P R A C E I P P T • I B T P R E P O R T S
Witold Nowacki
Twierdzenie o zupełności
funkcji naprężeńw termosprężystości
1/1967
PAN
INSTYTUT P O D S T A W O W Y C H PROBLEMÓW T E C H N I K I
P O L S K I E J A K A D E M l I N A U K
w_termosgr£żj[stości
Witold Howaeki
1. Wstęp
Rozważymy ciało sprężyste, izotropowe i jednorodne, zajmują-
ce obszar .S ograniczony powierzchnią n . Ciało poddane działa-
niu sił zewnętrznych, i ogrzaniu dozna deformacji. W ciele powsta-
nie pole przemieszczeń 2ć(X,tj oraz pole temperatury t/(X/'i-) >
zależne od położenia punktu X ± czasu f, . Pola te opisane są
układem równań różniczkowych fi]
& = - • & •
Tutaj U~r~lo jest przyrostem temperatury, / jest temperaturą
bezwzględną, le temperaturą stanu naturalnego, w którym tak
odkształcenia jak i naprężenia są równe zeru. Praee A oznaczono
wektor sił masowych, przez O - gęstość. Wielkości U, ż\ są sta-
łymi Lamega dla stanu izotermicznego, a ̂ "oK^f t &ćLzie Kah*Ę-H
jest modulen ściśliwości, a oC^ jest współczynnikiem liniowej
rozszerzalności termicznej. Dalej: &- °/cs » gdzie A o jest
współczynnikiem przewodnictwa cieplnego, a -Cf jest ciepłem właś-
ciwym przy stałej deformacji. Wreszcie /t?=JP''o/\o
o r a* Q
- 2 -
gdzie praoz rv oznaczono ilość ciepła, wytwarzaną w jednostce
objętości i w jednostce czasu. Kropka nad funkcją oznacza jej po-
chodną czaaową: 6'96/dt, ft~V%fótt
Dokonując dekompozycji wektora przemieszczenia sa csęśó po-
tencjalną i solenoidalaą
oraz w podobny sposób rozkładając wektor sił masowych
/i .4/ X
doprowadzamy układ równań. /1.1/ i /1.2/ do postaci
Wprowadziliśmy tu następujące oznaczenia:
Eliainacja temperatury z równań /1.5/ i /1.7/ prowadzi do równań
/i.W
- 3 -
gdsie
Równanie /1.9/ przedstawia podłużną, a równanie /1.10/ poprzeczną
falę termosprężystą.
W klasycznej elaatokinetyee przy założeniu procesu adiabaty-
cznego mamy do czynienia z układem równań przemieszczaniowyeli
/L, 72it+(\i +A<) grttdcUr iZ+ X -f u ,Z1.11/
Występujące w tych równaniach stałe Lamego JUĆ, A d odnoszą
się do stanu adiaBatyosnesot a /2r"^r % A Ó 3 ^ r ~<ft'/far*ĄUr)
4*r={3\r 4-2/Mr)cL , gdzie Uj., \f są stałymi Lamego, miersonymi
w waronkach izotermicznyeh. Przedstawiając prseaiesBOsenie
w postaci /1.3/ otrzymamy następujące równanie falowe:
gdsie
O.Soaigliana [3] oras F.Dubea [4] udowodnili, te przedstawie-
ni* /'f. 3/ pray pomocy potencjałów 7̂ i j[ stanowi supełne roz
wiąaanie jeównań /1.11/» E-Sternberg w pracy £5] przedstawił ar-
gumenty, uzasadniające zupełność rozwiązania generalnego sprzężo-
nych równań tezmosprę&ystości /1.1/ i /1.S/ dla reprezentacji
i założenia, że funkcje ^ i ^ spełniają układ równań /1.9/ i
/'1.10/. Co sprawy tej powrócimy w p.J niniejszej pracy.
- 4 -
Układ, równań /1.1/ i /1-2/ można również rozdzielić na układ
równań niezależnych na innej drodze przez wprowadzenie .funkcji
wektorowej yT i funkcji skalarnej y , związanych z przemiess-
czeniem % i temperaturą w następującej postaci:
gdzie
Funkcje i/ i V powinny spełniać następujące równania:
/
Równania /1.15/ i /1.16/ otrzymuje się prze* podstawienie
/1.13/ i /1.14/ do równań różniczkowych termoaprężystości /1.1/
i 71.2/.
Związki /1.13/ i /1,14/ zostały podane najpierw prze* S.Ealia-
kiego [s] , później na innej drodze przes J.S.Podatrigacza
[?] i D.Rudlgera [sj ,Zauważmy, że związki /1.13/ i /1.14/ są uogólnione na proble-
my termosprężystości funkcji naprężeń, podanych przez A.Jaooyache
[io] dla elastooptyki klasycznej. Jednak sposób wyprowadzenia
związków /1.13/ i /1.14/, stosowanych w pracach [6, 7, 8j nie
zapewnia zupełności rozwiązań. Dowód zupełności rozwiązań dla
przedstawienia /1.13/ i /1.14/ jest podany w p.2.
2. Twierdzenie o zupełności rozwiązań
Hieca $*,# i.6(Xjt) będą rozwiązaniem układu równań /1.1/
i /1.2/ w obszarze 5 dla -°°<zf <co , wtedy istniej taka funkcja
wektorowa y i funkcja skalarna y , że przemieszczenie 2tfx,-f)
i temperatura &(X,t) są przedstawione praes /1.13/ i /1.W,
a funkcje Y> i. y spełniają równania falowe /1.15/ i /1.16/.
Na podstawie roewiązania Stokesk-Helmłioltaa istnieją takie
funkcje ^ , ^ j i %(x,-t) ,że
Wstawmy /2.1/ do układu równań różniczkowych termoeprezystoś-
ci /1.1/ i /1.2/. W rezultacie otrzymamy następujące równanie:
/ 2. 2/
Wyeliminujmy z tych. równań temperaturę (9 i posługując się
równaniem /1.16/ otrzymamy w ten sposób równanie
Zdefiniujmy obecnie funkcję (̂ sa pomocą funkcji skalar-
nej ^ oraz funkcji wektorowej ^?
- 6 -
Następni© wstawmy /2.5/ do równania /1.15/ i dokonajmy na tym rów-
naniu operacji różniczkowej D . Otrzymany w rezultacie równanie
Z porównania równań /2.2/ i /2.6/ wynika, te funkcje J1 i
powinny apełniać następujące równania różniczkowe:
/2.8/ Qf= T
Wykonajmy na związku. 72.7/ operację " i uwzględnijmy równanie
Wstawmy "TWJC 8 równania /2.9/ do związku /2.1/. Otrzymamy
w ten sposób równanie przemieszczenia 4C przez funkcje W ,
f -i S <
Zważywszy, ze
przekształcimy operator przy c w związku /2.10/ do postaci
- 7 -
Wstawiając /2.12/ do /2.10/ i uwzględniając wynikającą z /2.5/
s&lesnośc
doprowadzimy /2.10/ do poataoi
zgodnej ze związkiem /1.13/-
Należy jeszcze udowodnić słuszność wzoru /1.14/« W tym celu
dokonajmy na równaniu /1.1/ operację diwergencji i wykorzystajmy
związek d(ń?lC°*VZfi , wynikający z /2.1/, W rezultacie otrzymamy
Następnie wyeliminujmy a równań /2.3/ i /2.17/ fznkcję
wykorzystując równanie /1.16/. W rezultacie otrzymamy równanie
Dokonajmy wreszcie na równaniu /1.16/ operacji diwergencji, co
prowadzi do związku
- 8 -
72.19/ ~-7T7i ckw X = ~
Wstawiając /2.19/ do /2,18/ i wykonując na tym przekształconym
równani u operację ac , doehodzimy do związku
/2.20/
zgodnego z przedstawieniem /1.147. W ten sposób dowód zupełności
został zakończony.
Szczególnym przypadkiem taimospręż/atoścl sprzężonej jest
tzw.techniczna teoria naprężeń cieplnych, w której poznaje się
sprzężenie równań /1.1/ i /1.2/ przez pominięcie wyrazu ndOtfiZ
w równaniu przewodnictwa cieplnego. Łatwo wykazać przyjmując n-0
w równaniach /1.13/ do /1.16/ i wprowadzając funkcję G-D^~
że prawdziwe są następujące związki:
/2.22/ 6 ~
rFunkcje Lr i ic powinny spełniać równania
- 9 -
Wreszcie w przypadku szczególnym elastooptyJd klasycznej mamy
/2.25/ U
gdtie funkcja Q spełnia równanie tofalowe
Zwiąski /2.25/ i /2.26/ zostały podane przez M.Jacovacłiea twierdzenie o zupełności tego rozwiązania przez E.Sternberga iR.A.SSubanksa [ l i] .
3. Związki miedzy potencjałami d,jT a fvmkcjami ^,y-
Roapatramy jednorodny układ równań /1.1/ i /1.2/. Przez wpro«.wadzenie wzorów /I.13/ i /1.14/ doprowadzamy ten układ równań dorósmai falowych
73.2/ Qy~O .
Zauważmy, że w myśl twierdzenia T.Boggio [12] , rozwiąz&nie rów-
nania /3.1/ przedstawić można w postaci
przy caym funkcje c?', ̂ "^powinny spełniać równania
- 10 -
Wstawiając /3.3/ do równania /1.13/ oraz uwzględniając równania
/5.4/ i /3.5/ otrzymamy
Przekształćmy obecnie wyrażenie JT^"" , zważywszy, że .£?= O^D —
-m^y2 i biorąc pod uwagę związek /3.5A Po prostych przekształ-
ceniach przy uwzględnieniu związku /2.11/ otrzymamy
W ten sposób biorąc pod uwagę zależności /3-7/ przedstawimy równa-
nie /3-6/ w postaci
/3.8/ U
zważywszy że
otrzymamy z /3.S/:
/3.9/ if- ^[-7dU(rf")-^rad dOir(rp'}]+ftprądy.
już obecnie sprowadzić związek /3.9/ do poataoi Stokesa
- HeiKb.oltaa
-11 -
Porównanie równań /3.9/ i /3-10/ prowadzi do następującej trans-
formacji:
która wiąże funkeje ̂ , jjf a funkcjami y?) y-7 .
Wykonajmy następnie operację X> na wzorze /1.14/. Otrzymamy
po wykorzystaniu równania /3-5/ następujący związek:
Prsekształćaiy równanie /3.*/» które możemy również aapiaać w posta-
c i :
z?*- ̂ ̂4 v2f* o.Wykorzystując związek /2.11/ otrzymamy
ff3tasriając /3.15/ do 73.13/ 1 uwzględniając równanie /3«2/ docho-
dzimy do równania
- 12 -
Ale wyrażenie w nawiasach, kwadratowych, równa eię ze względu na
/3.11/ funkcji <f> . Mamy zatem
Równanie to jest jednorodnym równaniem przewodnictwa cieplnego
/1.7/.
Pozostaje jeszcze sprawdzić, czy funkcje ^, JT , wyrażone
przez funkcje <P £ y spełniają jednorodne równania falowe
/1.9/ i /1.10/
Łatwo sprawdzić i że
a to ze względu na /3.2/ oraz /3.4/.
Również i
fh o,ze wagledu na równanie /3.5/.
W przypadku teorii naprężeń cieplnych, w której poznaje się
sprzężenie pola temperatury i pola przemieszczeń, otrzymuje się
zamiast transformacji /3.11/ i /3.12/ następującą:
- 13 -
,3.22,
Przemieszczenia 'IL X temperatura & określone są tu przez
związki /2.21/ i /2.22/ i winny spełniać równania jednorodne
Łatwo też wykazać, że funkcje a), 7 " określone związkami /3.21/
i /3.22/ spełniają równania
W przypadku klasycznej elastooptyki wzory /J.21/ i /J.22/ prze-
chodzą w v
,3 .25,
zgodnie z wynikiem otrzymanym przez E.Sternoerga£5] •
-15 -
References
1. M.A.Biot, Taermoelasticity and irreversible taermodynamics,
J.Appl.Phys.,27/1955/.
2. W.Howacki, Some dynamie problems in thermoelasticity, Aroh.
Mech.Stos., 1, H /1959/.
3- C.Somigliana, Sulle espressioni analitiche generała dei mo-
vimenti oseillatori, Atti Reale Accad. Łiao. Roma Ser.5,
1 /1S92/, 111.
4., P.Dutiem, Sur la generalisation d'un theoreme de Clebocłi,
J.Matli.Purea et Appl., 6 /1900/, 215.
5. E.Sternberg, On the integration of tłie equations of motion
In the classical theory of elasticity, Arch.Rat.Mecn.Analy-
sis, 1, 6 /196O/.
6. S.Kaliski, Pewne problemy brzegowe dynamicznej teorii sprę-
żystości i ciał niesprężystych,, Warszawa, PKN, 1957.
7. J»S.Fodstrigaczt Podstawowe rozwiązania nieustalonego za-
gadnienia termosprężystego /w jęz.ukraińskim/, Frikł.Mecłi.,
2, 6 /196O/.
8. D.Rudiger, Bemerkuns aur Integration der thermo-elastischeń
Grundgleicinmgen, Ósterr.Ing.Arch., 1-2, 18 /1964/.
9. B.GalerfcLn, Contributioa a la solution generale du probleme
de la thśorie dana le cas de trois dimensiona, C.H.Acad.Sci.,
Paris, 120 /193O/, 104?.
10. M.Jacovacae, O eztiadere a metodei lui Galerkin pentru sis-
temul eciiatiilor elasticitatii, Bul.stiint.Acad.Hep.Pap.
Roaane, Ser.A, ± /19*9/, 593-
- 16 -
11. E.Stemberg, R.A.Eubanks, On. stres3 ^uastioas for elastoki-
neties and the integration of the repea^ed arare eqza.zi.ajs.,
Quart.Appl.HatH., J£ /1957/, 1*9.
12. T.Boggio, Sull integratione di alctuaa e<i«&sicsi *i^,warl
alle derlvate parziali, Ann.Math.Ser.III, 8 /19O?/, 181.