퐴}, sup{푑(푏,퐴): 푏 ∈ 퐵}
= 0
Selanjutnya, jika ℎ(퐴,퐵) = 0, maka max{푑(퐴,퐵),푑(퐵,퐴)} = 0 sehingga
푑(퐴,퐵) = 0 dan 푑(퐵,퐴) = 0. Karena 푑(퐴,퐵) = 0, maka sup {푑(푎,퐵):푎 ∈
퐴} = 0 sehingga ∀푎 ∈ 퐴 berlaku inf{푑(푎, 푏):푏 ∈ 퐵} = 0. Ambil sebarang 푎 ∈ 퐴,
maka inf{푑(푎, 푏):푏 ∈ 퐵} = 0. Jadi terdapat 푏 ∈ 퐵 sedemikian sehingga
푑(푎, 푏) = 0, yaitu 푎 = 푏. Jadi 푎 ∈ 퐵, maka 퐴 ⊆ 퐵.
Begitu juga untuk 푑(퐵,퐴) = 0. Karena 푑(퐵,퐴) = 0, maka sup {푑(푏,퐴):푏 ∈
퐵} = 0 sehingga ∀푏 ∈ 퐵 berlaku inf{푑(푏, 푎):푎 ∈ 퐴} = 0. Ambil sebarang 푏 ∈ 퐵,
maka inf{푑(푏, 푎):푎 ∈ 퐴} = 0. Jadi terdapat 푎 ∈ 퐴 sedemikian sehingga
푑(푏, 푎) = 0, yaitu 푏 = 푎 Jadi 푏 ∈ 퐴, maka 퐵 ⊆ 퐴. Terbukti jika ℎ(퐴,퐵) = 0,
maka 퐴 = 퐵. Dengan demikian terbukti bahwa ℎ(퐴,퐵) = 0 jika dan hanya jika
퐴 = 퐵.
(3) ℎ(퐴,퐵) = max {푑(퐴,퐵), 푑(퐵,퐴)} = max {푑(퐵,퐴), 푑(퐴,퐵) } = ℎ(퐵,퐴).
(4) ℎ(퐴,퐵) = max {푑(퐴,퐵), 푑(퐵,퐴)}
≤ max{푑(퐴,퐶) + 푑(퐶,퐵),푑(퐵,퐶) + 푑(퐶,퐴)}
≤ max{푑(퐴,퐶),푑(퐶,퐴)} + max{푑(퐶,퐵), 푑(퐵,퐶)}
≤ ℎ(퐴,퐶) + ℎ(퐵,퐶)
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
28
Dari (1), (2), (3) dan (4) terbukti bahwa ℎ adalah metrik pada ℋ(푋). ∎
C. Ukuran Lebesgue
Sebelum pembahasan yang lebih lanjut, berikut ini adalah kesepakatan-kesepa-
katan yang akan digunakan dalam pembahasan Teori Ukuran:
(1) Jika 푎 ∈ ℝ, maka −∞ < 푎 < ∞.
(2) Jika 푎 ∈ ℝ, maka 푎 + ∞ = ∞, 푎 − ∞ = −∞, ∞ + ∞ = ∞,−∞−∞ = −∞,∞−
∞ = tidak terdefinisi.
(3) Jika 푎 ∈ ℝ dan 푎 > 0, maka 푎 × ∞ = ∞.
(4) Jika 푎 ∈ ℝ dan 푎 < 0, maka 푎 × ∞ = −∞,푎 × (−∞) = ∞.
(5) Jika 푎 = 0 ∈ ℝ, maka 푎 × ∞ = 0.
Definisi 2.3.1
Panjang interval-interval (푎, 푏), (푎,푏], [푎,푏), [푎, 푏] adalah
ℓ(퐼) = 푏 − 푎.
Definisi 2.3.2
Misalkan 퐼 , 퐼 , 퐼 , … adalah interval-interval yang saling asing. Maka
ℓ(퐼 ∪ 퐼 ∪ 퐼 ∪ … ) = ℓ(퐼 ) + ℓ(퐼 ) + ℓ(퐼 ) + ⋯.
Berdasarkan definisi di atas jelas bahwa panjang dari gabungan interval-interval
yang saling asing adalah jumlah panjang interval-interval tersebut.
Definisi 2.3.3
Panjang dari himpunan terbuka 푂 = ⋃ 퐼 , dengan 퐼 adalah interval-interval ter-
buka yang saling asing, adalah
ℓ(푂 ) = ℓ(퐼 ) + ℓ(퐼 ) + ℓ(퐼 ) + ⋯ = ℓ(퐼 ).
Panjang dari himpunan kosong adalah
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
29
ℓ(∅ ) = 0.
Contoh 2.3.1
Hitunglah panjang himpunan
퐴 = 푥:1
2≤ 푥 <
12
.
Penyelesaian:
퐴 = 푥:1
2≤ 푥 <
12
퐴 =1
2,
12
= 퐼
퐼 = , 1), maka ℓ(퐼 ) = 1 − ,
퐼 = , , maka ℓ(퐼 ) = − ,
퐼 = , , maka ℓ(퐼 ) = − ,
dan seterusnya sampai ke 푛 dan diperoleh 퐼 = , yang panjangnya ℓ(퐼 ) =
− . Interval 퐼 adalah interval yang saling asing sehingga
ℓ(퐴) = ℓ 퐼
= ∑ ℓ(퐼 )
= ℓ(퐼 ) + ℓ(퐼 ) + ℓ(퐼 ) + ⋯+ ℓ(퐼 ) + ⋯
= 1 − + − + − + ⋯+ − + ⋯
= lim → 1 − = 1.
Jadi panjang himpunan 퐴 adalah 1.
Definisi 2.3.4
Himpunan 퐴 dikatakan terhitung jika 퐴 ≠ ∅ atau 퐴 berhingga atau 퐴 tak berhingga
yang ekivalen dengan himpunan semua bilangan asli.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
30
Definisi 2.3.5
Koleksi 풜 yang terdiri dari subhimpunan-subhimpunan dari 푋 disebut aljabar
himpunan jika dan hanya jika memenuhi
(1) ∅,푋 ∈ 풜;
(2) Jika 퐴 ∈ 풜, maka 퐴 ∈ 풜;
(3) Jika 퐴,퐵 ∈ 풜, maka 퐴 ∪ 퐵 ∈ 풜.
Definisi 2.3.6
Koleksi 풜 yang terdiri dari subhimpunan-subhimpunan dari 푋 disebut aljabar-휎 jika
dan hanya jika memenuhi
(1) ∅,푋 ∈ 풜;
(2) Jika 퐴 ∈ 풜, maka 퐴 ∈ 풜;
(3) Jika 퐴 ,퐴 ,퐴 , … ∈ 풜, maka ⋃ 퐴 ∈ 풜.
Pasangan (푋,풜) disebut ruang terukur.
Definisi 2.3.7
Fungsi 휇:풜 → ℝ, dengan 풜 suatu aljabar-휎 disebut ukuran pada 푋 jika :
(1) 휇(퐴) ≥ 0 untuk setiap 퐴 ∈ 풜;
(2) Jika 퐴 ,퐴 ,퐴 , … ∈ 풜 dan 퐴 ∩ 퐴 = ∅ untuk 푖 ≠ 푗, maka
휇(⋃ 퐴 ) = ∑ 휇(퐴 ) (sifat aditif terhitung)
Tripel (푋,풜, 휇) disebut ruang ukuran.
Definisi 2.3.8
Ukuran luar Lebesgue dari suatu himpunan 퐴 ⊆ ℝ adalah bilangan real tak negatif
푚∗(퐴) = inf 푍
dengan 푍 = {∑ ℓ(퐼 ): 퐼 adalah barisan interval sedemikian sehingga 퐴 ⊆
⋃ 퐼 } .
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
31
Barisan interval {퐼 } merupakan selimut dari 퐴. Jadi, ukuran luar Lebesgue dari 퐴
adalah infimum dari semua panjang selimut yang mungkin untuk 퐴. Adanya inf 푍
dijamin oleh 푍 yang merupakan himpunan takkosong dan merupakan barisan yang
terbatas ke bawah, yaitu oleh nol.
Teorema 2.3.1
Jika 퐴 ⊆ 퐵, maka 푚∗(퐴) ≤ 푚∗(퐵).
Bukti:
Misalkan ⊆ 퐵 . Ambil sebarang barisan {퐼 } selimut dari 퐵. Maka 퐴 ⊆ 퐵 ⊆ ⋃ 퐼 .
Jadi, setiap selimut dari 퐵 juga merupakan selimut dari 퐴, sehingga 푍 ⊂ 푍 , maka
inf 푍 ≤ inf 푍 . Jadi 푚∗(퐴) ≤ 푚∗(퐵). ∎
Teorema 2.3.2
Ukuran luar 푚∗ bersifat subaditif terhitung, yaitu untuk sebarang barisan himpunan
{퐸 } berlaku
푚∗ 퐸 ≤ 푚∗(퐸 ).
Bukti:
Pertama akan dibuktikan untuk n = 1 sampai 푛 = 2, yaitu
푚∗(퐸 ∪ 퐸 ) ≤ 푚∗(퐸 ) + 푚∗(퐸 ).
Akan ditunjukkan
푚∗(퐸 ∪ 퐸 ) ≤ 푚∗(퐸 ) + 푚∗(퐸 ) + 휀.
Ambil 휀 > 0, maka terdapat barisan selimut {퐼 } dari 퐸 dan {퐼 } dari 퐸 sedemikian
sehingga
ℓ(퐼 ) ≤ 푚∗(퐸 ) +휀2
ℓ(퐼 ) ≤ 푚∗(퐸 ) +휀2.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
32
Mak ∑ ℓ(퐼 ) + ∑ ℓ(퐼 ) ≤ 푚∗(퐸 ) + 푚∗(퐸 ) + 휀.
Barisan dari interval-interval {퐼 , 퐼 , 퐼 , 퐼 , 퐼 , 퐼 , … } menyelimuti 퐸 ∪ 퐸 sehingga
푚∗(퐸 ∪ 퐸 ) ≤ ∑ ℓ(퐼 ) + ∑ ℓ(퐼 ) . Jadi
푚∗(퐸 ∪ 퐸 ) ≤ ℓ(퐼 ) + ℓ(퐼 ) ≤ 푚∗(퐸 ) + 푚∗(퐸 ) + 휀.
Jika ∑ 푚∗(퐸 ) = ∞, maka pertidaksamaan benar. Misalkan ∑ 푚∗(퐸 ) < ∞.
Untuk setiap 휀 > 0, terdapat barisan selimut {퐼 } dari 퐸 sedemikian sehingga
ℓ(퐼 ) ≤ 푚∗(퐸 ) +휀
2 .
Kemudian diperoleh bahwa
ℓ(퐼 ) ≤ 푚∗(퐸 ) +휀
2
ℓ(퐼 ),
≤ 푚∗(퐸 ) + 휀 < ∞
Barisan interval {퐼 } menyelimuti ⋃ 퐸 sehingga
푚∗ 퐸 ≤ ℓ(퐼 ),
≤ 푚∗(퐸 ) + 휀 < ∞.
Jadi terbukti bahwa 푚∗(⋃ 퐸 ) ≤ ∑ 푚∗(퐸 ). ∎
Contoh 2.3.2
Buktikan jika 푚∗(퐴) = 0 maka untuk sebarang himpunan 퐵 berlaku 푚∗(퐴 ∪ 퐵) =
푚∗(퐵).
Penyelesaian:
Diketahui 푚∗(퐴) = 0. Ambil sebarang himpunan 퐵, maka 퐵 ⊆ 퐴 ∪ 퐵. Dengan Teo-
rema 2.3.1
푚∗(퐵) ≤ 푚∗(퐴 ∪ 퐵).
Dengan Teorema 2.3.2
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
33
푚∗(퐵) ≤ 푚∗(퐴 ∪ 퐵) ≤ 푚∗(퐴) + 푚∗(퐵).
Karena 푚∗(퐴) = 0, maka
푚∗(퐵) ≤ 푚∗(퐴 ∪ 퐵) ≤ 푚∗(퐵).
Jadi 푚∗(퐴 ∪ 퐵) = 푚∗(퐵).
Contoh 2.3.3
Buktikan jika 푚∗(퐴∆퐵) = 0, maka 푚∗(퐴) = 푚∗(퐵).
Penyelesaian:
Diketahui bahwa 푚∗(퐴∆퐵) = 0. Himpunan 퐴 ∪ 퐵 = 퐵 ∪ (퐴∆퐵).
Karena 퐴 ⊆ 퐴 ∪ 퐵, maka 퐴 ⊆ 퐵 ∪ (퐴∆퐵). Menurut Teorema 2.3.1 dan Teorema
2.3.2
푚∗(퐴) ≤ 푚∗ 퐵 ∪ (퐴∆퐵) ≤ 푚∗(퐵) + 푚∗(퐴∆퐵).
Jadi 푚∗(퐴) ≤ 푚∗(퐵).
Karena 퐵 ⊆ 퐴 ∪ 퐵 juga, maka 퐴 ⊆ 퐵 ∪ (퐴∆퐵). Menurut Teorema 2.3.1 dan Teorema
2.3.2
푚∗(퐵) ≤ 푚∗ 퐴 ∪ (퐴∆퐵) ≤ 푚∗(퐴) + 푚∗(퐴∆퐵).
Jadi 푚∗(퐵) ≤ 푚∗(퐴).
Terbukti 푚∗(퐴) = 푚∗(퐵).
Definisi 2.3.9
Himpunan 퐸 ⊆ ℝ dikatakan terukur Lebesgue jika untuk setiap 퐴 ⊆ ℝ berlaku
푚∗(퐴) = 푚∗(퐴 ∩ 퐸) + 푚∗(퐴 ∩ 퐸 ),
dan ditulis 퐸 ∈ ℳ, dengan ℳ adalah koleksi semua himpunan yang terukur Lebes-
gue.
Karena 퐴 = (퐴 ∩ 퐸) ∪ (퐴 ∩ 퐸 ), maka dengan sifat subaditif ukuran luar diperoleh
푚∗(퐴) ≤ 푚∗(퐴 ∩ 퐸) + 푚∗(퐴 ∩ 퐸 ),
sehingga untuk membuktikan bahwa 퐸 terukur Lebesgue cukup ditunjukkan
푚∗(퐴) ≥ 푚∗(퐴 ∩ 퐸) + 푚∗(퐴 ∩ 퐸 ),∀퐴 ⊆ ℝ.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
34
Selanjutnya himpunan yang terukur Lebesgue disebut himpunan terukur.
Teorema 2.3.3
(1) ℝ ∈ ℳ.
(2) Jika 퐸 ∈ ℳ, maka 퐸 ∈ ℳ.
(3) Jika 퐸 ∈ ℳ, 푘 = 1, 2, 3, …, maka ⋃ 퐸 ∈ ℳ.
(4) Jika 퐸 ∈ ℳ, 푘 = 1, 2, 3, …, maka
퐸 ∈ ℳ.
Bukti:
(1) Ambil sebarang 퐴 ⊆ ℝ. Akan dibuktikan 푚∗(퐴) = 푚∗(퐴 ∩ ℝ) + 푚∗(퐴 ∩ ℝ ),
∀퐴 ⊆ ℝ. 퐴 ∩ ℝ = 퐴, maka 푚∗(퐴 ∩ ℝ) = 푚∗(퐴). 퐴 ∩ ℝ = ∅, maka
푚∗(퐴 ∩ ℝ ) = 푚∗(∅) = 0. Maka
푚∗(퐴 ∩ ℝ) + 푚∗(퐴 ∩ ℝ ) = 푚∗(퐴) + 0 = 푚∗(퐴)
(2) Ambil sebarang 퐸 ∈ ℳ dan sebarang 퐴 ⊆ ℝ. Karena 퐸 ∈ ℳ, maka berlaku
푚∗(퐴) = 푚∗(퐴 ∩ 퐸) + 푚∗(퐴 ∩ 퐸 )
= 푚∗(퐴 ∩ 퐸 ) + 푚∗(퐴 ∩ 퐸)
= 푚∗(퐴 ∩ 퐸 ) + 푚∗(퐴 ∩ (퐸 ) ).
Terbukti 퐸 ∈ ℳ.
(3) Misalkan 퐸 ,퐸 ∈ ℳ dan 퐸 ∩ 퐸 = ∅. Karena 퐸 ∈ ℳ, maka
푚∗(퐴) = 푚∗(퐴 ∩ 퐸 ) + 푚∗(퐴 ∩ 퐸 ),
dan karena 퐸 ∈ ℳ, maka
푚∗(퐴) = 푚∗(퐴 ∩ 퐸 ) + 푚∗(퐴 ∩ 퐸 )
untuk setiap 퐴 ⊆ ℝ.
Maka
푚∗(퐴 ∩ 퐸 ) = 푚∗ (퐴 ∩ 퐸 ) ∩ 퐸 + 푚∗ (퐴 ∩ 퐸 ) ∩ 퐸 .
= 푚∗ 퐴 ∩ (퐸 ∩ 퐸 ) + 푚∗ 퐴 ∩ (퐸 ∩ 퐸 ) .
= 푚∗(퐴 ∩ 퐸 ) + 푚∗(퐴 ∩ (퐸 ∪ 퐸 ) ).
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
35
Jadi
푚∗(퐴) = 푚∗(퐴 ∩ 퐸 ) + 푚∗(퐴 ∩ 퐸 ) + 푚∗(퐴 ∩ (퐸 ∪ 퐸 ) ).
Dengan sifat subaditif ukuran luar, diperoleh
푚∗(퐴 ∩ 퐸 ) + 푚∗(퐴 ∩ 퐸 ) ≥ 푚∗ 퐴 ∩ (퐸 ∪ 퐸 ) ,
sehingga
푚∗(퐴) ≥ 푚∗ 퐴 ∩ (퐸 ∪ 퐸 ) + 푚∗(퐴 ∩ (퐸 ∪ 퐸 ) ).
Hasil di atas cukup untuk menunjukkan bahwa 퐸 ∪ 퐸 ∈ ℳ.
Selanjutnya
푚∗(퐸 ∪ 퐸 ) = 푚∗ (퐸 ∪ 퐸 ) ∩ 퐸 + 푚∗ (퐸 ∪ 퐸 ) ∩ 퐸 + 푚∗ (퐸 ∪ 퐸 ) ∩
(퐸 ∪ 퐸 )
= 푚∗(퐸 ) + 푚∗(퐸 ) + 푚∗(∅)
= 푚∗(퐸 ) + 푚∗(퐸 )
Terbukti untuk 푘 = 1, 2.
Sudah dibuktikan bahwa untuk 퐸 dan 퐸 yang saling asing berlaku
푚∗(퐴) = 푚∗(퐴 ∩ 퐸 ) + 푚∗(퐴 ∩ 퐸 ) + 푚∗(퐴 ∩ (퐸 ∪ 퐸 ) )
untuk setiap 퐴 ⊆ ℝ.
Secara umum, untuk 푘 = 1, 2, …푛 berlaku
푚∗(퐴) = 푚∗(퐴 ∩ 퐸 ) + 푚∗ 퐴 ∩ 퐸 .
Dari persamaan di atas, maka ketidaksamaan berikut juga berlaku
푚∗(퐴) ≥ 푚∗(퐴 ∩ 퐸 ) + 푚∗ 퐴 ∩ 퐸 .
Karena (⋃ 퐸 ) ⊆ (⋃ 퐸 ) maka menurut Teorema 2.3.1 berlaku
푚∗((⋃ 퐸 ) ) ≤ 푚∗((⋃ 퐸 ) ) sehingga
푚∗(퐴) ≥ 푚∗(퐴 ∩ 퐸 ) + 푚∗ 퐴 ∩ 퐸 .
Dengan sifat subaditif ukuran luar diperoleh
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
36
푚∗(퐴 ∩ 퐸 ) ≥ 푚∗ 퐴 ∩ 퐸 ,
sehingga
푚∗(퐴) ≥ 푚∗ 퐴 ∩ 퐸 + 푚∗ 퐴 ∩ 퐸 .
Terbukti bahwa ⋃ 퐸 ∈ ℳ.
(4) Diketahui 퐸 ∈ ℳ, 푘 = 1,2, …, maka menurut Teorema 2.3.3(2) 퐸 ∈ ℳ,
푘 = 1,2, … sehingga dengan Teorema 2.3.3(3) diperoleh bahwa ⋃ 퐸 ∈ ℳ.
Menurut Teorema 2.3.3(2) maka (⋃ 퐸 ) ∈ ℳ. Dengan Hukum De Morgan,
(⋃ 퐸 ) = ⋂ (퐸 ) = ⋂ 퐸 ∈ ℳ. Jadi, terbukti bahwa irisan dari
himpunan-himpunan di ℳ juga berada di ℳ. ∎
Teorema 2.3.3 menunjukkan bahwa ℳ tertutup terhadap komplemen gabungan
dan irisan koleksi terhitung himpunan.
Definisi 2.3.10
Jika 퐸 ∈ ℳ, maka 푚∗(퐸) ditulis 푚(퐸) dan disebut ukuran Lebesgue himpunan 퐸.
Teorema 2.3.4
Jika 퐴,퐵 ∈ ℳ dan 퐴 ⊂ 퐵, maka 푚(퐴) ≤ 푚(퐵).
Bukti:
Diketahui 퐴 ⊆ 퐵, maka menurut Teorema 2.3.1 푚∗(퐴) ≤ 푚∗(퐵). Karena ,퐵 ∈ ℳ,
maka 푚∗(퐴) = 푚(퐴) dan 푚∗(퐵) = 푚(퐵). Jadi 푚(퐴) ≤ 푚(퐵). ∎
Definisi 2.3.11
Misalkan (푋,푑) ruang metrik. Aljabar-휎 terkecil yang memuat semua himpunan ter-
buka dalam 푋 disebut Aljabar-휎 Borel 퐵. Anggota ℬ disebut himpunan Borel.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
37
D. Fungsi Kompleks
Definisi 2.4.1
Bilangan kompleks adalah bilangan yang berbentuk 푧 = 푎 + 푖푏 atau 푧 = 푎 + 푏푖 de-
ngan 푎 dan 푏 bilangan real dan 푖 = −1.
Jika 푧 = 푎 + 푖푏 menyatakan sebarang bilangan kompleks, maka 푎 adalah bagian real
dari 푧, ditulis Re(푧), sedangkan 푏 adalah bagian imajiner dari 푧, ditulis Im(푧).
Himpunan semua bilangan kompleks dinotasikan dengan ℂ.
Bilangan kompleks 푎 + 푖푏 dapat digambarkan secara geometris sebagai titik (푎,푏) di
bidang Cartesius ℝ ×ℝ.
Definisi 2.4.2
Untuk setiap bilangan kompleks 푧 = 푎 + 푖푏, bilangan kompleks 푧̅ = 푎 − 푖푏 disebut
konjugat bilangan 푧.
Definisi 2.4.3
Bilangan kompleks 푧 = 푎 + 푖푏 dan 푧 = 푐 + 푖푑 dikatakan sama jika dan hanya jika
푥 = 푥 dan 푦 = 푦 . Dengan kata lain, dua bilangan kompleks sama jika dan hanya
jika bagian realnya sama dan bagian imajinernya juga sama.
Definisi 2.4.4
Jika 푧 = 푎 + 푖푏 dan 푧 = 푐 + 푖푑 adalah dua bilangan kompleks, maka penjumlahan,
pengurangan, perkalian, dan pembagian didefinisikan sebagai berikut:
(1) (푎 + 푖푏 ) + (푐 + 푖푑) = (푎 + 푐) + 푖(푏 + 푑)
(2) (푎 + 푖푏 ) − (푐 + 푖푑) = (푎 − 푐) + 푖(푏 − 푑)
(3) (푎 + 푖푏 ) × (푐 + 푖푑) = (푎푐 − 푏푑) + 푖(푎푑 + 푏푐)
(4) (푎 + 푖푏 ) ÷ (푐 + 푖푑) = + 푖
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
38
Definisi 2.4.5
Modulus dari bilangan kompleks 푧 = 푎 + 푖푏, dinyatakan dengan |푧|, adalah bilangan
real taknegatif |푧| = √푎 + 푏 . Modulus dari 푧 juga disebut nilai mutlak dari 푧.
Definisi 2.4.6
Bilangan 푧 = 푎 + 푖푏 dapat dinyatakan dengan rumus Euler 푒 = cos휑 + 푖 sin휑,
yaitu 푧 = 푟 (cos휑 + 푖 sin휑) = 푟푒 , yang disebut bentuk kutub bilangan kompleks
z.
Definisi 2.4.7
Fungsi 푓 yang terdefinisi pada himpunan semua bilangan kompleks ℂ dikatakan kon-
tinu pada titik 푧 ∈ ℂ jika untuk setiap 휀 > 0 terdapat 훿 > 0 sedemikian sehingga un-
tuk 푧 ∈ ℂ yang memenuhi |푧 − 푧 | < 훿 berlaku |푓(푧)− 푓(푧 )| < 휀.
Fungsi 푓 dikatakan kontinu pada ℂ jika 푓 kontinu di setiap 푧 ∈ ℂ.
Definisi 2.4.8
Fungsi kompleks 푓 dikatakan terdiferensial di 푧 ∈ ℂ jika lim →( ) ( ) ada. Ni-
lai dari lim →( ) ( ) disebut turunan f di 푧 , dinotasikan dengan 푓 (푧 ).
Definisi 2.4.9
Diberikan (ℂ, 푑) dengan 푑 metrik biasa¸yaitu 푑(푧 , 푧 ) = |푧 − 푧 |. Fungsi 푓 dikata-
kan analitik di 푧 jika terdapat 푟 > 0 sedemikian sehingga 푓 (푧) ada untuk setiap
푧 ∈ 퐵 (푧 ).
Definisi 2.4. 10
Jika 푓:ℂ → ℂ, maka 푓 adalah komposisi sebanyak n-kali dari 푓 dengan dirinya sen-
diri, dan disebut iterasi dari 푓.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
39
Definisi 2.4.11
Jika 푓:ℂ → ℂ dan 푧 ∈ ℂ, maka barisan 푧 , 푧 = 푓(푧 ), 푧 = 푓 (푧 ), … , 푧 =
푓 (푧 ), … disebut orbit 푧 terhadap 푓.
Definisi 2.4.12
Titik 푧 ∈ ℂ disebut titik tetap dari fungsi 푓:ℂ → ℂ jika 푓(푧 ) = 푧 .
Misalkan 휆 = 푓′(푧 ), maka titik tetap 푧 disebut
(1) Penarik jika |휆| < 1
(2) Superpenarik jika |휆| = 0
(3) Penolak jika |휆| > 1
(4) Netral secara rasional jika |휆| = 1 dan 휆 = 1
(5) Netral secara irasional jika |휆| = 1 tetapi 휆 ≠ 1.
Definisi 2.4.13
Titik 푧 ∈ ℂ disebut titik periodik dari fungsi 푓:ℂ → ℂ jika 푓 (푧 ) = 푧 untuk suatu
푛 ∈ ℕ. Bilangan 푛 terkecil yang memenuhi 푓 (푧 ) = 푧 disebut periode dari 푧 .
Misalkan 휆 = (푓 )′(푧 ), maka titik periodik 푧 disebut
(1) Penarik jika |휆| < 1
(2) Superpenarik jika |휆| = 0
(3) Penolak jika |휆| > 1
(4) Netral secara rasional jika |휆| = 1 dan 휆 = 1
(5) Netral secara irasional jika |휆| = 1 tetapi 휆 ≠ 1.
E. Sistem Fungsi Iterasi
Definisi 2.5.1
Diberikan (푋,푑) ruang metrik. Suatu pemetaan 푓:푋 → 푋 disebut kontraksi jika terda-
pat 푐 ∈ [0, 1) sedemikian sehingga
푑 푓(푥),푓(푦) ≤ 푐 푑(푥, 푦),∀푥,푦 ∈ 푋.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
40
Bilangan 푐 disebut konstanta kontraksi.
Definisi 2.5.2
Orbit 푧 terhadap pemetaan 푓:ℂ → ℂ dikatakan terbatas jika terdapat 푚 > 0 sedemi-
kian sehingga |푓(푧)| < 푚.
Teorema 2.5.1
Diberikan (푋,푑) ruang metrik. Jika 푓:푋 → 푋 adalah pemetaan kontraksi pada ruang
metrik (푋, 푑) dengan konstanta kontraksi 푐, maka 푑 푓 (푥),푓 (푦) ≤ 푐 푑(푥,푦) un-
tuk setiap 푛 = 2,3,4, ….
Bukti:
Teorema tersebut akan dibuktikan dengan induksi matematika. Teorema benar untuk
푛 = 2, sebab
푑 푓 (푥),푓 (푦) = 푑 푓 푓(푥) ,푓 푓(푦)
≤ 푐 푑 푓(푥),푓(푦)
≤ 푐 ∙ 푐 푑(푥,푦) = 푐 푑(푥,푦)
Andaikan Teorema benar untuk 푛 = 푘, yaitu 푑 푓 (푥),푓 (푦) ≤ 푐 푑(푥, 푦).
Selanjutnya, akan dibuktikan bahwa Teorema juga benar untuk 푛 = 푘 + 1
푑 푓 (푥),푓 (푦) = 푑 푓 푓 (푥) ,푓 푓 (푦)
≤ 푐 푑 푓 (푥),푓 (푦)
≤ 푐 ∙ 푐 푑(푥, 푦) = 푐 푑(푥, 푦).
Terbukti bahwa 푑 푓 (푥),푓 (푦) ≤ 푐 푑(푥, 푦) untuk setiap 푛 = 2,3,4, …. ∎
Teorema 2.5.2
Diberikan (푋,푑) ruang metrik lengkap. Pemeteaan kontraksi 푓:푋 → 푋 hanya memili-
ki satu titik tetap dan setiap orbitnya konvergen ke titik tetap.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
41
Bukti:
Didefinisikan barisan {푥 }, 푥 ∈ 푋 dengan 푥 = 푓(푥 ). Diketahui bahwa 푓
merupakan pemetaan kontraksi, maka terdapat 푐 ∈ [0, 1) sedemikian sehingga ber-
laku 푑(푓(푥),푓(푦)) ≤ 푐 푑(푥, 푦). Maka
푑(푥 ,푥 ) = 푑 푓(푥 ),푓(푥 ) ≤ 푐 푑(푥 , 푥 ).
푑(푥 ,푥 ) ≤ 푐 푑(푥 , 푥 )
≤ 푐 푑(푥 , 푥 )
≤ 푐 푑(푥 , 푥 )
⋮
≤ 푐 푑(푥 ,푥 )
Maka untuk 푚 > 푛
푑(푥 ,푥 ) ≤ 푑(푥 ,푥 ) + 푑(푥 , 푥 ) + ⋯+ 푑(푥 ,푥 )
≤ 푐 푑(푥 ,푥 ) + 푐 푑(푥 ,푥 ) + ⋯+ 푐 푑(푥 ,푥 )
< 푐 푑(푥 ,푥 ) + 푐 푑(푥 ,푥 ) + ⋯
= (푐 + 푐 + ⋯ )푑(푥 ,푥 )
=푐
1 − 푐 푑(푥 ,푥 )
Untuk setiap 휀 > 0 dipilih 푁 ≥ 1 sedemikian sehingga 푑(푥 ,푥 ) < 휀. Untuk
푚 > 푛 > 푁, maka 푑(푥 ,푥 ) < 푑 < 푑(푥 , 푥 ) < 휀. Jadi {푥 } merupakan
barisan Cauchy. Karena 푋 lengkap, maka barisan Cauchy {푥 } konvergen ke suatu
titik di 푋. Misalkan {푥 } konvergen ke 푥 ∈ 푋. Akan dibuktikan 푥 adalah titik tetap
dari 푓.
푓(푥) = 푓 lim→
푥 = lim→
푓(푥 ) = lim→
푥 = 푥.
Akan dibuktikan bahwa 푓 hanya memiliki satu titik tetap. Misal 푦 juga adalah titik
tetap 푓, dengan 푦 ≠ 푥. Maka 푑(푥, 푦) = 푑(푓(푥),푓(푦)) ≤ 푐 푑(푥, 푦). Jika kedua ruas
dikalikan dengan ( , )
, maka diperoleh 푐 ≥ 1. Kontradiksi karena 푐 ∈ [0, 1). Ter-
bukti bahwa 푓 hanya memiliki satu titik tetap. Dengan demikian terbukti bahwa
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
42
pemetaan kontraksi hanya memiliki satu titik tetap 푥 dan setiap orbit dari 푓 konver-
gen ke 푥. ∎
Definisi 2.5.3
Himpunan berhingga dari kontraksi-kontraksi 푓 , 푗 ∈ ℕ dalam ruang metrik lengkap
(푋, 푑) disebut sistem fungsi iterasi (Iterated Function System-IFS).
Definisi 2.5.4
Diberikan (푋,푑) ruang metrik. Jika 푓 :푋 → 푋 (푖 = 1, … ,푚) adalah pemetaan-peme-
taan kontraksi pada ruang metrik (푋,푑) dengan konstanta kontraksi 푐 , maka himpu-
nan 퐴 ⊂ 푋 disebut invarian dari pemetaan 푓 jika 퐴 = ⋃ 푓 (퐴).
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
BAB III
DIMENSI FRAKTAL
Dimensi digunakan untuk mengukur, mendeskripsikan dan membandingkan su-
atu objek. Mandelbrot mengatakan bahwa fraktal adalah himpunan yang memiliki di-
mensi tidak bulat. Gagasan mendasar dari dimensi fraktal adalah menginvestigasi
himpunan-himpunan pada ukuran yang berbeda.
Dalam bab ini akan dibahas dua metode penghitungan dimensi fraktal, yaitu
dimensi Hausdorff dan dimensi kotak. Sebelum membahas lebih dalam tentang di-
mensi Hausdorff, akan dibahas terlebih dahulu tentang ukuran Hausdorff.
3.1 Ukuran Hausdorff
Definisi 3.1.1
Misalkan (ℝ ,푑) ruang metrik dengan metrik biasa, 퐹 ⊂ ℝ , dan 훿 > 0. Jika {푈 }
adalah koleksi terhitung dari himpunan-himpunan yang menyelimuti 퐹, yaitu
퐹 ⊂ ⋃ 푈 , dan 0 < 푑(푈 ) ≤ 훿, maka {푈 } disebut selimut-훿 dari 퐹.
Agar lebih sederhana, untuk sebarang himpunan takkosong 푈 ⊂ ℝ , 푑(푈) ditulis |푈|.
Definisi 3.1.2
Misalkan (ℝ ,푑) ruang metrik dengan 푑 metrik biasa. Untuk 퐴 ⊂ ℝ dan 푠 >
0,훿 > 0, didefinisikan ℋ (퐴) = inf{∑ |푈 | : {푈 } adalah selimut-훿 dari 퐴}.
Lema 3.1.1
Misalkan 퐸 ⊂ ℝ , 푠 > 0, dan 훿 > 0. Jika 훿 < 훿, maka
ℋ (퐸) ≥ ℋ (퐸).
Bukti:
Misalkan {푈′ } adalah selimut− 훿′ dari 퐸 dan {푈 } adalah selimut−훿′ dari 퐸.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
44
Karena 훿 < 훿, maka |푈′ | ≤ 훿 < 훿. Jadi setiap selimut-훿′ dari 퐸 adalah selimut-훿
dari 퐸. Maka
|푈′ | : |푈 | < 훿′ ⊂ |푈 | : |푈 | < 훿
inf |푈′ | : |푈 | < 훿′ ≥ inf |푈 | : |푈 | < 훿
ℋ (퐸) ≥ ℋ (퐸). ∎
Definisi 3.1.3
Untuk himpunan 퐸 ⊂ ℝ dan 푠 > 0 didefinisikan
ℋ (퐸) = lim→ℋ (퐸)
yang disebut ukuran Hausdorff dimensi-푠 dari 퐸.
Teorema 3.1.1
a) Jika 퐸 ⊂ 퐸 , maka ℋ (퐸 ) ≤ ℋ (퐸 ) (kemonotonan).
b) Untuk sebarang keluarga terhitung 퐸 dari himpunan-himpunan di ℝ , ber-
laku
ℋ 퐸 ≤ ℋ 퐸 .
c) Jika 퐸 = 퐸 ∪ 퐸 , dan 퐸 ∩ 퐸 = ∅ maka
ℋ (퐸 ∪ 퐸 ) = ℋ (퐸 ) + ℋ (퐸 ).
d) Jika 퐸 = ⋃ 퐸 , 퐸 saling asing, maka ℋ (퐸) = ∑ ℋ 퐸 .
Bukti:
a) Ambil sebarang selimut-훿 {푈 } dari 퐸 . Setiap selimut-훿 dari 퐸 merupakan
selimut-훿 untuk 퐸 karena 퐸 ⊂ 퐸 ⊂ ⋃ 푈 . Maka
|푈 | :퐸 ⊂ 푈 ⊂ |푈 | :퐸 ⊂ 푈
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
45
inf |푈 | :퐸 ⊂ 푈 ≤ inf |푈 | :퐸 ⊂ 푈
ℋ (퐸 ) ≤ ℋ (퐸 )
lim→ℋ (퐸 ) ≤ lim
→ℋ (퐸 )
Dengan Definisi 3.1.3 maka ℋ (퐸 ) ≤ ℋ (퐸 ).
b) Diberi 훿 > 0. Untuk setiap 푗 dipilih selimut-훿 푈 dari 퐸 sedemikian se-
hingga untuk 휀 > 0 berlaku
푈 ≤ ℋ 퐸 +휀
2 .
Maka
푈 ≤ ℋ 퐸 +휀
2
푈 ≤ ℋ 퐸 +휀
2,
푈 ≤ ℋ 퐸 + 휀,
Barisan selimut-훿 푈 adalah selimut-훿 dari 퐸 = ⋃ 퐸 , maka
inf 푈,
≤ 푈 ≤ ℋ 퐸 + 휀,
ℋ (퐸) ≤ ℋ 퐸 + 휀
lim→ℋ (퐸) ≤ lim
→ℋ 퐸 + 휀
ℋ (퐸) ≤ ℋ 퐸
untuk 휀 → 0. Jadi terbukti ℋ ⋃ 퐸 ≤ ∑ ℋ 퐸 .
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
46
c) Dengan Teorema 3.1.1(b), maka ℋ (퐸 ∪ 퐸 ) ≤ ℋ (퐸 ) + ℋ (퐸 ).
Misal {푈 } adalah selimut-훿 untuk 퐸 ∪ 퐸 sedangkan {푈 } dan {푈 } secara ber-
turut-turut adalah selimut-훿 untuk 퐸 dan 퐸 . Karena setiap selimut-훿 untuk
퐸 ∪ 퐸 juga merupakan selimut-훿 untuk 퐸 dan 퐸 , maka
|푈 | ⊂ 푈푖′ + 푈푖′′
푖푛푓 푈푖′ + 푈푖′′ ≤ 푖푛푓 |푈 |
푖푛푓 푈푖′ + 푖푛푓 푈푖′′ ≤ 푖푛푓 |푈 |
ℋ (퐸 ) + ℋ (퐸 ) ≤ ℋ (퐸)
Ambil 훿 → 0 dan diperoleh ℋ (퐸) > ℋ (퐸 ) + ℋ (퐸 ).
Dengan demikian terbukti ℋ (퐸 ∪ 퐸 ) = ℋ (퐸 ) + ℋ (퐸 ).
d) Akan dibuktikan dengan induksi matematis.
Untuk 푘 = 2 telah dibuktikan dalam (푐). Dimisalkan bahwa berlaku
ℋ ⋃ 퐸 = ∑ ℋ 퐸 . Akan dibuktikan bahwa sifat tersebut juga berla-
ku untuk 푘 + 1.
ℋ 퐸 = ℋ 퐸 ∪ 퐸
= ℋ 퐸 + ℋ (퐸 )
= ℋ 퐸 + ℋ (퐸 )
= ℋ 퐸
Terbukti ℋ ⋃ 퐸 = ∑ ℋ 퐸 . ∎
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
47
Teorema 3.1.2
Jika 퐸 ⊂ ℝ dan 휆 > 0, maka ℋ (휆퐸) = 휆 ℋ (퐸), di mana 휆퐸 = {휆푥:푥 ∈ 퐸}, yai-
tu himpunan 퐸 diskala oleh faktor 휆.
Bukti:
Misalkan {푈 } adalah selimut-훿 dari 퐸, maka {휆푈 } adalah selimut-휆훿 dari 휆퐸, se-
hingga
ℋ (휆퐸) = 푖푛푓 |휆푈 |
= 푖푛푓 휆 |푈 |
= 푖푛푓 휆 |푈 |
= 휆 푖푛푓 |푈 |
= 휆 ℋ (퐹)
Untuk 훿 → 0, maka ℋ (휆퐸) = 휆 ℋ (퐸). ∎
Lema 3.1.2
Untuk setiap 퐸 ⊂ ℝ dan setiap 푠, 푡 ∈ ℝ dengan 푡 > 푠 > 0 berlaku
ℋ (퐸) ≥ 훿 ℋ (퐸).
Bukti:
Misalkan {푈 } adalah selimut-훿 dari 퐸. Untuk setiap 푖 berlaku 0 < | | ≤ 1, sehingga
|푈 |훿
≥|푈 |훿
|푈 |훿
≥|푈 |훿
|푈 | ≥|푈 |훿
훿
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
48
|푈 | ≥ 훿 |푈 |
Dengan mengambil infimumnya diperoleh ℋ (퐸) ≥ 훿 ℋ (퐸). ∎
Teorema 3.1.3
Untuk sebarang 푠, 푡 ∈ ℝ dengan 푡 > 푠, jika ℋ (퐸) < ∞, maka ℋ (퐸) = 0. Jika
ℋ (퐸) > 0, maka ℋ (퐸) = ∞.
Bukti:
Dengan Lema 3.1.2, maka
ℋ (퐸) ≥ 훿 ℋ (퐸)
훿 ℋ (퐸) ≥ ℋ (퐸)
lim→훿 ℋ (퐸) ≥ lim
→ℋ (퐸)
0 ≥ ℋ (퐸).
Maka ℋ (퐸) = 0.
Selanjutnya,
ℋ (퐸) ≥ 훿 ℋ (퐸)
lim→ℋ (퐸) ≥ lim
→훿 ℋ (퐸) = ∞
ℋ (퐹) = ∞.
Dengan demikian terbukti ℋ (퐸) = 0 jika ℋ (퐸) < ∞, dan ℋ (퐸) = ∞ jika
ℋ (퐸) > 0. ∎
Lema 3.1.3
Untuk setiap 퐸 ⊂ ℝ dan untuk setiap 푠 > 푛, maka 퐻 (퐸) = 0.
Bukti:
Dengan Lema 3.1.2, untuk 푠 > 푛 berlaku
ℋ (퐸) ≥ 훿 ℋ (퐸)
ℋ (퐸) ≤ 훿 ℋ (퐸)
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
49
ℋ (퐸) = lim→ℋ (퐸) ≤ lim
→훿 ℋ (퐸) = 0.
Terbukti 퐻 (퐸) = 0 untuk setiap 푠 > 푛. ∎
Teorema 3.1.4
Untuk setiap 퐸 ⊂ ℝ , terdapat bilangan tunggal 푠 ∈ [0,∞) sedemikian sehingga
ℋ (퐸) = +∞ jika 푡 < 푠 0 jika 푡 > 푠.
Bukti:
Dengan Lema 3.1.3, himpunan 퐴 = {푠 > 0:퐻 (퐸) < +∞} merupakan himpunan tak
kosong dan terbatas ke bawah sehingga himpunan tersebut memiliki infimum. Misal-
kan infimum dari 퐴 adalah 푠 . Selanjutnya dengan Lema 3.1.2 , untuk 푡 > 푠 berlaku
ℋ (퐸) ≥ 훿 ℋ (퐸),
sehingga
ℋ (퐸) = lim→ℋ (퐸) ≤ lim
→훿 ℋ (퐸) = 0.
Dan untuk 푡 < 푠 berlaku
ℋ (퐸) ≥ 훿 ℋ (퐸),
sehingga
ℋ (퐸) = lim→ℋ (퐸) ≥ lim
→훿 ℋ (퐸) = lim
→
1훿 ℋ (퐸) = +∞.
Dengan demikian terbukti bahwa terdapat bilangan tunggal 푠, yaitu 푠 = inf(퐴) se-
demikian sehingga ℋ (퐸) = 0 untuk 푡 > 푠 dan ℋ (퐸) = +∞ untuk 푡 < 푠. ∎
Teorema 3.1.5
Jika 퐸 adalah himpunan terhitung, maka ℋ (퐸) = 0.
Bukti:
Diberi 푠 > 0 dan 훿 > 0. Misalkan 퐸 = {푎 : 푖 = 1,2, … , 푛} adalah himpunan terhi-
tung. Diberikan selimut-훿 dari 퐸 yaitu 푈 = 푎 − , 푎 + sehingga
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
50
|푈 | = 푠푢푝 푎 +휀
2− 푎 +
휀
2
= 푠푢푝2휀
2=
휀
2.
Maka
ℋ (퐸) ≤ |푈 | =휀
2≤ 휀
12
= 휀 .
Dengan mengambil limit untuk 휀 → 0 diperoleh
ℋ (퐸) ≤ lim→휀 = 0.
Kemudian, dengan mengambil limit ℋ (퐸) untuk 훿 → 0 diperoleh
lim→ℋ (퐸) ≤ 0
ℋ (퐸) ≤ 0.
Jadi ℋ (퐸) = 0. ∎
Teorema 3.1.6
Jika 푓:ℝ → ℝ merupakan suatu kontraksi, maka untuk 퐸 ⊂ ℝ , ℋ 푓(퐸) ≤푐 ℋ (퐸) .
Bukti:
Ambil 훿 > 0, misalkan {푈 } adalah selimut-훿 dari 퐸 dan {푉 } adalah selimut-훿 dari 푓(퐸).
|푉 | = 푠푢푝{푑(푥 , 푦′):푥 ,푦′ ∈ 푓(퐸)}
= 푠푢푝 푑 푓(푥),푓(푦) : 푥,푦 ∈ 퐸
≤ 푠푢푝{푐 푑(푥, 푦):푥, 푦 ∈ 퐸}
= 푐 푠푢푝{푑(푥, 푦):푥, 푦 ∈ 퐸}
= 푐 |푈 |
Diperoleh bahwa |푉 | ≤ 푐 |푈 |, maka
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
51
|푉 | ≤ 푐 |푈 |
푖푛푓 |푉 | ≤ 푐 푖푛푓 |푈 |
ℋ 푓(퐸) ≤ 푐 ℋ (퐸).
Dengan mengambil 훿 → 0, maka ℋ 푓(퐸) ≤ 푐 ℋ (퐸). ∎
3.2 Dimensi Hausdorff
Berikut akan didefinisikan dimensi Hausdorff dengan berdasarkan Teorema 3.1.4.
Definisi 3.2.1
Untuk setiap 퐸 ⊂ ℝ , dimensi Hausdorff (dimensi Hausdorff-Besicovitch) dari 퐸,
yaitu dim (퐸), adalah bilangan tunggal 푠 ≥ 0 sedemikian sehingga
퐻 (퐸) = +∞ jika 푡 < 푠 0 jika 푡 > 푠.
Teorema 3.2.1
Untuk setiap 퐸 ⊂ ℝ , dim (퐸) = inf{푠:퐻 (퐸) = 0}.
Bukti:
Jika dim (퐸) = 푠 , maka dengan Definisi 3.2.1, 퐻 (퐸) = 0 untuk 푠 > 푠 dan
퐻 (퐸) = +∞ untuk 푠 < 푠 . Maka inf = {푠:퐻 (퐸) = 0} = inf{푠: 푠 > 푠 } = 푠 .
Dengan demikian terbukti bahwa 푠 = dim (퐸) = inf{푠:퐻 (퐸) = 0}. ∎
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
52
Teorema 3.2.2
a) Jika 퐸 ⊂ 퐹, maka dim (퐸) ≤ dim (퐹).
b) Jika 퐸 = ⋃ 퐸 , maka dim (퐸) = sup dim (퐸 ).
Bukti:
a) Karena 퐸 ⊂ 퐹, maka dengan Teorema 3.1.1(푎) berlaku ℋ (퐸) ≤ ℋ (퐹). Jadi
sup{푠:ℋ (퐸) = ∞} ≤ sup{푠:ℋ (퐹) = ∞}
dim (퐸) ≤ dim (퐹).
b) Misalkan 퐸 = ⋃ 퐸 , maka 퐸 ⊂ 퐸 untuk setiap 푖 = 1, 2 …. Dengan (푎), maka
dim (퐸 ) ≤ dim (퐸), sehingga sup dim (퐸 ) ≤ dim (퐸) untuk setiap
푖 = 1,2, …
Untuk ketidaksamaan yang sebaliknya, misalkan terdapat 푠 ∈ ℝ sedemikian se-
hingga 푠 > sup dim (퐸 ). Dengan Lema 3.1.3, maka 퐻 (퐸 ) = 0. Dengan Teo-
rema 3.1.2, maka ℋ (퐸) ≤ ∑ ℋ (퐸 ) = 0. Jadi ℋ (퐸) ≤ 0. Jadi ℋ (퐸) = 0.
Dengan Teorema 3.2.1 maka dim (퐸) = inf {푠:ℋ (퐸) = 0} ≤ sup dim (퐸 ).
Jadi dim (퐸) ≤ sup dim (퐸 ). Dengan demikian terbukti dim (퐸) =
sup dim (퐸 ) . ∎
Contoh 3.2.1
dim (ℝ ) = 푛.
Penyelesaian:
Untuk 0 < 푠 < 푛 berlaku
ℋ (ℝ ) ≥ 훿 ℋ (ℝ )
lim→ℋ (ℝ ) ≥ lim
→훿 ℋ (ℝ ) = ∞.
Sedangkan untuk 0 < 푛 < 푠 berlaku
ℋ (ℝ ) ≥ 훿 ℋ (ℝ )
ℋ (ℝ ) ≤ 훿 ℋ (ℝ )
lim→ℋ (ℝ ) ≤ lim
→훿 ℋ (ℝ ) = 0.
Diperoleh bahwa
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
53
ℋ (ℝ ) = ∞ untuk 푠 < 푛0 untuk 푠 > 푛.
Jadi dim (ℝ ) = 푛.
Dari contoh di atas dapat disimpulkan bahwa 푑푖푚 (ℝ) = 1, 푑푖푚 (ℝ ) = 2,
푑푖푚 (ℝ ) = 3, dan seterusnya.
Contoh 3.2.2
Hitung dimensi Hausdorff untuk himpunan Cantor 퐶.
Penyelesaian:
Himpunan Cantor 퐶 merupakan himpunan dalam selang terutup [0, 1] dengan
퐶 = ⋂ 퐶 .
0 1 퐶 = [0,1]
0 1 퐶 = 0, ∪ , 1
0 1 퐶 = 0, ∪ , ∪
, ∪ , 1
⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮
Pada langkah ke-푛 diperoleh himpunan 퐶 yang terdiri dari 2 interval tertutup dan
saling asing dengan panjang interval . Misal {푈 } adalah selimut-훿 dari 퐶 dengan
훿 = dan 푈 merupakan interval –interval tertutup. 퐻 (퐶) = inf ∑ |푈 | ≤
∑ |푈 | = 2 . Agar 퐻 (퐶) ≤ 1, maka 2 ≤ 1. Diperoleh 푠 ≥ . Jadi
untuk 푠 ≥ dan 훿 → 0, maka 퐻 (퐶) ≤ 1.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
54
Akan dibuktikan bahwa 푠 = adalah dim (퐶). Untuk membuktikan bahwa
푠 = dim (퐶), akan ditunjukkan bahwa ≤ 퐻 (퐶) ≤ 1. Sudah dibuktikan bahwa
퐻 (퐶) ≤ 1 jika 푠 ≥ . Selanjutnya, akan ditunjukkan ditunjukkan 퐻 (퐶) ≥ . Ka-
rena 퐶 kompak, maka terdapat subselimut berhingga yang menyelimuti 퐶. Misal {푈 }
adalah selimut berhingga dari 퐶. Untuk setiap 푈 berlaku ≤ |푈 | ≤ sehingga
selimut 푈 dapat beririsan dengan paling banyak satu interval tertutup penyusun 퐶 .
Jika 푗 ≥ 푛, maka banyak interval penyusun 퐶 yang beririsan dengan 푈 paling ba-
nyak 2 . Karena 푠 = , maka 2 = 2 3 = 2 3 = 1, sehingga
2 = 3 . Selanjutnya,
2 = 2 2 = 2 3 = 2 3 3 ( ) ≤ 2 3 |푈 | .
Karena 푈 beririsan dengan semua 2 interval penyusun 퐶, maka
2 ≤ 2 3 |푈 |
|푈 | ≥ 3 = 3 =12.
Dengan demikian terbukti bahwa s = dim (퐶) = .
3.3 Dimensi Kotak
Dimensi dimensi kotak adalah salah satu metode penghitungan dimensi yang sering
digunakan karena relatif lebih mudah dalam penghitungan. Metode ini dinilai lebih
mudah diterapkan daripada dimensi Hausdorff. Gagasan mendasar penghitungan di-
mensi kotak adalah pengukuran pada skala 훿. Objek yang akan dihitung dimensinya
ditempatkan pada jaring-jaring persegi berukuran 훿, kemudian dihitung banyaknya
kotak yang memuat objek tersebut. Banyaknya kotak yang memuat objek tersebut,
misalnya disimbolkan dengan 풩, yang tergantung pada skala 훿.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
55
Definisi 3.3.1
Dalam ruang metrik lengkap ℝ dengan metrik biasa, misalkan 퐹 adalah subhimpu-
nan takkosong dan 풩 (퐹) adalah jumlah minimum himpunan-himpunan dengan di-
ameter tidak lebih dari 훿 yang dapat menyelimuti 퐹.
Dimensi kotak bawah dari 퐹 adalah
dim 퐹 = lim→
inflog풩 (퐹)− log훿
dan dimensi kotak atas dari 퐹 adalah
dım 퐹 = lim→
suplog풩 (퐹)− log 훿 .
Jika dim 퐹 = dım 퐹, maka nilai yang sama itu disebut dimensi kotak dari 퐹
dim 퐹 = lim→
log풩 (퐹)− log훿 .
Contoh 3.3.1
Himpunan Cantor 퐶 adalah irisan dari keluarga himpunan {퐶 :푛 ∈ ℕ} dalam selang
tertutup [0,1] dengan 퐶 = [0,1], 퐶 = 0, ∪ , 1 dan seterusnya. Hitung dimensi
kotak dari himpunan Cantor 퐶.
Penyelesaian:
Himpunan Cantor 퐶 merupakan himpunan dalam selang terutup [0, 1].
0 1 퐶 = [0,1]
0 1 퐶 = 0, ∪ , 1
0 1 퐶 = 0, ∪ , ∪
, ∪ , 1
Pada langkah ke-푛 diperoleh himpunan 퐶 yang terdiri dari 2 interval tertutup yang
saling asing dan panjang masing-masing interval adalah . Barisan {퐶 } adalah seli-
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
56
mut dari 퐶. Jadi 푁 (퐶) = 2 dan = . Jika < 훿 ≤ , maka 푁 (퐶) ≤ 2 , se-
hingga
dim (퐶) = lim→
suplog풩 (퐶)− log훿
≤ lim→
log 2
− log 13
= lim→
푛 log 2(푛 − 1) log 3
=log 2log 3 lim
→
1(푛 − 1)
푛
=log 2log 3
Jadi dim (퐶) ≤ .
Selanjutnya, jika < 훿 ≤ , maka 푁 (퐶) ≥ 2 , sehingga
dim (퐶) = lim→
inflog풩 (퐶)− log훿
≥ lim→
log 2
− log 13
= lim→
푛 log 2(푛 + 1) log 3
=log 2log 3 lim
→
1(푛 + 1)
푛
=log 2log 3
Jadi dim (퐶) ≥ .
Karena lim → inf 풩 ( ) < lim → sup 풩 ( ), maka
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
57
log 2log 3 ≤ dim (퐶) ≤ dim (퐶) ≤
log 2log 3
Dengan demikian dimensi kotak dari himpunan Cantor adalah dim (퐶) = .
Contoh 3.3.2
Hitung dimensi kotak dari persegi satuan.
Penyelesaian:
Misal diberikan 퐴 persegi satuan. Persegi 퐴 akan diselimuti dengan persegi-persegi
kecil dengan sisi 휀. Jadi dibutuhkan sebanyak untuk bisa menyelimuti 퐴.
Jadi
dim (퐴) = lim→
log푁 (퐴)− log 휀
= lim→
log 1휀
− log 휀
= lim→
log 휀− log 휀
= lim→
−2log 휀− log 휀
= 2
Jadi dimensi kotak dari persegi satuan adalah 2.
Teorema 3.3.1
a) Jika 퐸 ⊂ 퐹, maka dim 퐸 ≤ dim 퐹 dan dım 퐸 ≤ dım 퐹 (monoton).
b) Jika 푄 adalah kubus takkosong di ℝ , maka dim 푄 = 푛.
c) Jika 퐸 ⊂ ℝ adalah himpunan terbatas, maka dım 퐸 ≤ 푛.
d) Jika 퐸 ⊂ ℝ adalah himpunan yang terbuka, maka dim 퐸 = 푛.
e) dım (퐸 ∪ 퐹) = max dım 퐸 ,dım 퐹 (kestabilan).
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
58
Bukti:
a) Misalkan 풩 (퐸) adalah jumlah minimum dari himpunan-himpunan berdiame-
ter 훿 yang menyelimuti 퐸, dan 풩 (퐹) adalah jumlah minimum dari himpu-
nan-himpunan berdiameter 훿 yang menyelimuti 퐹. Karena 퐸 ⊂ 퐹, maka
풩 (퐸) ≤ 풩 (퐹), sehingga
log풩 (퐸) ≤ log풩 (퐹)
log풩 (퐸)− log훿 ≤
log풩 (퐹)− log 훿
lim→
inflog풩 (퐸)− log훿 ≤ lim
→inf
log풩 (퐹)− log훿
dim 퐸 ≤ dim 퐹
Demikian pula,
lim→
suplog풩 (퐸)− log훿 ≥ lim
→sup
log풩 (퐹)− log훿
dım 퐸 ≥ dım 퐹
b) Misalkan 푄 memiliki panjang sisi 푠, dan 훿 = . Jelas bahwa 풩 (푄) =
(2 ) , sehingga
dim 푄 = lim→
log풩 (푄)log훿 = lim
→
log(2 )
log 푠2
= lim→
log풩 (푄)log훿 = lim
→
푛푘 log 2log 푠 − 푘 log 2
= lim→
1log 푠
푛푘 log 2 −푘 log 2푛푘 log 2
=1
lim→
log 푠푛푘 log 2 − lim
→
푘 log 2푛푘 log 2
=11푛
= 푛
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
59
c) Diketahui himpunan terbatas 퐸 ⊂ ℝ . Ambil kubus 푄 di ℝ sedemikian se-
hingga 퐸 ⊂ 푄. Dengan (푎) diperoleh dim 퐸 ≤ dim 푄. Karena 푄 adalah
kubus di ℝ , maka dim 푄 = 푛 menurut (푏). Jadi dim 퐸 ≤ 푛.
d) Diketahui himpunan terbuka 퐸 ⊂ ℝ . Ambil sebarang kubus 푄 di ℝ sedemi-
kian sehingga 퐸 ⊂ 푄. Dengan (푎) diperoleh dim 퐸 ≥ dim 푄 dan dım 퐸 ≥
dım 푄. Karena 푄 adalah kubus di ℝ , maka dim 푄 = 푛 menurut (푏).
di dim 퐸 ≤ 푛 dan dım 퐸 ≥ 푛, sehingga dim 퐸 = 푛.
e) Akan dibuktikan bahwa dım (퐸 ∪ 퐹)≤ max dım 퐸 ,dım 퐹 dan
dım (퐸 ∪ 퐹) ≥ max dım 퐸 , dım 퐹 .
Karena 퐸 ⊂ (퐸 ∪ 퐹) dan 퐹 ⊂ (퐸 ∪ 퐹), maka dım 퐸 ≤ dım (퐸 ∪ 퐹) dan
dım 퐹 ≤ dım (퐸 ∪ 퐹), sehingga dım (퐸 ∪ 퐹) ≥ max dım 퐸 ,dım 퐹 .
Selanjutnya, untuk membuktikan dım (퐸 ∪ 퐹)≤ max dım 퐸 , dım 퐹 ,
dimisalkan 풩 (퐸),풩 (퐹) dan 풩 (퐸 ∪ 퐹) berturut-turut adalah jumlah mini-
mum jaring-jaring yang beririsan dengan 퐸,퐹 dan 퐸 ∪ 퐹, yang diameternya
kurang dari 훿. Maka
풩 (퐸 ∪ 퐹) ≤ 풩 (퐸) + 풩 (퐹) ≤ 2 max{풩 (퐸),풩 (퐹)}
log풩 (퐸 ∪ 퐹) ≤ log 2 max{풩 (퐸),풩 (퐹)}
log풩 (퐸 ∪ 퐹) ≤ log 2 +max{log풩 (퐸), log풩 (퐹)}
log풩 (퐸 ∪ 퐹)− log 훿 ≤
log 2 +max{log풩 (퐸), log풩 (퐹)}
− log훿
lim휹→ퟎ
log풩 (퐸 ∪ 퐹)− log훿 ≤ lim
휹→ퟎ
log 2 +max{log풩 (퐸), log풩 (퐹)}
− log훿
lim휹→ퟎ
log풩 (퐸 ∪ 퐹)− log훿 ≤ lim
휹→ퟎ
max{log풩 (퐸), log풩 (퐹)}
− log훿
lim휹→ퟎ
log풩 (퐸 ∪ 퐹)− log훿 ≤ lim
휹→ퟎmax
log풩 (퐸)− log훿 ,
log풩 (퐹)− log훿
Jika diambil lim sup untuk 훿 → 0, maka
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
60
lim→
suplog풩 (퐸 ∪ 퐹)
− log훿 ≤ lim→
sup maxlog풩 (퐸)− log훿 ,
log풩 (퐹)− log훿
lim→
suplog풩 (퐸 ∪ 퐹)
− log훿 ≤ max lim→
suplog풩 (퐸)− log훿 , lim
→sup
log풩 (퐹)− log훿
dım (퐸 ∪ 퐹) ≤ max dım 퐸 , dım 퐹 .
Jadi, terbukti bahwa dım (퐸 ∪ 퐹) = max dım 퐸 , dım 퐹 . ∎
Teorema 3.3.2
Untuk setiap 퐸 ⊂ ℝ , berlaku dim 퐸 ≤ dim 퐸.
Bukti:
Jika dim 퐸 = 0, maka jelas bahwa dim 퐸 ≤ dim 퐸. Akan ditunjukkan, jika
푠 < dim 퐸, maka 푠 < dim 퐸. Karena 푠 < dim 퐸 berakibat lim → ℋ (퐸) =
ℋ (퐸) = ∞. Untuk nilai 훿 > 0 yang cukup kecil, maka ℋ (퐸) > 1. Ambil 훿 > 1.
Himpunan 퐸 dapat diselimuti oleh 풩 (퐸), yaitu jumlah minimum dari himpunan-
himpunan yang diameternya kurang dari 훿. Maka,
1 < ℋ (퐸) < 풩 (퐸)훿
log 1 < logℋ (퐸) < log풩 (퐸)훿
0 < logℋ (퐸) < log풩 (퐸)+log훿
0 < log풩 (퐸) + 푠 log훿
−푠 log 훿 < log풩 (퐸)
푠 >log풩 (퐸)−log훿
s < lim→
inflog풩 (퐸)−log훿 = dim 퐸.
Dengan demikian terbukti bahwa dim 퐸 ≤ dim 퐸. ∎
Teorema 3.3.2 menunjukkan adanya hubungan antara dimensi Hausdorff dan dimensi
hitung kotak.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
61
Teorema 3.3.3
Misal 푓 :ℝ → ℝ (푖 = 1, . . ,푚) adalah pemetaan kontraksi dengan konstanta kon-
traksi 푐 . Jika 퐹 adalah invarian dari pemetan 푓 , maka dim (퐹) = dim (퐹) = 푠
dengan 푠 memenuhi ∑ 푐 = 1.
Bukti:
Ambil 휀 > 0 sedemikian sehingga 푓 (퐹) + 휀 , 푓 (퐹) + 휀 , 푓 (퐹) + 휀 , …, 푓 (퐹) +
휀 saling asing. Jika 푁(퐹, 휀) adalah jumlah minimum jaring-jaring yang memuat 퐹,
maka 푁(퐹, 휀) = 푁(푓 (퐹), 휀) + 푁(푓 (퐹), 휀) + 푁(푓 (퐹),휀) + ⋯+ 푁(푓 (퐹),휀). Ka-
rena 푓 merupakan pemetaan kontraksi maka dengan konstanta kontraksi 푐 , maka
푁(퐹, 휀) = 푁 푓 (퐹),1푐 휀 + 푁 푓 (퐹),
1푐 휀 + 푁 푓 (퐹),
1푐 휀 + ⋯
+ 푁 푓 (퐹),1푐 휀
푐휀 = 푐푟 휀 + 푐푟 휀 + 푐푟 휀 + ⋯+ 푐푟 휀
푐휀 = (푟 + 푟 + 푟 + ⋯+ 푟 )푐휀
Dari persamaan di atas, maka dim (퐹) = 푠 dan 푠 memenuhi ∑ 푐 = 1.
Selanjutnya akan dibuktikan bahwa dimensi Hausdorff dari 퐹 juga 푠.
Misalkan 푈 adalah selimut-훿 dari 퐹 dan 푉 adalah selimut-훿 dari 푓 (퐹). Dengan Teo-
rema 3.1.6, ℋ 푓 (퐹) = 푐 ℋ (퐹), maka
ℋ 푓 (퐹) = 푐 ℋ (퐹).
Karena ∑ 푐 = 1, maka
ℋ 푓 (퐹) = ℋ (퐹).
Barisan {푉 } merupakan selimut-훿 dari 푓 (퐹), maka
|푉 | ≤ 훿
|푉 | ≤ 훿
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
62
|푉 | ≤ 훿 .
Infimum dari ℋ 푓 (퐹) tidak akan melebihi anggota-anggotanya, maka
ℋ 푓 (퐹) ≤ |푉 | ≤ 훿 .
Dengan mengambil limit untuk 훿 menuju nol diperoleh
lim→ℋ 푓 (퐹) ≤ lim
→푚훿 = 0.
Sehingga
ℋ (퐹) = ℋ 푓 (퐹) ≤ 0.
Jadi dim (퐹) = 푠. Dengan demikian terbukti dim (퐹) = dim = 푠. ∎
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
BAB IV
DIMENSI FRAKTAL HIMPUNAN JULIA
A. Himpunan Julia
Himpunan Julia, yang pertama kali diselidiki oleh matematikawan Perancis,
Gaston Julia, merupakan salah satu contoh fraktal yang didefinsikan pada bilangan
kompleks. Himpunan Julia dibangun dari iterasi-iterasi fungsi kompleks dengan di-
rinya sendiri. Banyak fraktal dari himpunan titik-titik di bidang kompleks didefinisi-
kan dengan fungsi yang sederhana. Salah satu fungsi yang membangun himpunan
Julia adalah 푧 = 푧 + 푐, dengan 푐 adalah bilangan kompleks. Fungsi tersebut ser-
ing disebut pemetaan kuadratik. Dalam matematika, khususnya Dinamika Kompleks,
himpunan Julia sangat erat kaitannya dengan himpunan Mandelbrot yang ditemukan
oleh Benoit Mandelbrot.
Definisi 4.1.1
Diberikan 푓 :ℂ → ℂ dengan 푓 (푧) = 푧 + 푐, 푐 ∈ ℂ. Himpunan semua titik di ℂ yang
mempunyai orbit yang terbatas terhadap 푓 , yaitu {푧 ∈ ℂ: {푓 (푧)} terbatas}, disebut
himpunan Julia penuh, dan dinotasikan dengan 퐾(푓 ).
Definisi 4.1.2
Misalkan (푋,푑) ruang metrik dan 퐴 ⊂ 푋. Titik 푎 ∈ 퐴 disebut titik batas dari himpu-
nan 퐴 jika untuk setiap 푟 > 0, bola terbuka 퐵 (푎) memuat titik anggota 퐴 dan titik
anggota 퐴 . Himpunan semua titik batas dari himpunan 퐴 disebut batas himpunan 퐴,
dan dinotasikan dengan 휕퐴.
Lema 4.1.1
Misalkan (푋,푑) ruang metrik dan 퐴 ⊂ 푋. Batas himpunan 퐴, yaitu ∂퐴 adalah himpu-
nan tertutup.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
64
Bukti:
Ambil sebarang 푎 ∈ ∂퐴, maka untuk setiap 푟 > 0 berlaku 퐵 (푎) ∩ (휕퐴 − {푎}) ≠ ∅.
Jadi sebarang 푎 ∈ ∂퐴, 푎 merupakan titik limit. Jadi ∂퐴 tertutup. ∎
Definisi 4.1.3
Diberikan 푓 :ℂ → ℂ dengan 푓 (푧) = 푧 + 푐. Batas dari himpunan Julia penuh disebut
himpunan Julia, dan dinotasikan dengan 퐽(푓 ).
Definisi 4.1.4
Komplemen dari himpunan Julia, yaitu 퐹(푓 ) = ℂ\퐽(푓 ) disebut himpunan Fatou.
Contoh 4.1.1
Diberikan fungsi 푓 (푧) = 푧 + 푐. Untuk 푧 = 푟푒 dan 푐 = 0, maka
푓 (푧 ) = 푟푒
푓 (푧 ) = 푟 푒 ( )
푓 (푧 ) = 푟 푒
⋮
푓 (푧 ) = 푟 푒 ( )
Orbit 푧 terhadap 푓 adalah 푟푒 , 푟 푒 ( ) , 푟 푒 , …, 푟 푒 ( ), …. Jika 푟 < 1,
maka untuk 푛 → ∞, nilai 푟 → 0. Jadi orbit dari 푧 akan menuju ke 0. Jika 푟 > 1,
maka untuk 푛 → ∞, nilai 푟 → ∞. Jadi orbit dari 푧 akan menuju ∞. Jika 푟 = 1,
maka untuk 푛 → ∞, nilai 푟 → 1. Jadi orbit dari 푧 lingkaran satuan. Dengan melihat
sifat orbit dari 푧 tersebut dapat diketahui bahwa himpunan Julia dari 푓 (푧) = 푧 ada-
lah berbentuk lingkaran.
Teorema 4.1.1
Diberikan 푓 :ℂ → ℂ dengan 푓 (푧) = 푧 + 푐, 푧 ∈ ℂ. Jika |푐| > 2, maka untuk setiap
|푧| ≥ |푐| berlaku lim → 푓 (푧) = ∞.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
65
Bukti:
Dengan ketaksamaan segitiga diperoleh |푓 (푧)| = |푧 + 푐| ≥ |푧 | − |푐|. Diketahui
|푧| ≥ |푐| > 2, maka
|푓 (푧)| = |푧 + 푐| ≥ |푧 |− |푐| ≥ |푧 | − |푧| = |푧|(|푧|− 1).
Karena |푧| > 2, maka terdapat 휆 > 0 sedemikian sehingga |푧| − 1 = 1 + 휆, sehingga
|푓 (푧)| ≥ (1 + 휆)|푧|.
Untuk 푛 = 2, maka
|푓 (푧)| = 푓 푓 (푧) ≥ (1 + 휆)|푓 (푧)|
≥ (1 + 휆)(1 + 휆)|푧|
= (1 + 휆) |푧|.
Dengan perulangan iterasi, diperoleh |푓 (푧)| ≥ (1 + 휆) |푧|, sehingga
lim → |푓 (푧)| ≥ lim → (1 + 휆) |푧| = ∞. ∎
Korolari 4.1.1
Jika |푧| > max{|푐|, 2}, maka |푓 (푧)| ≥ (1 + 휆) |푧| dan lim → 푓 (푧) = ∞.
Bukti :
Jika |푐| > 2, maka |푧| > max {|푐|, 2} = |푐|, sehingga dengan Teorema 4.1.1 dipero-
leh lim → 푓 (푧) = ∞. ∎
Korolari 4.1.2
Jika untuk suatu bilangan 푘 ∈ ℕ, |푓 (푧)| > max {|푐|, 2}, maka lim → 푓 (푧) = ∞.
Bukti:
Karena |푓 (푧)| > max {|푐|, 2}, maka dengan Korolari 4.1.1 diperoleh
lim→
푓 푓 (푧) = ∞
lim→
푓 (푧) = ∞
lim→
푓 (푧) = ∞ ∎
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
66
Korolari 4.1.3
Jika |푐| > 2, maka lim → 푓 (0) = ∞.
Bukti:
Untuk 푧 = 0, maka |푓 (0)| = |푐| dan |푓 (0)| = |푐 + 푐| > |푐 | − |푐| =
|푐|(|푐|− 1) > 2(|푐|− 1) > |푐| + |푐|− 2 > |푐| + 2− 2 = |푐| = max {|푐|, 2}.
Maka dengan Korolari 4.1.2 diperoleh lim → 푓 (0) = ∞. ∎
Teorema 4.1.2
Diberikan fungsi 푓 (푧) = 푧 + 푐, 푧, 푐 ∈ ℂ. Himpunan Julia penuh 퐾(푓 ) adalah
himpunan tertutup.
Bukti:
Untuk membuktikan 퐾(푓 ) tertutup, akan dibuktikan komplemennya, yaitu 퐾 (푓 ),
terbuka. Ambil sebarang 푧 ∈ 퐾 (푓 ), maka |푓 (푧 )| → ∞. Dengan demikian terda-
pat 푘 ∈ ℕ sedemikian sehingga |푓 (푧 )| > max{|푐|, 2}. Fungsi 푓 merupakan fungsi
kontinu, maka dapat dicari 훿 > 0 sedemikian sehingga untuk |푧 − 푧 | < 훿 berlaku
0 < |푓(푧)− 푓(푧 )| < 휀. Dengan ketaksamaan segitiga
|푓 (푧 )| − |푓 (푧)| ≤ |푓 (푧 ) − 푓 (푧)|
|푓 (푧 )| − |푓 (푧)| ≤ |푓 (푧 ) − 푓 (푧)|
|푓 (푧)| ≥ |푓 (푧 )|− |푓 (푧 ) − 푓 (푧)| > max{|푐|, 2}
Dengan Korolari 4.1.2, maka |푓 (푧)| → ∞. Jadi 푧 ∈ 퐾 (푓 ). Dengan demikian terda-
pat 퐵 (푧 ) ⊂ 퐾 (푓 ). Jadi 퐾 (푓 ) terbuka. Karena 퐾 (푓 ) terbuka, maka 퐾(푓 ) tertu-
tup. ∎
Korolari 4.1.4
Himpunan Julia 퐽(푓 ) tertutup dan 퐽(푓 ) ⊂ 퐾(푓 ).
Bukti:
Karena 퐽(푓 ) = 휕퐾(푓 ), maka dengan Lema 3.1.1 퐽(푓 ) tertutup. Selanjutnya, karena
퐾(푓 ) bersifat tertutup, maka semua titik limit 퐾(푓 ) berada di 퐾(푓 ). Akan dibukti-
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
67
kan bahwa untuk sebarang 푧 ∈ 휕퐾(푓 ), 푧 titik limit 퐾(푓 ). Ambil sebarang 푧 ∈
휕퐾(푓 ), maka untuk setiap 푟 > 0, 퐵 (푧) ∩ (퐾 − {푧}) ≠ ∅. Jadi untuk sebarang
푧 ∈ 휕퐾(푓 ), 푧 juga merupakan titik limit 퐾(푓 ). Karena 퐾(푓 ) tertutup, maka semua
titik limitnya berada di 퐾(푓 ). Jadi 푧 ∈ 퐾(푓 ) untuk sebarang 푧 ∈ 휕퐾(푓 ). Dengan
demikian terbukti bahwa himpunan Julia 퐽(푓 ) tertutup dan 퐽(푓 ) ⊂ 퐾(푓 ). ∎
Teorema 4.1.3
Himpunan Julia 퐽(푓 ) bersifat kompak.
Bukti:
Ambil sebarang 푧 ∈ 퐽(푓 ), maka 푧 ∈ 퐾(푓 ) sehingga lim → 푓 ≠ ∞. Dipilih
푟 = max{|푐|, 2} sehingga dengan Korolari 4.1.1 berlaku jika lim → 푓 ≠ ∞, maka
|푧| ≤ 푟. Jadi untuk sebarang 푧 ∈ 퐽(푓 ), 푧 ∈ 퐵 (0). Jadi 퐽(푓 ) ⊂ 퐵 (0). Terbukti
bahwa 퐽(푓 ) terbatas. Selanjutnya dengan Korolari 4.1.4, 퐽(푓 ) tertutup. Dengan
demikian 퐽(푓 ) kompak. ∎
Teorema 4.1.4
Diberikan 퐷 = {푧||푧| < |푐|}. Jika (푓 ) (퐷) = {푧|푓 (푧) ∈ 퐷}, yaitu prapeta dari 퐷
oleh pemetaan 푓 , maka 퐾(푓 ) = ⋂ (푓 ) (퐷).
Bukti:
Jika 푧 ∉ ⋂ (푓 ) (퐷)∈ℕ , maka 푓 (푧) ∉ 퐷 untuk suatu 푘 ∈ ℕ, yaitu |푓 (푧)| ≥ |푐|.
Dengan Korolari 4.1.2 maka orbit dari 푧 tidak terbatas. Jadi 푧 ∉ 퐾(푓 ).
Sebaliknya, jika 푧 ∈ ⋂ (푓 ) (퐷)∈ℕ , maka 푓 (푧) ∈ 퐷 untuk setiap 푛 ∈ ℕ. Jadi
푓 (푧) terbatas, sehingga 푧 ∈ 퐾(푓 ).
Dengan demikian terbukti 퐾(푓 ) = ⋂ 푓 (퐷) . ∎
Definisi 4.1.5
Himpunan 퐺 dikatakan invarian maju terhadap pemetaan 푓 bila 푓(퐺) ⊆ 퐺.
Himpunan 퐺 dikatakan invarian mundur terhadap pemetaan 푓 bila 푓 (퐺) ⊆ 퐺.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
68
Himpunan 퐺 dikatakan invarian lengkap terhadap pemetaan 푓 bila 푓(퐺) ⊆ 퐺 dan
푓 (퐺) ⊆ 퐺.
Teorema 4.1.5
Himpunan Julia 퐽(푓 ) bersifat invarian lengkap terhadap 푓 .
Bukti:
Akan dibuktikan bahwa 푓 퐽(푓 ) ⊆ 퐽(푓 ) dan 푓 퐽(푓 ) ⊆ 퐽(푓 ).
Ambil sebarang 푧 ∈ 퐽(푓 ), maka 푧 ∈ 퐾(푓 ). Maka lim → 푓 (푧) < ∞. Karena 푧
merupakan titik batas 퐾 maka ada 푤 ∈ 퐵 (푧)sedemikian sehingga lim → 푤 = 푧
dan lim → 푓 (푤 ) = ∞. Karena 푓 kontinu, maka dapat dicari 훿 sedemikian se-
hingga untuk |푤 − 푧| < 훿 berlaku |푓 (푤 )− 푓 (푧)| < 휀 untuk setiap 휀 > 0 yang
diberi. Jadi 푓 (푧) ∈ 퐽(푓 ) untuk semua 푧 ∈ 퐽(푓 ). Dengan demikian terbukti bahwa
푓 퐽(푓 ) ⊆ 퐽(푓 ).
Selanjutnya, ambil sebarang 푧 ∈ 퐽(푓 ) dan 푤 seperti di atas. Ambil sebarang
푧 ∈ 퐵 (푧) sehingga 푓(푧 ) = 푧. Untuk 푧 ∈ 퐵 (푧) dapat dicari 푣 ∈ 퐵 (푧) sedemi-
kian sehingga lim → 푣 = 푧 dan 푓 (푣 ) = 푤 . Maka 푓 (푣 ) = 푓 푓 (푣 ) =
푓 (푤 ) dan lim → 푓 (푤 ) = ∞. Karena 푓 (푧 ) = 푧 ∈ 퐽(푓 ), maka 푓 (푧 ) =
푓 푓 (푧 ) = 푓 (푧) dan lim → 푓 (푧) ≠ ∞. Maka 푧 ∈ 퐽(푓 ). Jadi untuk
푓(푧 ) = 푧 ∈ 퐽(푓 ) diperoleh bahwa 푧 ∈ 퐽(푓 ). Terbukti bahwa 푓 퐽(푓 ) ⊆ 퐽(푓 ).
Dengan demikian terbukti bahwa 퐽(푓 ) bersifat invarian lengkap. ∎
B. Penghitungan Dimensi Fraktal Himpunan Julia
Himpunan Julia yang akan dihitung dimensinya adalah himpunan Julia untuk para-
meter 푐 yang besar.
Misal 퐶 adalah lingkaran dengan pusat 0 dan berjari-jari |푐| dan 퐷 adalah interior dari
퐶, yaitu 퐷 = {푧: |푧| < |푐|}. Invers dari 푓 (푧) = 푧 + 푐 adalah 푓 (푧) = √푧 − 푐, se-
hingga gambar dari 푓 (퐶) berbentuk angka delapan yang berpotongan di titik asal.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
69
Misalkan 푆 , 푆 :퐷 → 퐷, karena 푓 memetakan 푓 (퐷) ke 퐶, maka 푆 dan 푆 adalah
subhimpunan dari 푓 (퐶) yang memetakan 퐷 ke interior dari masing-masing lingka-
ran 푓 (퐶). Misal 푉 adalah lingkaran di dalam lingkaran 퐶 yang berpusat di titik 0
dan memiliki jari-jari minimum sedemikian sehingga memuat 푓 (퐶). Dipilih
푟 = |2푐| . Karena 푉 ⊂ 퐷, maka 푆 (푉) dan 푆 (푉) termuat di masing-masing lingka-
ran 푓 (퐶).
|푆 (푧 )− 푆 (푧 )| = (푧 − 푐) − (푧 − 푐)
=(푧 − 푐) − (푧 − 푐) (푧 − 푐) + (푧 − 푐)
(푧 − 푐) + (푧 − 푐)
=|푧 − 푐 − 푧 + 푐|
(푧 − 푐) + (푧 − 푐)
=|푧 − 푧 |
(푧 − 푐) + (푧 − 푐)
Pandang (푧 − 푐) + (푧 − 푐) . Dengan ketaksamaan segitiga diperoleh
|푐|− |2푐| ≤ |푧|− |푐| ≤ |푧 − 푐| ≤ |푧| + |푐| ≤ |푐| + |2푐|
|푐|− |2푐| ≤ |푧 − 푐| ≤ |푐| + |2푐| .
Jadi untuk (푧 − 푐) + (푧 − 푐) berlaku
|푐|− |2푐| + |푐|− |2푐| < (푧 − 푐) + (푧 − 푐) < |푐| + |2푐| + |푐| + |2푐|
2 |푐|− |2푐| < (푧 − 푐) + (푧 − 푐) < 2 |푐| + |2푐|
1
2 |푐| + |2푐|
<1
(푧 − 푐) + (푧 − 푐)<
1
2 |푐|− |2푐|
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
70
1
2 |푐| + |2푐|
<|푆 (푧 ) − 푆 (푧 )|
|푧 − 푧 | <1
2 |푐|− |2푐|
|푧 − 푧 |
2 |푐| + |2푐|
< |푆 (푧 ) − 푆 (푧 )| <|푧 − 푧 |
2 |푐|− |2푐|
12
|푐| + |2푐| |푧 − 푧 | < |푆 (푧 ) − 푆 (푧 )| <12
|푐|− |2푐| |푧 − 푧 |
Pemetaan 푆 dan 푆 merupakan kontraksi jika |푐|− |2푐| < 1, maka
12
|푐|− |2푐| < 1
2 |푐|− |2푐| > 1
|푐|− |2푐| >12
|푐|− |2푐| >14
|푐|− |2푐| −14 > 0.
Misal |푐| = 푥, maka pertidaksamaan di atas menjadi 푥 − √2푥 − >
0. Penyelesaian pertidaksamaan adalah 푥 > √ √ atau 푥 < √ √ . Maka |푐| >
√ √ , sehingga |푐| > √ √ = √ = √ = 2.47 atau |푐| < √ √ se-
hingga |푐| < √ √ = √ = √ = 0.25.
Jadi 푆 (푉) dan 푆 (푉) merupakan kontraksi jika |푐| > 2.47 atau 0 ≤ |푐| < 0.25.
Himpunan Julia yang akan dihitung adalah himpunan Julia dengan |푐| > 2.47 atau 0 ≤ |푐| < 0.25.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
71
Karena 푐 dan 푐 merupakan konstanta kontraksi, maka 푠 adalah dimensi dari himpu-nan Julia jika memenuhi ∑ 푐 = 1.
Maka
푐 =12
|푐| + |2푐|
1 = 212
|푐| + |2푐|
12 =
12
|푐| + |2푐|
log12 = log
12
|푐| + |2푐|
log12 = log
12 + log |푐| + |2푐|
log12 = 푠 log
12 −
푠2 log |푐| + |2푐|
log12 = 푠 log
12 −
12 log |푐| + |2푐|
푠 =log 1
2
log 12 − 1
2 log |푐| + |2푐|
푠 =− log 2
−log 2− 12 log |푐| + |2푐|
푠 =4 log 2
4log 2+2 log |푐| + |2푐|
푠 =2 log 2
2log 2+ log |푐| + |2푐|
푠 =2 log 2
log 4 |푐| + |2푐|
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
72
Diperoleh nilai 푠 =| | | |
. Jadi dimensi himpunan Julia untuk |푐| > 2.47
atau 0 ≤ |푐| < 0.25 adalah | | | |
.
Dengan Teorema 3.3.3, dim 퐽(푓 ) = dim 퐽(푓 ) = 푠 =| | | |
.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
BAB V
PENUTUP
A. Kesimpulan
Dimensi fraktal adalah ukuran sebuah himpunan yang digunakan untuk meng-
gambarkan struktur suatu fraktal serta untuk membandingkan kompleksitas fraktal
yang satu dengan yang lain. Dimensi dari suatu fraktal didekati dengan menggunakan
himpunan-himpunan yang mempunyai ukuran yang berbeda-beda. Dimensi
Hausdorff dan dimensi kotak sering digunakan untuk mengukur suatu fraktal.
Dimensi Hausdorff bergantung pada ukuran Hausdorff berdimensi �, yaitu ��. Bilangan � adalah dimensi Hausdorff dari suatu himpunan bila � adalah ��� ��� �� � � � ��� �� �� dengan �� adalah infimum atas semua jumlahan selimut-� yang menyelimuti himpunan tersebut� Dimensi kotak didasarkan pada pengukuran
skala �. Penghitungan dimensi ini dilakukan dengan menghitung banyaknya
perubahan yang terjadi bila skala dari himpunan yang menyelimutinya diubah.
Salah satu contoh fraktal yang terkenal adalah himpunan Julia yang dibangun
oleh ����� �� � �. Jika himpunan Julia �� sifat invarian terhadap pemetaan
kontraksi ��� �� � ��, maka �!"���� �!#���� �, dengan � memenuhi
$ ���%�&' ( dimana �� adalah konstanta kontraksi dari ��. Untuk � yang memenuhi
)�) * +�,- atau . )�) / �+0, �!"���� �!#���� � 123�123456)�)7)��)89:;
.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
74
B. Saran
Dalam skripsi ini, penulis hanya membahas dimensi fraktal yang mengarah
pada dimensi takbulat dan digunakan untuk menghitung dimensi himpunan Julia yang
dibangun dari fungsi �� �� � �, untuk )�) * +�,- atau . )�) / �+0. Skripsi ini masih bisa dikembangkan dengan membahas dimensi himpunan Julia dengan fungsi
pembentuknya berderajat < * +. Selain dimensi Hausdorff dan dimensi kotak, masih
terdapat dimensi lain yang digunakan untuk menghitung dimensi fraktal, misalnya
dimensi Minkowski, dimensi kompas, dimensi Lyapunov, dimensi Renyi dan lain-
lain.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
DAFTAR PUSTAKA
Arora, Savita dan Malik, S.C. (1992). Mathematical Analysis: (Second Edition). New Delhi: New Age International(P) Limited Publisher.
Barnsley, M. (1988). Fractals Everywhere. Boston: Academic Press, Inc.
Devaney, Robert L. (1989). An Introduction to Chaotic Dynamical System. (Second Editon). New York: Addison – Wesley.
________________. (1990). Chaos, Fractals, and Dynamics, Computer Experiments in Mathematics. New York: Addison – Wesley.
________________.The Complex Dynamics of Quadratic Polynomials. http://www.math.uic.edu/~demarco/math546/Devaney_quadratic.pdf. Diakses tanggal 7 Juni 2010.
________________. (1992). A First Course in Chaotic Dynamical System: Theory and Experiment. New York: Addison – Wesley.
Edgar, Gerald. (2008). Measure, Topology, and Fractal Geometry. (Second Edition). New York: Springer.
Falconer, K. (1990). Fractal Geometry: Mathematical Foundations and Applications. New York: John Wiley&Sons.
_________.(2003). Fractal Geometry: Mathematical Foundations and Applications Second Edition. New York: John Wiley&Sons.
Fraser, Jonathan. An Introduction to Julia Sets. http://www.neiu.edu/~mgidea/Jul-ia.pdf. Diakses tanggal 28 Oktober 2010.
Gamelin, Theodore W. (2000). Complex Analysis. New York: Springer.
Helmberg, Gilbert. (2007).Getting Acquainted with Fractals. Berlin: Walter de Gruy-ter.
Jaya, Andi Kresna. Analisis Orbit Fraktal Pada Himpunan Julia. http://akademik.un- has.ac.id/proxylib/public_html/files/akresna/Analisis%20orbit%20fractal_Kresna.pdf. Diakses tanggal 15 Mei 2010.
Knap, Anthony W. (2005). Basic Real Analysis. Boston: Birkhauser.
Kitchen, Sarah. A Comparison of Three Fractal Dimensions. http://www-us-ers.math.umd.edu/ ~lidador/fractal.pdf. Diakses tanggal 8 September 2009.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
76
Lee, Seong In. Nonstandard Approach to Hausdorff Measure. www.math.uiuc.edu/~ mim2/zzzthesis.pdf. Diakses tanggal 8 Spetember 2009.
Lev, Nir. Hausdorff Dimension. http://www.wisdom.weizmann.ac.il/~levnir/files/ Hausdorff.pdf. Diakses tanggal 9 Desember 2009.
Munkres, James R. (1978). Topology A First Course. New Delhi: Prentice Hall of India.
Muscat, J. Metric Spaces.http://staff.um.edu.mt/jmus1/metrics.pdf. Diakses tanggal 10 Juni 2009.
Nielsen,Ole A. (1996). An Introduction to Integration and Measure Theory. New York: John Willey&Sons.
Petersent, Bent. Contraction Mappings. http://people.oregonstate.edu/~peterseb/ Mth614/docs/80-iter-func-systems.pdf. Diakses tanggal 28 Oktober 2009.
Schleicher, Dierk. Hausdorff Dimension, Its Properties and Its Surprise. http://org.uib.no/hcaa/HausdorffMonthly.pdf. Diakses tanggal 28 Oktober 2010.
Searcoid, Michael O. (2007). Metric Spaces. London:Springer.
Solomyak, B. Additional Facts About Julia Set. http://www.itl.nist.gov/div898/ software/dataplot/refman2/ch6/julia.pdf. Diakses tanggal 28 Oktober 2010.
Susilo, Dr. F. (1996). “Himpunan Julia dan Klasifikasinya dalam Himpunan Mandel-brot”. Dalam Dr.F.Susilo, SJ dan Drs. St. Susento. [ed]. Sebuah Bunga Ram-pai.Yogyakarta: Penerbit Universitas Sanata Dharma.
Soemantri, R. (1998). “Dimensi Tak Utuh: Pendekatan Praktis dan Teoritis”. Dalam: Frans Susilo S.J, dkk[penyunting]. Tantangan dan Harapan. Yogyakarta: Penerbit Universitas Sanata Dharma.
Worth, David. Construction of Geometric Outer-Measure and Dimension Theory. http://www.math.unm.edu/~loring/research/DaveWorthThesis.pdf. Diakses tang-gal 26 Sepetember 2009.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI