![Page 1: Pracownia Fizyczna i Elektroniczna 2017pracownie1.fuw.edu.pl/pe-F/pliki/wyklad 1 PFE2017 RC RLC.pdf · 2020. 2. 6. · Teoria obwodów rozważa dwa rodzaje idealnych źródeł energii](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022062510/611ce5a37aa7b44b7b685192/html5/thumbnails/1.jpg)
1
Pracownia Fizyczna i Elektroniczna 2017
http://pe.fuw.edu.pl/
Wojciech DOMINIK
Urządzenie
pomiarowe
interfejs
komputer interfejs regulator
Urządzenie
wykonawcze
detektor Zjawisko
przyrodnicze
Struktura układu doświadczalnego Struktura układu doświadczalnego
EKSPERYMENT ELEKTRONICZNY
![Page 2: Pracownia Fizyczna i Elektroniczna 2017pracownie1.fuw.edu.pl/pe-F/pliki/wyklad 1 PFE2017 RC RLC.pdf · 2020. 2. 6. · Teoria obwodów rozważa dwa rodzaje idealnych źródeł energii](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022062510/611ce5a37aa7b44b7b685192/html5/thumbnails/2.jpg)
2
I
dt
dQI
Prąd elektryczny w obwodach; przypomnienie podstawowych pojęć i praw
Natężenie prądu (prąd - I): ilość ładunku dQ przepływająca przez przewodnik w jednostce czasu dt
Napięcie elektryczne (U):
spadek potencjału na części obwodu elektrycznego nie zawierającej źródeł prądu
Prąd: uporządkowany ruch ładunków elektrycznych
![Page 3: Pracownia Fizyczna i Elektroniczna 2017pracownie1.fuw.edu.pl/pe-F/pliki/wyklad 1 PFE2017 RC RLC.pdf · 2020. 2. 6. · Teoria obwodów rozważa dwa rodzaje idealnych źródeł energii](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022062510/611ce5a37aa7b44b7b685192/html5/thumbnails/3.jpg)
3
E I
U1=IR1
U2=IR2
U3=IR3
R1
R2
R3
Prawo Ohma: U = I * R
EIRi
i
0i
iI
I1
I2
I3
I4
I5
I I I I I1 2 3 4 5
Pierwsze prawo Kirchhoffa:
dla dowolnego węzła sieci elektrycznej
Współczynnik proporcjonalności R między napięciem i natężeniem:
Siła elektromotoryczna E : napięcie na odcinku obwodu zawierającego źródło prądu,
a nie zawierającego rezystancji
Drugie prawo Kichhoffa:
dla obwodu zamkniętego
opór lub rezystancja
E=Uwe
Uwy
R1
R2 U UR
R Rwy we
2
1 2
dzielnik napięcia - podstawowy obwód elektryczny
Działanie większości obwodów elektrycznych można opisać jako układ jednego
lub kilku dzielników napięcia +
Wzmacniacz tranzystorowy o wspólnym emiterze
![Page 4: Pracownia Fizyczna i Elektroniczna 2017pracownie1.fuw.edu.pl/pe-F/pliki/wyklad 1 PFE2017 RC RLC.pdf · 2020. 2. 6. · Teoria obwodów rozważa dwa rodzaje idealnych źródeł energii](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022062510/611ce5a37aa7b44b7b685192/html5/thumbnails/4.jpg)
4
I I2R2
R1
I1
IGG
GI
21
1
1
I
GG
GI
21
2
2
1
1
1
RG
2
2
1
RG
gdzie:
Analogicznym układem elektrycznym jest dzielnik prądowy
Prądy w poszczególnych gałęziach wynoszą:
oznaczają przewodności gałęzi obwodu
Teoria obwodów rozważa dwa rodzaje idealnych źródeł energii elektrycznej:
E I
Źródło prądowe: Prąd wyjściowy I nie zależy od napięcia na zaciskach
Źródło napięciowe: Napięcie E na zaciskach (siła elektromotoryczna) nie zależy od natężenia prądu wyjściowego
E I
Rwy
Rwy Uwy
Imax=E/Rwy Uwy=IRwy
Każde rzeczywiste źródło energii elektrycznej może być przedstawione jako:
- źródło napięciowe i szeregowa rezystancja wewnętrzna
lub
- źródło prądowe i bocznikująca je rezystancja wewnętrzna
![Page 5: Pracownia Fizyczna i Elektroniczna 2017pracownie1.fuw.edu.pl/pe-F/pliki/wyklad 1 PFE2017 RC RLC.pdf · 2020. 2. 6. · Teoria obwodów rozważa dwa rodzaje idealnych źródeł energii](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022062510/611ce5a37aa7b44b7b685192/html5/thumbnails/5.jpg)
5
Zasada Thevenina:
Każdą sieć elektryczną można przedstawić w postaci obwodu zastępczego
składającego się ze źródła napięciowego i szeregowej rezystancji wewnętrznej
Zasada Nortona:
Każdą sieć elektryczną można przedstawić w postaci obwodu zastępczego
składającego się ze źródła prądowego zbocznikowanego rezystancją wewnętrzną
Znajomość rezystancji (impedancji) wewnętrznych układów elektrycznych
oraz parametrów ich źródeł jest podstawą świadomego posługiwania się
urządzeniami elektrycznymi
E=Uwe
Uwy
R1
R2
U UR
R Rwy we
2
1 2
wyUE
21
21
RR
RRRwy
![Page 6: Pracownia Fizyczna i Elektroniczna 2017pracownie1.fuw.edu.pl/pe-F/pliki/wyklad 1 PFE2017 RC RLC.pdf · 2020. 2. 6. · Teoria obwodów rozważa dwa rodzaje idealnych źródeł energii](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022062510/611ce5a37aa7b44b7b685192/html5/thumbnails/6.jpg)
6
Natężenie prądu (prąd): dt
dQI
W każdym punkcie obwodu elektrycznego natężenie prądu ma jednakową wartość
E I
U 1 =IR 1
U 2 =IR 2
U 3 =IR 3
R 1
R 2
R 3
u(t)
R
L
C
~
)(ti
)(ti
)(ti
Prawa Kirchhoffa podstawą analizy obwodu !!!
Charakterystyki prądowo napięciowe elementów i ich konfiguracja decydują o charakterystyce obwodu
opór R: )()( tiRtuR
dt
tdiLtuL
)()(
dttiCC
tqtuC )(
1)()(
opór (R)
Bierne elementy elektroniczne to:
)(: tfi
indukcyjność (L)
pojemność (C)
Układy złożone z elementów biernych
Uogólnienie prawa Ohma dla prądów zmiennych: napięcie u(t) jest funkcją prądu i(t)
indukcyjność L:
pojemność C:
Prawa Kirchhoffa obowiązują !!!
Rezystancja R Impedancja Z
![Page 7: Pracownia Fizyczna i Elektroniczna 2017pracownie1.fuw.edu.pl/pe-F/pliki/wyklad 1 PFE2017 RC RLC.pdf · 2020. 2. 6. · Teoria obwodów rozważa dwa rodzaje idealnych źródeł energii](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022062510/611ce5a37aa7b44b7b685192/html5/thumbnails/7.jpg)
7
u(t)
R
L
C
~
)(ti
)(ti
)(ti
C
dtti
dt
tdiLtRitu
)()()()(
)()()()( tutututu CLR
Obwód szeregowy RLC
u(t): źródło napięciowe
o zmiennej sile
elektromotorycznej
Drugie prawo Kichhoffa:
równanie ruchu ładunku elektrycznego
i
iUE
U0 – zespolona amplituda napięcia
C
dtti
dt
tdiLtRitu
)()()()(
CjLjRZ
I
U
o
10
CjZC
1
opór: RZR
LjZL
tjeUtu 0)(
tjeIti 0)(
2 1j
E(t) =Re [u(t)]
I0 – zespolona amplituda natężenia
u(t)
R
L
C
~
)(ti
)(ti
)(ti
Obwód szeregowy RLC – napięcie zmienne harmonicznie:
- częstość kołowa
natężenie prądu:
Podstawiając wyrażenia na i(t) i u(t) otrzymujemy:
Impedancja jest wielkością zespoloną
Z jest impedancją obwodu indukcyjność:
pojemność:
Składowe impedancji Z :
Postać algebraiczna impedancji zastępczej obwodu złożonego zależy od kształtu obwodu !!!
![Page 8: Pracownia Fizyczna i Elektroniczna 2017pracownie1.fuw.edu.pl/pe-F/pliki/wyklad 1 PFE2017 RC RLC.pdf · 2020. 2. 6. · Teoria obwodów rozważa dwa rodzaje idealnych źródeł energii](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022062510/611ce5a37aa7b44b7b685192/html5/thumbnails/8.jpg)
8
nZ ZZZZ
1...
111
21
nZ ZZZZ ....21
Z
Im(Z)
Re(Z)
)(tgRe(Z)
Im(Z)
Szeregowe połączenie impedancji:
Równoległe połączenie impedancji:
Rezystancja: część rzeczywista impedancji Re(Z)
Reaktancja: część urojona impedancji Im(Z)
Reprezentacja impedancji na płaszczyźnie zespolonej:
tangens kąta przesunięcia fazowego między napięciem i natężeniem prądu
Z praw Ohma i Kirchhoffa wynikają prawa szeregowego i równoległego łączenia oporów, które pozwalają obliczać rezystancje zastępcze Rz
R 1 R 2 R 3 R n
R 1 R n R 2
nZ RRRR ......21 1 1 1 1
1 2R R R Rz n
......
Źródło napięciowe u(t) o zmiennej sile elektromotorycznej:
u(t)=uR(t)+uC(t)
C
dttitRitu
)()()(
R
tuti R )()(
RC
dttututu R
R
)(
)()(
dt
tutudRCtu R
R
)]()([)(
dt
tudRCtutu C
C
)]([)()( dttutu
RCtu CC )]()([
1)(
dttuRC
tuC )(1
)(dla uC(t) << u(t)
dt
tudRCtuR
)]([)( dla uR(t) << u(t)
uC(t)= u(t)- uR(t)
Szeregowy obwód RC
Równanie ruchu ładunku elektrycznego:
Prąd w obwodzie:
Po podstawieniu do równania ruchu:
Napięcie na oporze R:
Napięcie na oporze jest zróżniczkowanym napięciem na kondensatorze !
Napięcie na pojemności C:
Napięcie na pojemności C jest scałkowanym napięciem na oporniku !
![Page 9: Pracownia Fizyczna i Elektroniczna 2017pracownie1.fuw.edu.pl/pe-F/pliki/wyklad 1 PFE2017 RC RLC.pdf · 2020. 2. 6. · Teoria obwodów rozważa dwa rodzaje idealnych źródeł energii](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022062510/611ce5a37aa7b44b7b685192/html5/thumbnails/9.jpg)
9
)()( tutu Cwy
dttiC
tuwy )(1
)(
R
tututi
wywe )()()(
dttutuRC
tu wywewy )()(1
)(
po podstawieniu:
gdy uwy<<uwe :
prąd płynący w obwodzie
dttuRC
tu wewy )(1
)(
Obwód całkujący (filtr dolnoprzepustowy)
Napięcie wyjściowe:
tjwewe eUtu )(
Z
Ztutu Cwe
wy
)()(
CjR
Cj
tu
tu
we
wy
1
1
)(
)(
obszar
„dobrego
całkowania”
10 100 1000 10000 100000 0,01
0,1
1
Uwy/Uwe
Częstość [Hz]
...7.02
1
g
pasmo transmisji
10 100 1000 10000 100000
-1,5
-1,0
-0,5
0,0
[rad]
Częstość [Hz] g
--/4
1
1222
CRU
U
we
wy
Transmitancja:
)arctan( RC
RCgg
112
2
1
we
wy
U
U
4
Dla częstości granicznej:
Z
ZZ
Z
tgC
C
Re
Im
RC
1
Obwód całkujący (filtr dolnoprzepustowy)
Dla sygnału harmonicznego:
Stosunek napięć :
Przesunięcie fazowe między napięciem wyjściowym a wejściowym:
Pasmo transmisji filtra dolnoprzepustowego w
skali częstości: od 0 dog
dzielnik napięcia !!!
![Page 10: Pracownia Fizyczna i Elektroniczna 2017pracownie1.fuw.edu.pl/pe-F/pliki/wyklad 1 PFE2017 RC RLC.pdf · 2020. 2. 6. · Teoria obwodów rozważa dwa rodzaje idealnych źródeł energii](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022062510/611ce5a37aa7b44b7b685192/html5/thumbnails/10.jpg)
10
Obwód różniczkujący (filtr górno-przepustowy)
)()( tutu Rwy
)()()( tutudt
dC
dt
dqti wywe
po podstawieniu:
)()()( tutudt
dRCtu wywewy
gdy uwy<< uwe )()( tudt
dRCtu wewy
Napięcie wyjściowe:
prąd płynący w obwodzie
)()( tiRtuwy
tjwewe eUtu )(
Z
Rtutu we
wy
)()(
10 100 1000 10000 100000 0,01
0,1
1
Uwy/Uwe
Częstość [Hz] g
1
2
pasmo transmisji
obszar
„dobrego
różniczkowania”
Uwy<<Uwe
10 100 1000 10000 100000
0,0
0,5
1,0
1,5
[rad]
4
Częstość [Hz] g
CjR
R
tu
tu
we
wy
1)(
)(
12
RC
RC
U
U
we
wy
1arctan
RC
Transmitancja:
RCgg
112
2
1
we
wy
U
U
4
Z
RZ
R
tg
Re
Im
RC
1
Obwód różniczkujący (filtr górno-przepustowy) c.d.
Dla sygnału harmonicznego:
Stosunek napięć:
przesunięcie fazowe między napięciem wyjściowym i wejściowym:
Pasmo transmisji filtra górnoprzepustowego
w skali częstości od g do ∞
Dla częstości granicznej:
dzielnik napięcia !!!
![Page 11: Pracownia Fizyczna i Elektroniczna 2017pracownie1.fuw.edu.pl/pe-F/pliki/wyklad 1 PFE2017 RC RLC.pdf · 2020. 2. 6. · Teoria obwodów rozważa dwa rodzaje idealnych źródeł energii](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022062510/611ce5a37aa7b44b7b685192/html5/thumbnails/11.jpg)
11
Obwód całkujący (filtr dolnoprzepustowy)
Przykłady sygnałów wejściowych i wyjściowych
Układ całkujący jest wykorzystywany do:
filtracji sygnałów
kształtowania sygnałów
uśredniania sygnałów – np. w celu eliminacji zakłóceń
Obwód różniczkujący (filtr górno-przepustowy)
Układ różniczkujący wykorzystywany jest do:
filtracji sygnałów
kształtowania sygnałów,
eliminacji składowej stałej,
wykrywania zboczy itd.
Przykłady sygnałów wejściowych i wyjściowych
![Page 12: Pracownia Fizyczna i Elektroniczna 2017pracownie1.fuw.edu.pl/pe-F/pliki/wyklad 1 PFE2017 RC RLC.pdf · 2020. 2. 6. · Teoria obwodów rozważa dwa rodzaje idealnych źródeł energii](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022062510/611ce5a37aa7b44b7b685192/html5/thumbnails/12.jpg)
12
Z drugiego prawa Kirchhoffa:
C
dtti
dt
tdiLtRitu
)()()()(
u(t)=uR(t)+uL(t)+uC(t)
Równanie ruchu ładunku elektrycznego:
Źródło napięciowe u(t) o zmiennej sile
elektromotorycznej E(t)=Re [u(t)]
CjLjRZ
I
U
o
10 impedancja
Szeregowy obwód RLC
tjeUtu 0)(jeśli
tjeIti 0)(
CjLjR
tuCj
tuwe
C
1
)(1
)(
CjLjR
tuLjtu we
L
1
)()(
CjLjR
tuRtutu we
Rwy
1
)()()(
znika łączna impedancja elementów reaktancyjnych impedancja obwodu = R
napięcia na kondensatorze i indukcyjności osiągają wartości maksymalne
W rezonansie amplitudy napięcia na indukcyjności lub na pojemności mogą
przekroczyć amplitudę napięcia wejściowego !!!
tUtuwe sin)( 0
Szeregowy układ RLC:
napięciowe źródło sygnału harmonicznego
częstość
amplituda Uo
Z zasady dzielnika napięcia:
C
L
R
UU
C
0C
L
R
UUL
00UUR
Im(Z) = 0 LC
10 Dla częstości rezonansowej
amplituda napięcia wyjściowego osiąga wartość największą amplitudy napięć na elementach obwodu mają wartości:
Obwód rezonansowy szeregowy - częstość rezonansowa
![Page 13: Pracownia Fizyczna i Elektroniczna 2017pracownie1.fuw.edu.pl/pe-F/pliki/wyklad 1 PFE2017 RC RLC.pdf · 2020. 2. 6. · Teoria obwodów rozważa dwa rodzaje idealnych źródeł energii](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022062510/611ce5a37aa7b44b7b685192/html5/thumbnails/13.jpg)
13
C
L
RU
U
U
UQ CL 1
00
P
E
TRI
LI
TR
Lj
U
UQ LL 2
)(
)(22
021
202
10
0
Wielkość: dobroć obwodu
Ogólna definicja:
Dobroć wyraża stosunek energii zmagazynowanej w układzie rezonansowym (EL)
do mocy traconej (P ) w ciągu jednego okresu drgań (T ) przy częstości rezonansowej
Inna postać wyrażenia na dobroć:
Magazynowanie energii w elementach reaktancyjnych obwodu rezonansowego o wysokiej
dobroci i wywołane przez nie „podbijanie” napięcia jest wykorzystywane do filtracji i
transformowania sygnałów o określonej częstości
DOBROĆ OBWODU
amplitudy dla częstości rezonansowej !!!
tjwewe eUtu )(
CjLjR
tRututu we
Rwy
1
)()()(
L = 2 mH, C = 1 nF
R=300
10 3 10 4 10 5 10 6 10 7 10 8
0,0
0,2
0,4
0,6
0,8
1,
0
częstość [Hz]
UWY/UWE
g1 g2
2
1
Przesunięcie fazowe między napięciem wyjściowym i wejściowym:
2
2 1)(
)(
CLR
R
Z
R
U
U
tu
tu
we
wy
we
wy
Z
RZ
R
tg
Re
Im
RC
LC
21arctan
LC
10
103 10
4 10
5 10
6 10
7
częstość [Hz]
faza [rad]
g1 g2
-/4
/4
R=300
-π/2
π/2
0.0
L=2 mH, C=1 nF
Filtr rezonansowy szeregowy
napięcie wyjściowe := napięcie na oporniku
LC
10
Transmitancja obwodu: Stosunek amplitud napięcia wyjściowego do wejściowego:
Sygnał wejściowy harmoniczny, częstość
Dzielnik napięcia !!!
![Page 14: Pracownia Fizyczna i Elektroniczna 2017pracownie1.fuw.edu.pl/pe-F/pliki/wyklad 1 PFE2017 RC RLC.pdf · 2020. 2. 6. · Teoria obwodów rozważa dwa rodzaje idealnych źródeł energii](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022062510/611ce5a37aa7b44b7b685192/html5/thumbnails/14.jpg)
14
2
1
we
wy
U
U
4
10 3 10 4 10 5 10 6 10 7 10 8
0,0
0,2
0,4
0,6
0,8
1,
0
częstość [Hz]
UWY/UWE L = 2 mH, C = 1 nF
R=50
R=300
g1 g2
2
1
103 10
4 10
5 10
6 10
7
częstość [Hz]
faza [rad]
g1 g2
-/4
/4
R=300
-π/2
π/2
0
R=50
LC
10
01
C
L
RQDobroć:
Filtr rezonansowy szeregowy c.d.
Dla częstości granicznych:
LC
10
Pasmo przenoszenia zlokalizowane jest w okolicach częstości rezonansu:
Pasmo przenoszenia filtru rozciąga się od g1 do g2 - częstości graniczne
Opór, indukcyjność i pojemność to pojęcia teoretyczne
Rzeczywiste konstrukcje - opornik, cewka czy kondensator
zawierają wielkości pasożytnicze (z indeksem p)
Przy pewnych częstościach sygnału wielkości pasożytnicze mogą istotnie zniekształcić własności elementu
Każdy rzeczywisty bierny element elektroniczny jest złożonym układem impedancji
![Page 15: Pracownia Fizyczna i Elektroniczna 2017pracownie1.fuw.edu.pl/pe-F/pliki/wyklad 1 PFE2017 RC RLC.pdf · 2020. 2. 6. · Teoria obwodów rozważa dwa rodzaje idealnych źródeł energii](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022062510/611ce5a37aa7b44b7b685192/html5/thumbnails/15.jpg)
15
ck
kabel
źródło miernik (oscyloskop)
Rwy
cm
źródło miernik (oscyloskop)
Cs
Rwe
W systemach pomiarowych przy nieumiejętnym łączeniu aparatury elektrycznej pasożytnicze obwody RLC mogą zniekształcać sygnały
Przykład 1 Połączenie wysokooporowego źródła z urządzeniem pomiarowym
obwód całkujący: ograniczenie od góry pasma przenoszenia obwodu pomiarowego do częstości 1/(2RwyC).
obwód różniczkujący ograniczający od dołu pasmo pomiarowe
Przykład 2 Sprzężenie typu AC.
Przykład 3 Brak kontaktu kabla w gnieździe oscyloskopu
równoważny pojemności, która wraz z rezystancją wejściową tworzy filtr górnoprzepustowy powodujący różniczkowanie sygnałów wejściowych.
![Page 16: Pracownia Fizyczna i Elektroniczna 2017pracownie1.fuw.edu.pl/pe-F/pliki/wyklad 1 PFE2017 RC RLC.pdf · 2020. 2. 6. · Teoria obwodów rozważa dwa rodzaje idealnych źródeł energii](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022062510/611ce5a37aa7b44b7b685192/html5/thumbnails/16.jpg)
16
1
1
1
1
)()(
LjCjR
LjCj
tutuwy
LC
10
u-wy
u-we
1kHz
L
R
C
1kHz
L
R
C
11
)()(
LjCjR
Rtutuwy
LC
10
filtr pasmowy zaporowy
Filtr rezonansowy równoległy
Dla częstości rezonansowej napięcie wyjściowe osiąga wartość największą
Dla częstości rezonansowej napięcie wyjściowe osiąga wartość najmniejszą