(i)
UÀtÂvÀ
JAl£Éà vÀgÀUÀw¨sÁUÀ - 1
PÀ£ÁðlPÀ ¥ÀoÀå¥ÀŸÀÛPÀ ¸ÀAWÀ (j.)100 Cr ªÀvÀÄð® gÀ¸ÉÛ, §£À±ÀAPÀj 3£Éà ºÀAvÀ,
¨ÉAUÀ¼ÀÆgÀÄ - 85
PÀ£ÁðlPÀ ¸ÀPÁðgÀ
8
gÁ¶ÖçÃAiÀÄ ±ÉÊPÀëtÂPÀ ¸ÀA±ÉÆÃzsÀ£É ªÀÄvÀÄÛ vÀgÀ¨ÉÃw ¸ÀA¸ÉÜ
²æà CgÀ©AzÉÆà ªÀiÁUÀð £ÀªÀzɺÀ° 110016
(ii)
ForewordThe National Curriculum Framework, 2005, recommends that children’s life at school must be linked to their life outside the school. This principle marks a departure from the legacy of bookish learning which continues to shape our system and causes a gap between the school, home and community. The syllabi and textbooks developed on the basis of NCF signify an attempt to implement this basic idea. They also attempt to discourage rote learning and the maintenance of sharp boundaries between different subject areas. We hope these measures will take us significantly further in the direction of a child-centred system of education outlined in the National Policy on Education (1986).
The success of this effort depends on the steps that school principals and teachers will take to encourage children to reflect on their own learning and to pursue imaginative activities and questions. We must recognise that, given space, time and freedom, children generate new knowledge by engaging with the information passed on to them by adults. Treating the prescribed textbook as the sole basis of examination is one of the key reasons why other resources and sites of learning are ignored. Inculcating creativity and initiative is possible if we perceive and treat children as participants in learning, not as receivers of a fixed body of knowledge.
These aims imply considerable change in school routines and mode of functioning. Flexibility in the daily time-table is as necessary as rigour in implementing the annual calendar so that the required number of teaching days are actually devoted to teaching. The methods used for teaching and evaluation will also determine how effective this textbook proves for making children’s life at school a happy experience, rather than a source of stress or boredom. Syllabus designers have tried to address the problem of curricular burden by restructuring and reorienting knowledge at different stages with greater consideration for child psychology and the time available for teaching. The textbook attempts to enhance this endeavour by giving higher priority and space to opportunities for contemplation and wondering, discussion in small groups, and activities requiring hands-on experience.
NCERT appreciates the hard work done by the textbook development committee responsible for this book. We wish to thank the Chairperson of the advisory group in science and mathematics, Professor J.V. Narlikar and the Chief Advisor for this book, Dr H.K. Dewan for guiding the work of this committee. Several teachers contributed to the development of this textbook; we are grateful to their principals for making this possible. We are indebted to the institutions and organisations which have generously permitted us to draw upon their resources, material and personnel. As an organisation committed to systemic reform and continuous improvement in the quality of its products, NCERT welcomes comments and suggestions which will enable us to undertake further revision and refinement.
DirectorNational Council of Educational Research and Training
(iii)
PrefaceThis is the final book of the upper primary series. It has been an interesting journey to define mathematics learning in a different way. The attempt has been to retain the nature of mathematics, engage with the question why learn mathematics while making an attempt to create materials that would address the interest of the learners at this stage and provide sufficient and approachable challenge to them. There have been many views on the purpose of school mathematics. These range from the fully utilitarian to the entirely aesthetic perceptions. Both these end up not engaging with the concepts and enriching the apparatus available to the learner for participating in life. The NCF emphasises the need for developing the ability to mathematise ideas and perhaps experiences as well. An ability to explore the ideas and framework given by mathematics in the struggle to find a richer life and a more meaningful relationship with the world around.
This is not even easy to comprehend, far more difficult to operationalise. But NCF adds to this an even more difficult goal. The task is to involve everyone of that age group in the classroom or outside in doing mathematics. This is the aim we have been attempting to make in the series.
We have, therefore, provided space for children to engage in reflection, creating their own rules and definitions based on problems/tasks solved and following their ideas logically. The emphasis is not on remembering algorithms, doing complicated arithmetical problems or remembering proofs, but understanding how mathematics works and being able to identify the way of moving towards solving problems.
The important concern for us has also been to ensure that all students at this stage learn mathematics and begin to feel confident in relating mathematics. We have attempted to help children read the book and to stop and reflect at each step where a new idea has been presented. In order to make the book less formidable we have included illustrations and diagrams. These combined with the text help the child comprehend the idea. Throughout the series and also therefore in this book we have tried to avoid the use of technical words and complex formulations. We have left many things for the student to describe and write in her own words.
We have made an attempt to use child friendly language. To attract attention to some points blurbs have been used. The attempt has been to reduce the weight of long explanations by using these and the diagrams. The illustrations and fillers also attempt to break the monotony and provide contexts.
Class VIII is the bridge to Class IX where children will deal with more formal mathematics. The attempt here has been to introduce some ideas in a way that is moving towards becoming formal. The tasks included expect generalisation from the gradual use of such language by the child.
The team that developed this textbook consisted teachers with experience and appreciation of children learning mathematics. This team also included people with experience of research in mathematics teaching-learning and an experience of producing materials for children. The feedback on the textbooks for Classes VI and
(iv)
VII was kept in mind while developing this textbook. This process of development also included discussions with teachers during review workshop on the manuscript.
In the end, I would like to express the grateful thanks of our team to Professor Krishna Kumar, Director, NCERT, Professor G. Ravindra, Joint Director, NCERT and Professor Hukum Singh, Head, DESM, for giving us an opportunity to work on this task with freedom and with full support. I am also grateful to Professor J.V. Narlikar, Chairperson of the Advisory Group in Science and Mathematics for his suggestions. I am also grateful for the support of the team members from NCERT, Professor S.K. Singh Gautam, Dr V.P. Singh and in particular Dr Ashutosh K. Wazalwar who coordinated this work and made arrangements possible. In the end I must thank the Publication Department of NCERT for its support and advice and those from Vidya Bhawan who helped produce the book.
It need not be said but I cannot help mentioning that all the authors worked as a team and we accepted ideas and advice from each other. We stretched ourselves to the fullest and hope that we have done some justice to the challenge posed before us.
The process of developing materials is, however, a continuous one and we would hope to make this book better. Suggestions and comments on the book are most welcome.
H.K. Dewan
Chief Advisor Textbook Development Committee
(v)
A Note for the TeacherThis is the third and the last book of this series. It is a continuation of the processes initiated to help the learners in abstraction of ideas and principles of mathematics. Our students to be able to deal with mathematical ideas and use them need to have the logical foundations to abstract and use postulates and construct new formulations. The main points reflected in the NCF-2005 suggest relating mathematics to development of wider abilities in children, moving away from complex calculations and algorithm fol-lowing to understanding and constructing a framework of understanding. As you know, mathematical ideas do not develop by telling them. They also do not reach children by merely giving explanations. Children need their own framework of concepts and a classroom where they are discussing ideas, looking for solutions to problems, setting new problems and finding their own ways of solving problems and their own definitions.
As we have said before, it is important to help children to learn to read the textbook and other books related to mathematics with understanding. The reading of materials is clearly required to help the child learn further mathematics. In Class VIII please take stock of where the students have reached and give them more opportunities to read texts that use language with symbols and have brevity and terseness with no redundancy. For this if you can, please get them to read other texts as well. You could also have them relate the physics they learn and the equations they come across in chemistry to the ideas they have learnt in mathematics. These cross-disciplinary references would help them develop a framework and purpose for mathematics. They need to be able to reconstruct logical arguments and appreciate the need for keeping certain factors and constraints while they relate them to other areas as well. Class VIII children need to have opportunity for all this.
As we have already emphasised, mathematics at the Upper Primary Stage has to be close to the experience and environment of the child and be abstract at the same time. From the comfort of context and/or models linked to their experience they need to move towards working with ideas. Learning to abstract helps formulate and understand arguments. The capacity to see interrelations among concepts helps us deal with ideas in other subjects as well. It also helps us understand and make better patterns, maps, appreciate area and volume and see similarities between shapes and sizes. While this is regarding the relationship of other fields of knowledge to mathematics, its meaning in life and our environment needs to be re-emphasised.
Children should be able to identify the principles to be used in contextual situations, for solving problems sift through and choose the relevant information as the first impor-tant step. Once students do that they need to be able to find the way to use the knowledge they have and reach where the problem requires them to go. They need to identify and define a problem, select or design possible solutions and revise or redesign the steps, if required. As they go further there would be more to of this to be done. In Class VIII we have to get them to be conscious of the steps they follow. Helping children to develop the ability to construct appropriate models by breaking up the problems and
(vi)
evolving their own strategies and analysis of problems is extremely important. This is in the place of giving them prescriptive algorithms. to solve problems. Learning mathematics is not about remembering solutions or methods but knowing how to solve problems and being able to construct interesting situations to solve.
Cooperative learning, learning through conversations, desire and capacity to learn from each other and the recognition that conversation is not noise and consultation not cheating is an important part of change in attitude for you as a teacher and for the students as well. They should be asked to make presentations as a group with the inclusion of examples from the contexts of their own experiences. They should be encouraged to read the book in groups and formulate and express what they un-derstand from it. The assessment pattern has to recognise and appreciate this and the classroom groups should be such that all children enjoy being with each other and are contributing to the learning of the group. As you would have seen different groups use different strategies. Some of these are not as efficient as others as they reflect the modeling done and reflect the thinking used. All these are appropriate and need to be analysed with children. The exposure to a variety of strategies deepens the mathematical understanding. Each group moves from where it is and needs to be given an opportunity for that.
For conciseness we present the key ideas of mathematics learning that we would like you to remember in your classroom.
1. Enquiry to understand is one of the natural ways by which students acquire and construct knowledge. The process can use generation of observations to acquire knowledge. Students need to deal with different forms of questioning and challeng-ing investigations- explorative, open-ended, contextual and even error detection from geometry, arithmetic and generalising it to algebraic relations etc.
2. Children need to learn to provide and follow logical arguments, find loopholes in the arguments presented and understand the requirement of a proof. By now children have entered the formal stage. They need to be encouraged to exercise creativity and imagination and to communicate their mathematical reasoning both verbally and in writing.
3. The mathematics classroom should relate language to learning of mathematics. Children should talk about their ideas using their experiences and language. They should be encouraged to use their own words and language but also gradually shift to formal language and use of symbols.
4. The number system has been taken to the level of generalisation of rational num-bers and their properties and developing a framework that includes all previous systems as sub-sets of the generalised rational numbers. Generalisations are to be presented in mathematical language and children have to see that algebra and its language helps us express a lot of text in small symbolic forms.
5. As before children should be required to set and solve a lot of problems. We hope that as the nature of the problems set up by them becomes varied and more complex, they would become confident of the ideas they are dealing with.
(vii)
6. Class VIII book has attempted to bring together the different aspects of math-ematics and emphasise the commonality. Unitary method, Ratio and proportion, Interest and dividends are all part of one common logical framework. The idea of variable and equations is needed wherever we need to find an unknown quantity in any branch of mathematics.We hope that the book will help children learn to enjoy mathematics and be con-
fident in the concepts introduced. We want to recommend the creation of opportunity for thinking individually and collectively.
We look forward to your comments and suggestions regarding the book and hope that you will send interesting exercises, activities and tasks that you develop during the course of teaching, to be included in the future editions. This can only happen if you would find time to listen carefully to children and identify gaps and on the other hand also find the places where they can be given space to articulate their ideas and verbalise their thoughts.
(viii)
ªÀÄÄ£ÀÄßr
2005£Éà gÁ¶ÖçÃAiÀÄ ¥ÀoÀåPÀæªÀÄ DzsÀj¹ gÀavÀªÁzÀ gÁ¶ÖçÃAiÀÄ ¥ÀoÀåªÀ¸ÀÄÛ«£ÀAvÉ gÀa¸À¯ÁVgÀĪÀ
8£Éà vÀgÀUÀw J£ï.¹.E.Dgï.n UÀtÂvÀ ¥ÀoÀå¥ÀĸÀÛPÀªÀ£ÀÄß gÁdåzÀ°è 2020-21£Éà ¸Á°¤AzÀ
eÁjUÉƽ¸À¯ÁUÀÄwÛzÉ.
J£ï.¹.E.Dgï.n ¥ÀæPÀn¹gÀĪÀ DAUÀè ªÀiÁzsÀåªÀÄzÀ UÀtÂvÀ ¥ÀĸÀÛPÀªÀ£ÀÄß gÁdåzÀ°è PÀ£ÀßqÀ,
ªÀÄgÁp, vÉ®ÄUÀÄ ªÀÄvÀÄÛ vÀ«Ä¼ÀÄ ªÀiÁzsÀåªÀÄUÀ½UÉ ¨sÁµÁAvÀj¸À¯ÁVzÉ. EAVèõï, »A¢ ªÀÄvÀÄÛ
GzÀÄð ªÀiÁzsÀåªÀÄzÀ ¥ÀĸÀÛPÀUÀ¼À£ÀÄß J£ï.¹.E.Dgï.n ¬ÄAzÀ £ÉÃgÀªÁV ¥ÀqÉzÀÄ ¨sÁUÀ-1 ªÀÄvÀÄÛ
¨sÁUÀ-2 JA§ÄzÁV «¨sÁV¹ ªÀÄÄ¢æ¹ eÁjUÉƽ¸À¯ÁVzÉ.
F ¥ÀĸÀÛPÀªÀÅ 2005 gÀ gÁ¶ÖçÃAiÀÄ ¥ÀoÀåPÀæªÀÄzÀ J¯Áè ªÉʲµÀÖöåUÀ¼À£ÀÄß ºÉÆA¢zÉ. 8£ÉÃ
vÀgÀUÀwAiÀÄ UÀtÂvÀ ¥ÀĸÀÛPÀzÀ°è CAvÀUÀðvÀ «zsÁ£À (Integrated Approach), gÀZÀ£ÁvÀäPÀ «zsÁ£À (Constructive Approach) ºÁUÀÆ ÀÄgÀĽAiÀiÁPÁgÀzÀ «zsÁ£À (Spiral Approach) UÀ¼À£ÀÄß C¼ÀªÀr¸À¯ÁVzÉ.
¥ÀoÀå¥ÀĸÀÛPÀzÀ «µÀAiÀÄ ºÁUÀÆ C¨sÁå¸ÀUÀ¼ÀÄ «zÁåyðUÀ¼À£ÀÄß aAvÀ£Á²Ã®gÀ£ÁßV ªÀiÁr,
ZÀlĪÀnPÉUÀ¼À ªÀÄÆ®PÀ eÁÕ£À ºÁUÀÆ ¸ÁªÀÄxÀðåUÀ¼À£ÀÄß ¥ÀqÉAiÀÄĪÀAvÉ ªÀiÁqÀĪÀ ¥ÀæAiÀÄvÀß
ªÀiÁqÀ¯ÁVzÉ. ¥ÀoÀå ªÀ¸ÀÄÛUÀ¼ÉÆA¢UÉ CvÀåAvÀ CªÀ±ÀåPÀ fêÀ£À ªÀiË®åUÀ¼À£ÀÄß CAvÀUÀðvÀªÁV
§¼À¸À¯ÁVzÉ. F ¥ÀĸÀÛPÀUÀ¼ÀÄ ¥ÀjÃPÁë zÀȶ֬ÄAzÀ gÀavÀªÁV®è §zÀ¯ÁV «zÁåyðUÀ¼À
¸ÀªÁðAVÃt ªÀåQÛvÀé «PÀ¸À£ÀPÉÌ ¥ÀÆgÀPÀªÁVzÉ.
¤vÀåfêÀ£ÀzÀ°è UÀtÂvÀªÀÅ J¯Áè ºÀAvÀUÀ¼À®Æè CvÁåªÀ±ÀåPÀªÁVzÉ. gÁ¶ÖçÃAiÀÄ ¥ÀoÀåPÀæªÀÄ-2005
gÀAvÉ UÀtÂvÀzÀ ¥ÀjPÀ®à£ÉUÀ¼À£ÀÄß CxÀðªÀiÁrPÉÆAqÀÄ ¹zÁÞAvÀUÀ¼À£ÀÄß ¤gÀƦ¹, ¥ÀæªÉÄÃAiÀÄUÀ¼À£ÀÄß
¸Á¢ü¹,¯ÉPÀÌUÀ¼À£ÀÄß ©r¸ÀĪÀ eÉÆvÉUÉ UÀtÂvÀªÀ£ÀÄß fêÀ£ÀzÀ ¸ÀPÀ® PÉëÃvÀæUÀ¼À®Æè §¼À¸ÀĪÀ
¸ÁªÀÄxÀåðªÀ£ÀÄß ¨É¼É¹PÉÆAqÀÄ fêÀ£ÀzÀ°è AiÀıÀ¸ÀÄìUÀ½¸ÀĪÀAvÉ ªÀiÁqÀ®Ä ¸ÀºÀPÁj PÀ°PÉUÉ
¥ÀÆgÀPÀªÁVzÉ.
¥ÁæaãÀ sÁgÀvÀzÀ ±ÉæõÀ× UÀtÂvÀ ±Á¸ÀÛçdÕgÀ PÉÆqÀÄUÉUÀ¼À£ÀÄß ÀÆPÀÛ ÀAzÀ¨sÀðUÀ¼À°è PÉÆqÀ¯ÁVzÉ.
F ¥ÀoÀå¥ÀĸÀÛPÀUÀ¼ÀÄ ±ÉÊPÀëtÂPÀªÁV ªÉʲµÀÖöå¥ÀÆtðªÁVªÉ. EvÀgÉ «µÀAiÀÄUÀ¼À ¥ÀoÀå¥ÀĸÀÛPÀUÀ¼ÀAvÉ
F ¥ÀoÀå¥ÀĸÀÛPÀUÀ¼ÀÄ «zÁåyðUÀ½UÉ ¸ÁªÀÄxÀåð ºÁUÀÆ P˱À®åUÀ¼À£ÀÄß ¨É¼É¹PÉƼÀî®Ä ¸ÀºÁAiÀÄ
ªÀiÁqÀÄvÀÛªÉ.
gÁ¶ÖçÃAiÀÄ ªÀÄlÖzÀ ±ÉÊPÀëtÂPÀ ¸ÀÄzsÁgÀuÉUÀ¼À£ÀÄß UÀªÀÄ£ÀzÀ°èj¹PÉÆAqÀÄ PÀ£ÁðlPÀ gÁdåzÀ
«zÁåyðUÀ¼ÀÆ ¸ÀºÀ gÁ¶ÖçÃAiÀÄ ªÀÄlÖzÀ ¸ÀàzsÁðvÀäPÀ ¥ÀjÃPÉëUÀ¼À°è AiÀıÀ¸Àì£ÀÄß ¸Á¢ü¸À®Ä F ¥ÀĸÀÛPÀ
¸ÀºÀPÁjAiÀiÁUÀ° JA§ÄzÉà ¸ÁªÀðd¤PÀ ²PÀët E¯ÁSÉAiÀÄ ¥ÀæªÀÄÄR D±ÀAiÀĪÁVzÉ.
(ix)
J£ï.¹.E.Dgï.n ¥ÀæPÀn¹gÀĪÀ UÀtÂvÀ ¥ÀĸÀÛPÀUÀ¼À£ÀÄß £ÀªÀÄä gÁdåzÀ°è ¥ÀæxÀªÀĪÁV eÁjUÉ
vÀgÀ®Ä ¢lÖ ¤zsÁðgÀªÀ£ÀÄß vÉUÉzÀÄPÉÆAqÀÄ ¸ÀºÀPÀj¹zÀ ¸ÀPÁðgÀ ªÀÄvÀÄÛ E¯ÁSÉAiÀÄ G£ÀßvÀ
C¢üPÁjUÀ½UÉ D¨sÁjAiÀiÁVzÉÝãÉ. F ¥ÀoÀå¥ÀĸÀÛPÀªÀ£ÀÄß £ÀªÀÄä gÁdåzÀ°è eÁjUÉ vÀgÀ®Ä ÀPÁ®zÀ°è
C£ÀĪÀÄw ¤Ãr ¸ÀºÀPÀj¹zÀ J£ï.¹.E.Dgï.n AiÀÄ ¥ÀæPÁ±À£À «¨sÁUÀ ºÁUÀÆ J£ï.¹.E.Dgï.n
¸ÀA¸ÉÜ J®è C¢üPÁj, ¹§âA¢UÀ½UÉ E¯ÁSÉ vÀ£Àß ºÀÈvÀÆàªÀðPÀ PÀÈvÀdÕvÉUÀ¼À£ÀÄß C¦ð¸ÀÄvÀÛzÉ.
gÁdåzÀ°è, F ¥ÀĸÀÛPÀªÀ£ÀÄß PÀ£ÀßqÀ, ªÀÄgÁp, vÉ®ÄUÀÄ ªÀÄvÀÄÛ vÀ«Ä¼ÀÄ ªÀiÁzsÀåªÀÄUÀ½UÉ
¨sÁµÁAvÀj¹zÀ J®è ¸ÀA¥À£ÀÆä® ªÀåQÛUÀ½UÉ, PÁAiÀÄðPÀæªÀÄ ¸ÀAAiÉÆÃd£É ªÀiÁrzÀ
PÁAiÀÄðPÀæªÀiÁ¢üPÁjUÉ, ÀÄAzÀgÀªÁV rn¦ PÁAiÀÄðªÀ£ÀÄß ¤ªÀð»¹gÀĪÀ rn¦ D¥ÀgÉÃlgï UÀ¼ÀÄ
ºÁUÀÆ ¸ÀA¸ÉÜUÉ, ¥ÀĸÀÛPÀªÀ£ÀÄß CZÀÄÑPÀmÁÖV ªÀÄÄ¢æ¹ «vÀj¹gÀĪÀ ªÀÄÄzÀæPÀgÀÄUÀ½UÉ F ¸ÀAzÀ¨sÀðzÀ°è
PÀ£ÁðlPÀ ¥ÀoÀå¥ÀĸÀÛPÀ ¸ÀAWÀªÀÅ ºÀÈvÀÆàªÀðPÀ PÀÈvÀdÕvÉUÀ¼À£ÀÄß C¦ð¸ÀÄvÀÛzÉ.
JA.¦. ªÀiÁzÉÃUËqÀ
ªÀåªÀ¸ÁÜ¥ÀPÀ ¤zÉÃð±ÀPÀgÀÄ
PÀ£ÁðlPÀ ¥ÀoÀå¥ÀĸÀÛPÀ ¸ÀAWÀ (j)
¨ÉAUÀ¼ÀÆgÀÄ - 85
(x)
English Medium Textbook Development Committee (NCERT)
ChAirpersoN, Advisory Group iN sCieNCe ANd MAthemAtiCs
J.V. Narlikar, Emeritus Professor, Chairman, Advisory Committee, Inter University Centre for Astronomy and Astrophysics (IUCCA), Ganeshkhind, Pune University, Pune
Chief Advisor
H.K. Dewan, Vidya Bhawan Society, Udaipur, Rajasthan
Chief CoordiNAtor
Hukum Singh, Professor and Head, DESM, NCERT, New Delhi
Members
Anjali Gupte, Teacher, Vidya Bhawan Public School, Udaipur, Rajasthan Avantika Dam, TGT, CIE Experimental Basic School, Department of Education, DelhiB.C. Basti, Senior Lecturer, Regional Institute of Education, Mysore, KarnatakaH.C. Pradhan, Professor, Homi Bhabha Centre for Science Education, TIFR, Mumbai MaharashtraK.A.S.S.V. Kameshwar Rao, Lecturer, Regional Institute of Education, Shyamala Hills, Bhopal (M.P.)Mahendra Shankar, Lecturer (S.G.) (Retd.), NCERT, New DelhiMeena Shrimali, Teacher, Vidya Bhawan Senior Secondary School, Udaipur, RajasthanP. Bhaskar Kumar, PGT, Jawahar Navodaya Vidyalaya, Lepakshi, Distt. Anantpur (A.P.) R. Athmaraman, Mathematics Education Consultant, TI Matric Higher Secondary School and AMTI, Chennai, Tamil NaduRam Avtar, Professor (Retd.), NCERT, New DelhiShailesh Shirali, Rishi Valley School, Rishi Valley, Madanapalle (A.P.)S.K.S. Gautam, Professor, DEME, NCERT, New DelhiShradha Agarwal, Principal, Florets International School, Panki, Kanpur (U.P.)Srijata Das, Senior Lecturer in Mathematics, SCERT, New DelhiV.P. Singh, Reader, DESM, NCERT, New Delhi
Member-CoordiNAtor
Ashutosh K. Wazalwar, Professor, DESM, NCERT, New Delhi
¸À®ºÉ ªÀÄvÀÄÛ ªÀiÁUÀðzÀ±Àð£À
²æà JA.¦. ªÀiÁzÉÃUËqÀ, ªÀåªÀ¸ÁÜ¥ÀPÀ ¤zÉÃð±ÀPÀgÀÄ, PÀ£ÁðlPÀ ¥ÀoÀå¥ÀĸÀÛPÀ ¸ÀAWÀ, (j.) §£À±ÀAPÀj 3£Éà ºÀAvÀ,
¨ÉAUÀ¼ÀÆgÀÄ
²æà PÉ.f. gÀAUÀAiÀÄå, G¥À¤zÉÃð±ÀPÀgÀÄ, PÀ£ÁðlPÀ ¥ÀoÀå¥ÀĸÀÛPÀ ¸ÀAWÀ, (j.) §£À±ÀAPÀj 3£Éà ºÀAvÀ, ¨ÉAUÀ¼ÀÆgÀÄ
PÁAiÀÄðPÀæªÀÄ ¸ÀAAiÀÉÆÃdPÀgÀÄ,
¸ÀºÁAiÀÄPÀ ¤zÉÃð±ÀPÀgÀÄ, PÀ£ÁðlPÀ ¥ÀoÀå¥ÀĸÀÛPÀ ¸ÀAWÀ, (j.)
¤ªÀÈvÀÛ ¥ÁæzsÁå¥ÀPÀgÀÄ, J¯ï.©. PÁ¯ÉÃdÄ, ¸ÁUÀgÀ.
ªÀÄÄRå ²PÀëPÀgÀÄ, ±ÁgÀzÀ «¯Á¸À ¥ËæqsÀ±Á¯É, ªÀÄvÀÆÛgÀÄ, ²ªÀªÀÉÆUÀÎ vÁ®ÆèPÀÄ, ²ªÀªÀÉÆUÀÎ.
§£À±ÀAPÀj 3£Éà ºÀAvÀ, ¨ÉAUÀ¼ÀÆgÀÄ
(xii)
WÀlPÀ¸ÀASÉå WÀlPÀ ¥ÀÅl¸ÀASÉå
1. ¸ÀASÉåUÀ¼ÉÆA¢UÉ Dl 1 - 15
2. ¨sÁUÀ®§Þ ¸ÀASÉåUÀ¼ÀÄ 16 - 39
3. MAzÀÄ ZÀgÁPÀëgÀªÀżÀî gÉÃSÁvÀäPÀ ¸À«ÄÃPÀgÀtUÀ¼ÀÄ 40 - 57
4. ZÀvÀĨsÀÄðdUÀ¼À ¥ÀjZÀAiÀÄ 58 - 84
5. ªÀUÀðUÀ¼ÀÄ ªÀÄvÀÄÛ ªÀUÀðªÀÄÆ®UÀ¼ÀÄ 85 - 113
6 ©ÃeÉÆÃQÛUÀ¼ÀÄ ªÀÄvÀÄÛ ¤vÀå ¸À«ÄÃPÀgÀtUÀ¼ÀÄ 114 - 134
7. ¥ÁæAiÉÆÃVPÀ gÉÃSÁUÀtÂvÀ 135 - 148
GvÀÛgÀUÀ¼ÀÄ 149 - 160
¥Àj«r
¨sÁUÀ - 1
1.1 ¦ÃpPÉ
¤ÃªÀÅ FUÁUÀ¯Éà ««zsÀ jÃwAiÀÄ ¸ÀASÉåUÀ¼ÁzÀ ¸Áé¨sÁ«PÀ ¸ÀASÉåUÀ¼ÀÄ, ¥ÀÆtð¸ÀASÉåUÀ¼ÀÄ,
¥ÀÆuÁðAPÀUÀ¼ÀÄ ªÀÄvÀÄÛ ¨sÁUÀ®§Þ ¸ÀASÉåUÀ¼À §UÉÎ PÀ°wgÀÄ«j. CzÉà jÃw F ¸ÀASÉåUÀ¼À
§UÉÎ E£ÀÆß PÉ®ªÀÅ D¸ÀQÛPÀgÀ «ZÁgÀUÀ¼À£ÀÆß w½¢¢ÝÃj. 6£Éà vÀgÀUÀwAiÀÄ°è £ÁªÀÅ C¥ÀªÀvÀð£À
ªÀÄvÀÄÛ C¥ÀªÀvÀåðUÀ¼À£ÀÄß PÀAqÀÄ»rAiÀÄĪÀÅzÀÄ ºÁUÀÆ EªÀÅUÀ¼À £ÀqÀÄ«£À ¸ÀA§AzsÀUÀ¼À §UÉÎ
CjwzÉÝêÉ.
F CzsÁåAiÀÄzÀ°è £ÁªÀÅ ¸ÀASÉåUÀ¼À §UÉÎ E£ÀÆß ºÉZÀÄÑ «ªÀgÀUÀ¼À£ÀÄß w½AiÉÆÃt.
¨sÁdåvÉAiÀÄ ¤AiÀĪÀÄUÀ¼À£ÀÄß ¸ÀªÀÄyð¸À®Ä F «ZÁgÀUÀ¼ÀÄ £ÀªÀÄUÉ ¸ÀºÀPÁjAiÀiÁUÀÄvÀÛªÉ.
1.2 ¸ÀASÉåUÀ¼À «¸ÀÛøvÀ gÀÆ¥À.
¸ÀASÉå 52 £ÀÄß vÉUÉzÀÄPÉƼÉÆîÃt. F jÃw §gÉAiÀÄĪÀÅzÀÄ D ÀASÉåAiÀÄ ÁªÀiÁ£Àå
gÀÆ¥À. CzÀ£ÀÄß «¸ÀÛj¹ »ÃUÉ §gÉAiÀħºÀÄzÀÄ.
52 = 50 + 2
= 10 × 5 + 2 (EzÀÄ 52gÀ «¸ÀÛøvÀ gÀÆ¥À)
EzÉà jÃw 37 £ÀÄß »ÃUÉ §gÉAiÀħºÀÄzÀÄ
37 = 10 × 3 + 7
¸ÁªÀiÁ£ÀåªÁV, a ªÀÄvÀÄÛ b CAQUÀ½AzÁzÀ AiÀiÁªÀÅzÉà JgÀqÀAQ ¸ÀASÉå ab AiÀÄ£ÀÄß »ÃUÉ §gÉAiÀħºÀÄzÀÄ.
ab = 10 × a + b
= 10a + b
ºÁUÁzÀgÉ ba ? ba = 10 × b + a
= 10 b + a
E°è JAzÀgÉab
JAzÀ®è !a × b
CzsÁåAiÀÄ
1¸ÀASÉåUÀ¼ÉÆA¢UÉ
Dl
2 UÀtÂvÀ
FUÀ £ÁªÀÅ MAzÀÄ ªÀÄÆgÀAQ ¸ÀASÉå 351 £ÀÄß vÉUÉzÀÄPÉƼÉÆîÃt. CzÀ£ÀÄß »ÃUÉ §gÉAiÀħºÀÄzÀÄ.
351 = 300 + 50 + 1
= 100 × 3 + 10 × 5 + 1 × 1
CzÉÃ jÃw, 497 = 400 + 90 + 7
= 100 × 4 + 10 × 9 + 1 × 7
¸ÁªÀiÁ£ÀåªÁV a, b ªÀÄvÀÄÛ c UÀ½AzÁzÀ ªÀÄÆgÀÄ CAQUÀ¼À MAzÀÄ ¸ÀASÉå abc AiÀÄ «¸ÀÛøvÀ gÀÆ¥À
abc = 100 × a + 10 × b + 1 × c
= 100a + 10b + c
CzÉÃ jÃw, cab = 100c + 10a + b
bca = 100b + 10c + a »ÃUÉ ªÀÄÄAzÀĪÀj¸À§ºÀÄzÀÄ.
EªÀÅUÀ¼À£ÀÄß ¥ÀæAiÀÄwß¹
1. PɼÀV£ÀªÀÅUÀ¼À£ÀÄß «¸ÀÛøvÀ gÀÆ¥ÀzÀ°è §gɬÄj.
(i) 25 (ii) 73
(iii) 129 (iv) 302 2. PɼÀV£ÀªÀÅUÀ¼À£ÀÄß ¸ÁªÀiÁ£Àå gÀÆ¥ÀzÀ°è §gɬÄj.
(i) 10 × 5 + 6
(ii) 100 × 7 + 10 × 1 + 8
(iii) 100 × a + 10 × c + b
1.3 ¸ÀASÉåUÀ¼À eÉÆvÉUÉ Dl
(i) JgÀqÀAQ ¸ÀASÉåAiÀÄ CAQUÀ¼À CzÀ®Ä §zÀ®Ä ªÀiÁqÀĪÀÅzÀÄ.
«ÄãÁQëAiÀÄÄ ÀÄAzÀgÀAUÉ JgÀqÀÄ CAQUÀ¼À MAzÀÄ ÀASÉåAiÀÄ£ÀÄß ªÀÄ£À¹ì£À°è ElÄÖPÉƼÀî®Ä
ºÉüÀĪÀ¼ÀÄ ªÀÄvÀÄÛ D ¸ÀASÉåUÉ CªÀ¼ÀÄ ºÉýzÀAvÉAiÉÄà ªÀiÁqÀ®Ä w½¸ÀĪÀ¼ÀÄ. CªÀj§âgÀ
£ÀqÀÄ«£À ¸ÀA¨sÁµÀuÉAiÀÄ£ÀÄß PɼÀV£À avÀæzÀ°è PÉÆqÀ¯ÁVzÉ. NzÀĪÀ ªÉÆzÀ®Ä avÀæªÀ£ÀÄß
¸ÀjAiÀiÁV UÀªÀĤ¹.
¸ÀASÉåUÀ¼ÉÆA¢UÉ Dl 3
«ÄãÁQë ªÀÄvÀÄÛ ¸ÀÄAzÀgÀA £ÀqÀÄ«£À ¸ÀA¨sÁµÀuÉ :
EzÀÄ DVzÀÄÝ ºÉÃUÉAzÀgÉ, ¸ÀÄAzÀgÀA Dj¹zÀ ¸ÀASÉå 49. CAQUÀ¼À£ÀÄß CzÀ®Ä §zÀ®Ä
ªÀiÁrzÁUÀ zÉÆgÉvÀ ¸ÀASÉå 94. EªÀÅUÀ¼À£ÀÄß PÀÆrzÁUÀ zÉÆgÉvÀ ¸ÀASÉå 49 + 94 = 143.
PÉÆ£ÉUÉ EzÀ£ÀÄß CªÀ£ÀÄ 11jAzÀ sÁV¹zÁUÀ 143 ÷ 11 = 13 sÁUÀ®§Þ ªÀÄvÀÄÛ 0 ±ÉõÀ §gÀÄvÀÛzÉ.
EzÀ£Éßà «ÄãÁQë H»¹zÀÄÝ.
¸ÀÄAzÀgÀA PɼÀV£À ¸ÀASÉåUÀ¼À£ÀÄß Dj¹zÀÝgÉ GvÀÛgÀ K£ÁUÀÄwÛvÀÄÛ JAzÀÄ ¥ÀjÃQë¹.
(1) 27 (2) 39 (3) 64 (4) 17
EªÀÅUÀ¼À£ÀÄß ¥ÀæAiÀÄwß¹
4 UÀtÂvÀ
FUÀ £ÁªÀÅ «ÄãÁQë G¥ÀAiÉÆÃV¹zÀ “vÀAvÀæ” ªÀ£ÀÄß «ªÀj¸ÉÆÃt.
¸ÀÄAzÀgÀA Dj¹zÀ JgÀqÀÄ CAQUÀ¼À ¸ÀASÉå ab DVgÀ°. EzÀgÀ «¸ÀÛøvÀ gÀÆ¥À 10 × a + b.CAQ CzÀ®Ä §zÀ®Ä ªÀiÁrzÁUÀ zÉÆgÉvÀ ¸ÀASÉå ba. EzÀgÀ «¸ÀÛøvÀ gÀÆ¥À 10 × b + a.F JgÀqÀÄ ¸ÀASÉåUÀ¼À£ÀÄß PÀÆrzÁUÀ,
(10 × a + b) + (10 × b + a) = 11 a + 11b = 11(a + b)
»ÃUÉ ªÉÆvÀÛªÀÅ AiÀiÁªÁUÀ®Æ «ÄãÁQëAiÀÄ ¥Àæw¥ÁzÀ£ÉAiÀÄAvÉ 11 gÀ UÀÄtPÀªÉà DVgÀÄvÀÛzÉ.
E°è E£ÉÆßAzÀÄ CA±ÀªÀ£ÀÄß £ÁªÀÅ UÀªÀĤ¸À§ºÀÄzÀÄ. £ÁªÀÅ F ªÉÆvÀÛªÀ£ÀÄß 11 jAzÀ ¨sÁV¹zÀÝgÉ ¨sÁUÀ®§ÞªÀÅ a + b, ªÀÄvÀÄÛ EzÀÄ £ÁªÀÅ Dj¹PÉÆAqÀ ¸ÀASÉå ab AiÀÄ CAQUÀ¼À ªÉÆvÀÛ DVzÉ.
¤ÃªÀÅ EzÀ£ÀÄß ÉÃgÉ AiÀiÁªÀÅzÉà JgÀqÀÄ CAQUÀ¼À ÀASÉå vÉUÉzÀÄPÉÆAqÀÄ ¥ÀjÃQë¸À§ºÀÄzÀÄ.
«ÄãÁQë ªÀÄvÀÄÛ ¸ÀÄAzÀgÀA £ÀqÀÄ«£À ¸ÀASÉåUÀ¼À eÉÆvÉV£À Dl ªÀÄÄAzÀĪÀgÉAiÀÄÄvÀÛzÉ!
«ÄãÁQë : FUÀ E£ÉÆßAzÀÄ JgÀqÀAQ ÀASÉåAiÀÄ£ÀÄß ªÀÄ£À¹£À°è ElÄÖPÉÆà DzÀgÉ £À£ÀUÉ ºÉüÀ¨ÉÃqÀ.
¸ÀÄAzÀgÀA : ¸Àj..
«ÄãÁQë : FUÀ CAQUÀ¼À£ÀÄß CzÀ®Ä §zÀ®Ä ªÀiÁr zÉÆqÀØ ¸ÀASÉå¬ÄAzÀ aPÀÌ ¸ÀASÉåAiÀÄ£ÀÄß PÀ¼É.
¸ÀÄAzÀgÀA : PÀ¼ÉzÉ....ªÀÄÄAzÉãÀÄ?
«ÄãÁQë : FUÀ ¤Ã£ÀÄ ¥ÀqÉzÀ GvÀÛgÀªÀ£ÀÄß 9jAzÀ ¨sÁV¸ÀÄ. £Á£ÀÄ RArvÀªÁV ºÉüÀ§¯Éè, C°è AiÀiÁªÀÅzÉà ±ÉõÀ G½¢®è !
¸ÀÄAzÀgÀA : CgÉ!..ºËzÀÄ, AiÀiÁªÀÅzÉà ±ÉõÀ G½AiÀÄ°®è. ¤Ã£ÀÄ EµÉÆÖAzÀÄ zÀÈqsÀªÁV ºÉýzÀÄÝ ºÉÃUÉ?
¤dªÁV, ¸ÀÄAzÀgÀA AiÉÆÃa¹zÀ ¸ÀASÉå 29. CzÀgÀ ¯ÉPÁÌZÁgÀ »ÃVzÉ:
CAQUÀ¼À£ÀÄß CzÀ®Ä§zÀ®Ä ªÀiÁrzÁUÀ §AzÀ ¸ÀASÉå 92; £ÀAvÀgÀ ¥ÀqÉzÀzÀÄÝ 92-29 = 63; PÉÆ£ÉUÉ CªÀ£ÀÄ 63 ÷ 9 ªÀiÁrzÁUÀ ¥ÀqÉzÀ ¨sÁUÀ®§Þ 7 ªÀÄvÀÄÛ ±ÉõÀ K£ÀÆ G½AiÀÄ°®è!
¸ÀÄAzÀgÀA PɼÀV£À ¸ÀASÉåUÀ¼À£ÀÄß Dj¹zÀÝgÉ GvÀÛgÀ K£ÁUÀÄwÛvÀÄÛ JAzÀÄ ¥ÀjÃQë¹.
(1) 17 (2) 21 (3) 96 (4) 37
EªÀÅUÀ¼À£ÀÄß ¥ÀæAiÀÄwß¹
FUÀ ¸ÀÄAzÀgÀA, «ÄãÁQëAiÀÄ JgÀqÀ£Éà vÀAvÀæªÀ£ÀÄß ºÉÃUÉ «ªÀj¸ÀÄvÁÛ£É JAzÀÄ £ÉÆÃqÉÆÃt.
¸ÀASÉåUÀ¼ÉÆA¢UÉ Dl 5
(FUÀ ¸ÀÄAzÀgÀA EzÀ£ÀÄß «ªÀj¸ÀĪÀµÀÄÖ DvÀ䫱Áé¸À UÀ½¹zÁÝ£É!)
¸ÀÄAzÀgÀA Dj¹zÀ JgÀqÀÄ CAQUÀ¼À ¸ÀASÉå ab DVzÀÝgÉ, ab = 10 × a + b.CAQ CzÀ®Ä §zÀ®Ä ªÀiÁrzÁUÀ zÉÆgÉvÀ ¸ÀASÉå ba = 10 × b + a.FUÀ zÉÆqÀØ ¸ÀASÉå¬ÄAzÀ aPÀÌ ¸ÀASÉåAiÀÄ£ÀÄß PÀ¼ÉzÁUÀ,
• 10 gÀ ¸ÁÜ£ÀªÀÅ ©r ¸ÁÜ£ÀQÌAvÀ zÉÆqÀØzÁVzÁÝUÀ (CAzÀgÉ a > b) (10 × a + b) – (10 × b + a ) = 10 a + b – 10 b – a. = 9a – 9b = 9(a – b) • ©r¸ÁÜ£ÀªÀÅ 10gÀ ¸ÁÜ£ÀQÌAvÀ zÉÆqÀØzÁVzÁÝUÀ (CAzÀgÉ b > a) (10 × b + a ) – (10 × a + b) = 9(b – a) • a = b DzÁUÀ CªÀ£ÀÄ ¥ÀqÉAiÀÄĪÀÅzÀÄ 0.
¥Àæw ¸ÀAzÀ¨sÀðzÀ°èAiÀÄÆ GvÀÛgÀªÀÅ 9 jAzÀ ¨sÁV¸À®àqÀÄvÀÛzÉ DzÀÝjAzÀ ±ÉõÀ 0. MAzÉƪÉÄä £ÁªÀÅ 9jAzÀ sÁV¹zÀgÉ, a > b CxÀªÁ a < b JA§ÄzÀgÀ DzsÁgÀzÀ°è sÁUÀ®§ÞªÀÅ a – b CxÀªÁ b – a DVgÀÄvÀÛzÉ JA§ÄzÀ£ÀÄß UÀªÀĤ¸À§ºÀÄzÀÄ. ¤ÃªÀÅ AiÀiÁªÀÅzÉà 2 CAQUÀ¼À ¸ÀASÉå vÉUÉzÀÄPÉÆAqÀÄ EzÀ£ÀÄß ¥ÀjÃQë¸À§ºÀÄzÀÄ.
(ii) ªÀÄÆgÀAQ ¸ÀASÉåAiÀÄ CAQUÀ¼À£ÀÄß «gÀÄzÀÞ PÀæªÀÄzÀ°è (reversing) §gÉAiÀÄĪÀÅzÀÄ.
FUÀ PÉ®ªÀÅ vÀAvÀæUÀ¼À£ÀÄß vÉÆÃj¸ÀĪÀ ¸ÀgÀ¢ ¸ÀÄAzÀgÀAzÀÄ!
ÀÄAzÀgÀA : 3 CAQUÀ¼À MAzÀÄ ÀASÉåAiÀÄ£ÀÄß AiÉÆÃa¸ÀÄ DzÀgÉ AiÀiÁªÀÅzÉAzÀÄ £À£ÀUÉ ºÉüÀ¨ÉÃqÀ.
«ÄãÁQë : ¸Àj..
¸ÀÄAzÀgÀA : FUÀ CAQUÀ¼À£ÀÄß «gÀÄzÀÞ PÀæªÀÄzÀ°è §gÉzÀÄ E£ÉÆßAzÀÄ ¸ÀASÉå ¥ÀqÉ ªÀÄvÀÄÛ zÉÆqÀØ ¸ÀASÉå¬ÄAzÀ aPÀÌ ¸ÀASÉåAiÀÄ£ÀÄß PÀ¼É.
«ÄãÁQë : ¸Àj, PÀ¼ÉzÁ¬ÄvÀÄ. ªÀÄÄAzÉãÀÄ ªÀiÁqÀ¨ÉÃPÀÄ?
¸ÀÄAzÀgÀA : ¤Ã£ÀÄ ¥ÀqÉzÀ GvÀÛgÀªÀ£ÀÄß 99jAzÀ ¨sÁV¸ÀÄ, RArvÀ ºÉüÀ§¯Éè, C°è AiÀiÁªÀ ±ÉõÀªÀÇ G½AiÀÄzÀÄ!
¤dªÁV «ÄãÁQë Dj¹zÀ ªÀÄÆgÀAQ ¸ÀASÉå 349. DUÀ CªÀ¼À ¯ÉPÁÌZÁgÀ »ÃVgÀÄvÀÛzÉ.
• «gÀÄzÀÞPÀæªÀÄzÀ°è §gÉzÁUÀ zÉÆgÉvÀ ¸ÀASÉå 943
• PÀ¼ÉzÁUÀ zÉÆgÉvÀ ¸ÀASÉå 943 - 349 = 594
• ¨sÁV¹zÁUÀ, 594 ÷ 99 = 6, ±ÉõÀ G½¢®è.
6 UÀtÂvÀ
«ÄãÁQë PɼÀV£À ¸ÀASÉåUÀ¼À£ÀÄß Dj¹zÀÝgÉ GvÀÛgÀ K£ÁUÀÄwÛvÀÄÛ JAzÀÄ ¥ÀjÃQë¹. ¥Àæw ¸ÀAzÀ¨sÀðzÀ°è zÉÆgÉvÀ ¨sÁUÀ®§ÞUÀ¼À£ÀÄß zÁR°¹PÉƽî.
(1) 132 (2) 469 (3) 737 (4) 901
EªÀÅUÀ¼À£ÀÄß ¥ÀæAiÀÄwß¹
£ÁªÀÅ F vÀAvÀæ ºÉÃUÉ PÉ®¸À ªÀiÁqÀĪÀÅzÀÄ JAzÀÄ £ÉÆÃqÉÆÃt.
«ÄãÁQë Dj¹zÀ 3 CAQUÀ¼À ¸ÀASÉå abc DVzÀÝgÉ, abc = 100a + 10b + c CAQUÀ¼À£ÀÄß «gÀÄzÀÞ PÀæªÀÄzÀ°è §gÉzÁUÀ CªÀ¼ÀÄ ¥ÀqÉzÀ ¸ÀASÉå;
cba = 100c + 10b + aEªÀÅUÀ¼À£ÀÄß PÀ¼ÉzÁUÀ:
• a > c DVzÀÝgÉ, DUÀ ¸ÀASÉåUÀ¼À £ÀqÀÄ«£À ªÀåvÁå¸ÀªÀÅ
(100a + 10b + c) – ( 100c + 10b + a) = 100a + 10b + c – 100c – 10b – a = 99a – 99c = 99(a – c) • c > a DVzÀÝgÉ, DUÀ ¸ÀASÉåUÀ¼À £ÀqÀÄ«£À ªÀåvÁå¸ÀªÀÅ
(100c + 10b + a) – (100a + 10b + c) = 99c – 99a = 99(c – a) • a = c DVzÀÝgÉ, ªÀåvÁå¸À 0 DUÀĪÀÅzÀÄ.
¥Àæw ÀAzÀ¨sÀðzÀ°èAiÀÄÆ ¥sÀ°vÀ ÀASÉåAiÀÄÄ 99 jAzÀ sÁUÀªÁUÀÄvÀÛzÉ. DzÀÝjAzÀ ±ÉõÀ 0 DUÀÄvÀÛzÉ. E°è ¨sÁUÀ®§ÞªÀÅ (a – c) CxÀªÁ (c – a) DVgÀÄvÀÛzÉ JA§ÄzÀ£ÀÄß UÀªÀĤ¸À§ºÀÄzÀÄ. ¤ÃªÀÅ, ¨ÉÃgÉ 3-CAQUÀ¼À ¸ÀASÉåUÀ½UÉ EzÀ£ÀÄß ¥ÀjÃQë¸À§ºÀÄzÀÄ.
(iii) PÉÆlÖ ªÀÄÆgÀÄ CAQUÀ½AzÀ 3 CAQUÀ¼À ¸ÀASÉå gÀa¸ÀĪÀÅzÀÄ.
FUÀ ¥ÀÄ£ÀB «ÄãÁQëAiÀÄ ¸ÀgÀ¢.
«ÄãÁQë : AiÀiÁªÀÅzÉà 3-CAQUÀ¼À MAzÀÄ ¸ÀASÉå AiÉÆÃa¸ÀÄ.
¸ÀÄAzÀgÀA : ¸Àj.
«ÄãÁQë : FUÀ F 3 CAQUÀ¼À£ÀÄß G¥ÀAiÉÆÃV¹ ªÀÄvÉÛ JgÀqÀÄ ¸ÀASÉåUÀ¼À£ÀÄß gÀa¸À¨ÉÃPÀÄ. ºÉÃUÉAzÀgÉ, ¤Ã£ÀÄ Dj¹zÀ ¸ÀASÉå abc DVzÀÝgÉ CAQUÀ¼À£ÀÄß ZÀQæÃAiÀĪÁV §zÀ°¹ cab ªÀÄvÀÄÛ bca ¥ÀqÉAiÀĨÉÃPÀÄ. F ªÀÄÆgÀÄ ¸ÀASÉåUÀ¼À£ÀÄß PÀÆr¸ÀÄ ªÀÄvÀÄÛ ªÉÆvÀÛªÀ£ÀÄß 37 jAzÀ ¨sÁV¸ÀÄ. £Á£ÀÄ RavÀªÁV ºÉüÀ§¯Éè, C°è AiÀiÁªÀÅzÉà ±ÉõÀ G½AiÀÄĪÀÅ¢®è!
¸ÀÄAzÀgÀA : ºËzÀÄ! ¤Ã£ÀÄ ºÉýzÀÄÝ ¸ÀjAiÀiÁVzÉ.
¸ÀASÉåUÀ¼ÉÆA¢UÉ Dl 7
¤dªÁV, ÀÄAzÀgÀA Dj¹zÀ 3-CAQAiÀÄ ÀASÉå 237. «ÄãÁQë ºÉýzÀAvÉ ªÀiÁrzÀ £ÀAvÀgÀ CªÀ£ÀÄ ¥ÀqÉzÀ ¸ÀASÉåUÀ¼ÀÄ 723 ªÀÄvÀÄÛ 372. CzÀgÀAvÉ ªÀiÁrzÁUÀ,
237
+ 723
+ 372
2, 3 ªÀÄvÀÄÛ 7 CAQUÀ¼À£ÀÄß §¼À¹ ¸ÁzsÀå«gÀĪÀ JˉÁèªÀÄÆgÀAQ ¸ÀASÉåUÀ¼À£ÀÄß gÀa¹ CªÀÅUÀ¼À ªÉÆvÀÛ PÀAqÀÄ»r¬Äj.
ªÉÆvÀÛªÀÅ 37jAzÀ ¨sÁUÀªÁUÀĪÀÅzÉà ¥ÀjÃQë¹. EzÀÄ ¸ÀASÉå AiÀÄ°è£Àabc
CAQ ªÀÄvÀÄÛ UÀ½AzÀ gÀavÀªÁzÀ JˉÁè ¸ÀASÉåUÀ¼Àa, b c
ªÉÆvÀÛPÀÆÌ ¤dªÁVgÀĪÀÅzÉÃ? 1332
ªÉÆvÀÛ 1332 £ÀÄß CªÀ£ÀÄ 37 jAzÀ ¨sÁV¹zÁUÀ,
1332 ÷ 37 = 36 ºÁUÀÆ ±ÉõÀ G½¢®è.
¸ÀÄAzÀgÀA PɼÀV£À ¸ÀASÉåUÀ¼À£ÀÄß Dj¹zÀÝgÉ GvÀÛgÀ K£ÁUÀÄwÛvÀÄÛ JAzÀÄ ¥ÀjÃQë¹.
(1) 417 (2) 632 (3) 117 (4) 937
EªÀÅUÀ¼À£ÀÄß ¥ÀæAiÀÄwß¹
F vÀAvÀæ AiÀiÁªÁUÀ®Æ ¥sÀ°¸ÀĪÀÅzÉÃ? £ÉÆÃqÉÆÃt.
abc = 100a + 10b + c cab = 100c + 10a + b bca = 100b + 10c + a abc + cab + bca = 111(a + b + c) = 37 × 3(a + b + c), EzÀÄ 37 jAzÀ sÁUÀªÁUÀÄvÀÛzÉ.
1.4 CAQUÀ¼À ¸ÁÜ£ÀzÀ°è CPÀëgÀUÀ¼ÀÄ
FUÀ £ÁªÀÅ CAQUÀ¼À ¸ÁÜ£ÀzÀ°è CPÀëgÀUÀ¼À£ÀÄß (Alphabets) ºÁQzÁUÀ zÉÆgÉAiÀÄĪÀ ¸ÀASÉåUÀ¼À ¸ÀªÀĸÉåUÀ¼À£ÀÄß £ÉÆÃqÉÆÃt. EzÀÄ MAzÀÄ jÃwAiÀÄ°è ¸ÀAPÉÃvÁPÀëgÀUÀ¼À CxÀðªÀ£ÀÄß ¨sÉâ¹zÀAvÉ! ¸ÀAPÀ®£À ªÀÄvÀÄÛ UÀÄuÁPÁgÀUÀ½UÉ ¸ÀA§A¢ü¹zÀ EAvÀºÀ ¸ÀªÀĸÉåUÀ¼À°è AiÀiÁªÀ CPÀëgÀ AiÀiÁªÀ CAQAiÀÄ£ÀÄß ¥Àæw¤¢ü¸ÀÄvÀÛzÉ JA§ÄzÀ£ÀÄß PÀAqÀÄ»rAiÀÄĪÀÅzÀÄ £ÀªÀÄä UÀÄj.
EAvÀºÀ ÀªÀĸÉåUÀ¼À£ÀÄß ©r¸ÀĪÁUÀ £ÁªÀÅ PɼÀV£À JgÀqÀÄ ¤AiÀĪÀÄUÀ¼À£ÀÄß C£ÀĸÀj¸ÀÄvÉÛêÉ.
1. ¸ÀªÀĸÉåAiÀÄ°èègÀĪÀ ¥ÀæwAiÉÆAzÀÄ CPÀëgÀªÀÅ MAzÀÄ CAQAiÀÄ£ÀÄß ªÀiÁvÀæ ¥Àæw¤¢ü¸À¨ÉÃPÀÄ ªÀÄvÀÄÛ ¥ÀæwAiÉÆAzÀÄ CAQAiÀÄ£ÀÆß MAzÀÄ CPÀëgÀ ªÀiÁvÀæ ¥Àæw¤¢ü¸À¨ÉÃPÀÄ.
2. ¸ÀASÉåAiÀÄ ªÉÆzÀ°£À CAQ ¸ÉÆ£Éß DVgÀ¨ÁgÀzÀÄ. CAzÀgÉ “CgÀªÀvÀÆägÀÄ” JA§ ¸ÀASÉåAiÀÄ£ÀÄß 63 JAzÀÄ §gÉAiÀĨÉÃPÉà «£ÀB 063 CxÀªÁ 0063 JAzÀÄ §gÉAiÀÄPÀÆqÀzÀÄ.
F ¸ÀªÀĸÉåUÉ MAzÀÄ GvÀÛgÀ ªÀiÁvÀæ EzÉ JAzÀÄ w½AiÀĨÉÃPÀÄ.
8 UÀtÂvÀ
GzÁºÀgÀuÉ 1 : PɼÀV£À ªÉÆvÀÛzÀ°è Q ªÀ£ÀÄß PÀAqÀÄ»r¬Äj.
3 1 Q+ 1 Q 3 5 0 1
¥ÀjºÁgÀ : E°è £ÁªÀÅ Q JA§ MAzÀÄ CPÀëgÀzÀ ɯÉAiÀÄ£ÀÄß ªÀiÁvÀæ PÀAqÀÄ»rAiÀĨÉÃPÁVzÉ.
FUÀ, ªÉÄð£À ªÉÆvÀÛzÀ°è ©r¸ÁÜ£ÀªÀ£ÀÄß UÀªÀĤ¹zÁUÀ Q + 3 JA§ÄzÀgÀ ªÉÆvÀÛ ©r¸ÁÜ£ÀzÀ°è 1 £ÀÄß PÉÆqÀ¨ÉÃPÀÄ.
EzÀÄ ¸ÁzsÀåªÁUÀ®Ä Q ¨É¯É 8 DVgÀ¨ÉÃPÀÄ. »ÃUÉ £ÁªÀÅ F ¸ÀªÀĸÉåAiÀÄ£ÀÄß PɼÀV£ÀAvÉ ©r¸À§ºÀÄzÀÄ.
3 1 8+ 1 8 3 5 0 1
CAzÀgÉ Q = 8GzÁºÀgÀuÉ 2 : PɼÀV£À ªÉÆvÀÛzÀ°è A ªÀÄvÀÄÛ B UÀ¼ÀÀ£ÀÄß
PÀAqÀÄ»r¬Äj.
A+ A+ A B A
¥ÀjºÁgÀ : E°è A ªÀÄvÀÄÛ B JA§ JgÀqÀÄ CPÀëgÀUÀ¼À ¨É¯É PÀAqÀÄ»rAiÀĨÉÃPÁVzÉ. ©r¸ÁÜ£ÀzÀ CAQUÀ¼À ªÉÆvÀÛªÀ£ÀÄß UÀªÀĤ¹: ªÀÄÆgÀÄ A UÀ¼À ªÉÆvÀÛªÀÅ ©r¸ÁÜ£ÀzÀ°è A AiÀÄ£ÀÄß PÉÆqÀÄvÀÛzÉ. CAzÀgÉ JgÀqÀÄ A UÀ¼À ªÉÆvÀÛªÀÅ ©r¸ÁÜ£ÀzÀ°è 0 AiÀÄ£ÀÄß PÉÆqÀ¨ÉÃPÀÄ. EzÀÄ A = 0 ªÀÄvÀÄÛ A = 5 DzÁUÀ ªÀiÁvÀæ ¸ÁzsÀå. A = 0 DzÁUÀ 0 + 0 + 0 = 0, DUÀ B = 0 DUÀÄvÀÛzÉ. MAzÀÄ CAQAiÀÄ£ÀÄß MAzÀÄ CPÀëgÀ ªÀiÁvÀæ ¥Àæw¤¢ü¸ÀĪÀÅzÀjAzÀ EzÀÄ ¸ÁzsÀå«®è. DzÀÝjAzÀ A = 5
FUÀÀ MUÀl£ÀÄß PɼÀV£ÀAvÉ ©r¸À§ºÀÄzÀÄ.
5+ 5+ 5 15
CAzÀgÉ A = 5 ªÀÄvÀÄÛ B = 1
¸ÀASÉåUÀ¼ÉÆA¢UÉ Dl 9
GzÁºÀgÀuÉ 3 : A ªÀÄvÀÄÛ B UÀ¼ÀÀ ¨É¯É PÀAqÀÄ»r¬Äj.
B A× B 3 5 7 A
¥ÀjºÁgÀ : E°è PÀÆqÀ £ÁªÀÅ A ªÀÄvÀÄÛ B JA§ JgÀqÀÄ CPÀëgÀUÀ¼À É¯É PÀAqÀÄ»rAiÀĨÉÃPÁVzÉ.
E°è ©r¸ÁÜ£À 3 × A UÀ¼À UÀÄt®§Þ A AiÀÄ£ÀÄß PÉÆqÀĪÀÅzÀjAzÀ A = 0 CxÀªÁ A = 5 DVgÀ¨ÉÃPÀÄ.
FUÀ B AiÀÄ£ÀÄß UÀªÀĤ¸ÉÆÃt.
B = 1 DzÁUÀ BA × B3 JA§ÄzÀÄ UÀjµÀ× 19 × 13 DUÀ§ºÀÄzÀÄ. EzÀgÀ UÀÄt®§Þ 247 DUÀÄvÀÛzÉ. DzÀgÉ GvÀÛgÀ 5 7 A DUÀ¨ÉÃPÀÄ. CAzÀgÉ EzÀÄ 500 QÌAvÀ ºÉZÀÄÑ. DzÀÝjAzÀ B = 1 ¸ÁzsÀå«®è.
B = 3 DzÁUÀ B A × B 3 JA§ÄzÀÄ PÀ¤µÀ× 30 × 33 DUÀ§ºÀÄzÀÄ. EzÀgÀ UÀÄt®§Þ 990 DUÀÄvÀÛzÉ. EzÀÄ 5 7 A VAvÀ vÀÄA¨Á ºÉZÀÄÑ. CAzÀgÉ B ¨É¯É 3 DUÀ¯ÁgÀzÀÄ. F JgÀqÀÄ CA±ÀUÀ¼À£ÀÄß MnÖUÉ UÀªÀĤ¹zÁUÀ B = 2 DUÀ§ºÀÄzÀÄ. DzÀÝjAzÀ UÀÄt®§ÞªÀÅ 20 × 23 CxÀªÁ 25 × 23.
ªÉÆzÀ®£ÉAiÀÄzÀÄ ¸ÁzsÀå«®è. KPÉAzÀgÉ, 20 × 23 = 460 JgÀqÀ£ÉAiÀÄzÀÄ zÀvÀÛ GvÀÛgÀPÉÌ ¸Àj ºÉÆAzÀÄvÀÛzÉ. KPÉAzÀgÉ, 25 × 23 = 575
DzÀÝjAzÀ GvÀÛgÀ A = 5 , B = 2. 2 5× 2 3 5 7 5
EzÀ£ÀÄß ªÀiÁr
JgÀqÀÄ CAQUÀ¼À MAzÀÄ ¸ÀASÉå ab §gɬÄj. CzÀgÀ CAQUÀ¼À£ÀÄß «gÀÄzÀÞ PÀæªÀÄzÀ°è §gÉzÁUÀ zÉÆgÉAiÀÄĪÀ ¸ÀASÉå ba. EªÀÅUÀ¼À£ÀÄß PÀÆr¹zÁUÀ zÉÆgÉAiÀÄĪÀ ªÉÆvÀÛªÀÅ 3 CAQUÀ¼À ¸ÀASÉå dad DVgÀ°.CAzÀgÉ, ab + ba = dad (10a + b) + (10b + a) = dad 11(a + b) = dad a+b UÀ¼À ªÉÆvÀÛªÀÅ 18 QÌAvÀ ºÉZÁÑUÀĪÀÅ¢®è. ( KPÉ? )
dad AiÀÄÄ 11 gÀ UÀÄtPÀªÁVgÀĪÀÅzÉÃ?
dad AiÀÄÄ 198 QÌAvÀ PÀrªÉÄ EgÀĪÀÅzÉÃ? 198 gÀªÀgÉV£À 11 gÀ UÀÄtPÀUÀ¼ÁVgÀĪÀ 3 CAQUÀ¼À J¯Áè ¸ÀASÉåUÀ¼À£ÀÄß §gɬÄj ºÁUÀÆ a ªÀÄvÀÄÛ d UÀ¼À ¨É¯ÉUÀ¼À£ÀÄß PÀAqÀÄ»r¬Äj.
10 UÀtÂvÀ
C¨sÁå¸À 1.1
PɼÀV£ÀªÀÅUÀ¼À°è EAVèµï CPÀëgÀUÀ½AzÀ ¸ÀÆavÀªÁzÀ ¥ÀæwAiÉÆAzÀÄ CPÀëgÀzÀÀ ¨É¯É PÀAqÀÄ»r¬Äj. PÁgÀt¸À»vÀ «ªÀgÀuÉ ¤Ãr.
1. 3 A 2. 4 A 3. 1 A+ 2 5 + 9 8 × A B 2 C B 3 9 A
4. A B 5. A B 6. A B+ 3 7 × 3 × 5 6 A C A B C A B
7. A B 8. A 1 9. 2 A B × 6 + 1 B + A B 1B B B B 0 B 1 8
10. 1 2 A+ 6 A B A O 9
1.5 ¨sÁdåvÉAiÀÄ ¥ÀjÃPÉëUÀ¼ÀÄ.
¤ÃªÀÅ 6£Éà vÀgÀUÀwAiÀÄ°è 10,5,2,3,6,4,8,9,11 ªÀÄÄAvÁzÀ ¨sÁdPÀUÀ½AzÀ ¨sÁdåvÉAiÀÄ£ÀÄß ¥ÀjÃQë¸ÀĪÀÅzÀÄ ºÉÃUÉ JA§ÄzÀ£ÀÄß PÀ°wgÀÄ«j. F ¤AiÀĪÀÄUÀ¼ÀÄ ºÉÃUÉ PÉ®¸À ªÀiÁqÀÄvÀÛªÉ JA§ÄzÀgÀ §UÉÎ ¤ÃªÀÅ D±ÀÑAiÀÄðUÉÆArgÀ§ºÀÄzÀÄ. £ÁªÀÅ F CzsÁåAiÀÄzÀ°è CzÀgÀ §UÉÎ w½AiÉÆÃt.
1.5.1 10 jAzÀ ¨sÁdåvÉ.
EzÀÄ J¯Áè ¥ÀjÃPÉëUÀ½VAvÀ®Æ ¸ÀÄ®¨sÀªÁzÀzÀÄÝ. 10 gÀ PÉ®ªÀÅ UÀÄtPÀUÀ¼À£ÀÄß £ÉÆÃqÉÆÃt.
10, 20, 30, 40, 50, 60, ........
10 gÀ UÀÄtPÀUÀ¼À®èzÀ PÉ®ªÀÅ ¸ÀASÉåUÀ¼À£ÀÄß £ÉÆÃqÉÆÃt. 13, 27, 32, 48, 55, 69,.. F ¸ÀASÉåUÀ¼À£ÀÄß £ÁªÀÅ UÀªÀĤ¹zÁUÀ ©r¸ÁÜ£ÀzÀ°è 0 AiÀÄ£ÀÄß ºÉÆA¢gÀĪÀ ¸ÀASÉåUÀ¼ÀÄ 10 gÀ UÀÄtPÀUÀ¼ÀÄ. DzÀgÉ ©r¸ÁÜ£ÀzÀ°è 0 AiÀÄ£ÀÄß ºÉÆA¢®èzÀ ¸ÀASÉåUÀ¼ÀÄ 10gÀ UÀÄtPÀUÀ¼À®è. »ÃUÉ £ÁªÀÅ 10jAzÀ ¨sÁdåvÉAiÀÄ ¤AiÀĪÀÄ w½zɪÀÅ.
£ÁªÀÅ EzÀ£ÀÄß ¸ÀĪÀÄä£É F jÃw ºÉüÀzÉ, EzÀÄ ºÉÃUÉ PÉ®¸À ªÀiÁqÀÄvÀÛzÉ JA§ÄzÀ£ÀÄß «ªÀj¸À¨ÉÃPÀÄ. EzÉãÀÄ PÀµÀÖªÀ®è. £ÀªÀÄUÉ ¸ÀASÉåUÀ¼À ¸ÁÜ£À¨É¯É ¤AiÀĪÀÄ w½¢zÀÝgÉ ¸ÁPÀÄ.
¸ÀASÉåUÀ¼ÉÆA¢UÉ Dl 11
FUÀ ........cba ¸ÀASÉåAiÀÄ£ÀÄß vÉUÉzÀÄPÉƼÉÆîÃt. EzÀgÀ «¸ÀÛøvÀgÀÆ¥À
..........+ 100c + 10b + a JAzÁUÀĪÀÅzÀÄ. E°è a AiÀÄÄ ©r¸ÁÜ£À, b AiÀÄÄ ºÀvÀÛgÀ ¸ÁÜ£À, c AiÀÄÄ £ÀÆgÀgÀ ¸ÁÜ£À, EvÁå¢. E°è ZÀÄQÌUÀ¼ÀÄ c AiÀÄ JqÀ§¢AiÀÄ°è E£ÀÆß ºÉaÑ£À CAQUÀ½gÀĪÀ ¸ÁzsÀåvÉAiÀÄ£ÀÄß ¸ÀÆa¸ÀÄvÀÛªÉ.
10, 100, ªÀÄÄAvÁzÀ ¸ÀASÉåUÀ¼ÀÄ 10jAzÀ ¨sÁUÀªÁUÀĪÀÅzÀjAzÀ 10b, 100c UÀ¼ÀÄ 10jAzÀ ¨sÁUÀªÁUÀÄvÀÛªÉ. FUÀ ©r¸ÁÜ£ÀzÀ a AiÀÄÄ 10 jAzÀ ¨sÁUÀªÁzÀgÉ zÀvÀÛ ¸ÀASÉåAiÀÄÄ 10jAzÀ ¨sÁUÀªÁUÀÄvÀÛzÉ. EzÀÄ a = 0 DzÁUÀ ªÀiÁvÀæ ¸ÁzsÀåªÁUÀÄvÀÛzÉ.
»ÃUÉ, MAzÀÄ ¸ÀASÉåAiÀÄ ©r¸ÁÜ£À 0 DzÁUÀ ªÀiÁvÀæ CzÀÄ 10 jAzÀ ¨sÁUÀªÁUÀÄvÀÛzÉ.
1.5.2 5 jAzÀ ¨sÁdåvÉ.
5 gÀ PÉ®ªÀÅ UÀÄtPÀUÀ¼À£ÀÄß £ÉÆÃr.
5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40, 45, 50, .... F ¸ÀASÉåUÀ¼À ©r¸ÁÜ£ÀªÀ£ÀÄß UÀªÀĤ¹zÁUÀ C°è 5 ªÀÄvÀÄÛ 0 UÀ¼ÀÄ ¥ÀgÁåAiÀĪÁV §zÀ¯ÁUÀÄvÀÛªÉ ªÀÄvÀÄÛ EzÀgÀ ºÉÆgÀvÁV AiÀiÁªÀÅzÉà CAQUÀ¼ÀÄ §gÀĪÀÅ¢®è. CAzÀgÉ ©r¸ÁÜ£ÀzÀ°è 0 CxÀªÁ 5 §AzÁUÀ D ¸ÀASÉåAiÀÄÄ 5jAzÀ ¨sÁUÀªÁUÀÄvÀÛzÉ.
£ÁªÀÅ F ¤AiÀĪÀĪÀ£ÀÄß «ªÀj¸ÉÆÃt.
AiÀiÁªÀÅzÉà ÀASÉå........cba AiÀÄ£ÀÄß .......... + 100c + 10b + a JAzÀÄ §gÉAiÀħºÀÄzÀÄ.
10, 100 ªÀÄÄAvÁzÀ ÀASÉåUÀ¼ÀÄ 10jAzÀ sÁUÀªÁUÀĪÀÅzÀjAzÀ 10b, 100c UÀ¼ÀÄ 10jAzÀ ¨sÁUÀªÁUÀÄvÀÛªÉ. EªÀÅ 5 jAzÀ®Æ ¨sÁUÀªÁUÀÄvÀÛªÉ KPÉAzÀgÉ 10 = 2 × 5. E£ÀÄß ©r¸ÁÜ£ÀzÀ a AiÀÄÄ 5 jAzÀ ¨sÁUÀªÁzÀgÉ D ¸ÀASÉåAiÀÄÄ 5 jAzÀ ¨sÁUÀªÁUÀÄvÀÛzÉ. EzÀÄ a = 0 CxÀªÁ a = 5 DzÁUÀ ªÀiÁvÀæ ¸ÁzsÀåªÁUÀÄvÀÛzÉ.
»ÃUÉ, MAzÀÄ ÀASÉåAiÀÄ ©r¸ÁÜ£À 0 CxÀªÁ 5 DzÁUÀ ªÀiÁvÀæ CzÀÄ 5 jAzÀ sÁUÀªÁUÀÄvÀÛzÉ.
(ªÉÆzÀ®£ÉAiÀÄzÀ£ÀÄß ¤ªÀÄUÁV ªÀiÁrzÉ)
1. N ÷ 5 gÀ ¨sÁUÁPÁgÀªÀÅ ±ÉõÀ 3 £ÀÄß G½¹zÀgÉÉ N £À ©r¸ÁÜ£ÀzÀ°ègÀĪÀ CAQ AiÀiÁªÀÅzÀÄ?
(©r¸ÁÜ£ÀªÀ£ÀÄß 5 jAzÀ ¨sÁV¹zÁUÀ ±ÉõÀ 3£ÀÄß G½¹zÀgÉÉ ©r¸ÁÜ£ÀzÀ CAQUÀ¼ÀÄ 3 CxÀªÁ 8 DVgÀ¨ÉÃPÀÄ).
2. N ÷ 5 gÀ ¨sÁUÁPÁgÀªÀÅ ±ÉõÀ 1 £ÀÄß G½¹zÀgÉÉ N £À ©r¸ÁÜ£ÀzÀ°ègÀĪÀ CAQ AiÀiÁªÀÅzÀÄ?
3. N ÷ 5 gÀ ¨sÁUÁPÁgÀªÀÅ ±ÉõÀ 4 £ÀÄß G½¹zÀgÉÉÉ N £À ©r¸ÁÜ£ÀzÀ°ègÀĪÀ CAQ AiÀiÁªÀÅzÀÄ?
EªÀÅUÀ¼À£ÀÄß ¥ÀæAiÀÄwß¹
12 UÀtÂvÀ
1.5.3 2 jAzÀ ¨sÁdåvÉ.
¸ÀªÀÄ ¸ÀASÉåUÀ¼ÀÄ. 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20, 22,.....
¨É¸À ¸ÀASÉåUÀ¼ÀÄ. 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19, 21, 23,......
MAzÀÄ ¸Áé¨sÁ«PÀ ¸ÀASÉåAiÀÄ ©r¸ÁÜ£ÀzÀ CAQ 2, 4, 6, 8 CxÀªÁ 0 EzÀÝgÉ D ¸ÀASÉåAiÀÄÄ ¸ÀªÀĸÀASÉå, ©r¸ÁÜ£ÀzÀ CAQUÀ¼ÀÄ 1, 3, 5, 7 CxÀªÁ 9 EzÀÝgÉ CzÀÄ ¨É¸À ¸ÀASÉå JA§ÄzÀÄ £ÀªÀÄUÉ w½¢zÉ.
MAzÀÄ ¸ÀASÉåAiÀÄ ©r¸ÁÜ£À 0, 2, 4, 6 CxÀªÁ 8 DzÀgÉÉ D ¸ÀASÉå 2jAzÀ ¨sÁUÀªÁUÀĪÀÅzÀÄ JAzÀÄ ¤ÃªÀÅ 6£Éà vÀgÀUÀwAiÀÄ°è PÀ°wgÀĪÀÅzÀ£ÀÄß £É£À¦¹PÉƽî. EzÀgÀ «ªÀgÀuÉ PɼÀV£ÀAwzÉ.
AiÀiÁªÀÅzÉà ¸ÀASÉå cba AiÀÄ£ÀÄß 100c + 10b + a JAzÀÄ §gÉAiÀħºÀÄzÀÄ. ªÉÆzÀ® JgÀqÀÄ ¥ÀzÀ 100c ªÀÄvÀÄÛ 10b UÀ¼ÀÄ 2 jAzÀ sÁUÀªÁUÀÄvÀÛªÉ AiÀiÁPÉAzÀgÉ 100 ªÀÄvÀÄÛ 10, 2jAzÀ ¨sÁUÀªÁUÀÄvÀÛªÉ. E£ÀÄß ©r¸ÁÜ£ÀzÀ°ègÀĪÀ CAQ a AiÀÄÄ 2 jAzÀ ¨sÁUÀªÁzÀgÉ zÀvÀÛ ¸ÀASÉåAiÀÄÄ 2 jAzÀ ¨sÁUÀªÁUÀÄvÀÛzÉ. EzÀÄ a = 0, 2, 4, 6 CxÀªÁ 8 DzÁUÀ ªÀiÁvÀæ ¸ÁzsÀåªÁUÀÄvÀÛzÉ.
»ÃUÉ, MAzÀÄ ¸ÀASÉåAiÀÄ ©r¸ÁÜ£ÀªÀÅ 0, 2, 4, 6 CxÀªÁ 8 DzÁUÀ CzÀÄ 2jAzÀ ¨sÁUÀªÁUÀÄvÀÛzÉ.
(ªÉÆzÀ®£ÉAiÀÄzÀ£ÀÄß ¤ªÀÄUÁV ªÀiÁrzÉ)
1. N ÷ 2 gÀ ¨sÁUÁPÁgÀªÀÅ ±ÉõÀ 1 £ÀÄß G½¹zÀgÉ N £À ©r¸ÁÜ£ÀzÀ°ègÀĪÀ CAQ AiÀiÁªÀÅzÀÄ?
(2 jAzÀ N £ÀÄß ¨sÁV¹zÁUÀ ±ÉõÀ 1 G½zÀgÉ CzÀÄ ¨É¸À¸ÀASÉå. DzÀÝjAzÀ ©r¸ÁÜ£ÀzÀ°è EgÀ¨ÉÃPÁzÀ CAQUÀ¼ÀÄ 1, 3, 5, 7 CxÀªÁ 9.)
2. N ÷ 2 gÀ ¨sÁUÁPÁgÀªÀÅ ±ÉõÀ 0 £ÀÄß ¤ÃrzÀgÉ N £À ©r¸ÁÜ£ÀzÀ°ègÀĪÀ CAQ AiÀiÁªÀÅzÀÄ?
3. MAzÉƪÉÄä N ÷ 5 gÀ ¨sÁUÁPÁgÀªÀÅ ±ÉõÀ 4£ÀÄß ªÀÄvÀÄÛ N ÷ 2 gÀ ¨sÁUÁPÁgÀªÀÅ ±ÉõÀ 1 £ÀÄß G½¹zÀgÉ N £À ©r¸ÁÜ£ÀzÀ°ègÀĪÀ CAQ AiÀiÁªÀÅzÀÄ?
EªÀÅUÀ¼À£ÀÄß ¥ÀæAiÀÄwß¹
1.5.4 9 ªÀÄvÀÄÛ 3 jAzÀ ¨sÁdåvÉ.
£ÁªÀÅ FUÁUÀ¯Éà 10, 5 ªÀÄvÀÄÛ 2 jAzÀ ¨sÁdåvÉAiÀÄ ¥ÀjÃPÉë ªÀiÁqÀĪÀÅzÀ£ÀÄß £ÉÆÃrzÉÝêÉ. EªÀÅUÀ¼À°è£À ¸ÁªÀiÁ£Àå CA±ÀªÉAzÀgÉ ¨sÁdåvÉAiÀÄÄ PÉêÀ® ©r¸ÁÜ£ÀªÀ£ÀÄß CªÀ®A©¹gÀĪÀÅzÀÄ. UÀªÀĤ¸À¨ÉÃPÁzÀ E£ÉÆßAzÀÄ CA±ÀªÉAzÀgÉ 10, 5, 2 UÀ¼ÀÄ 10 gÀ C¥ÀªÀvÀð£ÀUÀ¼ÁVgÀĪÀÅzÀÄ. 10 JA§ÄzÀÄ ¸ÁÜ£À¨É¯É ¤zsÀðj¸ÀĪÀ°è ªÀÄÄRåªÁzÀ ¸ÀASÉå.
¸ÀASÉåUÀ¼ÉÆA¢UÉ Dl 13
DzÀgÉ 9 gÀ ¨sÁdåvÉAiÀÄ£ÀÄß ¥ÀjÃQë¸ÀĪÀ°è EzÀÄ G¥ÀAiÉÆÃUÀPÉÌ §gÀĪÀÅ¢®è. £ÁªÀÅ MAzÀÄ ¸ÀASÉå 3573£ÀÄß vÉUÉzÀÄPÉƼÉÆîÃt. EzÀ£ÀÄß «¸ÀÛj¹zÀ gÀÆ¥ÀªÀÅ:
3573 = 3 × 1000 + 5 × 100 + 7 × 10 + 3 = 3 × (999 + 1) + 5 × (99 + 1) + 7 × (9 + 1) + 3 = 3 × 999 + 5 × 99 + 7 × 9 + (3 + 5 + 7 + 3) ... (1)
FUÀ £ÁªÀÅ 3573 JA§ ¸ÀASÉåAiÀÄÄ 9 CxÀªÁ 3 jAzÀ ¨sÁUÀªÁUÀ¨ÉÃPÁzÀgÉ
(3 + 5 + 7 + 3) JA§ÄzÀÄ 9 CxÀªÁ 3 jAzÀ ¨sÁUÀªÁUÀ¨ÉÃPÀÄ JA§ÄzÀ£ÀÄß PÁt§ºÀÄzÀÄ. E°è 3 + 5 + 7 + 3 = 18 JA§ÄzÀÄ 9 ªÀÄvÀÄÛ 3 jAzÀ sÁUÀªÁUÀÄvÀÛzÉ. DzÀÝjAzÀ zÀvÀÛ ¸ÀASÉåAiÀÄÄ 9 ªÀÄvÀÄÛ 3 JgÀqÀjAzÀ®Æ ¨sÁUÀªÁUÀÄvÀÛzÉ.
FUÀ E£ÉÆßAzÀÄ ¸ÀASÉå 3576 £ÀÄß vÉUÉzÀÄPÉƼÉÆîÃt. ªÉÄð£ÀAvÉ «¸ÀÛj¹zÁUÀ
3576 = 3 × 999 + 5 × 99 + 7 × 9 + (3 + 5 + 7 + 6) ...(2)E°è 3 + 5 + 7 + 6 = 21 JA§ÄzÀÄ 9 jAzÀ ¨sÁUÀªÁUÀĪÀÅ¢®è DzÀgÉ 3 jAzÀ
¨sÁUÀªÁUÀÄvÀÛzÉ.
DzÀÝjAzÀ, (1) MAzÀÄ ¸ÀASÉå N JA§ÄzÀÄ 9 jAzÀ ¨sÁUÀªÁUÀ¨ÉÃPÁzÀgÉ CzÀgÀ J¯Áè CAQUÀ¼À ªÉÆvÀÛ 9jAzÀ ¨sÁUÀªÁUÀ¨ÉÃPÀÄ. E®èªÁzÀ°è CzÀÄ 9 jAzÀ ¨sÁUÀªÁUÀĪÀÅ¢®è.
(2) MAzÀÄ ¸ÀASÉå N JA§ÄzÀÄ 3 jAzÀ ¨sÁUÀªÁUÀ¨ÉÃPÁzÀgÉ CzÀgÀ J¯Áè CAQUÀ¼À ªÉÆvÀÛ 3 jAzÀ ¨sÁUÀªÁUÀ¨ÉÃPÀÄ. E®èªÁzÀ°è CzÀÄ 3jAzÀ ¨sÁUÀªÁUÀĪÀÅ¢®è.
EzÀ£ÀÄß PɼÀV£ÀAvÉ «ªÀj¸À§ºÀÄzÀÄ.
zÀvÀÛ ¸ÀASÉåAiÀÄÄ cba DVzÀÝ°è, cba = 100c + 10b + a = 99c +9b + (a + b + c) = 9(11c + b) + (a + b + c)
E°è 9(11c + b) JA§ÄzÀÄ 3 ªÀÄvÀÄÛ 9 jAzÀ ¨sÁUÀªÁUÀÄvÀÛzÉ. CzÀÝjAzÀ zÀvÀÛ ¸ÀASÉåAiÀÄÄ 9 CxÀªÁ 3 jAzÀ ¨sÁUÀªÁUÀ¨ÉÃPÁzÀgÉ (a + b + c) AiÀÄÄ 9 CxÀªÁ 3 jAzÀ ¨sÁUÀªÁUÀ¨ÉÃPÀÄ.
GzÁºÀgÀuÉ 4 : 9 jAzÀ 21436587 gÀ ¨sÁdåvÉAiÀÄ£ÀÄß ¥ÀjÃQë¹.
¥ÀjºÁgÀ : zÀvÀÛ ¸ÀASÉåAiÀÄ J¯Áè CAQUÀ¼À ªÉÆvÀÛªÀÅ 2 + 1 + 4 + 3 + 6 + 5 + 8 + 7= 36. EzÀÄ 9jAzÀ ¨sÁUÀªÁUÀÄvÀÛzÉ (36 ÷ 9 = 4). DzÀÝjAzÀ 21436587 JA§
¸ÀASÉåAiÀÄÄ 9jAzÀ ¨sÁUÀªÁUÀÄvÀÛzÉ. £ÁªÀÅ EzÀ£ÀÄß vÁ¼É £ÉÆÃqÀ§ºÀÄzÀÄ.
21436587
9= 2381843
GzÁºÀgÀuÉ 5 : 9jAzÀ 152875 gÀ ¨sÁdåvÉAiÀÄ£ÀÄß ¥ÀjÃQë¹.
¥ÀjºÁgÀ : zÀvÀÛ ÀASÉåAiÀÄ J¯Áè CAQUÀ¼À ªÉÆvÀÛªÀÅ 1 + 5 + 2 + 8 + 7 + 5 = 28. EzÀÄ 9 jAzÀ ¨sÁUÀªÁUÀĪÀÅ¢®è. DzÀÝjAzÀ 152875 JA§ ¸ÀASÉåAiÀÄÄ 9jAzÀ ¨sÁUÀªÁUÀĪÀÅ¢®è.
14 UÀtÂvÀ
9 jAzÀ PɼÀV£À ¸ÀASÉåUÀ¼À ¨sÁdåvÉAiÀÄ£ÀÄß ¥ÀjÃQë¹.
(1) 108 (2) 616 (3) 294 (4) 432
(5) 927
EªÀÅUÀ¼À£ÀÄß ¥ÀæAiÀÄwß¹
GzÁºÀgÀuÉ 6 : MAzÀÄ ªÀÄÆgÀAQ ¸ÀASÉå 24x JA§ÄzÀÄ 9jAzÀ ¨sÁUÀªÁzÀgÉ x ¨É¯É PÀAqÀÄ»r¬Äj.
¥ÀjºÁgÀ : 24x JA§ÄzÀÄ 9 jAzÀ ¨sÁUÀªÁUÀĪÀÅzÀjAzÀ EzÀgÀ CAQUÀ¼À ªÉÆvÀÛ
2 + 4 + x PÀÆqÀ 9 jAzÀ ¨sÁUÀªÁUÀ¨ÉÃPÀÄ. CAzÀgÉ 6 + x JA§ÄzÀÄ 9jAzÀ ¨sÁUÀªÁUÀ¨ÉÃPÀÄ. EzÀÄ ÁzsÀåªÁUÀ¨ÉÃPÁzÀgÉ 6 + x = 9 CxÀªÁ 18,....... DzÀgÉ x JA§ÄzÀÄ MAzÀÄ CAQAiÀiÁVzÉ. DzÀÝjAzÀ 6 + x = 9. CAzÀgÉ, x = 3.
AiÉÆÃa¹, ZÀað¹ ªÀÄvÀÄÛ §gɬÄj 1. 450 JA§ ÀASÉåAiÀÄÄ 10 jAzÀ sÁUÀªÁUÀÄvÀÛzÉ. CzÉà jÃw EzÀÄ 10
gÀ C¥ÀªÀvÀð£ÀUÀ¼ÁzÀ 2 ªÀÄvÀÄÛ 5 jAzÀ®Æ ¨sÁUÀªÁUÀÄvÀÛzÉ. »ÃUÉAiÉÄà 135 JA§ ¸ÀASÉåAiÀÄÄ 9 jAzÀ ¨sÁUÀªÁUÀÄvÀÛzÉ. CzÉà jÃw EzÀÄ 9gÀ C¥ÀªÀvÀð£À 3 jAzÀ®Æ sÁUÀªÁUÀÄvÀÛzÉ. ºÁUÁzÀgÉ, MAzÀÄ ÀASÉåAiÀÄÄ AiÀiÁªÀÅzÉà ¸ÀASÉå m ¤AzÀ ¨sÁUÀªÁzÀgÉ CzÀÄ m £À ¥ÀæwAiÉÆAzÀÄ C¥ÀªÀvÀð£ÀUÀ½AzÀ®Æ ¨sÁUÀªÁUÀÄvÀÛzÉ JAzÀÄ ºÉüÀ§ºÀÄzÉÃ?
2. (i) 3-CAQAiÀÄ MAzÀÄ ÀASÉå abcAiÀÄ£ÀÄß »ÃUÉ §gÉAiÀħºÀÄzÀÄ.
abc = 100a + 10b + c = 99a + 11b + (a – b + c) = 11( 9a + b ) + (a – b + c) abc AiÀÄÄ 11 jAzÀ sÁUÀªÁUÀĪÀÅzÁzÀgÉ (a – b + c)AiÀÄ §UÉÎ K£ÀÄ ºÉüÀ§ºÀÄzÀÄ?
(a + c – b) AiÀÄÄ 11jAzÀ ¨sÁUÀªÁUÀĪÀÅzÀÄ CªÀ±ÀåªÉÃ? (ii) 4-CAQUÀ¼À MAzÀÄ ¸ÀASÉå abcd «¸ÀÛj¹zÁUÀ abcd = 1000a + 100b + 10c + d = (1001a + 99b + 11c) – (a – b + c – d) = 11(91a + 9b + c) + [(b + d) – (a + c)] FUÀ abcd AiÀÄÄ 11 jAzÀ ¨sÁUÀªÁUÀĪÀÅzÁzÀgÉ [(b + d) – (a + c)] AiÀÄ §UÉÎ
K£ÀÄ ºÉüÀ§ºÀÄzÀÄ?
(iii) ªÉÄð£À JgÀqÀÄ ¸ÀAzÀ¨sÀðUÀ¼À£ÀÄß UÀªÀĤ¹zÀgÉ, MAzÀÄ ¸ÀASÉåAiÀÄÄ 11 jAzÀ ¨sÁUÀªÁUÀ¨ÉÃPÁzÀgÉ CzÀgÀ ¨É¸À¸ÁÜ£ÀzÀ°ègÀĪÀ CAQUÀ¼À ªÉÆvÀÛ ªÀÄvÀÄÛ ¸ÀªÀĸÁÜ£ÀzÀ°ègÀĪÀ CAQUÀ¼À ªÉÆvÀÛUÀ¼À ªÀåvÁå¸ÀªÀÅ 11jAzÀ ¨sÁUÀªÁUÀ¨ÉÃPÉÃ?
¸ÀASÉåUÀ¼ÉÆA¢UÉ Dl 15
GzÁºÀgÀuÉ 7 : 3 jAzÀ 2146587 gÀ ¨sÁdåvÉAiÀÄ£ÀÄß ¥ÀjÃQë¹.
¥ÀjºÁgÀ : 2146587 ¸ÀASÉåAiÀÄ J¯Áè CAQUÀ¼À ªÉÆvÀÛªÀÅ
2 + 1 + 4 + 6 + 5 + 8 + 7 = 33. EzÀÄ 3 jAzÀ ¨sÁUÀªÁUÀÄvÀÛzÉ. 33 ÷ 3 = 11. DzÀÝjAzÀ 2146587 EzÀÄ 3jAzÀ ¨sÁUÀªÁUÀÄvÀÛzÉ.GzÁºÀgÀuÉ 8 : 3 jAzÀ 15287 gÀ ¨sÁdåvÉAiÀÄ£ÀÄß ¥ÀjÃQë¹.
¥ÀjºÁgÀ : 15287 ¸ÀASÉåAiÀÄ J¯Áè CAQUÀ¼À ªÉÆvÀÛªÀÅ 1 + 5 + 2 + 8 + 7 = 23. EzÀÄ 3 jAzÀ sÁUÀªÁUÀĪÀÅ¢®è. DzÀÝjAzÀ 15287 PÀÆqÀ 3jAzÀ sÁUÀªÁUÀĪÀÅ¢®è.
3 jAzÀ PɼÀV£À ¸ÀASÉåUÀ¼À ¨sÁdåvÉAiÀÄ£ÀÄß ¥ÀjÃQë¹.
(1) 108 (2) 616 (3) 294 (4) 432
(5) 927
EªÀÅUÀ¼À£ÀÄß ¥ÀæAiÀÄwß¹
C¨sÁå¸À 1.2
1. 21y5 JA§ÄzÀÄ 9gÀ UÀÄtPÀªÁVzÀÄÝ y MAzÀÄ CAQ DVzÀÝgÉ y ¨É¯É PÀAqÀÄ»r¬Äj.
2. 31z5 JA§ÄzÀÄ 9gÀ UÀÄtPÀªÁVzÀÄÝ z MAzÀÄ CAQ DVzÀÝgÉ z ¨É¯É PÀAqÀÄ»r¬Äj.
3. 24x JA§ÄzÀÄ 3gÀ UÀÄtPÀªÁVzÀÄÝ x MAzÀÄ CAQ DVzÀÝgÉ x ¨É¯É K£ÁVgÀÄvÀÛzÉ? (24x JA§ÄzÀÄ 3 jAzÀ ¨sÁUÀªÁUÀĪÀÅzÀjAzÀ EzÀgÀ CAQUÀ¼À ªÉÆvÀÛ 2 + 4 + x
PÀÆqÀ 3jAzÀ ¨sÁUÀªÁUÀ¨ÉÃPÀÄ. CAzÀgÉ 6 + x JA§ÄzÀÄ 3jAzÀ ¨sÁUÀªÁUÀ¨ÉÃPÀÄ. EzÀÄ ¸ÁzsÀåªÁUÀ¨ÉÃPÁzÀgÉ 6 + x = 3,6,9,12,15,18....... DzÀgÉ x JA§ÄzÀÄ MAzÀÄ CAQAiÀiÁVgÀĪÀÅzÀjAzÀ x £À ¨É¯ÉAiÀÄÄ 0 ¬ÄAzÀ 9gÀ ªÀgÉUÉ EgÀ§ºÀÄzÀÄ. CAzÀgÉ E°è 6 + x = 6 CxÀªÁ 9 CxÀªÁ12 CxÀªÁ 15 DUÀ§ºÀÄzÀÄ. »ÃUÉ x = 0 CxÀªÁ 3 CxÀªÁ 6 CxÀªÁ 9 JAzÀÄ wêÀiÁð¤¸À§ºÀÄzÀÄ.)
4. 31z5 JA§ÄzÀÄ 3gÀ UÀÄtPÀªÁVzÀÄÝ z MAzÀÄ CAQ DVzÀÝgÉ z ¨É¯É K£ÁVgÀÄvÀÛzÉ?
¸ÁgÁA±À
1. ¸ÀASÉåUÀ¼À£ÀÄß «¸ÀÛøvÀ gÀÆ¥ÀzÀ°è §gÉAiÀħºÀÄzÀÄ. JgÀqÀÄ CAQUÀ¼À MAzÀÄ ¸ÀASÉåAiÀÄ «¸ÀÛøvÀ gÀÆ¥À ab = 10a + b.
2. ¸ÀASÉåUÀ¼À DlUÀ¼À°è CxÀªÁ ¸ÀªÀĸÉåUÀ¼À£ÀÄß ©r¸ÀĪÀ°è ¸ÀASÉåUÀ¼À «¸ÀÛøvÀ gÀÆ¥ÀªÀÅ ¸ÀºÀPÁjAiÀiÁVzÉ.
3. ¸ÀASÉåUÀ¼À£ÀÄß «¸ÀÛøvÀ gÀÆ¥ÀzÀ°è §gÉzÁUÀ 10,5,2,9 CxÀªÁ 3 jAzÀ ¨sÁdåvÉUÉ PÁgÀtUÀ¼À£ÀÄß w½AiÀħºÀÄzÁVzÉ.
2.1 ¦ÃpPÉ
UÀtÂvÀzÀ°è £ÁªÀÅ ¥ÀzÉà ¥ÀzÉà ¸ÀgÀ¼À ¸À«ÄÃPÀgÀtUÀ¼À£ÀÄß ©r¸À¨ÉÃPÁUÀÄvÀÛzÉ.
GzÁºÀgÀuÉUÉ : x + 2 = 13 ... (1)
F ¸À«ÄÃPÀgÀtzÀ ¥ÀjºÁgÀ x = 11 JA§ÄzÀÄ MAzÀÄ ¸Áé¨sÁ«PÀ ¸ÀASÉå.
E£ÉÆßAzÀÄ GzÁºÀgÀuÉAiÀÄ£ÀÄß £ÉÆÃqÉÆÃt.
x + 5 = 5 ... (2)
F ¸À«ÄÃPÀgÀtzÀ ¥ÀjºÁgÀªÁzÀ x = 0 ¸Áé¨sÁ«PÀ ¸ÀASÉåAiÀÄ®è. ¸ÉÆ£Éß CxÀªÁ
±ÀÆ£ÀåzÀ PÀ®à£ÉAiÀÄÄAmÁzÀ £ÀAvÀgÀ ¸Áé¨sÁ«PÀ ¸ÀASÉåUÀ¼À eÉÆvÉ ¸ÉÃj EªÉ®èªÀ£ÀÆß ¥ÀÇtð ¸ÀASÉåUÀ¼ÉAzÀÄ PÀgÉAiÀįÁ¬ÄvÀÄ.
DzÀgÉ, F ¥ÀÇtð ¸ÀASÉåUÀ½AzÀ¯Éà J®è ¸À«ÄÃPÀgÀtUÀ¼À£ÀÆß ©r¸À¯ÁUÀĪÀÅ¢®è.
GzÁºÀgÀuÉUÉ : x + 18 = 5 ... (3)
F ¸À«ÄÃPÀgÀtzÀ ¥ÀjºÁgÀªÁzÀ x = – 13 ªÉÄÃ¯É ºÉýzÀ AiÀiÁªÀ ¥ÀÇtð ¸ÀASÉåAiÀÄÆ
C®è. IÄt ¸ÀASÉåAiÀÄ PÀ®à£É¬ÄAzÁV ¥ÀÇtð ¸ÀASÉåUÀ¼À PÀ®à£É «¸ÁÛgÀUÉÆAqÀÄ ¸ÉÆ£Éß, zsÀ£À ¥ÀÇuÁðAPÀ ªÀÄvÀÄÛ IÄt ¥ÀÇuÁðAPÀUÀ¼É®èªÀÇ ÉÃj ¥ÀÇuÁðAPÀUÀ¼ÁzÀªÀÅ. FUÀ £ÀªÀÄUÉ UÉÆwÛgÀĪÀ
¥ÀÆuÁðAPÀUÀ½AzÀ J®è ¸ÀgÀ¼À ¸À«ÄÃPÀgÀtUÀ¼À£ÀÄß ©r¸À§ºÀÄzÉAzÀÄ ¤ÃªÀÅ AiÉÆÃa¸À§ºÀÄzÀÄ.
DzÀgÉ F PɼÀV£À ¸À«ÄÃPÀgÀtUÀ¼À£ÀÄß UÀªÀĤ¹.
2x = 3 ... (4)
CxÀªÁ 5x + 7 = 0 ... (5)
F jÃwAiÀÄ ¸À«ÄÃPÀgÀtUÀ½UÉ AiÀiÁªÀÅzÁzÀgÀÆ ¥ÀÇuÁðAPÀ ¥ÀjºÁgÀ«zÉAiÉÄà ? (¤ÃªÉà ¥ÀjÃQë¹). E®è.
KPÉAzÀgÉ, EªÀÅUÀ¼À ¥ÀjºÁgÀ 3
2× = CxÀªÁ
7
5−
¥ÀÇuÁðAPÀUÀ¼À®è. EªÀÅUÀ¼ÀÄ ¨sÁUÀ®§Þ ¸ÀASÉåUÀ¼ÀÄ.
£ÁªÀÅ FUÁUÀ¯Éà ¨sÁUÀ®§Þ ¸ÀASÉåUÀ¼À ªÉÄð£À ªÀÄÆ® QæAiÉÄUÀ¼À£ÀÄß w½¢zÉÝêÉ. F ªÀÄÆ® QæAiÉÄUÀ¼À UÀÄt®PÀëtUÀ¼À£ÀÄß ¥ÀÅ£ÀB £É£À¦¹PÉƼÉÆîÃt.
CzsÁåAiÀÄ
2¨sÁUÀ®§Þ ¸ÀASÉåUÀ¼ÀÄ
¨sÁUÀ®§Þ ¸ÀASÉåUÀ¼ÀÄ 17
2.2 ¨sÁUÀ®§Þ ¸ÀASÉåUÀ¼À UÀÄt®PÀëtUÀ¼ÀÄ
2.2.1 DªÀÈvÀÛvÉ
(i) ¥ÀÇtð ¸ÀASÉåUÀ¼ÀÄ
¥ÀÇtð ¸ÀASÉåUÀ¼ÀÄ J®è ªÀÄÆ® QæAiÉÄUÀ¼À°èAiÀÄÆ DªÀÈvÀÛªÁVªÉAiÉÄà JA§ÄzÀ£ÀÄß ¥Àj²Ã°¸ÉÆÃt.
ªÀÄÆ® QæAiÉÄ ¸ÀASÁå GzÁºÀgÀuÉ ªÀÄvÀÄÛ ¸ÁªÀiÁ¤åÃPÀgÀt n¥ÀàtÂ
¸ÀAPÀ®£À 0 + 5 = 5. EzÀÄ MAzÀÄ ¥ÀÇtð ¸ÀASÉå
4 + 7 = .... EzÀÄ ¥ÀÇtð ¸ÀASÉåAiÉÄ?
a ªÀÄvÀÄÛ b UÀ¼ÀÄ ¥ÀÇtð ¸ÀASÉåUÀ¼ÁVzÀÝgÉ,
a + b ¸ÀºÀ MAzÀÄ ¥ÀÇtð¸ÀASÉå
¥ÀÇtð ¸ÀASÉåUÀ¼ÀÄ ¸ÀAPÀ®£ÀzÀ°è DªÀÈvÀÛªÁVªÉ.
ªÀåªÀPÀ®£À 5 – 7 = - 2 EzÀÄ ¥ÀÇtð ¸ÀASÉå C®è. ¥ÀÇtð ¸ÀASÉåUÀ¼ÀÄ ªÀåªÀPÀ®£ÀzÀ°è DªÀÈvÀÛªÁV®è.
UÀÄuÁPÁgÀ 0 × 3 = 0. EzÀÄ MAzÀÄ ¥ÀÇtð ¸ÀASÉå.
3 × 7 = … EzÀÄ ¥ÀÇtð ¸ÀASÉåAiÉÄ ?
a ªÀÄvÀÄÛ b UÀ¼ÀÄ ¥ÀÇtð ¸ÀASÉåUÀ¼ÁVzÀÝgÉ,
a × b ¸ÀºÀ MAzÀÄ ¥ÀÇtð¸ÀASÉå
¥ÀÇtð ¸ÀASÉåUÀ¼ÀÄ UÀÄuÁPÁgÀzÀ°è DªÀÈvÀÛªÁVªÉ.
¨sÁUÁPÁgÀ 55 8
8÷ = EzÀÄ ¥ÀÇtð ¸ÀASÉå C®è.
¥ÀÇtð ¸ÀASÉåUÀ¼ÀÄ ¨sÁUÁPÁgÀzÀ°è DªÀÈvÀÛªÁV®è.
¸Áé¨sÁ«PÀ ¸ÀASÉåUÀ¼ÀÄ F J®è ªÀÄÆ®QæAiÉÄUÀ¼À°è DªÀÈvÀÛªÁVªÉAiÉÄÃ? ¥ÀjÃQë¹.
(ii) ¥ÀÇuÁðAPÀUÀ¼ÀÄ
FUÀ ¥ÀÇuÁðAPÀUÀ¼ÀÄ AiÀiÁªÀ ªÀÄÆ® QæAiÉÄUÀ¼À°è DªÀÈvÀÛªÁVªÉ JA§ÄzÀ£ÀÄß £ÉÆÃqÉÆÃt.
ªÀÄÆ® QæAiÉÄ
¸ÀASÁå GzÁºÀgÀuÉUÀ¼ÀÄ ªÀÄvÀÄÛ ¸ÁªÀiÁ¤åÃPÀgÀt
n¥ÀàtÂ
¸ÀAPÀ®£À - 6 + 5 = - 1. EzÀÄ MAzÀÄ ¥ÀÇuÁðAPÀ.
-7 + (-5) ¥ÀÇuÁðAPÀªÉà ?
8 + 5 ¥ÀÇuÁðAPÀªÉà ?
a ªÀÄvÀÄÛ b UÀ¼ÀÄ ¥ÀÇuÁðAPÀUÀ¼ÁVzÀÝgÉ,
a + b ¸ÀºÀ MAzÀÄ ¥ÀÇuÁðAPÀ
¥ÀÇuÁðAPÀUÀ¼ÀÄ ¸ÀAPÀ®£ÀzÀ°è DªÀÈvÀÛªÁVªÉ.
ªÀåªÀPÀ®£À 7– 5 = 2 EzÀÄ ¥ÀÇuÁðAPÀ.
5 - 7 ¥ÀÇuÁðAPÀªÉà ?
-6 - 8 = -14 EzÀÄ ¥ÀÇuÁðAPÀ.
-6 - (-8) = 2 EzÀÄ ¥ÀÇuÁðAPÀ.
¥ÀÇuÁðAPÀUÀ¼ÀÄ ªÀåªÀPÀ®£ÀzÀ°è DªÀÈvÀÛªÁVªÉ.
18 UÀtÂvÀ
8 - (-6) ¥ÀÇuÁðAPÀªÉà ?
a ªÀÄvÀÄÛ b UÀ¼ÀÄ ¥ÀÇuÁðAPÀUÀ¼ÁVzÀÝgÉ,
a – b ¸ÀºÀ MAzÀÄ ¥ÀÇuÁðAPÀ
b – a ¥ÀÇuÁðAPÀªÉà ¥ÀjÃQë¹
UÀÄuÁPÁgÀ 5 × 8 = 40. EzÀÄ ¥ÀÇuÁðAPÀ.
-5 × 8 ¥ÀÇuÁðAPÀªÉÃ?
-5 × (-8) EzÀÄ ¥ÀÇuÁðAPÀ.
a ªÀÄvÀÄÛ b UÀ¼ÀÄ ¥ÀÇuÁðAPÀUÀ¼ÁVzÀÝgÉ,
a × b ¸ÀºÀ MAzÀÄ ¥ÀÇuÁðAPÀ
¥ÀÇuÁðAPÀUÀ¼ÀÄ UÀÄuÁPÁgÀzÀ°è DªÀÈvÀÛªÁVªÉ.
¨sÁUÁPÁgÀ 55 8
8÷ = . EzÀÄ ¥ÀÇuÁðAPÀ C®è.
¥ÀÇuÁðAPÀUÀ¼ÀÄ sÁUÁPÁgÀzÀ°è DªÀÈvÀÛªÁV®è.
ªÉÄîÌAqÀ «µÀAiÀÄUÀ½AzÀ w½zÀħgÀĪÀÅzÉãÉAzÀgÉ, ¥ÀÇtð¸ÀASÉåUÀ¼ÀÄ ¸ÀAPÀ®£À ºÁUÀÆ UÀÄuÁPÁgÀUÀ¼À°èAiÀÄÆ ¥ÀÇuÁðAPÀUÀ¼ÀÄ ¸ÀAPÀ®£À, ªÀåªÀPÀ®£À ºÁUÀÆ UÀÄuÁPÁgÀUÀ¼À°èAiÀÄÆ DªÀÈvÀÛªÁVªÉ. DzÀgÉ, ¥ÀÇtð¸ÀASÉåUÀ¼ÀÄ, ªÀåªÀPÀ®£À ºÁUÀÆ ¨sÁUÁPÁgÀUÀ¼À°èAiÀÄÆ ªÀÄvÀÄÛ ¥ÀÇuÁðAPÀUÀ¼ÀÄ ¨sÁUÁPÁgÀzÀ°è DªÀÈvÀÛªÁV®è.
(iii) ¨sÁUÀ®§Þ ¸ÀASÉåUÀ¼ÀÄ
p ªÀÄvÀÄÛ q (q ≠ 0) UÀ¼ÀÄ ¥ÀÇuÁðAPÀUÀ¼ÁVgÀĪÀ ªÀÄvÀÄÛ p
qgÀÆ¥ÀzÀ°è ªÀåPÀÛ¥Àr¸À§ºÀÄzÁzÀ
¸ÀASÉåAiÀÄÄ ¨sÁUÀ®§Þ ¸ÀASÉåAiÉÄAzÀÄ £ÁªÀÅ F ªÉÆzÀ¯Éà w½¢zÉÝêÉ.
GzÁºÀgÀuÉUÉ, 2 6 9, ,
3 7 5−
−,UÀ¼ÀÄ ¨sÁUÀ®§Þ ¸ÀASÉåUÀ¼ÀÄ. ºÁUÉAiÉÄà 0, -2, 4 UÀ¼À£ÀÄß
p
q
gÀÆ¥ÀzÀ°è §gÉAiÀħºÀÄzÁzÀÝjAzÀ CªÀÅUÀ¼ÀÆ ¸ÀºÀ ¨sÁUÀ®§Þ ¸ÀASÉåUÀ¼ÀÄ. (¥ÀjÃQë¹)
(a) JgÀqÀÄ ¨sÁUÀ®§Þ ¸ÀASÉåUÀ¼À£ÀÄß PÀÆqÀĪÀÅzÀ£ÀÄß ¤ÃªÁUÀ¯Éà PÀ°w¢ÝÃj.
3 ( 5) 21 ( 40) 19
8 7 56 56
− + − −+ = = EzÀÄ MAzÀÄ ¨sÁUÀ®§Þ ¸ÀASÉå
( )43 15 ( 32)...............
8 5 40
−− − + −+ = = (MAzÀÄ ¨sÁUÀ®§Þ ¸ÀASÉåAiÉÄà ?)
4 6.........
7 11+ = (MAzÀÄ ¨sÁUÀ®§Þ ¸ÀASÉåAiÉÄà ?)
JgÀqÀÄ ¨sÁUÀ®§Þ ¸ÀASÉåUÀ¼À ªÉÆvÀÛªÀÇ ¸ÀºÀ MAzÀÄ ¨sÁUÀ®§Þ ¸ÀASÉåAiÉÄAzÀÄ £ÁªÀÅ EªÀÅUÀ½AzÀ w½AiÀħºÀÄzÀÄ. ¨ÉÃgÉ ¨ÉÃgÉ GzÁºÀgÀuÉUÀ¼ÉÆA¢UÉ EzÀ£ÀÄß ¥ÀjÃQë¹.
¨sÁUÀ®§Þ ¸ÀASÉåUÀ¼ÀÄ 19
sÁUÀ®§Þ ¸ÀASÉåUÀ¼ÀÄ ¸ÀAPÀ®£ÀzÀ°è DªÀÈvÀÛªÁVªÉ JAzÀÄ ºÉüÀÄvÉÛêÉ. CAzÀgÉ, a ªÀÄvÀÄÛ b UÀ¼ÀÄ ¨sÁUÀ®§Þ ¸ÀASÉåUÀ¼ÁVzÀÝgÉ, a + b ¸ÀºÀ MAzÀÄ ¨sÁUÀ®§Þ ¸ÀASÉå.
(b) JgÀqÀÄ sÁUÀ®§Þ ÀASÉåUÀ¼À ªÀåvÁå¸ÀªÀÇ ÀºÀ MAzÀÄ sÁUÀ®§Þ ÀASÉåAiÉÄà ? £ÉÆÃqÉÆÃt.
5 2 5 3 2 7 29
7 3 21 21
− − × − × −− = = EzÀÄ MAzÀÄ ¨sÁUÀ®§Þ ¸ÀASÉå.
5 4 25 32
..................8 5 40
−− = = MAzÀÄ ¨sÁUÀ®§Þ ¸ÀASÉåAiÉÄà ?
3 8
..............7 5
− − = MAzÀÄ ¨sÁUÀ®§Þ ¸ÀASÉåAiÉÄà ?
¨sÁUÀ®§Þ ¸ÀASÉåUÀ¼À E£ÀÆß ¨ÉÃgÉ GzÁºÀgÀuÉUÀ¼À£ÀÄß vÉUÉzÀÄPÉÆAqÀÄ ¥ÀæAiÀÄwß¹. ¨sÁUÀ®§Þ ¸ÀASÉåUÀ¼ÀÄ ªÀåªÀPÀ®£ÀzÀ°è DªÀÈvÀÛªÁVgÀĪÀÅzÀ£ÀÄß PÁtÄvÉÛêÉ. CAzÀgÉ, a ªÀÄvÀÄÛ b UÀ¼ÀÄ ¨sÁUÀ®§Þ ¸ÀASÉåUÀ¼ÁVzÀÝgÉ, a – b ¸ÀºÀ MAzÀÄ ¨sÁUÀ®§Þ ¸ÀASÉå.û
(c) FUÀ JgÀqÀĨsÁUÀ®§Þ ¸ÀASÉåUÀ¼À UÀÄt®§ÞªÀ£ÀÄß £ÉÆÃqÉÆÃt.
2 4 8 3 2 6;
3 5 15 7 5 35
− −× = × = JgÀqÀÆ ¸ÀºÀ ¨sÁUÀ®§Þ ¸ÀASÉåUÀ¼ÀÄ.
4 6..............
5 11− × = EzÀÄ MAzÀÄ ¨sÁUÀ®§Þ ¸ÀASÉåAiÉÄà ?
¨sÁUÀ®§Þ ¸ÀASÉåUÀ¼À E£ÀÆß ¨ÉÃgÉ GzÁºÀgÀuÉUÀ¼À£ÀÄß vÉUÉzÀÄPÉÆAqÀÄ CªÀÅUÀ¼À UÀÄt®§ÞUÀ¼ÀÆ ¸ÀºÀ ¨sÁUÀ®§Þ ¸ÀASÉåUÀ¼ÉA§ÄzÀ£ÀÄß UÀªÀĤ¹. EzÀjAzÀ ¨sÁUÀ®§Þ ¸ÀASÉåUÀ¼ÀÄ UÀÄuÁPÁgÀzÀ°è DªÀÈvÀÛªÁVgÀĪÀŪÉAzÀÄ ºÉüÀÄvÉÛêÉ. CAzÀgÉ, a ªÀÄvÀÄÛ b UÀ¼ÀÄ ¨sÁUÀ®§Þ ¸ÀASÉåUÀ¼ÁVzÀÝgÉ, a × b ¸ÀºÀ MAzÀÄ ¨sÁUÀ®§Þ ¸ÀASÉå.
(d) 5 2 25
3 5 6
− −÷ = EzÀÄ £ÀªÀÄUÉ w½¢zÉ. EzÀÄ MAzÀÄ ¨sÁUÀ®§Þ ¸ÀASÉå.
2 5............
7 3÷ = ªÀÄvÀÄÛ 3 2
..........8 9
− −÷ = EªÉgÀqÀÆ ¨sÁUÀ®§Þ ¸ÀASÉåUÀ¼ÉÃ?
¨sÁUÀ®§Þ ¸ÀASÉåUÀ¼ÀÄ ¨sÁUÁPÁgÀzÀ°è DªÀÈvÀÛªÁVªÉAiÉÄAzÀÄ ºÉüÀ®Ä ¸ÁzsÀåªÉÃ?
a ¨sÁUÀ®§Þ ¸ÀASÉåAiÀiÁVzÀÝgÉ, a ÷ 0 ªÁåSÁå£ÀªÁV®è. DzÀÝjAzÀ ¨sÁUÀ®§Þ ¸ÀASÉåUÀ¼ÀÄ ¨sÁUÁPÁgÀzÀ°è DªÀÈvÀªÁV®è.
DzÀgÉ, J®è ¨sÁUÀ®§Þ ¸ÀASÉåUÀ¼À ¸ÀAUÀæºÀ¢AzÀ ¸ÉÆ£ÉßAiÀÄ£ÀÄß vÉUÉzÀĺÁQzÀgÉ G½zÀ ¨sÁUÀ®§Þ ¸ÀASÉåUÀ¼ÀÄ ¨sÁUÁPÁgÀzÀ°è DªÀÈvÀÛªÁVªÉ.
20 UÀtÂvÀ
PɼÀV£À PÉÆõÀÖPÀzÀ°è SÁ° EgÀĪÀ eÁUÀªÀ£ÀÄß vÀÄA©j.
¸ÀASÉåUÀ¼ÀÄ DªÀÈvÀÛªÁVªÉ
¸ÀAPÀ®£À ªÀåªÀPÀ®£À UÀÄuÁPÁgÀ ¨sÁUÁPÁgÀ
¨sÁUÀ®§Þ ¸ÀASÉåUÀ¼ÀÄ ºËzÀÄ ºËzÀÄ .... E®è
¥ÀÇuÁðAPÀUÀ¼ÀÄ .... ºËzÀÄ .... E®è
¥ÀÇtð ¸ÀASÉåUÀ¼ÀÄ .... .... .... ....
¸Áé¨sÁ«PÀ ¸ÀASÉåUÀ¼ÀÄ .... .... .... ....
EªÀÅUÀ¼À£ÀÄß ¥ÀæAiÀÄwß¹
2.2.2 ¥ÀjªÀvÀð¤ÃAiÀÄvÉ
(i) ¥ÀÇtð ¸ÀASÉåUÀ¼ÀÄ
PɼÀV£À PÉÆõÀÖPÀzÀ°è SÁ° EgÀĪÀ eÁUÀªÀ£ÀÄß vÀÄA©¸ÀĪÀÅzÀgÀ ªÀÄÆ®PÀ ««zsÀ
ªÀÄÆ®QæAiÉÄUÀ¼ÀÄ ¥ÀÇtð ¸ÀASÉåUÀ¼À°è ¥ÀjªÀvÀð¤ÃAiÀĪÉà CxÀªÁ E®èªÉà JA§ÄzÀ£ÀÄß
£É£À¦¹PÉƼÉÆîÃt.
ªÀÄÆ®QæAiÉÄ ¸ÀASÁå GzÁºÀgÀuÉ ªÀÄvÀÄÛ ¸ÁªÀiÁ¤åÃPÀgÀt
n¥ÀàtÂ
¸ÀAPÀ®£À 0+ 7 = 7 + 0 = 7
2 + 3 = … + … = ….
a ªÀÄvÀÄÛ b UÀ¼ÀÄ ¥ÀÇtð ¸ÀASÉå UÀ¼ÁVzÀÝgÉ, a + b = b + a
¸ÀAPÀ®£ÀªÀÅ ¥ÀjªÀvÀð¤ÃAiÀÄ.
ªÀåªÀPÀ®£À ....... ªÀåªÀPÀ®£ÀªÀÅ ¥ÀjªÀvÀð¤ÃAiÀĪÀ®è
UÀÄuÁPÁgÀ ....... UÀÄuÁPÁgÀªÀÅ ¥ÀjªÀvÀð¤ÃAiÀÄ.
¨sÁUÁPÁgÀ ....... ¨sÁUÁPÁgÀªÀÅ ¥ÀjªÀvÀð¤ÃAiÀĪÀ®è
¸Áé¨sÁ«PÀ ¸ÀASÉåUÀ¼À°èAiÀÄÆ ¸ÀºÀ F ªÀÄÆ®QæAiÉÄUÀ¼ÀÄ ¥ÀjªÀvÀð¤ÃAiÀĪÉà JA§ÄzÀ£ÀÄß ¥ÀjÃQë¹ £ÉÆÃr.
¨sÁUÀ®§Þ ¸ÀASÉåUÀ¼ÀÄ 21
(ii) ¥ÀÇuÁðAPÀUÀ¼ÀÄ
PɼÀV£À PÉÆõÀÖPÀªÀ£ÀÄß vÀÄA©¹ ¥ÀÇuÁðAPÀUÀ¼À°è ««zsÀ ªÀÄÆ®QæAiÉÄUÀ¼À ¥ÀjªÀvÀð¤ÃAiÀÄvÉAiÀÄ£ÀÄß ¥ÀjÃQë¹.s
ªÀÄÆ®QæAiÉÄ ¸ÀASÁå GzÁºÀgÀuÉ ªÀÄvÀÄÛ ¸ÁªÀiÁ¤åÃPÀgÀt n¥ÀàtÂ
¸ÀAPÀ®£À ….. ¸ÀAPÀ®£ÀªÀÅ ¥ÀjªÀvÀð¤ÃAiÀÄ.
ªÀåªÀPÀ®£À 5 – (-3) = -3 -5 ? ªÀåªÀPÀ®£ÀªÀÅ ¥ÀjªÀvÀð¤ÃAiÀĪÀ®è.
UÀÄuÁPÁgÀ …… UÀÄuÁPÁgÀªÀÅ ¥ÀjªÀvÀð¤ÃAiÀÄ.
¨sÁUÁPÁgÀ …… ¨sÁUÁPÁgÀªÀÅ ¥ÀjªÀvÀð¤ÃAiÀĪÀ®è.
(iii) ¨sÁUÀ®§Þ¸ÀASÉåUÀ¼ÀÄ
(a) ¸ÀAPÀ®£À
¨sÁUÀ®§Þ ¸ÀASÉåUÀ¼À£ÀÄß PÀÆqÀĪÀÅzÀ£ÀÄß ¤ÃªÁUÀ¯Éà PÀ°w¢ÝÃj.
2 5 1
3 7 21
−+ = ªÀÄvÀÄÛ
5 2 1
7 3 21
− + =
DzÀÝjAzÀ 2 5 5 2
3 7 7 3
− − + = +
C®èzÉ, 6 8
5 3............
− − + =
ªÀÄvÀÄÛ 8 6
3 3..........
− − + =
ºÁUÁzÀgÉ, 6 8
5 3
− − + =
8 6
3 3
− − + ?
ªÀÄvÀÄÛ CzÉà jÃw 3 1 1 3
8 7 7 8
− − + = + EªÉgÀqÀÆ ¸ÀjAiÉÄà ?
EzÀjAzÀ JgÀqÀÄ ¨sÁUÀ®§Þ ¸ÀASÉåUÀ¼À£ÀÄß AiÀiÁªÀ PÀæªÀÄzÀ°èAiÀiÁzÀgÀÆ PÀÆqÀ§ºÀÄzÉAzÀÄ
w½AiÀħºÀÄzÀÄ. ¨sÁUÀ®§Þ ¸ÀASÉåUÀ¼À°è ¸ÀAPÀ®£ÀªÀÅ ¥ÀjªÀvÀð¤ÃAiÀÄ UÀÄtªÀ£ÀÄß
ºÉÆA¢zÉAiÉÄAzÀÄ ºÉüÀÄvÉÛêÉ. CAzÀgÉ, a ªÀÄvÀÄÛ b UÀ¼ÀÄ AiÀiÁªÀÅzÉà ¨sÁUÀ®§Þ
¸ÀASÉåUÀ¼ÁVzÀÝgÉ, a + b = b + a. EzÀPÉÌ sÁUÀ®§Þ ÀASÉåUÀ¼À ÀAPÀ®£ÀzÀ ¥ÀjªÀvÀð¤ÃAiÀÄ ¤AiÀĪÀÄ J£ÀÄßvÉÛêÉ.
22 UÀtÂvÀ
(b) ªÀåªÀPÀ®£À
2 5 5 2
3 4 4 3− = − ªÀÄvÀÄÛ 1 3 3 1
2 5 5 2− = − EªÉgÀqÀÆ ¸ÀjAiÉÄà ?
¨sÁUÀ®§Þ ¸ÀASÉåUÀ¼À°è ªÀåªÀPÀ®£ÀªÀÅ ¥ÀjªÀvÀð¤ÃAiÀĪÀ®èªÉAzÀÄ ¤ªÀÄUÉ w½AiÀÄÄvÀÛzÉ.
¥ÀÆuÁðAPÀUÀ¼À°è ªÀåªÀPÀ®£ÀªÀÅ ¥ÀjªÀvÀð¤ÃAiÀĪÀ®è. ¥ÀÆuÁðAPÀUÀ¼ÀÆ ¨sÁUÀ®§Þ
¸ÀASÉåUÀ¼ÁzÀÄzÀjAzÀ ªÀåªÀPÀ®£ÀªÀÅ ¨sÁUÀ®§Þ ¸ÀASÉåUÀ¼À°è ¥ÀjªÀvÀð¤ÃAiÀĪÀ®è.
(c) UÀÄuÁPÁgÀ
FUÀ 7 6 42 6 7
3 5 15 5 3
− − − × = = ×
8 4 4 8
9 7 7 9
− − − − × = ×
E£ÀÆß PÉ®ªÀÅ F vÀgÀºÀzÀ UÀÄt®§ÞUÀ¼À£ÀÄß vÉUÉzÀÄPÉÆAqÀÄ ¥ÀjÃQë¹. EzÀÄ ¸ÀjAiÉÄÃ?
DUÀ, ¨sÁUÀ®§Þ ¸ÀASÉåUÀ¼À°è UÀÄuÁPÁgÀªÀÅ ¥ÀjªÀvÀð¤ÃAiÀĪÉAzÀÄ ¤ªÀÄUÉ w½AiÀÄÄvÀÛzÉ.
a ªÀÄvÀÄÛ b UÀ¼ÀÄ AiÀiÁªÀÅzÉà ¨sÁUÀ®§Þ ¸ÀASÉåUÀ¼ÁVzÀÝgÉ, a × b = b × a. EzÀPÉÌ ¨sÁUÀ®§Þ ¸ÀASÉåUÀ¼À UÀÄuÁPÁgÀzÀ ¥ÀjªÀvÀð¤ÃAiÀÄ ¤AiÀĪÀÄ J£ÀÄßvÉÛêÉ.
(d) ¨sÁUÁPÁgÀ
5 3 3 5
4 7 7 4
− − ÷ = ÷ EzÀÄ ¸ÀjAiÉÄà ?
F vÀgÀºÀzÀ GQÛUÀ¼ÀÄ JgÀqÀÄ PÀqÉAiÀÄÆ ¸ÀªÀÄ£ÁV®è.
DzÀÝjAzÀ ¨sÁUÀ®§Þ ¸ÀASÉåUÀ¼À°è ¨sÁUÁPÁgÀªÀÅ ¥ÀjªÀvÀð¤ÃAiÀĪÀ®è.
PɼÀV£À PÉÆõÀÖPÀzÀ°è SÁ° EgÀĪÀ eÁUÀªÀ£ÀÄß vÀÄA©j.
¸ÀASÉåUÀ¼ÀÄ DªÀÈvÀÛªÁVªÉ
¸ÀAPÀ®£À ªÀåªÀPÀ®£À UÀÄuÁPÁgÀ ¨sÁUÁPÁgÀ
¨sÁUÀ®§Þ ¸ÀASÉåUÀ¼ÀÄ ºËzÀÄ .... .... ....¥ÀÇuÁðAPÀUÀ¼ÀÄ .... E®è .... ....¥ÀÇtð ¸ÀASÉåUÀ¼ÀÄ .... .... ºËzÀÄ ....¸Áé¨sÁ«PÀ ¸ÀASÉåUÀ¼ÀÄ .... .... .... E®è
EªÀÅUÀ¼À£ÀÄß ¥ÀæAiÀÄwß¹
¨sÁUÀ®§Þ ¸ÀASÉåUÀ¼ÀÄ 23
2.2.3 ¸ÀºÀªÀvÀð¤ÃAiÀÄvÉ
(i) ¥ÀÇtð ¸ÀASÉåUÀ¼ÀÄ
¥ÀÇtð ¸ÀASÉåUÀ¼ÀÄ ««zsÀ ªÀÄÆ®QæAiÉÄUÀ¼À°è ¸ÀºÀªÀvÀð¤ÃAiÀĪÉÇà CxÀªÁ E®èªÉÇà JA§ÄzÀ£ÀÄß PɼÀV£À PÉÆõÀÖPÀ¢AzÀ £É£À¦¹PÉƼÉÆîÃt. SÁ° EgÀĪÀ eÁUÀUÀ¼À£ÀÄß vÀÄA©j.
ªÀÄÆ®QæAiÉÄ ¸ÀASÁå GzÁºÀgÀuÉ ªÀÄvÀÄÛ ¸ÁªÀiÁ¤åÃPÀgÀt
n¥ÀàtÂ
¸ÀAPÀ®£À .... ¸ÀAPÀ®£ÀªÀÅ ¸ÀºÀªÀvÀð¤ÃAiÀÄ.
ªÀåªÀPÀ®£À .... ªÀåªÀPÀ®£ÀªÀÅ ¸ÀºÀªÀvÀð¤ÃAiÀĪÀ®è
UÀÄuÁPÁgÀ 7 × (2 × 5) = (7 × 2) × 5 ?4 × (6 × 0) = (4 × 6) × 0 ?a, b ªÀÄvÀÄÛ c UÀ¼ÀÄ ¥ÀÇtð
¸ÀASÉåUÀ¼ÁVzÀÝgÉ
a × (b × c) = (a × b) × c
UÀÄuÁPÁgÀªÀÅ ¸ÀºÀªÀvÀð¤ÃAiÀÄ.
¨sÁUÁPÁgÀ ...... ¨sÁUÁPÁgÀªÀÅ ÀºÀªÀvÀð¤ÃAiÀĪÀ®è.
¸Áé¨sÁ«PÀ ¸ÀASÉåUÀ¼À°è J®è ªÀÄÆ®QæAiÉÄUÀ¼À ¸ÀºÀªÀvÀð¤ÃAiÀÄvÉAiÀÄ£ÀÄß PÀAqÀÄ»r¬Äj.
(ii) ¥ÀÇuÁðAPÀUÀ¼ÀÄ
PɼÀV£À PÉÆõÀÖPÀ¢AzÀ ¥ÀÇuÁðAPÀUÀ¼À°è £Á®ÆÌ ªÀÄÆ®QæAiÉÄUÀ¼À ¸ÀºÀªÀvÀð¤ÃAiÀÄvÉAiÀÄ£ÀÄß w½AiÀħºÀÄzÀÄ.
ªÀÄÆ®QæAiÉÄ GzÁºÀgÀuÉ ªÀÄvÀÄÛ ¸ÁªÀiÁ¤åÃPÀgÀt n¥ÀàtÂ
¸ÀAPÀ®£À (-2) + [3 + (-4)] = [(-2) + 3] + (-4)?
[(-6) + [(-4) + (-5)] = [(6) +(-4)] + (-5)?
a, b ªÀÄvÀÄÛ c UÀ¼ÀÄ ¥ÀÇuÁðAPÀUÀ¼ÁVzÀÝgÉ
a+(b+c)=(a+b)+c
¸ÀAPÀ®£ÀªÀÅ ¸ÀºÀªÀvÀð¤ÃAiÀÄ.
ªÀåªÀPÀ®£À 5-(7-3) = (5-7)-3 ? ªÀåªÀPÀ®£ÀªÀÅ ¸ÀºÀªÀvÀð¤ÃAiÀĪÀ®è
UÀÄuÁPÁgÀ 5 × [(–7) × (–8)] = [5 × (–7)] × (–8) ?(– 4) × [(– 8) × (–5) = [(–4) × (–8)] × (-5) ?a, b ªÀÄvÀÄÛ c UÀ¼ÀÄ¥ÀÇuÁðAPÀUÀ¼ÁVzÀÝgÉ, a × (b × c) = (a × b) × c
UÀÄuÁPÁgÀªÀÅ ¸ÀºÀªÀvÀð¤ÃAiÀÄ.
¨sÁUÁPÁgÀ [(–10)÷2]÷ (-5) = (–10)÷[2÷(–5)]? ¨sÁUÁPÁgÀªÀÅ ¸ÀºÀªÀvÀð¤ÃAiÀĪÀ®è.
24 UÀtÂvÀ
(iii) ¨sÁUÀ®§Þ¸ÀASÉåUÀ¼ÀÄ
(a) ¸ÀAPÀ®£À
2 3 5 2 7 27 9
3 5 6 3 30 30 10
− − − − − − + + = + = =
2 3 5 1 5 27 9
3 5 6 15 6 30 10
− − − − − − + + = + = =
DzÀÝjAzÀ 2 3 5
3 5 6
− − + + =
2 3 5
3 5 6
− − + +
1 3 4
2 7 3
− − + + ªÀÄvÀÄÛ
1 3 4
2 7 3
− − + + EªÉgÀqÀÆ ¸ÀªÀĪÁVªÉAiÉÄà ¥ÀjÃQë¹.
EzÉà jÃw E£ÀÆß ÉÃgÉ ÉÃgÉ sÁUÀ®§Þ ÀASÉåUÀ¼À£ÀÄß vÉUÉzÀÄPÉÆAqÀÄ CªÀÅUÀ¼À ªÉÆvÀÛUÀ¼ÀÄ ¸ÀªÀĪÉà JAzÀÄ ¥ÀjÃQë¹ £ÉÆÃr. sÁUÀ®§Þ ÀASÉåUÀ¼À ÀAPÀ®£ÀªÀÅ ÀºÀªÀvÀð¤ÃAiÀĪÉAzÀÄ ¤ÃªÉà w½AiÀÄÄ«j. CAzÀgÉ a, b ªÀÄvÀÄÛ c UÀ¼ÀÄ ¨sÁUÀ®§Þ ¸ÀASÉåUÀ¼ÁVzÀÝgÉ,
a + (b + c) = (a + b) + c EzÀPÉÌ ¨sÁUÀ®§Þ ¸ÀASÉåUÀ¼À ¸ÀAPÀ®£ÀzÀ ¸ÀºÀªÀvÀð¤ÃAiÀÄ ¤AiÀĪÀÄ J£ÀÄßvÉÛêÉ.
(b) ªÀåªÀPÀ®£À
2 4 1 2 4 1
3 5 2 3 5 2
− − − − − − = − − EzÀÄ ¤dªÉà ?
¤ÃªÉà ¥ÀjÃQë¹ £ÉÆÃr. ¨sÁUÀ®§Þ ¸ÀASÉåUÀ¼À°è ªÀåªÀPÀ®£ÀªÀÅ ¸ÀºÀªÀvÀð¤ÃAiÀĪÀ®è.
(c) UÀÄuÁPÁgÀ
7 5 2 7 10 70 35
3 4 9 3 36 108 54
− − − − × × = × = =
7 5 2
3 4 9.........
− × × = (¸ÀÄ®©üÃPÀj¹)
7 5 2
3 4 9
− × × =
7 5 2
3 4 9
− × × JAzÀÄ w½AiÀÄÄ«j.
FUÀ 2 6 4 2 6 4
3 7 5 3 7 5
− − × × = × × ¤dªÉ ?
EzÉà jÃw E£ÀÆß ¨ÉÃgÉ ¨ÉÃgÉ ¨sÁUÀ®§Þ ¸ÀASÉåUÀ¼À£ÀÄß vÉUÉzÀÄPÉÆAqÀÄ UÀÄuÁ-PÁgÀzÀ ¸ÀºÀªÀvÀð¤ÃAiÀÄvÉAiÀÄ£ÀÄß ¥ÀjÃQë¹ £ÉÆÃrzÀgÉ ¨sÁUÀ®§Þ ¸ÀASÉåUÀ¼À UÀÄuÁPÁgÀ ¸ÀºÀªÀvÀð¤ÃAiÀĪÉAzÀÄ ¤ÃªÉà w½AiÀÄÄ«j. CAzÀgÉ, a, b ªÀÄvÀÄÛ c UÀ¼ÀÄ ¨sÁUÀ®§Þ
¨sÁUÀ®§Þ ¸ÀASÉåUÀ¼ÀÄ 25
¸ÀASÉåUÀ¼ÁVzÀÝgÉ, a × (b × c) = (a × b) × c EzÀPÉÌ ¨sÁUÀ®§Þ ¸ÀASÉåUÀ¼À UÀÄuÁPÁgÀzÀ ¸ÀºÀªÀvÀð¤ÃAiÀÄ ¤AiÀĪÀÄ J£ÀÄßvÉÛêÉ.
(d) ¨sÁUÁPÁgÀ
¥ÀÆuÁðAPÀUÀ¼À°è sÁUÁPÁgÀªÀÅ ÀºÀªÀvÀð¤ÃAiÀĪÀ®èªÉA§ÄzÀ£ÀÄß £É£À¦¹PÉƽî. ºÁUÁzÀgÉ ¨sÁUÀ®§Þ ¸ÀASÉåUÀ¼À°è EzÀÄ ºÉÃUÉ?
1 1 2 1 1 2
2 3 5 2 3 5
− − ÷ ÷ = ÷ ÷ EzÀÄ ¸ÀjAiÉÄà JAzÀÄ £ÉÆÃqÉÆÃt.
1 1 2
2 3 5
− ÷ ÷ = =
1 1 5
2 3 2
− ÷ × (2
5 gÀ ªÀÅöåvÀÌçªÀĪÀÅ
5
2)
= 1 5
2 6
− ÷ = ....
1 1 2
2 3 5
− ÷ ÷ = 1 3 2
2 1 5
− × ÷ =
3 2
2 5........
−÷ =
EzÀjAzÀ ¤ªÀÄUÉ ¨sÁUÀ®§Þ ¸ÀASÉåUÀ¼À°è ¨sÁUÁPÁgÀªÀÅ ¸ÀºÀªÀvÀð¤ÃAiÀĪÀ®èªÉAzÀÄ w½AiÀÄĪÀÅzÀÄ.
F PɼÀV£À PÉÆõÀÖPÀzÀ°è AiÀiÁªÀ ¸ÀASÉåUÀ¼À°è AiÀiÁªÀ ªÀÄÆ®QæAiÉÄUÀ¼ÀÄ ¸ÀºÀªÀvÀð¤ÃAiÀÄ JA§ÄzÀ£ÀÄß ºËzÀÄ CxÀªÁ E®è JAzÀÄ UÀÄgÀÄw¹j.
¸ÀASÉåUÀ¼ÀÄ DªÀÈvÀÛªÁVªÉ
¸ÀAPÀ®£À ªÀåªÀPÀ®£À UÀÄuÁPÁgÀ ¨sÁUÁPÁgÀ
¨sÁUÀ®§Þ ¸ÀASÉåUÀ¼ÀÄ .... .... .... E®è
¥ÀÇuÁðAPÀUÀ¼ÀÄ .... .... ºËzÀÄ ....¥ÀÇtð ¸ÀASÉåUÀ¼ÀÄ ºËzÀÄ .... .... ....¸Áé¨sÁ«PÀ ¸ÀASÉåUÀ¼ÀÄ .... E®è .... ....
EªÀÅUÀ¼À£ÀÄß ¥ÀæAiÀÄwß¹
GzÁºÀgÀuÉ 1 : EzÀgÀ ¨É¯É PÀAqÀÄ »r¬Äj 3 6 8 5
7 11 21 22
− − + + +
¥ÀjºÁgÀ : 3 6 8 5
7 11 21 22
− − + + +
= 198 252 176 105
462 462 462 462
− − + + + [UÀªÀĤ¹ : 7, 11, 21 ªÀÄvÀÄÛ 22 gÀ ®. ¸Á. C. 462]
26 UÀtÂvÀ
= 198 252 176 105
462
− − + = 125
462
−
EzÀ£ÀÄß E£ÉÆßAzÀÄ jÃwAiÀÄ°èAiÀÄÆ ªÀiÁqÀ§ºÀÄzÀÄ.
3 6 8 5
7 11 21 22
− − + + + = 3 8 6 5
7 21 11 22
− − + + +
(UÀªÀĤ¹: ¥ÀjªÀvÀð¤ÃAiÀÄ ªÀÄvÀÄÛ ¸ÀºÀªÀvÀð¤ÃAiÀÄ ¤AiÀĪÀÄUÀ¼À£ÀÄß §¼À¹PÉƼÀî¯ÁVzÉ.)
= 9 (-8)
21
+ +
12 5
22
− + (7 ªÀÄvÀÄÛ 21 gÀ ®.¸Á.C. 21; 11 ªÀÄvÀÄÛ 22gÀ ®.¸Á.C. 22]
= 1 7
21 22
−+ =
22 147
462
− =
22 147 125
462 462
− −=
GzÁºÀgÀuÉ 2 : EzÀgÀ ¨É¯É PÀAqÀÄ»r¬Äj 4 3 15 14
5 7 16 9
− − × × ×
¥ÀjºÁgÀ : 4 3 15 14
5 7 16 9
− − × × ×
=4 3 15 14
5 7 16 9
( )× × − − × × ×
= 12 35
35 24
− − × =(-12)×(-35)
35×24=
1
2
EzÀ£ÀÄß E£ÉÆßAzÀÄ jÃwAiÀÄ°èAiÀÄÆ ªÀiÁqÀ§ºÀÄzÀÄ.
4 3 15 14
5 7 16 9
− − × × ×
= 4 15 3 14
5 16 7 9
− − × × ×
(UÀªÀĤ¹: ¥ÀjªÀvÀð¤ÃAiÀÄ ªÀÄvÀÄÛ ÀºÀªÀvÀð¤ÃAiÀÄ ¤AiÀĪÀÄUÀ¼À£ÀÄß §¼À¹PÉƼÀî ÁVzÉ.)
= 3 2
4 3
− − × = 1
22.2.4 ¸ÉÆ£ÉßAiÀÄ ¥ÁvÀæ PɼÀUÉ PÉÆnÖgÀĪÀÅzÀ£ÀÄß UÀªÀĤ¹
2 + 0 = 0 + 2 = 2 (¥ÀÇtð ¸ÀASÉåUÉ 0 AiÀÄ£ÀÄß ¸ÉÃj¸ÀĪÀÅzÀÄ)
-5 + 0 = ... + ... = -5 (¥ÀÇuÁðAPÀPÉÌ 0 AiÀÄ£ÀÄß ¸ÉÃj¸ÀĪÀÅzÀÄ)
2
7....
−+ = 0 +
2
7
−
= 2
7
− (¨sÁUÀ®§Þ¸ÀASÉåUÉ 0 AiÀÄ£ÀÄß ¸ÉÃj¸ÀĪÀÅzÀÄ)
¨sÁUÀ®§Þ ¸ÀASÉåUÀ¼ÀÄ 27
F jÃw PÀÆqÀĪÀ ¯ÉPÀÌUÀ¼À£ÀÄß EzÀPÉÌ ªÀÄÄAZÉ ªÀiÁr¢ÝÃj. E£ÀÆß PÉ®ªÀÅ F vÀgÀºÀzÀ PÀÆqÀĪÀ ¯ÉPÀÌUÀ¼À£ÀÄß ªÀiÁr.
»ÃUÉ ªÀiÁrzÁUÀ ¤ÃªÀÅ K£ÀÄ UÀªÀĤ¹¢j ? ¥ÀÇtð ¸ÀASÉåAiÉÆAzÀPÉÌ ¸ÉÆ£ÉßAiÀÄ£ÀÄß ¸ÉÃj¹zÁUÀ §gÀĪÀ ªÉÆvÀÛªÀÇ ÀºÀ MAzÀÄ ¥ÀÇtð ÀASÉåAiÉÄAzÀÄ w½AiÀÄÄ«gÀ®èªÉà ? ¥ÀÇuÁðAPÀ ªÀÄvÀÄÛ ¨sÁUÀ®§Þ ¸ÀASÉåUÀ½UÉ ¸ÉÆ£Éß ¸ÉÃj¹zÁUÀ®Æ EzÉà jÃw DUÀÄvÀÛzÉ.
MnÖ£À°è,
a ¥ÀÇtð ¸ÀASÉåAiÀiÁVzÀÝgÉ, a + 0 = 0 + a = a
b ¥ÀÇuÁðAPÀªÁVzÀÝgÉ, b + 0 = 0 + b = b
c ¨sÁUÀ®§Þ ¸ÀASÉåAiÀiÁVzÀÝgÉ, c + 0 = 0 + c = c
¸ÉÆ£ÉßAiÀÄ£ÀÄß ¨sÁUÀ®§Þ ¸ÀASÉåUÀ¼À ¸ÀAPÀ®£ÀzÀ C£À£ÀåvÁA±ÀªÉAzÀÄ PÀgÉAiÀÄÄvÉÛêÉ. CzÀÄ ¥ÀÇuÁðAPÀ ªÀÄvÀÄÛ ¥ÀÇtð ¸ÀASÉåUÀ½UÀÆ ¸ÀºÀ ¸ÀAPÀ®£ÀzÀ C£À£ÀåvÁA±ÀªÁVzÉ.
2.2.5 ¸ÀASÉå 1 gÀ ¥ÁvÀæ
5 × 1 = 1 × 5 = 5 (¥ÀÇtð ¸ÀASÉå ªÀÄvÀÄÛ 1 gÀ UÀÄuÁPÁgÀ)
2
17
−× = .... × .... =
2
7
−
3
8 × .... = 1 × 3
8 =
3
8
¤ÃªÀÅ K£ÀÄ w½AiÀÄÄ«j ?
AiÀiÁªÀÅzÉà MAzÀÄ ¨sÁUÀ®§Þ ¸ÀASÉåAiÀÄ£ÀÄß 1 jAzÀ UÀÄt¹zÁUÀ §gÀĪÀ UÀÄt®§ÞªÀÇ ¸ÀºÀ MAzÀÄ ¨sÁUÀ®§Þ ¸ÀASÉåAiÀiÁVgÀÄvÀÛzÉ. E£ÀÆß ¨ÉÃgÉ ¨ÉÃgÉ ¨sÁUÀ®§Þ ¸ÀASÉåUÀ¼À£ÀÄß vÉUÉzÀÄPÉÆAqÀÄ ¥ÀjÃQë¹. ºÁUÉ ªÀiÁrzÁUÀ a AiÀiÁªÀÅzÉà ¨sÁUÀ®§Þ ¸ÀASÉåAiÀiÁVzÀÝgÀÆ
a × 1 = 1 × a = a JAzÀÄ w½AiÀÄÄ«j.
¸ÀASÉå 1£ÀÄß ¨sÁUÀ®§Þ ¸ÀASÉåUÀ¼À UÀÄuÁPÁgÀzÀ C£À£ÀåvÁA±ÀªÉAzÀÄ ºÉüÀÄvÉÛêÉ.
¥ÀÇuÁðAPÀ ªÀÄvÀÄÛ ¥ÀÇtð ¸ÀASÉåUÀ½UÀÆ ¸ÀASÉå 1 UÀÄuÁPÁgÀzÀ C£À£ÀåvÁA±ÀªÉà ?
AiÉÆÃa¹, ZÀað¹ ªÀÄvÀÄÛ §gɬÄj
¨sÁUÀ®§Þ ¸ÀASÉåUÀ½UÉ ¹AzsÀĪÁzÀ AiÀiÁªÀÅzÉà UÀÄtªÀÅ ¥ÀÇuÁðAPÀUÀ½UÀÆ ¹AzsÀĪÁUÀĪÀÅzÉ ? ¥ÀÇtð ¸ÀASÉåUÀ½UÉ ? AiÀiÁªÀ UÀÄtUÀ¼ÀÄ ¹AzsÀÄ ªÀÄvÀÄÛ AiÀiÁªÀ UÀÄtUÀ¼ÀÄ ¹AzsÀĪÀ®è ?
28 UÀtÂvÀ
2.2.6. ¸ÀASÉåUÀ¼À IÄuÁvÀäPÀUÀ¼ÀÄ
¥ÀÇuÁðAPÀUÀ¼À£ÀÄß C¨sÀ幸ÀĪÁUÀ ¤ÃªÀÅ CªÀÅUÀ¼À IÄuÁvÀäPÀUÀ¼À£ÀÄß w½¢¢ÝÃj.
1 gÀ IÄuÁvÀäPÀ AiÀiÁªÀÅzÀÄ ? CzÀÄ -1 KPÉAzÀgÉ, 1 + (-1) = (-1) + 1 = 0 DzÀÝjAzÀ (-1)gÀ IÄuÁvÀäPÀ AiÀiÁªÀÅzÀÄ? CzÀÄ 1. FUÀ, 2 + (-2) = (-2) + 2 = 0 DzÀÝjAzÀ -2 gÀ IÄuÁvÀäPÀ CxÀªÁ ¸ÀAPÀ®£ÀzÀ «¯ÉÆêÀiÁA±À 2 ªÀÄvÀÄÛ EzÀPÉÌ ¥ÀæwAiÀiÁV 2 gÀ IÄuÁvÀäPÀ CxÀªÁ ¸ÀAPÀ®£ÀzÀ «¯ÉÆêÀiÁA±À -2
EzÀ£ÀÄß ¸ÁªÀiÁ¤åÃPÀj¹zÁUÀ a + (–a) = (-a) + a = 0. DzÀÝjAzÀ - a £À IÄuÁvÀäPÀ a ªÀÄvÀÄÛ EzÀPÉÌ ¥ÀæwAiÀiÁV a «£À IÄuÁvÀäPÀ – a.
FUÀ ¨sÁUÀ®§Þ ¸ÀASÉå 2
3 vÉUÉzÀÄPÉƼÉÆîÃt.
2 2 2 (-2)
03 3 3
+ + − = =
ªÀÄvÀÄÛ 2 2
03 3
− + = (ºÉÃUÉ?)
EzÉÃ jÃw 8 8
09 9
... ...− − + = + =
11 11
07 7
... ...− − + = + =
a
b ¨sÁUÀ®§Þ ¸ÀASÉåAiÀiÁVzÀÝgÉ, 0
a a a a
b b b b + − = − + =
DzÀÝjAzÀ - a
b AiÀÄÄ
a
b AiÀÄ ¸ÀAPÀ®£ÀzÀ «¯ÉÆêÀiÁA±À ªÀÄvÀÄÛ
a
b AiÀÄÄ -a
b AiÀÄ
¸ÀAPÀ®£ÀzÀ «¯ÉÆêÀiÁA±À JAzÀÄ ºÉüÀÄvÉÛêÉ.
2.2.7 ªÀÅöåvÀÌçªÀÄ
8
21 ¨sÁUÀ®§Þ ¸ÀASÉåAiÀÄ£ÀÄß AiÀiÁªÀ ¸ÀASÉå¬ÄAzÀ UÀÄt¹zÀgÉ 1 §gÀÄvÀÛzÉ ?
21
8 JAzÀÄ
ÀÄ®¨sÀªÁV ºÉüÀ§ºÀÄzÀÄ. KPÉAzÀgÉ, 8
21 × 21
8 = 1
EzÉÃ jÃwAiÀÄ°è, 5
7
− £ÀÄß 7
5− ¤AzÀ UÀÄt¹zÀgÉ 1 §gÀÄvÀÛzÉ.
DzÀÝjAzÀ 21
8 £ÀÄß 8
21gÀ ªÀÅöåvÀÌçªÀĪÉAzÀÆ
7
5− £ÀÄß
5
7
−gÀ ªÀÅöåvÀÌçªÀĪÉAzÀÆ ºÉüÀÄvÉÛêÉ.
¨sÁUÀ®§Þ ¸ÀASÉåUÀ¼ÀÄ 29
¸ÉÆ£ÉßAiÀi ªÀÅöåvÀÌçªÀÄ K£ÉAzÀÄ ºÉüÀ§°ègÁ ? CAzÀgÉ, 0 AiÀÄ£ÀÄß AiÀiÁªÀ ¨sÁUÀ®§Þ ¸ÀASÉå¬ÄAzÀ UÀÄt¹zÀgÉ 1 §gÀÄvÀÛzÉ ? ¸ÉÆ£ÉßUÉ ªÀÅöåvÀÌçªÀÄ«®è.
1a c
b d× = DzÀgÉ, DUÀ c
d ¨sÁUÀ®§Þ ¸ÀASÉåAiÀÄÄ
a
b JA§ E£ÉÆßAzÀÄ ±ÀÆ£ÀåªÀ®èzÀ
¨sÁUÀ®§Þ ¸ÀASÉåAiÀÄ ªÀÅöåvÀÌçªÀÄ CxÀªÁ UÀÄuÁPÁgÀzÀ «¯ÉÆêÀiÁA±À J£ÀÄßvÉÛêÉ.
2.2.8. ¨sÁUÀ®§Þ ¸ÀASÉåUÀ¼À «vÀgÀuÁ ¤AiÀĪÀÄ
¨sÁUÀ®§Þ ¸ÀASÉåUÀ¼ÁzÀ 3 2
4 3,
− ªÀÄvÀÄÛ 5
6
− UÀ¼À£ÀÄß vÉUÉzÀÄPÉƼÉÆîÃt
( ) ( )4 53 2 5 3
4 3 6 4 6
+ −− − − × + = ×
3 1 3 1
4 6 24 8
− − = × = =
3 2 3 2 6 1
4 3 4 3 12 2
− − × − −× = = =
×
ªÀÄvÀÄÛ 3 5 5
4 6 8
− −× =
DzÀÝjAzÀ 3 2 3 5 1 5 1
4 3 4 6 2 8 8
− − − − × + × = + =
3 2 5 3 2 3 5
4 3 6 4 3 4 6
− − − − − × + = × + ×
EªÀÅUÀ¼À£ÀÄß ¥ÀæAiÀÄwß¹
«vÀgÀuÁ ¤AiÀĪÀĪÀ£ÀÄß §¼À¹ PɼÀV£ÀªÀÅUÀ¼À£ÀÄß PÀAqÀÄ»r¬Äj.
(i) 7 3 7 5
5 12 5 12
− × + × (ii) 9 4 9 3
16 12 16 9
− × + ×
GzÁºÀgÀuÉ 3 : PɼÀV£ÀªÀÅUÀ½UÉ ¸ÀAPÀ®£À «¯ÉÆêÀiÁA±ÀUÀ¼À£ÀÄß
§gɬÄj:
(i) 7
19
− (ii)
21
112
«vÀgÀuÁ ¤AiÀĪÀÄ: a, b ªÀÄvÀÄÛ c UÀ¼ÀÄ AiÀiÁªÀÅzÉà ¨sÁUÀ®§Þ ¸ÀASÉåUÀ¼ÁVzÀÝgÉ
a (b + c) = ab + ac
a (b – c) = ab – ac
«vÀgÀuÁ ¤AiÀĪÀĪÀ£ÀÄß §¼À¸ÀĪÁUÀ MAzÀÄ UÀÄt®§ÞªÀ£ÀÄß
JgÀqÀÄ UÀÄt®§ÞUÀ¼À ªÉÆvÀÛ CxÀªÁ ªÀvÁå¸ÀªÀ£ÁßV
§gÉAiÀĨÉÃPÀÄ
30 UÀtÂvÀ
¥ÀjºÁgÀ : (i) 7
19
− £À ¸ÀAPÀ®£À «¯ÉÆêÀiÁA±À 7
19 KPÉAzÀgÉ,
7 7 7 7 0
019 19 19 19
− − ++ = = =
(ii) 21
112 £À ¸ÀAPÀ®£À «¯ÉÆêÀiÁA±À
21
112
− (¥ÀjÃQë¹)
GzÁºÀgÀuÉ 4 : -(-x) = x JAzÀÄ PɼÀV£ÀªÀÅUÀ¼À°è IÄdĪÁvÀÄ ¥Àr¹j.
(i) x = 13
17 (ii) x =
21
31
−
¥ÀjºÁgÀ : (i) x = 13
17
x = 13
17 £À ¸ÀAPÀ®£À «¯ÉÆêÀiÁA±À -x = 13
17
− KPÉAzÀgÉ, 13
17 + 13
17
− = 0
13
17 + 13
17
− = 0. EzÀjAzÀ 13
17
− gÀ ÀAPÀ®£À «¯ÉÆêÀiÁA±À
13
17 JAzÀÆ
w½AiÀÄÄvÀÛzÉ CxÀªÁ – 13
17
− =
13
17 CAzÀgÉ, -(-x) = x.
GzÁºÀgÀuÉ 5 : ¸ÀAPÉëæ¹ 2 3 1 3 3
5 7 14 7 5× − − ×
2 3 1 3 3 2 3 3 3 1
5 7 14 7 5 5 7 7 5 14
− −× − − × = × − × − (¥ÀjªÀvÀð£Á ¤AiÀĪÀÄ¢AzÀ)
2 3 3 3 1
5 7 7 5 14
− − = × + × −
3 2 3 1
7 5 5 14
− = + − («vÀgÀuÁ ¤AiÀĪÀÄ¢AzÀ)
3 1 6 1 1
17 14 14 2
− − − −= × − = =
¨sÁUÀ®§Þ ¸ÀASÉåUÀ¼ÀÄ 31
C¨sÁå¸À 2.1
1. ÀÆPÀÛ ¤AiÀĪÀÄUÀ¼À£ÀÄß §¼À¹ ¨É¯É PÀAqÀÄ »r¬Äj.
(i) 2 3 5 3 1
3 5 2 5 6− × + − × (ii)
2 3 1 3 1 2
5 7 6 2 14 5 × − − × + ×
2. PɼÀV£ÀªÀÅUÀ½UÉ ¸ÀAPÀ®£À «¯ÉÆêÀiÁA±ÀUÀ¼À£ÀÄß §gɬÄj.
(i) 2
8 (ii)
5
9
− (iii)
6
5
−−
(iv) 2
9− (v)
19
6− 3. –(-x) = x JAzÀÄ zÀÈrüÃPÀj¹.
(i) 11
15x = (ii) 13
17x = −
4. PɼÀV£ÀªÀÅUÀ¼À UÀÄuÁPÁgÀ «¯ÉÆêÀiÁA±ÀªÀ£ÀÄß PÀAqÀÄ»r¬Äj.
(i) – 13 (ii) 13
19
− (iii) 1
5 (iv)
5 3
8 7
− −×
(v) -1 × 2
5
− (vi) -1
5. EªÀÅUÀ¼À°è §¼À¸À¯ÁVgÀĪÀ UÀÄuÁPÁgÀzÀ UÀÄt®PÀëtªÀ£ÀÄß ºÉ¸Àj¹.
(i) 4 4 41 1
5 5 5
− −× = × = − (ii)
13 2 2 13
17 7 7 17
− − −− × = ×
(iii) 19 291
29 19
−× =−
6. 6
13 £ÀÄß
7
16
− gÀ ªÀÅåvÀÌçªÀÄ¢AzÀ UÀÄt¹j.
7. 1 46
3 3 × ×
£ÀÄß 1 4
63 3
× × JAzÀÄ §gÉAiÀÄ®Ä AiÀiÁªÀ UÀÄt®PÀët¢AzÀ
¸ÁzsÀåªÁVzÉ ?
8. 1
18
− £À UÀÄuÁPÁgÀzÀ «¯ÉÆêÀiÁA±À 8
9 ºËzÉà ? ºËzÀÄ CxÀªÁ E®è JA§ÄzÀ£ÀÄß
PÁgÀt ¸À»vÀ w½¹.
9. 1
33 £À UÀÄuÁPÁgÀzÀ «¯ÉÆêÀiÁA±À 0.3 ºËzÉà ? ºËzÀÄ CxÀªÁ E®è JA§ÄzÀ£ÀÄß
PÁgÀt ¸À»vÀ w½¹.
32 UÀtÂvÀ
10. PÉýgÀĪÀÅzÀ£ÀÄß §gɬÄj
(i) ªÀÅöåvÀÌçªÀÄ«®èzÀ ¨sÁUÀ®§Þ ¸ÀASÉå
(ii) vÀªÀÄä ªÀÅöåvÀÌçªÀÄPÉÌ vÁªÉà ¸ÀªÀÄ£ÁVgÀĪÀ ¨sÁUÀ®§Þ ¸ÀASÉåUÀ¼ÀÄ
(iii) vÀ£Àß IÄuÁvÀäPÀPÉÌ vÁ£Éà ¸ÀªÀÄ£ÁVgÀĪÀ ¨sÁUÀ®§Þ ¸ÀASÉå
11. SÁ° eÁUÀUÀ¼À£ÀÄß vÀÄA©j
(i) ¸ÉÆ£ÉßUÉ ªÀÅöåvÀÌçªÀÄ ____ (ii) ¸ÀASÉåUÀ¼ÁzÀ ___ ªÀÄvÀÄÛ ___ UÀ½UÉ vÁªÉà ªÀÅìvÀÌçªÀÄUÀ¼ÀÄ
(iii) -5 gÀÀ ªÀÅöåvÀÌçªÀĪÀÅ ___
(iv) 1
x (x ≠ 0) £À ªÀÅöåvÀÌçªÀĪÀÅ ………
(v) JgÀqÀÄ ¨sÁUÀ®§Þ ¸ÀASÉåUÀ¼À UÀÄt®§ÞªÀÅ AiÀiÁªÁUÀ®Æ ………
(vi) zsÀ£À ¨sÁUÀ®§Þ ¸ÀASÉåAiÀÄ ªÀÅöåvÀÌçªÀĪÀÅ ………
2.3 ¸ÀASÁågÉÃSÉAiÀÄ ªÉÄÃ¯É ¨sÁUÀ®§Þ ¸ÀASÉåUÀ¼À£ÀÄß UÀÄgÀÄw¸ÀĪÀÅzÀÄ.
¸Áé¨sÁ«PÀ ¸ÀASÉåUÀ¼ÀÄ, ¥ÀÇtð ¸ÀASÉåUÀ¼ÀÄ, ¥ÀÇuÁðAPÀUÀ¼ÀÄ ªÀÄvÀÄÛ ¨sÁUÀ®§Þ ¸ÀASÉåUÀ¼À£ÀÄß ¸ÀASÁågÉÃSÉAiÀÄ ªÉÄÃ¯É UÀÄgÀÄw¸ÀĪÀÅzÀ£ÀÄß ¤ÃªÀÅ FUÁUÀ¯Éà w½¢¢ÝÃj. CzÀ£ÀÄß E°è ªÀÄvÉÛ £É£À¦¹PÉƼÉÆîÃt.
¸Áé¨sÁ«PÀ ¸ÀASÉåUÀ¼ÀÄ
(i)
¥ÀÆtð ¸ÀASÉåUÀ¼ÀÄ
(ii)
¥ÀÆuÁðAPÀUÀ¼ÀÄ
(iii)
¨sÁUÀ®§Þ ¸ÀASÉåUÀ¼ÀÄ 33
¨sÁUÀ®§Þ ¸ÀASÉåUÀ¼ÀÄ
(iv) gÉÃSÉ JgÀqÀÆ PÀqÉ C¤¢üðµÀÖªÁVzÉ DzÀgÉ -1, 0; 0, 1 ªÉÆzÀ¯ÁzÀªÀÅUÀ¼À
£ÀqÀÄªÉ ¸ÀASÉåUÀ½ªÉ.
(v)
ÀASÁå gÉÃSÉ (iv) gÀ ªÉÄÃ¯É 0 ªÀÄvÀÄÛ 1 gÀ £ÀqÀĪÀt ªÀÄzsÀå ©AzÀÄ«UÉ 1
2 JAzÀÄ
ºÉ¸Àj¸À¯ÁVzÉ. ºÁUÉAiÉÄà ¸ÀASÁå gÉÃSÉ (v) gÀ ªÉÄÃ¯É 0 ªÀÄvÀÄÛ 1 gÀ £ÀqÀĪÀt gÉÃSÁ RAqÀªÀ£ÀÄß ªÀÄÆgÀÄ ÀªÀĨsÁUÀUÀ¼À£ÁßV ªÀiÁqÀĪÀ ©AzÀÄUÀ¼À£ÀÄß UÀÄgÀÄw¸À¯ÁVzÉ. F ©AzÀÄUÀ¼À°è
ªÉÆzÀ®£ÉAiÀÄzÀ£ÀÄß 1
3 JAzÀÄ ºÉ¸Àj¸À¯ÁVzÉ. ºÁUÁzÀgÉ JgÀqÀ£ÉAiÀÄ ©AzÀĪÀ£ÀÄß ¤ÃªÀÅ ºÉÃUÉ
ºÉ¸Àj¸ÀÄwÛÃj ?
¤ÃªÀÅ ºÉ¸Àj¸À¨ÉÃPÁzÀ ©AzÀĪÀÅ 0 ¬ÄAzÀ 1
3 EgÀĪÀ zÀÆgÀzÀ JgÀqÀgÀµÀÄÖ (
1
3 × 2)
zÀÆgÀzÀ°èzÉ. CAzÀgÉ, 2
3 . »ÃUÉà ªÀÄÄAzÀĪÀjzÀÄ ¸ÀªÀiÁ£À zÀÆgÀzÀ°ègÀĪÀ ©AzÀÄUÀ¼À£ÀÄß
ºÉ¸Àj¸À§ºÀÄzÀÄ. ªÀÄÄA¢£À ©AzÀĪÀ£ÀÄß 1 JAzÀÄ ºÉ¸Àj¸À¨ÉÃPÁUÀĪÀÅzÀÄ. 1 = 3
3 . £ÀAvÀgÀzÀ
©AzÀÄUÀ¼ÀÄ 4 5 6
3 3 3, , CxÀªÁ 2,
7
3 ªÀÄÄAvÁzÀªÀÅ (¸ÀASÁågÉÃSÉ vi £ÉÆÃr).
(vi)
EzÉà jÃw, ¸ÀASÉå 1
8 £ÀÄß UÀÄgÀÄw¸À®Ä ¸ÀASÁågÉÃSÉAiÀÄ£ÀÄß PɼÀV£À avÀæzÀ°è
vÉÆÃj¹gÀĪÀAvÉ JAlÄ ¸ÀªÀĨsÁUÀUÀ¼À£ÁßV «¨sÀf¸À¨ÉÃPÀÄ.
F jÃw «¨sÀd£ÉAiÀÄ ªÉÆzÀ® ©AzÀÄ«UÉ 1
8 , JgÀqÀ£É ©AzÀÄ«UÉ
2
8, ªÀÄÆgÀ£É
©AzÀÄ«UÉ 3
8 JAvÀ®Æ ¸ÀASÁågÉÃSÉ (vii) gÀ°è PÁt¹zÀ ºÁUÉ ºÉ¸Àj¸À¯ÁUÀĪÀÅzÀÄ.
34 UÀtÂvÀ
(vii)
F «zsÁ£ÀzÀ°è J®è sÁUÀ®§Þ ÀASÉåUÀ¼À£ÀÆß ÀASÁå gÉÃSÉAiÀÄ ªÉÄÃ¯É UÀÄgÀÄw¸À§ºÀÄzÀÄ. ¸ÀASÁågÉÃSÉAiÀÄ°è 0 ªÀÄvÀÄÛ1 gÀ £ÀqÀĪÀt RAqÀªÀ£ÀÄß £ÁªÀÅ UÀÄgÀÄw¸À¨ÉÃPÁzÀ ¨sÁUÀ®§Þ ¸ÀASÉåAiÀÄ bÉÃzÀzÀ°ègÀĪÀ ¥ÀÇuÁðAPÀzÀµÀÄÖ ¸ÀªÀĨsÁUÀUÀ¼À£ÁßV «¨sÀf¸À¨ÉÃPÀÄ. FUÀ D ¸ÀASÉåAiÀÄ CA±ÀzÀ°ègÀĪÀ ¥ÀÇuÁðAPÀªÀÅ F ¸ÀªÀĨsÁUÀUÀ¼À°è JµÀÄÖ ¨sÁUÀUÀ¼À£ÀÄß vÉUÉzÀÄPÉƼÀî¨ÉÃPÉAzÀÄ ¸ÀÆa¸ÀÄvÀÛzÉ. DzÀÝjAzÀ, 0 AiÀÄ §®UÀqÉ ªÀiÁqÀ¯ÁUÀĪÀ MA¨sÀvÀÄÛ ¸ÀªÀÄ ¨sÁUÀUÀ¼À°è £Á®ÄÌ
¨sÁUÀUÀ¼ÀÄ 4
9 DUÀÄvÀÛzÉ. (¸ÀASÁågÉÃSÉ viii £ÉÆÃr) EzÉà jÃw 0 ¬ÄAzÀ JqÀUÀqÉ MAzÀÄ
©AzÀÄ«¤AzÀ ªÀÄvÉÆÛAzÀPÉÌ 1
4 gÀµÀÄÖ zÀÆgÀ EgÀĪÀAvÉ ªÀiÁqÀĪÀ UÀÄgÀÄvÀÄUÀ¼À°è 7 £É UÀÄgÀÄvÀÄ
7
4− DUÀÄvÀÛzÉ. (¸ÀASÁågÉÃSÉ ix £ÉÆÃr)
(viii)
(ix)
CPÀëgÀ¢AzÀ ºÉ¸Àj¹gÀĪÀ ¥Àæw©AzÀĪÀÇ ¥Àæw¤¢ü¸ÀĪÀ sÁUÀ®§Þ ÀASÉåAiÀÄ£ÀÄß §gɬÄj.
EªÀÅUÀ¼À£ÀÄß ¥ÀæAiÀÄwß¹
(i)
(ii)
2.4 JgÀqÀÄ ¨sÁUÀ®§Þ ¸ÀASÉåUÀ¼À £ÀqÀÄ«£À ¨sÁUÀ®§Þ ¸ÀASÉåUÀ¼ÀÄ
1 ªÀÄvÀÄÛ 5 gÀ £ÀqÀĪÀt ¸Áé¨sÁ«PÀ ¸ÀASÉåUÀ¼À£ÀÄß÷ºÉüÀ§°ègÁ ? CªÀÅ 2, 3 ªÀÄvÀÄÛ 4. 7 ªÀÄvÀÄÛ 9 gÀ £ÀqÀÄªÉ EgÀĪÀ ¸Áé¨sÁ«PÀ ¸ÀASÉåUÀ¼ÉµÀÄÖ ? MAzÉà MAzÀÄ. CzÀÄ 8, 10 ªÀÄvÀÄÛ 11 gÀ £ÀqÀÄªÉ EgÀĪÀ ¸Áé¨sÁ«PÀ ¸ÀASÉåUÀ¼ÉµÀÄÖ ? AiÀiÁªÀÅzÀÆ E®è. -5 ªÀÄvÀÄÛ 4 gÀ £ÀqÀĪÀt ¥ÀÇuÁðAPÀUÀ¼À ¥ÀnÖ ªÀiÁr.CªÀÅ -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3. -1 ªÀÄvÀÄÛ 1gÀ £ÀqÀÄªÉ JµÀÄÖ ¥ÀÇuÁðAPÀUÀ½ªÉ ? -9 ªÀÄvÀÄÛ 10 gÀ £ÀqÀÄªÉ JµÀÄÖ ¥ÀÇuÁðAPÀUÀ½ªÉ ?
¨sÁUÀ®§Þ ¸ÀASÉåUÀ¼ÀÄ 35
AiÀiÁªÀÅzÉà JgÀqÀÄ ¸Áé¨sÁ«PÀ ¸ÀASÉåUÀ¼À £ÀqÀÄªÉ MAzÀÄ ¤¢ðµÀÖ ¸ÀASÉåAiÀÄ ¸Áé¨sÁ«PÀ ¸ÀASÉåUÀ½ªÉAiÉÄAzÀÄ w½AiÀÄÄ«j.
3
10 ªÀÄvÀÄÛ
7
10 gÀ £ÀqÀÄªÉ JµÀÄÖ ¨sÁUÀ®§Þ ¸ÀASÉåUÀ½ªÉ ?
4 5
10 10, ªÀÄvÀÄÛ
6
10 F ªÀÄÆgÀÄ ÀASÉåUÀ¼ÀÄ ªÀiÁvÀæ JAzÀÄ ¤ÃªÀÅ «ZÁgÀ ªÀiÁqÀĪÀÅzÀÄ
¸ÀºÀd.
DzÀgÉ, 3
10 £ÀÄß
30
100 JAzÀÆ ªÀÄvÀÄÛ
7
10 £ÀÄß
70
100 JAzÀÆ §gÉAiÀħºÀÄzÀÄ.
FUÀ 31 32 33 68 69
100 100 100 100 100, , ,.. , ¸ÀASÉåUÀ¼É®èªÀÇ
3
10 ªÀÄvÀÄÛ
7
10 gÀ £ÀqÀÄªÉ EzÀÄÝ
EªÀÅUÀ¼ÀÄ 39 EªÉ. C®èzÉ, 3
10£ÀÄß
3000
10000 ªÀÄvÀÄÛ
7
10£ÀÄß
7000
10000 JAzÀÆ §gÉAiÀħºÀÄzÀÄ.
3001 3002 6998 6999 3
10000 10000 10000 10000 10, ,.... , U¼À ÀÄ ªÀÄvÀÄÛ
7
10gÀ £ÀqÀÄªÉ EªÉ. EªÀÅUÀ¼ÀÄ 3999 EªÉ.
F jÃw E£ÀÆß ºÉZÀÄÑ ºÉZÀÄÑ ¨sÁUÀ®§Þ ¸ÀASÉåUÀ¼À£ÀÄß 3
10 ªÀÄvÀÄÛ
7
10 gÀ £ÀqÀĪÉ
§gÉAiÀħºÀÄzÀÄ. DzÀÝjAzÀ, ¸Áé¨sÁ«PÀ ¸ÀASÉåUÀ¼ÀÄ ªÀÄvÀÄÛ ¥ÀÇuÁðAPÀUÀ¼À°ègÀĪÀAvÉ, JgÀqÀÄ ¨sÁUÀ®§Þ ¸ÀASÉåUÀ¼À £ÀqÀÄªÉ ¤¢ðµÀÖ ¸ÀASÉåAiÀÄ ¨sÁUÀ®§Þ ¸ÀASÉåUÀ½®è. E£ÉÆßAzÀÄ GzÁºÀgÀuÉAiÀÄ£ÀÄß £ÉÆÃqÉÆÃt.
1
10
− ªÀÄvÀÄÛ
3
10 UÀ¼À £ÀqÀÄªÉ EgÀĪÀ ¨sÁUÀ®§Þ ¸ÀASÉåUÀ¼ÉµÀÄÖ ?
ÀÄ®¨sÀªÁV 0 1
10 10, ,ªÀÄvÀÄÛ
2
10 UÀ¼ÉAzÀÄ ºÉüÀ§ºÀÄzÀÄ.
1
10
− £ÀÄß
10000
100000
− JAzÀÆ
3
10 £ÀÄß
30000
100000 JAzÀÆ §gÉzÀgÉ,
1
10
− ªÀÄvÀÄÛ
3
10 UÀ¼À £ÀqÀÄªÉ E°è PÁtĪÀ ¨sÁUÀ®§Þ ¸ÀASÉåUÀ¼ÀÄ ¹UÀÄvÀÛªÉ.
9999 9998 29998 29999
100000 100000 100000 100000, ,,....... ,
− − −
DzÀÝjAzÀ AiÀiÁªÀÅzÉà ¨sÁUÀ®§Þ ¸ÀASÉåUÀ¼À £ÀqÀÄªÉ Jt¸À¯ÁgÀzÀµÀÄÖ ¨sÁUÀ®§Þ ¸ÀASÉåUÀ½ªÉAiÉÄAzÀÄ w½AiÀÄÄvÀÛzÉ.
36 UÀtÂvÀ
GzÁºÀgÀuÉ 6 : -2 ªÀÄvÀÄÛ 0 UÀ¼À £ÀqÀÄªÉ AiÀiÁªÀÅzÁzÀgÀÆ 3 sÁUÀ®§Þ ÀASÉåUÀ¼À£ÀÄß §gɬÄj.
¥ÀjºÁgÀ : -2 £ÀÄß 20
10
− JAzÀÆ ªÀÄvÀÄÛ 0 AiÀÄ£ÀÄß 0
10 JAzÀÆ §gÉAiÀħºÀÄzÀÄ.
19 18 17 16 15 1
10 10 10 10 10 10, , , , ,....
− − − − − − UÀ¼ÀÄ -2 ªÀÄvÀÄÛ 0 UÀ¼À £ÀqÀÄªÉ EªÉ.
EªÀÅUÀ¼À°è AiÀiÁªÀÅzÁzÀgÀÆ ªÀÄÆgÀ£ÀÄß Dj¹PÉƼÀÀÄzÀÄ.
GzÁºÀgÀuÉ 7 : 5
6
− ªÀÄvÀÄÛ
5
8 EªÀÅUÀ¼À £ÀqÀÄªÉ AiÀiÁªÀÅzÁzÀgÀÆ ºÀvÀÄÛ sÁUÀ®§Þ ÀASÉåUÀ¼À£ÀÄß
PÀAqÀÄ»r¬Äj.
¥ÀjºÁgÀ : ªÉÆzÀ®Ä 5
6
− ªÀÄvÀÄÛ
5
8F JgÀqÀ£ÀÆß ¸ÀªÀÄbÉÃzÀUÀ¼À£ÀÄß¼Àî ¨sÁUÀ®§Þ
¸ÀASÉåUÀ¼À£ÁßV §gÉAiÀĨÉÃPÀÄ.
5 4 20
6 4 24
− × −=
× ªÀÄvÀÄÛ
5 3 15
8 3 24
×=
× DzÀÝjAzÀ
5
6
− ªÀÄvÀÄÛ
5
8 UÀ¼À £ÀqÀĪÉ
19 18 17 14
24 24 24 24, , ,....
− − − EªÉ.
EªÀÅUÀ¼À°è AiÀiÁªÀÅzÁzÀgÀÆ ºÀvÀÛ£ÀÄß Dj¹PÉƼÀÀÄzÀÄ.
¥ÀAiÀiÁðAiÀÄ «zsÁ£À : 1 ªÀÄvÀÄÛ 2 gÀ £ÀqÀÄªÉ EgÀĪÀ ¨sÁUÀ®§Þ ¸ÀASÉåUÀ¼À£ÀÄß PÀAqÀÄ »rAiÉÆÃt.
EªÀÅUÀ¼À ¸ÀgÁ¸Àj 1.5 CxÀªÁ 3
2 EzÀÄ 1 ªÀÄvÀÄÛ 2 gÀ £ÀqÀÄªÉ EgÀĪÀ ¨sÁUÀ®§Þ ¸ÀASÉåUÀ¼À°è
MAzÀÄ. ¤ÃªÀÅ FUÁUÀ¯Éà ¸ÀgÁ¸ÀjAiÀÄ §UÉÎ C¨sÀå¹¹¢ÝÃj.
PÉÆlÖ AiÀiÁªÀÅzÉà JgÀqÀÄ ¸ÀASÉåUÀ¼À £ÀqÀÄªÉ ¥ÀÇuÁðAPÀªÉà EgÀ¨ÉÃPÉA¢®è. DzÀgÉ ¨sÁUÀ®§Þ ¸ÀASÉåAiÀÄÄ EzÉÝà EgÀÄvÀÛzÉ.
£ÁªÀÅ AiÀiÁªÀÅzÉà JgÀqÀÄ ¨sÁUÀ®§Þ ¸ÀASÉåUÀ¼À £ÀqÀÄ«£À ¨sÁUÀ®§Þ ¸ÀASÉåAiÀÄ£ÀÄß PÀAqÀÄ »rAiÀÄ®Ä ¸ÀgÁ¸ÀjAiÀÄ PÀ®à£ÉAiÀÄ£ÀÄß §¼À¹PÉƼÀÀÄzÀÄ.
GzÁºÀgÀuÉ 8 : 1
4 ªÀÄvÀÄÛ
1
2 UÀ¼À £ÀqÀÄ«£À MAzÀÄ ¨sÁUÀ®§Þ ¸ÀASÉåAiÀÄ£ÀÄß PÀAqÀÄ»r¬Äj.
¥ÀjºÁgÀ : PÉÆlÖ ¨sÁUÀ®§Þ ¸ÀASÉåUÀ¼À ¸ÀgÁ¸ÀjAiÀÄ£ÀÄß PÀAqÀÄ»rAiÀÄÄvÉÛêÉ.
1 1 1 2 3 1 32 2
4 2 4 4 2 8
+ + ÷ = ÷ = × =
1
4 ªÀÄvÀÄÛ
1
2UÀ¼À £ÀqÀĪÉ
3
8 EzÉ. EzÀ£ÀÄß ÀASÁågÉÃSÉAiÀÄ°èAiÀÄÆ PÁt§ºÀÄzÀÄ.
¨sÁUÀ®§Þ ¸ÀASÉåUÀ¼ÀÄ 37
AB AiÀÄ ªÀÄzsÀå ©AzÀÄ C AiÀÄ£ÀÄß PÀAqÀÄ»rAiÀÄÄvÉÛêÉ. EzÀÄ 1 1 3
24 2 8
+ + =
¸ÀASÉåAiÀÄ£ÀÄß ¥Àæw¤¢ü¸ÀÄvÀÛzÉ. 1 3 1
4 8 2< < JAzÀÄ w½AiÀÄÄvÉÛêÉ.
a ªÀÄvÀÄÛ b UÀ¼ÀÄ sÁUÀ®§Þ ÀASÉåUÀ¼ÁzÀgÉ 2
a b+ ÀºÀ MAzÀÄ sÁUÀ®§Þ ÀASÉåAiÀiÁVzÀÄÝ
a ªÀÄvÀÄÛ b UÀ¼À £ÀqÀÄªÉ EgÀÄvÀÛzÉ ªÀÄvÀÄÛ a < 2
a b+ < b
EzÀjAzÀ AiÀiÁªÀÅzÉà JgÀqÀÄ ¨sÁUÀ®§Þ ¸ÀASÉåUÀ¼À £ÀqÀÄªÉ Jt¸À¯ÁgÀzÀµÀÄÖ ¨sÁUÀ®§Þ ¸ÀASÉåUÀ¼ÀÄ EªÉ JAzÀÄ UÉÆvÁÛUÀÄvÀÛzÉ.
GzÁºÀgÀuÉ 9 : 1
4 ªÀÄvÀÄÛ
1
2 UÀ¼À £ÀqÀÄ«£À ªÀÄÆgÀÄ ¨sÁUÀ®§Þ ¸ÀASÉåUÀ¼À£ÀÄß PÀAqÀÄ»r¬Äj.
¥ÀjºÁgÀ : PÉÆlÖ ¨sÁUÀ®§Þ ¸ÀASÉåUÀ¼À ¸ÀgÁ¸ÀjAiÀÄ£ÀÄß PÀAqÀÄ»rAiÀÄÄvÉÛêÉ.
ªÉÄð£À GzÁºÀgÀuɬÄAzÀ F ¸ÀgÁ¸ÀjAiÀÄÄ 3
8 ªÀÄvÀÄÛ
1 3 1
4 8 2< <
FUÀ 1
4 ªÀÄvÀÄÛ
3
8 UÀ¼À £ÀqÀÄªÉ ªÀÄvÉÆÛAzÀÄ ¨sÁUÀ®§Þ ¸ÀASÉåAiÀÄ£ÀÄß
PÀAqÀÄ»rAiÀÄÄvÉÛêÉ. EzÀPÁÌV £ÁªÀÅ CªÀÅUÀ¼À ¸ÀgÁ¸ÀjAiÀÄ£ÀÄß PÀAqÀÄ »rAiÀÄÄvÉÛêÉ.
CAzÀgÉ, 1 3 5 1 5
24 8 8 2 16
+ ÷ = × =
1 5 3 1
4 16 8 2< < <
FUÀ 3
8 ªÀÄvÀÄÛ
1
2 UÀ¼À ¸ÀgÁ¸ÀjAiÀÄ£ÀÄß PÀAqÀÄ »rAiÀÄÄvÉÛêÉ.
38 UÀtÂvÀ
3 1 7 1 7
28 2 8 2 16
+ ÷ = × = EzÀÄ CªÀÅUÀ¼À ªÀiÁzsÀå.
1 5 3 7 1
4 16 8 16 2< < < <
DzÀÝjAzÀ 1
4 ªÀÄvÀÄÛ
1
2 UÀ¼À £ÀqÀÄ«£À ªÀÄÆgÀÄ ¨sÁUÀ®§Þ ¸ÀASÉåUÀ¼ÀÄ
5 3
16 8, ªÀÄvÀÄÛ
7
16 EªÀÅUÀ¼À£ÀÄß ¸ÀASÁågÉÃSÉAiÀÄ ªÉÄÃ¯É ¸ÀÄ®¨sÀªÁV UÀÄgÀÄw¸À§ºÀÄzÀÄ.
EzÉà jÃwAiÀÄ°è PÉÆlÖ AiÀiÁªÀÅzÉà JgÀqÀÄ sÁUÀ®§Þ ÀASÉåUÀ¼À £ÀqÀÄªÉ JµÀÄÖ ÉÃPÁzÀgÀÆ ¨sÁUÀ®§Þ ¸ÀASÉåUÀ¼À£ÀÄß PÀAqÀÄ»rAiÀħºÀÄzÀÄ. AiÀiÁªÀÅzÉà JgÀqÀÄ ¨sÁUÀ®§Þ ¸ÀASÉåUÀ¼À £ÀqÀÄªÉ Jt¸À¯ÁgÀzÀµÀÄÖ ¨sÁUÀ®§Þ ¸ÀASÉåUÀ½ªÉAiÉÄAzÀÄ ¤ÃªÀÅ UÀªÀĤ¹¢ÝÃj.
C¨sÁå¸À 2.2
1. F ¸ÀASÉåUÀ¼À£ÀÄß ¸ÀASÁågÉÃSÉAiÀÄ ªÉÄÃ¯É UÀÄgÀÄw¹. (i) 7
4 (ii)
5
6
−
2. 2 5
11 11
− −, ªÀÄvÀÄÛ
9
11
− EªÀÅUÀ¼À£ÀÄß ¸ÀASÁågÉÃSÉAiÀÄ ªÉÄÃ¯É UÀÄgÀÄw¹
3. 2 QÌAvÀ ¸ÀtÚzÁzÀ LzÀÄ ¨sÁUÀ®§Þ ¸ÀASÉåUÀ¼À£ÀÄß §gɬÄj.
4. 2
5
− ªÀÄvÀÄÛ 1
2 gÀ £ÀqÀÄ«£À ºÀvÀÄÛ ¨sÁUÀ®§Þ ¸ÀASÉåUÀ¼À£ÀÄß §gɬÄj.
5. F PɼÀUÉ PÉÆnÖgÀĪÀ ¥Àæw eÉÆÃr ¸ÀASÉåUÀ¼À £ÀqÀÄ«£À LzÀÄ ¨sÁUÀ®§Þ ¸ÀASÉåUÀ¼À£ÀÄß PÀAqÀÄ »r¬Äj.
(i) 2
3 ªÀÄvÀÄÛ
4
5 (ii)
3
2
− ªÀÄvÀÄÛ
5
3 (iii) 1
4 ªÀÄvÀÄÛ
1
2
6. – 2 QÌAvÀ zÉÆqÀØzÁzÀ LzÀÄ ¨sÁUÀ®§Þ ¸ÀASÉåUÀ¼À£ÀÄß §gɬÄj.
7. 3
5 ªÀÄvÀÄÛ
3
4 UÀ¼À £ÀqÀÄªÉ EgÀĪÀ ºÀvÀÄÛ sÁUÀ®§Þ ÀASÉåUÀ¼À£ÀÄß PÀAqÀÄ»r¬Äj.
¨sÁUÀ®§Þ ¸ÀASÉåUÀ¼ÀÄ 39
¸ÁgÁA±À
1. ¨sÁUÀ®§Þ ¸ÀASÉåUÀ¼ÀÄ ¸ÀAPÀ®£À, ªÀåªÀPÀ®£À ªÀÄvÀÄÛ UÀÄuÁPÁgÀUÀ¼À°è DªÀÈvÀ ªÁVªÉ.
2. ¸ÀAPÀ®£À ªÀÄvÀÄÛ UÀÄuÁPÁgÀUÀ¼ÀÄ
(i) ¨sÁUÀ®§Þ ¸ÀASÉåUÀ¼À°è ¥ÀjªÀvÀð¤ÃAiÀÄ UÀÄtªÀ£ÀÄß ºÉÆA¢ªÉ.
(ii) ¨sÁUÀ®§Þ ¸ÀASÉåUÀ¼À°è ¸ÀºÀªÀvÀð¤ÃAiÀÄ UÀÄtªÀ£ÀÄß ºÉÆA¢ªÉ.
3. ¸ÉÆ£Éß (0) ¨sÁUÀ®§Þ ¸ÀASÉåUÀ¼À ¸ÀAPÀ®£À C£À£ÀåvÁA±À.
4. 1 ¨sÁUÀ®§Þ ¸ÀASÉåUÀ¼À UÀÄuÁPÁgÀ C£À£ÀåvÁA±À.
5. ¨sÁUÀ®§Þ ÀASÉå a
,b
− sÁUÀ®§Þ ÀASÉå a
b AiÀÄ ÀAPÀ®£À «¯ÉÆêÀiÁA±À ªÀÄvÀÄÛ EzÀPÉÌ
¥ÀæwAiÀiÁV, sÁUÀ®§Þ ÀASÉå a
,b
sÁUÀ®§Þ ÀASÉå a
b− AiÀÄ ÀAPÀ®£À «¯ÉÆêÀiÁA±À.
6. a c
b d× = 1 DzÀgÉ,
c
d AiÀÄÄ
a
b AiÀÄ ªÀÅöåvÀÌçªÀÄ CxÀªÁ UÀÄuÁPÁgÀ «¯ÉÆêÀiÁA±À.
7. ¨sÁUÀ®§Þ ¸ÀASÉåUÀ¼À «vÀgÀuÁ ¤AiÀĪÀÄ : a, b ªÀÄvÀÄÛ c UÀ¼ÀÄ AiÀiÁªÀÅzÉà ¨sÁUÀ®§Þ ¸ÀASÉåUÀ¼ÁVzÀÝgÉ, a (b + c) = ab + ac ªÀÄvÀÄÛ a (b - c) = ab – ac.
8. ¨sÁUÀ®§Þ ¸ÀASÉåUÀ¼À£ÀÄß ¸ÀASÁå gÉÃSÉAiÀÄ ªÉÄÃ¯É UÀÄgÀÄw¸À§ºÀÄzÀÄ.
9. AiÀiÁªÀÅzÉà JgÀqÀÄ sÁUÀ®§Þ ÀASÉåUÀ¼À £ÀqÀÄªÉ Jt¸À¯ÁgÀzÀµÀÄÖ sÁUÀ®§Þ ÀASÉåUÀ½ªÉ. ¸ÀgÁ¸ÀjAiÀÄ PÀ®à£ÉAiÀÄ£ÀÄß §¼À¹PÉÆAqÀÄ JgÀqÀÄ sÁUÀ®§Þ ÀASÉåUÀ¼À £ÀqÀÄ«£À sÁUÀ®§Þ ¸ÀASÉåUÀ¼À£ÀÄß PÀAqÀÄ»rAiÀħºÀÄzÀÄ.
3.1 ¦ÃpPÉ
©ÃdUÀtÂvÀzÀ ºÀ®ªÀÅ ¥ÀzÉÆÃQÛUÀ¼ÀÄ ªÀÄvÀÄÛ ¸À«ÄÃPÀgÀtUÀ¼À£ÀÄß ¤ÃªÀÅ FUÁUÀ¯Éà »A¢£À
vÀgÀUÀwUÀ¼À°è C¨sÀå¹¹¢ÝÃj.
F jÃw ZÀað¹zÀ ©Ãd¥ÀzÉÆÃQÛUÀ¼À PÉ®ªÀÅ GzÁºÀgÀuÉUÀ¼ÀÄ PɼÀPÀAqÀAwªÉ.
5x, 2x - 3, 3x + y, 2xy + 5, xyz + x + y + z, x2 + 1, y + y2
EzÉà jÃw £ÁªÀÅ ZÀað¹zÀ ¸À«ÄÃPÀgÀtUÀ¼ÀÄ PɼÀPÀAqÀAwªÉ.
5x = 25, 2x - 3= 9, 5 372 ,
2 2y + = 6z + 10 = -2
¸À«ÄÃPÀgÀtUÀ¼À°è ªÀiÁvÀæ ÀªÀÄvÉAiÀÄ aºÉß (=)AiÀÄ£ÀÄß §¼À¸ÀÄvÉÛêÉAiÉÄà «£ÀB ¥ÀzÉÆÃQÛUÀ¼À°è
§¼À¸ÀĪÀÅ¢®è.
ªÉÄÃ¯É w½¹zÀ ©Ãd¥ÀzÉÆÃQÛUÀ¼À°è MAzÀQÌAvÀ ºÉaÑ£À ZÀgÁPÀëgÀUÀ½AzÀ PÀÆrzÀ
¥ÀzÉÆÃQÛUÀ¼ÀÆ EªÉ. GzÁºÀgÀuÉUÉ 2xy + 5gÀ°è JgÀqÀÄ ZÀgÁPÀëgÀUÀ½ªÉ.
C®èzÉ, F jÃw §¼À¸ÀĪÀ ¥ÀzÉÆÃQÛUÀ¼ÀÄ gÉÃSÁvÀäPÀ. CAzÀgÉ CAvÀºÀ ¥ÀzÉÆÃQÛUÀ¼À°ègÀĪÀ
ZÀgÁPÀëgÀzÀ Cw ºÉaÑ£À WÁvÀªÀÅ MAzÀÄ. EAvÀºÀ gÉÃSÁvÀäPÀ ¥ÀzÉÆÃQÛUÀ¼À PÉ®ªÀÅ GzÁºÀgÀuÉUÀ¼ÀÄ
PɼÀPÀAqÀAwªÉ.
2x, 2x + 1, 3y - 7 12 - 5z, 5( 4) 10
4x − +
PɼÀPÀAqÀ jÃwAiÀÄ ¥ÀzÉÆÃQÛUÀ¼ÀÄ gÉÃSÁvÀäPÀªÀ®è.
x2 + 1, y + y2, 1 + z + z2 + z3
EªÀÅUÀ¼À°ègÀĪÀ ZÀgÁPÀëgÀUÀ¼ÀÄ MAzÀQÌAvÀ ºÉaÑ£À WÁvÀUÀ¼À°èªÉ.
E°è £ÁªÀÅ ZÀað¸ÀĪÀ ¸À«ÄÃPÀgÀtUÀ¼À°è MAzÉà MAzÀÄ ZÀgÁPÀëgÀzÀ gÉÃSÁvÀäPÀ
©Ãd¥ÀzÉÆÃQÛUÀ¼À£ÀÄß ªÀiÁvÀæ ¥ÀjUÀt¸ÀÄvÉÛêÉ. CAvÀºÀ ¸À«ÄÃPÀgÀtUÀ½UÉ MAzÀÄ ZÀgÁPÀëgÀªÀżÀî
gÉÃSÁvÀäPÀ ¸À«ÄÃPÀgÀtUÀ¼ÉAzÀÄ ºÉ¸ÀgÀÄ. FUÁUÀ¯Éà C¨sÀå¹¹zÀ ¸ÀgÀ¼À ¸À«ÄÃPÀgÀtUÀ¼É®èªÀÇ F
jÃwAiÀĪÀÅUÀ¼ÁVªÉ.
CzsÁåAiÀÄ
3MAzÀÄ ZÀgÁPÀëgÀªÀżÀî
gÉÃSÁvÀäPÀ ¸À«ÄÃPÀgÀtUÀ¼ÀÄ
MAzÀÄ ZÀgÁPÀëgÀªÀżÀî gÉÃSÁvÀäPÀ ¸À«ÄÃPÀgÀtUÀ¼ÀÄ 41
£ÁªÀÅ E°èAiÀĪÀgÉUÉ w½¢zÀÝ£ÀÄß ¸ÀAQë¥ÀÛªÁV ¥ÀÄ£ÀgÁªÀwð¸ÉÆÃt.
(a) ©ÃdUÀtÂwÃAiÀÄ ¸À«ÄÃPÀgÀtªÉAzÀgÉ ZÀgÁPÀëgÀUÀ¼À£ÉÆß¼ÀUÉÆAqÀ ¥ÀzÉÆÃQÛUÀ¼À ¸ÀªÀÄvÉAiÀÄ£ÀÄß w½¸ÀĪÀ MAzÀÄ GQÛ. CzÀgÀ°è ¸ÀªÀÄvÉAiÀÄ aºÉ߬ÄzÉ. F aºÉßAiÀÄ JqÀzÀ°ègÀĪÀÅzÀÄ ¸À«ÄÃPÀgÀtzÀ JqÀ¨sÁUÀ ªÀÄvÀÄÛ §®zÀ°ègÀĪÀÅzÀÄ ¸À«ÄÃPÀgÀtzÀ §®¨sÁUÀ.
(b) MAzÀÄ ¸À«ÄÃPÀgÀtzÀ°ègÀĪÀ ZÀgÁPÀëgÀUÀ½UÉ PÉ®ªÀÅ ¨É¯ÉUÀ¼À£ÀÄß PÉÆlÖgÉ ªÀiÁvÀæ ¸À«ÄÃPÀgÀtzÀ JqÀ¨sÁUÀ ªÀÄvÀÄÛ §®¨sÁUÀUÀ¼À°ègÀĪÀ ¥ÀzÉÆÃQÛUÀ¼ÀÄ ¸ÀªÀĪÁVgÀÄvÀÛªÉ. CAvÀºÀ ¨É¯ÉUÀ½UÉ ¸À«ÄÃPÀgÀtzÀ ¥ÀjºÁgÀUÀ¼ÉAzÀÄ ºÉ¸ÀgÀÄ.
2x - 3 = 7 ¸À«ÄÃPÀgÀtzÀ°è x = 5 ºÁQzÀgÉ
JqÀ¨sÁUÀ = 2 × 5 - 3 = 7 = §®¨sÁUÀ.
DzÀÝjAzÀ F À«ÄÃPÀgÀtPÉÌ x = 5 ¥ÀjºÁgÀªÁUÀÄvÀÛzÉ.
DzÀgÉ x = 10 ºÁQzÀgÉ JqÀ¨sÁUÀ 2 × 10 - 3 = 17 DUÀĪÀÅzÀÄ. DzÀgÉ EzÀÄ §®¨sÁUÀPÉÌ ¸ÀªÀÄ£ÁV®è. DzÀÝjAzÀ x = 10 F ¸À«ÄÃPÀgÀtPÉÌ ¥ÀjºÁgÀªÀ®è.
(c) MAzÀÄ ¸À«ÄÃPÀgÀtzÀ ¥ÀjºÁgÀªÀ£ÀÄß PÀAqÀÄ»rAiÀÄĪÀÅzÀÄ ºÉÃUÉAzÀÄ £ÉÆÃqÉÆÃt. ¸À«ÄÃPÀgÀtzÀ JgÀqÀÆ PÀqÉUÀ¼ÀÄ ¸ÀªÀĪÁVzÉAiÉÄAzÀÄ H»¹PÉƼÀÄîvÉÛêÉ. C£ÀAvÀgÀ ¸À«ÄÃPÀgÀtzÀ JgÀqÀÆ PÀqÉ ¸ÀªÀÄvÉAiÀÄ£ÀÄß G½¹PÉƼÀî®Ä JqÀUÀqÉ ªÀiÁqÀĪÀ CAPÀUÀtÂvÀzÀ ªÀÄÆ®QæAiÉÄAiÀÄ£Éßà §®UÀqÉAiÀÄ°èAiÀÄÆ ªÀiÁvÀÄvÉÛêÉ. F jÃw PÉ®ªÀÅ ¸À® ªÀiÁrzÁUÀ ¥ÀjºÁgÀ ¹UÀÄvÀÛzÉ.
3.2 MAzÀÄ PÀqÉ gÉÃSÁvÀäPÀ ¥ÀzÉÆÃQÛ ªÀÄvÀÄÛ E£ÉÆßAzÀÄ PÀqÉ ¸ÀASÉåUÀ½gÀĪÀ ¸À«ÄÃPÀgÀtUÀ¼À£ÀÄß ©r¸ÀĪÀÅzÀÄ :PÉ®ªÀÅ GzÁºÀgÀuÉUÀ¼ÉÆA¢UÉ ¸À«ÄÃPÀgÀtUÀ¼À£ÀÄß ©r¸ÀĪÀ «zsÁ£ÀUÀ¼À£ÀÄß
£É£À¦¹PÉƼÉÆîÃt. ¥ÀjºÁgÀUÀ¼ÀÄ AiÀiÁªÀÅzÉà ¨sÁUÀ®§Þ ¸ÀASÉåUÀ¼ÁVgÀ§ºÀÄzÀÄ.
GzÁºÀgÀuÉ 1 : ©r¹j 2x - 3 = 7¥ÀjºÁgÀ ºÀAvÀ 1: JgÀqÀÆ PÀqÉ 3£ÀÄß ¸ÉÃj¹
2x - 3 + 3 = 7 + 3 (JgÀqÀÄ PÀqÉ ªÀåvÀåAiÀĪÁV®è)
2x = 10
ºÀAvÀ 2: JgÀqÀÆ PÀqÉ 2 jAzÀ ¨sÁV¹ 2 10
2 2
x= = 2 10
2 2
x=
x = 5 (¨ÉÃPÁzÀ ¥ÀjºÁgÀ)
42 UÀtÂvÀ
GzÁºÀgÀuÉ 2 : ©r¹j 2y + 9 = 4¥ÀjºÁgÀ : 9 £ÀÄß §®¨sÁUÀPÉÌ vÀAzÀgÉ
2y = 4 –9 2y = –5
JgÀqÀÆ PÀqÉ 2 jAzÀ ¨sÁV¹j 5
2y = −
F GvÀÛgÀªÀÅ ¸Àj¬ÄzÉAiÉÄà £ÉÆÃqÉÆÃt F ¨É¯ÉAiÀÄ£ÀÄß ¸À«ÄÃPÀgÀtzÀ°è y UÉ
PÉÆmÁÖUÀ ¸À«ÄÃPÀgÀtzÀ JqÀ¨sÁUÀ5
2 9 5 9 42
− = + = − + =
= ¸À«ÄÃPÀgÀtzÀ §®¨sÁUÀ
F ¥ÀjºÁgÀ ɯÉAiÀÄÄ sÁUÀ®§Þ ÀASÉåAiÉÄA§ÄzÀ£ÀÄß UÀªÀĤ¹. »A¢£À vÀgÀUÀwUÀ¼À°è ¤ÃªÀÅ ©r¹zÀ ¸À«ÄÃPÀgÀtUÀ½UÉ F jÃwAiÀÄ ¥ÀjºÁgÀ«gÀ°®è.
GzÁºÀgÀuÉ 3 : ©r¹j 5 3
3 2 2
x+ =−
¥ÀjºÁgÀ : 5
2ªÀ£ÀÄß §®¨sÁUÀPÉÌ vÀAzÀgÉ
3 5 8
3 2 2 2
x −= − = −
43
x= −
JgÀqÀÆ PÀqÉ 3 jAzÀ UÀÄt¹zÀgÉ x = –4 × 3 = –12 EzÀ£ÀÄß ¥ÀjÃQë¸ÉÆÃt. ¸À«ÄÃPÀgÀtzÀ JqÀ¨sÁUÀ
12 5 54
3 2 2= − + = − +
8 5 3
2 2
− + −= =
= ¸À«ÄÃPÀgÀtzÀ §®¨sÁUÀ
[¸À«ÄÃPÀgÀtzÀ ZÀgÁPÀëgÀUÀ¼À UÀÄuÁAPÀUÀ¼ÀÄ ¥ÀÆuÁðAPÀUÀ¼Éà DVgÀ¨ÉÃQ®è JAzÀÄ F GzÁºÀgÀuÉAiÀÄ°è w½AiÀÄĪÀÅzÀÄ]
GzÁºÀgÀuÉ 4 : ©r¹j 15
7 94
x− =
¥ÀjºÁgÀ : 15
7 94
x− = = 9
MAzÀÄ ZÀgÁPÀëgÀªÀżÀî gÉÃSÁvÀäPÀ ¸À«ÄÃPÀgÀtUÀ¼ÀÄ 43
15
4 £ÀÄß §®UÀqÉUÉ ªÀUÁð¬Ä¹zÀgÉ
-7x = 9 -157 9
4x− = −
-7x =217
4x− =
JgÀqÀÄ PÀqÉ -7 jAzÀ ¨sÁV¹zÀgÉ 21
4 ( 7)x = −
× −
3 7
4 7x
×= −
×
3
4x = −
FUÀ F ¨É¯ÉAiÀÄ ¥ÀjÃPÉë : JqÀ ¨sÁUÀ 15 3 15 21
74 4 4 4
− = − = +
= 36
94
= = = §®¨sÁUÀ
C¨sÁå¸À 3.1
PɼÀV£À ¸À«ÄÃPÀgÀtUÀ¼À£ÀÄß ©r¹j:
1 x – 2 = 7 2. y + 3 = 10
3. 6 = z +2 4. 3 17
7 7x+ =
5. 6x = 12 6. 105
t=
7. 218
3
x= 8. 1.6
1.5
y=
9. 7x - 9 = 16 10. 14y – 8 = 13
11. 17 + 6p = 9 12. 71
3 15
x+ =
44 UÀtÂvÀ
3.3 PÉ®ªÀÅ C£ÀéAiÀÄUÀ¼ÀÄ:
£ÁªÀÅ MAzÀÄ GzÁºÀgÀuÉAiÉÆA¢UÉ DgÀA©ü¸ÉÆÃt
JgÀqÀÄ ¸ÀASÉåUÀ¼À ªÉÆvÀÛ 74. CªÀÅUÀ¼À°è MAzÀÄ E£ÉÆßAzÀQÌAvÀ 10 ºÉZÀÄÑ EzÉ. ºÁUÁzÀgÉ D ¸ÀASÉåUÀ¼ÀÄ AiÀiÁªÀŪÀÅ?
F ÀªÀĸÉåAiÀÄ°è £ÀªÀÄUÉ D JgÀqÀÄ ÀASÉåUÀ¼ÀÆ UÉÆwÛ®è, CªÀÅUÀ¼À£ÀÄß PÀAqÀÄ »rAiÀĨÉÃPÀÄ. £ÀªÀÄUÉ JgÀqÀÄ µÀgÀvÀÄÛUÀ¼À£ÀÄß ªÀiÁvÀæ PÉÆnÖzÉ.
(i) MAzÀÄ ¸ÀASÉå E£ÉÆßAzÀQÌAvÀ 10 ºÉaÑzÉ.
(ii) CªÀÅUÀ¼À ªÉÆvÀÛ 74.£ÁªÁUÀ¯Éà »A¢£À vÀgÀUÀwAiÀÄ°è F ¸ÀªÀĸÉåAiÀÄ£ÀÄß ºÉÃUÉ ©r¸À¨ÉÃPÉAzÀÄ w½¢zÉÝêÉ.
¸ÀtÚ ¸ÀASÉå x EgÀ°. E£ÉÆßAzÀÄ ¸ÀASÉå EzÀQÌAvÀ 10 ºÉZÀÄÑ CAzÀgÉ x + 10 DUÀÄvÀÛÀzÉ.FUÀ EªÀÅUÀ¼À ªÉÆvÀÛ 74.
DzÀÝjAzÀ x + (x+10) = 74 2x + 10 = 74 2x = 74 - 10 2x = 64 x = 32 EzÀÄ MAzÀÄ ¸ÀASÉå.
E£ÉÆßAzÀÄ ¸ÀASÉå x + 10 = 32 + 10 = 42DzÀÝjAzÀ £ÀªÀÄUÉ ¨ÉÃPÁzÀ ¸ÀASÉåUÀ¼ÀÄ 32 ªÀÄvÀÄÛ 42.
F «zsÁ£ÀªÀÅ JµÀÄÖ G¥ÀAiÀÄÄPÀÛªÉA§ÄzÀ£ÀÄß ªÀÄvÉÛ PÉ®ªÀÅ GzÁºÀgÀuÉUÀ¼À ªÀÄÆ®PÀ w½zÀÄPÉƼÉÆîÃt.
GzÁºÀgÀuÉ 5 : ¨sÁUÀ®§Þ ¸ÀASÉå 7
3
− gÀ JgÀqÀgÀµÀÄÖ ¸ÀASÉåUÉ AiÀiÁªÀ ¸ÀASÉåAiÀÄ£ÀÄß
¸ÉÃj¹zÀgÉ 3
7 DUÀÄvÀÛzÉ?
¥ÀjºÁgÀ : 7
3
−gÀ JgÀqÀgÀµÀÄÖ JAzÀgÉ
7 142 .
3 3
− −× = EzÀPÉÌ x ¸ÉÃj¹zÀgÉ 3
7 DUÀÄvÀÛzÉ
JAzÀÄ H»¸ÉÆÃt.
\ 7 32
3 7x
−× + =+ x = 7 32
3 7x
−× + = CAzÀgÉ,
14 3
3 7x
−+ =
14
3£ÀÄß §®UÀqÉ vÀAzÀgÉ
3 14 (3 3) (14 7) 9 98 107
7 3 21 21 21x
× + × += + = = =
DzÀÝjAzÀ × PÉÌ 107
21 £ÀÄß ¸ÉÃj¹zÀgÉ 3
7 DUÀÄvÀÛzÉ.
MAzÀÄ ZÀgÁPÀëgÀªÀżÀî gÉÃSÁvÀäPÀ ¸À«ÄÃPÀgÀtUÀ¼ÀÄ 45
GzÁºÀgÀuÉ 6 : MAzÀÄ DAiÀÄvÀzÀ ÀÄvÀÛ¼ÀvÉAiÀÄÄ 13 ÉA. «ÄÃ. CzÀgÀ CUÀ®ªÀÅ 3
24 ÉA.«ÄÃ.
ºÁUÁzÀgÉ CzÀgÀ GzÀݪÀ£ÀÄß PÀAqÀÄ»r¬Äj.
¥ÀjºÁgÀ : DAiÀÄvÀzÀ GzÀÝ x ¸ÉA. «ÄÃ. EgÀ°. CzÀgÀ ¸ÀÄvÀÛ¼ÀvÉ = 2x (GzÀÝ + CUÀ®)
=3 11
2 2 24 4
x x × + = +
= 3 11
2 2 24 4
x x × + = +
DAiÀÄvÀzÀ ¸ÀÄvÀÛ¼ÀvÉ = 13 ¸ÉA. «ÄÃ.
DzÀÝjAzÀ 11
24
x + =
= 13
JgÀqÀÆ PÀqÉ 2 jAzÀ ¨sÁV¹zÀgÉ,
11 13
4 2x+ = =
11 13
4 2x+ =
x =13 11
2 4x = −
= 26 11 15 3
34 4 4 4
= − = =
DzÀÝjAzÀ DAiÀÄvÀzÀ GzÀÝ 3
34 ¸ÉA. «ÄÃ.
GzÁºÀgÀuÉ 7 : ¸Á»¯ï£À vÁ¬ÄAiÀÄ FV£À ªÀAiÀĸÀÄì Á»¯ï£À FV£À ªÀAiÀĹì£À ªÀÄÆgÀgÀ¶ÖzÉ. 5 ªÀµÀðUÀ¼À £ÀAvÀgÀ CªÀj§âgÀ ªÀAiÀĹì£À ªÉÆvÀÛ 66 ªÀµÀðUÀ¼ÁUÀĪÀªÀÅ. ºÁUÁzÀgÉ CªÀgÀ FV£À ªÀAiÀĸÀÄìUÀ¼À£ÀÄß PÀAqÀÄ»r¬Äj.
¥ÀjºÁgÀ : ¸Á»¯ï£À FV£À ªÀAiÀĸÀÄì x EgÀ°.
F ÀªÀĸÉåAiÀÄ£ÀÄß ÉÃgÉÆAzÀÄ jÃwAiÀÄ°èAiÀÄÆ ¥ÀjºÀj¸À§ºÀÄzÀÄ. 5 ªÀµÀðUÀ¼À £ÀAvÀgÀzÀ ¸Á»¯ï£À ªÀAiÀĸÀÄì x JAzÀÄ H»¹PÉÆAqÀÄ EzÉà jÃw ªÀÄÄAzÀĪÀjAiÀħºÀÄzÀÄ. F jÃwAiÀÄ°è ¤ÃªÀÅ ¥ÀæAiÀÄwß¹.
¸Á»¯ï vÁ¬Ä ªÉÆvÀÛ
5 ªÀµÀðUÀ¼À £ÀAvÀgÀ
FV£À ªÀAiÀĸÀÄì x
x + 5
3x
3x + 5 4x + 10
F ªÉÆvÀÛªÀÅ 66 JAzÀÄ PÉÆnÖzÉ.
\4x + 10 = 66
46 UÀtÂvÀ
10£ÀÄß ¸À«ÄÃPÀgÀtzÀ §®UÀqÉUÉ vÀAzÀgÉ
4x = 66 – 10
x = 5614
4x = =
DzÀÝjAzÀ ¸Á»¯ï£À FV£À ªÀAiÀĸÀÄì 14 ªÀµÀðUÀ¼ÀÄ. vÁ¬ÄAiÀÄ ªÀAiÀĸÀÄì 3 ×14=42ªÀµÀðUÀ¼ÀÄ. (5 ªÀµÀðUÀ¼À £ÀAvÀgÀ CªÀj§âgÀ ªÀAiÀĸÀÄìUÀ¼À ªÉÆvÀÛ 66 ªÀµÀðUÀ¼ÉAzÀÄ ¤ÃªÀÅ ¸ÀÄ®¨sÀªÁV ¥ÀjÃQë¸À§ºÀÄzÀÄ.)
GzÁºÀgÀuÉ 8 : §¤ìAiÀÄ ºÀwÛgÀ 5 gÀÆ. £ÁtåUÀ¼ÉµÀÄÖ EgÀĪÀÅzÉÆà CzÀgÀ ªÀÄÆgÀgÀµÀÄÖ 2 gÀÆ. £ÁtåUÀ½ªÉ. CªÀÅUÀ¼À MlÄÖ ªÀiË®å 77 gÀÆ. UÀ¼ÀÄ. ºÁUÁzÀgÉ CªÀ£À ºÀwÛgÀ EgÀĪÀ 5 gÀÆ. £ÁtåUÀ¼ÉµÀÄÖ? 2 gÀÆ. £ÁtåUÀ¼ÉµÀÄÖ?
¥ÀjºÁgÀ : §¤ìAiÀÄ ºÀwÛgÀ EgÀĪÀ 5 gÀÆ. £ÁtåUÀ¼À ÀASÉå x EgÀ°. CzÀgÀ ªÀÄÆgÀgÀµÀÄÖ CAzÀgÉ 3x £ÀµÀÄÖ 2 gÀÆ. £ÁtåUÀ½ªÉ.
DzÀÝjAzÀ §¤ìAiÀÄ ºÀwÛgÀ EgÀĪÀ MlÄÖ ºÀt :
(i) 5 gÀÆ. £ÁtåUÀ½AzÀ 5x gÀÆ. UÀ¼ÀÄ (ii) 2 gÀÆ. £ÁtåUÀ½AzÀ 2 ×3x = 6x gÀÆ.CªÀ£À ºÀwÛgÀ EgÀĪÀ MlÄÖ ºÀt = 5x + 6x = 11xCªÀ£À ºÀwÛgÀ EgÀĪÀ MlÄÖ ºÀt 77 gÀÆ. UÀ¼ÀÄ.
\11x = 77 CxÀªÁ x = 7
\5 gÀÆ. £ÁtåUÀ¼À ¸ÀASÉå = x = 7 ªÀÄvÀÄÛ 2 gÀÆ. £ÁtåUÀ¼À ¸ÀASÉå = 3x = 21(FUÀ EzÀjAzÀ §¤ìAiÀÄ ºÀwÛgÀ JµÀÄÖ ºÀt EzÉAiÉÄA§ÄzÀ£ÀÄß ¤ÃªÀÅ ¯ÉPÀÌ ªÀiÁqÀ§ºÀÄzÀÄ)
GzÁºÀgÀuÉ 9 : 11gÀ ªÀÄÆgÀÄ C£ÀÄPÀæªÀÄ UÀÄtPÀUÀ¼À ªÉÆvÀÛ 363. F UÀÄtPÀUÀ¼À£ÀÄß PÀAqÀÄ»r¬Äj.
¥ÀjºÁgÀ : 11gÀ MAzÀÄ UÀÄtPÀ x EgÀ°. CzÀgÀ ªÀÄÄA¢£À JgÀqÀÄ UÀÄtPÀUÀ¼ÀÄ x + 11 ªÀÄvÀÄÛ x + 22
¨ÉÃPÁVgÀĪÀ 11 gÀ ªÀÄÆgÀÄ PÀæªÀiÁ£ÀÄUÀvÀ UÀÄtPÀUÀ¼À ªÉÆvÀÛ 363. EzÀÄ PɼÀPÀAqÀ ¸À«ÄÃPÀgÀtªÀ£ÀÄß PÉÆqÀÄvÀÛzÉ. x + (x + 11) + (x + 22) = 363 x + x + 11 + x + 22 = 363 3x + 33 = 363 3x = 363 - 33 3x = 330
EzÉà ¸ÀªÀĸÉåAiÀÄ£ÀÄß E£ÉÆßAzÀÄ jÃwAiÀÄ°èAiÀÄÆ §UɺÀj¸À§ºÀÄzÀÄ. 11 gÀ ªÀÄÆgÀÄ PÀæªÀiÁ£ÀÄUÀvÀ UÀÄtPÀUÀ¼À°è ªÀÄzsÀåzÀ ¸ÀASÉåAiÀÄÄ x EgÀ°. DUÀ F ªÀÄÆgÀÄ ¸ÀASÉåUÀ¼ÀÄ x - 11, ªÀÄvÀÄÛ x + 11\ (x – 11) + x + (x + 11) = 363 3x = 363
MAzÀÄ ZÀgÁPÀëgÀªÀżÀî gÉÃSÁvÀäPÀ ¸À«ÄÃPÀgÀtUÀ¼ÀÄ 47
x = 330110
3x = =
= 110
DzÀÝjAzÀ £ÀªÀÄUÉ ¨ÉÃPÁzÀ UÀÄtPÀUÀ¼ÀÄ 110, 121 ªÀÄvÀÄÛ 132.
x = 363121
3x = =
= 121
DzÀÝjAzÀ D ¸ÀASÉåUÀ¼ÀÄ x - 11 = 110, x = 121 ªÀÄvÀÄÛ x + 11£À = 132.
GzÁºÀgÀuÉ 10 : JgÀqÀÄ ¸ÀASÉåUÀ¼À ªÀåvÁå¸À 66 ªÀÄvÀÄÛ CªÀÅUÀ¼À C£ÀÄ¥ÁvÀ 2 : 5. D ¸ÀASÉåUÀ¼ÀÄ AiÀiÁªÀŪÀÅ?
¥ÀjºÁgÀ : JgÀqÀÆ ÀASÉåUÀ¼À C£ÀÄ¥ÁvÀ 2 : 5. DzÀÝjAzÀ CªÀÅUÀ¼À£ÀÄß 2x ªÀÄvÀÄÛ 5x JAzÀÄ H»¹PÉƼÀÀÄzÀÄ. (UÀªÀĤ¹ : 2x : 5x ªÀÄvÀÄÛ 2 : 5 JgÀqÀÆ MAzÉÃ)
EªÀÅUÀ¼À ªÀåvÁå¸À 66 JAzÀÄ PÉÆnÖzÉ.
DzÀÝjAzÀ, 5x – 2x = 66 3x = 66 x = 22
DzÀÝjAzÀ ¨ÉÃPÁzÀ ¸ÀASÉåUÀ¼ÀÄ 2x = 44 ªÀÄvÀÄÛ 5x = 110
(110 - 44 = 66 EzÀÄ £ÁªÀÅ EaÒ¹zÀ ªÀåvÁå¸ÀªÉà DVzÉ.)
GzÁºÀgÀuÉ 11 : zÉêÉòAiÀÄ ºÀwÛgÀ gÀÆ 50, gÀÆ 20 ªÀÄvÀÄÛ 10 gÀÆ. ªÀiË®åUÀ¼À MlÄÖ 590 gÀÆ¥Á¬Ä ¨É¯ÉAiÀÄ £ÉÆÃlÄUÀ½ªÉ. CªÀÅUÀ¼À°è 50 gÀÆ. 20 gÀÆ. UÀ¼À ªÀiË®åzÀ £ÉÆÃlÄUÀ¼À ¸ÀASÉåUÀ¼ÀÄ 3 : 5 C£ÀÄ¥ÁvÀzÀ°èªÉ. CªÀ¼À §½ MlÄÖ 25 £ÉÆÃlÄUÀ½zÀÝgÉ ¥Àæw ªÀiË®åzÀ £ÉÆÃlÄUÀ¼ÀÄ JµÀÄÖ EªÉ?
¥ÀjºÁgÀ : 50ªÀÄvÀÄÛ 20 gÀÆ. ªÀiË®åUÀ¼À £ÉÆÃlÄUÀ¼À ¸ÀASÉåUÀ¼ÀÄ PÀæªÀĪÁV 3x ªÀÄvÀÄÛ 5x JAzÀÄ H»¹PÉƼÉÆîÃt.
CªÀ¼À ºÀwÛgÀ EgÀĪÀ ºÀt MlÄÖ 25 £ÉÆÃlÄUÀ½ªÉ. DUÀ 10 gÀÆ. £ÉÆÃlÄUÀ¼À ÀASÉå
= 25 - (3x + 5x)
= 25 - 8x FUÀ CªÀ¼À ºÀwÛgÀ EgÀĪÀ ºÀt :
50 gÀÆ. £ÉÆÃlÄUÀ¼À ¨É¯É 3x × 50 = 150x 20 gÀÆ. £ÉÆÃlÄUÀ¼À ¨É¯É 5x × 20 = 100x 10 gÀÆ. £ÉÆÃlÄUÀ¼À ¨É¯É (25 - 8x) × 10 = 250 - 80x
\CªÀ¼À ºÀwÛgÀ EgÀĪÀ MlÄÖ ºÀt = 150x + 100x + (250 - 80x) = 170x + 250
48 UÀtÂvÀ
\ 170x + 250 = 590 170x = 590 - 250 = 340
340
2170
x = =
50 gÀÆ. £ÉÆÃlÄUÀ¼ÀÄ = 3x = 3 × 2=620 gÀÆ. £ÉÆÃlÄUÀ¼ÀÄ = 5x = 5 × 2=1010 gÀÆ. £ÉÆÃlÄUÀ¼ÀÄ = 25 - 8x
= 25 - (8 × 2) = 25 - 16 = 9
C¨sÁå¸À 3.2
1. MAzÀÄ ¸ÀASÉå¬ÄAzÀ 1
2£ÀÄß PÀ¼ÉzÀÄ §AzÀ ªÀåvÁå¸ÀªÀ£ÀÄß
1
2¢AzÀ
UÀÄt¹zÀgÉ 1
8§gÀĪÀÅzÀÄ. D ¸ÀASÉå AiÀiÁªÀÅzÀÄ?
2. DAiÀÄvÁPÁgÀzÀ FdÄPÉƼÀªÉÇAzÀgÀ ¸ÀÄvÀÛ¼ÀvÉ 154 «ÄÃlgï. CzÀgÀ GzÀݪÀÅ CUÀ®zÀ JgÀqÀgÀµÀÖQÌAvÀ 2 «ÄÃlgï eÁ¹Û EzÉ. ºÁUÁzÀgÉ CzÀgÀ GzÀÝ ªÀÄvÀÄÛ CUÀ®UÀ¼À£ÀÄß PÀAqÀÄ»r¬Äj.
3. ¸ÀªÀÄ¢é¨ÁºÀÄ wæ¨sÀÄdªÉÇAzÀgÀ ¥ÁzÀªÀÅ 4
3¸ÉA. «ÄÃ. EzÉ. wæ¨sÀÄdzÀ
¸ÀÄvÀÛ¼ÀvÉ 2
415
¸ÉA. «ÄÃ. EzÉ. G½zÀ ¸ÀªÀĨsÀÄdUÀ¼À°è
AiÀiÁªÀÅzÁzÀgÉÆAzÀgÀ GzÀݪɵÀÄÖ?
4. JgÀqÀÄ ¸ÀASÉåUÀ¼À ªÉÆvÀÛ 95. MAzÀÄ E£ÉÆßAzÀQÌAvÀ 15 ºÉZÁÑVzÀÝgÉ D ¸ÀASÉåUÀ¼À£ÀÄß PÀAqÀÄ»r¬Äj.
5. JgÀqÀÄ ¸ÀASÉåUÀ¼ÀÄ 5 : 3 C£ÀÄ¥ÁvÀzÀ°èªÉ. CªÉgÀqÀgÀ ªÀåvÁå¸À 18 DzÀgÉ, D ¸ÀASÉåUÀ¼ÀÄ AiÀiÁªÀŪÀÅ?
6. ªÀÄÆgÀÄ PÀæªÀiÁ£ÀÄUÀvÀ ¥ÀÆuÁðAPÀUÀ¼À ªÉÆvÀÛ 51. D ¥ÀÆuÁðAPÀUÀ¼ÁªÀŪÀÅ?
7. 8 gÀ ªÀÄÆgÀÄ PÀæªÀiÁ£ÀÄUÀvÀ UÀÄtPÀUÀ¼À ªÉÆvÀÛ 888. D UÀÄtPÀUÀ¼À£ÀÄß PÀAqÀÄ»r¬Äj.
8. KjPÉ PÀæªÀÄzÀ°ègÀĪÀ ªÀÄÆgÀÄ PÀæªÀiÁ£ÀÄUÀvÀ ¥ÀÆuÁðAPÀUÀ¼À£ÀÄß PÀæªÀĪÁV 2,3 ªÀÄvÀÄÛ 4 jAzÀ UÀÄt¹zÁUÀ §gÀĪÀ ¸ÀASÉåUÀ¼À ªÉÆvÀÛ 74. D ¥ÀÆuÁðAPÀUÀ¼ÀÄ AiÀiÁªÀŪÀÅ?
MAzÀÄ ZÀgÁPÀëgÀªÀżÀî gÉÃSÁvÀäPÀ ¸À«ÄÃPÀgÀtUÀ¼ÀÄ 49
9. gÁºÀÄ¯ï ªÀÄvÀÄÛ ºÀgÀÆ£ï EªÀj§âgÀ ªÀAiÀĸÀÄìUÀ¼ÀÄ 5 : 7 C£ÀÄ¥ÁvÀzÀ°èªÉ. £Á®ÄÌ ªÀµÀðUÀ¼À £ÀAvÀgÀ CªÀgÀ ªÀAiÀĸÀÄìUÀ¼À ªÉÆvÀÛ 56 DUÀÄvÀÛzÉ. CªÀgÀ FV£À ªÀAiÀĸÉìµÀÄÖ?
10. vÀgÀUÀwAiÉÆAzÀgÀ°è ¨Á®PÀgÀÄ ªÀÄvÀÄÛ ¨Á®QAiÀÄgÀ ¸ÀASÉåUÀ¼ÀÄ 7:5gÀ C£ÀÄ¥ÁvÀzÀ°èªÉ. ¨Á®QAiÀÄgÀ ¸ÀASÉåVAvÀ ¨Á®PÀgÀ ¸ÀASÉå 8 eÁ¹Û DVzÉ. ºÁUÁzÀgÉ vÀgÀUÀwAiÀÄ°è MlÄÖ «zÁåyðUÀ¼À ¸ÀASÉå JµÀÄÖ?
11. ¨ÉÊZÀÄAUÀ£À C¥Àà ¨ÉÊZÀÄAUÀ£À CdÓ¤VAvÀ 26 ªÀµÀð aPÀ̪À£ÀÄ ªÀÄvÀÄÛ ¨ÉÊZÀÄAUÀ¤VAvÀ 29 ªÀµÀð zÉÆqÀتÀ£ÀÄ. ªÀÄƪÀgÀ ªÀAiÀĸÀÄìUÀ¼À ªÉÆvÀÛ 135 ªÀµÀðUÀ¼ÀÄ. ºÁUÁzÀgÉ ¥ÀæwAiÉƧâgÀ ªÀAiÀĸÉìµÀÄÖ?
12. FV¤AzÀ 15 ªÀµÀðUÀ¼À £ÀAvÀgÀ gÀ«AiÀÄ ªÀAiÀĸÀÄì CªÀ£À EA¢£À ªÀAiÀĹì£À 4 gÀµÁÖUÀĪÀÅzÀÄ. gÀ«AiÀÄ FV£À ªÀAiÀĸÉìµÀÄÖ?
13. MAzÀÄ ¨sÁUÀ®§Þ ¸ÀASÉåAiÀÄ£ÀÄß 5
2jAzÀ UÀÄt¹ §AzÀ UÀÄt®§ÞPÉÌ
2
3£ÀÄß ¸ÉÃj¹zÀgÉ
712
- DUÀÄvÀÛzÉ. ºÁUÁzÀgÉ D ¸ÀASÉå AiÀiÁªÀÅzÀÄ?
14. ®Qëöä ¨ÁåAPÉÆAzÀgÀ°è £ÀUÀzÀÄ UÀĪÀiÁ¸ÀÛ¼ÁVzÁݼÉ. CªÀ¼À §½ 100 gÀÆ., 50 gÀÆ. ªÀÄvÀÄÛ 10 gÀÆ. ªÀiË®åzÀ £ÉÆÃlÄUÀ½ªÉ. EªÀÅUÀ¼À ¸ÀASÉåUÀ¼ÀÄ 2 : 3 : 5 C£ÀÄ¥ÁvÀzÀ°èªÉ. ®QëöäAiÀÄ §½ EgÀĪÀ ºÀtzÀ MlÄÖ ªÀiË®å 4,00,000 gÀÆ. UÀ¼ÁzÀgÉ ¥Àæw ªÀiË®åzÀ £ÉÆÃlÄUÀ¼ÀÄ CªÀ¼À §½ JµÀÄÖ EªÉ?
15. £À£Àß §½ EgÀĪÀ 1,2 ªÀÄvÀÄÛ 5 gÀÆ.UÀ¼À £ÁtåUÀ¼À MlÄÖ ªÀiË®å 300 gÀÆ. UÀ¼ÀÄ. 5 gÀÆ. £ÁtåUÀ¼À 3 ¥ÀlÄÖ 2 gÀÆ. £ÁtåUÀ½ªÉ. J®è £ÁtåUÀ¼À MlÄÖ ÀASÉå 160. ¥ÀæwAiÉÆAzÀÆ ªÀiË®åzÀ £ÁtåUÀ¼É¶ÖªÉ?
16. ¥Àæ§AzsÀ ¸ÀàzsÉðAiÉÆAzÀgÀ°è UÉzÀݪÀ¤UÉ 100 gÀÆ. §ºÀĪÀiÁ£À ªÀÄvÀÄÛ ¸ÀàzsÉðAiÀÄ°è ÉÆÃvÀªÀjUÉ 25 gÀÆ. §ºÀĪÀiÁ£ÀªÉAzÀÄ ¤zsÀðj¹zÁÝgÉ. ºÀAazÀ §ºÀĪÀiÁ£ÀzÀ MlÄÖ ºÀt 3,000 gÀÆ. UÀ¼ÀÄ ¸ÀàzsÉðAiÀÄ°è MlÄÖ 63 d£À ¨sÁUÀªÀ»¹zÀÝgÉ, UÉzÀݪÀgɵÀÄÖ d£À?
3.4 JgÀqÀÆ PÀqÉ ZÀgÁPÀëgÀ«gÀĪÀ ¸À«ÄÃPÀgÀtUÀ¼À£ÀÄß ©r¸ÀĪÀ «zsÁ£À
MAzÀÄ ¸À«ÄÃPÀgÀtªÀÅ JgÀqÀÄ ¥ÀzÉÆÃQÛUÀ¼À ¨É¯ÉUÀ¼À ¸ÀªÀÄvÉAiÀÄ£ÀÄß ºÉüÀÄvÀÛzÉ. 2x-3 = 7 ¸À«ÄÃPÀgÀtzÀ°è EgÀĪÀ JgÀqÀÄ ¥ÀzÉÆÃQÛUÀ¼ÉAzÀgÉ 2x-3 ªÀÄvÀÄÛ 7. £ÁªÀÅ EzÀĪÀgÉUÉ ¥ÀjUÀt¹zÀ ¸À«ÄÃPÀgÀtUÀ¼À §®UÀqÉ PÉêÀ® ÀASÉåUÀ½zÀݪÀÅ. DzÀgÉ EzÀÄ AiÀiÁªÁUÀ®Æ »ÃUÉAiÉÄà EgÀ¨ÉÃPÁV®è. ¸À«ÄÃPÀgÀtzÀ JgÀqÀÆ PÀqÉ EgÀĪÀ ¥ÀzÉÆÃQÛUÀ¼À°è ZÀgÁPÀëgÀUÀ¼ÀÄ EgÀ§ºÀÄzÀÄ. GzÁºÀgÀuÉUÉ 2x-3 = x+2. F ¸À«ÄÃPÀgÀtzÀ°è JgÀqÀÆ PÀqÉ EgÀĪÀ ¥ÀzÉÆÃQÛUÀ¼À°è ZÀgÁPÀëgÀ«zÉ. JqÀUÀqÉ EgÀĪÀ ¥ÀzÉÆÃQÛ 2x-3 ªÀÄvÀÄÛ §®UÀqÉ EgÀĪÀ ¥ÀzÉÆÃQÛ x+2.
FUÀ F jÃw JgÀqÀÆ PÀqÉ ZÀgÁPÀëgÀ«gÀĪÀ ¸À«ÄÃPÀgÀtUÀ¼À£ÀÄß ©r¸ÀĪÀ «zsÁ£ÀUÀ¼À£ÀÄß ZÀað¸ÉÆÃt.
50 UÀtÂvÀ
GzÁºÀgÀuÉ 12 : ©r¹j 2x - 3 = x + 2¥ÀjºÁgÀ : 2x - 3 = x + 2 2x = x + 2 + 3 2x - x = x + 5 - x (JgÀqÀÆ PÀqɬÄAzÀ x PÀ¼É¢zÉ) x = 5
E°è ¸À«ÄÃPÀgÀtzÀ JgÀqÀÆ PÀqɬÄAzÀ ZÀgÁPÀë«gÀĪÀ ¥ÀzÀªÀ£ÀÄß PÀ¼É¢zÉÝêÉ. PÉêÀ® ¸ÀASÉåAiÀÄ£Àß®è. KPÉAzÀgÉ ZÀgÁPÀëgÀUÀ¼ÀÄ ÀºÀ ÀASÉåUÀ¼ÉÃ. C®èzÉ, À«ÄÃPÀgÀtzÀ JgÀqÀÆ PÀqɬÄAzÀ x £ÀÄß PÀ¼ÉAiÀÄĪÀÅzÀÆ ªÀÄvÀÄÛ x £ÀÄß JqÀUÀqÉUÉ ªÀUÁð¬Ä¸ÀĪÀÅzÀÆ MAzÉà JA§ÄzÀ£ÀÄß UÀªÀĤ¹.
GzÁºÀgÀuÉ 13 : ©r¹j 7 3
5 142 2
x x+ = −
¥ÀjºÁgÀ : F ¸À«ÄÃPÀgÀtzÀ JgÀqÀÆ PÀqÉ 2 jAzÀ UÀÄt¹zÀgÉ
7 32 5 2 14
2 2x x
× + = × − =
7 32 5 2 14
2 2x x
× + = × −
( ) ( )7 32 5 2 2 2 14
2 2x x
× + × = × − × = ( ) ( )7 3
2 5 2 2 2 142 2
x x × + × = × − ×
10x + 7 = 3x - 28 3x £ÀÄß JqÀ¨ÁUÀPÉÌ vÀAzÀgÉ 10x - 3x + 7 = - 28 7x + 7 = - 28 7x = - 28 - 7 7x = - 35
x = 35
7x
−= CxÀªÁ x = -5
C¨sÁå¸À 3.3
PɼÀV£À ¸À«ÄÃPÀgÀtUÀ¼À£ÀÄß ©r¹ ¤ªÀÄä GvÀÛgÀUÀ¼À£ÀÄß ¥ÀjÃQë¹j.
1. 3x = 2x + 18 2. 5t – 3 = 3t – 5
3. 5x + 9 = 5 + 3x 4. 4z + 3 = 6 + 2z
5. 2x – 1 = 14 – x 6. 8x + 4 = 3 (x – 1) + 7
7. 4( 10)
5x x= + 8. 2 7
1 33 15
x x+ = +
9. 5 262
3 3y y+ = − 10.
83 5
5m m= −
MAzÀÄ ZÀgÁPÀëgÀªÀżÀî gÉÃSÁvÀäPÀ ¸À«ÄÃPÀgÀtUÀ¼ÀÄ 51
3.5 ºÉaÑ£À C£ÀéAiÀÄUÀ¼ÀÄ
GzÁºÀgÀuÉ 14 : 2-CAQ ¸ÀASÉåAiÉÆAzÀgÀ CAQUÀ¼À ªÀåvÁå¸ÀªÀÅ 3. F CAQUÀ¼À£ÀÄß CzÀ®Ä §zÀ®Ä ªÀiÁrzÁUÀ §gÀĪÀ ¸ÀASÉå ªÀÄvÀÄÛ ªÉÆzÀ°£À ¸ÀASÉåUÀ¼À ªÉÆvÀÛ 143. ºÁUÁzÀgÉ ªÀÄÆ® ¸ÀASÉå K£ÀÄ?
¥ÀjºÁgÀ : GzÁºÀgÀuÉUÉ ÀASÉå 56 £ÀÄß vÉUÉzÀÄPÉÆAqÀgÉ CzÀ£ÀÄß (10 x 5) + 6 JAzÀÄ §gÉAiÀħºÀÄzÀÄ. EzÉà ¸ÀASÉåAiÀÄ CAQUÀ¼À£ÀÄß CzÀ®Ä §zÀ®Ä ªÀiÁrzÀgÉ §gÀĪÀ ¸ÀASÉå 65 = (10 × 6) + 5
FUÀ £ÀªÀÄUÉ ¨ÉÃPÁzÀ ¸ÀASÉåAiÀÄ ©r ¸ÁÜ£ÀzÀ°ègÀĪÀ CAQ b EgÀ°. ºÀvÀÛgÀ ¸ÁÜ£ÀzÀ CAQUÀÆ ªÀÄvÀÄÛ b UÀÆ 3 ªÀåvÁå¸À«zÉAiÉÄAzÀÄ PÉÆnÖzÉ. DzÀÝjAzÀ ºÀvÀÛgÀ ¸ÁÜ£ÀzÀ CAQAiÀÄÄ b + 3. DzÀÝjAzÀ D JgÀqÀÄ CAQAiÀÄ ¸ÀASÉå = 10(b + 3) + b
= 10b + 30 + b = 11b + 30 F ¸ÀASÉåAiÀÄ CAQUÀ¼À£ÀÄß CzÀ®Ä §zÀ®Ä
ªÀiÁrzÀgÉ §gÀĪÀ ¸ÀASÉå = 10b + (b + 3)
= 11b + 3 EªÉgÀqÀÆ ¸ÀASÉåUÀ¼À ªÉÆvÀÛ = (11b + 30) +
(11b + 3) = 22b + 33 =
143
\ 22b = 143 – 33 = 110
1105.
22b∴ = =
\ F ¸ÀASÉåAiÀÄ ©r ¸ÁÜ£ÀzÀ CAQ 5 ªÀÄvÀÄÛ ºÀvÀÛgÀ ¸ÁÜ£ÀzÀ°è 8 EgÀÄvÀÛzÉ.
\ D ¸ÀASÉåAiÀÄÄ 85.
GvÀÛgÀzÀ ¥ÀjÃPÉë : F ¸ÀASÉåAiÀÄ CAQUÀ¼À£ÀÄß CzÀ®Ä §zÀ®Ä ªÀiÁrzÀgÉ §gÀĪÀ ¸ÀASÉå 58. ªÀÄvÀÄÛ 85 + 58 = 143.
GzÁºÀgÀuÉ 15 : CdÄð£À£ÀÄ ²æAiÀiÁ¼À JgÀqÀgÀµÀÄÖ zÉÆqÀتÀ£ÀÄ. 5 ªÀµÀðUÀ¼À »AzÉ CdÄð£À£ÀÄ ²æAiÀiÁ¼À ªÀÄÆgÀgÀµÀÄÖ zÉÆqÀتÀ¤zÀÝ£ÀÄ. ºÁUÁzÀgÉ CªÀj§âgÀ FV£À ªÀAiÀĸÉìµÀÄÖ?
¥ÀjºÁgÀ : ²æAiÀiÁ¼À FV£À ªÀAiÀĸÀÄì EgÀ°. CdÄð£À£À FV£À ªÀAiÀĸÀÄì 2x DUÀĪÀÅzÀÄ. 5 ªÀµÀðUÀ¼À »AzÉ EªÀgÀ ªÀAiÀĸÀÄì PÀæªÀĪÁV x - 5 ªÀÄvÀÄÛ 2x - 5 DVvÀÄÛ. 5 ªÀµÀðUÀ¼À »AzÉ CdÄð£À£ÀÄ ²æAiÀiÁ½VAvÀ ªÀÄÆgÀgÀµÀÄÖ zÉÆqÀتÀ¤zÀÝ£ÉAzÀÄ PÉÆnÖzÉ.
ºÀvÀÛgÀ ¸ÁÜ£ÀzÀ CAQAiÀÄÄ ©r¸ÁÜ£ÀzÀ°è£À CAQVAvÀ 3 ºÉZÀÄÑ vÉUÉzÀÄPÉÆAqÁUÀ F ¥ÀjºÁgÀ §A¢zÉAiÉÄA§ÄzÀÄ £É£À¦gÀ°. ºÀvÀÛgÀ ¸ÁÜ£ÀzÀ
CAQAiÀÄ£ÀÄß (b-3) JAzÀÄ vÉUÉzÀÄPÉÆAqÀgÉ K£ÁUÀÄvÀÛzÉ?
F GzÁºÀgÀuÉAiÀÄ GQÛAiÀÄÄ 58 ªÀÄvÀÄÛ 85 JgÀqÀÆ
¸ÀASÉåUÀ¼À£ÀÄß vÉUÉzÀÄPÉÆAqÁUÀ ¸ÀjAiÀiÁVgÀÄvÀÛzÉ ªÀÄvÀÄÛ JgÀqÀÆ ¸ÀºÀ ¸ÀjAiÀiÁzÀ GvÀÛgÀUÀ¼ÀÄ
ºÀvÀÛgÀ ¸ÁÜ£ÀzÀ°è (b-3)AiÀÄ£ÀÄß £ÁªÀÅ vÉUÉzÀÄPÉƼÀÀÄzÉÃ? EzÀ£ÀÄß ¥ÀæAiÀÄwß¹ ¥ÀjºÁgÀªÀ£ÀÄß £ÉÆÃrj.
52 UÀtÂvÀ
\ 2x - 5 = 3 (x- 5) = 3x - 15 15 - 5 = 3x - 2x 10 = x DzÀÝjAzÀ ²æAiÀiÁ¼À FV£À ªÀAiÀĸÀÄì 10 ªÀµÀðUÀ¼ÀÄ ªÀÄvÀÄÛ CdÄð£À£À FV£À ªÀAiÀĸÀÄì
= 2x = 2 × 10 = 20 ªÀµÀðUÀ¼ÀÄ
C¨sÁå¸À 3.4
1. C«ÄãÁ¼ÀÄ MAzÀÄ ¸ÀASÉåAiÀÄ£ÀÄß H»¹PÉÆAqÀÄCzÀgÀ°è5
2£ÀÄß
PÀ¼ÉzÀgÉ §AzÀ ªÀåvÁå¸ÀªÀ£ÀÄß 8 jAzÀ UÀÄt¹zÁUÀ §AzÀ UÀÄt®§Þ H»¹zÀ ÀASÉåAiÀÄ 3 gÀ¶ÖgÀÄvÀÛzÉ. H»¹zÀ ÀASÉå AiÀiÁªÀÅzÀÄ?
2. zsÀ£À¸ÀASÉåAiÉÆAzÀÄ E£ÉÆßAzÀÄ ¸ÀASÉåAiÀÄ 5 gÀ¶ÖzÉ. JgÀqÀÆ ¸ÀASÉåUÀ½UÉ 21 ¸ÉÃj¹zÁUÀ JgÀqÀÄ ¸ÀASÉåUÀ¼À°è MAzÀÄ E£ÉÆßAzÀgÀ JgÀqÀgÀµÁÖUÀÄvÀÛzÉ. D ¸ÀASÉåUÀ¼ÁªÀŪÀÅ?
3. JgÀqÀÄ CAQAiÀÄ ¸ÀASÉåAiÉÆAzÀgÀ CAQUÀ¼À ªÉÆvÀÛ 9. D CAQUÀ¼À£ÀÄß CzÀ®Ä §zÀ®Ä ªÀiÁrzÁUÀ §gÀĪÀ ¸ÀASÉåAiÀÄÄ ªÀÄÆ® ¸ÀASÉåVAvÀ 27 eÁ¹Û¬ÄzÉ. D ¸ÀASÉåUÀ¼ÁªÀŪÀÅ?
4. 2-CAQAiÀÄ ¸ÀASÉåAiÉÆAzÀgÀ°è MAzÀÄ CAQAiÀÄÄ E£ÉÆßAzÀgÀ ªÀÄÆgÀgÀ¶ÖzÉ. CzÀgÀ CAQUÀ¼À£ÀÄß CzÀ®Ä §zÀ®Ä ªÀiÁrzÀgÉ §gÀĪÀ ¸ÀASÉåAiÀÄ£ÀÄß ªÀÄÆ® ¸ÀASÉåUÉ ¸ÉÃj¹zÀ ªÉÆvÀÛ 88. ªÀÄÆ® ¸ÀASÉå AiÀiÁªÀÅzÀÄ?
5. ±ÉÆèÉÆë£À vÁ¬ÄAiÀÄ FV£À ªÀAiÀĸÀÄì ±ÉÆèÉÆ«£À ªÀAiÀĹì£À 6 gÀ¶ÖzÉ. 5 ªÀµÀðzÀ £ÀAvÀgÀ ±ÉÆèÉÆë£À ªÀAiÀĸÀÄì CªÀ£À vÁ¬ÄAiÀÄ ªÀAiÀĹì£À ªÀÄÆgÀ£É MAzÀgÀµÁÖUÀÄvÀÛzÉ. CªÀj§âgÀ FV£À ªÀAiÀĸÉìµÀÄÖ?
6. ªÀiÁºÀÄ° UÁæªÀÄzÀ°è ±Á¯ÉAiÉÆAzÀPÁÌV MAzÀÄ ÀtÚ DAiÀÄvÁPÁgÀzÀ eÁUÀ«zÉ. CzÀgÀ GzÀÝ ªÀÄvÀÄÛ CUÀ®UÀ¼ÀÄ 11 : 4 C£ÀÄ¥ÁvÀzÀ°èªÉ. MAzÀÄ «ÄÃljUÉ 100 gÀÆ. UÀ¼ÀAvÉ CzÀgÀ ¸ÀÄvÀÛ®Æ ¨Éð ºÁQ¸À®Ä Hj£À ¥ÀAZÁ¬ÄwUÉ 75000 gÀÆ¥Á¬ÄUÀ¼ÀµÀÄÖ RZÁðUÀĪÀÅzÀÄ. ºÁUÁzÀgÉ eÁUÀzÀ DAiÀiÁªÀÄUÀ¼ÉµÀÄÖ?
7. ºÀ¸À£ï ±Á¯Á ªÀÄPÀ̽UÁV JgÀqÀÄ jÃwAiÀÄ §mÉÖUÀ¼À£ÀÄß Rjâ¸ÀÄvÁÛ£É. µÀgÀn£À §mÉÖUÉ «ÄÃljUÉ 50 gÀÆ. UÀ¼ÀÆ ªÀÄvÀÄÛ ¥ÁåAn£À §mÉÖ «ÄÃljUÉ 90 gÀÆ. UÀ¼ÀÆ vÀUÀÄ®ÄvÀÛªÉ. CªÀ£ÀÄ Rjâ¸ÀĪÀ ¥Àæw 3 «ÄÃlgï µÀgÀn£À §mÉÖAiÀÄ eÉÆvÉ 2 «ÄÃlgï ¥ÁåAn£À §mÉÖ Rjâ¸ÀÄvÁÛ£É. D£ÀAvÀgÀ PÀæªÀĪÁV 12% ªÀÄvÀÄÛ 10% ¯Á¨sÀzÀ ªÉÄÃ¯É ªÀiÁgÀÄvÁÛ£É. CªÀ£À MlÄÖ ªÀiÁgÁlzÀ É¯É 36600 gÀÆ¥Á¬ÄUÀ¼ÁzÀgÉ ºÀ¸À£ï Rjâ¹zÀ ¥ÁåAn£À §mÉÖ JµÀÄÖ?
MAzÀÄ ZÀgÁPÀëgÀªÀżÀî gÉÃSÁvÀäPÀ ¸À«ÄÃPÀgÀtUÀ¼ÀÄ 53
8. fAPÉUÀ¼À UÀÄA¥ÉÆAzÀgÀ°è CzsÀðzÀµÀÄÖ fAPÉUÀ¼ÀÄ ªÉÄÊzÁ£ÀzÀ°è ªÉÄÃAiÀÄÄwÛªÉ. G½zÀ fAPÉUÀ¼À°è £Á®Ì£Éà ªÀÄÆgÀgÀµÀÄÖ ºÀwÛgÀzÀ°è Dl DqÀÄwÛªÉ. G½zÀ 9 fAPÉUÀ¼ÀÄ PÉƼÀzÀ°è ¤ÃgÀÄ PÀÄrAiÀÄÄwÛªÉ. UÀÄA¦£À°ègÀĪÀ fAPÉUÀ¼À MlÄÖ ¸ÀASÉåAiÀÄ£ÀÄß PÀAqÀÄ »r¬Äj.
9. M§â CdÓ£ÀÄ vÀ£Àß ªÉƪÉÆäUÀ¼À ºÀvÀÛgÀµÀÄÖ zÉÆqÀتÀ£ÀÄ. CªÀ½VAvÀ CªÀ£ÀÄ 54 ªÀµÀð zÉÆqÀتÀ£ÀÄ. ºÁUÁzÀgÉ CªÀgÀ FV£À ªÀAiÀĸÀÄìUÀ¼ÉµÀÄÖ?
10. CªÀÄ£ï£À ªÀAiÀĸÀÄì CªÀ£À ªÀÄUÀ£À ªÀAiÀĹìVAvÀ ªÀÄÆgÀgÀ¶ÖzÉ. 10 ªÀµÀðUÀ¼À »AzÉ CªÀ£À ªÀAiÀĸÀÄì CªÀ£À ªÀÄUÀ£À ªÀAiÀĹìVAvÀ LzÀgÀ¶ÖvÀÄÛ. CªÀj§âgÀ FV£À ªÀAiÀĸÀÄìUÀ¼ÉµÀÄÖ?
3.6 ¸À«ÄÃPÀgÀtUÀ¼À£ÀÄß ¸ÀÄ®¨sÀ gÀÆ¥ÀPÉÌ vÀgÀĪÀÅzÀÄ.
GzÁºÀgÀuÉ 16 : ©r¹j 6 1 3
13 6
x x+ −+ =
¥ÀjºÁgÀ : À«ÄÃPÀgÀtzÀ JgÀqÀÆ PÀqÉ 6 jAzÀ UÀÄt¹zÀgÉ
( ) ( )6 6 1 6 3
6 13 6
x x+ −+ × =
2(6x + 1) + 6 = x – 3 12x + 2 + 6 = x – 3 12x + 8 = x – 3 12x – x + 8 = –3 11x + 8 = –3 11x = –3 – 8 11x = –11 x = -1 FUÀ GvÀÛgÀªÀ£ÀÄß ¥ÀjÃQë¸ÉÆÃt
À«ÄÃPÀgÀtzÀ JqÀ¨sÁUÀ = ( )6 1 1 6 1 2
1 13 3 3
× − + − ++ = + = −
À«ÄÃPÀgÀtzÀ §®¨sÁUÀ = ( )1 3 4 2
6 6 3
− − − −= =
DzÀÝjAzÀ JgÀqÀÆ PÀqÉUÀ¼ÀÄ ¸ÀªÀĪÁVªÉ
6 jAzÀ UÀÄt¹zÀÄÝ KPÉ? CzÀÄ ¸À«ÄÃPÀgÀtzÀ JgÀqÀÆ PÀqÉAiÀÄ bÉÃzÀUÀ¼À ®.¸Á.C.
54 UÀtÂvÀ
GzÁºÀgÀuÉ 17 : ©r¹j 5x – 2 (2x – 7) = 2 (3x – 1) + 7
2
¥ÀjºÁgÀ : DªÀgÀtUÀ¼À£ÀÄß ©r¹zÀgÉ ¸À«ÄÃPÀgÀtzÀ JqÀ¨sÁUÀ
= 5x – 4x + 14 = x + 14
¸À«ÄÃPÀgÀtzÀ §®¨sÁUÀ 7 4 7 3
6 2 6 62 2 2 2
x x x− + = − + = +
FUÀ ¸À«ÄÃPÀgÀtªÀÅ 3
14 62
x x+ = +
314 6
2x x= − +
3
14 52
x= +
314 5
2x− =
28 3
52
x−
=
25
52
x=
25 1 5 5 5
2 5 2 5 2x
×= × = =
×
DzÀÝjAzÀ ¸À«ÄÃPÀgÀtzÀ ¥ÀjºÁgÀªÀÅ 5
2x =
FUÀ F ¨É¯ÉAiÀÄ£ÀÄß ¸À«ÄÃPÀgÀtzÀ JgÀqÀÆ PÀqÉ ºÁQ ¥ÀjÃQë¸ÉÆÃt
¸À«ÄÃPÀgÀtzÀ JqÀ¨sÁUÀ = 5 5
5 2 2 72 2
× − × −
( ) ( )25 252 5 7 2 2
2 225 25 8 33
42 2 2
= − − = − −
+= + = =
( ) ( )25 252 5 7 2 2
2 225 25 8 33
42 2 2
= − − = − −
+= + = =
PÉÆlÖ ¸À«ÄÃPÀgÀtªÀ£ÀÄß
¸ÀÄ®¨sÀ gÀÆ¥ÀPÉÌ vÀAzÀ
«zsÁ£ÀªÀ£ÀÄß UÀªÀĤ¹
MAzÀÄ ZÀgÁPÀëgÀªÀżÀî gÉÃSÁvÀäPÀ ¸À«ÄÃPÀgÀtUÀ¼ÀÄ 55
¸À«ÄÃPÀgÀtzÀ §®¨sÁUÀ 5 7
2 3 12 2
15 2 7 2 13 72
2 2 2 2 2
= × − +
× = − + = +
26 7 33
2 2
+= =
\ ¸À«ÄÃPÀgÀtzÀ JqÀ¨sÁUÀ = CzÀgÀ §®¨sÁUÀ
C¨sÁå¸À 3.5
PɼÀV£À gÉÃSÁvÀäPÀ ¸À«ÄÃPÀgÀtUÀ¼À£ÀÄß ©r¹j.
1. 1 1
2 5 3 4
x x− = + 2. 3 5
212 4 6
n n n− + =
3. 8 17 57
3 6 2
x xx + − = − 4. 5 3
3 5
− −=
x x
5. 3 2 2 3 2
4 3 3
t tt
− +− = − 6. 1 2
2 3
m m− −− = −
PɼÀV£À gÉÃSÁvÀäPÀ ¸À«ÄÃPÀgÀtUÀ¼À£ÀÄß ¸ÀAPÉëæ¹ ©r¹j.
7. 3(t – 3) = 5(2t + 1) 8. 15(y – 4) –2 (y – 9) + 5(y + 6) = 0 9. 3(5z – 7) – 2(9z – 11) = 4(8z – 13) – 17 10. 0.25(4f – 3) = 0.05(10f – 9)
3.7 gÉÃSÁvÀäPÀ gÀÆ¥ÀPÉÌ vÀgÀ§ºÀÄzÁzÀ ¸À«ÄÃPÀgÀtUÀ¼ÀÄ;
GzÁºÀgÀuÉ 18 : ©r¹j 1 3
2 3 8
x
x
+=
+
¥ÀjºÁgÀ : F ¸À«ÄÃPÀgÀtªÀÅ gÉÃSÁvÀäPÀªÀ®è. KPÉAzÀgÉ, CzÀgÀ JqÀ¨sÁUÀªÀÅ gÉÃSÁvÀäPÀ C®è. DzÀgÉ JgÀqÀÆ PÀqÉ (2x + 3) ¬ÄAzÀ UÀÄt¹ CzÀ£ÀÄß gÉÃSÁvÀäPÀ gÀÆ¥ÀPÉÌ gÀÆ¥ÁAvÀj¸À§ºÀÄzÀÄ.
JgÀqÀÆ PÀqÉ (2x + 3) ¬ÄAzÀ UÀÄt¹zÀgÉ
( ) ( )1 32 3 2 3
2 3 8
xx x
x
+× + = × + +
( )3 2 31
8
xx
++ =
2x + 3 ≠ 0 (KPÉ?)
56 UÀtÂvÀ
JgÀqÀÆ PÀqÉ 8 jAzÀ UÀÄt¹zÀgÉ
8 (x + 1) = 3 (2x + 3) 8x + 8 = 6x + 9 8x = 6x + 9 – 8 8x = 6x + 1 8x – 6x = 1 2x = 1
1
2x =
FUÀ F GvÀÛgÀªÀ£ÀÄß ¥ÀjÃQë¸ÉÆÃt
JqÀ¨sÁUÀzÀ CA±À = 1 1 2 3
12 2 2
++ = =
JqÀ¨sÁUÀzÀ bÉÃzÀ = 1
2 3 2 3 1 3 4.2
x + = × + = + =
DzÀÝjAzÀ JqÀ¨sÁUÀ = 3 3 1 3
42 2 4 8÷ = × =
\ ¸À«ÄÃPÀgÀtzÀ JqÀ¨sÁUÀ = §®¨sÁUÀ.
GzÁºÀgÀuÉ 19 : C£ÀÄ ªÀÄvÀÄÛ gÁeï£À ªÀAiÀĸÀÄìUÀ¼ÀÄ 4 : 5 C£ÀÄ¥ÁvÀzÀ°èzÉ. 8 ªÀµÀðUÀ¼À £ÀAvÀgÀ CªÀgÀ ªÀAiÀĹì£À C£ÀÄ¥ÁvÀ 5 : 6 DzÀgÉ CªÀgÀ FV£À ªÀAiÀĸÉìµÀÄÖ?
¥ÀjºÁgÀ : C£ÀÄ ªÀÄvÀÄÛ gÁeï EªÀj§âgÀ FV£À ªÀAiÀĸÀÄì PÀæªÀĪÁV 4x ªÀÄvÀÄÛ 5x EgÀ°.
8 ªÀµÀðUÀ¼À £ÀAvÀgÀ C£ÀÄ ªÀAiÀĸÀÄì = 4x + 8 gÁeï ªÀAiÀĸÀÄì = 5x + 8
DzÀÝjAzÀ 8 ªÀµÀðUÀ¼À £ÀAvÀgÀ CªÀgÀ ªÀAiÀĸÀÄìUÀ¼À C£ÀÄ¥ÁvÀ = 4 8
5 8
x
x
++
F C£ÀÄ¥ÁvÀªÀÅ 5 : 6 JAzÀÄ PÉÆnÖzÉ.
4 8 5
5 8 6
x
x
+∴ =
+
CqÀØ UÀÄuÁPÁgÀ ªÀiÁrzÀgÉ
6(4x + 8) = 5 (5x + 8) 24x + 48 = 25x + 40 24x + 48 – 40 = 25x 8 = 25x – 24x 8 = x C£ÀÄ«£À FV£À ªÀAiÀĸÀÄì = 4x = 4 × 8 = 32 ªÀµÀð gÁeï£À FV£À ªÀAiÀĸÀÄì = 5x = 5 × 8 = 40 ªÀµÀð
CqÀØ UÀÄuÁPÁgÀ¢AzÀ®Æ ¸ÀºÀ EzÀ£ÀÄß ¥ÀqÉAiÀħºÀÄzÀÄ
1 3
2 3 8
x
x
++
MAzÀÄ ZÀgÁPÀëgÀªÀżÀî gÉÃSÁvÀäPÀ ¸À«ÄÃPÀgÀtUÀ¼ÀÄ 57
C¨sÁå¸À 3.6
PɼÀV£À ¸À«ÄÃPÀgÀtUÀ¼À£ÀÄß ©r¹j:
1. 8 3
23
x
x
−= 2.
915
7 6
x
x=
− 3.
4
15 9
z
z=
+
4. 3 4 2
2 6 5
y
y
+ −=
− 5.
7 4 4
2 3
y
y
+ −=
+
6. ºÀj ªÀÄvÀÄÛ ºÁåj EªÀgÀ ªÀAiÀĸÀÄì 5 : 7 C£ÀÄ¥ÁvÀzÀ°èzÉ. £Á®ÄÌ ªÀµÀðzÀ £ÀAvÀgÀ F C£ÀÄ¥ÁvÀ 3 : 4 DUÀÄvÀÛzÉ. CªÀgÀ FV£À ªÀAiÀĸÉìµÀÄÖ?
7. ¨sÁUÀ®§Þ ¸ÀASÉåAiÉÆAzÀgÀ bÉÃzÀªÀÅ CzÀgÀ CA±ÀQÌAvÀ 8 ºÉaÑzÉ. FUÀ CA±ÀPÉÌ 17 ¸ÉÃj¹
bÉÃzÀ¢AzÀ 1 PÀ¼ÉzÀgÉ 3
2 §gÀÄvÀÛzÉ. ºÁUÁzÀgÉ D ¨sÁUÀ®§Þ ¸ÀASÉå AiÀiÁªÀÅzÀÄ?
¸ÁgÁA±À
1. ZÀgÁPÀëgÀUÀ¼À£ÉÆß¼ÀUÉÆAqÀ ¸ÀªÀÄvÉAiÉÄà ©ÃdUÀtÂwÃAiÀÄ ¸À«ÄÃPÀgÀt. ¸ÀªÀÄ aºÉßAiÀÄ MAzÀÄ PÀqÉ EgÀĪÀ ¥ÀzÉÆÃQÛAiÀÄ ¨É¯ÉAiÀÄÄ E£ÉÆßAzÀÄ PÀqÉAiÀÄ ¥ÀzÉÆÃQÛAiÀÄ ¨É¯ÉUÉ ¸ÀªÀÄ£ÁVgÀĪÀÅzÉAzÀÄ CzÀÄ w½¸ÀÄvÀÛzÉ.
2. 6 ªÀÄvÀÄÛ 7 £Éà vÀgÀUÀwUÀ¼À°è £ÁªÀÅ C¨sÀå¹¹zÀ ¸À«ÄÃPÀgÀtUÀ¼ÀÄ gÉÃSÁvÀäPÀ ¸À«ÄÃPÀgÀtUÀ¼ÀÄ. CªÀÅUÀ¼À°è PÉêÀ® MAzÉà MAzÀÄ ZÀgÁPÀëgÀ«gÀĪÀ ¥ÀzÉÆÃQÛUÀ½zÀÄÝ gÉÃSÁvÀäPÀ ¸À«ÄÃPÀgÀtUÀ¼ÁVgÀĪÀŪÀÅ. CAzÀgÉ CªÀÅUÀ¼À°è£À ZÀgÁPÀëgÀzÀ CvÀåAvÀ ºÉaÑ£À WÁvÀ 1 DVgÀĪÀÅzÀÄ.
3. MAzÀÄ gÉÃSÁvÀäPÀ ¸À«ÄÃPÀgÀtzÀ ¥ÀjºÁgÀªÀÅ MAzÀÄ ¨sÁUÀ®§ÞªÁVgÀ§ºÀÄzÀÄ.
4. gÉÃSÁvÀäPÀ ¸À«ÄÃPÀgÀtzÀ JgÀqÀÆ PÀqÉ gÉÃSÁvÀäPÀ ¥ÀzÉÆÃQÛUÀ½gÀ§ºÀÄzÀÄ. 6 ªÀÄvÀÄÛ 7£Éà vÀgÀUÀwAiÀÄ°è ¤ÃªÀÅ C¨sÀå¹¹zÀ ¸À«ÄÃPÀgÀtUÀ¼À°è MAzÀÄ PÀqÉ PÉêÀ® MAzÀÄ ¸ÀASÉå EvÀÄÛ.
5. ¸ÀASÉåUÀ¼ÀAvÉAiÉÄà ZÀgÁPÀëgÀUÀ¼À£ÀÄß ¸ÀºÀ MAzÀÄ PÀqɬÄAzÀ E£ÉÆßAzÀÄ PÀqÉUÉ ªÀUÁð¬Ä¸À§ºÀÄzÀÄ.
6. ¸À«ÄÃPÀgÀtUÀ¼À£ÀÄß ©r¸ÀĪÀÅzÀPÉÌ ªÀÄÄ£Àß CzÀgÀ°ègÀĪÀ ¥ÀzÉÆÃQÛUÀ¼À£ÀÄß PÉ®ªÀÅ À® £ÁªÀÅ JA¢£À «zsÁ£ÀUÀ¼À°èAiÉÄà ÀÄ®©üÃPÀj¸À¨ÉÃPÁUÀÄvÀÛzÉ. PÉ®ªÀÅ À«ÄÃPÀgÀtUÀ¼ÀÄ DgÀA¨sÀzÀ°è gÉÃSÁvÀäPÀªÁV PÁt¢zÀÝgÀÆ CªÀÅUÀ¼À JgÀqÀÆ PÀqÉUÀ¼À£ÀÄß ¸ÀÆPÀÛ ¥ÀzÉÆÃQÛ¬ÄAzÀ UÀÄt¸ÀĪÀÅzÀgÀ ªÀÄÆ®PÀ gÉÃSÁvÀäPÀªÀ£ÁßV gÀÆ¥ÁAvÀgÀ ªÀiÁqÀ§ºÀÄzÀÄ.
7. ««zsÀ C£ÀéAiÀÄUÀ¼À°è gÉÃSÁvÀäPÀ ¸À«ÄÃPÀgÀtUÀ¼À G¥ÀAiÉÆÃUÀ ¥ÀqÉAiÀħºÀÄzÀÄ. ¸ÀASÉåUÀ¼ÀÄ, DPÁgÀUÀ¼À ¸ÀÄvÀÛ¼ÀvÉUÀ¼ÀÄ, ºÀtzÀ £ÉÆÃlÄUÀ¼À£ÉÆß¼ÀUÉÆAqÀ ««zsÀ ¸ÀªÀĸÉåUÀ¼À£ÀÄß ©r¸À®Ä £ÁªÀÅ F G¥ÀAiÉÆÃUÀªÀ£ÀÄß ¥ÀqÉAiÀħºÀÄzÀÄ.
4.1 ¦ÃpPÉ
PÁUÀzÀªÀÅ "¸ÀªÀÄvÀ® ªÉÄïÉäöÊ"UÉ ªÀiÁzÀj JAzÀÄ ¤ÃªÀÅ FUÁUÀ¯Éà w½¢¢ÝÃj. ¹Ã¸ÀzÀ PÀrØAiÀÄ£ÀÄß ºÁ¼ÉAiÀÄ ªÉÄð¤AzÀ JvÀÛzÉ, ºÀ®ªÁgÀÄ ©AzÀÄUÀ¼À£ÀÄß ¸ÉÃj¹zÁUÀ (ªÀÄvÀÄÛ MAzÀÄ ©AzÀÄ«£À ªÀÄÆ®PÀ ºÁzÀÄ ºÉÆÃUÀĪÀÅzÀ£ÀÄß ºÉÆgÀvÀÄ¥Àr¹ AiÀiÁªÀÅzÉà gÉÃSÉAiÀÄ ªÉÄÃ¯É ªÀÄvÉÛ ZÀ°¸ÀzÀAvÉ) MAzÀÄ "ªÀPÀægÉÃSÉ"AiÀÄ£ÀÄß ¥ÀqÉAiÀÄÄ«j.
»A¢£À vÀgÀUÀwUÀ¼À°è ¤ÃªÀÅ £ÉÆÃrgÀĪÀ ««zsÀ jÃwAiÀÄ ªÀPÀægÉÃSÉUÀ¼À£ÀÄß £É£À¦¹PÉƼÀî®Ä ¥ÀæAiÀÄwß¹.
PɼÀV£ÀªÀÅUÀ¼À£ÀÄß ºÉÆA¢¹ §gɬÄj : (JZÀÑjPÉ! MAzÀÄ CPÀÈwAiÀÄÄ MAzÀQÌAvÀ ºÉZÀÄÑ «zsÀUÀ½UÉ ºÉÆA¢PÉAiÀiÁUÀ§ºÀÄzÀÄ.)
DPÀÈw «zsÀ
(1) (a) ¸ÀgÀ¼ÀªÁzÀ DªÀÈvÀ ªÀPÀægÉÃSÉ
(2) (b) ¸ÀgÀ¼ÀªÀ®èzÀ DªÀÈvÀ ªÀPÀægÉÃSÉ
(3) (c) DªÀÈvÀªÀ®èzÀ ¸ÀgÀ¼À ªÀPÀægÉÃSÉ
(4) (d) ¸ÀgÀ¼ÀªÀ®èzÀ ªÀPÀægÉÃSÉ
¤ªÀÄä ¸ÉßûvÀgÀ GvÀÛgÀUÀ¼ÉÆA¢UÉ ºÉÆð¹ £ÉÆÃr. MAzÉà jÃw EªÉAiÉÄÃ?
4.2 §ºÀĨsÀÄdUÀ¼ÀÄ
gÉÃSÁRAqÀUÀ¼À ¸ÉÃj¸ÀÄ«PɬÄAzÀ GAmÁzÀ ¸ÀgÀ¼ÀªÁzÀ DªÀÈvÀ ªÀPÁæPÀÈwAiÀÄ£ÀÄß "§ºÀĨsÀÄd" J£ÀÄߪÀgÀÄ.
§ºÀĨsÀÄdUÀ¼ÁVgÀĪÀ ªÀPÁæPÀÈwUÀ¼ÀÄ §ºÀĨsÀÄdUÀ¼ÁV®èzÀ ªÀPÁæPÀÈwUÀ¼ÀÄ
CzsÁåAiÀÄ
4ZÀvÀĨsÀÄðdUÀ¼À
¥ÀjZÀAiÀÄ
ZÀvÀĨsÀÄðdUÀ¼À ¥ÀjZÀAiÀÄ 59
§ºÀĨsÀÄdUÀ¼ÁVgÀĪÀ ªÀÄvÀÄÛ §ºÀĨsÀÄdUÀ¼ÁV®èzÀ ªÀPÁæPÀÈwUÀ½UÉ PÉ®ªÀÅ GzÁºÀgÀuÉUÀ¼À£ÀÄß PÉÆqÀ®Ä ¥ÀæAiÀÄwß¹.
MAzÀÄ §ºÀĨsÀÄdzÀ PÀZÁÑavÀæªÀ£ÀÄß J¼É¬Äj ªÀÄvÀÄÛ CzÀgÀ ¨ÁºÀÄUÀÀ¼ÀÄ ªÀÄvÀÄÛ ±ÀÈAUÀ©AzÀÄUÀ¼À£ÀÄß UÀÄgÀÄw¹.
4.2.1 §ºÀĨsÀÄdUÀ¼À ªÀVðÃPÀgÀt
£ÁªÀÅ §ºÀĨsÀÄdUÀ¼À£ÀÄß CªÀÅ ºÉÆA¢gÀĪÀ ¨ÁºÀÄUÀ¼À ¸ÀASÉå (CxÀªÁ ±ÀÈAUÀ©AzÀÄUÀ¼À ¸ÀASÉå) DzsÁgÀ¢AzÀ ªÀVðÃPÀj¸ÀÄvÉÛêÉ.
¨ÁºÀÄUÀ¼À ¸ÀASÉå CxÀªÁ ±ÀÈAUÀ©AzÀÄUÀ¼ÀÄ
ªÀVðÃPÀgÀt ªÀiÁzÀj avÀæ
3 wæ¨sÀÄd
4 ZÀvÀĨsÀÄðd
5 ¥ÀAZÀ¨sÀÄd
6 µÀqÀÄãd
7 ¸À¥ÀÛ¨sÀÄd
8 CµÀÖ¨sÀÄd
9 £ÀªÀ¨sÀÄd
10 z˱ˬsˀd
: : :
n n - ¨sÀÄd
60 UÀtÂvÀ
4.2.2 PÀtðUÀ¼ÀÄ
MAzÀÄ §ºÀĨsÀÄdzÀ°è AiÀiÁªÀÅzÉà JgÀqÀÄ PÀæªÀiÁ£ÀÄUÀvÀªÀ®èzÀ ±ÀÈAUÀ©AzÀÄUÀ¼À£ÀÄß ¸ÉÃj¸ÀĪÀ gÉÃSÁRAqÀªÀ£ÀÄß "PÀtð" J£ÀÄߪÀgÀÄ.
avÀæ 4.1
ªÉÄð£À avÀæ 4.1 gÀ°è ¥ÀæwAiÉÆAzÀÄ §ºÀĨsÀÄdzÀ°è PÀtðUÀ¼À£ÀÄß ºÉ¸Àj¸À§°ègÁ?
PQ MAzÀÄ PÀtðªÉÃ? LN K£ÁUÀĪÀÅzÀÄ?
M¼ÀªÀ®AiÀÄ ºÉÆgÀªÀ®AiÀÄ
avÀæ 4.2
M¼ÀªÀ®AiÀĪÀÅ MAzÀÄ ¹ÃªÉÄ(UÀr)AiÀÄ£ÀÄß ºÉÆA¢gÀÄvÀÛzÉ. ºÉÆgÀªÀ®AiÀĪÀÅ ¹ÃªÉÄAiÀÄ£ÀÄß ºÉÆA¢gÀÄvÀÛzÉAiÉÄÃ? ¸ÉßûvÀgÉÆA¢UÉ ZÀað¹.
4.2.3 §»ªÀðPÀæ ªÀÄvÀÄÛ CAvÀªÀðPÀæ §ºÀĨsÀÄdUÀ¼ÀÄ :
E°è PÉ®ªÀÅ §»ªÀðPÀæ §ºÀĨsÀÄdUÀ¼ÀÄ ªÀÄvÀÄÛ PÉ®ªÀÅ CAvÀªÀðPÀæ §ºÀĨsÀÄdUÀ¼ÀÄ EªÉ. (avÀæ. 4.3)
§ºÀĨsÀÄdUÀ¼ÀÄ §»ªÀðPÀæ ¤AiÀÄ«ÄvÀªÀ®èzÀ §ºÀĨsÀÄdUÀ¼ÀÄ CAvÀªÀðPÀæ
avÀæ 4.3
ZÀvÀĨsÀÄðdUÀ¼À ¥ÀjZÀAiÀÄ 61
ªÉÄð£À F §ºÀĨsÀÄdUÀ¼ÀÄ ºÉÃUÉ «©ü£ÀߪÁVªÉ JAzÀÄ ¤ªÀÄUÉ UÀÄgÀÄw¸À®Ä ¸ÁzsÀåªÉÃ? AiÀiÁªÀÅzÉà §»ªÀðPÀæ §ºÀĨsÀÄdzÀ°è PÀtðzÀ AiÀiÁªÀ ¨sÁUÀªÀÅ §ºÀĨsÀÄdzÀ ºÉÆgÀUÉ EgÀĪÀÅ¢®è. §ºÀĨsÀÄdzÀ M¼ÀVgÀĪÀ AiÀiÁªÀÅzÉà JgÀqÀÄ «©ü£Àß ©AzÀÄUÀ¼À£ÀÄß ¸ÉÃj¸ÀĪÀ gÉÃSÁRAqÀªÀÅ ¥ÀÆtðªÁV CzÀgÉƼÀUÉ EgÀÄvÀÛzÉ. CAvÀªÀðPÀæ §ºÀĨsÀÄdUÀ¼À°èAiÀÄÆ EzÀÄ ¤dªÁUÀÄvÀÛzÉAiÉÄÃ? PÉÆnÖgÀĪÀ avÀæUÀ¼À£ÀÄß CzsÀåAiÀÄ£À ªÀiÁr £ÀAvÀgÀ §»ªÀðPÀæ ªÀÄvÀÄÛ CAvÀªÀðPÀæ §ºÀĨsÀÄdUÀ¼À£ÀÄß ¤ªÀÄä ¸ÀéAvÀ ªÁPÀåzÀ°è «ªÀj¸À®Ä ¥ÀæAiÀÄwß¹. ¥ÀæwAiÉÆAzÀÄ «zsÀPÀÆÌ JgÀqÀÄ PÀZÁÑ DPÀÈwUÀ¼À£ÀÄß ©r¹.
F vÀgÀUÀwAiÀÄ°è £ÁªÀÅ §»ªÀðPÀæ §ºÀĨsÀÄdUÀ¼À §UÉÎ ªÀiÁvÀæ PÀ°AiÀÄÄvÉÛêÉ.
4.2.4 ¤AiÀÄ«ÄvÀ ªÀÄvÀÄÛ C¤AiÀÄ«ÄvÀ §ºÀĨsÀÄdUÀ¼ÀÄ :
¤AiÀÄ«ÄvÀ §ºÀĨsÀÄdUÀ¼ÀÄ ¸ÀªÀĨÁºÀÄ ªÀÄvÀÄÛ ¸ÀªÀÄPÉÆäÃAiÀÄ DPÀÈwUÀ¼ÁVgÀÄvÀÛªÉ. GzÁºÀgÀuÉUÉ, MAzÀÄ ZËPÀªÀÅ ¸ÀªÀÄ C¼ÀvÉAiÀÄ ¨ÁºÀÄUÀ¼À£ÀÄß ªÀÄvÀÄÛ ¸ÀªÀÄ£ÁzÀ PÉÆãÀUÀ¼À£ÀÄß ºÉÆA¢gÀÄvÀÛzÉ. DzÀÝjAzÀ CzÀ£ÀÄß ¤AiÀÄ«ÄvÀ §ºÀĨsÀÄd J£ÀÄßvÉÛêÉ.
DAiÀÄvÀªÀÅ ¸ÀªÀÄPÉÆäÃAiÀĪÁVgÀÄvÀÛzÉ DzÀgÉ ¸ÀªÀĨÁºÀÄ DPÀÈwAiÀiÁV®è. CAiÀÄvÀªÀÅ MAzÀÄ ¤AiÀÄ«ÄvÀ §ºÀĨsÀÄdªÉÃ? ¸ÀªÀĨÁºÀÄ wæ¨sÀÄdªÀÅ MAzÀÄ ¤AiÀÄ«ÄvÀ §ºÀĨsÀÄdªÉÃ? KPÉ?
¤AiÀÄ«ÄvÀ §ºÀĨsÀÄdUÀ¼ÀĤAiÀÄ«ÄvÀªÀ®èzÀ §ºÀĨsÀÄdUÀ¼ÀÄ
(¸ÀÆZÀ£É : CxÀªÁ EªÀÅ ¨ÁºÀÄUÀ¼ÀÄ ¸ÀªÀÄ£ÁzÀ GzÀÝUÀ¼À£ÀÄß ºÉÆA¢ªÉ JAzÀÄ EªÀÅ ¸ÀÆa¸ÀÄvÀÛªÉ.)
»A¢£À vÀgÀUÀwUÀ¼À°è, ¸ÀªÀĨÁºÀÄ ZÀvÀĨsÀÄðdUÀ¼ÁVzÀÄÝ DzÀgÉ ¸ÀªÀÄPÉÆäÃAiÀÄUÀ¼ÁVgÀzÀ ZÀvÀĨsÀÄðdUÀ¼À §UÉÎ w½¢¢ÝÃgÁ? ¤ªÀÄä »A¢£À vÀgÀUÀwUÀ¼À°è £ÉÆÃrgÀĪÀ ZÀvÀĨsÀÄðdUÀ¼À£ÀÄß £É£À¥ÀÄ ªÀiÁrPÉƽî - DAiÀÄvÀ, ZËPÀ, ªÀeÁæPÀÈw EvÁå¢.
¸ÀªÀÄPÉÆäÃAiÀĪÀ®èzÀ ¸ÀªÀĨÁºÀÄ wæ¨sÀÄd EzÉAiÉÄÃ?
4.2.5 PÉÆãÀUÀ¼À ªÉÆvÀÛzÀ UÀÄt :
¤ªÀÄUÉ wæ¨sÀÄdzÀ°è PÉÆãÀUÀ¼À ªÉÆvÀÛzÀ ®PÀët £É£À¦£À°èzÉAiÉÄÃ? wæ¨sÀÄdzÀ°è ªÀÄÆgÀÄ M¼ÀPÉÆãÀUÀ¼À ªÉÆvÀÛ 180° EgÀÄvÀÛzÉ. F ¸ÀAUÀwAiÀÄ£ÀÄß ¤ªÀÄUÉ ªÀÄ£À¹ì£À°è ªÀÄÆr¸À®Ä £ÁªÀÅ C£ÀĸÀj¹zÀ «zsÁ£ÀUÀ¼À£ÀÄß £É£À¦¹PÉƽî. FUÀ £ÁªÀÅ CzÉà «ZÁgÀªÀ£ÀÄß MAzÀÄ ZÀvÀĨsÀÄðdPÉÌ «¸ÀÛj¸ÀÄvÉÛêÉ.
62 UÀtÂvÀ
ªÀiÁr £ÉÆÃr
1. AiÀiÁªÀÅzÉà MAzÀÄ ZÀvÀĨsÀÄðdªÀ£ÀÄß
¥ÀjUÀt¹. ZÀvÀĨsÀÄðd ABCD DVgÀ°. (avÀæ.4.4). CzÀgÀ°è MAzÀÄ
PÀtðªÀ£ÀÄß J¼ÉAiÀÄĪÀ ªÀÄÆ®PÀ
JgÀqÀÄ wæ¨sÀÄdUÀ¼ÁV «¨sÁV¹. 1,2,3,4,5
ªÀÄvÀÄÛ 6 JA§ DgÀÄ PÉÆãÀUÀ¼ÀÄ
zÉÆgÉAiÀÄÄvÀÛªÉ.
FUÀ wæ¨sÀÄdzÀ PÉÆãÀUÀ¼À ªÉÆvÀÛzÀ UÀÄtªÀ£ÀÄß §¼À¹ ∠A, ∠B, ∠C ªÀÄvÀÄÛ ∠D UÀ¼À ªÉÆvÀÛªÀÅ 180° + 180° = 360° UÉ ¸ÀªÀÄ£ÁUÀĪÀÅzÀÄ JAzÀÄ vÉÆÃj¹.
2. avÀæzÀ°è vÉÆÃj¹gÀĪÀAvÉ, gÀnÖ¤AzÀ vÀAiÀiÁj¹zÀ £Á®ÄÌ
¸ÀªÀð¸ÀªÀÄ ZÀvÀĨsÀÄðdUÀ¼À£ÀÄß vÉUÉzÀÄPÉƽî avÀæ. 4.5(i) ªÀÄvÀÄÛ (ii) gÀ°è vÉÆÃj¹gÀĪÀAvÉ ∠1, ∠2, ∠3,∠4 ¸ÀA¢ü¸ÀĪÀAvÉ eÉÆÃr¹.
F DPÀÈwAiÀÄ£ÀÄß ¥ÀqÉAiÀÄ®ÄC£ÀÄgÀÆ¥À CAZÀÄUÀ¼À£ÀÄߺÉÆA¢¹ eÉÆÃr¸À¨ÉÃPÀÄ.
(i) (ii)avÀæ.4.5
∠1, ∠2, ∠3 ªÀÄvÀÄÛ ∠4 F PÉÆãÀUÀ¼À ªÉÆvÀÛzÀ §UÉÎ ¤ÃªÀÅ K£ÀÄ
ºÉüÀÄ«j?
(¸ÀÆZÀ£É : £ÁªÀÅ PÉÆãÀUÀ¼À£ÀÄß ∠1, ∠2, ∠3 EvÁå¢ JAzÀÄ ¸ÀÆa¸ÀÄvÉÛêÉ. ªÀÄvÀÄÛ ¥Àæw PÉÆãÀzÀ C¼ÀvÉUÀ¼À£ÀÄß m∠1, m∠2, m∠3 JAzÀÄ ¸ÀÆa¸ÀÄvÉÛêÉ.)
MAzÀÄ ZÀvÀĨsÀÄðdzÀ £Á®ÄÌ PÉÆãÀUÀ¼À ªÉÆvÀÛªÀÅ _______
¤ÃªÀÅ E£ÀÆß ºÀ®ªÀÅ «zsÁ£ÀUÀ½AzÀ F ¥sÀ°vÁA±ÀªÀ£ÀÄß
¥ÀqÉAiÀħºÀÄzÀÄ.
avÀæ.4.4
ZÀvÀĨsÀÄðdUÀ¼À ¥ÀjZÀAiÀÄ 63
3. »A¢£À GzÁgÀºÀuÉAiÀÄ°è EgÀĪÀAvÉAiÉÄÃ, ZÀvÀĨsÀÄðd ABCD AiÀÄ£ÀÄß ¥ÀjUÀt¹
(avÀæ 4.6). P AiÀÄÄ ZÀvÀĨsÀÄðdzÀ M¼ÀV£À MAzÀÄ ©AzÀÄ DVgÀ°.
A,B,C ªÀÄvÀÄÛ D ±ÀÈAUÀUÀ¼À£ÀÄß P £ÉÆA¢UÉ ÉÃj¹.
avÀæzÀ°è ∆PAB AiÀÄ£ÀÄß ¥ÀjUÀt¹. EzÀjAzÀ £ÀªÀÄUÉ x m m= ° − ∠ − ∠180 2 3 ; ºÁUÉAiÉÄÃ
∆PBC ¤AzÀ y m m= ° − ∠ − ∠180 4 5 ;
∆PCD ¤AzÀ z m m= ° − ∠ − ∠180 6 7
ªÀÄvÀÄÛ ∆PDA ¤AzÀ w m m= ° − ∠ − ∠180 8 1 JAzÀÄ w½AiÀÄÄvÀÛzÉ. EªÀÅUÀ¼À£ÀÄß m m m∠ ∠ ∠1 2 8, ...... UÀ¼À MlÄÖ ªÉÆvÀÛ w½AiÀÄ®Ä
§¼À¹. EzÀjAzÀ £ÀªÀÄUÉ ¨ÉÃPÁVgÀĪÀ ¥sÀ°vÁA±À ¥ÀqÉAiÀÄ®Ä ¸ÀºÁAiÀÄPÀªÁUÀĪÀÅzÉÃ? E°è∠ +∠ +∠ +∠ = °x y z w 360 JA§ÄzÀ£ÀÄß £É£À¦r.
4. ªÉÄð£À ÀAzÀ¨sÀðUÀ¼À°è ZÀvÀĨsÀÄðdUÀ¼ÀÄ §»ªÀðPÀæªÁVzÀݪÀÅ.
ZÀvÀĨsÀÄðdªÀÅ CAvÀªÀðPÀæªÁzÁUÀ K£ÁUÀ§ºÀÄzÀÄ?
ZÀvÀĨsÀÄðd ABCD AiÀÄ£ÀÄß ¥ÀjUÀt¹ CzÀ£ÀÄß PÀtðzÀ
¸ÀºÁAiÀÄ¢AzÀ JgÀqÀÄ wæ¨sÀÄdUÀ¼ÁV «¨sÀf¹. £ÀAvÀgÀ
M¼ÀPÉÆãÀUÀ¼À ªÉÆvÀÛªÀ£ÀÄß PÀAqÀÄ»r¬Äj.
avÀæ 4.6
avÀæ 4.7
C¨sÁå¸À 4.1
1. E°è PÉ®ªÀÅ avÀæUÀ¼À£ÀÄß PÉÆqÀ¯ÁVzÉ.
(1) (2) (3) (4)
(5) (6) (7) (8)
PɼÀV£À CA±ÀUÀ¼À DzsÁgÀ¢AzÀ ¥ÀæwAiÉÆAzÀ£ÀÄß ªÀVðÃPÀj¹.
(a) ¸ÀgÀ¼À ªÀPÀægÉÃSÉ. (b) ¸ÀgÀ¼À DªÀÈvÀ ªÀPÀægÉÃSÉ (c) §ºÀĨsÀÄd
(d) §»ªÀðPÀæ §ºÀĨsÀÄd (e) CAvÀªÀðPÀæ §ºÀĨsÀÄd
64 UÀtÂvÀ
2. PɼÀV£À ¥ÀæwAiÉÆAzÀÄ JµÀÄÖ PÀtðUÀ¼À£ÀÄß ºÉÆA¢ªÉ?
(a) MAzÀÄ §»ªÀðPÀæ ZÀvÀĨsÀÄðd (b) MAzÀÄ ¤AiÀÄ«ÄvÀ µÀqÀÄãd (c) MAzÀÄ wæ¨sÀÄd 3. MAzÀÄ §»ªÀðPÀæ ZÀvÀĨsÀÄðdzÀ M¼ÀPÉÆãÀUÀ¼À C¼ÀvÉUÀ¼À ªÉÆvÀ۪ɵÀÄÖ? ZÀvÀĨsÀÄðdªÀÅ
CAvÀªÀðPÀæªÁV®è¢zÀÝgÀÆ F UÀÄt®PÀëtªÀÅ ¤dªÁUÀĪÀÅzÉÃ? (§»ªÀðPÀæªÀ®èzÀ ZÀvÀĨsÀÄðdªÀ£ÀÄß J¼ÉzÀÄPÉÆAqÀÄ ¥ÀæAiÀÄwß¹)
4. PÉÆnÖgÀĪÀ PÉÆõÀÖPÀªÀ£ÀÄß ¥ÀjÃQë¹. (¥ÀæwAiÉÆAzÀÄ avÀæªÀ£ÀÄß wæ¨sÀÄdUÀ¼À£ÁßV «¨sÁV¹zÉ. CzÀjAzÀ M¼ÀPÉÆãÀUÀ¼À ªÉÆvÀÛªÀ£ÀÄß ¤gÀƦ¹.)
DPÀÈw
¨ÁºÀÄ 3 4 5 6
PÉÆãÀUÀ¼À ªÉÆvÀÛ
1 × 180° 2 × 180° = (4–2) × 180°
3 × 180° = (5–2) × 180°
4 × 180° = (6–2) × 180°
PɼÀUÉ PÉÆnÖgÀĪÀ ÀASÉåAiÀÄ ÁºÀÄUÀ¼À£ÀÄß ºÉÆA¢gÀĪÀ §»ªÀðPÀæ §ºÀĨsÀÄdUÀ¼À M¼ÀPÉÆãÀUÀ¼À ªÉÆvÀÛzÀ §UÉÎ K£ÀÄ ºÉüÀÄ«j?
(a) 7 (b) 8 (c) 10 (d) n5. ¤AiÀÄ«ÄvÀ §ºÀĨsÀÄd JAzÀgÉãÀÄ? F PɼÀV£À ¨ÁºÀÄUÀ¼À£ÀÄß ºÉÆA¢gÀĪÀ
¤AiÀÄ«ÄvÀ §ºÀĨsÀÄdUÀ¼À£ÀÄß ºÉ¸Àj¹
(a) 3 ¨ÁºÀÄUÀ¼ÀÄ (b) 4 ¨ÁºÀÄUÀ¼ÀÄ (c) 6 ¨ÁºÀÄUÀ¼ÀÄ.
6. PɼÀV£À DPÀÈwUÀ¼À°è x £À ¨É¯ÉUÀ¼À£ÀÄß PÀAqÀÄ»r¬Äj.
(a) (b)
(c) (d)
ZÀvÀĨsÀÄðdUÀ¼À ¥ÀjZÀAiÀÄ 65
7.
(a) x + y + z £ÀÄß PÀAqÀÄ»r¬Äj. (b) x + y + z + w £ÀÄß PÀAqÀÄ»r¬Äj.
4.3. MAzÀÄ §ºÀĨsÀÄdzÀ J¯Áè ºÉÆgÀPÉÆãÀUÀ¼À ªÉÆvÀÛ :
ºÉÆgÀPÉÆãÀUÀ¼À §UÉV£À eÁÕ£ÀªÀÅ C£ÉÃPÀ ¸À¤ßªÉñÀUÀ¼À°è M¼ÀPÉÆãÀUÀ¼ÀÄ ªÀÄvÀÄÛ ¨ÁºÀÄUÀ¼À ®PÀëtUÀ¼À ªÉÄÃ¯É ¨É¼ÀPÀÄ ZÉ®ÄèvÀÛzÉ.
ªÀiÁr £ÉÆÃr
£É®zÀ ªÉÄïÉ, ¹ÃªÉÄ ÀÄtÚzÀ ÀºÁAiÀÄ¢AzÀ MAzÀÄ §ºÀĨsÀÄdªÀ£ÀÄß J¼É¬Äj. (avÀæzÀ°è ABCDE MAzÀÄ ¥ÀAZÀ¨sÀÄd) (avÀæ.4.8) £ÁªÀÅ FUÀ PÉÆãÀUÀ¼À MlÄÖ ªÉÆvÀÛªÀ£ÀÄß w½AiÀĨÉÃPÁVzÉ.
CAzÀgÉm m m m m∠ + ∠ + ∠ + ∠ + ∠1 2 3 4 5 . A ¤AzÀ DgÀA©ü¹ AB AiÀÄ GzÀÝPÀÆÌ £ÀqɬÄj. B AiÀÄ£ÀÄß vÀ®Ä¦zÀ £ÀAvÀgÀ BC AiÀÄ GzÀÝPÀÆÌ £ÀqÉAiÀÄ®Ä ¤ÃªÀÅ m∠1 gÀµÀÄÖ wgÀÄUÀ¨ÉÃPÀÄ. ¤ÃªÀÅ C AiÀÄ£ÀÄß vÀ®Ä¦zÁUÀ CD AiÀÄ GzÀÝPÉÌ ZÀ°¸À®Ä m∠2, gÀµÀÄÖ wgÀÄUÀ¨ÉÃPÀÄ. EzÉà jÃwAiÀÄ°è ¤ÃªÀÅ ZÀ°¸ÀÄvÁÛ, AB AiÀÄ GzÀÝPÀÆÌ ZÀ°¸À®Ä wgÀÄUÀĪÀªÀgÉUÀÆ ªÀÄÄAzÀĪÀgɹ. ¤dªÁUÀ®Æ FUÀ ¤ÃªÀÅ MAzÀÄ ¸ÀA¥ÀÆtð ¸ÀÄvÀÛ£ÀÄß ¥ÀÆtðUÉƽ¹¢j. DzÀÝjAzÀ, m m m m m∠ + ∠ + ∠ + ∠ + ∠ = °1 2 3 4 5 360 DUÀÄvÀÛzÉ.
F CA±ÀªÀÅ, §ºÀĨsÀÄdzÀ°è ¨ÁºÀÄUÀ¼À ¸ÀASÉå JµÉÖà DVzÀÝgÀÆ ¤dªÁVgÀÄvÀÛzÉ. DzÀÝjAzÀ, "AiÀiÁªÀÅzÉà MAzÀÄ §ºÀĨsÀÄdzÀ J¯Áè ºÉÆgÀPÉÆãÀUÀ¼À ªÉÆvÀÛªÀÅ 360°UÉ ¸ÀªÀÄ£ÁVgÀÄvÀÛzÉ."
avÀæ.4.8
GzÁºÀgÀuÉ 1 : avÀæ 4.9 gÀ°è x £À C¼ÀvÉAiÀÄ£ÀÄß PÀAqÀÄ»r¬Äj.
¥ÀjºÁgÀ : x + 90° + 50° + 110° = 360°..........(KPÉ?) x + 250° = 360° x = 110°
avÀæ 4.9
66 UÀtÂvÀ
MAzÀÄ ¤AiÀÄ«ÄvÀ µÀqÀÄãdªÀ£ÀÄß vÉUÉzÀÄPÉƽî (avÀæ 4.10)
1. ºÉÆgÀPÉÆãÀUÀ¼ÁzÀ x,y,z,p,q,r UÀ¼À ªÉÆvÀÛªÉãÀÄ? 2. x = y = z = p = q = r DVzÉAiÉÄÃ? KPÉ? 3. PɼÀV£À ¥ÀæwAiÉÆAzÀgÀ C¼ÀvÉ JµÀÄÖ?
(a) ºÉÆgÀPÉÆãÀ (b) M¼ÀPÉÆãÀ 4. F ZÀlĪÀnPÉAiÀÄ£ÀÄß PɼÀV£À ¸ÀAzÀ¨sÀðUÀ½UÉ ¥ÀÄ£ÀgÁªÀwð¹.
(a) ¤AiÀÄ«ÄvÀ CµÀÖ¨sÀÄd (b) ¤AiÀÄ«ÄvÀ «A±Àw¨sÀÄd.
EªÀÅUÀ¼À£ÀÄß ¥ÀæAiÀÄwß¹
avÀæ 4.10
GzÁºÀgÀuÉ 2 : 2 ¥Àæw ºÉÆgÀPÉÆãÀzÀ C¼ÀvÉ 45° EgÀĪÀ MAzÀÄ ¤AiÀÄ«ÄvÀ §ºÀĨsÀÄdzÀ ¨ÁºÀÄUÀ¼À ¸ÀASÉåAiÀÄ£ÀÄß PÀAqÀÄ»r¬Äj.
¥ÀjºÁgÀ : J¯Áè ºÉÆgÀPÉÆãÀUÀ¼À ªÉÆvÀÛ = 360° ¥Àæw ºÉÆgÀPÉÆãÀzÀ C¼ÀvÉ = 45°
DzÀÝjAzÀ MlÄÖ ºÉÆgÀPÉÆãÀUÀ¼À ¸ÀASÉå = 360
458
°°=
∴ §ºÀĨsÀÄdzÀ°è EgÀĪÀ ¨ÁºÀÄUÀ¼À ¸ÀASÉå = 8.
C¨sÁå¸À 4.2
1. PɼÀV£À avÀæUÀ¼À°è x £À ¨É¯É PÀAqÀÄ»r¬Äj.
(a) (b)
PɼÀUÉ w½¹gÀĪÀ ¸ÀASÉåAiÀÄ ¨ÁºÀÄUÀ¼À°è;
2. ¤AiÀÄ«ÄvÀ §ºÀĨsÀÄdUÀ¼À°è ¥Àæw ºÉÆgÀPÉÆãÀzÀ C¼ÀvÉAiÀÄ£ÀÄß PÀAqÀÄ»r¬Äj.
(i) 9 ¨ÁºÀÄUÀ¼ÀÄ (ii) 15 ¨ÁºÀÄUÀ¼ÀÄ.
3. MAzÀÄ ¤AiÀÄ«ÄvÀ §ºÀĨsÀÄdzÀ ¥Àæw ºÉÆgÀPÉÆãÀzÀ C¼ÀvÉ 24° EzÁÝUÀ CzÀÄ ºÉÆA¢gÀĪÀ ¨ÁºÀÄUÀ¼À ¸ÀASÉåAiÀÄ£ÀÄß PÀAqÀÄ»r¬Äj.
4. MAzÀÄ ¤AiÀÄ«ÄvÀ §ºÀĨsÀÄdzÀ ¥Àæw M¼ÀPÉÆãÀzÀ C¼ÀvÉ 165° EzÁÝUÀ CzÀÄ ºÉÆA¢gÀĪÀ ¨ÁºÀÄUÀ¼À ¸ÀASÉåAiÀÄ£ÀÄß PÀAqÀÄ»r¬Äj.
ZÀvÀĨsÀÄðdUÀ¼À ¥ÀjZÀAiÀÄ 67
5. ¥Àæw ºÉÆgÀPÉÆãÀzÀ C¼ÀvÉ 22° EgÀĪÀAvÉ MAzÀÄ ¤AiÀÄ«ÄvÀ §ºÀĨsÀÄdªÀ£ÀÄß ¥ÀqÉAiÀÄ®Ä ¸ÁzsÀåªÉÃ? E®è¢zÀÝgÉ CzÀÄ M¼ÀPÉÆãÀzÀ C¼ÀvÉAiÀiÁVgÀĪÀ ¤AiÀÄ«ÄvÀ §ºÀĨsÀÄdªÁUÀ®Ä ¸ÁzsÀåªÉÃ? KPÉ?
6. (a) MAzÀÄ ¤AiÀÄ«ÄvÀ §ºÀĨsÀÄdªÀÅ ºÉÆAzÀ§ºÀÄzÁzÀ PÀ¤µÀÖ M¼ÀPÉÆãÀzÀ C¼ÀvÉ JµÀÄÖ? KPÉ?
(b) MAzÀÄ ¤AiÀÄ«ÄvÀ §ºÀĨsÀÄdªÀÅ ºÉÆAzÀ§ºÀÄzÁzÀ UÀjµÀÖ ºÉÆgÀPÉÆãÀzÀ C¼ÀvÉ JµÀÄÖ?
4.4. ZÀvÀĨsÀÄðdzÀ «zsÀUÀ¼ÀÄ :
ZÀvÀĨsÀÄðdzÀ°è£À ¨ÁºÀÄUÀ¼À CxÀªÁ PÉÆãÀUÀ¼À ¸Àé¨sÁªÀzÀ DzsÁgÀzÀ ªÉÄÃ¯É CzÀÄ «±ÉõÀ ºÉ¸ÀgÀ£ÀÄß ¥ÀqÉAiÀÄÄvÀÛzÉ.
4.4.1 vÁæ¦då :
MAzÀÄ eÉÆvÉ ¸ÀªÀiÁAvÀgÀ ¨ÁºÀÄUÀ¼À£ÀÄß ºÉÆA¢gÀĪÀ ZÀvÀĨsÀÄðdªÉ vÁæ¦då.
EªÀÅ vÁæ¦dåUÀ¼ÀÄ EªÀÅ vÁæ¦dåUÀ¼À®è.
ªÉÄð£À avÀæUÀ¼À£ÀÄß CzsÀåAiÀÄ£À ªÀiÁr. £ÀAvÀgÀ CªÀÅUÀ¼À°è PÉ®ªÀÅ vÁæ¦dåUÀ¼ÀÄ ªÀÄvÉÛ PÉ®ªÀÅ vÁæ¦dåUÀ¼ÀÄ C®è¢gÀĪÀ PÁgÀtzÀ §UÉÎ ¤ªÀÄä ¸ÉßûvÀgÉÆA¢UÉ ZÀað¹.
(¸ÀÆZÀ£É : ¨ÁtzÀ UÀÄgÀÄvÀÄUÀ¼ÀÄ ¸ÀªÀiÁAvÀgÀ gÉÃSÉUÀ¼À£ÀÄß ¸ÀÆa¸ÀÄvÀÛªÉ.)
EzÀ£ÀÄß ªÀiÁr £ÉÆÃr
1. wæ¨sÀÄdzÀ ¨ÁºÀÄUÀ¼À C¼ÀvÉ 3 ¸É.«ÄÃ, 4 ¸É.«Äà ªÀÄvÀÄÛ 5 ¸É.«Äà EgÀĪÀ ªÀÄÆgÀÄ ¸ÀªÀð¸ÀªÀÄ wæ¨sÀÄdUÀ¼À£ÀÄß qÁæ¬ÄAUï ºÁ¼ÉAiÀÄ ªÉÄÃ¯É gÀa¹ PÀvÀÛj¹, CªÀÅUÀ¼À£ÀÄß avÀæ 4.11 gÀ°ègÀĪÀAvÉ eÉÆÃr¹. ¤ÃªÀÅ MAzÀÄ vÁæ¦dåªÀ£ÀÄß ¥ÀqÉAiÀÄÄ«j. (¥ÀjÃQë¹).
avÀæ 4.11
68 UÀtÂvÀ
E°è ÀªÀiÁAvÀgÀ ÁºÀÄUÀ¼ÀÄ AiÀiÁªÀŪÀÅ? ÀªÀiÁAvÀgÀªÀ®èzÀ ÁºÀÄUÀ¼ÀÄ ÀªÀĪÁVgÀ¨ÉÃPÉ? EzÉà wæ¨sÀÄdUÀ¼À£ÀÄß §¼À¹PÉÆAqÀÄ E£ÀÄß JgÀqÀÄ vÁæ¦dåUÀ¼À£ÀÄß ¥ÀqÉAiÀħºÀÄzÀÄ. CªÀÅUÀ¼À£ÀÄß PÀAqÀÄ»rzÀÄ CªÀÅUÀ¼À DPÁgÀUÀ¼À£ÀÄß ZÀað¹.
2. ¤ªÀÄä ¸ÉßûvÀgÀ gÉÃSÁUÀtÂvÀzÀ G¥ÀPÀgÀt ¥ÉnÖUɬÄAzÀ £Á®ÄÌ ªÀÄƯɪÀÄlÖUÀ¼À£ÀÄß vÉUÉzÀÄPÉƽî CªÀÅUÀ¼À£ÀÄß ¨ÉÃgÉ ¨ÉÃgÉ ¸ÀASÉåUÀ¼À°è CPÀÌ¥ÀPÀÌ eÉÆÃr¸ÀĪÀ ªÀÄÆ®PÀ ««zsÀ vÁæ¦dåUÀ¼À£ÀÄß ¥ÀqɬÄj.
vÁæ¦dåzÀ ¸ÀªÀiÁAvÀgÀªÀ®èzÀ ¨ÁºÀÄUÀ¼ÀÄ ¸ÀªÀÄ£ÁzÀgÉ CzÀ£ÀÄß ¸ÀªÀÄ¢é¨ÁºÀÄ vÁæ¦då J£ÀÄßvÉÛêÉ. ¤ªÀÄä eÉÆÃqÀuÉUÀ¼À°è ¸ÀªÀÄ¢é¨ÁºÀÄ vÁæ¦dåªÀ£ÀÄß ¥ÀqÉ¢gÀÄ«gÁ?
4.4.2. ¥ÀvÀAUÀ :
¥ÀvÀAUÀªÀÅ MAzÀÄ «±ÉõÀ jÃwAiÀÄ ZÀvÀĨsÀÄðdªÁVzÉ. ¥ÀæwAiÉÆAzÀÄ avÀæzÀ°è MAzÉà jÃwAiÀÄ UÀÄgÀÄvÀÄ ªÀiÁrgÀĪÀ ¨ÁºÀÄUÀ¼ÀÄ ¸ÀªÀÄ£ÁVgÀÄvÀÛªÉ. GzÁºÀgÀuÉUÉ AB = AD ªÀÄvÀÄÛ BC = CD.
EªÀÅ ¥ÀvÀAUÀUÀ¼ÀÄ EªÀÅ ¥ÀvÀAUÀUÀ¼À®è.
ªÉÄð£À avÀæUÀ¼À£ÀÄß C¨sÁå¸À ªÀiÁr ¥ÀvÀAUÀ JAzÀgÉãÀÄ JA§ÄzÀ£ÀÄß «ªÀj¸À®Ä ¥ÀæAiÀÄwß¹ EªÀÅUÀ¼À°è UÀªÀĤ¸À¨ÉÃPÁzÀzÀÄÝ :
1. MAzÀÄ ¥ÀvÀAUÀªÀÅ 4 ¨ÁºÀÄUÀ¼À£ÀÄß ºÉÆA¢zÉ [CzÀÄ MAzÀÄ ZÀvÀĨsÀÄðd].
2. ¥ÀvÀAUÀzÀ°è ¤¢ðµÀÖªÁV JgÀqÀÄ eÉÆvÉ ¥Á±Àéð ¨ÁºÀÄUÀ¼ÀÄ C¼ÀvÉAiÀÄ°è ¸ÀªÀÄ£ÁVgÀÄvÀÛªÉ.
ªÀiÁr £ÉÆÃr
MAzÀÄ zÀ¥Àà ©½ ºÁ¼ÉAiÀÄ£ÀÄß vÉUÉzÀÄPÉÆ½î ºÁ¼ÉAiÀÄ£ÀÄß MAzÀÄ ¨Áj ªÀÄr¹.
avÀæ 4.12gÀ°è vÉÆÃj¹gÀĪÀAvÉ JgÀqÀÄ ¨ÉÃgÉ ÉÃgÉ GzÀÝzÀ gÉÃSÁRAqÀUÀ¼À£ÀÄß J¼É¬Äj.
ºÁ¼ÉAiÀÄ£ÀÄß AB ªÀÄvÀÄÛ BC ¨ÁºÀÄ«£À GzÀÝPÀÆÌ PÀvÀÛj¹ ªÀÄvÀÄÛ ©r¹.
� ABC ªÀÄvÀÄÛ
� ADC UÀ¼ÀĸÀªÀð¸ÀªÀÄ JAzÀÄvÉÆÃj¹.EzÀjAzÀ £ÁªÀÅK£ÉAzÀÄ wêÀiÁð-¤¸À§ºÀÄzÀÄ?
avÀæ 4.12
ZÀvÀĨsÀÄðdUÀ¼À ¥ÀjZÀAiÀÄ 69
FUÀ ¥ÀvÀAUÀzÀ DPÀÈw zÉÆgÉAiÀÄÄvÀÛzÉ. (avÀæ 4.13) ¥ÀvÀAUÀªÀÅ gÉÃSÁ ¸ÀªÀÄ«ÄwAiÀÄ£ÀÄß ºÉÆA¢zÉAiÉÄÃ?
¥ÀvÀAUÀªÀ£ÀÄß CzÀgÀ JgÀqÀÄ PÀtðUÀ¼À ªÉÄÃ¯É ªÀÄr¹. ªÀÄÆ¯É ªÀÄlÖUÀ¼À£ÀÄß §¼À¹ PÀtðUÀ¼ÀÄ ®A§ªÁV PÀvÀÛj¸ÀĪÀÅzÉÃ? ¥ÀjÃQë¹.
PÀtðUÀ¼ÀÄ ¸ÀªÀĪÁVªÉAiÉÄÃ?
ºÁ¼ÉAiÀÄ DPÀÈwAiÀÄ£ÀÄß ªÀÄr¸ÀĪÀ CxÀªÁ C¼ÀvÉ ªÀiÁqÀĪÀ ªÀÄÆ®PÀ PÀtðUÀ¼ÀÄ ¥ÀgÀ¸ÀàgÀ C¢üð¸ÀĪÀÅzÉ?
¥ÀvÀAUÀzÀ MAzÀÄ PÉÆãÀªÀ£ÀÄß E£ÉÆßAzÀÄ C©üªÀÄÄR PÉÆãÀzÀ ªÉÄÃ¯É ºÉÆAzÀĪÀAvÉ ªÀÄr¸ÀĪÀ ªÀÄÆ®PÀ C©üªÀÄÄR PÉÆãÀUÀ¼ÀÄ ¸ÀªÀĪÁVªÉAiÉÄ JAzÀÄ ¥ÀjÃQë¹.
PÀtðUÀ¼À ªÉÄð£À ªÀÄrPÉAiÀÄ£ÀÄß UÀªÀĤ¹; D PÀtðUÀ¼ÀÄ PÉÆãÀUÀ¼À£ÀÄß C¢üð¸ÀĪÀ gÉÃSÉUÀ¼ÀÄ JAzÀÄ ¸ÀÆa¸ÀÄvÀÛªÉAiÉÄ?
¤ÃªÀÅ PÀAqÀÄ»rzÀ CA±ÀUÀ¼À£ÀÄß EvÀgÀgÉÆA¢UÉ ºÀAaPÉÆ½î ªÀÄvÀÄÛ CªÀÅUÀ¼À£ÀÄß ¥ÀnÖ ªÀiÁr. F ¥sÀ°vÁA±ÀUÀ¼À ¸ÁgÁA±ÀªÀ£ÀÄß ¤ªÀÄä ¥ÀgÁªÀıÉðUÁV F CzsÁåAiÀÄzÀ E£ÉÆßAzÀÄ ¸ÀܼÀzÀ°è PÉÆqÀ¯ÁVzÉ.
avÀæ 4.13
4.4.3 ¸ÀªÀiÁAvÀgÀ ZÀvÀĨsÀÄðd
¸ÀªÀiÁAvÀgÀ ZÀvÀĨsÀÄðdªÀÅ MAzÀÄ ZÀvÀĨsÀÄðd CzÀgÀ ºÉ¸ÀgÉà ºÉüÀĪÀAvÉ, CzÀgÀ°è ¸ÀªÀiÁAvÀgÀ gÉÃSÉUÀ¼ÀÄ ¥ÀæªÀÄÄR ¥ÁvÀæ ªÀ»¹ªÉ.
AB || DC
AD || BCAB || CD
PQ || SR
QR || PS
R
S
P
LM || PN
LP || MN
AB || ED
BC || FE
EªÀÅ ¸ÀªÀiÁAvÀgÀ ZÀvÀĨsÀÄðdUÀ¼ÀÄ EªÀÅ ¸ÀªÀiÁAvÀgÀ ZÀvÀĨsÀÄðdUÀ¼À®è
F ªÉÄð£À avÀæUÀ¼À£ÀÄß CzsÀåAiÀÄ£À ªÀiÁrzÀ £ÀAvÀgÀ ¸ÀªÀiÁAvÀgÀ ZÀvÀĨsÀÄðdzÀ CxÀðªÀ£ÀÄß ¤ªÀÄä ¸ÀéAvÀ ªÁPÀåzÀ°è «ªÀj¸À®Ä ¥ÀæAiÀÄwß¹. ¤ªÀÄä «ÃPÀëuÉUÀ¼À£ÀÄß ¸ÉßûvÀgÉÆA¢UÉ ºÀAaPÉƽî. DAiÀÄvÀªÀÅ ¸ÀªÀiÁAvÀgÀ ZÀvÀĨsÀÄðdªÉÃ? ¥ÀjÃQë¹.
70 UÀtÂvÀ
EzÀ£ÀÄß ªÀiÁr
¨ÉÃgÉ ÉÃgÉ CUÀ®UÀ¼ÀļÀî DAiÀÄvÀPÁgÀzÀ gÀnÖ£À JgÀqÀÄ ¥ÀnÖUÀ¼À£ÀÄß vÉUÉzÀÄPÉƽî (avÀæ 4.14)
¥ÀnÖ - 1 ¥ÀnÖ - 2
avÀæ 4.14
MAzÀÄ ¥ÀnÖAiÀÄ£ÀÄß CqÀدÁVlÄÖ CzÀgÀ CAZÀÄUÀ¼À£ÀÄß UÀÄgÀÄw¹. (avÀæ 4.15) FUÀ EzÉà gÉÃSÉUÀ¼À ªÉÄÃ¯É ¸Àé®à NgÉAiÀiÁV E£ÉÆßAzÀÄ ¥ÀnÖAiÀĤßlÄÖ CzÀgÀ CAZÀÄUÀ¼À£ÀÄß UÀÄgÀÄw¹. (avÀæ 4.16).
F £Á®ÄÌ gÉÃSÉUÀ¼ÀÄ DªÀÈvÀªÁV MAzÀÄ ZÀvÀĨsÀÄðdªÀ£ÀÄß GAlĪÀiÁqÀÄvÀÛªÉ. F ZÀvÀĨsÀÄðdªÀÅ JgÀqÀÄ eÉÆvÉ ¸ÀªÀiÁAvÀgÀ gÉÃSÉUÀ½AzÀ GAmÁVzÉ. (avÀæ. 4.17)
avÀæ 4.15
avÀæ 4.16 avÀæ 4.17
EzÀÄ MAzÀÄ ¸ÀªÀiÁAvÀgÀ ZÀvÀĨsÀÄðdªÁVzÉ. "¸ÀªÀiÁAvÀgÀ ZÀvÀĨsÀÄðdªÀÅ, C©üªÀÄÄR ¨ÁºÀÄUÀ¼ÀÄ ¸ÀªÀiÁAvÀgÀªÁVgÀĪÀ MAzÀÄ ZÀvÀĨsÀÄðdªÁVzÉ.
4.4.4 MAzÀÄ ¸ÀªÀiÁAvÀgÀ ZÀvÀĨsÀÄðdzÀ CA±ÀUÀ¼ÀÄ :
¸ÀªÀiÁAvÀgÀ ZÀvÀĨsÀÄðdzÀ°è £Á®ÄÌ ¨ÁºÀÄUÀ¼ÀÄ ªÀÄvÀÄÛ £Á®ÄÌ PÉÆãÀUÀ¼ÀÄ EªÉ. CzÀgÀ°è PÉ®ªÀÅ ¸ÀªÀÄ£ÁVªÉ. F CA±ÀUÀ¼ÉÆA¢UÉ ºÉÆA¢PÉÆArgÀĪÀ, £ÁªÀÅ £É£À¦£À°è ElÄÖPÉƼÀî¯ÉèÉÃPÁzÀ, PÉ®ªÀÅ CA±ÀUÀ½ªÉ.
PÉÆnÖgÀĪÀ ¸ÀªÀiÁAvÀgÀ ZÀvÀĨsÀÄðd ABCD (avÀæ 4.18) AiÀÄ°è,
AB ªÀÄvÀÄÛ DC UÀ¼ÀÄ "C©üªÀÄÄR ¨ÁºÀÄUÀ¼ÀÄ". AD ªÀÄvÀÄÛ BC UÀ¼ÀÄ ªÀÄvÉÆÛAzÀÄ eÉÆvÉ "C©üªÀÄÄR ¨ÁºÀÄ"UÀ¼ÁVªÉ.
avÀæ 4.18
ZÀvÀĨsÀÄðdUÀ¼À ¥ÀjZÀAiÀÄ 71
∠A ªÀÄvÀÄÛ ∠C UÀ¼ÀÄ MAzÀÄ eÉÆvÉ "C©üªÀÄÄR PÉÆãÀUÀ¼ÀÄ" ; ∠B ªÀÄvÀÄÛ ∠D UÀ¼ÀÄ ªÀÄvÉÆÛAzÀÄ eÉÆvÉ "C©üªÀÄÄR PÉÆãÀ"UÀ¼ÁVªÉ.
AB ªÀÄvÀÄÛ BC UÀ¼ÀÄ "¥Á±Àéð¨ÁºÀÄ"UÀ¼ÀÄ. CAzÀgÉ MAzÀÄ ÁºÀÄ«£À CAvÀå©AzÀÄ«¤AzÀ
ªÀÄvÉÆÛAzÀÄ ¨ÁºÀÄ DgÀA¨sÀªÁUÀÄvÀÛzÉ. BC ªÀÄvÀÄÛ CD UÀ¼ÀÄ ¥Á±Àéð¨ÁºÀÄUÀ¼É? E£ÀÆß JgÀqÀÄ eÉÆvÉ ¥Á±Àéð¨ÁºÀÄUÀ¼À£ÀÄß ¥ÀvÉÛ ªÀiÁqÀ®Ä ¥ÀæAiÀÄwß¹.
∠A ªÀÄvÀÄÛ ∠B, UÀ¼ÀÄ ¥Á±ÀéðPÉÆãÀUÀ¼ÀÄ. CªÀÅ MAzÀÄ ÁºÀÄ«£À CAvÀå©AzÀÄUÀ¼À°ègÀĪÀ JgÀqÀÄ PÉÆãÀUÀ¼ÀÄ. ∠B ªÀÄvÀÄÛ ∠CUÀ¼ÀÆ ÀºÀ ¥Á±ÀéðPÉÆãÀUÀ¼ÀÄ. ÀªÀiÁAvÀgÀ ZÀvÀĨsÀÄðdzÀ°ègÀĪÀ, G½¢gÀĪÀ ¥Á±ÀéðPÉÆãÀUÀ¼À eÉÆvÉUÀ¼À£ÀÄß UÀÄgÀÄw¹.
ªÀiÁr £ÉÆÃr
ABCD ªÀÄvÀÄÛ A'B'C'D' UÀ¼ÉA§ JgÀqÀÄ ¸ÀªÀð¸ÀªÀÄ ¸ÀªÀiÁAvÀgÀ ZÀvÀĨsÀÄðdUÀ¼À gÀnÖ£À ªÀiÁzÀjUÀ¼À£ÀÄß vÉUÉzÀÄPÉƽî (avÀæ 4.19)
avÀæ. 4.19
E°è AB AiÀÄÄ A B’ ’ UÉ ¸ÀªÀÄ£ÁVzÉ. ºÉ¸ÀgÀÄ ªÀiÁvÀæ ¨ÉÃgÉ DVzÉ. ºÁUÉAiÉÄÃ, ªÀÄvÉÆÛAzÀÄ C£ÀÄgÀÆ¥À ¨ÁºÀÄUÀ¼À eÉÆvÉAiÀÄÆ ¸ÀªÀÄ£ÁVzÉ.
A B’ ’ C£ÀÄß DC ªÉÄÃ¯É Er. CªÀÅ LPÀåUÉƼÀÄîvÀÛªÉAiÉÄÃ? FUÀ ¤ÃªÀÅ AB ªÀÄvÀÄÛ
DC UÀ¼À GzÀÝUÀ¼À §UÉÎ K£ÀÄ w½AiÀÄÄ«j?
ºÁUÉAiÉÄà AD ªÀÄvÀÄÛ BC UÀ¼À GzÀÝUÀ¼À£ÀÄß ¥ÀjÃQë¹. ¤ÃªÀÅ K£À£ÀÄß PÁtÄ«j?
FUÀ ¤ÃªÀÅ AB ªÀÄvÀÄÛ DC UÀ¼À£ÀÄß C¼ÉAiÀÄĪÀ ªÀÄÆ®PÀªÀÇ EzÀ£ÀÄß ¸Á¢ü¸À§ºÀÄzÀÄ.
®PÀët : "¸ÀªÀiÁAvÀgÀ ZÀvÀĨsÀÄðdzÀ C©üªÀÄÄR ¨ÁºÀÄUÀ¼ÀÄ ¸ÀªÀÄ£ÁVgÀÄvÀÛªÉ."
PÉÆãÀUÀ¼ÀÄ 30°– 60°– 90° EgÀĪÀ JgÀqÀÄ MAzÉà jÃwAiÀÄ ªÀÄƯɪÀÄlÖUÀ¼À£ÀÄß (set squares) vÉUÉzÀÄPÉÆAqÀÄ CªÀÅUÀ¼À£ÀÄß CPÀÌ¥ÀPÀÌzÀ°è avÀæ 4.20gÀ°è vÉÆÃj¹gÀĪÀAvÉ
eÉÆÃr¹. EzÀÄ ¤ªÀÄUÉ ªÉÄð£À ®PÀëtªÀ£ÀÄß vÁ¼É £ÉÆÃqÀ®Ä
¸ÀºÀPÁjAiÀiÁUÀĪÀÅzÉÃ?
EªÀÅUÀ¼À£ÀÄß ¥ÀæAiÀÄwß¹
avÀæ. 4.20
72 UÀtÂvÀ
¤ÃªÀÅ F D¯ÉÆÃZÀ£ÉAiÀÄ£ÀÄß ¸ÀªÀÄAd¸ÀªÁzÀ vÀPÀð¢AzÀ zÀÈrüÃPÀj¸À§ºÀÄzÀÄ.
¸ÀªÀiÁAvÀgÀ ZÀvÀĨsÀÄðd ABCD (avÀæ. 4.21) AiÀÄ£ÀÄß ¥ÀjUÀt¹. AiÀiÁªÀÅzÁzÀgÀÆ MAzÀÄ
PÀtðªÀ£ÀÄß J¼É¬Äj. (EzÀÄ AC DVgÀ°)
PÉÆãÀUÀ¼À£ÀÄß «ÃQë¹,
∠1 = ∠2 ªÀÄvÀÄÛ ∠3 = ∠4......(KPÉ?)
∆ABC ªÀÄvÀÄÛ ∆ADC UÀ¼À°è,
∠1 = ∠2, ∠3 = ∠4
ªÀÄvÀÄÛ AC AiÀÄÄ G¨sÀAiÀÄ ¸ÁªÀiÁ£Àå DzÀÝjAzÀ, PÉÆÃ.¨Á.PÉÆÃ. (ASA) ¹zÁÞAvÀzÀ ¥ÀæPÁgÀ
∆ ≅ ∆ABC ADC (E°è PÉÆÃ.¨Á.PÉÆÃ.ªÀ£ÀÄß ºÉÃUÉ §¼À¹zÉ?)
EzÀjAzÀ, AB DC= ªÀÄvÀÄÛ BC AD=
GzÁºÀgÀuÉ 3 : avÀæ 4.22 gÀ°è, ¸ÀªÀiÁAvÀgÀ ZÀvÀĨsÀÄðd PQRS £À ¸ÀÄvÀÛ¼ÀvÉAiÀÄ£ÀÄß PÀAqÀÄ»r¬Äj.
¥ÀjºÁgÀ : ÀªÀiÁAvÀgÀ ZÀvÀĨsÀÄðdzÀ°è, C©üªÀÄÄR ¨ÁºÀÄUÀ¼ÀÄ ¸ÀªÀĪÁVgÀÄvÀÛªÉ.
∴ PQ = SR = 12 ¸ÉA.«Äà ªÀÄvÀÄÛ
QR = PS = 7 ¸ÉA.«ÄÃ
DzÀÝjAzÀ ¸ÀÄvÀÛ¼ÀvÉ = PQ + QR + RS + SP
= 12 ÉA.«ÄÃ + 7 ÉA.«ÄÃ + 12 ÉA.«ÄÃ + 7 ÉA.«ÄÃ
= 38 ¸ÉA.«ÄÃ.
4.4.5 ¸ÀªÀiÁAvÀgÀ ZÀvÀĨsÀÄðdzÀ PÉÆãÀUÀ¼ÀÄ :
£ÁªÀÅ ¸ÀªÀiÁAvÀgÀ ZÀvÀĨsÀÄðdzÀ C©üªÀÄÄR ¨ÁºÀÄUÀ½UÉ ¸ÀA§A¢ü¹zÀ MAzÀÄ ®PÀëtªÀ£ÀÄß
PÀ°wzÉÝêÉ. PÉÆãÀUÀ¼À §UÉÎ £ÁªÀÅ K£ÀÄ ºÉüÀ§ºÀÄzÀÄ.?
avÀæ. 4.21
avÀæ 4.22
ZÀvÀĨsÀÄðdUÀ¼À ¥ÀjZÀAiÀÄ 73
ªÀiÁr £ÉÆÃr
ABCD MAzÀÄ ¸ÀªÀiÁAvÀgÀ
ZÀvÀĨsÀÄðd DVgÀ°. (avÀæ 4.23).
EzÀ£ÀÄß MAzÀÄ mÉæùAUï ºÁ¼ÉAiÀÄ ªÉÄïÉ
¥ÀæwAiÀÄ£ÀÄß vÉUɬÄj. F ¥ÀæwAiÀÄ£ÀÄß
A'B'C'D' JAzÀÄ ºÉ¸Àj¹. A'B'C'D' C£ÀÄß ABCD AiÀÄ ªÉÄÃ¯É Er.
PÀtðUÀ¼ÀÄ ÀA¢ü¸ÀĪÀ ©AzÀÄ«£À°è JgÀqÀÄ
avÀæUÀ¼À£ÀÄß MAzÀÄ ¸ÀÆf¬ÄAzÀ §A¢ü¹.
FUÀ mÉæùAUï ºÁ¼ÉAiÀÄ£ÀÄß 180° AiÀÄ°è wgÀÄV¹. ¸ÀªÀiÁAvÀgÀ ZÀvÀĨsÀÄðdUÀ¼ÀÄ ªÀÄvÉÛ ¸ÀªÀiÁUÀvÀUÉƼÀÄîvÀÛªÉ; DzÀgÉ A' ¸ÀjAiÀiÁV C ©AzÀÄ«£À ªÉÄðgÀÄvÀÛzÉ.
ºÁUÉAiÉÄà B' ¸ÀjAiÀiÁV D ©AzÀÄ«£À ªÉÄðgÀÄvÀÛzÉ. F UÀÄtªÀÅ
«¥ÀAiÀÄðAiÀĪÁVAiÀÄÆ EgÀĪÀÅzÀÄ.
avÀæ 4.23
EzÀjAzÀ ¤ªÀÄUÉ PÉÆãÀUÀ¼ÁzÀ A ªÀÄvÀÄÛ C UÀ¼À C¼ÀvÉUÀ¼À §UÉÎ K£ÁzÀgÀÆ w½AiÀÄÄvÀÛzÉAiÉÄ? ºÁUÉAiÉÄà PÉÆãÀUÀ¼ÁzÀ B ªÀÄvÀÄÛ D UÀ¼À §UÉÎAiÀÄÆ ¥ÀjÃQë¹.
®PÀët : "¸ÀªÀiÁAvÀgÀ ZÀvÀĨsÀÄðdzÀ C©üªÀÄÄR PÉÆãÀUÀ¼ÀÄ ¸ÀªÀÄ£ÁVgÀÄvÀÛªÉ."
PÉÆãÀUÀ¼ÀÄ 30° – 60° – 90° EgÀĪÀ MAzÉà ¸ÀªÀÄ£ÁzÀ JgÀqÀÄ ªÀÄÆ¯É ªÀÄlÖUÀ¼À£ÀÄß vÉUÉzÀÄPÉÆAqÀÄ »A¢£ÀAvÉAiÉÄà ¸ÀªÀiÁAvÀgÀ ZÀvÀĨsÀÄðdªÀ£ÀÄß ªÀÄÆr¹. FUÀ ¥ÀqÉ¢gÀĪÀ eÉÆÃqÀuɬÄAzÀ ªÉÄð£À ®PÀëtªÀ£ÀÄß ¸Á¢ü¸À®Ä ¸ÀºÀPÁjAiÀiÁUÀĪÀÅzÉÃ?
EªÀÅUÀ¼À£ÀÄß ¥ÀæAiÀÄwß¹
F ®PÀëtªÀ£ÀÄß ¸ÀªÀÄAd¸ÀªÁzÀ vÀPÀð¢AzÀ®Æ ¤gÀƦ¸À§ºÀÄzÀÄ. ¸ÀªÀiÁAvÀgÀ ZÀvÀĨsÀÄðd ABCD AiÀÄ°è (avÀæ 4.24).
AC ªÀÄvÀÄÛ BD UÀ¼ÀÄ PÀtðUÀ¼ÀÄ
∠1 = ∠2 ªÀÄvÀÄÛ ∠3 = ∠4 (KPÉ?)
avÀæ 4.24
∆ABC ªÀÄvÀÄÛ ∆ADC UÀ¼À£ÀÄß (avÀæ 4.25) ¥ÀævÉåÃPÀªÁV CzsÀåAiÀÄ£À ªÀiÁqÀĪÀÅzÀjAzÀ,
PÉÆÃ.¨Á.PÉÆÃ. ¸ÀªÀð¸ÀªÀÄvÉ ¤§AzsÀ£ÉAiÀÄÄ F CA±À w½AiÀÄ®Ä ¸ÀºÁAiÀÄ ªÀiÁqÀÄvÀÛzÉ.
∆ ≅ ∆ABC ACD (ºÉÃUÉ?)
74 UÀtÂvÀ
avÀæ 4.25
EzÀjAzÀ £ÀªÀÄUÉ w½AiÀÄĪÀÅzÀÄ ∠B ªÀÄvÀÄÛ ∠D UÀ¼ÀÄ ¸ÀªÀÄ£ÁVgÀÄvÀÛªÉ.EzÉà jÃwAiÀÄ°è ¤ÃªÀÅ m∠A = m∠C JAzÀÄ ¥ÀqÉAiÀħºÀÄzÀÄ.
¥ÀAiÀiÁðAiÀĪÁV ∠1 = ∠2 ªÀÄvÀÄÛ ∠3 = ∠4 DzÀÝjAzÀ m∠A = ∠1 + ∠4 =∠2 + ∠CGzÁºÀgÀuÉ 4 : avÀæ 4.26 gÀ°è BEST MAzÀÄ ¸ÀªÀiÁAvÀgÀ ZÀvÀĨsÀÄðd x, y ªÀÄvÀÄÛ z
¨É¯ÉUÀ¼À£ÀÄß PÀAqÀÄ»r¬Äj.
¥ÀjºÁgÀ : S, B UÉ C©üªÀÄÄRªÁVzÉ.
DzÀÝjAzÀ, x = 100° .......(C©üªÀÄÄR PÉÆãÀzÀ UÀÄt)
y = 100° .......(x £À C£ÀÄgÀÆ¥À PÉÆãÀ) z = 80° .......(KPÉAzÀgÉ∠y ªÀÄvÀÄÛ ∠z UÀ¼ÀÄ ¸ÀgÀ¼ÀAiÀÄÄUÀä) FUÀ £ÀªÀÄä UÀªÀÄ£ÀªÀ£ÀÄß ¸ÀªÀiÁAvÀgÀ ZÀvÀĨsÀÄðdzÀ
¥Á±ÀéðPÉÆãÀUÀ¼À PÀqÉUÉ wgÀÄV¹zÁUÀ,
¸ÀªÀiÁAvÀgÀ ZÀvÀĨsÀÄðd ABCD AiÀÄ°è (avÀæ 4.27) ∠A ªÀÄvÀÄÛ ∠D UÀ¼ÀÄ ¸ÀgÀ¼ÀPÉÆãÀ ¥ÀÆgÀPÀUÀ¼ÀÄ
KPÉAzÀgÉ DC AB|| ªÀÄvÀÄÛ DA bÉÃzÀPÀ, F
JgÀqÀÄ PÉÆãÀUÀ¼ÀÄ CAvÀgÁ©üªÀÄÄR PÉÆãÀUÀ¼ÁVªÉ.
∠A ªÀÄvÀÄÛ ∠B UÀ¼ÀÆ ¸ÀºÀ ¸ÀgÀ¼ÀPÉÆãÀ ¥ÀÆgÀPÀUÀ¼ÁVªÉ. KPÉ JAzÀÄ ºÉüÀ§°ègÁ? AD || BC ªÀÄvÀÄÛ BA bÉÃzÀPÀ, EzÀjAzÀ ∠A ªÀÄvÀÄÛ ∠B UÀ¼ÀÄ CAvÀgÁ©üªÀÄÄR PÉÆãÀUÀ¼ÁVªÉ.
avÀæ¢AzÀ, E£ÀÆß JgÀqÀÄ eÉÆvÉ ¸ÀgÀ¼ÀPÉÆãÀ ¥ÀÆgÀPÀPÉÆãÀUÀ¼À£ÀÄß UÀÄgÀÄw¹.
avÀæ 4.26
avÀæ 4.27
®PÀët : "¸ÀªÀiÁAvÀgÀ ZÀvÀĨsÀÄðdzÀ ¥Á±Àéð PÉÆãÀUÀ¼ÀÄ ¸ÀgÀ¼ÀPÉÆãÀ ¥ÀÆgÀPÀUÀ¼ÁVgÀÄvÀÛªÉ"
GzÁºÀgÀuÉ 5 : ¸ÀªÀiÁAvÀgÀ ZÀvÀĨsÀÄðd RING zÀ°è (avÀæ.4.28). m∠R = 70° G½zÀ J¯Áè PÉÆãÀUÀ¼À£ÀÄß
PÀAqÀÄ»r¬Äj.
¥ÀjºÁgÀ : m∠R = 70° DzÀÝjAzÀ m∠N = 70° avÀæ.4.28
ZÀvÀĨsÀÄðdUÀ¼À ¥ÀjZÀAiÀÄ 75
KPÉAzÀgÉ, ∠R ªÀÄvÀÄÛ ∠N UÀ¼ÀÄ
¸ÀªÀiÁAvÀgÀ ZÀvÀĨsÀÄðdzÀ C©üªÀÄÄRPÉÆãÀUÀ¼ÀÄ.
∠R ªÀÄvÀÄÛ ∠I UÀ¼ÀÄ ¸ÀgÀ¼ÀPÉÆãÀ ¥ÀÆgÀPÀUÀ¼ÁVªÉ, m∠I = 180° – 70° = 110°
ºÁUÀÆ, m∠G = 110° KPÉAzÀgÉ ∠G AiÀÄÄ ∠I UÉ C©üªÀÄÄR PÉÆãÀ
DzÀÝjAzÀ, m∠R = m∠N = 70° ªÀÄvÀÄÛ m∠I = m∠G = 110°
AiÉÆÃa¹, ZÀað¹ ªÀÄvÀÄÛ §gɬÄj
m∠R = m∠N = 70° JAzÀÄ vÉÆÃj¹zÀ £ÀAvÀgÀ m∠I ªÀÄvÀÄÛ m∠G UÀ¼À£ÀÄß ¨ÉÃgÉ AiÀiÁªÀÅzÁzÀgÀÆ «zsÁ£À¢AzÀ PÀAqÀÄ»rAiÀħºÀÄzÉ?
4.4.6. ¸ÀªÀiÁAvÀgÀ ZÀvÀĨsÀÄðdzÀ PÀtðUÀ¼ÀÄ :
¸ÁªÀiÁ£ÀåªÁV ¸ÀªÀiÁAvÀgÀ ZÀvÀĨsÀÄðdzÀ PÀtðUÀ¼ÀÄ ¸ÀªÀÄ£ÁVgÀĪÀÅ¢®è. (EzÀ£ÀÄß ¤ªÀÄä »A¢£À ZÀlĪÀnPÉUÀ¼À°è UÀªÀĤ¹¢ÝÃgÁ?). DzÀgÀÆ ¸ÀºÀ ¸ÀªÀiÁAvÀgÀ ZÀvÀĨsÀÄðdzÀ PÀtðUÀ¼ÀÄ MAzÀÄ ¸ÁégÀ¸ÀåPÀgÀ UÀÄtªÀ£ÀÄß ºÉÆA¢zÉ.
ªÀiÁr £ÉÆÃr
PÁUÀzÀ¢AzÀ PÀvÀÛj¹ vÀAiÀiÁj¹zÀ ¸ÀªÀiÁAvÀgÀ ZÀvÀĨsÀÄðdªÀ£ÀÄß vÉUÉzÀÄPÉƽî. CzÀÄ ABCD DVgÀ°. CzÀgÀ PÀtðUÀ¼ÁzÀ AC ªÀÄvÀÄÛ BD
UÀ¼ÀÄ O ©AzÀÄ«£À°è ¸ÀA¢ü¸À° (avÀæ. 4.29)C ©AzÀĪÀÅ A ©AzÀÄ«£À ªÉÄðgÀĪÀAvÉ ºÁ¼ÉAiÀÄ£ÀÄß ªÀÄr¹
AC AiÀÄ ªÀÄzsÀå©AzÀĪÀ£ÀÄß PÀAqÀÄ»r¬Äj. CzÀÄ 'O' ©AzÀĪÉà DVzÉAiÉÄÃ?
F CA±ÀªÀÅ PÀtð DB AiÀÄÄ PÀtð AC AiÀÄ£ÀÄß 'O' ©AzÀÄ«£À°è C¢üð¸ÀÄvÀÛzÉ JA§ÄzÀ£ÀÄß vÉÆÃj¸ÀĪÀÅzÉÃ? ¤ªÀÄä ¸ÉßûvÀgÉÆA¢UÉ EzÀ£ÀÄß ZÀað¹. ªÉÄ°£À ZÀlĪÀnPÉAiÀÄ£ÀÄß ¥ÀÄ£ÀgÁªÀwð¹ DB AiÀÄ ªÀÄzsÀå©AzÀĪÀ£ÀÄß PÀAqÀÄ»rAiÀÄ®Ä ¥ÀæAiÀÄwß¹.
avÀæ 4.29
®PÀët : "¸ÀªÀiÁAvÀgÀ ZÀvÀĨsÀÄðdzÀ PÀtðUÀ¼ÀÄ ¥ÀgÀ¸ÀàgÀ C¢üð¸ÀÄvÀÛªÉ". (CzÀÄ PÀtðUÀ¼ÀÄ bÉâ¸ÀĪÀ ©AzÀÄ«£À°èAiÉÄà EgÀÄvÀÛzÉ!)
76 UÀtÂvÀ
F ®PÀëtªÀ£ÀÄß ZÀað¹ ¸ÀªÀÄyð¸ÀĪÀÅzÀÄ vÀÄA¨Á PÀµÀÖPÀgÀªÉä®è. avÀæ 4.30 gÀ°è PÉÆÃ.¨Á.PÉÆÃ. ¤zsÁðgÀPÀ UÀÄtªÀ£ÀÄß C£Àé¬Ä¹ £ÉÆÃqÀ®Ä §ºÀ¼À ¸ÀÄ®¨sÀªÁVzÉ.
∆ ≅ ∆AOB COD (E°è PÉÆÃ.¨Á.PÉÆÃ.
ªÀ£ÀÄß ºÉÃUÉ §¼À¹zÉ?)
EzÀjAzÀ AO = CO ªÀÄvÀÄÛ BO = DO JAzÀÄ w½AiÀÄÄvÀÛzÉ.
avÀæ 4.30
GzÁºÀgÀuÉ 6 : avÀæ 4.31 gÀ°è HELP MAzÀÄ ¸ÀªÀiÁAvÀgÀ ZÀvÀĨsÀÄðd. (C¼ÀvÉUÀ¼ÀÄ ¸ÉA.«ÄÃ.£À°èªÉ) OE = 4 ªÀÄvÀÄÛ HL, PE VAvÀ 5 ºÉZÁÑVzÉ.
OH £À GzÀÝ PÀAqÀÄ»r¬Äj.
¥ÀjºÁgÀ : OE = 4 ∴ OP = 4 (KPÉ?) ºÁUÁV, PE = 8 (KPÉ?) DzÀÝjAzÀ HL = 8 + 5 = 13
OH = ×12
13
= 6.5 ¸ÉA.«ÄÃ.
avÀæ 4.31
C¨sÁå¸À 4.3
1. ¸ÀªÀiÁAvÀgÀ ZÀvÀĨsÀÄðd ABCD AiÀÄ£ÀÄß PÉÆqÀ¯ÁVzÉ.
PɼÀV£À ºÉýPÉUÀ¼À£ÀÄß ¸ÀA§A¢ü¹zÀ ªÁåSÉå CxÀªÁ UÀÄtªÀ£ÀÄß §¼À¹ ¥ÀÆtðUÉƽ¹.
(i) AD = .........
(ii) ∠DCB = ........
(iii) OC = .........
(iv) m∠DAB + m∠CDA = .......
ZÀvÀĨsÀÄðdUÀ¼À ¥ÀjZÀAiÀÄ 77
2. PɼÀUÉ PÉÆnÖgÀĪÀ ¸ÀªÀiÁAvÀgÀ ZÀvÀĨsÀÄðdUÀ¼À°è, CªÀåPÀÛ¥ÀzÀUÀ¼ÁzÀ x, y, z UÀ¼À ¨É¯ÉUÀ¼À£ÀÄß PÀAqÀÄ»r¬Äj.
(i) (ii)
30
(iii) (iv)
(v) 3. ZÀvÀĨsÀÄðd ABCD AiÀÄ°è PɼÀV£ÀAvÉ DzÁUÀ CzÀÄ ÀªÀiÁAvÀgÀ ZÀvÀĨsÀÄðdªÁUÀ§ºÀÄzÉÃ?
(i) ∠D + ∠B = 180° (ii) AB = DC = 8 cm, AD = 4 cm ªÀÄvÀÄÛ BC = 4.4 cm (iii) ∠A = 70° ªÀÄvÀÄÛ ∠C = 65° 4. JgÀqÀÄ C©üªÀÄÄR PÉÆãÀUÀ¼ÀÄ ¸ÀªÀÄ£ÁVgÀĪÀ, ¸ÀªÀiÁAvÀgÀ ZÀvÀĨsÀÄðdªÀ®èzÀ MAzÀÄ
ZÀvÀĨsÀÄðdzÀ PÀZÁÑ avÀæªÀ£ÀÄß §gɬÄj.
5. MAzÀÄ ¸ÀªÀiÁAvÀgÀ ZÀvÀĨsÀÄðdzÀ°è JgÀqÀÄ ¥Á±ÀéðPÉÆãÀUÀ¼À C¼ÀvÉUÀ¼ÀÄ 3:2 C£ÀÄ¥ÁvÀzÀ°èªÉ. ¸ÀªÀiÁAvÀgÀ ZÀvÀĨsÀÄðdzÀ ¥Àæw PÉÆãÀªÀ£ÀÄß PÀAqÀÄ»r¬Äj.
6. MAzÀÄ ¸ÀªÀiÁAvÀgÀ ZÀvÀĨsÀÄðdzÀ°è JgÀqÀÄ ¥Á±ÀéðPÉÆãÀUÀ¼ÀÄ ¸ÀªÀÄ£ÁVªÉ. ¸ÀªÀiÁAvÀgÀ ZÀvÀĨsÀÄðdzÀ ¥Àæw PÉÆãÀzÀ C¼ÀvÉUÀ¼À£ÀÄß PÀAqÀÄ»r¬Äj.
7. ¥ÀPÀÌzÀ°è PÉÆnÖgÀĪÀ avÀæ ¸ÀªÀiÁAvÀgÀ ZÀvÀĨsÀÄðd HOPE DVzÉ. PÉÆãÀUÀ¼ÁzÀ x, y, ªÀÄvÀÄÛ z£À C¼ÀvÉUÀ¼À£ÀÄß PÀAqÀÄ»r¬Äj. CªÀÅUÀ¼À£ÀÄß PÀAqÀÄ»rAiÀÄ®Ä §¼À¹zÀ UÀÄtUÀ¼À£ÀÄß w½¹.
78 UÀtÂvÀ
8. PɼÀUÉ PÉÆnÖgÀĪÀ avÀæUÀ¼ÁzÀ GUNS ªÀÄvÀÄÛ RUNS ¸ÀªÀiÁAvÀgÀ ZÀvÀĨsÀÄðdUÀ¼ÁVªÉ. x ªÀÄvÀÄÛ y UÀ¼À£ÀÄß PÀAqÀÄ»r¬Äj. (C¼ÀvÉUÀ¼ÀÄ ¸ÉA.«ÄÃ.£À°èªÉ)
(i) (ii)
9.
ªÉÄð£À avÀæzÀ°è, RISK ªÀÄvÀÄÛ CLUE ¸ÀªÀiÁAvÀgÀ ZÀvÀĨsÀÄðdUÀ¼ÀÄ, x£À ¨É¯É PÀAqÀÄ»r¬Äj.
10. PɼÀV£À avÀæ ºÉÃUÉ vÁæ¦dåªÁUÀÄvÀÛzÉ? «ªÀj¹. AiÀiÁªÀ MAzÀÄ eÉÆvÉ ¨ÁºÀÄUÀ¼ÀÄ ¸ÀªÀiÁAvÀgÀªÁVªÉ? (avÀæ. 4.32)
avÀæ. 4.32
11. avÀæ 4.33 gÀ°è, AB DC|| DzÀgÉ m∠C AiÀÄ ¨É¯É PÀAqÀÄ»r¬Äj.
avÀæ. 4.33
12. avÀæ 4.34 gÀ°è, SP RQ|| DzÀgÉ ∠P ªÀÄvÀÄÛ ∠S UÀ¼À C¼ÀvÉUÀ¼À£ÀÄß PÀAqÀÄ»r¬Äj. (m∠R £À ¨É¯É PÀAqÀÄ»rzÀ £ÀAvÀgÀ m∠P PÀAqÀÄ»rAiÀÄ®Ä MAzÀQÌAvÀ ºÉZÀÄÑ «zsÁ£ÀUÀ¼ÀÄ EªÉAiÉÄÃ?)
avÀæ. 4.34
4.5 PÉ®ªÀÅ «±ÉõÀ ¸ÀªÀiÁAvÀgÀ ZÀvÀĨsÀÄðdUÀ¼ÀÄ.
4.5.1. ªÀeÁæPÀÈw
¥ÀvÀAUÀzÀ (¸ÀªÀiÁAvÀgÀ ZÀvÀĨsÀÄðdªÁV®è¢gÀĪÀÅzÀÄ) MAzÀÄ «±ÉõÀ ¸ÀAzÀ¨sÀðzÀ°è PÁgÀt¢AzÀ £ÁªÀÅ ªÀeÁæPÀÈwAiÀÄ£ÀÄß ¥ÀqÉAiÀÄÄvÉÛêÉ. (MAzÀÄ ¸ÀªÀiÁAvÀgÀ ZÀvÀĨsÀÄðd)
ZÀvÀĨsÀÄðdUÀ¼À ¥ÀjZÀAiÀÄ 79
ªÀiÁr £ÉÆÃr
PÁUÀzÀzÀ PÀvÀÛj¸ÀÄ«PɬÄAzÀ vÀAiÀiÁj¹zÀ ¥ÀvÀAUÀªÀ£ÀÄß £É£À¦¹PÉƽî.
¥ÀvÀAUÀzÀ PÀvÀÛj¸ÀÄ«PÉ ªÀeÁæPÀÈwAiÀÄ PÀvÀÛj¸ÀÄ«PÉABC AiÀÄ GzÀÝPÀÆÌ PÀvÀÛj¹zÁUÀ ¤ªÀÄUÉ "¥ÀvÀAUÀ" zÉÆgÉAiÀÄÄvÀÛzÉ. E°è AB ªÀÄvÀÄÛ BC UÀ¼ÀÄ «©ü£Àß C¼ÀvÉUÀ¼À£ÀÄß ºÉÆA¢ªÉ.
AB = BC EgÀĪÀAvÉ gÉÃSÁRAqÀUÀ¼À£ÀÄß J¼ÉzÀÄ PÀvÀÛj¹zÁUÀ "ªÀeÁæPÀÈw" JA§ «±ÉõÀ ¥ÀvÀAUÀ zÉÆgÉAiÀÄÄvÀÛzÉ.
ªÀeÁæPÀÈwAiÀÄ°è J¯Áè ¨ÁºÀÄUÀ¼ÀÄ ¸ÀªÀÄ£ÁzÀ GzÀÝUÀ¼À£ÀÄß ºÉÆA¢gÀĪÀÅzÀ£ÀÄß UÀªÀĤ¹; EzÀÄ ¥ÀvÀAUÀzÀ «µÀAiÀÄzÀ°è ªÀiÁvÀæ DUÀĪÀÅ¢®è.
ªÀeÁæPÀÈwAiÀÄÄ J¯Áè ¨ÁºÀÄUÀ¼ÀÄ ¸ÀªÀÄ£ÁVgÀĪÀ ZÀvÀĨsÀÄðdªÁVzÉ.
ªÀeÁæPÀÈwAiÀÄ°è C©üªÀÄÄR ¨ÁºÀÄUÀ¼ÀÄ ¸ÀªÀÄ£ÁVgÀĪÀÅzÀjAzÀ CzÀÄ ÀªÀiÁAvÀgÀ ZÀvÀĨsÀÄðdªÀÇ DVzÉ. DzÀÝjAzÀ "MAzÀÄ ªÀeÁæPÀÈwAiÀÄÄ ¸ÀªÀiÁAvÀgÀ ZÀvÀĨsÀÄðd ªÀÄvÀÄÛ ¥ÀvÀAUÀzÀ J¯Áè UÀÄtUÀ¼À£ÀÄß ºÉÆA¢zÉ". CªÀÅUÀ¼À£ÀÄß ¥ÀnÖ ªÀiÁqÀ®Ä ¥ÀæAiÀÄwß¹. £ÀAvÀgÀ ¤ÃªÀÅ F UÀÄtUÀ¼À£ÀÄß EzÉà CzsÁåAiÀÄzÀ°è F ªÉÆzÀ®Ä ¥ÀqÉzÀ C©ü¥ÁæAiÀÄUÀ¼ÉÆA¢UÉ vÁ¼É £ÉÆÃr. ªÀeÁæPÀÈwAiÀÄ°è PÀtðUÀ½UÉ ¸ÀA§A¢ü¹zÀ UÀÄtªÉà CvÀåAvÀ G¥ÀAiÀÄÄPÀÛ.
¥ÀvÀAUÀ ªÀeÁæPÀÈw
®PÀët : "ªÀeÁæPÀÈwAiÀÄ PÀtðUÀ¼ÀÄ ¥ÀgÀ¸ÀàgÀ ®A¨ÁzsÀðPÀUÀ¼ÁVgÀÄvÀÛªÉ."
ªÀiÁr £ÉÆÃr
ªÀeÁæPÀÈwAiÀÄ£ÀÄß PÁUÀzÀzÀ°è PÀvÀÛj¹ vÉUÉzÀÄPÉƽî. CzÀ£ÀÄß ªÀÄr¸ÀĪÀ ªÀÄÆ®PÀ PÀtðUÀ¼À bÉÃzÀPÀ ©AzÀĪÉà ¥Àæw PÀtðzÀ ªÀÄzsÀå©AzÀÄ JA§ÄzÀ£ÀÄß ¥ÀjÃQë¹. ªÀÄƯɪÀÄlÖªÀ£ÀÄß §¼À¹ CzÀgÀ PÀtðUÀ¼ÀÄ ®A§PÉÆãÀzÀ°è C¢üð¸ÀÄvÀÛªÉ JAzÀÆ UÀªÀĤ¸À§ºÀÄzÀÄ.
80 UÀtÂvÀ
F UÀÄtªÀ£ÀÄß ¤dªÉAzÀÄ vÀPÀðzÀ ªÀÄÆ®PÀ ¸ÀªÀÄyð¸À¯ÁVzÉ.
ABCD MAzÀÄ ªÀeÁæPÀÈw (avÀæ 4.35) CzÀÝjAzÀ¯Éà CzÀÄ ÀªÀiÁAvÀgÀ ZÀvÀĨsÀÄðdªÀÇ DVzÉ.
PÀtðUÀ¼ÀÄ ¥ÀgÀ¸ÀàgÀ C¢üð¸ÀĪÀÅzÀjAzÀ,
OA = OC ªÀÄvÀÄÛ OB = OD DUÀÄvÀÛzÉ.FUÀ m∠AOD = m∠COD = 90° JAzÀÄ vÉÆÃj¸À¨ÉÃPÀÄ. wæ¨sÀÄdUÀ¼À ¸ÀªÀð¸ÀªÀÄvÉ ¤zsÁðgÀPÀ UÀÄt¢AzÀ,
∆ ≅ ∆AOD COD avÀæ 4.35
DzÀÝjAzÀ, m∠AOD = m∠COD ∠AOD ªÀÄvÀÄÛ ∠COD UÀ¼ÀÄ
¸ÀgÀ¼ÀAiÀÄÄUÀäUÀ¼ÁVªÉ.
∴ m∠AOD = m∠COD = 90°
KPÉAzÀgÉ AO = CO KPÉ? AD = CD KPÉ? OD = OD
GzÁºÀgÀuÉ 7 : RICE MAzÀÄ ªÀeÁæPÀÈw (avÀæ. 4.36), x, y, z UÀ¼À£ÀÄß PÀAqÀÄ»r¬Äj. ¤ªÀÄä GvÀÛgÀUÀ¼À£ÀÄß ¸ÀªÀÄyð¹.
¥ÀjºÁgÀ : x = OE = OI .......(PÀtðUÀ¼ÀÄ C¢üð¸ÀÄvÀÛªÉ.)
= 5 y = OR = OC (PÀtðUÀ¼ÀÄ C¢üð¸ÀÄvÀÛªÉ.)
= 12
z = ªÀeÁæPÀÈwAiÀÄ ¨ÁºÀÄ
= 13 (J¯Áè ¨ÁºÀÄUÀ¼ÀÄ ¸ÀªÀÄ) avÀæ 4.36
4.5.2. DAiÀÄvÀ
J¯Áè PÉÆãÀUÀ¼À C¼ÀvÉUÀ¼ÀÄ ¸ÀªÀÄ£ÁVgÀĪÀ ¸ÀªÀiÁAvÀgÀ ZÀvÀĨsÀÄðdªÀ£ÀÄß "DAiÀÄvÀ" J£ÀÄߪÀgÀÄ.
F ªÁåSÉåAiÀÄ ¸ÀA¥ÀÆtð CxÀðªÉãÀÄ? ¤ªÀÄä ¸ÉßûvÀgÉÆA¢UÉ ZÀað¹.
DAiÀÄvÀªÀÅ ¸ÀªÀÄPÉÆäÃAiÀĪÁVgÀ®Ä ¥Àæw PÉÆãÀzÀ C¼ÀvÉ J¶ÖgÀ¨ÉÃPÀÄ?
DAiÀÄvÀzÀ ¥Àæw PÉÆãÀzÀ C¼ÀvÉ = x°ºÁUÁzÀgÉ, 4x° = 360°.......(KPÉ?)DzÀÝjAzÀ x° = 90°
avÀæ 4.37
CAzÀgÉ, DAiÀÄvÀzÀ ¥ÀæwAiÉÆAzÀÄ PÉÆãÀªÀÅ ®A§PÉÆãÀªÁVzÉ. DzÀÝjAzÀ, DAiÀÄvÀªÀÅ, ¥ÀæwAiÉÆAzÀÄ PÉÆãÀªÀÅ ®A§PÉÆãÀªÁVgÀĪÀ ¸ÀªÀiÁAvÀgÀ ZÀvÀĨsÀÄðd.
ZÀvÀĨsÀÄðdUÀ¼À ¥ÀjZÀAiÀÄ 81
DAiÀÄvÀªÀÅ ¸ÀªÀiÁAvÀgÀ ZÀvÀĨsÀÄðdªÁVgÀĪÀÅzÀjAzÀ C©üªÀÄÄR ¨ÁºÀÄUÀ¼ÀÄ ¸ÀªÀÄ£ÁVzÀÄÝ. CzÀgÀ PÀtðUÀ¼ÀÄ ¥ÀgÀ¸ÀàgÀ C¢üð¸ÀÄvÀÛªÉ.
¸ÀªÀiÁAvÀgÀ ZÀvÀĨsÀÄðdzÀ°è PÀtðUÀ¼ÀÄ «©ü£Àß GzÀÝzÀ°ègÀ§ºÀÄzÀÄ. (EzÀ£ÀÄß ¥ÀjÃQë¹); DzÀgÉ D±ÀÑAiÀÄðªÉAzÀgÉ, DAiÀÄvÀªÀÅ (MAzÀÄ «±ÉõÀ ¸ÀAzÀ¨sÀðªÁzÀ PÁgÀt) ¸ÀªÀÄ£ÁzÀ PÀtðUÀ¼À£ÀÄß ºÉÆA¢gÀÄvÀÛzÉ.
®PÀët : "DAiÀÄvÀzÀ PÀtðUÀ¼ÀÄ ¸ÀªÀÄ£ÁVgÀÄvÀÛªÉ."
avÀæ 4.38 avÀæ 4.39 avÀæ 4.40
EzÀ£ÀÄß ¸ÀªÀÄyð¸ÀĪÀÅzÀÄ §ºÀ¼À ¸ÀÄ®¨sÀ. ABCD AiÀÄÄ MAzÀÄ DAiÀÄvÀªÁzÀgÉ, (avÀæ 4.38), ∆ABCD ªÀÄvÀÄÛ ∆ABD wæ¨sÀÄdUÀ¼À£ÀÄß ¥ÀævÉåÃPÀªÁV UÀªÀĤ¹zÁUÀ, [(avÀæ. 4.39) ªÀÄvÀÄÛ (avÀæ 4.40) PÀæªÀĪÁV]
∆ ≅ ∆ABC ABD JAzÀÄ ºÉüÀ§ºÀÄzÀÄ.
EzÀÄ ºÉÃUÉAzÀgÉ, AB = AB ......(G¨sÀAiÀÄ ¸ÁªÀiÁ£Àå)
BC = AD ......(KPÉ?)
m∠B = m∠A = 90° .......(KPÉ?) EzÀÄ wæ¨sÀÄdUÀ¼À ¸ÀªÀð¸ÀªÀÄvÉAiÀÄ ¨Á.PÉÆÃ.¨Á ¤zsÁðgÀPÀ UÀÄtzÀ C£ÀĸÁgÀªÁV
∆ ≅ ∆ABC ABD
CAzÀgÉ AC = BD
"DAiÀÄvÀzÀ°è PÀtðUÀ¼ÀÄ ¸ÀªÀÄ£ÁVgÀĪÀÅzÀgÀ eÉÆvÉUÉ ¥ÀgÀ¸ÀàgÀ C¢üð¸ÀÄvÀÛªÉ." (KPÉ?)
GzÁºÀgÀuÉ 8 : avÀæ 4.41 gÀ°è RENT MAzÀÄ DAiÀÄvÀ CzÀgÀ PÀtðUÀ¼ÀÄ 'O' ©AzÀÄ«£À°è ¸ÀA¢ü¹ªÉ. OR = 2x + 4 ªÀÄvÀÄÛ OT = 3x + 1 DzÀgÉ x £À ¨É¯É PÀAqÀÄ»r¬Äj.
¥ÀjºÁgÀ : OT ¨ÁºÀĪÀÅ TE AiÀÄ CzsÀðzÀ¶ÖzÉ.
OR ¨ÁºÀĪÀÅ RN £À CzsÀðzÀ¶ÖzÉ.
DAiÀÄvÀzÀ°è PÀtðUÀ¼ÀÄ ¸ÀªÀÄ. (KPÉ?)
CAzÀgÉ PÀtðzÀ CzsÀðUÀ¼ÀÆ ¸ÀºÀ ¸ÀªÀÄ£ÁVgÀÄvÀÛªÉ.
DzÀÝjAzÀ, 3x + 1 = 2x + 4 CxÀªÁ x = 3 avÀæ 4.41
A
D
BA
C
B
82 UÀtÂvÀ
4.5.3. ZËPÀ (SQUARE)J¯Áè ¨ÁºÀÄUÀ¼ÀÆ ¸ÀªÀÄ£ÁVgÀĪÀ DAiÀÄvÀªÉà 'ZËPÀ'. ZËPÀªÀÅ DAiÀÄvÀzÀ J¯Áè UÀÄtUÀ¼À£ÀÄß ºÉÆA¢zÀÄÝ CzÀgÉÆA¢UÉ J¯Áè ÁºÀÄUÀ¼ÀÄ ÀªÀÄ£ÁVªÉ JA§ CªÀ±ÀåPÀ «±ÉõÀ UÀÄtªÀ£ÀÄß ºÉÆA¢zÉ.
ZËPÀªÀÅ DAiÀÄvÀzÀ°è EgÀĪÀAvÉAiÉÄà ¸ÀªÀÄ£ÁzÀ PÀtðUÀ¼À£ÀÄß ºÉÆA¢zÉ.
DAiÀÄvÀzÀ°è PÀtðUÀ¼ÀÄ ®A§ªÁVgÀĪÀÅzÀÄ CªÀ±ÀåPÀªÁV®è. (EzÀ£ÀÄß ¥ÀjÃQë¹)
ZËPÀzÀ°è PÀtðUÀ¼ÀÄ,
(i) ¥ÀgÀ¸ÀàgÀ C¢üð¸ÀÄvÀÛªÉ.....(ZËPÀªÀÅ MAzÀÄ ¸ÀªÀiÁAvÀgÀ ZÀvÀĨsÀÄðd)
(ii) ¸ÀªÀÄ£ÁVgÀÄvÀÛªÉ.....(ZËPÀªÀÅ MAzÀÄ DAiÀÄvÀªÁVzÉ) ªÀÄvÀÄÛ
(iii) ¥ÀgÀ¸ÀàgÀ ®A§ªÁVgÀÄvÀÛªÉ.
DzÀÝjAzÀ F PɼÀV£À ®PÀëtªÀ£ÀÄß ¥ÀqÉAiÀħºÀÄzÀÄ.
®PÀët : "ZËPÀzÀ°è PÀtðUÀ¼ÀÄ ¥ÀgÀ¸ÀàgÀ ®A§ªÁV C¢üð¸ÀÄvÀÛzÉ."
ªÀiÁr £ÉÆÃr
MAzÀÄ ZËPÁPÁgÀzÀ ºÁ¼ÉAiÀÄ£ÀÄß vÉUÉzÀÄPÉƽî. (avÀæ. 4.42) CzÀÄ PQRS CzÀ£ÀÄß PÀtðUÀ¼À ªÉÄÃ¯É ªÀÄr¹. JgÀqÀÆ PÀtðUÀ¼À ªÀÄzsÀå©AzÀÄ MAzÉà DVzÉAiÉÄÃ?
'O' ©AzÀÄ«£À°è PÉÆãÀªÀÅ 90° UÉ ¸ÀªÀÄ£ÁVzÉAiÉÄà JAzÀÄ ªÀÄÆ¯É ªÀÄlÖ¢AzÀ ¥ÀjÃQë¹.
»ÃUÉ ªÉÄÃ¯É ºÉýgÀĪÀ UÀÄtªÀÅ ¸ÀªÀÄyð¸À®àqÀÄvÀÛzÉ.
avÀæ. 4.42
F ®PÀëtªÀ£ÀÄß ¸ÀªÀÄAd¸ÀªÁzÀ vÀPÀð¢AzÀ ZÀZÉðAiÀÄ ªÀÄÆ®PÀªÀÇ ¸ÀªÀÄyð¸À§ºÀÄzÀÄ.
ABCD ZËPÀzÀ°è PÀtðUÀ¼ÀÄ 'O' ©AzÀÄ«£À°è ¸ÀA¢ü¸ÀÄwÛªÉ. (avÀæ 4.43)
OA = OC....(KPÉAzÀgÉ ZËPÀªÀÅ MAzÀÄ ÀªÀiÁAvÀgÀ ZÀvÀĨsÀÄðd)
wæ¨sÀÄdUÀ¼À ¸ÀªÀð¸ÀªÀÄvÉ ¨Á.¨Á.¨Á. ¤zsÁðgÀPÀ UÀÄt¢AzÀ∆ ≅ ∆AOD COD JAzÀÄ ºÉüÀ§ºÀÄzÀÄ (ºÉÃUÉ)
CAzÀgÉ, m∠AOD = m∠CODDzÀgÉ F PÉÆãÀUÀ¼ÀÄ ¸ÀgÀ¼ÀAiÀÄÄUÀäUÀ¼ÁVgÀĪÀÅzÀjAzÀ ¥Àæw
PÉÆãÀªÀÅ 90° UÉ ¸ÀªÀÄ£ÁVgÀÄvÀÛzÉ.
BELT MAzÀÄ ZËPÀªÁVzÉ, BE = EL = LT = TB.∠B = ∠E = ∠L = ∠T EªÀÅ ®A§PÉÆãÀUÀ¼ÀÄ.
BL = ET ªÀÄvÀÄÛ BL ET⊥
OB = OL ªÀÄvÀÄÛ OE = OT
avÀæ 4.43
ZÀvÀĨsÀÄðdUÀ¼À ¥ÀjZÀAiÀÄ 83
C¨sÁå¸À 4.4
1. PɼÀUÉ PÉÆnÖgÀĪÀ ºÉýPÉUÀ¼ÀÄ ¸ÀjAiÉÄÃ, vÀ¥Éàà w½¹.
(a) J¯Áè DAiÀÄvÀUÀ¼ÀÆ ZËPÀUÀ¼ÁVªÉ. (b) J¯Áè ªÀeÁæPÀÈwUÀ¼ÀÆ ¸ÀªÀiÁAvÀgÀ ZÀvÀĨsÀÄðdUÀ¼ÀÄ. (c) J¯Áè ZËPÀUÀ¼ÀÄ, ªÀeÁæPÀÈwUÀ¼ÀÆ ªÀÄvÀÄÛ DAiÀÄvÀUÀ¼Éà DVgÀÄvÀÛªÉ. (d) J¯Áè ZËPÀUÀ¼ÀÄ, ¸ÀªÀiÁAvÀgÀ ZÀvÀĨsÀÄðdUÀ¼À®è. (e) J¯Áè ¥ÀvÀAUÀUÀ¼ÀÄ ªÀeÁæPÀÈwUÀ¼ÁVgÀÄvÀÛªÉ. (f) J¯Áè ªÀeÁæPÀÈwUÀ¼ÀÆ ¥ÀvÀAUÀUÀ¼ÁVgÀÄvÀÛªÉ. (g) J¯Áè ¸ÀªÀiÁAvÀgÀ ZÀvÀĨsÀÄðdUÀ¼ÀÆ vÁæ¦dåUÀ¼ÁUÀÄvÀÛªÉ. (h) J¯Áè ZËPÀUÀ¼ÀÆ vÁæ¦dåUÀ¼ÁUÀÄvÀÛªÉ. 2. PɼÀV£ÀAvÉ CA±ÀUÀ¼À£ÀÄß ºÉÆA¢gÀĪÀ ZÀvÀĨsÀÄðdUÀ¼À£ÀÄß UÀÄgÀÄw¹.
(a) ¸ÀªÀĪÁzÀ £Á®ÄÌ ¨ÁºÀÄUÀ¼ÀÄ (b) £Á®ÄÌ ®A§PÉÆãÀUÀ¼ÀÄ
3. ZËPÀªÀÅ AiÀiÁªÁUÀ F PɼÀV£À DPÀÈwAiÀiÁUÀÄvÀÛzÉ? «ªÀj¹.
(i) ZÀvÀĨsÀÄðd (ii) ¸ÀªÀiÁAvÀgÀ ZÀvÀĨsÀÄðd (iii) ªÀeÁæPÀÈw (iv) DAiÀÄvÀ 4. PɼÀV£À ZÀvÀĨsÀÄðdUÀ¼À£ÀÄß ºÉ¸Àj¹.
(a) PÀtðUÀ¼ÀÄ ¥ÀgÀ¸ÀàgÀ C¢üð¸ÀÄvÀÛªÉ. (b) PÀtðUÀ¼ÀÄ ¥ÀgÀ¸ÀàgÀ ®A¨ÁzsÀðPÀUÀ¼ÁVgÀÄvÀÛªÉ.
(c) PÀtðUÀ¼ÀÄ ¸ÀªÀÄ£ÁVgÀÄvÀÛªÉ.
5. DAiÀÄvÀªÀÅ MAzÀÄ §»ªÀðPÀæ ZÀvÀĨsÀÄðdªÁVgÀ®Ä PÁgÀtªÀ£ÀÄß «ªÀj¹.
6. ABC AiÀÄÄ MAzÀÄ ®A§PÉÆãÀ wæ¨sÀÄdªÁVzÀÄÝ, 'O' ©AzÀĪÀÅ ®A§PÉÆãÀPÉÌ C©üªÀÄÄR ¨ÁºÀÄ«£À ªÀÄzsÀå©AzÀĪÁVzÉ. 'O' ©AzÀĪÀÅ A,B ªÀÄvÀÄÛ C ©AzÀÄUÀ½AzÀ ÀªÀÄzÀÆgÀzÀ°èzÉ KPÉ? «ªÀj¹. (¤ªÀÄUÉ ¸ÀºÁAiÀÄ ªÀiÁqÀ®Ä ZÀÄPÉÌ UÉgÉUÀ¼À£ÀÄß J¼ÉAiÀįÁVzÉ.)
AiÉÆÃa¹, ZÀað¹ ªÀÄvÀÄÛ §gɬÄj
1. M§â UÁgÉ PÉ®¸ÀzÀªÀ£ÀÄ ºÁ¸ÀÄUÀ®è£ÀÄß PÁAQæÃmï¤AzÀ vÀAiÀiÁj¹zÁÝ£É. CªÀ¤UÉ CzÀÄ MAzÀÄ DAiÀÄvÀªÁVgÀ¨ÉÃQzÉ. CªÀ£ÀÄ AiÀiÁªÀ AiÀiÁªÀ «zsÁ£ÀUÀ½AzÀ CzÀÄ DAiÀÄvÀªÉAzÀÄ zsÀÈqsÀ¥Àr¹PÉƼÀÀÄzÀÄ?
2. ZËPÀªÀ£ÀÄß J¯Áè ¨ÁºÀÄUÀ¼ÀÄ ¸ÀªÀÄ£ÁVgÀĪÀ DAiÀÄvÀªÉAzÀÄ ªÁåSÁ夹zÉ. CzÀ£ÀÄß ¸ÀªÀÄPÉÆäÃAiÀĪÁVgÀĪÀ ªÀeÁæPÀÈwAiÉÄAzÀÄ ªÁåSÁ夸À§ºÀÄzÉÃ? F AiÉÆÃZÀ£ÉAiÀÄ£ÀÄß D«µÀÌj¹.
3. MAzÀÄ vÁæ¦dåªÀÅ vÀ£Àß J¯Áè PÉÆãÀUÀ¼À£ÀÄß ÀªÀĪÁVgÀĪÀAvÉ ºÉÆAzÀ§ºÀÄzÉ? CzÀÄ vÀ£Àß J¯Áè ¨ÁºÀÄUÀ¼À£ÀÄß ¸ÀªÀĪÁVgÀĪÀAvÉ ºÉÆAzÀ§ºÀÄzÉ? «ªÀj¹.
84 UÀtÂvÀ
¸ÁgÁA±À
ZÀvÀĨsÀÄðd ®PÀëtUÀ¼ÀÄ
¸ÀªÀiÁAvÀgÀ ZÀvÀĨsÀÄðd: C©üªÀÄÄR ¨ÁºÀÄUÀ¼ÀÄ ¸ Àª À iÁAv Àg ÀªÁVg À Ī À ZÀvÀĨsÀÄðd.
1. C©üªÀÄÄR ¨ÁºÀÄUÀ¼ÀÄ ¸ÀªÀÄ.
2. C©üªÀÄÄR PÉÆãÀUÀ¼ÀÄ ¸ÀªÀÄ.
3. PÀtðUÀ¼ÀÄ ¥ÀgÀ¸ÀàgÀ C¢üð¸ÀÄvÀÛªÉ.
ªÀeÁæPÀÈw : J¯Áè ¨ÁºÀÄUÀ¼ÀÄ ÀªÀÄ£ÁVgÀĪÀ ¸ÀªÀiÁAvÀgÀ ZÀvÀĨsÀÄðd.
1. ¸ÀªÀiÁAvÀgÀ ZÀvÀĨsÀÄðdzÀ J¯Áè UÀÄtUÀ¼ÀÄ.
2. PÀtðUÀ¼ÀÄ ¥ÀgÀ¸ÀàgÀ ®A§ªÁV EgÀÄvÀÛªÉ.
DAiÀÄvÀ : MAzÀÄ PÉÆãÀ ®A§PÉÆãÀªÁVgÀĪ À ¸ÀªÀiÁAvÀgÀ ZÀvÀĨsÀÄðd.
1. ÀªÀiÁAvÀgÀ ZÀvÀĨsÀÄðdzÀ J¯Áè UÀÄtUÀ¼ÀÄ.
2. ¥ÀæwAiÉÆAzÀÄ PÉÆãÀªÀÅ 90° UÉ ¸ÀªÀÄ.
3. PÀtðUÀ¼ÀÄ ¸ÀªÀÄ.
ZËPÀ : J¯Áè ¨ÁºÀÄUÀ¼ÀÄ ¸ÀªÀÄ£ÁVgÀĪÀ DAiÀÄvÀ.
¸ÀªÀiÁAvÀgÀ ZÀvÀĨsÀÄðd, ªÀeÁæPÀÈw ªÀÄvÀÄÛ DAiÀÄvÀUÀ¼À J¯Áè UÀÄtUÀ¼ÀÄ
¥ÀvÀAUÀ : JgÀqÉà JgÀqÀÄ eÉÆvÉ C£ÀÄPÀæªÀÄ ¨ÁºÀÄUÀ¼ÀÄ ÀªÀÄ£ÁVgÀĪÀ ZÀvÀĨsÀÄðd.
1. PÀtðUÀ¼ÀÄ ¥ÀgÀ¸ÀàgÀ ®A§ªÁV EgÀÄvÀÛªÉ.
2. MAzÀÄ PÀtðªÀÅ ªÀiÁvÀæ ªÀÄvÉÆÛAzÀÄ PÀtðªÀ£ÀÄß C¢üð¸ÀÄvÀÛzÉ.
3. (avÀæzÀ°è) m∠B = m∠D ªÀÄvÀÄÛ m∠A ≠ m∠C
5.1 ¦ÃpPÉ
¤ªÀÄUÉ w½¢gÀĪÀAvÉ ZËPÀzÀ «¹ÛÃtð = ¨ÁºÀÄ × ¨ÁºÀÄ (E°è `¨ÁºÀÄ' JAzÀgÉ ¨ÁºÀÄ«£À GzÀÝ) PɼÀV£À PÉÆõÀÖPÀªÀ£ÀÄß C¨sÀå¹¹.
ZËPÀzÀ ¨ÁºÀÄ (¸ÉA.«ÄÃ) ZËPÀzÀ «¹ÛÃtð (ZÀ.¸ÉA.«ÄÃ)
1 1 × 1 = 1 = 12
2 2 × 2 = 4 = 22
3 3 × 3 = 9 = 32
5 5 × 5 = 25 = 52
8 8 × 8 = 64 = 82
a a × a = a2
4, 9, 25, 64 ªÀÄvÀÄÛ EAvÀºÀ EvÀgÉ ¸ÀASÉåUÀ¼À «±ÉõÀvÉ K£ÀÄ?
4 £ÀÄß F jÃwAiÀiÁV ªÀåPÀÛ¥Àr¸À§ºÀÄzÀÄ 2 × 2 = 22, 9£ÀÄß F jÃwAiÀiÁV ªÀåPÀÛ¥Àr¸À§ºÀÄzÀÄ, 3 × 3 = 32. MAzÀÄ ¸ÀASÉåAiÀÄ£ÀÄß CzÉà ¸ÀASÉå¬ÄAzÀ UÀÄt¹ F jÃwAiÀÄ ¸ÀASÉåUÀ¼À£ÀÄß ¥ÀqÉAiÀħºÀÄzÀÄ.
1, 4, 9, 16, 25 ...... F jÃwAiÀÄ ¸ÀASÉåUÀ¼À£ÀÄß ªÀUÀð ¸ÀASÉåUÀ¼ÉAzÀÄ PÀgÉAiÀÄĪÀgÀÄ.
¸ÁªÀiÁ£ÀåªÁV ºÉüÀĪÀÅzÁzÀgÉ m ªÀÄvÀÄÛ n UÀ¼ÉgÀqÀÄ ¸Áé¨sÁ«PÀ ¸ÀASÉåUÀ¼ÁVzÀÄÝ m £ÀÄß n2 JAzÀÄ §gÉAiÀħºÀÄzÁzÀgÉ m MAzÀÄ ªÀUÀð¸ÀASÉåAiÀiÁVgÀÄvÀÛzÉ.
32 MAzÀÄ ªÀUÀð¸ÀASÉåAiÉÄÃ?
£ÀªÀÄUÉ w½¢gÀĪÀAvÉ 52 = 25 ªÀÄvÀÄÛ 62 = 36. MAzÀÄ ªÉÃ¼É 32 ªÀUÀð¸ÀASÉåAiÀiÁVzÁÝgÉ EzÀÄ 5 ªÀÄvÀÄÛ 6gÀ £ÀqÀÄ«£À ¸Áé¨sÁ«PÀ ¸ÀASÉåAiÀÄ ªÀUÀðªÁVgÀ¯ÉèÉÃPÀÄ. DzÀgÉ 5 ªÀÄvÀÄÛ 6 gÀ £ÀqÀÄªÉ AiÀiÁªÀÅzÉà ¸Á¨sÁ«PÀ ¸ÀASÉå EgÀĪÀÅ¢®è.
DzÀÝjAzÀ 32 MAzÀÄ ªÀUÀð¸ÀASÉåAiÀÄ®è.
CzsÁåAiÀÄ
5ªÀUÀðUÀ¼ÀÄ ªÀÄvÀÄÛ ªÀUÀðªÀÄÆ®UÀ¼ÀÄ
86 UÀtÂvÀ
PɼÀV£À ¸ÀASÉåUÀ¼ÀÄ ªÀÄvÀÄÛ CªÀÅUÀ¼À ªÀUÀðUÀ¼À£ÀÄß ¥ÀjUÀt¹.
¸ÀASÉå ªÀUÀð
1 1 × 1 = 12 2 × 2 = 43 3 × 3 = 94 4 × 4 = 165 5 × 5 = 256 -------------7 -------------8 -------------9 -------------10 -------------
F ªÉÄð£À PÉÆõÀÖPÀ¢AzÀ £ÁªÀÅ 1 ªÀÄvÀÄÛ 100 gÀ £ÀqÀÄ«£À ªÀUÀð¸ÀASÉåUÀ¼À£ÀÄß ¥ÀnÖ ªÀiÁqÀ§ºÀÄzÉÃ? 100 gÀªÀgÉV£À AiÀiÁªÀÅzÉà ¸Áé¨sÁ«PÀ ªÀUÀð¸ÀASÉåUÀ¼ÀÄ ©lÄÖ ºÉÆÃVªÉAiÉÄÃ?
¤ªÀÄUÉ w½AiÀÄĪÀÅzÉãÉAzÀgÉ, G½zÀ ¸ÀASÉåUÀ¼ÀÄ ªÀUÀð¸ÀASÉåUÀ¼ÁV®è. 1, 4, 9, 16........ F ¸ÀASÉåUÀ¼ÀÄ ªÀUÀð¸ÀASÉåUÀ¼ÁVªÉ. EAvÀºÀ ¸ÀASÉåUÀ¼À£ÀÄß ¥ÀÆtðªÀUÀðUÀ¼ÉAzÀÄ ¸ÀºÀ PÀgÉAiÀÄĪÀgÀÄ.
EªÀÅUÀ¼À£ÀÄß ¥ÀæAiÀÄwß¹
F ÀASÉåUÀ¼À £ÀqÀÄªÉ EgÀĪÀ ªÀUÀð¸ÀASÉåUÀ¼À£ÀÄß §gɬÄj.
(i) 30 ªÀÄvÀÄÛ 40 (ii) 50 ªÀÄvÀÄÛ 60
5.2 ªÀUÀð¸ÀASÉåUÀ¼À UÀÄt®PÀëtUÀ¼ÀÄ
PɼÀV£À PÉÆõÀÖPÀzÀ°è 1 jAzÀ 20gÀªÀgÉV£À ¸ÀASÉåUÀ¼À ªÀUÀðUÀ¼À£ÀÄß PÉÆqÀ¯ÁVzÉ.
¸ÀASÉå ªÀUÀð ¸ÀASÉå ªÀUÀð
1 1 11 1212 4 12 1443 9 13 1694 16 14 1965 25 15 2256 36 16 2567 49 17 2898 64 18 3249 81 19 36110 100 20 400
ªÀUÀðUÀ¼ÀÄ ªÀÄvÀÄÛ ªÀUÀðªÀÄÆ®UÀ¼ÀÄ 87ªÉÄð£À PÉÆõÀÖPÀzÀ°ègÀĪÀ ªÀUÀð ¸ÀASÉåUÀ¼À£ÀÄß C¨sÀå¹¹ D ªÀUÀð¸ÀASÉåUÀ¼À°è CAvÀåzÀ°ègÀĪÀ (CAzÀgÉ ©r¸ÁÜ£ÀzÀ°ègÀĪÀ) CAQUÀ¼ÁªÀŪÀÅ? D J®è ªÀUÀð ÀASÉåUÀ¼À ©r¸ÁÜ£ÀzÀ°è 0, 1, 4, 5, 6 CxÀªÁ 9 EªÉ. AiÀiÁªÀÅzÉà ªÀUÀð ÀASÉåUÀ¼ÀÄ 2, 3, 7, CxÀªÁ 8 £ÀÄß ©r¸ÁÜ£ÀzÀ°è ºÉÆA¢®è.
MAzÀÄ ¸ÀASÉåAiÀÄ ©r¸ÁÜ£ÀzÀ°è 0, 1, 4, 5 6 CxÀªÁ 9 EzÀÝgÉ D ¸ÀASÉåAiÀÄÄ PÀqÁØAiÀĪÁV ªÀUÀðªÁVgÀÄvÀÛzÉ JAzÀÄ £ÁªÀÅ ºÉüÀ§ºÀÄzÉÃ? EzÀgÀ §UÉÎ AiÉÆÃa¹.
1. F PɼÀV£À ¸ÀASÉåUÀ¼ÀÄ ¥ÀÆtðªÀUÀðªÁVªÉ JAzÀÄ ºÉüÀ§ºÀÄzÉÃ? £ÀªÀÄUÉ ºÉÃUÉ w½AiÀÄÄvÀÛzÉ?
(i) 1057 (ii) 23453 (iii) 7928 (iv) 222222 (v) 1069 (vi) 2061
©r¸ÁÜ£ÀzÀ°ègÀĪÀ CAQUÀ¼À£ÀÄß £ÉÆÃr CªÀÅUÀ¼ÀÄ ªÀUÀð ¸ÀASÉåUÀ¼À®è JAzÀÄ ºÉüÀ§ºÀÄzÁzÀ LzÀÄ ¸ÀASÉåUÀ¼À£ÀÄß §gɬÄj.
2. ©r¸ÁÜ£ÀzÀ°ègÀĪÀ CAQUÀ¼À£ÀÄß £ÉÆÃr CªÀÅUÀ¼ÀÄ ªÀUÀð¸ÀASÉåUÀ¼ÀÄ DVªÉ CxÀªÁ E®è JA§ÄzÀ£ÀÄß ¤zsÀðj¸À®Ä ¸ÁzsÀåªÁUÀzÉà EgÀĪÀ LzÀÄ ¸ÀASÉåUÀ¼À£ÀÄß §gɬÄj.
F PɼÀV£À PÉÆõÀÖPÀzÀ°ègÀĪÀ PÉ®ªÀÅ ¸ÀASÉåUÀ¼ÀÄ ªÀÄvÀÄÛ CªÀÅUÀ¼À ªÀUÀðUÀ¼À£ÀÄß C¨sÀå¹¹ ªÀÄvÀÄÛ CªÉgÀqÀgÀ°è£À ©r¸ÁÜ£ÀUÀ¼À£ÀÄß £ÉÆÃr.
PÉÆõÀÖPÀ 1
¸ÀASÉå ªÀUÀð ¸ÀASÉå ªÀUÀð ¸ÀASÉå ªÀUÀð
1 1 11 121 21 441
2 4 12 144 22 484
3 9 13 169 23 529
4 16 14 196 24 576
5 25 15 225 25 625
6 36 16 256 30 900
7 49 17 289 35 1225
8 64 18 324 40 1600
9 81 19 361 45 2025
10 100 20 400 50 2500
EªÀÅUÀ¼À£ÀÄß ¥ÀæAiÀÄwß¹
88 UÀtÂvÀ
F PɼÀV£À ªÀUÀð ¸ÀASÉåUÀ¼ÀÄ ©r¸ÁÜ£ÀzÀ°è 1 £ÀÄß ºÉÆA¢ªÉ.
ªÀUÀð ¸ÀASÉå EªÀÅUÀ¼À£ÀÄß ¥ÀæAiÀÄwß¹
EªÀÅUÀ¼À£ÀÄß ¥ÀæAiÀÄwß¹ 1232, 772, 822, 1612, 1092 EªÀÅUÀ¼À°è AiÀiÁªÀ ÀASÉåUÀ¼À ©r¸ÁÜ£ÀzÀ°è 1 EgÀĪÀÅzÀÄ?
1 1
81 9
121 11
361 19
441 21
©r¸ÁÜ£ÀzÀ°è 1£ÀÄß ºÉÆA¢gÀĪÀ ªÀÄÄA¢£À JgÀqÀÄ ªÀUÀð ¸ÀASÉåUÀ¼ÀÄ ªÀÄvÀÄÛ CªÀÅUÀ½UÉ ¸ÀA§A¢ü¹zÀ ¸ÀASÉåUÀ¼À£ÀÄß §gɬÄj.
FUÀ ¤ªÀÄUÉ w½AiÀÄĪÀÅzÉãÉAzÀgÉ ©r¸ÁÜ£ÀzÀ°è 1 CxÀªÁ 9 ºÉÆA¢gÀĪÀ ¸ÀASÉåUÀ¼À ªÀUÀðUÀ¼À ©r¸ÁÜ£ÀzÀ°è 1 EgÀÄvÀÛzÉ.
FUÀ ©r¸ÁÜ£ÀzÀ°è 6£ÀÄß ºÉÆA¢gÀĪÀ ªÀUÀð¸ÀASÉåUÀ¼À£ÀÄß ¥ÀjUÀt¹.
ªÀUÀð ¸ÀASÉå EªÀÅUÀ¼À£ÀÄß ¥ÀæAiÀÄwß¹
F PɼÀV£À AiÀiÁªÀ ¸ÀASÉåUÀ¼ÀÄ ©r¸ÁÜ£ÀzÀ°è 6£ÀÄß ºÉÆA¢ªÉ (i) 192 (ii) 242 (iii) 262
(iv) 362 (v) 342
16 4
36 6
196 14
256 16
MAzÀÄ ¸ÀASÉåAiÀÄ ªÀUÀðzÀ ©r¸ÁÜ£ÀzÀ°è 6 EzÀÝgÉ. D ¸ÀASÉåAiÀÄ ©r¸ÁÜ£ÀzÀ°è 4 CxÀªÁ 6 EgÀÄvÀÛzÉ JAzÀÄ £ÀªÀÄUÉ w½AiÀÄÄvÀÛzÉ.
PÉÆõÀÖPÀ 1£ÀÄß £ÉÆÃr, EzÉà jÃwAiÀÄ E£ÀÄß ºÀ®ªÁgÀÄ ¤AiÀĪÀÄUÀ¼À£ÀÄß ¤ÃªÀÅ PÀAqÀÄ»rAiÀħ°ègÁ?
EªÀÅUÀ¼À£ÀÄß ¥ÀæAiÀÄwß¹ F PɼÀV£À ¸ÀASÉåUÀ¼À ªÀUÀðUÀ¼À°è ©r¸ÁÜ£ÀzÀ°ègÀĪÀ CAQUÀ¼ÁªÀŪÀÅ?
(i) 1234 (ii) 26387 (iii) 52698 (iv) 99880 (v) 21222 (vi) 9106
ªÀUÀðUÀ¼ÀÄ ªÀÄvÀÄÛ ªÀUÀðªÀÄÆ®UÀ¼ÀÄ 89 F PɼÀV£À ¸ÀASÉåUÀ¼ÀÄ ªÀÄvÀÄÛ CªÀÅUÀ¼À ªÀUÀðUÀ¼À£ÀÄß ¥ÀjUÀt¹.
MAzÀÄ ÀASÉåAiÀÄÄ 3 ÉÆ£ÉßUÀ¼À£ÀÄß ºÉÆA¢zÀÝgÉ, CzÀgÀ ªÀUÀðzÀ°è JµÀÄÖ ÉÆ£ÉßUÀ½gÀÄvÀÛªÉ?
MAzÀÄ ÀASÉåAiÀÄ CAvÀåzÀ°ègÀĪÀ ÉÆ£ÉßUÀ¼À ÀASÉå ºÁUÀÆ CzÀgÀ ªÀUÀðzÀ CAvÀåzÀ°ègÀĪÀ ¸ÉÆ£ÉßUÀ¼À ¸ÀASÉåAiÀÄ §UÉÎ ¤ÃªÀÅ K£ÀÄ wêÀiÁð¤¸ÀÄ«j?
ªÀUÀð¸ÀASÉåAiÀÄ CAvÀåzÀ°ègÀĪÀ ¸ÉÆ£ÉßUÀ¼ÀÄ AiÀiÁªÁUÀ®Æ ¸ÀªÀĸÀASÉåAiÀÄ°èAiÉÄà EgÀÄvÀÛªÉ JAzÀÄ ºÉüÀ§ºÀÄzÉÃ?
PÉÆõÀÖPÀ 1gÀ°ègÀĪÀ ¸ÀASÉåUÀ¼ÀÄ ªÀÄvÀÄÛ CªÀÅUÀ¼À ªÀUÀðUÀ¼À£ÀÄß UÀªÀĤ¹.
¸ÀªÀĸÀASÉåUÀ¼À ªÀÄvÀÄÛ ¨É¸À¸ÀASÉåUÀ¼À ªÀUÀðUÀ¼À §UÉÎ ¤ÃªÀÅ K£ÀÄ ºÉüÀ§AiÀĸÀÄ«j?
EªÀÅUÀ¼À£ÀÄß ¥ÀæAiÀÄwß¹
1. F PɼÀV£À AiÀiÁªÀ ¸ÀASÉåUÀ¼À ªÀUÀðUÀ¼ÀÄ ¨É¸À¸ÀASÉå / ¸ÀªÀĸÀASÉåUÀ¼ÁVgÀÄvÀÛªÉ? KPÉ?
(i) 727 (ii) 158 (iii) 269 (iv) 1980 2. F PɼÀV£À ¸ÀASÉåUÀ¼À ªÀUÀðUÀ¼À°ègÀĪÀ ¸ÉÆ£ÉßUÀ¼À ¸ÀASÉå w½¹.
(i) 60 (ii) 400
5.3 E£ÀÄß PÉ®ªÀÅ ¸ÁégÀ¸ÀåPÀgÀ ªÀiÁzÀjUÀ¼ÀÄ
1.wæPÉÆäÃAiÀĸÀASÉåUÀ¼À¸ÀAPÀ®£À
¤ªÀÄUÉ wæPÉÆäÃAiÀÄ ¸ÀASÉåUÀ¼ÀÄ £É£À¦ªÉAiÉÄà (wæ¨sÀÄeÁPÁgÀzÀ°è eÉÆÃr¸À§ºÀ§ÄzÁzÀ ¸ÀASÉåUÀ¼À ZÀÄPÉÌ ªÀiÁzÀjUÀ¼ÀÄ)?
90 UÀtÂvÀ
AiÀiÁªÀÅzÉà JgÀqÀÄ PÀæªÀiÁ£ÀÄUÀvÀ wæPÉÆäÃAiÀÄ ¸ÀASÉåUÀ¼À£ÀÄß PÀÆrzÁUÀ, MAzÀÄ ªÀUÀð ¸ÀASÉåAiÀÄ£ÀÄß ¥ÀqÉAiÀÄÄvÉÛêÉ. GzÁºÀgÀuÉUÉ
2. ªÀUÀð¸ÀASÉåUÀ¼À £ÀqÀÄ«£À ¸ÀASÉåUÀ¼ÀÄ
JgÀqÀÄ PÀæªÀiÁ£ÀÄUÀvÀ ªÀUÀð¸ÀASÉåUÀ¼À £ÀqÀÄªÉ PÉ®ªÀÅ ¸ÁégÀ¸ÀåPÀgÀ ªÀiÁzÀjAiÀÄ£ÀÄß £ÁªÀÅ PÀAqÀÄ»rAiÀħºÀÄzÉà JAzÀÄ FUÀ £ÉÆÃqÉÆÃt.
12 (=1) ªÀÄvÀÄÛ 22 (=4)gÀ £ÀqÀÄ«£À JgÀqÀÄ (CAzÀgÉ 2 × 1) ¥ÀÆtðªÀUÀðUÀ¼À®èzÀ
¸ÀASÉåUÀ¼ÀÄ 2, 3
22 (=4) ªÀÄvÀÄÛ 32 (=9)gÀ £ÀqÀÄ«£À £Á®ÄÌ (CAzÀgÉ 2 × 2) ¥ÀÆtðªÀUÀðUÀ¼À®èzÀ
¸ÀASÉåUÀ¼ÀÄ 5, 6, 7, 8
FUÀ 32 = 9, 42 = 16
DzÀÝjAzÀ 42 - 32 = 16 - 9 = 7
9 (=32) ªÀÄvÀÄÛ 16 (=42) gÀ £ÀqÀÄ«£À ¸ÀASÉåUÀ¼ÀÄ 10, 11, 12, 13, 14, 15 CAzÀgÉ
MlÄÖ DgÀÄ ¥ÀÆtðªÀUÀðUÀ¼À®èzÀ ¸ÀASÉåUÀ½ªÉ. EzÀjAzÀ £ÀªÀÄUÉ w½AiÀÄĪÀÅzÉãÉAzÀgÉ JgÀqÀÄ
ªÀUÀð¸ÀASÉåUÀ¼À ªÀåvÁå¸ÀQÌAvÀ 1 PÀrªÉÄ EgÀĪÀÅzÀÄ CzÉà jÃwAiÀiÁV 42 = 16 ªÀÄvÀÄÛ 52 = 25
DzÀÝjAzÀ 52 - 42 = 9
16 (=42) ªÀÄvÀÄÛ 25 (=52)gÀ £ÀqÀÄ«£À ¸ÀASÉåUÀ¼ÀÄ 17 18, ..........24 CAzÀgÉ MlÄÖ
JAlÄ ¥ÀÆtðªÀUÀðUÀ¼À®èzÀ ¸ÀASÉåUÀ½ªÉ. EzÀÄ PÀÆqÀ JgÀqÀÄ ªÀUÀð ¸ÀASÉåUÀ¼À ªÀåvÁå¸ÀQÌAvÀ 1
PÀrªÉÄ EgÀĪÀÅzÀÄ.
ªÀUÀðUÀ¼ÀÄ ªÀÄvÀÄÛ ªÀUÀðªÀÄÆ®UÀ¼ÀÄ 91FUÀ 62 ªÀÄvÀÄÛ 72 UÀ¼À £ÀqÀÄªÉ JµÀÄÖ ¸ÀASÉåUÀ½ªÉ JAzÀÄ w½AiÀħºÀÄzÉÃ?
n AiÀiÁªÀÅzÉà ¸Áé¨sÁ«PÀ ¸ÀASÉåAiÀiÁVzÀÝgÉ
(n +1)2 – n2 = (n2 + 2n + 1) – n2 = 2n+ 1
n2 ªÀÄvÀÄÛ (n + 1)2 gÀ £ÀqÀÄªÉ 2n gÀµÀÄÖ ÀASÉåUÀ½gÀÄvÀÛªÉ. CAzÀgÉ JgÀqÀÄ ªÀUÀð¸ÀASÉåUÀ¼À
ªÀåvÁå¸ÀQÌAvÀ 1 PÀrªÉÄ EgÀÄvÀÛzÉ.
»ÃUÁV, ¸ÁªÀiÁ£ÀåªÁV n ªÀÄvÀÄÛ (n + 1) gÀ ªÀUÀðUÀ¼À £ÀqÀÄªÉ 2n gÀµÀÄÖ ¥ÀÆtðªÀUÀðUÀ¼À®èzÀ ¸ÀASÉåUÀ½gÀÄvÀÛªÉ.
n = 5, n = 6 E¤ßvÀgÀ GzÁºÀgÀuÉUÀ½UÉ vÁ¼É £ÉÆÃr.
EªÀÅUÀ¼À£ÀÄß ¥ÀæAiÀÄwß¹ 1. (i) 92 ªÀÄvÀÄÛ 102 (ii) 112 ªÀÄvÀÄÛ 122 EªÀÅUÀ¼À £ÀqÀÄªÉ EgÀĪÀ
¸Áé¨sÁ«PÀ ¸ÀASÉåUÀ¼ÉµÀÄÖ?
2. F PɼÀV£À eÉÆÃr ÀASÉåUÀ¼À £ÀqÀÄªÉ EgÀĪÀ ¥ÀÆtðªÀUÀðUÀ¼À®èzÀ ¸ÀASÉåUÀ¼ÉµÀÄÖ?.
(i) 1002 ªÀÄvÀÄÛ 1012 (ii) 902 ªÀÄvÀÄÛ 912
(iii) 10002 ªÀÄvÀÄÛ 10012
3. ¨É¸À¸ÀASÉåUÀ¼À ¸ÀAPÀ®£À
F PɼÀV£ÀªÀÅUÀ¼À£ÀÄß ¥ÀjUÀt¹
1 [MAzÀÄ ¨É¸À ¸ÀASÉå] = 1 = 12
1 + 3 [ªÉÆzÀ® JgÀqÀÄ ¨É¸À¸ÀASÉåUÀ¼À ªÉÆvÀÛ] = 4 = 22
1 + 3 + 5 [ªÉÆzÀ® ªÀÄÆgÀÄ ¨É¸À¸ÀASÉåUÀ¼À ªÉÆvÀÛ] = 9 = 32
1 + 3 + 5 + 7 [.............] = 16 = 42
1 + 3 + 5 + 7 + 9 [................] = 25 = 52
1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 [...............] = 36 = 62
DzÀÝjAzÀ ¸ÁªÀiÁ£ÀåªÁV ºÉüÀĪÀÅzÁzÀgÉ, ªÉÆzÀ® n ¨É¸ÀASÉåUÀ¼À ªÉÆvÀÛªÀÅ n2 UÉ ¸ÀªÀĪÁVgÀÄvÀÛzÉ
EzÀ£Éßà E£ÉÆßAzÀÄ jÃwAiÀÄ°è ºÉüÀĪÀÅzÁzÀgÉ, MAzÀÄ ¸ÀASÉå ªÀUÀð¸ÀASÉåAiÀiÁVzÀÝgÉ, CzÀÄ 1 jAzÀ ¥ÁægÀA¨sÀªÁVgÀĪÀ PÀæªÀiÁ£ÀÄUÀvÀ ¨É¸À¸ÀASÉåUÀ¼À ªÉÆvÀÛªÁVgÀÄvÀÛzÉ.
¥ÀÆtðªÀUÀðUÀ¼À®èzÀ ¸ÀASÉåUÀ¼ÁzÀ 2, 3, 5, 6 ............... EªÀÅUÀ¼À£ÀÄß 1 jAzÀ ¥ÁægÀA©ü¹ PÀæªÀiÁ£ÀÄUÀvÀ ¸Áé¨sÁ«PÀ ¨É¸À¸ÀASÉåUÀ¼À ªÉÆvÀÛUÀ¼À£ÁßV ªÀåPÀÛ¥Àr¸À®Ä ¸ÁzsÀåªÉÃ?
EAvÀºÀ ¸ÀASÉåUÀ¼À£ÀÄß F jÃwAiÀiÁV ªÀåPÀÛ¥Àr¸À®Ä ¸ÁzsÀå«®è JAzÀÄ w½AiÀÄÄvÀÛzÉ.
92 UÀtÂvÀ
¸ÀASÉå 25£ÀÄß ¥ÀjUÀt¹ 25jAzÀ 1, 3, 5, 7, 9 ............. EªÀÅUÀ¼À£ÀÄß PÀæªÀiÁ£ÀÄUÀvÀªÁV PÀ¼ÉAiÉÆÃt
(i) 25 - 1 = 24 (ii) 24 - 3 = 21 (iii) 21 - 5 = 16 (iv) 16 - 7 = 9 (v) 9 - 9 = 0
EzÀgÀ CxÀð 25 = 1 + 3 + 5 + 7 + 9 CAzÀgÉ 25 MAzÀÄ ¥ÀÆtðªÀUÀðªÉAzÀÄ w½AiÀÄĪÀÅzÀÄ.
¸ÀASÉå 38£ÀÄß vÉUÉzÀÄPÉÆAqÀÄ ªÉÄð£À jÃwAiÀÄ°è ªÀiÁrzÁUÀ
(i) 38 - 1 = 37 (ii) 37 - 3 = 34 (iii) 34 - 5 = 29
(iv) 29 - 7 = 22 (v) 22 - 9 = 13 (vi) 13 - 11 = 2 (vii) 2 - 13 = -11
EªÀÅUÀ¼À£ÀÄß ¥ÀæAiÀÄwß¹
F PɼÀV£À ¸ÀASÉåUÀ¼ÀÄ ¥ÀÆtðªÀUÀðUÀ¼Éà CxÀªÁ E®èªÉà JA§ÄzÀ£ÀÄß w½¹.
(i) 12 (ii) 55 (iii) 81 (iv) 49 (v) 69
EzÀjAzÀ £ÀªÀÄUÉ w½AiÀÄĪÀÅzÉãÉAzÀgÉ 38£ÀÄß 1 jAzÀ ¥ÁægÀA©ü¹ PÀæªÀiÁ£ÀÄUÀvÀ ¨É¸ÀASÉåUÀ¼À ªÉÆvÀÛªÀ£ÁßV ªÀåPÀÛ¥Àr¸À®Ä ¸ÁzsÀåªÁUÀĪÀÅ¢®è CAzÀgÉ 38 ¥ÀÆtð ªÀUÀðªÁV®è.
DzÀÝjAzÀ MAzÀÄ Áé¨sÁ«PÀ ÀASÉåAiÀÄ£ÀÄß 1 jAzÀ ¥ÁægÀA©ü¹ PÀæªÀiÁ£ÀÄUÀvÀ ɸÀ¸ÀASÉåUÀ¼À ªÉÆvÀÛªÀ£ÁßV ªÀåPÀÛ¥Àr¸À®Ä ¸ÁzsÀåªÁUÀ¢zÀÝgÉ CzÀÄ ¥ÀÆtðªÀUÀðªÁVgÀĪÀÅ¢®è
£ÁªÀÅ, MAzÀÄ ¸ÀASÉåAiÀÄÄ ¥ÀÆtðªÀUÀðªÁVzÉAiÉÆà CxÀªÁ E®è JA§ÄzÀ£ÀÄß w½AiÀÄ®Ä F ¥sÀ°vÁA±ÀªÀ£ÀÄß §¼À¸À§ºÀÄzÀÄ.
4. PÀæªÀiÁ£ÀÄUÀvÀ ¸Áé¨sÁ«PÀ ¸ÀASÉåUÀ¼À ªÉÆvÀÛ
PɼÀV£À CA±ÀUÀ¼À£ÀÄß ¥ÀjUÀt¹.
ªÉÆzÀ®£É ¸ÀASÉå
3 - 12
2
JgÀqÀ£Éà ¸ÀASÉå
3 + 12
2
ªÁªï! £ÁªÀÅ AiÀiÁªÀÅzÉèɸÀ¸ÀASÉåAiÀÄ ªÀUÀðªÀ£ÀÄß JgÀqÀÄPÀæªÀiÁ£ÀÄUÀvÀ zsÀ£À ¥ÀÆuÁðAPÀUÀ¼ÀªÉÆvÀÛªÀ£ÁßV ªÀåPÀÛ¥Àr¸À§ºÀÄzÀÄ
3 = 9 = 4 + 52
5 = 25 = 12 + 132
7 = 49 = 24 + 252
9 = 81 = 40 + 412
11 = 121 = 60 + 612
15 = 225 = 112 + 1132
ªÀUÀðUÀ¼ÀÄ ªÀÄvÀÄÛ ªÀUÀðªÀÄÆ®UÀ¼ÀÄ 93
EªÀÅUÀ¼À£ÀÄß ¥ÀæAiÀÄwß¹
1. F PɼÀV£ÀªÀÅUÀ¼À£ÀÄß JgÀqÀÄ PÀæªÀiÁ£ÀÄUÀvÀ ¥ÀÆuÁðAPÀUÀ¼À ªÉÆvÀÛªÀ£ÁßV ªÀåPÀÛ¥Àr¹.
(i) 212 (ii) 132 (iii) 112 (iv) 192
2. ªÉÄð£À ¤AiÀĪÀÄzÀ «gÀÄzÀÞ ºÉýPÉ ¤dªÉà CAzÀgÉ, AiÀiÁªÀÅzÉà JgÀqÀÄ PÀæªÀiÁ£ÀÄUÀvÀ zsÀ£À ¥ÀÆuÁðAPÀUÀ¼À ªÉÆvÀÛªÀÅ ¥ÀÆtðªÀUÀðªÉÃ? GzÁºÀgÀuÉAiÉÆA¢UÉ w½¹.
5. JgÀqÀÄ PÀæªÀiÁ£ÀÄUÀvÀ ¸ÀªÀÄ CxÀªÁ ¨É¸À ¸Áé¨sÁ«PÀ ¸ÀASÉåUÀ¼À UÀÄt®§Þ
11 × 13 = 143 = 122 - 1
CzÉÃ jÃwAiÀiÁV 11 × 13 = (12-1) × (12 + 1) DzÀÝjAzÀ 11 × 13 = (12 - 1) × (12 + 1) = 122 - 1
ºÁUÉAiÉÄà 13 × 15 = (14 - 1) × (14 + 1) = 142 - 1
29 × 31 = (30 - 1) × (30 + 1) = 302 - 1
44 × 46 = (45 - 1) × (45 + 1) = 452 - 1 DzÀÝjAzÀ ¸ÁªÀiÁ£ÀåªÁV ºÉüÀĪÀÅzÁzÀgÉ (a + 1) × (a – 1) = a2 – 1
6. E£ÀÆß PÉ®ªÀÅ ªÀUÀð¸ÀASÉåUÀ¼À ªÀiÁzÀjUÀ¼ÀÄ
1, 11, 111, ............... ªÀÄÄAvÁzÀ ¸ÀASÉåUÀ¼À ªÀUÀðUÀ¼À£ÀÄß «ÃQë¹. CªÀÅ ¸ÀÄAzÀgÀªÁzÀ ªÀiÁzÀjAiÀÄ°è PÁtÄvÀÛªÉ.
12 1
112 1 2 1
1112 1 2 3 2 1
11112 1 2 3 4 3 2 1
111112 1 2 3 4 5 4 3 2 1
111111112 1 2 3 4 5 6 7 8 7 6 5 4 3 2 1
E£ÉÆßAzÀÄ ¸ÁégÀ¸ÀåPÀgÀ ªÀiÁzÀj
72 = 49 EªÀÅUÀ¼À£ÀÄß ¥ÀæAiÀÄwß¹
ªÉÄð£À ªÀiÁzÀjAiÀÄ£ÀÄß §¼À¹PÉÆAqÀÄ EªÀÅUÀ¼À ªÀUÀðUÀ¼À£ÀÄß §gɬÄj.
(i) 1111112 (ii) 11111112
672 = 4489
6672 = 444889
66672 = 4444889
666672 = 4444488889
6666672 = 444444888889
94 UÀtÂvÀ
F jÃwAiÀiÁzÀ ªÀiÁzÀj ºÉÃUÉ §gÀÄvÀÛzÉ JAzÀÄ PÀAqÀÄ»rAiÀÄĪÀÅzÀÄ MAzÀÄ «zsÀzÀ «£ÉÆÃzÀªÁVzÉ. EAvÀºÀ ¥Àæ±ÉßUÀ½UÉ GvÀÛgÀ zÉÆgÀPÀ®Ä PÉ®ªÀÅ ªÀµÀðUÀ¼Éà ¨ÉÃPÁzÀgÀÆ, CªÀÅUÀ¼À §UÉÎ AiÉÆÃa¸ÀĪÀÅzÀÄ ¸ÁégÀ¸ÀåPÀgÀ.
EªÀÅUÀ¼À£ÀÄß ¥ÀæAiÀÄwß¹ªÉÄð£À ªÀiÁzÀjAiÀÄ£ÀÄß §¼À¹PÉÆAqÀÄ F PɼÀV£À ¸ÀASÉåUÀ¼À ªÀUÀðUÀ¼À£ÀÄß PÀAqÀÄ»rAiÀħºÀÄzÉÃ?
(i) 66666672 (ii) 666666672
C¨sÁå¸À 5.1
1. F PɼÀV£À ¸ÀASÉåUÀ¼À ªÀUÀðUÀ¼À ©r¸ÁÜ£ÀzÀ°ègÀĪÀ CAQUÀ¼ÁªÀŪÀÅ?
(i) 81 (ii) 272 (iii) 799 (iv) 3853
(v) 1234 (vi) 26387 (vii) 52698 (viii) 99880
(ix) 12796 (x) 55555
2. F PɼÀV£À ¸ÀASÉåUÀ¼ÀÄ ¸ÀàµÀÖªÁV ¥ÀÆtðªÀUÀðUÀ¼À®è. PÁgÀt PÉÆr.
(i) 1057 (ii) 23453 (iii) 7928 (iv) 222222
(v) 64000 (vi) 89722 (vii) 222000 (viii) 505050
3. F PɼÀV£À AiÀiÁªÀ ¸ÀASÉåUÀ¼À ªÀUÀðUÀ¼ÀÄ ¨É¸ÀASÉåUÀ¼ÁVªÉ?
(i) 431 (ii) 2826 (iii) 7779 (iv) 82004
4. PɼÀV£À ªÀiÁzÀjAiÀÄ£ÀÄß UÀªÀĤ¹ ©lÖ CAQUÀ¼À£ÀÄß vÀÄA©j.
112 = 121
1012 = 10201
10012 = 1002001
1000012 = 1........................2......................1
100000012 = ....................................................
5. PɼÀV£À ªÀiÁzÀjAiÀÄ£ÀÄß UÀªÀĤ¹ SÁ°¬ÄgÀĪÀ ¸ÀܼÀUÀ¼À£ÀÄß ¸ÀÆPÀÛ ¸ÀASÉåUÀ½AzÀ vÀÄA©j.
112 = 121
1012 = 10201
101012 = 102030201
10101012 = ..............................................
................2 = 10203040504030201
ªÀUÀðUÀ¼ÀÄ ªÀÄvÀÄÛ ªÀUÀðªÀÄÆ®UÀ¼ÀÄ 95 6. PÉÆnÖgÀĪÀ ªÀiÁzÀjAiÀÄ£ÀÄß G¥ÀAiÉÆÃV¹PÉÆAqÀÄ, ©nÖgÀĪÀ ¸ÀASÉåUÀ¼À£ÀÄß vÀÄA©j
12 + 22 + 22 = 32 ªÀiÁzÀjAiÀÄ£ÀÄß PÀAqÀÄ»rAiÀÄ®Ä
ªÀÄÆgÀ£Éà ¸ÀASÉåAiÀÄÄ MAzÀ£Éà ªÀÄvÀÄÛ JgÀqÀ£Éà ¸ÀASÉåUÀ½UÉ ¸ÀA§A¢ü¹zÉ. ºÉÃUÉ? £Á®Ì£Éà ¸ÀASÉåAiÀÄÄ ªÀÄÆgÀ£Éà ¸ÀASÉåUÉ ¸ÀA§A¢ü¹zÉ. ºÉÃUÉ?
22 + 32 + 62 = 72
32 + 42 + 122 = 132
42 + 52 + _2 = 212
52 + _2 + 302 = 312
62 + 72 + _2 = _2
7. ¸ÀASÉåUÀ¼À£ÀÄß PÀÆr¸ÀzÉà ªÉÆvÀÛªÀ£ÀÄß PÀAqÀÄ»r¬Äj.
(i) 1 + 3 + 5 + 7 + 9
(ii) 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13 + 15 + 17 + 19
(iii) 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13 + 15 + 17 + 19 + 21 + 23
8. (i) 49 £ÀÄß 7 ¨É¸À ¸ÀASÉåUÀ¼À ªÉÆvÀÛªÀ£ÁßV ªÀåPÀÛ¥Àr¹.
(ii) 121 £ÀÄß 11 ¨É¸À ¸ÀASÉåUÀ¼À ªÉÆvÀÛªÀ£ÁßV ªÀåPÀÛ¥Àr¹.
9. F PɼÀV£À ¸ÀASÉåUÀ¼À ªÀUÀðUÀ¼À £ÀqÀÄªÉ JµÀÄÖ ¸ÀASÉåUÀ½ªÉ?
(i) 12 ªÀÄvÀÄÛ 13 (ii) 25 ªÀÄvÀÄÛ 26
(iii) 99 ªÀÄvÀÄÛ 100
5.4 ¸ÀASÉåUÀ¼À ªÀUÀðUÀ¼À£ÀÄß PÀAqÀÄ»rAiÀÄĪÀÅzÀÄ
3, 4, 5, 6, 7 ............. ªÀÄÄAvÁzÀ aPÀÌ ÀASÉåUÀ¼À ªÀUÀðUÀ¼À£ÀÄß ÀÄ®¨sÀªÁV PÀAqÀÄ»rAiÀħºÀÄzÀÀÄ.
DzÀgÉ 23 gÀ ªÀUÀðªÀ£ÀÄß £ÁªÀÅ ²ÃWÀæªÁV PÀAqÀÄ»rAiÀħºÀÄzÉÃ?
EzÀgÀ GvÀÛgÀ CµÉÆÖAzÀÄ ¸ÀÄ®¨sÀªÀ®è ªÀÄvÀÄÛ £ÁªÀÅ 23 £ÀÄß 23 jAzÀ UÀÄt¸À¨ÉÃPÀÄ
23 × 23 F jÃw UÀÄt¸ÀzÉà E£ÉÆßAzÀÄ «zsÁ£À¢AzÀ ªÀUÀðªÀ£ÀÄß PÀAqÀÄ»rAiÀħºÀÄzÀÄ
£ÁªÀÅ w½¢gÀĪÀAvÉ 23 = 20 + 3
DzÀÝjAzÀ 232 = (20 + 3)2 = 20(20 + 3) + 3 (20 + 3)
= 202 + 20 × 3 + 3 × 20 + 32 = 400 + 60 + 60 + 9
= 529
96 UÀtÂvÀ
GzÁºÀgÀuÉ 1 : UÀÄuÁPÁgÀ ªÀiÁqÀzÉAiÉÄà F PɼÀV£À ÀASÉåUÀ¼À ªÀUÀðUÀ¼À£ÀÄß PÀAqÀÄ»r¬Äj.
(i) 39 (ii) 42¥ÀjºÁgÀ : (i) 392 = (30 + 9)2
= 30 (30 + 9) + 9 (30 + 9)
= 302 + 30 × 9 + 9 × 30 + 92
= 900 + 270 + 270 + 81
= 1521
(ii) 422 = (40 + 2)2
= 40 (40 + 2) + 2 (40 + 2)
= 402 + 40 × 2 + 2 × 40 + 22
= 1600 + 80 + 80 + 4
= 1764
5.4.1 ªÀUÀðUÀ¼À°ègÀĪÀ EvÀgÉ ªÀiÁzÀjUÀ¼ÀÄ
PɼÀV£À ªÀiÁzÀjAiÀÄ£ÀÄß ¥ÀjUÀt¹
252 = 625 = (2 × 3) £ÀÆgÀÄUÀ¼ÀÄ + 25 ©r¸ÁÜ£ÀzÀ°è 5 EgÀĪÀ MAzÀÄ ¸ÀASÉåAiÀÄ£ÀÄß ¥ÀjUÀt¹, CAzÀgÉ a5(a5)2 = (10a + 5)2
= 10a (10a + 5)+5(10a +5) = 100a2 + 50a +50a + 25 = 100a (a+1) + 25 = a (a + 1) £ÀÆgÀÄ + 25
352 = 1225 = (3 × 4) £ÀÆgÀÄUÀ¼ÀÄ + 25
752 = 5625 = (7 × 8) £ÀÆgÀÄUÀ¼ÀÄ + 25
1252 = 15625 = (12 × 13) £ÀÆgÀÄUÀ¼ÀÄ + 25
FUÀ ¤ÃªÀÅ 95gÀ ªÀUÀðªÀ£ÀÄß PÀAqÀÄ»rAiÀÄÄ«gÁ?
EªÀÅUÀ¼À£ÀÄß ¥ÀæAiÀÄwß¹
1. ©r¸ÁÜ£ÀzÀ°è CAQ 5 EgÀĪÀ PɼÀV£À ¸ÀASÉåUÀ¼À ªÀUÀðUÀ¼À£ÀÄß PÀAqÀÄ»r¬Äj
(i) 15 (ii) 95 (iii) 105 (iv) 205
ªÀUÀðUÀ¼ÀÄ ªÀÄvÀÄÛ ªÀUÀðªÀÄÆ®UÀ¼ÀÄ 97
5.4.2 ¥ÉÊxÁUÉÆÃgÀ¸ï£À wæªÀ½UÀ¼ÀÄ
PɼÀV£ÀªÀÅUÀ¼À£ÀÄß ¥ÀjUÀt¹
32 + 42 = 9 + 16 = 25 = 52
3, 4 ªÀÄvÀÄÛ 5, EAvÀºÀ ¸ÀASÉåUÀ¼À UÀÄA¥À£ÀÄß ¥ÉÊxÁUÉÆÃgÀ¸ï£À wæªÀ½UÀ¼É£ÀÄߪÀgÀÄ. 6, 8, 10 EªÀÅUÀ¼ÀÄ PÀÆqÀ ¥ÉÊxÁUÉÆÃgÀ¸ï£À wæªÀ½UÀ¼ÁVªÉ. KPÉAzÀgÉ
62 + 82 = 36 + 64 = 100 = 102
52 + 122 = 25 + 144 = 169 = 132. ¸ÀASÉåUÀ¼ÁzÀ 5, 12, 13 EzÉà jÃwAiÀÄ wæªÀ½UÀ¼ÁVªÉ.
EzÉà jÃwAiÀÄ E£ÀÄß ºÀ®ªÁgÀÄ wæªÀ½UÀ¼À£ÀÄß ¤ÃªÀÅ PÀAqÀÄ»rAiÀħ°ègÁ?
AiÀiÁªÀÅzÉà ¸Áé¨sÁ«PÀ ¸ÀASÉå m > 1 EzÀÝgÉ
(2m)2 + (m2 - 1)2 = (m2 + 1)2. DzÀÝjAzÀ 2m , m2 - 1 ªÀÄvÀÄÛ (m2 + 1) UÀ¼ÀÄ ¥ÉÊxÁUÉÆÃgÀ¸ï£À wæªÀ½UÀ¼À£ÀÄß gÀƦ¸ÀÄvÀÛªÉ.
EzÀ£ÀÄß G¥ÀAiÉÆÃV¹PÉÆAqÀÄ E£ÀÄß ºÉZÀÄÑ ¥ÉÊxÁUÉÆÃgÀ¸ï£À wæªÀ½UÀ¼À£ÀÄß PÀAqÀÄ»rAiÀÄ®Ä ¥ÀæAiÀÄwß¹
GzÁºÀgÀt 2 : aPÀÌ ¸ÀASÉå 8 £ÀÄß ºÉÆA¢gÀĪÀ ¥sÉÊxÁUÉÆÃgÀ¸ï£À wæªÀ½UÀ¼À£ÀÄß §gɬÄj.
¥ÀjºÁgÀ : ªÉÄÃ¯É ºÉýzÀ 2m, m2- 1, m2 + 1 jÃwAiÀÄ°è £ÁªÀÅ ¥ÉÊxÁUÉÆÃgÀ¸ï£À wæªÀ½UÀ¼À£ÀÄß ¥ÀqÉAiÀħºÀÄzÀÄ.
ªÉÆzÀ°UÉ m2 – 1 = 8 DUÀ m2 = 8 + 1 = 9 DzÀÝjAzÀ m = 3 DzÀÝjAzÀ 2m = 6 ªÀÄvÀÄÛ m2 + 1= 10 FUÀ ¹UÀĪÀ wæªÀ½UÀ¼ÉAzÀgÉ 6, 8, 10. DzÀgÉ EªÀÅUÀ¼À°è aPÀ̸ÀASÉå 8 DV®è. DzÀÝjAzÀ
E£ÉÆߪÉÄä ¥ÀæAiÀÄw߸ÉÆÃt 2m = 8
DUÀ m = 4 m2 - 1 = 16 - 1 = 15
ªÀÄvÀÄÛ m2 + 1 = 16 + 1 = 17
wæªÀ½UÀ¼ÀÄ 8, 15, 17 DUÀÄvÀÛªÉ. EzÀgÀ°è 8 aPÀ̸ÀASÉåAiÀiÁVzÉ.
GzÁºÀgÀt 3 : MAzÀÄ ¸ÀASÉå 12 EgÀĪÀ ¥ÉÊxÁUÉÆÃgÀ¸ï£À wæªÀ½UÀ¼À£ÀÄß PÀAqÀÄ»r¬Äj.
¥ÀjºÁgÀ : m2 – 1 = 12 JAzÀÄ vÉUÉzÀÄPÉÆAqÁUÀ DUÀ m2 = 12 + 1 = 13
98 UÀtÂvÀ
DUÀ m £À ¨É¯É MAzÀÄ ¥ÀÆuÁAPÀªÁUÀ®è
DzÀÝjAzÀ m2 + 1 = 12 JAzÀÄ vÉUÉzÀÄPÉÆAqÁUÀ ªÀÄvÉÛ m2 = 11 EzÀgÀ°èAiÀÄÆ m £À É¯É ¥ÀÆuÁðAPÀªÁUÀĪÀÅ¢®è
DzÀÝjAzÀ 2m = 12 JAzÀÄ vÉUÉzÀÄPÉƼÉÆîÃt
DUÀ m = 6 ºÁUÉAiÉÄà m2 – 1 = 36 – 1 = 35 ªÀÄvÀÄÛ m2 + 1 = 36 + 1 = 37
DzÀÝjAzÀ 12, 35, 37 UÀ¼ÀÄ £ÀªÀÄUÉ ¨ÉÃPÁzÀ wæªÀ½UÀ¼ÁVªÉ
¸ÀÆZÀ£É : J¯Áè ¥ÉÊxÁUÉÆÃgÀ¸ï wæªÀ½UÀ¼À£ÀÄß F ¸ÁªÀiÁ£Àå gÀÆ¥À¢AzÀ ¥ÀqÉAiÀÄ®Ä ¸ÁzsÀåªÁUÀ¢gÀ§ºÀÄzÀÄ. GzÁºÀgÀtÂUÉ 5, 12, 13 UÀ¼ÀÄ ¸ÀºÀ ¸ÀASÉå 12£ÀÄß ºÉÆA¢gÀĪÀ wæªÀ½UÀ¼ÁVªÉ.
C¨sÁå¸À 5.2
1. F PɼÀV£À ¸ÀASÉåUÀ¼À ªÀUÀðUÀ¼À£ÀÄß PÀAqÀÄ»r¬Äj
(i) 32 (ii) 35 (iii) 86 (iv) 93 (v) 71 (vi) 46 2. F PɼÀV£À ¸ÀASÉåAiÀÄ£ÉÆß¼ÀUÉÆAqÀ ¥ÉÊxÁUÉÆÃgÀ¸ï£À wæªÀ½UÀ¼À£ÀÄß
§gɬÄj.
(i) 6 (ii) 14 (iii) 16 (iv) 18
5.5. ªÀUÀðªÀÄÆ®UÀ¼ÀÄ
PɼÀV£À ¸ÀAzÀ¨sÀðUÀ¼À£ÀÄß CzsÀåAiÀÄ£À ªÀiÁr
(a) MAzÀÄ ZËPÀzÀ «¹ÛÃtð 144 ZÀ.¸ÉA.«Äà EzÀÝgÉ CzÀgÀ ¨ÁºÀÄ«£À GzÀݪÉãÀÄ?
£ÀªÀÄUÉ w½¢gÀĪÀAvÉ ZËPÀzÀ «¹ÛÃtð = ¨ÁºÀÄ2
¨ÁºÀÄ«£À GzÀÝ `a' JAzÀÄ PÉÆAqÁUÀ, 144 = a2
D ¨ÁºÀÄ«£À GzÀÝ PÀÀAqÀÄ»rAiÀÄ®Ä, AiÀiÁªÀ ¸ÀASÉåAiÀÄ ªÀUÀð 144 DVzÉ JAzÀÄ ªÉÆzÀ®Ä PÀAqÀÄ»rAiÀÄĪÀ CªÀ±ÀåPÀvÉ EzÉ.
(b) avÀæ 5.1gÀ°è ¨ÁºÀÄ«£À GzÀÝ 8 ¸ÉA.«ÄÃ. EgÀĪÀ ZËPÀzÀ°è£À PÀtðzÀ GzÀݪÀ£ÀÄß PÀAqÀÄ»r¬Äj. EzÀ£ÀÄß £ÁªÀÅ ¥ÉÊxÁUÉÆÃgÀ¸ï ¥ÀæªÉÄÃAiÀĪÀ£ÀÄß G¥ÀAiÉÆÃV¹PÉÆAqÀÄ ¥ÀjºÀj¸À§ºÀÄzÉÃ?
£ÀªÀÄUÉ w½¢gÀĪÀAvÉ AB2 + BC2 = AC2
CAzÀgÉ 82 + 82 = AC2
CxÀªÁ 64 + 64 = AC2 128 = AC2
ªÀUÀðUÀ¼ÀÄ ªÀÄvÀÄÛ ªÀUÀðªÀÄÆ®UÀ¼ÀÄ 99 ªÀÄvÉÛ AC AiÀÄ C¼ÀvÉ ¥ÀqÉAiÀÄ®Ä AiÀiÁªÀ ÀASÉåAiÀÄ ªÀUÀð 128 DVzÉ JAzÀÄ AiÉÆÃa¸À¨ÉÃPÀÄ
(c) ®A§PÉÆãÀ wæ¨sÀÄdzÀ°è «PÀtð ªÀÄvÀÄÛ MAzÀÄ ¨ÁºÀÄ PÀæªÀĪÁV 5 ¸ÉA.«Äà ªÀÄvÀÄÛ 3 ¸ÉA.«Äà EªÉ (avÀæ 5.2) ¤ÃªÀÅ ªÀÄÆgÀ£Éà ÁºÀÄ«£À GzÀݪÀ£ÀÄß PÀAqÀÄ»rAiÀÄÄ«gÁ?
ªÀÄÆgÀ£Éà ¨ÁºÀÄ«£À GzÀÝ x DVgÀ°
¥ÉÊxÁUÉÆÃgÀ¸ï ¥ÀæªÉÄÃAiÀÄzÀ ¥ÀæPÁgÀ
52 = x2 + 32
25 = x2 + 9 25 – 9 = x2
16 = x2
x £À É¯É PÀAqÀÄ»rAiÀÄ®Ä, AiÀiÁªÀ ÀASÉåAiÀÄ ªÀUÀð 16 DVzÉ JAzÀÄ PÀAqÀÄ»rAiÀĨÉÃPÀÄ. F ªÉÄð£À J¯Áè ¸ÀAzÀ¨sÀðUÀ¼À°è £ÁªÀÅ ªÀUÀð UÉÆwÛgÀĪÀ ¸ÀASÉåAiÀÄ£ÀÄß PÀAqÀÄ»rAiÀĨÉÃPÀÄ. »ÃUÉ ªÀUÀð w½¢gÀĪÀ ¸ÀASÉå PÀAqÀÄ»rAiÀÄĪÀÅzÉà ªÀUÀðªÀÄÆ® PÀAqÀÄ»rAiÀÄĪÀÅzÁVzÉ
5.5..1 ªÀUÀðªÀÄÆ® PÀAqÀÄ»rAiÀÄĪÀÅzÀÄ
¸ÀAPÀ®£À QæAiÉÄAiÀÄ «¯ÉÆêÀĪÀÅ ªÀåªÀPÀ®£À QææAiÉÄAiÀiÁVzÉ ªÀÄvÀÄÛ UÀÄuÁPÁgÀ QæAiÉÄAiÀÄ «¯ÉÆêÀĪÀÅ ¨sÁUÁPÁgÀªÁVzÉ. CzÉà jÃwAiÀiÁV ªÀUÀðªÀÄÆ® PÀAqÀÄ»rAiÀÄĪÀÅzÀÄ ªÀUÀðªÀ£ÀÄß PÀAqÀÄ»rAiÀÄĪÀ «zsÁ£ÀzÀ «¯ÉÆêÀĪÁVzÉ.
£ÀªÀÄUÉ w½¢gÀĪÀAvÉ
12 = 1, DzÀÝjAzÀ 1 gÀ ªÀUÀðªÀÄÆ® 1 EzÀjAzÀ 92 = 81
ªÀÄvÀÄÛ (-9)2 = 81
81gÀ ªÀUÀðªÀÄÆ®UÀ¼ÀÄ 9 ªÀÄvÀÄÛ -9 JAzÀÄ £ÁªÀÅ ºÉüÀÄvÉÛêÉ.
22 = 4, DzÀÝjAzÀ 4 gÀ ªÀUÀðªÀÄÆ® 2
32 = 9, DzÀÝjAzÀ 9 gÀ ªÀUÀðªÀÄÆ® 3
EªÀÅUÀ¼À£ÀÄß ¥ÀæAiÀÄwß¹
(i) 112 = 121, DzÁUÀ 121 gÀ ªÀUÀðªÀÄÆ®ªÉãÀÄ?
(ii) 142 = 196, DzÁUÀ 196 gÀ ªÀUÀðªÀÄÆ®ªÉãÀÄ?
AiÉÆÃa¹, ZÀað¹ ªÀÄvÀÄÛ §gɬÄj
(-1)2 = 1. 1 gÀ ªÀUÀðªÀÄÆ® -1 DUÀĪÀÅzÉÃ?
(-2)2 = 4. 4 gÀ ªÀUÀðªÀÄÆ® -2 DUÀĪÀÅzÉÃ?
(-9)2 = 81. 81 gÀ ªÀUÀðªÀÄÆ® -9 DUÀĪÀÅzÉÃ?
100 UÀtÂvÀ
ªÉÄð£À GzÁºÀgÀuÉUÀ½AzÀ, MAzÀÄ ¥ÀÆtðªÀUÀð ¸ÀASÉåAiÀÄÄ JgÀqÀÄ ªÀUÀðªÀÄÆ®UÀ¼À£ÀÄß ºÉÆA¢gÀÄvÀÛzÉ JAzÀÄ ºÉüÀ§ºÀÄzÀÄ. F CzsÁåAiÀÄzÀ°è £ÁªÀÅ ¸Áé¨sÁ«PÀ ¸ÀASÉåUÀ¼À zsÀ£ÁvÀäPÀ ªÀUÀðªÀÄÆ®UÀ¼À£ÀÄß ªÀiÁvÀæ vÉUÉzÀÄPÉƼÀÄîvÉÛêÉ.
MAzÀÄ ¸ÀASÉåAiÀÄ zsÀ£ÁvÀäPÀ ªÀUÀð ªÀÄÆ®ªÀ£ÀÄß aºÉ߬ÄAzÀ UÀÄgÀÄw¸ÀĪÀgÀÄ.
GzÁºÀgÀtÂUÉ 4 = 2 (-2 C®è); 9 = 3 (-3 C®è) EvÁå¢
ºÉýPÉ wêÀiÁð£À ºÉýPÉ wêÀiÁð£À
12 = 1 1 = 1 62 = 36 36 = 6
22 = 4 4 = 2 72 = 49 49 = 7
32 = 9 9 = 3 82 = 64 64 = 8
42 = 16 16 = 4 92 = 81 81= 9
52 = 25 25 = 5 102 = 100 100 = 10
5.5.2 ¥ÀÄ£ÀgÁªÀwðvÀ ªÀåªÀPÀ®£ÀzÀ ªÀÄÆ®PÀ ªÀUÀðªÀÄÆ® PÀAqÀÄ»rAiÀÄĪÀÅzÀÄ
ªÉÆzÀ® n ¨É¸À¸Áé¨sÁ«PÀ ¸ÀASÉåUÀ¼À ªÉÆvÀÛªÀÅ n2 DVgÀÄvÀÛzÉ JAzÀÄ ¤ªÀÄUÉ £É£À¦zÉAiÀiÁ? CAzÀgÉ ¥Àæw ªÀUÀð ¸ÀASÉåAiÀÄ£ÀÄß 1 jAzÀ ¥ÁægÀA©ü¹ PÀæªÀiÁ£ÀÄUÀvÀ ¨É¸À ¸Áé¨sÁ«PÀ ¸ÀASÉåUÀ¼À ªÉÆvÀÛªÀ£ÁßV ªÀåPÀÛ¥Àr¸À§ºÀÄzÀÄ
81£ÀÄß ¥ÀjUÀt¹ DUÀ
(i) 81 - 1 = 80 (ii) 80 - 3 = 77 (iii) 77 - 5 = 72
(iv) 72 - 7 = 65 (v) 65 - 9 = 56 (vi) 56 - 11 = 45
(vii) 45 - 13 = 32 (viii) 32 - 15 = 17 (ix) 17 - 17 = 0
EªÀÅUÀ¼À£ÀÄß ¥ÀæAiÀÄwß¹
¥ÀÄ£ÀgÁªÀwðvÀ ªÀåªÀPÀ®£ÀzÀ ªÀÄÆ®PÀ 1 jAzÀ ¥ÁægÀA©ü¹ ɸÀ ÀASÉåUÀ¼À£ÀÄß PÀ¼ÉAiÀÄĪÀÅzÀjAzÀ PɼÀV£À ¸ÀASÉåUÀ¼ÀÄ ¥ÀÆtðªÀUÀðUÀ¼ÁVªÉ CxÀªÁ E®è JAzÀÄ ¥ÀjÃQë¹. PÉÆnÖgÀĪÀ ¸ÀASÉåAiÀÄÄ ¥ÀÆtðªÀUÀð ¸ÀASÉåAiÀiÁVzÀÝgÉ ªÀUÀðªÀÄÆ® PÀAqÀÄ»r¬Äj.
(i) 121 (ii) 55 (iii) 36 (iv) 49 (v) 90
81 gÀ°è 1 jAzÀ ¥ÁægÀA©ü¹ PÀæªÀiÁ£ÀÄUÀvÀ ¨É¸ÀASÉåUÀ¼À£ÀÄß PÀ¼ÉAiÀÄÄvÁÛ ºÉÆÃzÁUÀ 9£Éà ºÀAvÀzÀ°è 0AiÀÄ£ÀÄß ¥ÀqÉAiÀįÁ¬ÄvÀÄ.
DzÀÝjAzÀ 81= 9
729 gÀ ªÀUÀðªÀÄÆ®ªÀ£ÀÄß F «zsÁ£ÀzÀ ªÀÄÆ®PÀ PÀAqÀÄ»rAiÀħºÀÄzÁ? ºËzÀÄ, DzÀgÉ EzÀÄ ºÉZÀÄÑ ¸ÀªÀÄAiÀÄ vÉUÉzÀÄPÉƼÀÄîvÀÛzÉ. CzÀPÁÌV £ÁªÀÅ ¨ÉÃgÉÆAzÀÄ ¸ÀgÀ¼À «zsÁ£ÀzÀ ªÀÄÆ®PÀ PÀAqÀÄ»rAiÀÄ®Ä ¥ÀæAiÀÄw߸ÉÆÃt.
ªÀUÀðUÀ¼ÀÄ ªÀÄvÀÄÛ ªÀUÀðªÀÄÆ®UÀ¼ÀÄ 101
5.5.3 C«¨sÁdå C¥ÀªÀvÀð£À «zsÁ£À¢AzÀ ªÀUÀðªÀÄÆ® PÀAqÀÄ»rAiÀÄĪÀÅzÀÄ
F PɼÀV£À ¸ÀASÉåUÀ¼À ªÀÄvÀÄÛ CªÀÅUÀ¼À ªÀUÀðUÀ¼À C«¨sÁdå C¥ÀªÀvÀð£ÀUÀ¼À£ÀÄß ¥ÀjUÀt¹.
¸ÀASÉåAiÀÄ C«¨sÁdå C¥ÀªÀvÀð£À EªÀÅUÀ¼À ªÀUÀðUÀ¼À C«¨sÁdå C¥ÀªÀvÀð£À
6 = 2 × 3 36 = 2 × 2 × 3 × 3 8 = 2 × 2 × 2 64 = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 12 = 2 × 2 × 3 144 = 2 × 2 × 2 × 2 × 3 × 3
15 = 3 × 5 225 = 3 × 3 × 5 × 5
6 gÀ C«¨sÁdå C¥ÀªÀvÀð£ÀUÀ¼À°è 2 JµÀÄÖ ¸À® EzÉ? MAzÀÄ ¸À® EzÉ. 36gÀ C«¨sÁdå C¥ÀªÀvÀð£ÀUÀ¼À°è 2 JµÀÄÖ ¸À® EzÉ? JgÀqÀÄ ¸À® EzÉ. CzÉà jÃwAiÀiÁV 6 ªÀÄvÀÄÛ 36 gÀ°è 3 JµÀÄÖ ¸À® EzÉ JAzÀÄ UÀªÀĤ¹. ºÁUÉAiÉÄà 8 ªÀÄvÀÄÛ 64 gÀ°è 2 JµÀÄÖ ¸À® EzÉ UÀªÀĤ¹
EzÀjAzÀ ¤ªÀÄUÉ w½AiÀÄĪÀÅzÉãÉAzÀgÉ ¸ÀASÉåAiÀÄ°è£À ¥ÀæwAiÉÆAzÀÄ C«¨sÁdå C¥ÀªÀvÀð£ÀªÀÅ JµÀÄÖ À® EgÀÄvÀÛzÉAiÉÆÃ, CzÀgÀ JgÀqÀgÀµÀÄÖ ¸À® D ¸ÀASÉåAiÀÄ ªÀUÀðzÀ C«¨sÁdå C¥ÀªÀvÀð£ÀUÀ¼À°è EgÀÄvÀÛzÉ. FUÀ 324gÀ ªÀUÀðªÀÄÆ®ªÀ£ÀÄß F «zsÁ£ÀzÀ ªÀÄÆ®PÀ PÀAqÀÄ»rAiÉÆÃt 324gÀ C«¨sÁdå C¥ÀªÀvÀð£ÀUÀ¼ÀÄ
32421622813273933
324 = 2 × 2 × 3 × 3 × 3 × 3
C«¨sÁdå C¥ÀªÀvÀð£ÀUÀ¼À£ÀÄß eÉÆÃr ªÀiÁrzÁUÀ
324 = 2 × 2 × 3 × 3 × 3 × 3 = 22 × 32 × 32
= (2 × 3 × 3)2
DzÀÝjAzÀ 324 = 2 × 3 × 3 = 18CzÉà jÃwAiÀiÁV 256 gÀ ªÀUÀð ªÀÄÆ®ªÀ£ÀÄß PÀAqÀÄ»rAiÀÄÄ«gÁ? 256 gÀ C«¨sÁdå C¥ÀªÀvÀð£ÀªÀÅ
2562128264232216282422
256 = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2C«¨sÁdå C¥ÀªÀvÀð£ÀUÀ¼À£ÀÄß eÉÆÃr ªÀiÁrzÁUÀ
256 = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2
= (2 × 2 × 2 × 2)2
DzÀÝjAzÀ 256 = 2 × 2 × 2 × 2 = 16
102 UÀtÂvÀ
48 ¥ÀÆtðªÀUÀð ¸ÀASÉåAiÉÄÃ?
48 = 2 × 2 × 2 × 2 × 3
E°è J®è C¥ÀªÀvÀð£ÀUÀ¼ÀÄ eÉÆÃrAiÀiÁV®è. DzÀÝjAzÀ 48 MAzÀÄ ¥ÀÆtðªÀUÀðªÀ®è.
48gÀ C¥ÀªÀvÀðåUÀ¼À°è PÀ¤µÀתÁzÀ ¥ÀÆtð ªÀUÀð¸ÀASÉåAiÀÄ£ÀÄß PÀAqÀÄ»rAiÉÆÃt.
EzÀ£ÀÄß ªÀiÁqÀ®Ä 48 £ÀÄß PÀ¤µÀ× AiÀiÁªÀ ¸ÀASÉå¬ÄAzÀ UÀÄt¹zÁUÀ CzÀÄ ¥ÀÆtðªÀUÀðªÁUÀÄvÀÛzÉ JA§ÄzÀ£ÀÄß ºÉÃUÉ PÀAqÀÄ»rAiÀÄĪÀÅzÀÄ? 48gÀ C«¨sÁdå C¥ÀªÀvÀð£ÀUÀ¼À£ÀÄß eÉÆÃrUÀ¼ÁV ªÀiÁrzÁUÀ 3 ªÀiÁvÀæ eÉÆÃrAiÀÄ£ÀÄß ºÉÆA¢®è JAzÀÄ £ÀªÀÄUÉ w½AiÀÄÄvÀÛzÉ. DzÀÝjAzÀ £ÁªÀÅ CzÀ£ÀÄß eÉÆÃrAiÀiÁV¸À®Ä 3 jAzÀ UÀÄt¸À¨ÉÃPÁUÀÄvÀÛzÉ
DUÀ 48 × 3 = 144 MAzÀÄ ¥ÀÆtðªÀUÀðªÁUÀÄvÀÛzÉ
48£ÀÄß ¥ÀÆtðªÀUÀðªÀ£ÁßV ªÀiÁqÀ®Ä PÀ¤µÀ× AiÀiÁªÀ ¸ÀASÉå¬ÄAzÀ ¨sÁV¸À¨ÉÃPÀÄ JAzÀÄ ºÉüÀÄ«gÁ?
C¥ÀªÀvÀð£À 3 eÉÆÃrAiÀiÁV®è, DzÀÝjAzÀ 48£ÀÄß 3 jAzÀ ¨sÁV¹zÁUÀ
48 ÷ 3 = 16 = 2 × 2 × 2 × 2 ªÀÄvÀÄÛ 16 MAzÀÄ ¥ÀÆtð ªÀUÀðªÁVzÉÀ
64002320021600280024002200210025022555
GzÁºÀgÀt 4 : 6400gÀ ªÀUÀðªÀÄÆ® PÀAqÀÄ»r¬Äj.
¥ÀjºÁgÀ : 6400 = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 5 × 5
DzÀÝjAzÀ 6400 = 2 × 2 × 2 × 2 × 5 = 80
GzÁºÀgÀt 5 : 90 ¥ÀÆtðªÀUÀðªÉÃ?
¥ÀjºÁgÀ : 90 = 2 × 3 × 3 × 5C«¨sÁdå C¥ÀªÀvÀð£ÀUÀ¼ÁzÀ 2 ªÀÄvÀÄÛ 5 eÉÆÃrAiÀÄ£ÀÄß ºÉÆA¢®è.
DzÀÝjAzÀ 90 ¥ÀÆtð ªÀUÀð ¸ÀASÉåAiÀÄ®è.
90gÀ PÉÆ£ÉAiÀÄ°è MAzÉà ÉÆ£Éß EgÀĪÀÅzÀjAzÀ ÀºÀ CzÀÄ ¥ÀÆtðªÀUÀðªÀ®è JAzÀÄ ºÉüÀ§ºÀÄzÀÄ.
GzÁºÀgÀt 6 : 2352 ¥ÀÆtðªÀUÀðªÉÃ? E®èªÁzÀgÉ CzÀgÀ C¥ÀªÀvÀåðUÀ¼À°è PÀ¤µÀ× ¥ÀÆtð ªÀUÀð ÀASÉåAiÀÄ£ÀÄß PÀAqÀÄ»r¬Äj ªÀÄvÀÄÛ CzÀgÀ ªÀUÀð ªÀÄÆ® PÀAqÀÄ»r¬Äj.
¥ÀjºÁgÀ : 2352 = 2 × 2 × 2 × 2 × 3 × 7 × 7
C«¨sÁdå C¥ÀªÀvÀð£À 3 eÉÆÃrAiÀÄ£ÀÄß ºÉÆA¢®è DzÀÝjAzÀ 2352 ¥ÀÆtðªÀUÀðªÀ®è
23522117625882294214734977
9024531535
ªÀUÀðUÀ¼ÀÄ ªÀÄvÀÄÛ ªÀUÀðªÀÄÆ®UÀ¼ÀÄ 103 3 eÉÆÃrAiÀÄ£ÀÄß ¥ÀqÉzÁUÀ zÀvÀÛ ÀASÉåAiÀÄÄ ¥ÀÆtðªÀUÀðªÁUÀÄvÀÛzÉ. DzÀÝjAzÀ 2352 £ÀÄß
3 jAzÀ UÀÄt¹
2352 = 2 × 2 × 2 × 2 × 3 × 3 × 7 × 7
FUÀ J®è C«¨sÁdå C¥ÀªÀvÀð£ÀUÀ¼ÀÄ eÉÆÃrAiÀiÁVªÉ. DzÀÝjAzÀ 2352× 3 = 7056 EzÀÄ
¥ÀÆtðªÀUÀðªÁVzÉ. EzÉà £ÀªÀÄUÉ ¨ÉÃPÁzÀ PÀ¤µÀ× ¥ÀÆtðªÀUÀðªÉA§ÄzÀ£ÀÄß UÀªÀĤ¹.
ªÀÄvÀÄÛ 7056 = 2 × 2 × 3 × 7 = 84
GzÁºÀgÀt 7 : 9408 £ÀÄß PÀ¤µÀ× AiÀiÁªÀ ÀASÉå¬ÄAzÀ sÁV¹zÀgÉ ÀASÉåAiÀÄ sÁUÀ®§Þ MAzÀÄ
¥ÀÆtð ªÀUÀðªÁUÀĪÀÅzÀÄ? D ¨sÁUÀ®§ÞzÀ ªÀUÀðªÀÄÆ® PÀAqÀÄ»r¬Äj.
¥ÀjºÁgÀ : £ÀªÀÄUÉ w½¢gÀĪÀAvÉ 9408 = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 3 × 7 × 7£ÁªÀÅ 9408 £ÀÄß 3 jAzÀ ¨sÁV¹zÁUÀ
9408 ÷ 3 = 3136 = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 7 × 7 EzÀÄ ¥ÀÆtðªÀUÀðªÁVzÉ
(KPÉ?)
DzÀÝjAzÀ, ¨ÉÃPÁzÀ PÀ¤µÀ× ¸ÀASÉå 3 DVzÉ.
ªÀÄvÀÄÛ 3136 = 2 × 2 × 2 × 7 = 56
GzÁºÀgÀt 8 : 6,9 ªÀÄvÀÄÛ 15 jAzÀ ¨sÁUÀÀªÁUÀĪÀ PÀ¤µÀ× ªÀUÀð ¸ÀASÉåAiÀÄ£ÀÄß
PÀAqÀÄ»r¬Äj.
¥ÀjºÁgÀ : EzÀ£ÀÄß JgÀqÀÄ ºÀAvÀUÀ¼À°è ©r¸À§ºÀÄzÀÄ. ªÉÆzÀ® ªÀÄÆgÀÄ
¸ÀASÉåUÀ¼À Cw aPÀÌ ¸ÁªÀiÁ£Àå C¥ÀªÀvÀåð (®.¸Á.C)ªÀ£ÀÄß
PÀAqÀÄ»rAiÀĨÉÃPÀÄ ªÀÄvÀÄÛ FUÀ ¨ÉÃPÁzÀ ªÀUÀð ¸ÀASÉåAiÀÄ£ÀÄß
PÀAqÀÄ»rAiÀÄĪÀÅzÀÄ. 6,9 ªÀÄvÀÄÛ 15 gÀ ®.¸Á.C
2 × 3 × 3 × 5 = 90 DUÀĪÀÅzÀÄ
90gÀ C«¨sÁdå C¥ÀªÀvÀð£ÀªÀÅ
90 = 2 × 3 × 3 × 5
EªÀÅUÀ¼À°è 2 ªÀÄvÀÄÛ 5 eÉÆÃrAiÀiÁV®è. DzÀÝjAzÀ 90 ¥ÀÆtðªÀUÀðªÀ®è 90£ÀÄß
¥ÀÆtðªÀUÀðªÀ£ÁßV ªÀiÁqÀ®Ä, 90gÀ J¯Áè C¥ÀªÀvÀð£ÀUÀ¼À£ÀÄß eÉÆÃrUÀ¼À£ÁßV ªÀiÁqÀ¨ÉÃPÀÄ.
DzÀÝjAzÀ 2 ªÀÄvÀÄÛ 5 ¸ÀASÉåUÀ¼À£ÀÄß eÉÆÃrUÀ¼À£ÁßV ªÀiÁqÀ¨ÉÃPÀÄ.
DzÀÝjAzÀ 90 £ÀÄß 2 × 5 jAzÀ UÀÄt¸À¨ÉÃPÀÄ. CAzÀgÉ 10. DUÀ £ÀªÀÄUÉ ¨ÉÃPÁzÀ ªÀUÀð
¸ÀASÉå 90 × 10 = 900 DUÀÄvÀÛzÉ.
6,9,1523,9,1531,3,531,1,551,1,1
104 UÀtÂvÀ
C¨sÁå¸À 5.3
1. F PɼÀV£À ¸ÀASÉåUÀ¼À ªÀUÀðªÀÄÆ®UÀ¼À ©r¸ÁÜ£ÀzÀ°è EgÀ§ºÀÄzÁzÀ CAQUÀ¼ÁªÀŪÀÅ?
(i) 9801 (ii) 99856 (iii) 998001 (iv) 657666025 2. AiÀiÁªÀÅzÉà jÃwAiÀÄ ÉPÁÌZÁgÀ ªÀiÁqÀzÉà F PɼÀV£ÀªÀÅUÀ¼À°è AiÀiÁªÀŪÀÅ ¥ÀÆtðªÀUÀðUÀ¼À®è
JAzÀÄ w½¹.
(i) 153 (ii) 257 (iii) 408 (iv) 441 3. ¥ÀÄ£ÀgÁªÀwðvÀ ªÀåªÀPÀ®£À «zsÁ£ÀzÀ ªÀÄÆ®PÀ 100 ªÀÄvÀÄÛ 169gÀ ªÀUÀðªÀÄÆ®UÀ¼À£ÀÄß
PÀAqÀÄ»r¬Äj.
4. C«¨sÁdå C¥ÀªÀvÀð£À «zsÁ£À¢AzÀ F PɼÀV£À ¸ÀASÉåUÀ¼À ªÀUÀðªÀÄÆ®UÀ¼À£ÀÄß PÀAqÀÄ»r¬Äj.
(i) 729 (ii) 400 (iii) 1764 (iv) 4096 (v) 7744 (vi) 9604 (vii) 5929 (viii) 9216 (ix) 529 (x) 8100 5. PɼÀV£À ¸ÀASÉåUÀ¼À£ÀÄß ¥ÀÆtð ªÀUÀð ¸ÀASÉåUÀ¼À£ÁßV ªÀiÁqÀ®Ä PÀ¤µÀ× AiÀiÁªÀ ¥ÀÆtð
¸ÀASÉå¬ÄAzÀ UÀÄt¸À¨ÉÃPÉAzÀÄ PÀAqÀÄ»r¬Äj. ºÁUÉ ¥ÀqÉzÀ ªÀUÀð ¸ÀASÉåAiÀÄ ªÀUÀðªÀÄÆ®ªÀ£ÀÄß ¸ÀºÀ PÀAqÀÄ»r¬Äj
(i) 252 (ii) 180 (iii) 1008 (iv) 2028 (v) 1458 (vi) 768 6. PɼÀV£À ¥ÀæwAiÉÆAzÀÄ ¸ÀASÉåAiÀÄ£ÀÄß ¥ÀÆtðªÀUÀð ¸ÀASÉåAiÀÄ£ÁßV ªÀiÁqÀ®Ä PÀ¤µÀ×
AiÀiÁªÀ ¥ÀÆtð¸ÀASÉå¬ÄAzÀ ¨sÁV¸À¨ÉÃPÉAzÀÄ PÀAqÀÄ»r¬Äj ªÀÄvÀÄÛ £ÀAvÀgÀ ¥ÀqÉzÀ ªÀUÀð¸ÀASÉåAiÀÄ ªÀUÀðªÀÄÆ®ªÀ£ÀÄß PÀAqÀÄ»r¬Äj
(i) 252 (ii) 2925 (iii) 396 (iv) 2645 (v) 2800 (vi) 1620 7. MAzÀÄ ±Á¯ÉAiÀÄ 8£Éà vÀgÀUÀwAiÀÄ «zÁåyðUÀ¼ÀÄ ¥ÀæzsÁ£À ªÀÄAwæAiÀĪÀgÀ gÁ¶ÖçÃAiÀÄ
¥ÀjºÁgÀ ¤¢üUÉ MlÄÖ 2401 zÁ£À ¤ÃrzÀgÀÄ. D vÀgÀUÀwAiÀÄ°ègÀĪÀ MlÄÖ «zÁåyðUÀ¼À ¸ÀASÉåAiÀĵÀÄÖ gÀÆ¥Á¬ÄUÀ¼À£ÀÄß ¥ÀæwAiÉƧ⠫zÁåyðAiÀÄÆ zÁ£À ªÀiÁrzÀ£ÀÄ. ºÁUÁzÀgÉ D vÀgÀUÀwAiÀÄ°ègÀĪÀ «zÁåyðUÀ¼À ¸ÀASÉåAiÀÄ£ÀÄß PÀAqÀÄ»r¬Äj.
8. MAzÀÄ GzÁå£ÀªÀ£ÀzÀ°è 2025 ¸À¹UÀ¼À£ÀÄß, CqÀظÁ®ÄUÀ¼À ¸ÀASÉå J¶ÖªÉAiÉÆà CµÉÖà ¸À¹UÀ¼À£ÀÄß ¥ÀæwAiÉÆAzÀÄ CqÀظÁ°£À°è EgÀĪÀAvÉ £ÉqÀ¨ÉÃPÀÄ. ºÁUÁzÀgÉ CqÀظÁ®ÄUÀ¼À ¸ÀASÉå ªÀÄvÀÄÛ ¥ÀæwAiÉÆAzÀÄ CqÀظÁ°£À°ègÀĪÀ ¸À¹UÀ¼À ¸ÀASÉå PÀAqÀÄ»r¬Äj.
ªÀUÀðUÀ¼ÀÄ ªÀÄvÀÄÛ ªÀUÀðªÀÄÆ®UÀ¼ÀÄ 105
9. 4, 9, ªÀÄvÀÄÛ 10 jAzÀ ¨sÁUÀªÁUÀĪÀ PÀ¤µÀ× ªÀUÀð¸ÀASÉåAiÀÄ£ÀÄß PÀAqÀÄ»r¬Äj.
10. 8, 15 ªÀÄvÀÄÛ 20 jAzÀ ¨sÁUÀªÁUÀĪÀ PÀ¤µÀ× ªÀUÀð¸ÀASÉåAiÀÄ£ÀÄß PÀAqÀÄ»r¬Äj.
5.5.4 ¨sÁUÁPÁgÀ «zsÁ£À¢AzÀ ªÀUÀð ªÀÄÆ® PÀAqÀÄ»rAiÀÄĪÀÅzÀÄ.
¸ÀASÉåUÀ¼ÀÄ §ºÀ¼ÀµÀÄÖ zÉÆqÀØ¢zÁÝUÀ, C«¨sÁdå C¥ÀªÀvÀð£À «zsÁ£À¢AzÀ ªÀUÀðªÀÄÆ® PÀAqÀÄ»rAiÀÄĪÀÅzÀÄ vÀÄA¨Á PÀptªÁUÀĪÀÅzÀÄ. DzÀÝjAzÀ £ÁªÀÅ ¢ÃWÀð sÁUÁPÁgÀ «zsÁ£ÀªÀ£ÀÄß G¥ÀAiÉÆÃV¸ÀÄvÉÛêÉ.
EzÀPÁÌV ªÀUÀð ªÀÄÆ®UÀ¼À°è JµÀÄÖ CAQUÀ½gÀÄvÀÛªÉ JA§ÄzÀ£ÀÄß £ÁªÀÅ ¤zsÀðj¸À¨ÉÃPÀÄ.
PɼÀV£À PÉÆõÀÖPÀªÀ£ÀÄß £ÉÆÃr.
¸ÀASÉå ªÀUÀð10 100 3 - CAQUÀ¼À PÀ¤µÀ× ªÀUÀð¸ÀASÉå31 961 3 - CAQUÀ¼À UÀjµÀ× ªÀUÀð¸ÀASÉå32 1024 4 - CAQUÀ¼À PÀ¤µÀ× ªÀUÀð¸ÀASÉå99 9801 4 - CAQUÀ¼À UÀjµÀ× ªÀUÀð¸ÀASÉå
DzÀÝjAzÀ 3 CxÀªÁ 4 - CAQUÀ¼ÀļÀî ¥ÀÆtðªÀUÀðUÀ¼À ªÀUÀðªÀÄÆ®UÀ¼À°ègÀĪÀ CAQUÀ¼À ¸ÀASÉåAiÀÄ §UÉÎ £ÁªÀÅ K£ÀÄ ºÉüÀ§ºÀÄzÀÄ? ¥ÀÆtðªÀUÀð¸ÀASÉåAiÀÄ°è 3 CxÀªÁ 4 CAQUÀ¼ÀÄ EzÀÝgÉ CzÀgÀ ªÀUÀðªÀÄÆ®zÀ°è 2 - CAQUÀ½gÀÄvÀÛªÉ.
MAzÀÄ ¥ÀÆtðªÀUÀð¸ÀASÉåAiÀÄ°è 5 CxÀªÁ 6 CAQUÀ¼ÀÄ EzÀÝgÉ CzÀgÀ ªÀUÀðªÀÄÆ®zÀ°è JµÀÄÖ CAQUÀ½gÀÄvÀÛªÉ JAzÀÄ ¤ÃªÀÅ ºÉüÀ§°ègÁ?
3-CAQUÀ¼À PÀ¤µÀ× ¥ÀÆtð ªÀUÀð ÀASÉåAiÀÄÄ 100, EzÀÄ 10gÀ ªÀUÀðªÁVzÉ ªÀÄvÀÄÛ UÀjµÀ× ¥ÀÆtðªÀUÀð ¸ÀASÉåAiÀÄÄ 961, EzÀÄ 31gÀ ªÀUÀðªÁVzÉ. 4 CAQUÀ¼À PÀ¤µÀ× ¥ÀÆtð ªÀUÀðªÀÅ 1024, 32 gÀ ªÀUÀðªÁVzÉ ªÀÄvÀÄÛ UÀjµÀ× ¥ÀÆtðªÀUÀðªÀÅ 9801, EzÀÄ 99gÀ ªÀUÀðªÁVzÉ.
AiÉÆÃa¹, ZÀað¹ ªÀÄvÀÄÛ §gɬÄj
MAzÀÄ ¥ÀÆtð ªÀUÀð ¸ÀASÉåAiÀÄ°è n - CAQUÀ½zÀÄÝ, n ¸ÀªÀĸÀASÉåAiÀiÁVzÀÝgÉ
CzÀgÀ ªÀUÀðªÀÄÆ®ªÀÅ 2
nCAQUÀ¼À£ÀÄß ºÉÆA¢gÀÄvÀÛzÉ, n ¨É¸À¸ÀASÉåAiÀiÁVzÀÝgÉ
1
2
n + CAQUÀ¼À£ÀÄß ºÉÆA¢gÀÄvÀÛzÉ JAzÀÄ £ÁªÀÅ ºÉüÀ§ºÀÄzÉÃ?
MAzÀÄ ¸ÀASÉåAiÀÄ ªÀUÀð ªÀÄÆ®zÀ°ègÀĪÀ CAQUÀ¼À ¸ÀASÉåAiÀÄ£ÀÄß w½AiÀÄĪÀÅzÀÄ G¥ÀAiÀÄÄPÀÛ.
529gÀ ªÀUÀðªÀÄÆ®ªÀ£ÀÄß PÀAqÀÄ»rAiÀÄ®Ä PɼÀV£À ºÀAvÀUÀ¼À£ÀÄß ¥ÀjUÀt¹. EzÀgÀ ªÀUÀðªÀÄÆ®zÀ°ègÀĪÀ CAQUÀ¼À ¸ÀASÉåAiÀÄ£ÀÄß ¤ÃªÀÅ CAzÁf¸À§°ègÁ?
106 UÀtÂvÀ
ºÀAvÀ 1 : ©r ¸ÁÜ£À¢AzÀ DgÀA©ü¹ JqÀUÀqÉUÉ ZÀ°¹ JgÀqÉgÀqÀÄ CAQUÀ¼À UÀÄA¥ÀĪÀiÁr CAQUÀ¼À eÉÆÃrUÀ¼À ªÉÄÃ¯É MAzÀÄ CqÀØUÉgÉAiÀÄ£ÀÄß ºÁQ. CAQUÀ¼À ¸ÀASÉåAiÀÄÄ ¨É¸À¸ÀASÉåAiÀÄ°èzÀÝgÉ MAzÉà CAQAiÀÄÄ PÉÆ£ÉAiÀÄ°è G½AiÀÄĪÀÅzÀÄ. CzÀPÀÆÌ PÀÆqÀ CqÀØUÉgÉAiÀÄ£ÀÄß ºÁPÀĪÀÅzÀÄ.
»ÃUÁV 529
ºÀAvÀ 2 : JqÀvÀÄ¢AiÀÄ°ègÀĪÀ UÀÄA¦£À ¸ÀASÉåUÉ (5) ¸ÀªÀÄ CxÀªÁ CzÀQÌAvÀ PÀrªÉÄ EgÀĪÀ UÀjµÀ× ªÀUÀðªÀżÀî ¸ÀASÉåAiÀÄ£ÀÄß AiÉÆÃa¹. (22 < 5 < 32) E°è D ¸ÀASÉå 2 FUÀ 5£ÀÄß 2jAzÀ ¨sÁV¹ §®UÀqÉ vÉÆÃj¹gÀĪÀAvÉ ¨sÁUÀ®§Þ 2£ÀÄß ªÉÄîÄUÀqÉ §gÉzÀÄ ±ÉõÀ 1£ÀÄß ¥ÀqɬÄj.
22
5 29-4
1
ºÀAvÀ 3 : ªÀÄÄA¢£À CqÀØUÉgÉ J¼ÉÀzÀ UÀÄA¥À£ÀÄß PɼÀUÉ ±ÉõÀzÀ §® ¨sÁUÀPÉÌ vÉUÉzÀÄPÉƽî (E°è 29£ÀÄß PɼÀUÉ vÉUÉzÀÄPÉƼÀÄîªÀÅzÀÄ) DzÀÝ-jAzÀ FUÀ ºÉƸÀ ¨sÁdå 129 DVzÉ.
ºÀAvÀ 4 : ¨sÁdPÀ 2£ÀÄß ¢éUÀÄtUÉƽ¸ÀĪÀÅzÀÄ ªÀÄvÀÄÛ CzÀgÀ §®UÀqÉ ªÀÄÄA¢£À CAQUÁV SÁ° eÁUÀ ©qÀ¨ÉÃPÀÄ.
ºÀAvÀ 5 : ¨sÁdPÀ ¸ÁÜ£ÀzÀ°ègÀĪÀ SÁ° eÁUÀªÀ£ÀÄß F PɼÀPÀAqÀAvÉ vÀÄA© ªÀÄÄAzÀĪÀgÉAiÀĨÉÃPÀÄ. F jÃw vÀÄA§ÄªÀ CAQAiÉÄà ¨sÁUÀ®§ÞzÀ ªÀÄÄA¢£À CAQAiÀiÁUÀĪÀÅzÀÄ. CµÉÖà C®èzÉà CzÀjAzÀ ¨sÁUÀ®§ÞªÀ£ÀÄß UÀÄt¹zÁUÀ §gÀĪÀ UÀÄt®§ÞªÀÅ ºÉƸÀ ¨sÁdåPÉÌ ¸ÀªÀÄ CxÀªÁ PÀrªÉÄAiÀiÁVgÀ¨ÉÃPÀÄ. F jÃwAiÀÄ UÀjµÀ× CAQ¬ÄAzÀ SÁ° eÁUÀªÀ£ÀÄß vÀÄA§¨ÉÃPÀÄ.
E°è 42 × 2 = 84
43 × 3 = 129 DUÀÄvÀÛzÉ. DzÀÝjAzÀ 3£ÀÄß ºÉƸÀ CAQAiÀÄ£ÁßV DAiÉÄÌ ªÀiÁqÀ¨ÉÃPÀÄ. ±ÉõÀªÀ£ÀÄß ¥ÀqÉAiÀÄĪÀÅzÀÄ
ºÀAvÀ 6 : EzÀjAzÀ ±ÉõÀ 0 DUÀĪÀÅzÀÄ ªÀÄvÀÄÛ PÉÆnÖgÀĪÀ ÀASÉåAiÀÄ°è E£ÀÄß CAQUÀ¼ÀÄ G½¢gÀĪÀÅ¢®è DzÀÝjAzÀ 529 = 23
FUÀ 4096 ¥ÀjUÀt¹
ºÀAvÀ 1 : ©r ¸ÁÜ£À¢AzÀ DgÀA©ü¹ JgÀqÉgÀqÀÄ CAQUÀ¼À UÀÄA¥ÀÄ ªÀiÁr. ¥ÀæwAiÉÆAzÀÄ CAQUÀ¼À eÉÆÃrUÀ¼À ªÉÄÃ¯É MAzÀÄ CqÀØUÉgÉAiÀÄ£ÀÄß
ºÁQ ( )40 96
22
-41 29
5 29
2
2
5 29-4
1 294-
2
23
5 29-4
1 29431 29
0-
ªÀUÀðUÀ¼ÀÄ ªÀÄvÀÄÛ ªÀUÀðªÀÄÆ®UÀ¼ÀÄ 107 ºÀAvÀ 2 : JqÀ vÀÄ¢AiÀÄ°ègÀĪÀ UÀÄA¦£À ¸ÀASÉåUÉ ¸ÀªÀÄ CxÀªÁ CzÀQÌAvÀ
PÀrªÉÄ EgÀĪÀ UÀjµÀ× ªÀUÀðªÀżÀî ¸ÀASÉåAiÀÄ£ÀÄß PÀAqÀÄ»r¬Äj (62 < 40 < 72) F ¸ÀASÉå (6) AiÀÄÄ ¨sÁdPÀªÁUÀĪÀÅzÀÄ ªÀÄvÀÄÛ JqÀvÀÄ¢AiÀÄ°ègÀĪÀ UÀÄA¦£À ÀASÉå (40) sÁdåªÁUÀĪÀÅzÀÄ F ¨sÁdåªÀ£ÀÄß ¨sÁdPÀ¢AzÀ ¨sÁV¹ ±ÉõÀªÀ£ÀÄß ¥ÀqɬÄj. F GzÁºÀgÀtÂAiÀÄ°è ±ÉõÀªÀÅ 4
ºÀAvÀ 3 : ªÀÄÄA¢£À UÉgÉ J¼ÉzÀ UÀÄA¥À£ÀÄß (CAzÀgÉ 96) PɼÀUÉ ±ÉõÀzÀ §®UÀqÉ vÉUÉzÀÄPÉƼÀÄîªÀÅzÀÄ
FUÀ ºÉƸÀ ¨sÁdå 496 DVzÉ.
ºÀAvÀ 4 : ¨sÁdPÀªÀ£ÀÄß ¢éUÀÄtUÉƽ¸ÀĪÀÅzÀÄ ªÀÄvÀÄÛ CzÀgÀ §®UÀqÉ ªÀÄÄA¢£À CAQUÁV SÁ° eÁUÀ ©lÄÖ §gÉAiÀÄĪÀÅzÀÄ.
ºÀAvÀ 5 : D SÁ° eÁUÀ ªÀÄvÀÄÛ ¨sÁUÀ®§ÞzÀ ªÀÄÄA¢£À CAQAiÀÄ£ÀÄß MAzÉà zÉÆqÀØ CAQ¬ÄAzÀ vÀÄA§¨ÉÃPÀÄ. ªÀÄÄA¢£À CAQAiÀÄÄ ºÉÃVgÀ¨ÉÃPÉAzÀgÉ, SÁ° eÁUÀzÀ°è vÀÄA©zÀ £ÀAvÀgÀ zÉÆgÀPÀĪÀ ¸ÀASÉåUÉ, ¨sÁUÀ®§ÞzÀ°ègÀĪÀ ªÀÄÄA¢£À CAQ¬ÄAzÀ UÀÄt¹zÁUÀ ºÉƸÀ ¨sÁdåPÉÌ ¸ÀªÀÄ CxÀªÁ CzÀQÌAvÀ PÀrªÉÄ EgÀ¨ÉÃPÀÄ.
E°è 124 × 4 = 496 DUÀÄvÀÛzÉ.
DzÀÝjAzÀ ¨sÁUÀ®§ÞzÀ ºÉƸÀ CAQ 4
ºÀAvÀ 6 :: EzÀjAzÀ ±ÉõÀ 0 §gÀÄvÀÛzÉ ªÀÄvÀÄÛ ªÀÄÄA¢£À UÀÄA¥ÀÄ EgÀĪÀÅ¢®è.
DzÀÝjAzÀ 4096 = 64
¸ÀASÉåAiÀÄ£ÀÄß CAzÁf¸ÀĪÀÅzÀÄ
¥ÀÆtðªÀUÀð ¸ÀASÉåAiÀÄ ªÀUÀðªÀÄÆ®zÀ°è EgÀĪÀ CAQUÀ¼À ¸ÀASÉåAiÀÄ£ÀÄß w½AiÀÄ®Ä £ÁªÀÅ CqÀØUÉgÉAiÀÄ£ÀÄß G¥ÀAiÉÆÃV¸ÀÄvÉÛêÉ.
5 29 = 23 ªÀÄvÀÄÛ 40 96 = 64
529 ªÀÄvÀÄÛ 4096, F JgÀqÀÄ ¸ÀASÉåUÀ¼À°è JgÀqÀÄ CqÀØUÉgÉUÀ½ªÉ ªÀÄvÀÄÛ CªÀÅUÀ¼À ªÀUÀðªÀÄÆ®UÀ¼À°ègÀĪÀ CAQUÀ¼À ¸ÀASÉåAiÀÄÄ 2 DVzÉ.
CzÉà jÃwAiÀiÁV 14400gÀ ªÀUÀð ªÀÄÆ®zÀ°è EgÀĪÀ CAQUÀ¼À ÀASÉåAiÀÄ£ÀÄß ¤ÃªÀÅ ºÉüÀÄ«gÁ?
F ÀASÉåAiÀÄ ªÉÄÃ¯É CqÀØUÉgÉUÀ¼À£ÀÄß ºÁPÉÆÃt 1 44 00 E°è 3 CqÀØ UÉgÉUÀ½gÀĪÀÅzÀjAzÀ
ªÀUÀðªÀÄÆ®zÀ°è 3 CAQUÀ¼ÀÄ EgÀÄvÀÛªÉ.
6
6
40 9636
496
-
12
6
6
4036
496
-
124
0-496
96
4
108 UÀtÂvÀ
EªÀÅUÀ¼À£ÀÄß ¥ÀæAiÀÄwß¹
ªÀUÀðªÀÄÆ®UÀ¼À£ÀÄß PÀAqÀÄ»rAiÀÄzÉà F PɼÀV£À ¸ÀASÉåUÀ¼À ªÀUÀðªÀÄÆ®UÀ¼À°è JµÀÄÖ CAQUÀ½gÀÄvÀÛªÉ JAzÀÄ PÀAqÀÄ»r¬Äj.
(i) 25600 (ii) 100000000 (iii) 36864
GzÁºÀgÀt 9 : EªÀÅUÀ¼À ªÀUÀðªÀÄÆ®UÀ¼À£ÀÄß PÀAqÀÄ»r¬Äj (i) 729 (ii) 1296 ¥ÀjºÁgÀ : (i)
6
27
7 294
329-
47
0-329
(ii)
DzÀÝjAzÀ 729 = 27 DzÀÝjAzÀ 1296 = 36
GzÁºÀgÀt 10 : 5607£ÀÄß ¥ÀÆtð ªÀUÀðªÀ£ÁßV ªÀiÁqÀ®Ä F ¸ÀASÉå¬ÄAzÀ PÀ¼ÉAiÀĨÉÃPÁzÀ PÀ¤µÀ× ¸ÀASÉåAiÀÄ£ÀÄß PÀAqÀÄ»r¬Äj ªÀÄvÀÄÛ ¥ÀÆtðªÀUÀð ¸ÀASÉåAiÀÄ ªÀUÀðªÀÄÆ®ªÀ£ÀÄß PÀAqÀÄ»r¬Äj.
¥ÀjºÁgÀ : 5607 £ÀÄß ¢ÃWÀð ¨sÁUÁPÁgÀ «zsÁ£À¢AzÀ PÀAqÀÄ»rAiÀÄ®Ä
¥ÀæAiÀÄw߸ÉÆÃt £ÁªÀÅ ±ÉõÀ 131£ÀÄß ¥ÀqÉAiÀÄÄvÉÛêÉ.
742, 5607QÌAvÀ 131 PÀrªÉÄAiÀiÁVzÉ JAzÀÄ EzÀjAzÀ UÉÆvÁÛUÀĪÀÅzÀÄ
EzÀgÀ CxÀð K£ÉAzÀgÉ, PÉÆnÖgÀĪÀ ¸ÀASÉåAiÀÄ°è ±ÉõÀªÀ£ÀÄß PÀ¼ÉzÁUÀ CzÀÄ ¥ÀÆtðªÀUÀðªÁUÀÄvÀÛzÉ
DzÀÝjAzÀ £ÀªÀÄUÉ ¨ÉÃPÁzÀ ¥ÀÆtð ªÀUÀð 5607 - 131 = 5476 ªÀÄvÀÄÛ 5476 = 74
GzÁºÀgÀt 11 : 4 CAQUÀ¼À UÀjµÀ× ¥ÀÆtðªÀUÀðªÀ£ÀÄß PÀAqÀÄ»r¬Äj
¥ÀjºÁgÀ : 4 CAQUÀ¼À UÀjµÀ× ¸ÀASÉå = 9999
9999 £ÀÄß ¢ÃWÀð ¨sÁUÁPÁgÀ «zsÁ£À¢AzÀ PÀAqÀÄ»rAiÉÆÃt
±ÉõÀ 198 DVzÉ. 992, 9999 QÌAvÀ 198 PÀrªÉÄAiÀiÁVzÉ JAzÀÄ UÉÆvÁÛUÀÄvÀÛzÉ. EzÀgÀ CxÀð K£ÉAzÀgÉ, PÉÆnÖgÀĪÀ ¸ÀASÉåAiÀÄ°è ±ÉõÀªÀ£ÀÄß PÀ¼ÉzÁUÀ £ÁªÀÅ ¥ÀÆtðªÀUÀðªÀ£ÀÄß ¥ÀqÉAiÀÄÄvÉÛêÉ.
DzÀÝjAzÀ £ÀªÀÄUÉ ¨ÉÃPÁzÀ ¥ÀÆtðªÀUÀðªÀÅ 9999 - 198 = 9801 ªÀÄvÀÄÛ 9801= 99
ªÀUÀðUÀ¼ÀÄ ªÀÄvÀÄÛ ªÀUÀðªÀÄÆ®UÀ¼ÀÄ 109GzÁºÀgÀt 12 : 1300£ÀÄß ¥ÀÆtðªÀUÀð ¸ÀASÉåAiÀÄ£ÁßV ªÀiÁqÀ®Ä CzÀPÉÌ
PÀÆqÀ¨ÉÃPÁzÀ PÀ¤µÀ× ¸ÀASÉåAiÀÄ£ÀÄß PÀAqÀÄ»r¬Äj ªÀÄvÀÄÛ ¥ÀÆtð ªÀUÀðzÀ ªÀUÀðªÀÄÆ®ªÀ£ÀÄß PÀAqÀÄ»r¬Äj.
¥ÀjºÁgÀ : 1300 £ÀÄß £ÁªÀÅ ¢ÃWÀð ¨sÁUÁPÁgÀ «zsÁ£À¢AzÀ
PÀAqÀÄ»rAiÉÆÃt ±ÉõÀ 4 §gÀÄvÀÛzÉ.
362 < 1300 JAzÀÄ w½AiÀÄÄvÀÛzÉ ªÀÄÄA¢£À ¥ÀÆtð ªÀUÀð ¸ÀASÉåAiÀÄÄ 372 = 1369 EzÀjAzÀ 1300 PÉÌ PÀÆqÀ¨ÉÃPÁzÀ ÀASÉå
372 - 1300 = 1369 - 1300 = 69
5.6 zÀ±ÀªÀiÁA±À ¸ÀASÉåUÀ¼À ªÀUÀðªÀÄÆ®UÀ¼ÀÄ
17.64 £ÀÄß ¥ÀjUÀt¹
ºÀAvÀ 1 : zÀ±ÀªÀiÁA±À ¸ÀASÉåUÀ¼À ªÀUÀðªÀÄÆ®ªÀ£ÀÄß PÀAqÀÄ»rAiÀÄĪÁUÀ ¥ÀÆtð ÀASÁå sÁUÀzÀ ªÉÄÃ¯É JA¢£À jÃwAiÀÄ°è CqÀØUÉgÉUÀ¼À£ÀÄß ºÁPÀÄvÉÛÃªÉ ªÀÄvÀÄÛ zÀ±ÀªÀiÁA±À ¨sÁUÀÀzÀ°è (64) DgÀA©üPÀ zÀ±ÀªÀiÁA±À ¸ÁÜ£À¢AzÀ ¥Àæw CAQUÀ¼À eÉÆÃrUÀÆ CqÀØUÉgÉAiÀÄ£ÀÄß ºÁPÀĪÀÅzÀÄ
£ÀªÀÄUÉ 17. 64 zÉÆgÀPÀÄvÀÛzÉ.
ºÀAvÀ 2 : FUÀ EzÉà jÃw ªÀÄÄAzÀĪÀgɬÄj ¸ÀASÉå 17 gÀ ªÉÄÃ¯É JqÀ§¢AiÀÄ CqÀØUÉgÉ EzÉ ªÀÄvÀÄÛ 42 < 17 < 52 F ÀASÉåAiÀÄ£ÀÄß ¨sÁdPÀ ªÀÄvÀÄÛ JqÀ§¢AiÀÄ CqÀØUÉgÉAiÀÄ PɼÀUÉ EgÀĪÀ ÀASÉåAiÀÄ£ÀÄß ¨sÁdåªÀ£ÁßV vÉUÉzÀÄPÉƽî CAzÀgÉ 17 ¨sÁV¹ ªÀÄvÀÄÛ ±ÉõÀªÀ£ÀÄß ¥ÀqɬÄj.
ºÀAvÀ 3 : ±ÉõÀ 1 §gÀÄvÀÛzÉ ±ÉõÀzÀ §®UÀqÉ ªÀÄÄA¢£À CqÀØUÉgÉAiÀÄ PɼÀUÉ EgÀĪÀ ¸ÀASÉå (64)AiÀÄ£ÀÄß §gɬÄj. DUÀ 164 DUÀĪÀÅzÀÄ.
ºÀAvÀ 4 : ¨sÁdPÀªÀ£ÀÄß ¢éUÀÄtUÉƽ¹ ªÀÄvÀÄÛ §®UÀqÉ SÁ° eÁUÀ ©lÄÖ §gɬÄj 64 zÀ±ÀªÀiÁA±À ¨sÁUÀzÀ°ègÀĪÀ ¸ÀASÉå DzÀÝjAzÀ ¨sÁUÀ®§Þ ¸ÁÜ£ÀzÀ°è ©AzÀĪÀ£ÀÄß EqÀĪÀÅzÀÄ
ºÀAvÀ 5 : 82 × 2 = 164 JAzÀÄ UÉÆwÛzÉ
DzÀÝjAzÀ ºÉƸÀ CAQ 2 DVzÉ ¨sÁV¹ ªÀÄvÀÄÛ ±ÉõÀªÀ£ÀÄß ¥ÀqɬÄj.
ºÀAvÀ 6 : ±ÉõÀªÀÅ 0 DVzÉ ªÀÄvÀÄÛ E£ÀÆß CqÀØUÉgÉAiÀÄÄ G½¢®è DzÀÝjAzÀ 17. 64 = 4.2
4
4.2
17.6416
164-
82
0-164
110 UÀtÂvÀ
GzÁºÀgÀt 13 : 12.25gÀ ªÀUÀðªÀÄÆ®ªÀ£ÀÄß PÀAqÀÄ»r¬Äj.
¥ÀjºÁgÀ : 3
3.5
12.259
325-
65
0-325
DzÀÝjAzÀ 12. 25 = 3.5
CqÀØUÉgÉ ºÁPÀĪÀ jÃw
176.341 ¥ÀjUÀt¹. ¥ÀÆtð ¸ÀASÁå ¨sÁUÀ ªÀÄvÀÄÛ zÀ±ÀªÀiÁA±À ¨sÁUÀPÉÌ CqÀØUÉgÉUÀ¼À£ÀÄß ºÁQj.
zÀ±ÀªÀiÁA±À sÁUÀÀPÉÌ ºÁPÀĪÀ CqÀØUÉgÉAiÀÄÄ, ¥ÀÆtð ÀASÁå sÁUÀPÉÌ ºÁPÀĪÀ CqÀØUÉgÉVAvÀ AiÀiÁªÀ
jÃwAiÀÄ°è ¨ÉÃgÉAiÀiÁVzÉ? 176£ÀÄß UÀªÀĤ¹. zÀ±ÀªÀiÁA±ÀPÉÌ ºÀwÛgÀ«gÀĪÀ ©r¸ÁÜ£À¢AzÀ £ÁªÀÅ
¥ÁægÀA©ü¸ÀÄvÉÛÃªÉ ªÀÄvÀÄÛ JqÀUÀqÉ ZÀ°¸ÀÄvÉÛêÉ. ªÉÆzÀ®£Éà CqÀØUÉgÉAiÀÄÄ 76 gÀ ªÉÄÃ¯É ªÀÄvÀÄÛ
JgÀqÀ£É CqÀØUÉgÉ 1gÀ ªÉÄÃ¯É §gÀĪÀÅzÀÄ. 341gÀ°è £ÁªÀÅ zÀ±ÀªÀiÁA±À¢AzÀ ¥ÁægÀA©ü¹ §®UÀqÉ
ZÀ°¸ÀÄvÉÛêÉ. ªÉÆzÀ®£É CqÀØUÉgÉAiÀÄÄ 34gÀ ªÉÄÃ¯É ªÀÄvÀÄÛ 1gÀ £ÀAvÀgÀ 0 ElÄÖ CªÉgÀqÀgÀ ªÉÄÃ¯É JgÀqÀ£Éà CqÀØUÉgÉAiÀÄ£ÀÄß ºÁPÀĪÀÅzÀÄ ªÀÄvÀÄÛ .34 10 ªÀ£ÁßV ªÀiÁqÀĪÀÅzÀÄ
GzÁºÀgÀt 14 : MAzÀÄ ZËPÁPÁgÀzÀ eÁUÀzÀ «¹ÛÃtð 2304 ZÀ.«Äà EzÉ D
ZËPÁPÁgÀzÀ eÁUÀzÀ ¨ÁºÀĪÀ£ÀÄß PÀAqÀÄ»r¬Äj
¥ÀjºÁgÀ : ZËPÁPÁgÀzÀ eÁUÀÀzÀ «¹ÛÃtð = 2304 ZÀ.«ÄÃ
DzÀÝjAzÀ ZËPÁPÁgÀzÀ eÁUÀzÀ ¨ÁºÀÄ = 2304 «ÄÃ
2304 = 48«ÄÃ
DzÀÝjAzÀ ZËPÁPÁgÀzÀ eÁUÀzÀ ¨ÁºÀÄ 48 «ÄÃ. DUÀĪÀÅzÀÄ.
GzÁºÀgÀt 15 : MAzÀÄ ±Á¯ÉAiÀÄ°è 2401 «zÁåyðUÀ½zÁÝgÉ. D «zÁåyðUÀ¼À£ÀÄß CqÀظÁ®Ä
ªÀÄvÀÄÛ PÀA§¸Á®ÄUÀ¼À°è ¤°è¸À®Ä zÉÊ»PÀ ²PÀëPÀgÀÄ §AiÀĹzÁÝgÉ ªÀÄvÀÄÛ
CqÀظÁ®ÄUÀ¼À ÀASÉå, PÀA§¸Á®ÄUÀ¼À ÀASÉåUÉ ÀªÀÄ«gÀĪÀAvÉ ¤°è¸À¨ÉÃPÁVzÉ.
ºÁUÁzÀgÉ CqÀظÁ®ÄUÀ¼À ¸ÀASÉå PÀAqÀÄ»r¬Äj.
¥ÀjºÁgÀ : CqÀظÁ®ÄUÀ¼À ¸ÀASÉå x DVgÀ° DzÀÝjAzÀ PÀA§¸Á®ÄUÀ¼À ¸ÀASÉå = xDUÀ «zÁåyðUÀ¼À ¸ÀASÉå = x × x = x2
EzÀjAzÀ x2 = 2401, x = 2401 = 49
CqÀظÁ®ÄUÀ¼À ¸ÀASÉå = 49
4
49
240116
801-
89
0-801
ªÀUÀðUÀ¼ÀÄ ªÀÄvÀÄÛ ªÀUÀðªÀÄÆ®UÀ¼ÀÄ 111
5.7 ªÀUÀðªÀÄÆ®ªÀ£ÀÄß CAzÁf¸ÀĪÀÅzÀÄ
PɼÀV£À ¸ÀAzÀ¨sÀðUÀ¼À£ÀÄß ¥ÀjUÀt¹.
1. zÉêÉò ºÀwÛgÀ 125 ZÀ.¸ÉA.«ÄÃ. «¹ÛÃtðªÀżÀî ZËPÁPÁgÀzÀ §mÉÖ EzÉ. EzÀ£ÀÄß CªÀ¼ÀÄ 15
¸ÉA.«ÄÃ. ÁºÀĪÀżÀî PÉÊ ªÀ¸ÀÛçªÀ£ÀÄß ªÀiÁqÀ§ºÀÄzÉÃ? EzÀ£ÀÄß w½AiÀÄ®Ä §AiÀĹzÁݼÉ. CzÀÄ
¸ÁzsÀåªÁUÀ¢zÀÝgÉ F §mÉÖ¬ÄAzÀ UÀjµÀ× JµÀÄÖ ¨ÁºÀĪÀżÀî PÉʪÀ¸ÀÛçªÀ£ÀÄß ªÀiÁqÀ§ºÀÄzÀÄ?
2. «ÄãÁ ªÀÄvÀÄÛ ±ÉÆèsÁ MAzÀÄ DlªÀ£ÀÄß DrzÀgÀÄ. M§âgÀÄ ¸ÀASÉåAiÀÄ£ÀÄß ºÉýzÀgÀÄ
ªÀÄvÀÄÛ E£ÉÆߧâgÀÄ CzÀgÀ ªÀUÀðªÀÄÆ®ªÀ£ÀÄß ºÉýzÀgÀÄ. «ÄãÁ ªÉÆzÀ®Ä ¥ÁægÀA©ü¹zÀ¼ÀÄ.
CªÀ¼ÀÄ 25 ºÉýzÁUÀ ±ÉÆèsÁ ²ÃWÀæzÀ°èAiÉÄà 5 JAzÀÄ GvÀÛj¹zÀ¼ÀÄ. DUÀ ±ÉÆèsÁ 81£ÀÄß
ºÉýzÀ¼ÀÄ ªÀÄvÀÄÛ «ÄãÁ 9 JAzÀÄ GvÀÛj¹zÀ¼ÀÄ. »ÃUÉAiÉÄà ªÀÄÄAzÀĪÀgɬÄvÀÄ. MAzÀÄ
ºÀAvÀzÀ°è «ÄãÁ ÀASÉå 250£ÀÄß ºÉýzÀ¼ÀÄ ªÀÄvÀÄÛ ±ÉÆèsÁ CzÀPÉÌ GvÀÛj¸À®Ä ÁzsÀå«®è.
DUÀ «ÄãÁ MAzÀÄ ¸ÀASÉåAiÀÄ ªÀUÀð 250 PÉÌ ¸À«ÄÃ¥À«gÀĪÀ ¸ÀASÉåAiÀÄ£ÁßzÀgÀÆ ºÉüÀÄ
JAzÀÄ ±ÉÆèsÁ½UÉ ºÉýzÀ¼ÀÄ
F J®è ¸ÀAzÀ¨sÀðUÀ¼À°è £ÁªÀÅ ªÀUÀðªÀÄÆ®ªÀ£ÀÄß CAzÁf¸ÀĪÀÅzÀÄ CªÀ±ÀåPÀªÁVzÉ.
£ÀªÀÄUÉ w½¢gÀĪÀ ºÁUÉ 100 < 250 < 400 ªÀÄvÀÄÛ 100 =10, 400 = 20
DzÀÝjAzÀ 10 < 250 < 20
DzÀgÉ £ÁªÀÅ ªÀUÀð¸ÀASÉåUÉ E£ÀÆß ºÀwÛgÀ«®è
152 = 225 ªÀÄvÀÄÛ 162 = 256 JAzÀÄ £ÀªÀÄUÉ UÉÆwÛzÉ
DzÀÝjAzÀ 15 < 250 < 16 ªÀÄvÀÄÛ 250 ¸ÀASÉåAiÀÄÄ 225 QÌAvÀ 256 PÉÌ vÀÄA¨Á
ºÀwÛgÀ«zÉ.
DzÀÝjAzÀ 250 ¸Àj¸ÀĪÀiÁgÀÄ 16 DVzÉ.
EªÀÅUÀ¼À£ÀÄß ¥ÀæAiÀÄwß¹
1. PɼÀV£À ªÀiË®åªÀ£ÀÄß ¸À«ÄÃ¥ÀzÀ ¥ÀÆtð ¸ÀASÉåUÀ½UÉ CAzÁdÄ ªÀiÁr
(i) 80 (ii) 1000
(iii) 350 (iv) 500
112 UÀtÂvÀ
C¨sÁå¸À 5.4
1. F PɼÀV£À ¸ÀASÉåUÀ¼À ªÀUÀðªÀÄÆ®UÀ¼À£ÀÄß ¨sÁUÁPÁgÀ «zsÁ£À¢AzÀ PÀAqÀÄ»r¬Äj
(i) 2304 (ii) 4489 (iii) 3481
(iv) 529 (v) 3249 (vi) 1369
(vii) 5776 (viii) 7921 (ix) 576
(x) 1024 (xi) 3136 (xii) 900
2. F PɼÀV£À ¥ÀæwAiÉÆAzÀÄ ¸ÀASÉåAiÀÄ ªÀUÀðªÀÄÆ®zÀ°ègÀĪÀ CAQUÀ¼À ¸ÀASÉåAiÀÄ£ÀÄß PÀAqÀÄ»r¬Äj (AiÀiÁªÀÅzÉà jÃwAiÀÄ ¯ÉPÀÌ ªÀiÁqÀzÉÃ)
(i) 64 (ii) 144 (iii) 4489
(iv) 27225 (v) 390625
3. PɼÀV£À zÀ±ÀªÀiÁA±À ¸ÀASÉåUÀ¼À ªÀUÀðªÀÄÆ®ªÀ£ÀÄß PÀAqÀÄ»r¬Äj
(i) 2.56 (ii) 7.29 (iii) 51.84
(iv) 42.25 (v) 31.36
4. PɼÀV£À ¥ÀæwAiÉÆAzÀÄ ¸ÀASÉåAiÀÄ£ÀÄß MAzÀÄ ¥ÀÆtðªÀUÀð ¸ÀASÉåAiÀÄ£ÁßV ªÀiÁqÀ®Ä CzÀjAzÀ PÀ¼ÉAiÀĨÉÃPÁzÀ PÀ¤µÀ× ¸ÀASÉåAiÀÄ£ÀÄß PÀAqÀÄ»r¬Äj ªÀÄvÀÄÛ D jÃw ¥ÀqÉzÀ ¥ÀÆtð ªÀUÀðzÀ ªÀUÀðªÀÄÆ®ªÀ£ÀÄß PÀAqÀÄ»r¬Äj.
(i) 402 (ii) 1989 (iii) 3250
(iv) 825 (v) 4000
5. PɼÀV£À ¥ÀæwAiÉÆAzÀÄ ¸ÀASÉåAiÀÄ£ÀÄß MAzÀÄ ¥ÀÆtð ªÀUÀð ¸ÀASÉåAiÀÄ£ÁßV ªÀiÁqÀ®Ä CªÀÅUÀ½UÉ PÀÆqÀ¨ÉÃPÁVgÀĪÀ PÀ¤µÀ× ¸ÀASÉåAiÀÄ£ÀÄß PÀAqÀÄ»r¬Äj. ªÀÄvÀÄÛ D jÃw ¥ÀqÉzÀ ¥ÀÆtð ªÀUÀðzÀ ªÀUÀðªÀÄÆ®ªÀ£ÀÄß PÀAqÀÄ»r¬Äj.
(i) 525 (ii) 1750 (iii) 252
(iv) 1825 (v) 6412
6. MAzÀÄ ZËPÀzÀ «¹ÛÃtð 441 ZÀ.«ÄÃ. EzÀÝgÉ ¨ÁºÀÄ«£À GzÀݪÀ£ÀÄß PÀAqÀÄ»r¬Äj.
7. ABC ®A§PÉÆãÀ wæ¨sÀÄdzÀ°è, B = 90°
(a) AB = 6 ¸ÉA.«ÄÃ., BC = 8 ¸ÉA.«ÄÃ. EzÀÝgÉ AC PÀAqÀÄ»r¬Äj.
(b) AC = 13 ¸ÉA.«ÄÃ., BC = 5 ¸ÉA.«ÄÃ. EzÀÝgÉ AB PÀAqÀÄ»r¬Äj.
ªÀUÀðUÀ¼ÀÄ ªÀÄvÀÄÛ ªÀUÀðªÀÄÆ®UÀ¼ÀÄ 113
8. M§â vÉÆÃlUÁgÀ£À §½ 1000 ¸À¹UÀ½ªÉ. CªÀÅUÀ¼À£ÀÄß CqÀظÁ®ÄUÀ¼À ¸ÀASÉå ªÀÄvÀÄÛ PÀA§¸Á®ÄUÀ¼À ¸ÀASÉå ¸ÀªÀÄ«gÀĪÀAvÉ £ÉqÀ®Ä EaÒ¹zÁÝ£É. F jÃw ªÀiÁqÀ®Ä CªÀ¤UÉ E£ÀÄß PÀ¤µÀ× JµÀÄÖ ¸À¹UÀ¼ÀÄ ¨ÉÃPÁUÀÄvÀÛªÉ?
9. MAzÀÄ ±Á¯ÉAiÀÄ°è 500 ªÀÄPÀ̽zÁÝgÉ. CªÀgÀÄ PÀªÁAiÀÄvÀ ªÀiÁqÀ®Ä CqÀظÁ®ÄUÀ¼À ¸ÀA-SÉåUÉ PÀA§¸Á®ÄUÀ¼À ¸ÀASÉå ¸ÀªÀÄ«gÀĪÀAvÉ ¤®è¨ÉÃPÁVzÉ ºÁUÉ ¤AvÀ £ÀAvÀgÀ JµÀÄÖ ªÀÄPÀ̼ÀÄ F ªÀåªÀ¸ÉÜAiÀÄ ºÉÆgÀUÉ G½AiÀÄÄvÁÛgÉ?
¸ÁgÁA±À
1. m ªÀÄvÀÄÛ n UÀ¼ÉgÀqÀÄ ¸Áé¨sÁ«PÀ ¸ÀASÉåUÀ¼ÁVzÀÄÝ m £ÀÄß n2 JAzÀÄ §gÉAiÀħºÀÄzÁzÀgÉ m MAzÀÄ ªÀUÀð ¸ÀASÉåAiÀiÁVgÀÄvÀÛzÉ.
2. J®è ªÀUÀð¸ÀASÉåUÀ¼À ©r¸ÁÜ£ÀzÀ°è 0, 1, 4, 5, 6 CxÀªÁ 9 EgÀÄvÀÛªÉ.
3. ªÀUÀð¸ÀASÉåUÀ¼À CAvÀåzÀ°è ¸ÉÆ£ÉßUÀ¼ÀÄ ¸ÀªÀĸÀASÉåAiÀÄ°ègÀÄvÀÛªÉ.
4. ªÀUÀðªÀÄÆ® PÀAqÀÄ»rAiÀÄĪÀÅzÀÄ, ªÀUÀð PÀAqÀÄ»rAiÀÄĪÀ «zsÁ£ÀzÀ «¯ÉÆêÀĪÁVzÉ.
5. MAzÀÄ ¥ÀÆtð ªÀUÀð ¸ÀASÉåUÉ JgÀqÀÄ ¥ÀÆuÁðAPÀ ªÀUÀðªÀÄÆ®UÀ½gÀÄvÀÛªÉ. zsÀ£ÁvÀäPÀ ªÀUÀðªÀÄÆ®ªÀ£ÀÄß aºÉ߬ÄAzÀ UÀÄgÀÄw¸À¯ÁUÀÄvÀÛzÉ. GzÁºÀgÀtÂUÉ 32 = 9
EzÀjAzÀ 9 = 3.
6.1 ©ÃeÉÆÃQÛUÀ¼ÀÄ JAzÀgÉãÀÄ?
£ÁªÀÅ FUÁUÀ¯Éà »A¢£À vÀgÀUÀwUÀ¼À°è ©ÃeÉÆÃQÛUÀ¼ÀÄ JAzÀgÉãÀÄ JA§ÄzÀgÀ §UÉÎ CjwzÉÝêÉ. ©ÃeÉÆÃQÛUÀ½UÉ GzÁºÀgÀuÉ:
x + 3, 2y – 5, 3x2, 4xy + 7 EvÁå¢.
ZÀgÁPÀëgÀ ªÀÄvÀÄÛ ¹ÜgÁAPÀUÀ¼À£ÀÄß §¼À¹ ©ÃeÉÆÃQÛ gÀa¸ÀĪÀÅzÀ£ÀÀÄß w½¢gÀĪÀÅzÀjAzÀÀ E£ÀÆß ºÉZÀÄÑ ©ÃeÉÆÃQÛUÀ¼£ÀÀÄß ¤ÃªÀÅ gÀa¸À§ºÀÄzÀÄ. ©ÃeÉÆÃQÛ 2y – 5 £ÀÄß ZÀgÁPÀëgÀ y ºÁUÀÆ ¹ÜgÁAPÀ 2 ªÀÄvÀÄÛ 5£ÀÄß §¼À¹ gÀa¹zÉ. ©ÃeÉÆÃQÛ 4xy + 7 JA§ÄzÀÄ ZÀgÁPÀëgÀ x ªÀÄvÀÄÛ y ºÁUÀÆ ¹ÜgÁAPÀ 4 ªÀÄvÀÄÛ 7 jAzÀ gÀavÀªÁVzÉ.
2y – 5 JA§ ©ÃeÉÆÃQAÛiÀÄ°è y ¨É¯É K£ÀÄ ¨ÉÃPÁzÀgÀÆ DUÀ§ºÀÄzÀÄ. EzÀÄ 2, 5, –3,
0, 5 7,
2 3
− ....... EAvÀºÀ C¸ÀASÁåvÀ ɯÉUÀ¼À°è AiÀiÁªÀÅzÁzÀgÉÆAzÀÄ É¯ÉAiÀiÁUÀ§ºÀÄzÀÄ. ZÀgÁPÀëgÀ
y UÉ ¤ÃrzÀ ¨É¯ÉAiÀÄ DzsÁgÀzÀ°è ©ÃeÉÆÃQÛAiÀÄ ¨É¯É §zÀ¯ÁUÀÄvÀÛzÉ.
y = 2 DzÁUÀ 2y – 5 = 2(2) – 5 = –1; y = 0 DzÁUÀ 2y – 5 = 2 × 0 –5 = –5. EzÉà jÃw y £À EvÀgÀ ¨É¯ÉUÀ½UÉ ©ÃeÉÆÃQÛ 2y – 5gÀ ¨É¯É PÀAqÀÄ »r¬Äj.
©ÃeÉÆÃQÛ ªÀÄvÀÄÛ ¸ÀASÁågÉÃSÉ:
©ÃeÉÆÃQÛ x + 5 £ÀÄß ¥ÀjUÀt¹. ZÀgÁPÀëgÀ x £À ¸ÁÜ£ÀªÀÅ ¸ÀASÁå gÉÃSÉAiÀÄ ªÉÄÃ¯É X DVgÀ°.
X ©AzÀĪÀÅ ¸ÀASÁå gÉÃSÉAiÀÄ ªÉÄÃ¯É J°è ¨ÉÃPÁzÀgÀÆ EgÀ°. EzÀgÀ §®UÀqÉ 5 KPÀªÀiÁ£À zÀÆgÀzÀ°è P ©AzÀĪÀÅ x + 5 gÀ ¨É¯ÉAiÀÄ£ÀÄß PÉÆqÀÄvÀÛzÉ. EzÉà jÃw x – 4 JA§ÄzÀÄ X £À JqÀUÀqÉ 4 KPÀªÀiÁ£À zÀÆgÀzÀ°è EgÀÄvÀÛzÉ. 4x ªÀÄvÀÄÛ 4x + 5gÀ ¸ÁÜ£À K¤gÀ§ºÀÄzÀÄ?
x x x
E°è 4x £À ¸ÁÜ£ÀªÀÅ C ©AzÀÄ DVzÉ. ªÀÄÆ®©AzÀÄ«¤AzÀ C ©AzÀÄ«VgÀĪÀ CAvÀgÀ ªÀÄÆ®©AzÀÄ«¤AzÀ X ©AzÀÄ«VgÀĪÀ CAvÀgÀzÀ 4 gÀµÁÖVzÉ. 4x + 5gÀ ¸ÁÜ£À D DVzÀÄÝ EzÀÄ C ©AzÀÄ«¤AzÀ §®PÉÌ 5 KPÀªÀiÁ£À zÀÆgÀzÀ°ègÀÄvÀÛzÉ.
CzsÁåAiÀÄ
6©ÃeÉÆÃQÛUÀ¼ÀÄ ªÀÄvÀÄÛ ¤vÀå ¸À«ÄÃPÀgÀtUÀ¼ÀÄ
©ÃeÉÆÃQÛUÀ¼ÀÄ ªÀÄvÀÄÛ ¤vÀå ¸À«ÄÃPÀgÀtUÀ¼ÀÄ 115
(1) MAzÀÄ ZÀgÁPÀëgÀªÀżÀî ©ÃeÉÆÃQÛUÀ½UÉ LzÀÄ GzÁºÀgÀuÉUÀ¼ÀÄ ªÀÄvÀÄÛ JgÀqÀÄ ZÀgÁPÀëgÀUÀ¼ÀļÀî ©ÃeÉÆÃQÛUÀ½UÉ LzÀÄ GzÁºÀgÀuÉUÀ¼À£ÀÄß ¤Ãr.
(2) x, x – 4, 2x + 1, 3x – 2UÀ¼À£ÀÄß ¸ÀASÁå gÉÃSÉ ªÉÄÃ¯É vÉÆÃj¹.
EªÀÅUÀ¼À£ÀÄß ¥ÀæAiÀÄwß¹
6.2 ©Ãd¥ÀzÀUÀ¼ÀÄ, C¥ÀªÀvÀð£ÀUÀ¼ÀÄ ªÀÄvÀÄÛ ¸ÀºÀUÀÄtPÀUÀ¼ÀÄ
©ÃeÉÆÃQÛ 4x + 5£ÀÄß vÉUÉzÀÄPÉƽî. F ©ÃeÉÆÃQÛAiÀÄÄ 4x ªÀÄvÀÄÛ 5 JA§ JgÀqÀÄ ¥ÀzÀUÀ½AzÀ
GAmÁVzÉ. ©Ãd¥ÀzÀUÀÀ¼À£ÀÄß PÀÆr¹ ©ÃeÉÆÃQÛAiÀÄ£ÀÄß gÀa¸À§ºÀÄzÀÄ. C¥ÀªÀvÀð£ÀUÀ¼À
UÀÄt®§Þ¢AzÀ ©Ãd¥ÀzÀUÀ¼ÀÄ GAmÁVªÉ. 4x JA§ ¥ÀzÀªÀÅ 4 ªÀÄvÀÄÛ x JA§ EzÀgÀ
JgÀqÀÄ C¥ÀªÀvÀð£ÀUÀ¼À UÀÄt®§ÞªÁVzÉ. 5 JA§
¥ÀzÀªÀÅ PÉêÀ® MAzÀÄ C¥ÀªÀvÀð£À 5 jAzÀ DVzÉ.
7xy – 5x ©ÃeÉÆÃQÛAiÀÄÄ 7xy ªÀÄvÀÄÛ –5x JA§
¥ÀzÀUÀ¼À£ÀÀÄß ºÉÆA¢zÉ. 7xy JA§ ¥ÀzÀªÀÅ 7, x ªÀÄvÀÄÛ y JA§ C¥ÀªÀvÀð£ÀUÀ¼À UÀÄt®§ÞªÁVzÉ. MAzÀÄ
¥ÀzÀzÀ°ègÀĪÀ ¸ÀASÁå C¥ÀªÀvÀð£ÀªÀ£ÀÄß ¸ÀASÁå ¸ÀºÀUÀÄtPÀ CxÀªÁ ¸ÀgÀ¼ÀªÁV ¸ÀºÀUÀÄtPÀ J£ÀÄßvÉÛêÉ. ©Ãd¥ÀzÀ 7xy £À°è ¸ÀASÁå ¸ÀºÀUÀÄtPÀ 7
ªÀÄvÀÄÛ – 5x £À°è ¸ÀASÁå ¸ÀºÀUÀÄtPÀ –5.
6.3 KPÀ¥ÀzÉÆÃQÛUÀ¼ÀÄ, ¢é¥ÀzÉÆÃQÛUÀ¼ÀÄ ªÀÄvÀÄÛ §ºÀÄ¥ÀzÉÆÃQÛUÀ¼ÀÄ
MAzÉà MAzÀÄ ¥ÀzÀªÀ£ÀÄß ºÉÆA¢gÀĪÀ ©ÃeÉÆÃQÛAiÀÄ£ÀÄß KPÀ¥ÀzÉÆÃQÛ J£ÀÄßvÉÛêÉ. JgÀqÀÄ
¥ÀzÀUÀ¼À£ÀÄß ºÉÆA¢gÀĪÀ ©ÃeÉÆÃQÛAiÀÄ£ÀÄß ¢é¥ÀzÀÉÆÃQÛ J£ÀÄßvÉÛêÉ. ©ÃeÉÆÃQÛAiÀÄÄ ªÀÄÆgÀÄ
¥ÀzÀUÀ¼À£ÀÀÄß ºÉÆA¢zÀÝgÉ D ©ÃeÉÆÃQÛAiÀÄ£ÀÄß wæ¥ÀzÉÆÃQÛ J£ÀÄßvÉÛêÉ. ªÀÄvÀÄÛ EzÀÄ »ÃUÉÃ
ªÀÄÄAzÀĪÀgÉAiÀÄÄvÀÛzÉ. ¸ÁªÀiÁ£ÀåªÁV, ±ÀÆ£ÀåªÀ®èzÀ ¸ÀºÀUÀÄtPÀ ºÉÆA¢gÀĪÀ, IÄuÁvÀäPÀªÀ®èzÀ ¥ÀÆuÁðAPÀ WÁvÀ¸ÀÆa ºÉÆA¢gÀĪÀ ZÀgÁPÀëgÀUÀ¼À£ÉÆß¼ÀUÉÆAqÀ MAzÀÄ CxÀªÁ ºÉZÀÄÑ ¥ÀzÀUÀ½AzÁzÀ ©ÃeÉÆÃQÛAiÀÄ£ÀÄß §ºÀÄ¥ÀzÉÆÃQÛ J£ÀÄßvÉÛêÉ. MAzÀÄ §ºÀÄ¥ÀzÉÆÃQÛAiÀÄÄ MAzÀÄ CxÀªÁ MAzÀQÌAvÀ
ºÉZÀÄÑ ¥ÀzÀUÀ¼À£ÀÄß ºÉÆA¢gÀ§ºÀÄzÀÄ.
KPÀ¥ÀzÉÆÃQÛUÀ½UÉ GzÁºÀgÀuÉ: 4x2, 3xy, –7z, 5xy2, 10y, –9, 82mnp. EvÁå¢.
¢é¥ÀzÉÆÃQÛUÀ½UÉ GzÁºÀgÀuÉ: a + b, 4l + 5m, a + 4, 5 –3xy, z2 – 4y2. EvÁå¢.
wæ¥ÀzÉÆÃQÛUÀ½UÉ GzÁºÀgÀuÉ: a + b + c, 2x + 3y – 5, x2y – xy2 + y2. EvÁå¢.
§ºÀÄ¥ÀzÉÆÃQÛUÀ½UÉ GzÁºÀgÀuÉ: a + b + c + d, 3xy, 7xyz – 10, 2x + 3y + 7z. EvÁå¢.
x2y2 – 10x2y + 5xy2 – 20. ©ÃeÉÆÃQÛAiÀÄ°è ¥ÀæwAiÉÆAzÀÄ ¥ÀzÀzÀ ¸ÀASÁå ¸ÀºÀUÀÄtPÀUÀ¼À£ÀÄß UÀÄgÀÄw¹.
EªÀÅUÀ¼À£ÀÄß ¥ÀæAiÀÄwß¹
116 UÀtÂvÀ
(1) PɼÀV£À §ºÀÄ¥ÀzÉÆÃQÛUÀ¼À£ÀÄß KPÀ¥ÀzÉÆÃQÛ, ¢é¥ÀzÉÆÃQÛ ªÀÄvÀÄÛ wæ¥ÀzÉÆÃQÛUÀ¼ÁV «AUÀr¹.
– z + 5, x + y + z, y + z + 100, ab – ac, 17 (2) gÀa¹. (a) x ZÀgÁPÀëgÀ ªÀiÁvÀæ ºÉÆA¢gÀĪÀ 3 ¢é¥ÀzÉÆÃQÛUÀ¼ÀÄ; (b) x ªÀÄvÀÄÛ y ZÀgÁPÀëgÀ ºÉÆA¢gÀĪÀ 3 ¢é¥ÀzÉÆÃQÛUÀ¼ÀÄ; (c) x ªÀÄvÀÄÛ y ZÀgÁPÀëgÀ ºÉÆA¢gÀĪÀ 3 KPÀ¥ÀzÉÆÃQÛUÀ¼ÀÄ; (d) 4 CxÀªÁ ºÉZÀÄÑ ¥ÀzÀUÀ¼À£ÉÆß¼ÀUÉÆAqÀ 2 §ºÀÄ¥ÀzÉÆÃQÛUÀ¼ÀÄ.
EªÀÅUÀ¼À£ÀÄß ¥ÀæAiÀÄwß¹
6.4 ¸ÀeÁw ªÀÄvÀÄÛ «eÁw ¥ÀzÀUÀ¼ÀÄ
PɼÀV£À ©ÃeÉÆÃQÛUÀ¼À£ÀÀÄß UÀªÀĤ¹: 7x, 14x, –13x, 5x2, 7y, 7xy, –9y2, –9x2, –5yx EªÀÅUÀ¼À°è: (i) 7x, 14x, –13x UÀ¼ÀÄ ¸ÀeÁw ¥ÀzÀUÀ¼ÀÄ. (ii) 5x2 ªÀÄvÀÄÛ –9x2 UÀ¼ÀÄ ¸ÀeÁw ¥ÀzÀUÀ¼ÀÄ. (iii) 7xy ªÀÄvÀÄÛ –5yx UÀ¼ÀÄ ¸ÀeÁw ¥ÀzÀUÀ¼ÀÄ. 7x ªÀÄvÀÄÛ 7y AiÀiÁPÉ ¸ÀeÁw ¥ÀzÀUÀ¼À®è ? 7x ªÀÄvÀÄÛ 7xy AiÀiÁPÉ ¸ÀeÁw ¥ÀzÀUÀ¼À®è ? 7x ªÀÄvÀÄÛ 5x2 AiÀiÁPÉ ¸ÀeÁw ¥ÀzÀUÀ¼À®è ?
(1) PɼÀV£À ¥ÀæwAiÉÆAzÀPÀÆÌ JgÀqÀÄ ¸ÀeÁw ¥ÀzÀUÀ¼À£ÀÄß §gɬÄj.
(i) 7xy (ii) 4mn2 (iii) 2l
EªÀÅUÀ¼À£ÀÄß ¥ÀæAiÀÄwß¹
6.5 ©ÃeÉÆÃQÛUÀ¼À ¸ÀAPÀ®£À ªÀÄvÀÄÛ ªÀåªÀPÀ®£À
»A¢£À vÀgÀUÀwUÀ¼À°è £ÁªÀÅ ©ÃeÉÆÃQÛUÀ¼À£ÀÄß PÀÆqÀĪÀÅzÀÄ ªÀÄvÀÄÛ PÀ¼ÉAiÀÄĪÀÅzÀgÀ §UÉÎ PÀ°wzÉÝêÉ. GzÁºÀgÀuÉUÉ, 7x2 – 4x + 5 ªÀÄvÀÄÛ 9x – 10 UÀ¼À£ÀÄß PÀÆqÀ®Ä £ÁªÀÅ »ÃUÉ ªÀiÁqÀÄvÉÛêÉ.
2
2
7 4 5
9 10
7 5 5
x x
x
x x
− ++ −
+ −
©ÃeÉÆÃQÛUÀ¼ÀÄ ªÀÄvÀÄÛ ¤vÀå ¸À«ÄÃPÀgÀtUÀ¼ÀÄ 117
E°è £ÁªÀÅ PÀÆqÀ¨ÀÉÃPÁzÀ ¥ÀæwAiÉÆAzÀÄ ©ÃeÉÆÃQÛAiÀÄ£ÀÄß ¥ÀævÉåÃPÀ CqÀØ ¸Á®ÄUÀ¼À°è §gÉ¢zÉÝÃªÉ JA§ÄzÀ£ÀÄß UÀªÀĤ¹. »ÃUÉ ªÀiÁqÀĪÁUÀ ¸ÀeÁwAiÀÄ ¥ÀzÀUÀ¼ÀÄ MAzÀgÀ PɼÀUÉ MAzÀÄ §gÀĪÀAvÉ §gÉzÀÄ CªÀÅUÀ¼À£ÀÄß PÀÆrzÉÝêÉ. DzÀÝjAzÀ 5 + (–10) = 5 –10 = –5. EzÉà jÃw – 4x + 9x = (– 4 + 9)x = 5x. £ÁªÀÅ E£ÀÆß PÉ®ªÀÅ GzÁºÀgÀuÉUÀ¼À£ÀÀÄß £ÉÆÃqÉÆÃt.
GzÁºÀgÀuÉ 1 : 7xy + 5yz – 3zx, 4yz + 9zx – 4y, –3xz + 5x – 2xy UÀ¼À£ÀÄß PÀÆr¹. ¥ÀjºÁgÀ : ªÀÄÆgÀÆ ©ÃeÉÆÃQÛUÀ¼À£ÀÄß ¸ÀeÁw ¥ÀzÀUÀ¼ÀÄ MAzÀgÀ PɼÀUÉ MAzÀÄ §gÀĪÀAvÉ
¥ÀævÉåÃPÀ CqÀظÁ®ÄUÀ¼À°è §gÉzÁUÀ,
(xz ªÀÄvÀÄÛ zx MAzÉà DVªÉ)
7 5 3
4 9 4
2 3 5
5 9 3 5 4
xy yz zx
yz zx y
xy zx x
xy yz zx x y
+ −+ + −+ − − +
+ + + −
»ÃUÉ ©ÃeÉÆÃQÛUÀ¼À ªÉÆvÀÛªÀÀÅ 5xy + 9yz + 3zx + 5x – 4y. JgÀqÀ£Éà ©ÃeÉÆÃQAÛiÀÄ°è – 4y ªÀÄvÀÄÛ ªÀÄÆgÀ£Éà ©ÃeÉÆÃQÛAiÀÄ°è 5x UÀ¼ÀÄ AiÀiÁªÀÅzÉà ¸ÀeÁw ¥ÀzÀUÀ¼À£ÀÄß ºÉÆA¢®èzÉà EgÀĪÀÅzÀjAzÀ CªÀÅUÀ¼À£ÀÄß ºÁUÉà G½¹PÉƼÀî¯ÁVzÉ.
GzÁºÀgÀuÉ 2 : 5x2 – 4y2 + 6y – 3£ÀÄß 7x2 – 4xy + 8y2 + 5x – 3y ¤AzÀ PÀ¼ÀɬÄj.
¥ÀjºÁgÀ : 2 2
2 2
2 2
( ) ( ) ( ) ( )
7 4 8 5 3
5 4 6 3
2 4 12 5 9 3
x xy y x y
x y y
x xy y x y
− + − +
− + + −
− + −
− + + − +
MAzÀÄ ¸ÀASÉåAiÀÄ£ÀÄß PÀ¼ÉAiÀÄĪÀÅzÀÄ ªÀÄvÀÄÛ CzÀgÀ ¸ÀAPÀ®£ÀzÀ «¯ÉÆêÀĪÀ£ÀÄß PÀÆqÀĪÀÅzÀÄ JgÀqÀÆ MAzÉà DVzÉ JA§ÄzÀ£ÀÄß UÀªÀĤ¸À¨ÉÃPÀÄ. DzÀÝjAzÀ -3 £ÀÄß PÀ¼ÉAiÀÄĪÀÅzÀÄ ªÀÄvÀÄÛ +3 £ÀÄß PÀÆqÀĪÀÅzÀÄ JgÀqÀÆ MAzÉà DVzÉ. CzÉà jÃw 6y £ÀÄß PÀ¼ÉAiÀÄĪÀÅzÀÄ ªÀÄvÀÄÛ -6y £ÀÄß PÀÆqÀĪÀÅzÀÄ MAzÉà DVzÉ. –4y2 £ÀÄß PÀ¼ÉAiÀÄĪÀÅzÀÄ 4y2 £ÀÄß PÀÆqÀĪÀÅzÀPÉÌ ¸ÀªÀÄ ªÀÄvÀÄÛ EzÉà jÃw ªÀÄÄAzÀĪÀgÉAiÀÄÄvÀÛzÉ. JgÀqÀ£Éà ¸Á°£À ¥ÀæwAiÉÆAzÀÄ ¥ÀzÀzÀ PɼÀUÉ ªÀÄÆgÀ£Éà ¸Á°£À°è §zÀ¯ÁzÀ aºÉßUÀ¼À£ÀÄß §gÉAiÀÄĪÀÅzÀÄ £ÁªÀÅ AiÀiÁªÀ QæAiÉÄ ªÀiÁqÀ¨ÉÃPÀÄ JA§ÄzÀPÉÌ ¸ÀºÁAiÀÄ ªÀiÁqÀÄvÀÛzÉ.
C¨sÁå¸À 6.1
1. PɼÀV£À ¥ÀæwAiÉÆAzÀÄ ©ÃeÉÆÃQÛAiÀÄ°è ©Ãd¥ÀzÀUÀ¼À£ÀÄß ªÀÄvÀÄÛ CªÀÅUÀ¼À ÀASÁå ÀºÀUÀÄtPÀUÀ¼À£ÀÄß UÀÄgÀÄw¹.
(i) 5xyz2 – 3zy (ii) 1 + x + x2 (iii) 4x2y2 – 4x2y2z2 + z2
(iv) 3 – pq + qr – rp (v) 2 2
x yxy+ − (vi) 0.3a – 0.6ab + 0.5b
118 UÀtÂvÀ
2. PɼÀV£À §ºÀÄ¥ÀzÉÆÃQÛUÀ¼À£ÀÄß KPÀ¥ÀzÉÆÃQÛ, ¢é¥ÀzÉÆÃQÛ, wæ¥ÀzÉÆÃQÛUÀ¼ÁV «AUÀr¹. F ªÀÄÆgÀÄ UÀÄA¥ÀÄUÀ½UÉ ¸ÉÃgÀzÀ §ºÀÄ¥ÀzÉÆÃQÛUÀ¼ÀÄ AiÀiÁªÀªÀÅ?
x + y, 1000, x + x2 + x3 + x4, 7 + y + 5x, 2y – 3y2, 2y – 3y2 + 4y3, 5x – 4y + 3xy, 4z – 15z2, ab + bc + cd + da, pqr, p2q + pq2, 2p + 2q 3. PɼÀV£ÀªÀÅUÀ¼À£ÀÄß PÀÆrj.
(i) ab – bc, bc – ca, ca – ab (ii) a – b + ab, b – c + bc, c – a + ac (iii) 2p2q2 – 3pq + 4, 5 + 7pq – 3p2q2
(iv) l2 + m2, m2 + n2, n2 + l2, 2lm + 2mn + 2nl 4. (a) 4a – 7ab + 3b + 12 £ÀÄß 12a – 9ab + 5b – 3 jAzÀ PÀ¼É¬Äj.
(b) 3xy + 5yz – 7zx £ÀÄß 5xy – 2yz – 2zx + 10xyz ¤AzÀ PÀ¼É¬Äj.
(c) 4p2q – 3pq + 5pq2 – 8p + 7q – 10£ÀÄß 18 – 3p – 11q + 5pq – 2pq2 + 5p2q ¤AzÀ PÀ¼É¬Äj.
6.6 ©ÃeÉÆÃQÛUÀ¼À UÀÄuÁPÁgÀ; ¥ÀjZÀAiÀÄ
(i) PɼÀV£À ZÀÄPÉÌUÀ¼À ªÀiÁzÀjAiÀÄ£ÀÄß £ÉÆÃr.
ZÀÄPÉÌUÀ¼À ªÀiÁzÀj ZÀÄPÉÌUÀ¼À MlÆÖ ¸ÀASÉå «ªÀgÀuÉ
4 × 9 -
5 × 7 -
m × n
ZÀÄPÉÌUÀ¼À ¸ÀASÉåAiÀÄ£ÀÄß PÀAqÀÄ»rAiÀÄ®Ä £ÁªÀÅ CqÀظÁ®ÄUÀ¼À ¸ÀASÉåAiÀÄ£ÀÄß
w½¸ÀĪÀ ©ÃeÉÆÃQÛAiÀÄ£ÀÄß PÀA§¸Á®ÄUÀ¼À ¸ÀASÉåAiÀÄ£ÀÄß w½¸ÀĪÀ ©ÃeÉÆÃQÛAiÉÆA¢UÉ UÀÄt¸À¨ÉÃPÀÄ.
(m + 2) × (n + 3)E° èCqÀظÁ®ÄUÀ¼À ¸ÀASÉåAiÀÄ£ÀÄß 2 ºÉaѹzÉ. CAzÀgÉ, m+2. ªÀÄvÀÄÛ PÀA§¸Á®ÄUÀ¼À ¸ÀASÉåAiÀÄ£ÀÄß 3
ºÉaѹzÉ. CAzÀgÉ, n+3.
©ÃeÉÆÃQÛUÀ¼ÀÄ ªÀÄvÀÄÛ ¤vÀå ¸À«ÄÃPÀgÀtUÀ¼ÀÄ 119
(ii) FUÀ ¤ÃªÀÅ EzÉà jÃw JgÀqÀÄ ©ÃeÉÆÃQUÛÀ¼À£ÀÄß UÀÄt¸ÀĪÀ ¨ÉÃgÉ ¸ÀAzÀ¨sÀðUÀ¼À §UÉÎ AiÉÆÃa¸À§ºÀÄzÉÃ? C«ÄãÁ JzÀÄÝ ¤AvÀÄ ºÉýzÀ¼ÀÄ. “£ÁªÀÅ DAiÀÄvÀzÀ «¹ÃÛtðzÀ §UÉÎ AiÉÆÃa¸À§ºÀÄzÀÄ”. DAiÀÄvÀzÀ «¹ÃÛtð l × b, E°è l – GzÀÝ, b–CUÀ®. DAiÀÄvÀzÀ GzÀݪÀ£ÀÄß 5 KPÀªÀiÁ£À ºÉa¹ÑzÀgÉ (l + 5) KPÀªÀiÁ£À, ªÀÄvÀÄÛ CUÀ®ªÀ£ÀÄß 3 KPÀªÀiÁ£À PÀrªÉÄ ªÀiÁrzÀgÉ (b – 3) KPÀªÀiÁ£À. DUÀ ºÉƸÀ DAiÀÄvÀzÀ «¹ÃÛtðªÀÅ (l + 5) × (b – 3) ZÀzÀgÀ ªÀiÁ£ÀUÀ¼ÀÄ.
DAiÀÄvÀzÀ «¹ÛÃtðªÀ£ÀÄß PÀAqÀÄ »rAiÀÄ®Ä £ÁªÀÅ l × b CxÀªÁ (l + 5)×(b – 3) jÃwAiÀÄ ©ÃeÉÆÃQÛUÀ¼À£ÀÄß UÀÄt¸À¨ÉÃPÁUÀÄvÀÛzÉ.
(iii) UÁvÀæ (WÀ£À¥sÀ®)zÀ §UÉÎ ¤ÃªÀÅ AiÉÆÃa¹gÀÄ«gÁ? MAzÀÄ DAiÀÄvÁPÁgÀzÀ ¥ÉnÖUÉAiÀÄ UÁvÀæªÀÅ CzÀgÀ GzÀÝ, CUÀ® ªÀÄvÀÄÛ JvÀÛgÀUÀ¼À UÀÄt®§ÞªÁVgÀÄvÀÛzÉ.
(iv) £ÁªÀÅ ªÀ¸ÀÄÛUÀ¼À£ÀÄß PÉƼÀÄîªÁUÀ UÀÄuÁPÁgÀ ªÀiÁqÀ¨ÉÃPÁUÀÄvÀÛzÉ JAzÀÄ ¸ÀjvÁ ¸ÀÆa¹zÀ¼ÀÄ.
GzÁºÀgÀuÉUÉ;
MAzÀÄ qÀd£ï ¨Á¼É ºÀtÂÚ£À ¨É¯É = ` p ±Á¯ÉAiÀÄ ¦Pï¤PïUÁV ¨ÉÃPÁUÀĪÀ ¨Á¼É ºÀtÄÚUÀ¼ÀÄ = z qÀd£ï. DUÀ £ÁªÀÅ ¥ÁªÀw¸À¨ÉÉÃPÁzÀ ºÀt = ` p × z MAzÀÄ ªÉÃ¼É Á¼É ºÀtÄÚUÀ¼À É¯É 2 PÀrªÉÄ DV ºÀtÄÚUÀ¼ÀÄ 4 qÀd£ï PÀrªÉÄ ÉÃPÁzÀgÉ DUÀ,
¥Àæw qÀd£ï ¨Á¼É ºÀtÂÚ£À ¨É¯É = ` (p – 2) ªÀÄvÀÄÛ ¨ÉÃPÁUÀĪÀ ¨Á¼É ºÀtÄÚUÀ¼ÀÄ = (z – 4) qÀd£ï. DzÀÝjAzÀ £ÁªÀÅ ¥ÁªÀw¸À¨ÀÉÃPÁzÀ ºÀt = ` (p – 2) × (z – 4)
EªÀÅUÀ¼À£ÀÄß ¥ÀæAiÀÄwß¹
• ©ÃeÉÆÃQÛUÀ¼À UÀÄuÁPÁgÀ ªÀiÁqÀ¨ÉÃPÁzÀ EzÉà jÃwAiÀÄ ÉÃgÉ JgÀqÀÄ ¸ÀAzÀ¨sÀðUÀ¼À §UÉÎ AiÉÆÃa¸À§ºÀÄzÉÃ?
(¸ÀĽªÀÅ : * dªÀ ªÀÄvÀÄÛ PÁ®UÀ¼À §UÉÎ AiÉÆÃa¹.
* ÀgÀ¼À§rØzÀgÀ ªÀÄvÀÄÛ C¸À®ÄUÀ½UÉ C£ÀÄUÀÄtªÁV ¸ÀgÀ¼À§rØ ¥ÁªÀw¸ÀĪÀ ¸ÀAzÀ¨sÀð AiÉÆÃa¹).
ªÉÄð£À J¯Áè GzÁºÀgÀuÉUÀ¼À°è £ÁªÀÅ JgÀqÀÄ CxÀªÁ ºÉZÀÄ Ñ ¥ÀjªÀiÁtUÀ¼À£ÀÄß UÀÄuÁPÁgÀ ªÀiÁqÀ¨ÉÃPÁUÀÄvÀÛzÉ. MAzÀÄ ªÉÃ¼É F ¥ÀjªÀiÁtUÀ¼ÀÄ ©ÃeÉÆÃQÛUÀ¼ÁVzÀÝgÉ £ÁªÀÅ CªÀÅUÀ¼À UÀÄt®§Þ PÀAqÀÄ »rAiÀĨÉÃPÁUÀÄvÀÛzÉ. CAzÀgÉ £ÁªÀÅ ©ÃeÉÆÃQÛUÀ¼À UÀÄt®§Þ ¥ÀqÉAiÀÄĪÀÅzÀ£ÀÄß w½¢gÀ¨ÉÃPÀÄ. EzÀ£ÀÄß £ÁªÀÅ ªÀåªÀ¹ÜvÀªÁV ªÀiÁqÉÆÃt. ªÉÆzÀ°UÉ £ÁªÀÅ JgÀqÀÄ KPÀ¥ÀzÉÆÃQÛUÀ¼À UÀÄt®§ÞªÀ£ÀÄß £ÉÆÃqÉÆÃt.
120 UÀtÂvÀ
6.7 KPÀ¥ÀzÉÆÃQÛ¬ÄAzÀ KPÀ¥ÀzÉÆÃQÛAiÀÄ£ÀÄß UÀÄt¸ÀĪÀÅzÀÄ 6.7.1 JgÀqÀÄ KPÀ¥ÀzÉÆÃQÛUÀ¼À£ÀÄß UÀÄt¸ÀĪÀÅzÀÄ.
£ÁªÀÅ FUÁUÀ¯Éà 4 × x = x + x + x + x = 4x JA§ÄzÀ£ÀÄß £ÉÆÃrzÉÝêÉ. EzÉà jÃw, 4 × (3x) = 3x + 3x + 3x + 3x = 12x.
FUÀ PɼÀV£À UÀÄt®§ÞUÀ¼£ÀÀÄß CªÀ¯ÉÆÃQ¹.
(i) x × 3y = x × 3 × y = 3 × x × y = 3xy (ii) 5x × 3y = 5 × x × 3 × y = 5 × 3 × x × y = 15xy (iii) 5x × (–3y) = 5 × x × (–3) × y = 5 × (–3) × x × y = –15xy
E£ÀÆß PÉ®ªÀÅ G¥ÀAiÀÄÄPÀÛ GzÁºÀgÀuÉUÀ¼ÀÄ PɼÀV£ÀAwªÉ.
(iv) 5x × 4x2 = (5 × 4) × ( x × x2)
UÀªÀĤ¹: 5 × 4 = 20 CAzÀgÉ, UÀÄt®§ÞzÀ ¸ÀASÁå¸ÀºÀUÀÄtPÀ = ªÉÆzÀ® KPÀ¥ÀzÉÆÃQÛAiÀÄ ¸ÀASÁå¸ÀºÀUÀÄtPÀ × JgÀqÀ£Éà KP¥ÀÀzÉÆÃQÛAiÀÄ ¸ÀASÁå ¸ÀºÀUÀÄtPÀ;
ªÀÄvÀÄÛ x × x2 = x3. CAzÀgÉ, UÀÄt®§ÞzÀ ©ÃdUÀtÂwÃAiÀÄ C¥ÀªÀvÀð£À = ªÉÆzÀ® KPÀ¥ÀzÉÆÃQÛAiÀÄ ©ÃdUÀtÂwÃAiÀÄ C¥ÀªÀvÀð£À × JgÀqÀ£Éà KPÀ¥ÀzÉÆÃQÛAiÀÄ ©ÃdUÀtÂwÃAiÀÄ C¥ÀªÀvÀð£À.
= 20 × x3 = 20x3
(v) 5x × (– 4xyz) = 5 × (– 4) × (x × xyz) = –20 × (x × x × yz) = –20x2yz. JgÀqÀÄ KPÀ¥ÀzÉÆÃQÛUÀ¼À UÀÄt®§ÞzÀ°ègÀĪÀ ZÀgÁPÀëgÀ ¨sÁUÀzÀ ««zsÀ ZÀgÁPÀëgÀUÀ¼À
WÁvÀUÀ¼À£ÀÄß ªÀåPÀÛ¥Àr¸ÀĪÁUÀ WÁvÁAPÀUÀ¼ÀÄ ªÀÄvÀÄÛ WÁvÀUÀ¼À ¤AiÀĪÀÄUÀ¼À£ÀÄß §¼À¸ÀÄvÉÛêÉ.
6.7.2 ªÀÄÆgÀÄ CxÀªÁ ºÉZÀÄÑ KPÀ¥ÀzÉÆÃQÛUÀ¼À£ÀÄß UÀÄt¸ÀĪÀÅzÀÄ.
PɼÀV£À GzÁºÀgÀuÉUÀ¼À£ÀÀÄß CªÀ¯ÉÆÃQ¹.
(i) 2x × 5y × 7z = (2x × 5y) × 7z = 10xy × 7z = 70xyz (ii) 4xy × 5x2y2 × 6x3y3 = (4xy × 5x2y2) × 6x3y3 = 20x3 y3 × 6x3 y3 = 120x3y3 × x3y3 = 120 (x3 × x3) × (y3 × y3) = 120x6 × y6 = 120x6y6. E°è £ÁªÀÅ ªÉÆzÀ®Ä JgÀqÀÄ KPÀ¥ÀzÉÆÃQÛUÀ¼À£ÀÄß UÀÄt¹ §AzÀ UÀÄt®§ÞªÀ£ÀÄß ªÀÄÆgÀ£Éà KPÀ¥ÀzÉÆÃQÛ¬ÄAzÀ UÀÄt¸À¨ÀÉÃPÀÄ JA§ÄzÀÄ ¸ÀàµÀÖªÁUÀÄvÀÛzÉ. F «zsÁ£ÀªÀ£ÀÄß £ÁªÀÅ JµÀÄÖ KPÀ¥ÀzÉÆÃQÛUÀ¼À UÀÄt®§ÞPÉÌ ¨ÉÃPÁzÀgÀÆ «¸ÀÛj¸À§ºÀÄzÀÄ.
KPÀ¥ÀzÉÆÃQÛUÀ¼À ªÀÄÆgÀÆ UÀÄt®§ÞUÀ¼ÀÄ 3xy ,15xy, –15xy KPÀ¥ÀzÉÆÃQÛUÀ¼ÁVªÉ JA§ÄzÀ£ÀÄß
UÀªÀĤ¹.
©ÃeÉÆÃQÛUÀ¼ÀÄ ªÀÄvÀÄÛ ¤vÀå ¸À«ÄÃPÀgÀtUÀ¼ÀÄ 121
£ÁªÀÅ ¨ÉÃgÉ «zsÁ£ÀzÀ°AèiÀÄÆ UÀÄt®§Þ PÀAqÀÄ »rAiÀħºÀÄzÀÄ. 4xy × 5x2 y2 × 6x3 y3 = (4 × 5 × 6) × (x × x2 × x3) × (y × y2 × y3) = 120 x6y6
4x × 5y × 7z UÀÄt®§Þ PÀAqÀÄ»r¬Äj.
ªÉÆzÀ®Ä 4x × 5y PÀAqÀÄ»rzÀÄ £ÀAvÀgÀ 7z ¤AzÀ UÀÄt¹. CxÀªÁ
ªÉÆzÀ®Ä 5y × 7z PÀAqÀÄ»rzÀÄ £ÀAvÀgÀ 4x ¤AzÀ UÀÄt¹. GvÀÛgÀ MAzÉà DVzÉAiÉÄÃ? ¤ÃªÀÅ K£À£ÀÄß UÀªÀĤ¸ÀÄ«j? ¥ÀzÀUÀ¼À UÀÄuÁPÁgÀ ªÀiÁqÀĪÁUÀ CªÀÅUÀ¼À PÀæªÀĪÀÅ ªÀÄÄRåªÁUÀÄvÀÛzÉAiÉÄÃ?
EªÀÅUÀ¼À£ÀÄß ¥ÀæAiÀÄwß¹
GzÁºÀgÀuÉ 3 : PɼÀUÉ PÉÆnÖgÀĪÀ GzÀÝ ªÀÄvÀÄÛ CUÀ®UÀ¼À DAiÀÄvÀzÀÀ «¹ÛÃtðzÀ PÉÆõÖÀPÀ ¥ÀÆtðUÉƽ¹.
¥ÀjºÁgÀ : :
GzÀÝ CUÀ® «¹ÛÃtð
3x 5y 3x × 5y = 15xy9y 4y2 ..................
4ab 5bc ..................212m 31m2 ..................
GzÁºÀgÀuÉ 4 : PɼÀUÉ ¤ÃrzÀ GzÀÝ, CUÀ® ªÀÄvÀÄÛ JvÀÛgÀÀUÀ¼À£ÀÄß ºÉÆA¢gÀĪÀÀ ¥ÀæwAiÉÆAzÀÄ DAiÀÄvÁPÁgÀzÀ ¥ÉnÖUÉAiÀÄ UÁvÀæ PÀAqÀÄ»r¬Äj.
GzÀÝ CUÀ® JvÀÛgÀ
(i) 2ax 3by 5cz(ii) m2n n2p p2m(iii) 2q 4q2 8q3
¥ÀjºÁgÀ : UÁvÀæ (WÀ£À¥sÀ®) = GzÀÝ × CUÀ® × JvÀÛgÀ
DzÀÝjAzÀ, (i) UÁvÀæ = (2ax) × (3by) × (5cz) = 2 × 3 × 5 × (ax) × (by) × (cz) = 30abcxyz
(ii) UÁvÀæ = m2n × n2p × p2m = (m2 × m) × (n × n2) × (p × p2) = m3n3p3
(iii) UÁvÀæ = 2q × 4q2 × 8q3 = 2 × 4 × 8 × q × q2 × q3 = 64q6
122 UÀtÂvÀ
C¨sÁå¸À 6.2
1. PɼÀV£À KPÀ¥ÀzÉÆÃQÛUÀ¼À eÉÆÃrUÀ¼À UÀÄt®§Þ PÀAqÀÄ »r¬Äj.
(i) 4, 7p (ii) – 4p, 7p (iii) – 4p, 7pq (iv) 4p3, – 3p (v) 4p, 0 2. PɼÀV£À KPÀ¥ÀzÉÆÃQÛUÀ¼À eÉÆÃrUÀ¼À£ÀÄß PÀæªÀĪÁV GzÀÝ ªÀÄvÀÄÛ CUÀ®UÀ¼ÁV ºÉÆA¢gÀĪÀ
DAiÀÄvÀUÀÀ¼À «¹ÛÃtð PÀAqÀÄ»r¬Äj
(p, q); (10m, 5n); (20x2, 5y2); (4x, 3x2); (3mn, 4np). 3. PɼÀV£À UÀÄt®§ÞUÀ¼À PÉÆõÖÀPÀ ¥ÀÆtðUÉƽ¹.
ªÉÆzÀ® KPÀ¥ÀzÀ →JgÀqÀ£Éà KPÀ¥ÀzÀ ↓ 2x –5y 3x2 –4xy 7x2y –9x2y2
2x 4x2 ... ... ... ... ...–5y ... ... –15x2y ... ... ...3x2 ... ... ... ... ... ...
–4xy ... ... ... ... ... ...7x2y ... ... ... ... ... ...
–9x2y2 ... ... ... ... ... ...
4. PɼÀV£À GzÀÝ, CUÀ® ªÀÄvÀÄÛ JvÀÛgÀUÀ¼À£ÀÄß ºÉÆA¢gÀĪÀ DAiÀÄvÁPÁgÀzÀ ¥ÉnÖUÉUÀ¼À UÁvÀæ PÀAqÀÄ»r¬Äj.
(i) 5a, 3a2, 7a4 (ii) 2p, 4q, 8r (iii) xy, 2x2y, 2xy2 (iv) a, 2b, 3c. 5. PɼÀV£ÀªÀÅUÀ¼À UÀÄt®§Þ PÀAqÀÄ »r¬Äj.
(i) xy, yz, zx (ii) a, –a2, a3 (iii) 2, 4y, 8y2, 16y3 (iv) a, 2b, 3c, 6abc (v) m, –mn, mnp
6.8 §ºÀÄ¥ÀzÉÆÃQÛ¬ÄAzÀ KPÀ¥ÀzÉÆÃQÛAiÀÄ£ÀÄß UÀÄt¸ÀĪÀÅzÀÄ.
6.8.1 ¢é¥ÀzÉÆÃQÛ¬ÄAzÀ KPÀ¥ÀzÉÆÃQÛAiÀÄ£ÀÄß UÀÄt¸ÀĪÀÅzÀÄ.
£ÁªÀÅ KPÀ¥ÀzÉÆÃQÛ 3x £ÀÄß ¢é¥ÀzÉÆÃQÛ 5y + 2 jAzÀ UÀÄt¸ÉÆÃt. CAzÀgÉ, 3x × (5y + 2) = ? 3x ªÀÄvÀÄÛ (5y + 2)UÀ¼ÀÄ ¸ÀASåÉUÀ¼À£ÀÀÄß ¥Àæw¤¢ü¸ÀÄvÀÛªÉ JA§ÄzÀ£ÀÄß £É£À¦¹PÉƽî. DzÀÝjAzÀ «vÀgÀuÁ ¤AiÀĪÀÄ §¼À¹, 3x × (5y + 2) = (3x × 5y) + (3x × 2)
= 15xy + 6x.
©ÃeÉÆÃQÛUÀ¼ÀÄ ªÀÄvÀÄÛ ¤vÀå ¸À«ÄÃPÀgÀtUÀ¼ÀÄ 123
£ÁªÀÅ ¸ÁªÀiÁ£ÀåªÁV ¯ÉPÁÌZÁgÀUÀ¼À°è «vÀgÀuÁ ¤AiÀĪÀÄ §¼À¸ÀÄvÉÛêÉ.
GzÁºÀgÀuÉUÉ: 7 × 106 = 7 × (100 + 6) = 7 × 100 + 7 × 6 («vÀgÀuÁ ¤AiÀĪÀÄ §¼À¹zÉ)
= 700 + 42 = 742 ªÀÄvÀÄÛ 7 × 38 = 7 × (40 – 2) = 7 × 40 – 7 × 2 («vÀgÀuÁ ¤AiÀĪÀÄ §¼À¹zÉ)
= 280 – 14 = 266
CzÉà jÃw, (–3x) × (–5y + 2) = (–3x) × (–5y) + (–3x) × (2) = 15xy – 6x ªÀÄvÀÄÛ 5xy × (y2 + 3) = (5xy × y2) + (5xy × 3) = 5xy3 + 15xy. ¢é¥ÀzÉÆÃQÛ × KPÀ¥ÀzÉÆÃQÛ §UÉÎ K£ÀÄ ºÉüÀ§ºÀÄzÀÄ? GzÁºÀgÀuÉUÉ, (5y + 2) × 3x = ? £ÁªÀÅ ¥ÀjªÀvÀð¤ÃAiÀÄ ¤AiÀĪÀÄ »ÃUÉ §¼À¸ÀÄvÉÛêÉ. 7 × 3 = 3 × 7 ¸ÁªÀiÁ£ÀåªÁV, a × b = b × a CzÉà jÃw, FUÁUÀ¯Éà £ÉÆÃrgÀĪÀAvÉ, (5y + 2) × 3x = 3x × (5y + 2) = 15xy + 6x.
UÀÄt®§Þ PÀAqÀÄ »r¬Äj.
(i) 2x (3x + 5xy) (ii) a2 (2ab – 5c)
EªÀÅUÀ¼À£ÀÄß ¥ÀæAiÀÄwß¹
6.8.2 wæ¥ÀzÉÆÃQÛ¬ÄAzÀ KPÀ¥ÀzÉÆÃQÛAiÀÄ£ÀÄß UÀÄt¸ÀĪÀÅzÀÄ3p × (4p2 + 5p + 7) £ÀÄß ¥ÀjUÀt¹. F ªÉÆzÀ°£À GzÁºÀgÀuÉUÀ¼ÀAvÉ £ÁªÀÅ «vÀgÀuÁ
¤AiÀĪÀÄ §¼À¸ÉÆÃt.
3p × (4p2 + 5p + 7) = (3p × 4p2) + (3p × 5p) + (3p × 7) = 12p3 + 15p2 + 21p
KPÀ¥ÀzÉÆÃQÛ¬ÄAzÀ wæ¥ÀzÉÆÃQÛAiÀÄ ¥ÀæwAiÉÆAzÀÄ ¥ÀzÀªÀ£ÀÄß UÀÄt¹ UÀÄt®§ÞUÀ¼À£ÀÀÄß
PÀÆr¸À¨ÉÃPÀÄ.
EªÀÅUÀ¼À£ÀÄß ¥ÀæAiÀÄwß¹
UÀÄt®§Þ PÀAqÀÄ »r¬Äj.
(4p2 + 5p + 7) × 3p
«vÀgÀuÁ ¤AiÀĪÀÄ §¼À¹ ¥ÀzÀªÁgÀÄ UÀÄt®§Þ ªÀiÁqÀ§ºÀÄzÀÄ JA§ÄzÀ£ÀÄß UÀªÀĤ¹.
124 UÀtÂvÀ
GzÁºÀgÀuÉ 5 : ©ÃeÉÆÃQUÛÀ¼À£ÀÄß ¸ÀAPÉëæ¹ ªÀÄvÀÄÛ ¸ÀÆa¹zÀ ¥ÀæPÁgÀ ©ÃeÉÆÃQÛAiÀÄ ¨É¯É PÀAqÀÄ»r¬Äj.
(i) x = 1 DzÁUÀ x (x – 3) + 2 (ii) y = –2 DzÁUÀ 3y (2y – 7) – 3 (y – 4) – 63 ¥ÀjºÁgÀ : (i) x (x – 3) + 2 = x2 – 3x + 2 x = 1 DzÀgÉ x2 – 3x + 2 = (1)2 – 3 (1) + 2 = 1 – 3 + 2 = 3 – 3 = 0 (ii) 3y (2y – 7) – 3 (y – 4) – 63 = 6y2 – 21y – 3y + 12 – 63 = 6y2 – 24y – 51 y = –2 DzÀgÉ, 6y2 – 24y – 51 = 6 (–2)2 – 24(–2) – 51 = 6 × 4 + 24 × 2 – 51 = 24 + 48 – 51 = 72 – 51 = 21 GzÁºÀgÀuÉ 6 : PÀÆr¹:
(i) 5m (3 – m) ªÀÄvÀÄÛ 6m2 – 13m (ii) 4y (3y2 + 5y – 7) ªÀÄvÀÄÛ 2(y3 – 4y2 + 5)¥ÀjºÁgÀ : (i) ªÉÆzÀ® ©ÃeÉÆÃQÛ ¸ÀAPÉëæ¹zÁUÀ, 5m (3 – m) = (5m × 3) – (5m × m) = 15m – 5m2
EzÀPÉÌ JgÀqÀ£Éà ©ÃeÉÆÃQÛ PÀÆrzÁUÀ, 15m – 5m2 + 6m2 – 13m = m2 + 2m (ii) ªÉÆzÀ® ©ÃeÉÆÃQÛ ¸ÀAPÉëæ¹zÁUÀ, 4y (3y2 + 5y – 7) = (4y × 3y2) + (4y × 5y) + [(4y × (–7)] = 12y3 + 20y2 – 28y JgÀqÀ£Éà ©ÃeÉÆÃQÛ ¸ÀAPÉëæ¹zÁUÀ, 2(y3 – 4y2 + 5) = 2y3 + 2 × (– 4y2) + 2 × 5 = 2y3 – 8y2 + 10 FUÀ JgÀqÀÆ ©ÃeÉÆÃQÛUÀ¼À£ÀÄß PÀÆrzÁUÀ,
3 2
3 2
3 2
12 20 28
2 8 10
14 12 28 10
y y y
y y
y y y
+ −
+ − +
+ − +
©ÃeÉÆÃQÛUÀ¼ÀÄ ªÀÄvÀÄÛ ¤vÀå ¸À«ÄÃPÀgÀtUÀ¼ÀÄ 125
GzÁºÀgÀuÉ 7 : 3pq (p – q) £ÀÄß 2pq (p + q) jAzÀ PÀ¼É¬Äj.
¥ÀjºÁgÀ : FUÀ, 3pq (p – q) = 3p2q – 3pq2 ªÀÄvÀÄÛ 2pq (p + q) = 2p2q + 2pq2 PÀ¼ÉzÁUÀ,
( ) ( )
2 2
2 2
2 2
2 2
3 3
···· ·
···· 5
p q pq
p q pq
p q pq
+
−
− +
− +
C¨sÁå¸À 6.3
1. PɼÀV£À ©ÃeÉÆÃQÛUÀ¼À eÉÆÃrUÀ¼À£ÀÄß UÀÄuÁPÁgÀ ªÀiÁr.
(i) 4p, q + r (ii) ab, a – b (iii) a + b, 7a2b2
(iv) a2 – 9, 4a (v) pq + qr + rp, 0 2. PÉÆõÀÖPÀ ¥ÀÆtðUÉƽ¹.
ªÉÆzÀ® ©ÃeÉÆÃQÛ JgÀqÀ£Éà ©ÃeÉÆÃQÛ UÀÄt®§Þ
(i) a b + c + d ...(ii) x + y – 5 5xy ...(iii) p 6p2 – 7p + 5 ...(iv) 4p2q2 p2 – q2 ...(v) a + b + c abc ...
3. UÀÄt®§Þ PÀAqÀÄ»r¬Äj.
(i) (a2) × (2a22) × (4a26) (ii) 2 22 9
3 10xy x y
− ×
(iii) 3 310 6
3 5pq p q
− × (iv) x × x2 × x3 × x4
4. (a) 3x (4x – 5) + 3 ©ÃeÉÆÃQÛAiÀÄ£ÀÄß ¸ÀAPÉëæ¹. x UÉ PɼÀUÉ PÉÆnÖgÀĪÀ ¨É¯ÉUÀ½UÉ
CzÀgÀ ¨É¯É PÀAqÀÄ»r¬Äj. (i) x = 3 (ii) 1
2x=
(b) a (a2 + a + 1) + 5. ©ÃeÉÆÃQÛAiÀÄ£ÀÄß ÀAPÉëæ¹ ªÀÄvÀÄÛ aUÉ PɼÀUÉ PÉÆnÖgÀĪÀ ɯÉUÀ½UÉ CzÀgÀ É¯É PÀAqÀÄ»r¬Äj.
(i) a = 0, (ii) a = 1 (iii) a = – 1. 5. (a) PÀÆr¹: p (p – q), q(q – r) ªÀÄvÀÄÛ r(r – p) (b) PÀÆr¹: 2x (z – x – y) ªÀÄvÀÄÛ 2y (z – y – x) (c) PÀ¼É¬Äj: 3l (l – 4 m + 5 n)£ÀÄß 4l (10 n – 3 m + 2l) jAzÀ (d) PÀ¼É¬Äj: 3a (a + b + c) – 2 b (a – b + c) AiÀÄ£ÀÄß 4c (– a + b + c) ¬ÄAzÀ.
126 UÀtÂvÀ
6.9 §ºÀÄ¥ÀzÉÆÃQÛ¬ÄAzÀ §ºÀÄ¥ÀzÉÆÃQÛAiÀÄ£ÀÄß UÀÄt¸ÀĪÀÅzÀÄ
6.9.1 ¢é¥ÀzÉÆÃQÛ¬ÄAzÀ ¢é¥ÀzÉÆÃQÛAiÀÄ£ÀÄß UÀÄt¸ÀĪÀÅzÀÄ
£ÁªÀÅ MAzÀÄ ¢é¥ÀzÉÆÃQÛ (2a + 3b) AiÀÄ£ÀÄß E£ÉÆßAzÀÄ ¢é¥ÀzÉÆÃQÛ (3a + 4b) ¬ÄAzÀ UÀÄt¸ÉÆÃt. EzÀ£ÀÄß F »A¢£ÀAvÉ UÀÄtPÁgÀzÀ «vÀgÀuÁ ¤AiÀĪÀÄ §¼À¹ ºÀAvÀ ºÀAvÀªÁV ©r¸À§ºÀÄzÀÄ.
(3a + 4b) × (2a + 3b) = 3a × (2a + 3b) + 4b × (2a + 3b)
= (3a × 2a) + (3a × 3b) + (4b × 2a) + (4b × 3b)
= 6a2 + 9ab + 8ba + 12b2
= 6a2 + 17ab + 12b2 (ba = ab)
£ÁªÀÅ E°è ¥ÀzÀªÁgÀÄ UÀÄuÁPÁgÀ ªÀiÁqÀĪÀÅzÀjAzÀ UÀÄt®§ÞzÀ°è 2 × 2 = 4 ¥ÀzÀUÀ¼À£ÀÄß ¤jÃQë¸À§ºÀÄzÀÄ. DzÀgÉ E°è JgÀqÀÄ ¸ÀeÁw ¥ÀzÀUÀ½zÀÄÝ CªÀÅUÀ¼À£ÀÄß PÀÆr¸ÀĪÀÅzÀjAzÀ MlÄÖ
ªÀÄÆgÀÄ ¥ÀzÀUÀ¼À£ÀÄß ¥ÀqÉAiÀÄÄvÉÛêÉ. §ºÀÄ¥ÀzÉÆÃQÛUÀ¼À UÀÄuÁPÁgÀzÀ°è £ÁªÀÅ ¸ÀeÁw ¥ÀzÀUÀ¼À£ÀÄß
UÀªÀĤ¸À¨ÉÃPÀÄ. MAzÉƪÉÄä EzÀÝgÉ CªÀÅUÀ¼À£ÀÄß PÀÆr¸À¨ÉÃPÀÄ.
GzÁºÀgÀuÉ 8 : UÀÄt¹.
(i) (x – 4) ªÀÄvÀÄÛ (2x + 3) (ii) (x – y) ªÀÄvÀÄÛ (3x + 5y).¥ÀjºÁgÀ : (i) (x – 4) × (2x + 3) = x × (2x + 3) – 4 × (2x + 3) = (x × 2x) + (x × 3) – (4 × 2x) – (4 × 3) = 2x2 + 3x – 8x – 12 = 2x2 – 5x – 12 (¸ÀeÁw ¥ÀzÀ PÀÆrzÉ)
(ii) (x – y) × (3x + 5y) = x × (3x + 5y) – y × (3x + 5y) = (x × 3x) + (x × 5y) – (y × 3x) – (y × 5y) = 3x2 + 5xy – 3yx – 5y2
= 3x2 + 2xy – 5y2 (¸ÀeÁw ¥ÀzÀ PÀÆrzÉ)
GzÁºÀgÀuÉ 9 : UÀÄt¹.
(i) (a + 7) ªÀÄvÀÄÛ (b – 5) (ii) (a2 + 2b2) ªÀÄvÀÄÛ (5a – 3b) ¥ÀjºÁgÀ : (i) (a + 7) × (b – 5) = a × (b – 5) + 7 × (b – 5) = ab – 5a + 7b – 35 E°è AiÀiÁªÀÅzÉà ¸ÀeÁwÃAiÀÄ ¥ÀzÀUÀ¼ÀÄ E®è JA§ÄzÀ£ÀÄß UÀªÀĤ¹.
(ii) (a2 + 2b2) × (5a – 3b) = a2 (5a – 3b) + 2b2 × (5a – 3b) = 5a3 – 3a2b + 10ab2 – 6b3
MAzÀÄ ¢é¥ÀzÉÆÃQÛAiÀÄ ¥ÀæwAiÉÆAzÀÄ ¥ÀzÀªÀ£ÀÄß E£ÉÆßAzÀÄ ¢é¥ÀzÉÆÃQÛAiÀÄ ¥ÀæwAiÉÆAzÀÄ ¥ÀzÀzÉÆA¢UÉ UÀÄt¹gÀĪÀÅzÀ£ÀÄß UÀªÀĤ¹.
©ÃeÉÆÃQÛUÀ¼ÀÄ ªÀÄvÀÄÛ ¤vÀå ¸À«ÄÃPÀgÀtUÀ¼ÀÄ 127
6.9.2 wæ¥ÀzÉÆÃQÛ¬ÄAzÀ ¢é¥ÀzÉÆÃQÛAiÀÄ£ÀÄß UÀÄt¸ÀĪÀÅzÀÄ
E°è £ÁªÀÅ ¢é¥ÀzÉÆÃQÛAiÀÄ ¥ÀæwAiÉÆAzÀÄ ¥ÀzÀ¢AzÀ wæ¥ÀzÉÆÃQÛAiÀÄ ¥ÀæwAiÉÆAzÀÄ ¥ÀzÀªÀ£ÀÄß UÀÄt¸À¨ÀÉÃPÀÄ. DUÀ 3 × 2 = 6 ¥ÀzÀUÀ¼À£ÀÄß ¤jÃQë¸À§ºÀÄzÀÄ. DzÀgÉ ¥ÀzÀªÁgÀÄ UÀÄuÁPÁgÀzÀ°è ¸ÀeÁw ¥ÀzÀUÀ¼ÀÄ zÉÆgÉvÀgÉ DUÀ ¥ÀzÀUÀ¼À ÀASåÉ 5 CxÀªÁ CzÀQÌAvÀ PÀrªÉÄ DUÀ§ºÀÄzÀÄ. PɼÀV£À UÀÄuÁPÁgÀªÀ£ÀÄß UÀªÀĤ¹.
2( + 7) ( 3 5)a a a× + + = a × (a2 + 3a + 5) + 7 × (a2 + 3a + 5)¢é¥ÀzÉÆÃQÛ wæ¥ÀzÉÆÃQÛ «vÀgÀuÁ ¤AiÀĪÀÄ §¼À¹zÉ
= a3 + 3a2 + 5a + 7a2 + 21a + 35
= a3 + (3a2 + 7a2) + (5a + 21a) + 35
= a3 + 10a2 + 26a + 35 (CAwªÀÄ GvÀÛgÀzÀ°è 4 ¥ÀzÀUÀ¼ÀÄ ªÀiÁvÀæ EgÀ®Ä PÁgÀt K£ÀÄ?)
GzÁºÀgÀuÉ 10 : ¸ÀAPÉëæ¹ (a + b) (2a – 3b + c) – (2a – 3b) c ¥ÀjºÁgÀ : (a + b) (2a – 3b + c) = a (2a – 3b + c) + b (2a – 3b + c) = 2a2 – 3ab + ac + 2ab – 3b2 + bc = 2a2 – ab – 3b2 + bc + ac (–3ab, 2ab UÀ¼ÀÄ ¸ÀeÁw ¥ÀzÀUÀ¼ÀÄ)
ªÀÄvÀÄÛ (2a – 3b) c = 2ac – 3bc DzÀÝjAzÀ, (a + b) (2a – 3b + c) – (2a – 3b) c = 2a2 – ab – 3b2 + bc + ac – (2ac – 3bc) = 2a2 – ab – 3b2 + bc + ac – 2ac + 3bc = 2a2 – ab – 3b2 + (bc + 3bc) + (ac – 2ac) = 2a2 – 3b2 – ab + 4bc – ac.
C¨sÁå¸À 6.4
1. ¢é¥ÀzÉÆÃQÛUÀ¼À£ÀÄß UÀÄt¹.
(i) (2x + 5) ªÀÄvÀÄÛ (4x – 3) (ii) (y – 8) ªÀÄvÀÄÛ (3y – 4) (iii) (2.5l – 0.5m) ªÀÄvÀÄÛ (2.5l + 0.5m) (iv) (a + 3b) ªÀÄvÀÄÛ (x + 5)
(v) (2pq + 3q2) ªÀÄvÀÄÛ (3pq – 2q2) (vi) ªÀÄvÀÄÛ2 2 2 23 23 4
4 3a b a b
+ − 2. UÀÄt®§Þ PÀAqÀÄ»r¬Äj.
(i) (5 – 2x) (3 + x) (ii) (x + 7y) (7x – y) (iii) (a2 + b) (a + b2) (iv) (p2 – q2) (2p + q)
128 UÀtÂvÀ
3. ¸ÀAPÉëæ¹.
(i) (x2 – 5) (x + 5) + 25 (ii) (a2 + 5) (b3 + 3) + 5 (iii) (t + s2) (t2 – s) (iv) (a + b) (c – d) + (a – b) (c + d) + 2 (ac + bd) (v) (x + y) (2x + y) + (x + 2y) (x – y) (vi) (x + y) (x2 – xy + y2) (vii) (1.5x – 4y) (1.5x + 4y + 3) – 4.5x + 12y (viii) (a + b + c) (a + b – c)
6.10 ¤vÀå¸À«ÄÃPÀgÀt JAzÀgÉãÀÄ?
(a + 1) (a +2) = a2 + 3a + 2 ¸ÀªÀÄvÉAiÀÄ£ÀÄß ¥ÀjUÀt¹. £ÁªÀÅ JgÀqÀÆ §¢AiÀÄ°è a UÉ PÉ®ªÀÅ ¨É¯ÉUÀ¼À£ÀÄß ¤Ãr ©ÃeÉÆÃQÛAiÀÄ ¨É¯ÉUÀ¼À£ÀÄß PÀAqÀÄ»rAiÉÆÃt.
a = 10 DVgÀ°. DUÀ, LHS = (a + 1) (a + 2) = (10 + 1) (10 + 2) = 11 × 12 = 132 RHS = a2 + 3a + 2 = 102 + 3 × 10 + 2 = 100 + 30 + 2 = 132
∴ a = 10 DzÁUÀ, ¸ÀªÀÄvÉAiÀÄ JgÀqÀÆ §¢AiÀÄ ¨É¯É ¸ÀªÀĪÁVzÉ.
a = –5 JAzÀÄ vÉUÉzÀÄPÉÆAqÀgÉ, LHS = (a + 1) (a + 2) = (–5 + 1) (–5 + 2) = (– 4) × (–3) = 12 RHS = a2 + 3a + 2 = (–5)2 + 3 (–5) + 2 = 25 – 15 + 2 = 10 + 2 = 12 DzÀÝjAzÀ a = –5 DzÁUÀ PÀÆqÀ, LHS = RHS.
©ÃeÉÆÃQÛUÀ¼ÀÄ ªÀÄvÀÄÛ ¤vÀå ¸À«ÄÃPÀgÀtUÀ¼ÀÄ 129
a AiÀÄ AiÀiÁªÀÅzÉà ɯÉUÉ LHS = RHS DUÀĪÀÅzÀ£ÀÄß £ÁªÀÅ PÁt§ºÀÄzÀÄ. »ÃUÉ ZÀgÁPÀëgÀzÀ J¯Áè ¨É¯ÉUÀ½UÉ ¸ÀvÀåªÁVgÀĪÀ MAzÀÄ ¸ÀªÀÄvÉAiÀÄ£ÀÄß ¤vÀå¸À«ÄÃPÀgÀt J£ÀÄßvÉÛêÉ. DzÀÝjAzÀ, (a + 1) (a + 2) = a2 + 3a + 2 MAzÀÄ ¤vÀå¸À«ÄÃPÀgÀtªÁVzÉ. DzÀgÉ, MAzÀÄ ¸À«ÄÃPÀgÀtªÀÅ ZÀgÁPÀëgÀzÀ PÉ®ªÀÅ ¤¢ðµÀÖ ¨É¯ÉUÀ½UÉ ªÀiÁvÀæ ¸ÀvÀåªÁVgÀÄvÀÛzÉ. EzÀÄ ZÀgÁPÀëgÀzÀ J®è ¨É¯ÉUÀ½UÀÆ ¸ÀvÀåªÁVgÀĪÀÅ¢®è. GzÁºÀgÀuÉUÉ, a2 + 3a + 2 = 132 ¸À«ÄÃPÀgÀt ¥ÀjUÀt¹. EzÀÄ ªÉÄÃ¯É £ÉÆÃrgÀĪÀAvÉ a = 10 DzÁUÀ ¸Àj ºÉÆAzÀÄvÀÛzÉ. a = –5 CxÀªÁ a = 0 DzÁUÀ EzÀÄ ¸Àj ºÉÆAzÀĪÀÅ¢®è.
¥ÀæAiÀÄwß¹: a2 + 3a + 2 = 132 JA§ÄzÀÄ a = –5 CxÀªÁ a = 0 DzÁUÀ ¸Àj ºÉÆAzÀĪÀÅ¢®è JAzÀÄ vÉÆÃj¹.
6.11 ªÀiÁ£ÀPÀ ¤vÀå¸À«ÄÃPÀgÀÀtUÀ¼ÀÄ (Standard Identities)£ÁªÀÅ FUÀ CvÀÄå¥ÀAiÀÄÄPÀÛªÁzÀ ªÀÄÆgÀÄ ¤vÀå¸À«ÄÃPÀgÀtUÀ¼ÀÀ£ÀÄß C¨sÀ幸ÉÆÃt. F ¤vÀå¸À«ÄÃPÀgÀtUÀ¼À£ÀÄß JgÀqÀÄ ¢é¥ÀzÉÆÃQÛUÀ¼À£ÀÄß UÀÄt¸ÀĪÀÅzÀgÀ ªÀÄÆ®PÀ ¥ÀqÉAiÀħºÀÄzÀÄ.
ªÉÆzÀ°UÉ (a + b) (a + b) CxÀªÁ (a + b)2 ¥ÀjUÀt¸ÉÆÃt.
(a + b)2 = (a + b) (a + b) = a(a + b) + b (a + b) = a2 + ab + ba + b2 = a2 + 2ab + b2 (ab = ba DVgÀĪÀÅzÀjAzÀ) »ÃUÉ, 2 2 2( ) 2a b a ab b+ = + + ...............(I) ¸ÀàµÀÖªÁV EzÉÆAzÀÄ ¤vÀå¸À«ÄÃPÀgÀt. KPÉAzÀgÉ JqÀ¨sÁUÀzÀ (LHS) ¥ÀzÀUÀ¼À£ÀÀÄß
AiÀÄxÁªÀvÁÛV UÀÄt¹ §®¨sÁUÀzÀ (RHS) ¥ÀzÀUÀ¼À£ÀÀÄß ¥ÀqÉ¢zÉÝêÉ. a ªÀÄvÀÄÛ b UÀ½UÉ AiÀiÁªÀÅzÉà ¨É¯ÉUÀ¼À£ÀÄß ¤Ãr JgÀqÀÆ §¢AiÀÄ ¨É¯ÉAiÀÄ£ÀÄß PÀAqÀÄ»rzÀÄ CªÀÅUÀ¼ÀÄ ¸ÀªÀÄ JA§ÄzÀ£ÀÄß AiÀiÁgÀÄ ¨ÉÃPÁzÀgÀÆ ¥ÀjÃQ¸ëÀ§ºÀÄzÀÄ.
• EzÉà jÃw, (a – b)2 = (a – b) (a – b) = a (a – b) – b (a – b) = a2 – ab – ba + b2 = a2 – 2ab + b2 (ab = ba DVgÀĪÀÅzÀjAzÀ)
( )2 2 22a b a ab b− = − + ..............(II) • PÉÆ£ÉAiÀÄzÁV (a + b) (a – b) UÀÄt®§ÞªÀ£ÀÄß £ÉÆÃqÉÆÃt.
(a + b) (a – b) = a (a – b) + b (a – b) = a2 – ab + ba – b2 = a2 – b2 (ab = ba DVgÀĪÀÅzÀjAzÀ) ( ) ( ) 2 2a b a b a b+ − = − ..............(III) I, II ªÀÄvÀÄÛ III ¤vÀå¸À«ÄÃPÀgÀtUÀ¼ÀÄ ªÀiÁ£ÀPÀ ¤vÀå¸À«ÄÃPÀgÀtUÀ¼ÉAzÀÄ ¥ÀjUÀtÂvÀªÁVªÉ.
130 UÀtÂvÀ
• I £Éà ¤vÀå¸À«ÄÃPÀgÀtzÀ°è b AiÀÄ §zÀ°UÉ – b ºÁQzÀgÉ ¤ÃªÀÅ II £Éà ¤vÀå¸À«ÄÃPÀgÀt ¥ÀqÉAiÀÄÄ«gÁ?
EzÀ£ÀÄß ¥ÀæAiÀÄwß¹
£ÁªÀÅ FUÀ E£ÉÆßAzÀÄ G¥ÀAiÀÄÄPÀÛ ¤vÀå¸À«ÄÃPÀgÀtªÀ£ÀÄß ©r¸ÉÆÃt.
(x + a) (x + b) = x (x + b) + a (x + b)
= x2 + bx + ax + ab
(x + a) (x + b) = x2 + (a + b) x + ab ..............(IV)
1. a = 2, b = 3, x = 5 UÀ½UÉ IV ¤vÀå¸À«ÄÃPÀgÀt ¥Àj²Ã°¹.
2. a = b DVgÀĪÀ «±ÉõÀ ¸ÀAzÀ¨sÀðzÀ°è IV ¤vÀå¸À«ÄÃPÀgÀt ¥ÀjUÀt¹. ¤ÃªÀÅ K£À£ÀÄß ¥ÀqÉAiÀÄÄ«j? EzÀÄ I ¤vÀå¸À«ÄÃPÀgÀtPÉÌ ¸ÀA§A¢ü¹zÉAiÉÄÃ?
3. a = – c ªÀÄvÀÄÛ b = – c DVgÀĪÀ «±ÉõÀ ¸ÀAzÀ¨sÀðzÀ°è IV ¤vÀå¸À«ÄÃPÀgÀt ¥ÀjUÀt¹. ¤ÃªÀÅ K£À£ÀÄß ¥ÀqÉAiÀÄÄ«j? EzÀÄ II ¤vÀå¸À«ÄÃPÀgÀtPÉÌ ¸ÀA§A¢ü¹zÉAiÉÄÃ?
4. b = – a DVgÀĪÀ «±ÉõÀ ¸ÀAzÀ¨sÀðzÀ°è IV ¤vÀå¸À«ÄÃPÀgÀt ¥ÀjUÀt¹. ¤ÃªÀÅ K£À£ÀÄß ¥ÀqÉAiÀÄÄ«j? EzÀÄ III ¤vÀå¸À«ÄÃPÀgÀtPÉÌ ¸ÀA§A¢ü¹zÉAiÉÄÃ?
EªÀÅUÀ¼À£ÀÄß ¥ÀæAiÀÄwß¹
IV ¤vÀå¸À«ÄÃPÀgÀtªÀÅ G½zÀ ªÀÄÆgÀÄ ¤vÀå¸À«ÄÃPÀgÀtUÀ¼À ¸ÁªÀiÁ£Àå gÀÆ¥ÀªÁVzÉ JA§ÄzÀ£ÀÄß £ÁªÀÅ PÁt§ºÀÄzÀÄ.
6.12 ¤vÀå¸À«ÄÃPÀgÀtUÀ¼À C£ÀéAiÀÄ.
¢é¥ÀzÉÆÃQÛUÀ¼À UÀÄuÁPÁgÀ ºÁUÀÆ ¸ÀASÉåUÀ¼À UÀÄuÁPÁgÀPÉÌ ¸ÀA§A¢ü¹zÀ C£ÉÃPÀ ¸ÀªÀĸÉåUÀ¼À£ÀÄß ¤vÀå¸À«ÄÃPÀgÀt §¼À¹ ¥ÀAiÀiÁðAiÀÄ «zsÁ£À¢AzÀ ºÉÃUÉ ©r¸À§ºÀÄzÀÄ JA§ÄzÀ£ÀÄß w½AiÉÆÃt.
GzÁºÀgÀuÉ 10 : I ¤vÀå¸À«ÄÃPÀgÀt §¼À¹ PÀAqÀÄ»r¬Äj.
(i) (2x + 3y)2 (ii) 1032
¥ÀjºÁgÀ : (i) (2x + 3y)2 = (2x)2 + 2(2x) (3y) + (3y)2 [¤vÀå¸À«ÄÃPÀgÀt (I) §¼À¹zÉ]
= 4x2 + 12xy + 9y2
(2x + 3y)2 £ÀÄß £ÁªÀÅ £ÉÃgÀªÁVAiÀÄÆ PÀAqÀÄ»rAiÀħºÀÄzÀÄ.
©ÃeÉÆÃQÛUÀ¼ÀÄ ªÀÄvÀÄÛ ¤vÀå ¸À«ÄÃPÀgÀtUÀ¼ÀÄ 131
(2x + 3y)2 = (2x + 3y) (2x + 3y) = (2x) (2x) + (2x) (3y) + (3y) (2x) + (3y) (3y) = 4x2 + 6xy + 6 yx + 9y2 (xy = yx DVgÀĪÀÅzÀjAzÀ) = 4x2 + 12xy + 9y2 (2x + 3y) £ÀÄß ªÀUÀð ªÀiÁqÀ®Ä ¤vÀå¸À«ÄÃPÀgÀt I ¥ÀAiÀiÁðAiÀÄ «zsÁ£ÀªÀ£ÀÄß MzÀV¹zÉ.
£ÉÃgÀ «zsÁ£ÀQÌAvÀ ¤vÀå¸À«ÄÃPÀgÀt «zsÁ£ÀªÀÅ PÀrªÉÄ ºÀAvÀUÀ¼À£ÀÄß M¼ÀUÉÆArgÀĪÀÅzÀ£ÀÄß PÁt§ºÀÄzÀÄ. (2x + 3y)VAvÀ ¸ÀAQÃtðªÁzÀ ¢é¥ÀzÉÆÃQÛUÀ¼À£ÀÄß ªÀUÀðUÉƽ¸ÀĪÁUÀ ¤vÀå¸À«ÄÃPÀgÀt «zsÁ£ÀzÀ ¸ÀgÀ¼ÀvÉAiÀÄ£ÀÄß ¤ÃªÀÅ CjAiÀħºÀÄzÀÄ.
(ii) (103)2 = (100 + 3)2 = 1002 + 2 × 100 × 3 + 32 (¤vÀå¸À«ÄÃPÀgÀt I jAzÀ) = 10000 + 600 + 9
= 10609
£ÁªÀÅ 103£ÀÄß 103 jAzÀ £ÉÃgÀªÁV UÀÄt¹ GvÀÛgÀ ¥ÀqÉAiÀħºÀÄzÀÄ. 103 £ÀÄß ªÀUÀðUÉƽ¸À®Ä ¤vÀå¸À«ÄÃPÀgÀt I, £ÉÃgÀ «zsÁ£ÀQÌAvÀ®Æ ¸ÀÄ®¨sÀ ¥ÀjºÁgÀ MzÀV¸ÀÄvÀÛzÉ JA§ÄzÀ£ÀÄß £ÉÆÃr¢gÁ? 1013 £ÀÄß ªÀUÀðUÉƽ¸À®Ä ¥ÀæAiÀÄwß¹. UÀÄuÁPÁgÀzÀ £ÉÃgÀ «zsÁ£ÀQÌAvÀ®Æ
¤vÀå¸À«ÄÃPÀgÀt «zsÁ£ÀªÀÅ DPÀµÀðPÀªÁVzÉ JA§ÄzÀ£ÀÄß ¤ÃªÀÅ ªÀÄ£ÀUÁtÄ«j.
GzÁºÀgÀuÉ 12 : II ¤vÀå¸À«ÄÃPÀgÀt §¼À¹ PÀAqÀÄ»r¬Äj.
(i) (4p – 3q)2 (ii) (4.9)2 ¥ÀjºÁgÀ : (i) (4p – 3q)2 = (4p)2 – 2 (4p) (3q) + (3q)2 [II ¤vÀå¸À«ÄÃPÀgÀt¢AzÀ]
= 16p2 – 24pq + 9q2 (4p – 3q)2 PÀAqÀÄ»rAiÀÄ®Ä £ÉÃgÀ «zsÁ£ÀQÌAvÀ ¤vÀå¸À«ÄÃPÀgÀt «zsÁ£ÀªÀÅ ¸ÀÄ®¨sÀ
JA§ÄzÀ£ÀÄß ¤ÃªÀÅ M¥ÀÄà«gÁ?
(ii) (4.9)2 = (5.0 – 0.1)2 = (5.0)2 – 2 (5.0) (0.1) + (0.1)2 = 25.00 – 1.00 + 0.01 = 24.01 4.9 gÀ ªÀUÀð PÀAqÀÄ »rAiÀÄ®Ä ¤vÀå¸À«ÄÃPÀgÀt II gÀ §¼ÀPÉAiÀÄÄ £ÉÃgÀ «zsÁ£ÀQÌAvÀ®Æ
¸ÀÄ®¨sÀ C®èªÉÃ?
GzÁºÀgÀuÉ 13 : III ¤vÀå¸À«ÄÃPÀgÀt §¼À¹ PÀAqÀÄ»r¬Äj.
(i) 3 2 3 2
2 3 2 3m n m n
+ − (ii) 9832 – 172
(iii) 194 × 206
¥ÀjºÁgÀ : (i) 2 2
3 2 3 2 3 2
2 3 2 3 2 3m n m n m n
+ − = −
= 2 29 4
4 9m n−
132 UÀtÂvÀ
EzÀ£ÀÄß £ÉÃgÀªÁV UÀÄt¸À®Ä ¥ÀæAiÀÄwß¹.III ¤vÀå¸À«ÄÃPÀgÀtzÀ §¼ÀPÉAiÀÄÄ EzÀ£ÀÄß JµÀÄÖ ¸ÀÄ®¨sÀªÁV¹zÉ JA§ÄzÀ£ÀÄß ªÀÄ£ÀUÁtÄ«j
(ii) 9832 – 172 = (983 + 17) (983 – 17)
[E°è a = 983, b =17 ªÀÄvÀÄÛ
a2 – b2 = (a + b) (a – b)
DzÀÝjAzÀ, 9832 – 172 = 1000 × 966
= 966000
(iii) 194 × 206 = (200 – 6) × (200 + 6) = 2002 – 62 = 40000 – 36 = 39964.GzÁºÀgÀuÉ 14 : (x + a) (x + b) = x2 + (a + b) x + ab ¤vÀå ¸À«ÄÃPÀgÀt §¼À¹
PɼÀV£ÀªÀÅUÀ¼À£ÀÄß PÀAqÀÄ »r¬Äj.
(i) 501 × 502 (ii) 95 × 103. ¥ÀjºÁgÀ : (i) 501 × 502 = (500 + 1) × (500 + 2) = 5002 + (1 + 2) × 500 + 1 × 2 = 250000 + 1500 + 2 = 251502 (ii) 95 × 103 = (100 – 5) × (100 + 3) = 1002 + (–5 + 3) × 100 + (–5) × 3 = 10000 + (– 2) × 100 – 15 = 10000 – 200 – 15 = 9785.
C¨sÁå¸À 6.5
1. PɼÀV£ÀªÀÅUÀ¼À UÀÄt®§ÞUÀ¼À£ÀÄß ¸ÀÆPÀÛ ¤vÀå¸À«ÄÃPÀgÀt §¼À¹ PÀAqÀÄ»r¬Äj.
(i) (x + 3) (x + 3) (ii) (2y + 5) (2y + 5)
(iii) (2a – 7) (2a – 7) (iv) 1 1
3 32 2
a a − −
(v) (1.1m – 0.4) (1.1m + 0.4) (vi) (a2 + b2) (– a2 + b2)
(vii) (6x – 7) (6x + 7) (viii) (– a + c) (– a + c)
(ix) 3 3
2 4 2 4
x y x y + + (x) (7a – 9b) (7a – 9b)
©ÃeÉÆÃQÛUÀ¼ÀÄ ªÀÄvÀÄÛ ¤vÀå ¸À«ÄÃPÀgÀtUÀ¼ÀÄ 133
2. (x + a) (x + b) = x2 + (a + b) x + ab ¤vÀå¸À«ÄÃPÀgÀt §¼À¹ PɼÀV£ÀªÀÅUÀ¼À UÀÄt®§Þ PÀAqÀÄ»r¬Äj.
(i) (x + 3) (x + 7) (ii) (4x + 5) (4x + 1) (iii) (4x – 5) (4x – 1) (iv) (4x + 5) (4x – 1) (v) (2x + 5y) (2x + 3y) (vi) (2a2 + 9) (2a2 + 5)
(vii) (xyz – 4) (xyz – 2) 3. PɼÀV£ÀªÀÅUÀ¼À ªÀUÀðUÀ¼À£ÀÄß ¤vÀå¸À«ÄÃPÀgÀt §¼À¹ PÀAqÀÄ»r¬Äj.
(i) (b – 7)2 (ii) (xy + 3z)2 (iii) (6x2 – 5y)2
(iv) 2
2 3
3 2
m n + (v) (0.4p – 0.5q)2 (vi) (2xy + 5y)2
4. ¸ÀAPëÉæ¹. (i) (a2 – b2)2 (ii) (2x + 5)2 – (2x – 5)2
(iii) (7m – 8n)2 + (7m + 8n)2 (iv) (4m + 5n)2 + (5m + 4n)2 (v) (2.5p – 1.5q)2 – (1.5p – 2.5q)2 (vi) (ab + bc)2 – 2ab2c (vii) (m2 – n2m)2 + 2m3n2 5. EªÀÅUÀ¼À£ÀÄß ¸Á¢ü¹.
(i) (3x + 7)2 – 84x = (3x – 7)2 (ii) (9p – 5q)2 + 180pq = (9p + 5q)2
(iii) 2
2 24 3 16 92
3 4 9 16
m nmn m n − + = +
(iv) (4pq + 3q)2 – (4pq – 3q)2 = 48pq2 (v) (a – b) (a + b) + (b – c) (b + c) + (c – a) (c + a) = 0 6. ¤vÀå¸À«ÄÃPÀgÀtUÀ¼À£ÀÄß §¼À¹ PɼÀV£ÀªÀÅUÀ¼À ¨É¯É PÀAqÀÄ»r¬Äj.
(i) 712 (ii) 992 (iii) 1022 (iv) 9982 (v) 5.22 (vi) 297 × 303 (vii) 78 × 82 (viii) 8.92 (ix) 10.5 × 9.5 7. a2 – b2 = (a + b) (a – b) ¤vÀå¸À«ÄÃPÀgÀt §¼À¹ PɼÀV£ÀªÀÅUÀ¼À ¨É¯É PÀAqÀÄ»r¬Äj.
(i) 512 – 492 (ii) (1.02)2 – (0.98)2 (iii) 1532 – 1472 (iv) 12.12 – 7.92 8. (x + a) (x + b) = x2 + (a + b) x + ab §¼À¹PÉÆAqÀÄ PɼÀV£ÀªÀÅUÀ¼À£ÀÄß PÀAqÀÄ»r¬Äj. (i) 103 × 104 (ii) 5.1 × 5.2 (iii) 103 × 98 (iv) 9.7 × 9.8
134 UÀtÂvÀ
¸ÁgÁA±À
1. ©ÃeÉÆÃQÛUÀ¼ÀÄ, ZÀgÁPÀëgÀUÀ¼ÀÄ ªÀÄvÀÄÛ ¹ÜgÁAPÀUÀ½AzÀ GAmÁVªÉ.
2. ©Ãd¥ÀzÀUÀ¼ÀÄ ¸ÀAPÀ®£ÀzÀ ªÀÄÆ®PÀ ©ÃeÉÆÃQÛUÀ¼ÁVªÉ. C¥ÀªÀvÀð£ÀUÀ¼À UÀÄt®§Þ¢AzÀ ©Ãd¥ÀzÀUÀ¼ÀÄ GAmÁUÀÄvÀÛªÉ.
3. MAzÀÄ, JgÀqÀÄ ªÀÄvÀÄ Û ªÀÄÆgÀÄ ¥ÀzÀUÀ¼À£ÀÄß ºÉÆA¢gÀĪÀ ©ÃeÉÆÃQÛUÀ¼À£ÀÄß PÀæªÀĪÁV KPÀ¥ÀzÉÆÃQÛ, ¢é¥ÀzÉÆÃQÛ ªÀÄvÀÄÛ wæ¥ÀzÉÆÃQÛ J£ÀÄߪÀgÀÄ. ¸ÁªÀiÁ£ÀåªÁV, ±ÀÆ£ÀåªÀ®èzÀ ¸ÀºÀUÀÄtPÀ ºÉÆA¢gÀĪÀ, IÄuÁvÀäPÀªÀ®èzÀ ¥ÀÆuÁðAPÀ WÁvÀ¸ÀÆa ºÉÆA¢gÀĪÀ ZÀgÁPÀëgÀUÀ¼À£ÀÉÆß¼ÀUÉÆAqÀ MAzÀÄ CxÀªÁ MAzÀQÌAvÀ ºÉZÀÄÑ ¥ÀzÀUÀ½AzÁzÀ ©ÃeÉÆÃQÛAiÀÄ£ÀÄß §ºÀÄ¥ÀzÉÆÃQÛ J£ÀÄߪÀgÀÄ.
4. ZÀgÁPÀëgÀUÀ¼ÀÄ ªÀÄvÀÄÛ CªÀÅUÀ¼À WÁvÀ¸ÀÆaUÀ¼ÀÄ ¸ÀªÀÄ£ÁVgÀĪÀ ©Ãd¥ÀzÀUÀ½UÉ ¸ÀeÁw ¥ÀzÀUÀ¼ÀÄ J£ÀÄßvÉÛêÉ. ¸ÀeÁw ¥ÀzÀUÀ¼À ¸ÀASÁå¸ÀºÀUÀÄtPÀ MAzÉà DVgÀ¨ÉÃPÉA¢®è.
5. §ºÀÄ¥ÀzÉÆÃQÛUÀ¼À£ÀÄß PÀÆqÀĪÁUÀ CxÀªÁ PÀ¼ÉAiÀÄĪÁUÀ ªÉÆzÀ®Ä ¸ÀeÁw ¥ÀzÀUÀ¼À£ÀÄß PÀÆqÀ¨ÀÉÃPÀÄ CxÀªÁ PÀ¼ÉAiÀĨÉÃPÀÄ. £ÀAvÀgÀ «eÁw ¥ÀzÀUÀ¼À£ÀÄß UÀªÀĤ¸À¨ÉÃPÀÄ.
6. £ÁªÀÅ ©ÃeÉÆÃQÛUÀ¼À£ÀÀÄß UÀÄuÁPÁgÀ ªÀiÁqÀ¨ÉÃPÁzÀ C£ÉÃPÀ ¸ÀAzÀ¨sÀðUÀ¼À£ÀÄß PÁtÄvÉÛêÉ. GzÁ: MAzÀÄ DAiÀÄvÀzÀ GzÀÝ ªÀÄvÀÄÛÛ CUÀ®UÀ¼ÀÄ ©ÃeÉÆÃQÛUÀ¼ÁVzÀÝgÉ CzÀgÀ «¹ÃÛtð PÀAqÀÄ»rAiÀĨÉÃPÁzÁUÀ CªÀÅUÀ¼À£ÀÄß UÀÄt¸ÀÄvÉÛêÉ.
7. MAzÀÄ KPÀ¥ÀzÉÆÃQÛAiÀÄ£ÀÄß E£ÉÆßAzÀÄ KPÀ¥ÀzÉÆÃQÛ¬ÄAzÀ UÀÄt¹zÁUÀ §gÀĪÀ UÀÄt®§ÞªÀÇ ¸ÀºÀ KPÀ¥ÀzÉÆÃQÛ.
8. £ÁªÀÅ MAzÀÄ §ºÀÄ¥ÀzÉÆÃQÛAiÀÄ£ÀÄß KPÀ¥ÀzÉÆÃQÛ¬ÄAzÀ UÀÄt¸ÀĪÁUÀ §ºÀÄ¥ÀzÉÆÃQÛAiÀÄ ¥ÀæwAiÉÆAzÀÄ ¥ÀzÀªÀ£ÀÆß KPÀ¥ÀzÉÆÃQÛ¬ÄAzÀ UÀÄt¸ÀÄvÉÛêÉ.
9. §ºÀÄ¥ÀzÉÆÃQÛAiÀÄ£ÀÄß ¢é¥ÀzÉÆÃQÛ CxÀªÁ wæ¥ÀzÉÆÃQÛ¬ÄAzÀ UÀÄt¸ÀĪÁUÀ ¥ÀzÀªÁgÀÄ UÀÄuÁPÁgÀ ªÀiÁqÀ¨ÉÃPÀÄ. CAzÀgÀÉ §ºÀÄ¥ÀzÉÆÃQÛAiÀÄ ¥ÀæwAiÉÆAzÀÄ ¥ÀzÀªÀ£ÀÄß ¢é¥ÀzÉÆÃQÛ CxÀªÁ wæ¥ÀzÉÆÃQÛAiÀÄ ¥ÀæwAiÉÆAzÀÄ ¥ÀzÀ¢AzÀ UÀÄt¸À¨ÉÃPÀÄ. F jÃw §AzÀ UÀÄt®§ÞUÀ¼À°è ¸ÀeÁwÃAiÀÄ ¥ÀzÀUÀ¼ÀÄ EzÀÝgÉ CªÀÅUÀ¼À£ÀÄß PÀÆqÀ¨ÀÉÃPÀÄ.
10. ¤vÀå¸À«ÄÃPÀgÀtªÀÅ MAzÀÄ ¸ÀªÀÄvÉAiÀiÁVzÀÄÝ EzÀÄ ZÀgÁPÀëgÀzÀ J¯Áè ¨É¯ÉUÀ½UÉ ¤dªÁVgÀÄvÀÛzÉ. E£ÉÆßAzÀÄ «zsÀzÀ°è ºÉüÀĪÀÅzÁzÀgÉ ZÀgÁPÀëgÀUÀ¼À PÉ®ªÀÅ ¤¢ðµÀÖ ¨É¯ÉUÀ½UÉ ªÀiÁvÀæ ¤dªÁVgÀĪÀ ¸À«ÄÃPÀgÀtªÀÅ ¤vÀå¸À«ÄÃPÀgÀtªÁUÀĪÀÅ¢®è.
11. PɼÀV£ÀªÀÅUÀ¼ÀÄ ªÀiÁ£ÀPÀ ¤vÀå¸À«ÄÃPgÀÀtUÀ¼ÁVªÉ.
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2 .........(I) (a – b)2 = a2 – 2ab + b2 ........(II) (a + b) (a – b) = a2 – b2 ....... (III) 12. E£ÉÆßAzÀÄ G¥ÀAiÀÄÄPÀÛ ¤vÀå¸À«ÄÃPÀgÀtªÉAzÀgÉ,
(x + a) (x + b) = x2 + (a + b) x + ab .......(IV) 13. ªÉÄð£À £Á®ÄÌ ¤vÀå¸À«ÄÃPÀgÀtUÀ¼ÀÄ ©ÃeÉÆÃQÛUÀ¼À ªÀUÀð ªÀÄvÀÄÛ UÀÄt®§ÞUÀ¼À£ÀÄß
PÀAqÀÄ»rAiÀÄ®Ä G¥ÀAiÀÄÄPÀÛªÁVªÉ. EªÀÅ ¸ÀASåÉUÀ¼À UÀÄt®§Þ EvÁå¢UÀ¼À£ÀÀÄß PÀAqÀÄ»rAiÀÄ®Æ ¸ÀºÀ ¸ÀgÀ¼ÀªÁzÀ ¥ÀgÁåAiÀÄ «zsÁ£ÀUÀ¼ÁVªÉ.
7.1 ¦ÃpPÉ :
K¼À£Éà vÀgÀUÀwAiÀÄ°è wæ¨sÀÄd gÀZÀ£ÉAiÀÄ£ÀÄß PÀ°w¢ÝÃj. MAzÀÄ ¤¢ðµÀÖ wæ¨sÀÄdªÀ£ÀÄß gÀa¸À®Ä £ÀªÀÄUÉ ¨ÁºÀÄ ªÀÄvÀÄÛ PÉÆãÀUÀ¼À ªÀÄÆgÀÄ C¼ÀvÉUÀ¼ÀÄ ¨ÉÃPÀÄ.
ªÀÄÆgÀÄ C¼ÀvÉUÀ¼ÀÄ wæ¨sÀÄd gÀZÀ£ÉUÉ ¸ÁPÁUÀĪÀÅzÀjAzÀ MAzÀÄ ¤¢ðµÀÖ ZÀvÀĨsÀÄðdªÀ£ÀÄß gÀa¸À®Ä £Á®ÄÌ C¼ÀvÉUÀ¼ÀÄ ¸ÁPÉà ? JA§ ¸ÀºÀd ¥Àæ±Éß £ÀªÀÄä°è K¼ÀÄvÀÛzÉ.
ªÀiÁr £ÉÆÃr
10 ¸ÉA. «ÄÃ. GzÀÝ«gÀĪÀ 2 ºÁUÀÆ 8 ¸ÉA.«ÄÃ. GzÀÝzÀ 2 PÀrØUÀ¼À£ÀÄß vÉUÉzÀÄPÉƽî. 10 ¸ÉA.«ÄÃ. GzÀÝ ªÀÄvÀÄÛ 8 ÉA.«ÄÃ. CUÀ®«gÀĪÀ DAiÀÄvÁPÁgÀzÀ°è F £Á®ÆÌ PÀrØUÀ¼À£ÀÄß §A¢ü¹r. (avÀæ 7.1)
10 ¸ÉA.«ÄÃ.
8 ¸ÉA.«ÄÃ. 8 ¸ÉA.«ÄÃ.
10 ¸ÉA.«ÄÃ.
A
B C
D
avÀæ 7.1
PÉÆlÖ 4 C¼ÀvÉUÀ½AzÀ F DAiÀÄvÀªÀ£ÀÄß gÀa¸À¯ÁVzÉ. FUÀ, F PÀrØ DPÀÈwAiÀÄ CUÀ®ªÀ£ÀÄß »rzÀÄ §®UÀqÉUÉ vÀ½îj. (avÀæ 7.2) FUÀ DAiÀÄvÀªÀÅ ¸ÀªÀiÁAvÀgÀ ZÀvÀĨsÀÄðdªÁUÀĪÀÅzÀ£ÀÄß UÀªÀĤ¹. PÀrØUÀ¼À£ÀÄß §zÀ¯Á¬Ä¹¢ÝgÁ? E®è. CªÀÅUÀ¼À C¼ÀvÉUÀ¼ÀÄ ºÁUÉAiÉÄà G½¢ªÉ.
A
B
D
C
10 ¸ÉA.«ÄÃ.
8 ¸ÉA.«ÄÃ. 8 ¸ÉA.«ÄÃ.
10 ¸ÉA.«ÄÃ.
avÀæ 7.2
EzÉà jÃw F ¸ÀªÀiÁAvÀgÀ ZÀvÀĨsÀÄðdªÀ£ÀÄß ªÀÄvÉÆÛAzÀÄ ªÀÄUÀÄΰUÉ vÀ½îj. (avÀæ 7.3) FUÀ avÀæ 7.2 gÀ°ègÀĪÀÅzÀQÌAvÀ ÉÃgÉÆAzÀÄ ¸ÀªÀiÁAvÀgÀ ZÀvÀĨsÀÄðdªÀ£ÀÄß ¥ÀqÉAiÀÄÄwÛÃj. FUÀ®Æ ¸ÀºÀ £Á®ÆÌ C¼ÀvÉUÀ¼ÀÄ ºÁUÉAiÉÄà G½¢ªÉ.
B
A D
C
10 ¸ÉA.«ÄÃ.
8 ¸ÉA.«ÄÃ. 8 ¸ÉA.«ÄÃ.
10 ¸ÉA.«ÄÃ.
avÀæ 7.3
CzsÁåAiÀÄ
7¥ÁæAiÉÆÃVPÀ gÉÃSÁUÀtÂvÀ
136 UÀtÂvÀ
¤¢ðµÀÖ ZÀvÀĨsÀÄðdªÉÇAzÀ£ÀÄß gÀa¸À®Ä PÉêÀ® 4 C¼ÀvÉUÀ¼ÀÄ ÁPÁUÀĪÀÅ¢®èªÉA§ÄzÀÄ EzÀjAzÀ w½AiÀÄÄvÀÛzÉ. 5 C¼ÀvÉUÀ¼ÀÄ ¸ÁPÁUÀĪÀÅzÉ ? EzÀ£ÀÄß w½AiÀÄ®Ä ªÀÄvÉÛ ªÉÆzÀ°£À ZÀlĪÀnPÉAiÀÄ£Éßà ¥Àj²Ã°¸ÉÆÃt.
4 PÀrØUÀ¼À£ÀÄß §¼À¹ 10 ÉA.«ÄÃ. GzÀÝ ªÀÄvÀÄÛ 8 ÉA.«ÄÃ. CUÀ®«gÀĪÀ DAiÀÄvÀªÀ£ÀÄß gÀa¹¢ÝÃj. FUÀ CzÀgÀ PÀtð BD AiÀÄ GzÀÝzÀµÀÄÖ PÀrØAiÀÄ£ÀÄß CzÉà PÀtðzÀ ªÉÄÃ¯É ElÄÖ PÀnÖj. (avÀæ 7.4)
10 ¸ÉA.«ÄÃ.
10 ¸ÉA.«ÄÃ.
8¸ÉA.«ÄÃ. 8
¸ÉA.«ÄÃ.
avÀæ 7.4
F jÃw 5£Éà PÀrØAiÀÄ£ÀÄß eÉÆÃr¹zÀ £ÀAvÀgÀ ªÉÆzÀ°£ÀAvÉ ¤ÃªÀÅ DAiÀÄvÀªÀ£ÀÄß vÀ¼Àî®Ä ¥ÀæAiÀÄwß¹. ¸ÁzsÀåªÁ¬ÄvÉà ? E®è. CAzÀgÉ. F 5 PÀrØUÀ½AzÀ MAzÀÄ ¤¢ðµÀÖ ZÀvÀĨsÀÄðdzÀ (E°è DAiÀÄvÀ) gÀZÀ£É ¸ÁzsÀåªÁ¬ÄvÀÄ. F jÃwAiÀÄ PÀrØUÀ¼À eÉÆÃqÀuɬÄAzÀ ¨ÉÃgÉ ZÀvÀĨsÀÄðd gÀZÀ£É ¸ÁzsÀå«®è.
DzÀÝjAzÀ MAzÀÄ ¤¢ðµÀÖ ZÀvÀĨsÀÄðdªÀ£ÀÄß 5 C¼ÀvÉUÀ½AzÀ gÀa¸À®Ä ÁzsÀåªÉA§ÄzÀ£ÀÄß £ÁªÀÅ UÀªÀĤ¹zɪÀÅ. DzÀgÉ ¨ÁºÀÄUÀ¼À ªÀÄvÀÄÛ PÉÆãÀUÀ¼À AiÀiÁªÀÅzÉà 5 C¼ÀvÉUÀ½AzÀ EzÀÄ ¸ÁzsÀåªÁUÀĪÀÅzÉà ?
AiÉÆÃa¹, ZÀað¹ ªÀÄvÀÄÛ §gɬÄj
ABCD ZÀvÀĨsÀÄðdzÀ 5 C¼ÀvÉUÀ¼À£ÀÄß CµÀðzÀ¤UÉ PÉÆnÖzÉ. CªÀÅUÀ¼ÀÄ F jÃw
EªÉ, AB = 5 ¸ÉA.«ÄÃ., �A = °50 , AC = 4 ¸ÉA.«ÄÃ., BD = 5 ¸ÉA.«ÄÃ.,
ªÀÄvÀÄÛ AD = 6 ¸ÉA.«ÄÃ., EªÀÅUÀ½AzÀ CªÀ£ÀÄ MAzÀÄ ¤¢ðµÀÖ ZÀvÀĨsÀÄðªÀ£ÀÄß gÀa¸À®Ä ¸ÁzsÀåªÉ? PÁgÀt ¸À»vÀ GvÀÛgÀ ¤Ãr.
7.2 ZÀvÀĨsÀÄðd gÀZÀ£É :
PɼÀV£À C¼ÀvÉUÀ¼À£ÀÄß §¼À¹ MAzÀÄ ¤¢ðµÀÖ ZÀvÀĨsÀÄðdªÀ£ÀÄß gÀa¸ÀĪÀ «zsÁ£ÀªÀ£ÀÄß PÀ°AiÉÆÃt.
• 4 ¨sÀÄdUÀ¼ÀÄ ªÀÄvÀÄÛ 1 PÀtðªÀ£ÀÄß PÉÆmÁÖUÀ
• 2 PÀtðUÀ¼ÀÄ ªÀÄvÀÄÛ 3 ¨sÀÄdUÀ¼À£ÀÄß PÉÆmÁÖUÀ
• 2 ¥Á±Àéð ¨sÀÄdUÀ¼ÀÄ ªÀÄvÀÄÛ 3 PÉÆãÀUÀ¼À£ÀÄß PÉÆmÁÖUÀ • 3 ¨sÀÄdUÀ¼ÀÄ ªÀÄvÀÄÛ 2 £ÀqÀÄ«£À PÉÆãÀUÀ¼À£ÀÄß PÉÆmÁÖUÀ • EvÀgÉ «±ÉõÀ UÀÄt®PÀëtUÀ¼À£ÀÄß PÉÆmÁÖUÀ
EªÀÅUÀ¼À£ÀÄß MAzÉÆAzÁV vÉUÉzÀÄPÉƼÉÆîÃt.
¥ÁæAiÉÆÃVPÀ gÉÃSÁUÀtÂvÀ 137
7.2.1 £Á®ÄÌ ¨sÀÄdUÀ¼ÀÄ ªÀÄvÀÄÛ MAzÀÄ PÀtðªÀ£ÀÄß PÉÆmÁÖUÀ
MAzÀÄ GzÁºÀgÀuÉAiÀÄ ªÀÄÆ®PÀ F gÀZÀ£ÉAiÀÄ£ÀÄß «ªÀj¸ÉÆÃt.
GzÁºÀgÀuÉ 1 : PQ = 4 ÉA.«ÄÃ, QR = 6 ÉA.«ÄÃ, RS = 5 ¸ÉA.«ÄÃ, PS = 5.5 ¸ÉA.«Äà ªÀÄvÀÄÛ PR = 7 ¸ÉA.«Äà EgÀĪÀAvÉ PQRS ZÀvÀĨsÀÄðdªÀ£ÀÄß gÀa¹.
¥ÀjºÁgÀ : [¨ÉÃPÁzÀ ZÀvÀĨsÀÄðdªÀ£ÀÄß awæ¹PÉƼÀî®Ä £ÀªÀÄUÉ MAzÀÄ PÀZÁÑ avÀæªÀÅ £ÉgÀªÀÅ ¤ÃqÀÄvÀÛzÉ. ªÉÆzÀ®Ä EzÀ£ÀÄß J¼ÉzÀÄ C¼ÀvÉUÀ¼À£ÀÄß UÀÄgÀÄvÀÄ ªÀiÁqÀÄvÉÛêÉ. (avÀæ 7.5)]
4¸ÉA
.«ÄÃ.
Q
6¸ÉA.«ÄÃ.
5¸ÉA.«ÄÃ.5.5
¸ÉA.«ÄÃ.
7 ¸ÉA.«ÄÃ.P R
S
avÀæ 7.5 (C¼ÀvÉUÀ¼ÀÄ ¸ÉA.«ÄÃ.UÀ¼À°è)
ºÀAvÀ 1 : PÀZÁÑ avÀæ¢AzÀ DPQR£ÀÄß Á. Á. ¨Á. ¤§AzsÀ£É¬ÄAzÀ gÀa¸À§ºÀÄzÀÄ. DPQR£ÀÄß gÀa¹. (avÀæ 7.6)
6¸ÉA.«ÄÃ.
7 ¸ÉA.«ÄÃ.
4¸ÉA
.«ÄÃ.
Q
P R
avÀæ 7.6 (C¼ÀvÉUÀ¼ÀÄ ¸ÉA.«ÄÃ.UÀ¼À°è)
ºÀAvÀ 2 : FUÀ £ÁªÀÅ 4 £Éà ©AzÀÄ S £ÀÄß UÀÄgÀÄw¸À¨ÉÃPÀÄ. F ©AzÀÄ S, PR £À MAzÀÄ §¢AiÀÄ°ègÀĪÀ Q ©AzÀÄ«£À «gÀÄzÀÞ ¢QÌ£À°ègÀÄvÀÛzÉ. EzÀ£ÀÄß UÀÄgÀÄw¸À®Ä £ÀªÀÄUÉ 2 C¼ÀvÉUÀ¼ÀÄ w½¢ªÉ. S ©AzÀÄ P ©AzÀÄ«¤AzÀ 5.5 ¸ÉA.«Äà zÀÆgÀzÀ°èzÉ. DzÀÝjAzÀ P ©AzÀĪÀ£ÀÄß PÉÃAzÀæªÀ£ÁßV¹ 5.5 ¸ÉA.«ÄÃ. wædåªÀ£ÁßV¹ MAzÀÄ PÀA¸ÀªÀ£ÀÄß J¼É¬Äj. (S ©AzÀĪÀÅ F PÀA¸ÀzÀ ªÉÄðzÉ)
6¸ÉA.«ÄÃ.
7 ¸ÉA.«ÄÃ.
4¸ÉA
.«ÄÃ.
Q
P R
avÀæ 7.7 (C¼ÀvÉUÀ¼ÀÄ ¸ÉA.«ÄÃ.UÀ¼À°è)
138 UÀtÂvÀ
ºÀAvÀ 3 : S ©AzÀÄ R ©AzÀÄ«¤AzÀ 5 ¸ÉA.«Äà zÀÆgÀzÀ°èzÉ. DzÀÝjAzÀ R ©AzÀĪÀ£ÀÄß PÉÃAzÀæªÀ£ÁßV¹ 5 ¸ÉA.«ÄÃ. wædåªÀ£ÁßV¹ MAzÀÄ PÀA¸ÀªÀ£ÀÄß J¼É¬Äj. (S ©AzÀĪÀÅ F PÀA¸ÀzÀ ªÉÄÃ®Æ EzÉ.) (avÀæ 7.8)
6¸ÉA.«ÄÃ.
4¸ÉA
.«ÄÃ.
7 ¸ÉA.«ÄÃ.P R
Q
avÀæ 7.8 (C¼ÀvÉUÀ¼ÀÄ ¸ÉA.«ÄÃ.UÀ¼À°è)
ºÀAvÀ 4 : S ªÉÄÃ¯É J¼ÉzÀ JgÀqÀÆ PÀA¸ÀUÀ¼À ªÉÄðgÀĪÀÅzÀjAzÀ CzÀÄ CªÉgÀqÀgÀ bÉÃzÀ£À ©AzÀĪÉà DVgÀ¨ÉÃPÀÄ. S £ÀÄß UÀÄgÀÄvÀĪÀiÁr PQRS £ÀÄß ¸ÀA¥ÀÇtðUÉƽ¹. FUÀ PQRS £ÀªÀÄUÉ ÉÃPÁzÀ ZÀvÀĨsÀÄðd. (avÀæ 7.9)
5.5¸ÉA.«ÄÃ. 5
¸ÉA.«ÄÃ.
6¸ÉA.«ÄÃ.
4¸ÉA
.«ÄÃ.
P
Q
R
S
7 ¸ÉA.«ÄÃ.
avÀæ 7.9 (C¼ÀvÉUÀ¼ÀÄ ¸ÉA.«ÄÃ.UÀ¼À°è)
AiÉÆÃa¹, ZÀað¹ ªÀÄvÀÄÛ §gɬÄj
1. 5 C¼ÀvÉUÀ½AzÀ MAzÀÄ ¤¢ðµÀÖ ZÀvÀĨsÀÄðdªÀ£ÀÄß gÀa¸À§ºÀÄzÉAzÀÄ £ÁªÀÅ w½zɪÀÅ. AiÀiÁªÀÅzÉà 5 C¼ÀvÉUÀ½AzÀ F jÃw MAzÀÄ ¤¢ðµÀÖ ZÀvÀĨsÀÄðdªÀ£ÀÄß gÀa¸À®Ä ¸ÁzsÀåªÉÃ?
2. BA = 5 ÉA.«ÄÃ, AT = 6 ÉA.«ÄÃ., ªÀÄvÀÄÛ AS = 6.5 ÉA.«ÄÃ. EgÀĪÀAvÉ BATS ¸ÀªÀiÁAvÀgÀ ZÀvÀĨsÀÄðdªÀ£ÀÄß gÀa¸À®Ä ¸ÁzsÀåªÉÃ? PÁgÀt w½¹.
3. ZE = 3.5 ¸ÉA.«ÄÃ., ªÀÄvÀÄÛ PÀtð EL = 5 ¸ÉA.«ÄÃ., EgÀĪÀ ZEAL ªÀeÁæPÀÈwAiÀÄ£ÀÄß gÀa¸À®Ä ¸ÁzsÀåªÉà ? PÁgÀt w½¹.
4. M§â «zÁåyðAiÀÄÄ PL = 3 ÉA.«ÄÃ., LA = 4 ÉA.«ÄÃ., AY = 4.5 ÉA.«ÄÃ., PY = 2 ÉA.«ÄÃ., ªÀÄvÀÄÛ LY = 6 ÉA.«Äà EgÀĪÀAvÉ PLAY ZÀvÀĨsÀÄðdªÀ£ÀÄß J¼ÉAiÀÄ®Ä ¥ÀæAiÀÄwß¹zÀ£ÀÄ. DzÀgÉ CzÀÄ ¸ÁzsÀåªÁUÀ°®è. PÁgÀtªÉãÀÄ?
[¸ÀÆZÀ£É : PÀZÁÑ avÀæzÉÆA¢UÉ ZÀað¹.]
¥ÁæAiÉÆÃVPÀ gÉÃSÁUÀtÂvÀ 139
C¨sÁå¸À 7.1
1. PɼÀV£À ZÀvÀĨsÀÄðdUÀ¼À£ÀÄß gÀa¹ :
(i) ZÀvÀĨsÀÄðd ABCD (ii) ZÀvÀĨsÀÄðd JUMP AB = 4.5 ¸ÉA.«ÄÃ. JU = 3.5 ¸ÉA.«ÄÃ. BC = 5.5 ¸ÉA.«ÄÃ. UM = 4 ¸ÉA.«ÄÃ. CD = 4 ¸ÉA.«ÄÃ. MP = 5 ¸ÉA.«ÄÃ. AD = 6 ¸ÉA.«ÄÃ. PJ = 4.5 ¸ÉA.«ÄÃ. AC = 7 ¸ÉA.«ÄÃ. PU = 6.5 ¸ÉA.«ÄÃ. (iii) ¸ÀªÀiÁAvÀgÀ ZÀvÀĨsÀÄðd MORE (iv) ªÀeÁæPÀÈw BEST OR = 6 ¸ÉA.«ÄÃ. BE = 4.5 ¸ÉA.«ÄÃ. RE = 4.5 ¸ÉA.«ÄÃ. ET = 6 ¸ÉA.«ÄÃ. EO = 7.5 ¸ÉA.«ÄÃ.
7.2.2 JgÀqÀÄ PÀtðUÀ¼ÀÄ ªÀÄvÀÄÛ ªÀÄÆgÀÄ ¨ÁºÀÄUÀ¼À£ÀÄß PÉÆmÁÖUÀ
£Á®ÄÌ ¨ÁºÀÄUÀ¼ÀÄ ªÀÄvÀÄÛ MAzÀÄ PÀtðªÀ£ÀÄß PÉÆmÁÖUÀ ªÉÆzÀ®Ä MAzÀÄ wæ¨sÀÄdªÀ£ÀÄß gÀa¹ D£ÀAvÀgÀ £Á®Ì£É ©AzÀĪÀ£ÀÄß PÀAqÀÄ»rAiÀÄ®Ä ¥ÀæAiÀÄwß¹zɪÀÅ. CzÉà «zsÁ£ÀªÀ£ÀÄß E°èAiÀÄÆ C£ÀĸÀj¸ÀÄvÉÛêÉ.
GzÁºÀgÀuÉ 2 : BC = 4.5 ¸ÉA.«ÄÃ., AD = 5.5 ¸ÉA.«ÄÃ., CD = 5 ¸ÉA.«ÄÃ., PÀtð AC = 5.5 ¸ÉA.«ÄÃ. ªÀÄvÀÄÛ PÀtð BD = 7 ¸ÉA.«ÄÃ. EgÀĪÀ ABCD wæ¨sÀÄdªÀ£ÀÄß gÀa¹
¥ÀjºÁgÀ : E°ègÀĪÀ PÀZÁÑ avÀæzÀ°è ZÀvÀĨsÀÄðd (avÀæ 7.10) ABCD EzÉ. EzÀjAzÀ DACD AiÀÄ£ÀÄß gÀa¸À§ºÀÄzÉAzÀÄ ¸ÀÄ®¨sÀªÁV w½AiÀħºÀÄzÀÄ (ºÉÃUÉ?)
5¸ÉA.«ÄÃ.
7 ¸ÉA.«ÄÃ.
5.5¸ÉA.«ÄÃ.
5.5
¸ÉA.«ÄÃ.
4.5 ¸ÉA.«ÄÃ.
avÀæ 7.10 (C¼ÀvÉUÀ¼ÀÄ ÉA.«ÄÃ.UÀ¼À°è)
ºÀAvÀ 1 : ¨Á. ¨Á. ¨Á. gÀZÀ£Á «zsÁ£ÀªÀ£ÀÄß §¼À¹ DACD AiÀÄ£ÀÄß gÀa¹ (avÀæ 7.11). FUÀ C ©AzÀÄ«¤AzÀ 4.5 ¸ÉA.«ÄÃ. ªÀÄvÀÄÛ D ©AzÀÄ«¤AzÀ 7 ¸ÉA.«ÄÃ. zÀÆgÀUÀ¼À°ègÀĪÀ B ©AzÀĪÀ£ÀÄß PÀAqÀÄ»rAiÀĨÉÃPÁVzÉ. 5.
5 ¸ÉA.«ÄÃ.
5.5 ¸ÉA.«ÄÃ.
5¸ÉA.«
ÄÃ.
A C
D
avÀæ 7.11 (C¼ÀvÉUÀ¼ÀÄ ¸ÉA.«ÄÃ.UÀ¼À°è)
140 UÀtÂvÀ
ºÀAvÀ 2 : D ©AzÀĪÀ£ÀÄß PÉÃAzÀæªÁVj¹ 7 ¸ÉA.«ÄÃ. wædåªÀżÀî MAzÀÄ PÀA¸ÀªÀ£ÀÄß J¼É¬Äj. (avÀæ 7.12) B ©AzÀĪÀÅ F PÀA¸ÀzÀ ªÉÄðzÉ.
5.5 ¸ÉA.«ÄÃ.
5.5 ¸ÉA.«ÄÃ.
5¸ÉA.«
ÄÃ.D
A C
avÀæ 7.12 (C¼ÀvÉUÀ¼ÀÄ ÉA.«ÄÃ.UÀ¼À°è)
ºÀAvÀ 3 : C ©AzÀĪÀ£ÀÄß PÉÃAzÀæªÁVj¹ 4.5 ¸ÉA.«ÄÃ. wædåªÀżÀî MAzÀÄ PÀA¸ÀªÀ£ÀÄß J¼É¬Äj. (avÀæ 7.13) B ©AzÀĪÀÅ F PÀA¸ÀzÀ ªÉÄÃ®Æ EzÉ.
5.5¸ÉA.«ÄÃ.
5.5 ¸ÉA.«ÄÃ.
5¸ÉA.«
ÄÃ.
D
A C
avÀæ 7.13 (C¼ÀvÉUÀ¼ÀÄ ÉA.«ÄÃ.UÀ¼À°è)
ºÀAvÀ 4 : B ©AzÀĪÀÅ ªÉÄÃ¯É J¼ÉzÀ JgÀqÀÆ PÀA¸ÀUÀ¼À ªÉÄðgÀĪÀÅzÀjAzÀ CzÀÄ CªÉgÀqÀgÀ bÉÃzÀ£À ©AzÀĪÉà DVgÀ¨ÉÃPÀÄ. B ©AzÀĪÀ£ÀÄß UÀÄgÀÄvÀĪÀiÁr ABCD £ÀÄß ¸ÀA¥ÀÇtðUÉƽ¹. FUÀ ABCD £ÀªÀÄUÉ ¨ÉÃPÁzÀ ZÀvÀĨsÀÄðd. (avÀæ 7.14)
4¸ÉA.«ÄÃ.
D
A C
B
5.5¸ÉA.«ÄÃ. 5
¸ÉA.«ÄÃ.
5.5 ¸ÉA.«ÄÃ.
7¸ÉA.«ÄÃ.
avÀæ 7.14 (C¼ÀvÉUÀ¼ÀÄ ÉA.«ÄÃ.UÀ¼À°è)
¥ÁæAiÉÆÃVPÀ gÉÃSÁUÀtÂvÀ 141
AiÉÆÃa¹, ZÀað¹ ªÀÄvÀÄÛ §gɬÄj
1. ªÉÄð£À GzÁºÀgÀuɬÄAzÀ ªÉÆzÀ®Ä DABD AiÀÄ£ÀÄß gÀa¹ D£ÀAvÀgÀ C ©AzÀĪÀ£ÀÄß PÀAqÀÄ»rAiÀÄ®Ä ¸ÁzsÀåªÉÃ?
2. PQ = 3 ¸ÉA.«ÄÃ., RS = 3 ¸ÉA.«ÄÃ., PS = 7.5 ¸ÉA.«ÄÃ., PR = 8 ¸ÉA.«ÄÃ. ªÀÄvÀÄÛ SQ = 4 ¸ÉA.«ÄÃ. EgÀĪÀ PQRS ZÀvÀĨsÀÄðdªÀ£ÀÄß gÀa¸À®Ä ¸ÁzsÀåªÉÃ? PÁgÀt ¸À»vÀ GvÀÛj¹.
C¨sÁå¸À 7.2
1. PɼÀV£À ZÀvÀĨsÀÄðdUÀ¼À£ÀÄß gÀa¹ :
(i) ZÀvÀĨsÀÄðd LIFT (ii) ZÀvÀĨsÀÄðd GOLD LI = 4 ¸ÉA.«ÄÃ. OL = 7.5 ¸ÉA.«ÄÃ. IF = 3 ¸ÉA.«ÄÃ. GL = 6 ¸ÉA.«ÄÃ. TL = 2.5 ¸ÉA.«ÄÃ. GD = 6 ¸ÉA.«ÄÃ. LF = 4.5 ¸ÉA.«ÄÃ. LD = 5 ¸ÉA.«ÄÃ. IT = 4 ¸ÉA.«ÄÃ. OD = 10 ¸ÉA.«ÄÃ.
(iii) ªÀeÁæPÀÈw BEND BN = 5.6 ¸ÉA.«ÄÃ. DE = 6.5 ¸ÉA.«ÄÃ.
7.2.3 JgÀqÀÄ ¥Á±Àéð ¨ÁºÀÄUÀ¼ÀÄ ªÀÄvÀÄÛ ªÀÄÆgÀÄ PÉÆãÀUÀ¼À£ÀÄß PÉÆmÁÖUÀ :
ªÉÆzÀ°£ÀAvÉ, E°èAiÀÄÆ MAzÀÄ wæ¨sÀÄdªÀ£ÀÄß gÀa¹ D£ÀAvÀgÀ £Á®Ì£É ©AzÀĪÀ£ÀÄß PÀAqÀÄ»rzÀÄ ZÀvÀĨsÀÄðdªÀ£ÀÄß ¥ÀÇtðUÉƽ¸ÉÆÃt.
GzÁºÀgÀuÉ 3 : MI = 3.5 ¸ÉA.«ÄÃ., IS = 6.5 ¸ÉA.«ÄÃ., M 75= °
�. I 105= °�
ªÀÄvÀÄÛ S 120= °�
EgÀĪÀ MIST ZÀvÀĨsÀÄðdªÀ£ÀÄß gÀa¹.
¥ÀjºÁgÀ : F gÀZÀ£ÉUÁV £ÁªÀÅ ««zsÀ ºÀAvÀUÀ¼À£ÀÄß ¤zsÀðj¸À®Ä F PÀZÁÑ avÀæªÀÅ ¸ÀºÁAiÀÄPÀªÁUÀĪÀÅzÀÄ. (avÀæ 7.15) PɼÀUÉ F ºÀAvÀUÀ¼À£ÀÄß ¸ÀÆa¸À¯ÁVzÉ.
S
I
M
T
3.5
¸ÉA.«ÄÃ.
6.5 ¸ÉA.«ÄÃ.120°
105°
75°
(¨ÁºÀÄUÀ¼À C¼ÀvÉUÀ¼ÀÄ ¸ÉA.«ÄÃ.UÀ¼À°è)
avÀæ 7.15
142 UÀtÂvÀ
ºÀAvÀ 1 : ©AzÀÄUÀ¼À£ÀÄß ºÉÃUÉ UÀÄgÀÄw¸ÀÄ«j? AiÀiÁªÀÅzÀ£ÀÄß ¥ÁzÀªÀ£ÁßV Dj¸ÀÄwÛÃj ªÀÄvÀÄÛ ªÉÆzÀ® ºÀAvÀzÀ gÀZÀ£É J£ÀÄ? (avÀæ 7.16)
M
X
S
6.5
¸ÉA.«ÄÃ.
3.5 ¸ÉA.«ÄÃ.
105°
I
(¨ÁºÀÄUÀ¼À C¼ÀvÉUÀ¼ÀÄ ¸ÉA.«ÄÃ.UÀ¼À°è)
avÀæ 7.16
ºÀAvÀ 2 : S ©AzÀÄ«£À°è ISY 120= °�
PÉÆãÀªÀ£ÀÄß gÀa¹. (avÀæ 7.17)
Y
X
S
IM3.5 ¸ÉA.«ÄÃ.
6.5
¸ÉA.«ÄÃ.
120°
105°
(¨ÁºÀÄUÀ¼À C¼ÀvÉUÀ¼ÀÄ ¸ÉA.«ÄÃ.UÀ¼À°è)
avÀæ 7.17
¥ÁæAiÉÆÃVPÀ gÉÃSÁUÀtÂvÀ 143
ºÀAvÀ 3 : M £À°è IMZ 75= °�
PÉÆãÀªÀ£ÀÄß gÀa¹. (SY ªÀÄvÀÄÛ MZ UÀ¼ÀÄ J°è bÉâ¸ÀÄvÀÛªÉ ?) F bÉÃzÀ£À ©AzÀĪÀ£ÀÄß T JAzÀÄ UÀÄgÀÄvÀÄ ªÀiÁrzÀgÉ £ÀªÀÄUÉ ¨ÉÃPÁzÀ ZÀvÀĨsÀÄðdªÀÅ zÉÆgÉAiÀÄÄvÀÛzÉ. (avÀæ 7.18)
Y
Z
T
X
S
IM 3.5 ¸ÉA.«ÄÃ.
6.5
¸ÉA.«ÄÃ.
120°
75°105°
(¨ÁºÀÄUÀ¼À C¼ÀvÉUÀ¼ÀÄ ¸ÉA.«ÄÃ.UÀ¼À°è)
avÀæ 7.18
AiÉÆÃa¹, ZÀað¹ ªÀÄvÀÄÛ §gɬÄj
1. 75° §zÀ®Ä ∠M = 100° DzÀgÉ ªÉÄð£À ZÀvÀĨsÀÄðd MIST AiÀÄ£ÀÄß gÀa¸À®Ä ¸ÁzsÀåªÉ?
2. PL = 6 ¸ÉA.«ÄÃ., LA = 9.5 ¸ÉA.«ÄÃ., ∠P = 75°, ∠L =150° ªÀÄvÀÄÛ ∠A = 140°? EgÀĪÀAvÉ PLAN JA§ ZÀvÀĨsÀÄðdªÀ£ÀÄß gÀa¸À®Ä ¸ÁzsÀåªÉÃ? (¸ÀÆZÀ£É : PÉÆãÀUÀ¼À ªÉÆvÀÛ PÀÄjvÁzÀ ®PÀëtªÀ£ÀÄß £É£À¦¹PÉƽî)
3. ¸ÀªÀiÁAvÀgÀ ZÀvÀĨsÀÄðdªÉÇAzÀgÀ°è ¥Á±Àéð ¨ÁºÀÄUÀ¼À GzÀÝUÀ¼ÀÄ w½¢ªÉ. DzÀ£ÀÄß gÀa¸À®Ä ªÉÄð£À GzÁºÀgÀuÉAiÀÄAvÉ PÉÆãÀUÀ¼À C¼ÀvÉUÀ¼ÀÆ ¸ÀºÀ w½¢gÀ¨ÉÃPÉ?
C¨sÁå¸À 7.3
1. PɼÀV£À ZÀvÀĨsÀÄðdUÀ¼À£ÀÄß gÀa¹ :
(i) ZÀvÀĨsÀÄðd MORE (ii) ZÀvÀĨsÀÄðd PLAN MO = 6 ¸ÉA.«ÄÃ. PL = 4 ¸ÉA.«ÄÃ. OR = 4.5 ¸ÉA.«ÄÃ. LA = 6.5 ¸ÉA.«ÄÃ. ∠M = 60° ∠P = 90° ∠O = 105° ∠A = 110° ∠R = 105° ∠N = 85°
144 UÀtÂvÀ
(iii) ÀªÀiÁAvÀgÀ ZÀvÀĨsÀÄðd HEAR (iv) DAiÀÄvÀ OKAY HE = 5 ¸ÉA.«ÄÃ. OK = 7 ¸ÉA.«ÄÃ. EA = 6 ¸ÉA.«ÄÃ. KA = 5 ¸ÉA.«ÄÃ. ∠R = 85°
7.2.4 ªÀÄÆgÀÄ ¨ÁºÀÄUÀ¼ÀÄ ªÀÄvÀÄÛ JgÀqÀÄ £ÀqÀÄ«£À PÉÆãÀUÀ¼À£ÀÄß PÉÆmÁÖUÀ :
F jÃwAiÀÄ gÀZÀ£ÉAiÀÄ°è ªÉÆzÀ®Ä J¼ÉAiÀÄĪÀ PÀZÁÑÑ avÀæzÀ°è £ÀqÀÄ«£À PÉÆãÀUÀ¼À£ÀÄß JZÀÑjPÉ ¬ÄAzÀ UÀªÀĤ¹.
GzÁºÀgÀuÉ 4 : AB = 4 ¸ÉA.«ÄÃ., BC = 5 ¸ÉA.«ÄÃ.,
CD = 6.5 ¸ÉA.«ÄÃ., B 105= °�
ªÀÄvÀÄÛ
C 80= °�
EgÀĪÀ ABCD ZÀvÀĨsÀÄðdªÀ£ÀÄß
gÀa¹.
¥ÀjºÁgÀ : »A¢£ÀAvÉ MAzÀÄ PÀZÁÑ avÀæªÀ£ÀÄß §gÉzÀÄ
ºÉÃUÉ DgÀA¨sÀ ªÀiÁqÀÄvÉÛêÉ. D£ÀAvÀgÀ 4
©AzÀÄUÀ¼À£ÀÄß UÀÄgÀÄw¸À®Ä C£ÀĸÀj¸À¨ÉÃPÁzÀ
PÀæªÀĪÀ£ÀÄß gÀƦ¹PÉƼÀÄîvÉÛêÉ. (avÀæ 7.19) avÀæ 7.19 (¨ÁºÀÄUÀ¼À C¼ÀvÉUÀ¼ÀÄ ¸ÉA.«ÄÃ.UÀ¼À°è)
ºÀAvÀ 1 : B ¤AzÀ 5 ¸ÉA.«ÄÃ. GzÀÝzÀ BC gÉÃSÉAiÀÄ£ÀÄß J¼É¬Äj. 105° C¼ÀvÉAiÀÄ CBX�
PÉÆãÀªÀ£ÀÄß ¤«Äð¹. BX ªÉÄÃ¯É B ¤AzÀ 4 ÉA.«ÄÃ. zÀÆgÀzÀ°è A
©AzÀĪÀ£ÀÄß UÀÄgÀÄw¹. FUÀ £ÀªÀÄUÉ B, C, ªÀÄvÀÄÛ A ©AzÀÄUÀ¼ÀÄ zÉÆgÉwªÉ.
(avÀæ 7.20)
(¨ÁºÀÄUÀ¼À C¼ÀvÉUÀ¼ÀÄ ¸ÉA.«ÄÃ.UÀ¼À°è)
avÀæ 7.20
¥ÁæAiÉÆÃVPÀ gÉÃSÁUÀtÂvÀ 145
ºÀAvÀ 2 : £Á®Ì£Éà ©AzÀĪÁzÀ D, BC UÉ 80° PÉÆãÀ DUÀĪÀ ºÁUÉ EgÀĪÀ CY
ªÉÄðzÉ. (avÀæ 7.21) DzÀÝjAzÀ BC ªÉÄÃ¯É C ©AzÀÄ«£À°è 80° C¼ÀvÉAiÀÄ BCY PÉÆãÀªÀ£ÀÄß gÀa¹.
(¨ÁºÀÄUÀ¼À C¼ÀvÉUÀ¼ÀÄ ¸ÉA.«ÄÃ.UÀ¼À°è)
avÀæ 7.21
ºÀAvÀ 3 : CY ªÉÄÃ¯É C ¤AzÀ 6.5 ¸ÉA.«ÄÃ. zÀÆgÀzÀ°è D ©AzÀÄ«zÉ. DzÀÝjAzÀ
C AiÀÄ£ÀÄß PÉÃAzÀæªÀ£ÁßVj¹ 6.5 ÉA.«ÄÃ. wædåzÀ MAzÀÄ PÀA¸ÀªÀ£ÀÄß J¼É¬Äj.
CzÀÄ CY £ÀÄß D £À°è bÉâ¸À° (avÀæ 7.22)
(¨ÁºÀÄUÀ¼À C¼ÀvÉUÀ¼ÀÄ ¸ÉA.«ÄÃ.UÀ¼À°è)
avÀæ 7.22
146 UÀtÂvÀ
ºÀAvÀ 4 : FUÀ ABCD ZÀvÀĨsÀÄðdªÀ£ÀÄß ¥ÀÇtðUÉƽ¹. EzÀĪÉà £ÀªÀÄUÉ ¨ÉÃPÁzÀ ZÀvÀĨsÀÄðd. (avÀæ 7.23)
(¨ÁºÀÄUÀ¼À C¼ÀvÉUÀ¼ÀÄ ¸ÉA.«ÄÃ.UÀ¼À°è)
avÀæ 7.23
AiÉÆÃa¹, ZÀað¹ ªÀÄvÀÄÛ §gɬÄj
1. ªÉÄð£À GzÁºÀgÀuÉAiÀÄ°è ªÉÆzÀ®Ä BC AiÀÄ£ÀÄß J¼ÉzɪÀÅ.
EzÀgÀ §zÀ®Ä ¨ÉÃgÉ ©AzÀÄ«¤AzÀ DgÀA©ü¹zÀÝgÉ K£ÁUÀÄwÛvÀÄÛ?
2. ZÀvÀĨsÀÄðdzÀ gÀZÀ£ÉUÁV £ÁªÀÅ F ªÀgÉUÉ 5 C¼ÀvÉUÀ¼À£ÀÄß
§¼À¹zɪÀÅ. ¨ÉÃgÉ AiÀiÁªÀÅzÁzÀgÀÆ LzÀÄ C¼ÀvÉUÀ¼À£ÀÄß
G¥ÀAiÉÆÃV¹PÉÆAqÀÄ £ÁªÀÅ ZÀvÀĨsÀÄðdªÀ£ÀÄß gÀa¸À§ºÀÄzÉ?
F ¥Àæ±ÉßAiÀÄ£ÀÄß GvÀÛj¸À®Ä PɼÀV£À ¸ÀªÀĸÉåUÀ¼ÀÄ ¹gÀªÁUÀ§ºÀÄzÀÄ.
(i) AB = 5 ¸ÉA.«ÄÃ., BC = 5.5 ¸ÉA.«ÄÃ., CD = 4 ¸ÉA.«ÄÃ., AD = 6 ¸ÉA.«ÄÃ., ªÀÄvÀÄÛ ∠B = 80°. EgÀĪÀ ABCD ZÀvÀĨsÀÄðd.
(ii) PQ = 4.5 ¸ÉA.«ÄÃ., ∠P = 70°, ∠Q = 100°, ∠R = 80° ªÀÄvÀÄÛ ∠S = 110° EgÀĪÀ PQRS ZÀvÀĨsÀÄðd.
ZÀvÀĨsÀÄðdªÀ£ÀÄß gÀa¸À®Ä PÉÆlÖ ªÀiÁ»wAiÀÄÄ ¸ÁPÉà CxÀªÁ
E®èªÉà JAzÀÄ w½AiÀÄ®Ä ¤ªÀÄäzÉà PÉ®ªÀÅ GzÁºÀgÀuÉUÀ¼À£ÀÄß
vÉUÉzÀÄPÉÆAqÀÄ £ÉÆÃrj.
¥ÁæAiÉÆÃVPÀ gÉÃSÁUÀtÂvÀ 147
C¨sÁå¸À 7.4
1. PɼÀV£À ZÀvÀĨsÀÄðdUÀ¼À£ÀÄß gÀa¹ :
(i) ZÀvÀĨsÀÄðd DEAR (ii) ZÀvÀĨsÀÄðd TRUE DE = 4 ¸ÉA.«ÄÃ. TR = 3.5 ¸ÉA.«ÄÃ. EA = 5 ¸ÉA.«ÄÃ. RU = 3 ¸ÉA.«ÄÃ. AR = 4.5 ¸ÉA.«ÄÃ. UE = 4 ¸ÉA.«ÄÃ. ∠E = 60° ∠R = 75° ∠A = 90° ∠U = 120°
7.3 PÉ®ªÀÅ «±ÉõÀ ¸ÀAzÀ¨sÀðUÀ¼ÀÄ :
MAzÀÄ ZÀvÀĨsÀÄðdªÀ£ÀÄß gÀa¸À®Ä FªÀgÉUÉ £ÁªÀÅ 5 C¼ÀvÉUÀ¼À£ÀÄß G¥ÀAiÉÆÃV¹zɪÀÅ. 5 QÌAvÀ PÀrªÉÄ C¼ÀvÉUÀ¼À£ÀÄß PÉÆlÖgÉ AiÀĪÀÅzÁzÀgÀÆ ZÀvÀĨsÀÄðdªÀ£ÀÄß £ÁªÀÅ gÀa¸À§ºÀÄzÉ ? PɼÀV£À GzÁºÀgÀuÉUÀ½AzÀ CAvÀºÀ PÉ®ªÀÅ «±ÉõÀ ZÀvÀĨsÀÄðdUÀ¼À£ÀÄß ¥Àj²Ã°¸ÉÆÃt.
GzÁºÀgÀuÉ 5 : 4.5 ÉA. «ÄÃ. GzÀÝzÀ ZËPÀªÀ£ÀÄß gÀa¹.
¥ÀjºÁgÀ : vÉÆÃjPÉAiÀÄ°è £ÀªÀÄUÉ MAzÉà MAzÀÄ C¼ÀvÉAiÀÄ£ÀÄß PÉÆnÖgÀĪÀAvÉ PÁtÄvÀÛzÉ. DzÀgÉ ¤dªÁV, £ÀªÀÄUÉ E£ÀÆß ºÉaÑ£À «ªÀgÀUÀ¼ÀÄ w½AiÀÄÄvÀÛªÉ. KPÉAzÀgÉ, £ÀªÀÄUÉ ¨ÉÃPÁzÀ DPÀÈwAiÀÄÄ MAzÀÄ «±ÉõÀ ZÀvÀĨsÀÄðdªÁzÀ ZËPÀ. EzÀgÀ°è ¥ÀæwAiÉÆAzÀÄ PÉÆãÀªÀÇ ®A§PÉÆãÀªÉAzÀÄ w½¢zÉ. (PÀZÁÑ avÀæ 7.24 £ÀÄß £ÉÆÃr.)J¼É¬Äj.
PÀZÁÑ avÀæ
(¨ÁºÀÄUÀ¼À C¼ÀvÉUÀ¼ÀÄ ¸ÉA.«ÄÃ.UÀ¼À°è)
avÀæ 7.24
EzÀjAzÀ ¨Á.PÉÆÃ.¨Á ¤§AzsÀ£É¬ÄAzÀ ABC∆ gÀa¸À®Ä ¸ÁzsÀåªÁUÀÄvÀÛzÉ. D£ÀAvÀgÀ £Á®Ì£Éà ©AzÀÄ D AiÀÄ£ÀÄß UÀÄgÀÄw¸ÀĪÀÅzÀÄ ÀÄ®¨sÀ. FUÀ PÉýzÀ ZËPÀªÀ£ÀÄß ¤ÃªÉà gÀa¸À®Ä ¥ÀæAiÀÄwß¹.
GzÁºÀgÀuÉ 6 : AC = 6 ¸ÉA.«ÄÃ. ªÀÄvÀÄÛ BD = 7 ¸ÉA.«ÄÃ. EgÀĪÀ ªÀeÁæPÀÈw ABCD AiÀÄ£ÀÄß gÀa¸À®Ä ¸ÁzsÀåªÉà ? PÁgÀt ¸À»vÀ GvÀÛgÀ ¤Ãr.
¥ÀjºÁgÀ : ¨ÉÃPÁzÀ ªÀeÁæPÀÈwAiÀÄ JgÀqÀÄ PÀtðUÀ¼À C¼ÀvÉAiÀÄ£ÀÄß ªÀiÁvÀæ PÉÆnÖzÉ. DzÀgÉ CzÀÄ ªÀeÁæPÀÈwAiÀiÁzÀÝjAzÀ CzÀgÀ UÀÄt®PÀëtUÀ½AzÀ ºÉaÑ£À ¸ÀºÁAiÀÄ ¥ÀqÉAiÀħºÀÄzÀÄ.
PÀZÁÑ avÀæ
(¨ÁºÀÄUÀ¼À C¼ÀvÉUÀ¼ÀÄ ÉA.«ÄÃ.UÀ¼À°è)
avÀæ 7.25
148 UÀtÂvÀ
ªÀeÁæPÀÈwAiÀÄ PÀtðUÀ¼ÀÄ ¥ÀgÀ¸ÀàgÀ ®A§ªÁV C¢üð¸ÀÄvÀÛªÉ.
DzÀÝjAzÀ ªÉÆzÀ®Ä 7 ¸ÉA.«ÄÃ. GzÀÝzÀ AC AiÀÄ£ÀÄß J¼É¬Äj. FUÀ CzÀgÀ ®A¨ÁzsÀðPÀªÀ£ÀÄß gÀa¹. CªÉgÀqÀÆ O ©AzÀÄ«£À°è ¸ÀA¢ü¸À°. F ®A¨ÁzsÀðPÀzÀ JgÀqÀÆ PÀqÉ 3 ¸ÉA.«ÄÃ. GzÀÝPÉÌ PÀvÀÛj¹. FUÀ B ªÀÄvÀÄÛ D ©AzÀÄUÀ¼À£ÀÄß ¥ÀqÉAiÀÄÄ«j. FUÀ ªÀeÁæPÀÈwAiÀÄ£ÀÄß ªÉÄÃ¯É w½¹zÀAvÉ J¼É¬Äj. (avÀæ 7.25)
1. PQ ªÀÄvÀÄÛ QR UÀ¼À GzÀÝUÀ¼ÀÄ ªÀiÁvÀæ w½¢zÀÝgÉ, PQRS ZÀvÀĨsÀÄðdªÀ£ÀÄß ºÉÃUÉ gÀa¸ÀÄ«j?
2. AY = 8 ¸ÉA.«ÄÃ., EY = 4 ¸ÉA.«ÄÃ., ªÀÄvÀÄÛ SY = 6 ¸ÉA.,«ÄÃ. EgÀĪÀAvÉ EASY ¥ÀvÀAUÀªÀ£ÀÄß gÀa¹j. (avÀæ 7.26)
ªÀiÁr £ÉÆÃr
avÀæ 7.26
F «zsÁ£ÀzÀ°è ¤ÃªÀÅ §¼À¹zÀ ¥ÀvÀAUÀzÀ UÀÄt®PÀëtUÀ¼ÁªÀªÀÅ.
C¨sÁå¸À 7.5
PɼÀV£À ZÀvÀĨsÀÄðd gÀa¹j
1. RE = 5.1 ¸ÉA.«Äà EgÀĪÀ ZËPÀ READ.
2. 6.4 ¸ÉA.«ÄÃ. ªÀÄvÀÄÛ 5.2 ¸ÉA.«ÄÃ. GzÀÝzÀ PÀtðUÀ¼ÀļÀî ªÀeÁæPÀÈw.
3. ¥Á±Àéð ¨ÁºÀÄUÀ¼ÀÄ 5 ¸ÉA.«Äà ªÀÄvÀÄÛ 4 ¸ÉA.«ÄÃ. GzÀÝ«gÀĪÀ DAiÀÄvÀ.
4. OK = 5.5 ¸ÉA.«ÄÃ. ªÀÄvÀÄÛ KA = 4.2 ¸ÉA.«ÄÃ. EgÀĪÀAvÉ OKAY ¸ÀªÀiÁAvÀgÀ ZÀvÀĨsÀÄðd. EzÀÄ C£À£ÀåªÉà ?
¸ÁgÁA±À
1. LzÀÄ C¼ÀvÉUÀ½AzÀ MAzÀÄ C£À£Àå ZÀvÀĨsÀÄðdªÀ£ÀÄß gÀa¸À§ºÀÄzÀÄ.
2. £Á®ÄÌ ¨ÁºÀÄUÀ¼ÀÄ ªÀÄvÀÄÛ MAzÀÄ PÀtðªÀ£ÀÄß PÉÆlÖgÉ MAzÀÄ ¤¢ðµÀÖ ZÀvÀĨsÀÄðdªÀ£ÀÄß gÀa¸À§ºÀÄzÀÄ.
3. JgÀqÀÄ PÀtð ªÀÄvÀÄÛ ªÀÄÆgÀÄ ¨ÁºÀÄUÀ¼À£ÀÄß PÉÆlÖgÉ MAzÀÄ ¤¢ðµÀÖ ZÀvÀĨsÀÄðdªÀ£ÀÄß gÀa¸À§ºÀÄzÀÄ.
4. JgÀqÀÄ ¥Á±Àéð ¨ÁºÀÄUÀ¼ÀÄ ªÀÄvÀÄÛ ªÀÄÆgÀÄ PÉÆãÀUÀ¼À£ÀÄß PÉÆlÖgÉ MAzÀÄ ¤¢ðµÀÖ ZÀvÀĨsÀÄðdªÀ£ÀÄß gÀa¸À§ºÀÄzÀÄ.
5. ªÀÄÆgÀÄ ¨ÁºÀÄUÀ¼ÀÄ ªÀÄvÀÄÛ JgÀqÀÄ £ÀqÀÄ«£À PÉÆãÀUÀ¼À£ÀÄß PÉÆlÖgÉ MAzÀÄ ¤¢ðµÀÖ ZÀvÀĨsÀÄðdªÀ£ÀÄß gÀa¸À§ºÀÄzÀÄ.
1. ¸ÀASÉåUÀ¼ÉÆA¢UÉ Dl
C¨sÁå¸À 1.1
1. A = 7, B = 6 2. A = 5, B = 4, C = 1
3. A = 6 4. A = 2, B = 5
5. A = 5, B = 0, C = 1 6. A = 5, B = 0, C = 2
7. A = 7, B = 4 8. A = 7, B = 9
9. A = 4, B = 7 10. A = 8, B = 1
C¨sÁå¸À 1.2
1. y = 1 2. z = 0 CxÀªÁ 9
3. z = 0 , 3 , 6 CxÀªÁ 9 4. 0, 3, 6 CxÀªÁ 9
2. ¨sÁUÀ®§Þ ¸ÀASÉåUÀ¼ÀÄ
C¨sÁå¸À 2.1
1. (i) 2 (ii) −1128
2. (i) −28
(ii) 59
(iii) −65
(iv) 29
(v) 196
4. (i) −113
(ii) −1913
(iii) 5 (iv) 5615
(v) 52
(vi) –1
5. (i) 1 UÀÄtPÁgÀzÀ C£À£ÀåvÁA±À (ii) ¥ÀjªÀvÀð¤ÃAiÀÄvÉ(iii) UÀÄtPÁgÀzÀ«¯ÉÆêÀiÁA±À
6. −9691
7.¸ÀºÀªÀvÀð¤ÃAiÀÄvÉ 8. E®è,KPÉAzÀgÉ,UÀÄt®§ÞªÀÅ1C®è.
GvÀÛgÀUÀ¼ÀÄ
150 UÀtÂvÀ
9.ºËzÀÄ,KPÉAzÀgÉ0 3 313
310
103
1. × = × =
10. (i) 0 (ii) 1 ªÀÄvÀÄÛ (–1) (iii) 0
11. (i) E®è (ii) 1, –1 (iii) −15
(iv) x (v) ¨sÁUÀ®§Þ¸ÀASÉå (vi) zsÀ£ÁvÀäPÀ
C¨sÁå¸À 2.2
1. (i) 0
1
014
24
34
44
54
64
74
014
24
34
44
54
64
74
014
24
34
44
54
64
74
014
24
34
44
54
64
74
014
24
34
44
54
64
74
014
24
34
44
54
64
74
014
24
34
44
54
64
74
(ii) –1
− − − − − −66
56
46
36
26
16
0− − − − − −66
56
46
36
26
16
0− − − − − −66
56
46
36
26
16
0− − − − − −66
56
46
36
26
16
0− − − − − −66
56
46
36
26
16
0− − − − − −66
56
46
36
26
16
0− − − − − −66
56
46
36
26
16
0
2. –1
− − − − − −66
56
46
36
26
16
0− − − − − − − − − − −1111
1011
911
811
711
611
511
411
311
211
111
0− − − − − − − − − − −1111
1011
911
811
711
611
511
411
311
211
111
0− − − − − − − − − − −1111
1011
911
811
711
611
511
411
311
211
111
0− − − − − − − − − − −1111
1011
911
811
711
611
511
411
311
211
111
0− − − − − − − − − − −1111
1011
911
811
711
611
511
411
311
211
111
0− − − − − − − − − − −1111
1011
911
811
711
611
511
411
311
211
111
0− − − − − − − − − − −1111
1011
911
811
711
611
511
411
311
211
111
0− − − − − − − − − − −1111
1011
911
811
711
611
511
411
311
211
111
0− − − − − − − − − − −1111
1011
911
811
711
611
511
411
311
211
111
0− − − − − − − − − − −1111
1011
911
811
711
611
511
411
311
211
111
0− − − − − − − − − − −1111
1011
911
811
711
611
511
411
311
211
111
0
3.EªÀÅUÀ¼À°èPÉ®ªÀÅ1, 12, 0, –1, −1
2
4. − − − − − − −720
620
520
420
320
220
120
0120
220
, , , , , ,...., ,
(E£ÀÆßFjÃwAiÀÄC£ÉÃPÀ¨sÁUÀ®§Þ¸ÀASÉåUÀ½gÀ§ºÀÄzÀÄ)
5. (i) 4160
4260
4360
4460
4560
, , , , (ii) − −86
76
016
26
, , , ,
(iii) 932
1032
1132
1232
1332
, , , ,
(E£ÀÆßFjÃwAiÀÄC£ÉÃPÀ¨sÁUÀ®§Þ¸ÀASÉåUÀ½gÀ§ºÀÄzÀÄ)
6. − −−3
21
1
20
1
2, , , , (E£ÀÆßFjÃwAiÀÄC£ÉÃPÀ¨sÁUÀ®§Þ¸ÀASÉåUÀ½gÀ§ºÀÄzÀÄ)
7. 97
16098
16099
160100160
101160
102160
103160
104160
10516
, , , , , , , ,00
106160
,
(E£ÀÆßFjÃwAiÀÄC£ÉÃPÀ¨sÁUÀ®§Þ¸ÀASÉåUÀ½gÀ§ºÀÄzÀÄ)
GvÀÛgÀUÀ¼ÀÄ 151
3. MAzÀÄ ZÀgÁPÀëgÀªÀżÀî gÉÃSÁvÀäPÀ ¸À«ÄÃPÀgÀtUÀ¼ÀÄ
C¨sÁå¸À 3.1
1. x = 9 2. v = 7 3. z = 4 4. x = 2
5. x = 2, 6. t = 50 7. x = 27, 8. y = 2.4
9. x =257
10. y =32
11. p = −43
12. x = −85
C¨sÁå¸À 3.2
1. 34 2.GzÀÝ=52«ÄÃ,CUÀ®=25«ÄÃ.
3. 125
¸ÉA.«ÄÃ. 4. 40 ªÀÄvÀÄÛ 55
5. 45,27 6. 16,17,18 7. 288,296 ªÀÄvÀÄÛ 304 8. 7,8,9
9. gÁºÀÄ®£ÀªÀAiÀĸÀÄì20ªÀµÀðUÀ¼ÀÄ:ºÀgÀÆ£À£ÀªÀAiÀĸÀÄì28ªÀµÀðUÀ¼ÀÄ.
10.48«zÁåyðUÀ¼ÀÄ
11.¨ÉÊZÀÄAUÀ£À ªÀAiÀĸÀÄì 17 ªÀµÀðUÀ¼ÀÄ ; ¨ÉÊZÀÄAUÀ£À vÀAzÉAiÀÄ ªÀAiÀĸÀÄì 46 ªÀµÀðUÀ¼ÀÄ
¨ÉÊZÀÄAUÀ£ÀCdÓ£ÀªÀAiÀĸÀÄì72ªÀµÀðUÀ¼ÀÄ.
12.5ªÀµÀðUÀ¼ÀÄ 13. −12
14. ` 100 → 2000£ÉÆÃlÄUÀ¼ÀÄ;` 50 → 3000£ÉÆÃlÄUÀ¼ÀÄ;
` 10 → 5000£ÉÆÃlÄUÀ¼ÀÄ.
15. ` 1£ÁtåUÀ¼ÀÄ=80;` 2£ÁtåUÀ¼ÀÄ=60;` 5£ÁtåUÀ¼ÀÄ=20.
16.19.
C¨sÁå¸À 3.3
1. x = 18 2. t = –1 3. x = –2 4. z =32
152 UÀtÂvÀ
5. x = 5, 6. x = 0 7. x = 40, 8. x = 10
9. y =73
10. m =45
C¨sÁå¸À 3.4
1.4 2.7,35 3.36 4.26(CxÀªÁ62)
5.±ÉÆèÉÆë£ÀªÀAiÀĸÀÄì5ªÀµÀðUÀ¼ÀÄ;CªÀ£ÀvÁ¬ÄAiÀĪÀAiÀĸÀÄì30ªÀµÀðUÀ¼ÀÄ
6.GzÀÝ=275«ÄÃ;CUÀ®=100«ÄÃ. 7.200m 8.72
9.ªÉƪÉÆäUÀ¼ÀªÀAiÀĸÀÄì6ªÀµÀðUÀ¼ÀÄ;CdÓ£ÀªÀAiÀĸÀÄì60ªÀµÀðUÀ¼ÀÄ.
10.CªÀÄ£ï£ÀªÀAiÀĸÀÄì60ªÀµÀðUÀ¼ÀÄ;CªÀ£ÀªÀÄUÀ£ÀªÀAiÀĸÀÄì20ªÀµÀðUÀ¼ÀÄ.
C¨sÁå¸À 3.5
1. x =2710
2. n = 36 3. x = –5 4. x = 8 5. t = 2
6. m =75
7. t = –2, 8. y =23
9. z = 2 10. f = 0.6
C¨sÁå¸À 3.6
1. x =32
2. x =3533
3. z = 12 4. y = –8 5. y = −45
6. ºÀjAiÀĪÀAiÀĸÀÄì20ªÀµÀðUÀ¼ÀÄ;ºÁåjAiÀĪÀAiÀĸÀÄì28ªÀµÀðUÀ¼ÀÄ. 7. 1321
4. ZÀvÀĨsÀÄðdUÀ¼À ¥ÀjZÀAiÀÄ
C¨sÁå¸À 4.1
1. (a) 1,2,5,6,7. (b) 1,2,5,6,7 (c) 1,2 (d) 2
2. (a) 2 (b) 9 (c) 0
3. 360° ; ºËzÀÄ.
4. (a) 900° (b) 1080° (c) 1440° (d) (n – 2) 180°
GvÀÛgÀUÀ¼ÀÄ 153
5. ¸ÀªÀĨÁºÀÄUÀ¼ÀĪÀÄvÀÄÛ¸ÀªÀÄPÉÆãÀUÀ½gÀĪÀMAzÀħºÀĨsÀÄd.
(i) ¸ÀªÀĨÁºÀÄwæ¨sÀÄd (ii) ªÀUÀð
(iii) ¤AiÀÄ«ÄvÀµÀqÀÄãd.
6. (a) 60° (b) 140° (c) 140° (d) 108°
7. (a) x + y + z = 360° (b) x + y + z + w = 360°
C¨sÁå¸À 4.2
1. (a) 360° – 250° = 110° (b) 360° – 310° = 50°
2. (i) 3609
40°= ° (ii)
360
1524
° = °
3. 36024
15°°= ¨ÁºÀÄUÀ¼ÀÄ.
4. ¨ÁºÀÄUÀ¼À¸ÀASÉå=24
5. (i) E®è;(KPÉAzÀgÉ,22,360°gÀ¨sÁdPÀªÁV®è)
(ii) E®è;(KPÉAzÀgÉ¥ÀæwºÉÆgÀPÉÆãÀ=180° – 22°=158°,EzÀÄ360° EzÀgÀ ¨sÁdPÀªÁV®è)
6. (a) ¸ÀªÀĨÁºÀÄ wæ¨sÀÄdzÀ MAzÀÄ ¤AiÀÄ«ÄvÀ §ºÀĨsÀÄdªÁVzÀÄÝ 3 ¨ÁºÀÄUÀ¼À£ÀÄß
ºÉÆA¢zÉ.CzÀgÀCvÀåAvÀaPÀÌM¼ÀPÉÆãÀzÀC¼ÀvÉ=60°DVzÉ
(b) (a) ¤AzÀCvÀåAvÀzÉÆqÀغÉÆgÀPÉÆãÀzÀC¼ÀvÉ120°JAzÀĺÉüÀ§ºÀÄzÀÄ.
C¨sÁå¸À 4.3
1. (i) BC (C©üªÀÄÄR¨ÁºÀÄUÀ¼ÀĸÀªÀÄ)
(ii) ∠DAB(C©üªÀÄÄRPÉÆãÀUÀ¼ÀĸÀªÀÄ)
(iii) OA(PÀtðUÀ¼ÀÄ¥ÀgÀ¸ÀàgÀC¢üð¸ÀÄvÀÛªÉ)
(iv) 180°(M¼ÀC©üªÀÄÄRPÉÆãÀUÀ¼ÀÄ,KPÉAzÀgÉAB DC||
2. (i) x = 80° ; y = 100° ; z = 80°
(ii) x = 130° ; y = 130° ; z = 130°
(iii) x = 90° ; y = 60° ; z = 60°
154 UÀtÂvÀ
(iv) x = 100° ; y = 80° ; z = 80°
(v) x = 112° ; y = 28° ; z = 28°
3. (i) DUÀ§ºÀÄzÀÄ,DzÀgÉDUÀ¯ÉèÉÃPÉA¢®è.
(ii) E®è(¸ÀªÀiÁAvÀgÀZÀvÀĨsÀÄðdzÀ°è,C©üªÀÄÄR ÁºÀÄUÀ¼ÀÄ ÀªÀÄ;DzÀgÉAD ≠ BC)
(iii) E®è;(¸ÀªÀiÁAvÀgÀZÀvÀĨsÀÄðdzÀ°è,C©üªÀÄÄRPÉÆãÀUÀ¼ÀÄ ÀªÀÄ;DzÀgÉ∠A ≠ ∠C)
4. GzÁºÀgÀuÉUÉMAzÀÄ¥ÀvÀAUÀ.
5.108°;72°
6.¥ÀæwPÉÆãÀªÀÅ®A§PÉÆãÀªÁVzÉ.
7. x = 110° ; y = 40° ; z = 30°
8.(i) x = 6 ; y = 9 (ii) x = 3 ; y = 13
9. x = 50° 10. NM KL|| (M¼ÀC©üªÀÄÄRPÉÆãÀUÀ¼ÀªÉÆvÀÛ180°EgÀÄvÀÛzÉ).DzÀÝjAzÀKLMN
MAzÀÄvÁæ¦då.
11. 60° 12. ∠P = 50° ; ∠S = 90°
C¨sÁå¸À 4.4
1. (b), (c), (f), (g), (h) UÀ¼ÀĸÀj;G½zÀªÀÅvÀ¥ÀÄà.
2. (a) ªÀeÁæPÀÈw;ªÀUÀð (b) ªÀUÀð;DAiÀÄvÀ
3. (i) MAzÀĪÀUÀðªÀÅ£Á®Ą̈ÁºÀÄUÀ½gÀĪÀDPÀÈw;DzÀÝjAzÀCzÀÄZÀvÀĨsÀÄðd.
(ii) ªÀUÀðªÀŸÀªÀÄ£ÁzÀC©üªÀÄÄR¨ÁºÀÄUÀ¼À£ÀÄ߸ÀªÀiÁAvÀgÀªÁVºÉÆA¢zÉ.DzÀÝjAzÀCzÀÄMAzÀĸÀªÀiÁAvÀgÀZÀvÀĨsÀÄðd.
(iii) ªÀUÀðªÀÅvÀ£ÀߣÁ®Ą̈ÁºÀÄUÀ¼À£ÀÄ߸ÀªÀÄ£ÁVºÉÆA¢gÀĪÀ¸ÀªÀiÁAvÀgÀZÀvÀĨsÀÄðd;DzÀÝjAzÀCzÀÄMAzÀĪÀeÁæPÀÈw.
(iv) ªÀUÀðªÀÅvÀ£ÀߥÀæwAiÉÆAzÀÄPÉÆãÀªÀ£ÀÄß®A§PÉÆãÀªÁVºÉÆA¢gÀĪÀ¸ÀªÀiÁAvÀgÀZÀvÀĨsÀÄðd;DzÀÝjAzÀCzÀÄMAzÀÄDAiÀÄvÀ.
4. (i) ¸ÀªÀiÁAvÀgÀZÀvÀĨsÀÄðd;ªÀeÁæPÀÈw;ªÀUÀð;DAiÀÄvÀ.
(ii) ªÀeÁæPÀÈw;ªÀUÀð (iii) ªÀUÀð;DAiÀÄvÀ.
GvÀÛgÀUÀ¼ÀÄ 155
5. JgÀqÀÄPÀtðUÀ¼ÀħºÀĨsÀÄdzÀM¼À¨sÁUÀzÀ°èªÉ.
6.AD BC AB DC|| ; || DzÀÝjAzÀ ÀªÀiÁAvÀgÀZÀvÀĨsÀÄðdABCDAiÀÄ°è,PÀtðAC
AiÀĪÀÄzsÀå©AzÀÄ'O'
5. ªÀUÀðUÀ¼ÀÄ ªÀÄvÀÄÛ ªÀUÀðªÀÄÆ®UÀ¼ÀÄ
C¨sÁå¸À 5.1
1. (i) 1 (ii) 4 (iii) 1 (iv) 9 (v) 6 (vi) 9 (vii) 4 (viii) 0 (ix) 6 (x) 5 2. F¸ÀASÉåUÀ¼À°è©r¸ÁÜ£ÀzÀ°ègÀĪÀCAQUÀ¼ÀÄ.
(i) 7 (ii) 3 (iii) 8 (iv) 2 (v) 0 (vi) 2 (vii) 0 (viii) 0 3. (i), (iii) 4. 10000200001, 100000020000001 5. 1020304030201, 1010101012
6.20,6,42,43
7. (i) 25 (ii) 100 (iii) 144 8. (i) 1+3+5+7+9+11+13 (ii) 1+3+5+7+9+11+13+15+17+19+21
9. (i) 24 (ii) 50 (iii) 198
C¨sÁå¸À 5.2
1. (i) 1024 (ii) 1225 (iii) 7396 (iv) 8649 (v) 5041 (vi) 2116
2. (i) 6,8,10 (ii) 14,48,50 (iii) 16,63,65 (iv) 18,80,82
C¨sÁå¸À 5.3
1. (i) 1,9 (ii) 4,6 (iii) 1,9 (iv) 5
2. (i), (ii), (iii)
3. 10, 13
4. (i) 27 (ii) 20 (iii) 42 (iv) 64 (v) 88 (vi) 98
(vii) 77 (viii) 96 (ix) 23 (x) 90
156 UÀtÂvÀ
5. (i) 7,42 (ii) 5,30 (iii) 7,84 (iv) 3,78 (v) 2,54 (vi) 3,48
6. (i) 7,6 (ii) 13,15 (iii) 11,6 (iv) 5,23 (v) 7,20 (vi) 5,18
7. 49
8. CqÀظÁ®ÄUÀ¼À¸ÀASÉå=45,¥ÀæwCqÀظÁ°£À°ègÀĪÀ¸À¹UÀ¼À¸ÀASÉå=45
9. 900 10. 3600
C¨sÁå¸À 5.4
1. (i) 48 (ii) 67 (iii) 59 (iv) 23 (v) 57
(vi) 37 (vii) 76 (viii) 89 (ix) 24 (x) 32
(xi) 56 (xii) 30
2. (i) 1 (ii) 2 (iii) 2 (iv) 3 (v) 3
3. (i) 1.6 (ii) 2.7 (iii) 7.2 (iv) 6.5 (v) 5.6
4. (i) 2,20 (ii) 53,44 (iii) 1,57 (iv) 41,28 (v) 31,63
5. (i) 4,23 (ii) 14,42 (iii) 4,16 (iv) 24,43 (v) 149,81
6.21«ÄÃ.
7. (a) 10¸ÉA.«ÄÃ. (b) 12¸ÉA.«ÄÃ.
8.24¸À¹UÀ¼ÀÄ
9.16ªÀÄPÀ̼ÀÄ
6. ©ÃeÉÆÃQÛUÀ¼ÀÄ ªÀÄvÀÄÛ ¤vÀå ¸À«ÄÃPÀgÀtUÀ¼ÀÄ
C¨sÁå¸À 6.1
PÀæ.¸ÀA. ©Ãd¥ÀzÀUÀ¼ÀÄ ¸ÀASÁå ¸ÀºÀUÀÄtPÀUÀ¼ÀÄ
(i) 5xyz2
– 3zy
5–3
(ii) 1x
x2
111
GvÀÛgÀUÀ¼ÀÄ 157
(iii) 4x2y2
– 4x2y2z2
z2
4–41
(iv) 3–pq
qr
–rp
3–11–1
(v) x
2y
2–xy
1212–1
(vi) 0.3a
–0.6ab
0.5b
0.3–0.60.5
2. KPÀ¥ÀzÉÆÃQÛUÀ¼ÀÄ:1000,pqr
¢é¥ÀzÉÆÃQÛUÀ¼ÀÄ:x + y, 2y – 3y2, 4z – 15z2,
p2q + pq2, 2p + 2q
wæ¥ÀzÉÆÃQÛUÀ¼ÀÄ:7 + y + 5x, 2y – 3y2 + 4y3,
5x – 4y + 3xy .
FUÀÄA¥ÀÄUÀ½UɸÉÃgÀzÀ§ºÀÄ¥ÀzÉÆÃQÛUÀ¼ÀÄ:x + x2 + x3 + x4, ab + bc + cd + da
3. (i) 0 (ii) ab + bc + ac
(iii) –p2q2 + 4pq + 9 (iv) 2(l2 + m2 + n2 + lm + mn + nl)
4. (a) 8a – 2ab + 2b – 15 (b) 2xy – 7yz + 5zx + 10xyz
(c) p2q – 7pq2 + 8pq – 18q +5p + 28
C¨sÁå¸À 6.2
1. (i) 28p (ii) –28p2 (iii) –28p2q (iv) –12p4 (v) 0 2. pq ; 50 mn ; 100 x2y2 ; 12x3 ; 12mn2p
158 UÀtÂvÀ
3. ªÉÆzÀ®KPÀ¥ÀzÀ →JgÀqÀ£ÉÃKPÀ¥ÀzÀ ↓
2x –5y 3x2 –4xy 7x2y –9x2y2
2x 4x2 –10xy 6x3 –8x2y 14x3y –18x3y2
–5y –10xy 25y2 –15x2y 20xy2 –35x2y2 45x2y3
3x2 6x3 –15x2y 9x4 –12x3y 21x4y –27x4y2
–4xy –8x2y 20xy2 –12x3y 16x2y2 –28x3y2 36x3y3
7x2y 14x3y –35x2y2 21x4y –28x3y2 49x4y2 –63x4y3
–9x2y2 –18x3y2 45x2y3 –27x4y2 36x3y3 –63x4y3 81x4y4
4. (i) 105a7 (ii) 64pqr (iii) 4x4y4 (iv) 6abc
5. (i) x2 y2 z2 (ii) –a6 (iii) 1024y6 (iv) 36a2 b2 c2 (v) –m3 n2 p
C¨sÁå¸À 6.3
1. (i) 4pq + 4pr (ii) a2b – a2b (iii) 7a3b2 + 7a2b3
(iv) 4a3 – 36a (v) 0
2. (i) ab + ac + ad (ii) 5x2y + 5xy2 – 25xy
(iii) 6p3 – 7p2 + 5p (iv) 4p4q2 – 4p2q4
(v) a2bc + ab2c + abc2
3. (i) 8a50 (ii) −35
3 3x y (iii) –4p4q4 (iv) x10
4. (a) 12x2 – 15x + 3 (i) 66 (ii) −32
(b) a3 + a2 + a + 5 (i) 5 (ii) 8 (iii) 4
5. (a) p2 + q2 + r2 – pq – qr – pr
(b) – 2x2 – 2y2 – 4xy + 2yz + 2zx
(c) 5l2 + 25ln
(d) – 3a2 – 2b2 + 4c2 – ab + 6bc – 7ac
GvÀÛgÀUÀ¼ÀÄ 159
C¨sÁå¸À 6.4
1. (i) 8x2 + 14x – 15 (ii) 3y2 – 8y + 32
(iii) 6.25l2 – 0.25m2 (iv) ax + 5a + 3bx + 15b
(v) 6p2q2 + 5pq3 – 6q4 (vi) 3a4 + 10a2b2 – 8b4
2. (i) 15 – x – 2x2 (ii) 7x2 + 48xy – 7y2
(iii) a3 + a2b2 + ab + b3 (iv) 2p3 + p2q – 2pq2 – q3
3. (i) x3 + 5x2 – 5x (ii) a2b3 + 3a2 + 5b3 + 20
(iii) t3 – st + s2t2 – s3 (iv) 4ac
(v) 3x2 + 4xy – y2 (vi) x3 + y3
(vii) 2.25x2 – 16y2 (viii) a2 + b2 – c2 + 2ab
C¨sÁå¸À 6.5
1. (i) x2 + 6x + 9 (ii) 4y2 + 20y + 25
(iii) 4a2 – 28a + 49 (iv) 9a2 – 3a + 14
(v) 1.21m2 – 0.16 (vi) b4 – a4
(vii) 36x2 – 49 (viii) a2 – 2ac + c2
(ix) x xy y2 2
434
916
+ + (x) 49a2 – 126ab + 81b2
2. (i) x2 + 10x + 21 (ii) 16x2 + 24x + 5
(iii) 16x2 – 24x + 5 (iv) 16x2 + 16x – 5
(v) 4x2 + 16xy + 15y2 (vi) 4a4 + 28a2 + 45
(vii) x2 y2 z2 – 6xyz + 8
3. (i) b2 – 14b + 49 (ii) x2 y2 + 6xyz + 9z2
(iii) 36x4 – 60x2 y + 25y2 (iv) 49
294
2 2m mn n+ +
(v) 0.16p2 + 0.04pq + 0.25q2 (vi) 4x2y2 + 20xy2 + 25y2
160 UÀtÂvÀ
4. (i) a4 – 2a2b2 + b4 (ii) 40x
(iii) 98m2 + 128n2 (iv) 41m2 + 80mn + 41n2
(v) 4p2 – 4q2 (vi) a2b2 + b2c2
(vii) m4 + n4m2
6. (i) 5041 (ii) 9801 (iii) 10404
(iv) 996004 (v) 27.04 (vi) 89991
(vii) 6396 (viii) 79.21 (ix) 9.975
7. (i) 200 (ii) 0.08
(iii) 1800 (iv) 84
8. (i) 10712 (ii) 26.52
(iii) 10094 (iv) 95.06