PRACTICA: MATRICES Y DETERMINANTES
1. Sean las matrices cuadradas siguientes
A = 1 2 3 B = 9 8 7 C = 1 3 5
4 5 6 6 5 4 7 9 0
7 8 9 3 2 1 -3 -2 -1
Se pide calcular:
a. 2A -3B + C
2A = 2(1) 2 (2) 3(2) 2 4 6
4(2) 5 (2) 6(2) = 8 10 12
7(2) 8 (2) 9(2) 14 16 18
3B = 9(3) 8(3) 7(3) 27 24 21
6(3) 5(3) 4(3) = 18 15 12
3(3) 2(3) 1(3) 9 6 3
2A-3B = 2 4 6 27 24 21 -25 -20 -15
8 10 12 - 18 15 12 = -10 -5 0
14 16 18 9 6 3 5 10 15
2A-3B + C = -25 -20 -15 1 3 5 -24 -17 -10
-10 -5 0 + 7 9 0 = -3 4 0
5 10 15 -3 -2 -1 2 8 14
B. 2A2-3AB + AC
A2
= 1 2 3 1 2 3 30 36 42
4 5 6 = 4 5 6 = 66 81 96
7 8 9 7 8 9 102 118 150
2A2
= 30 (2) 36 (2) 42 (2) 60 72 84
66 (2) 81 (2) 96 (2) = 132 162 192
102 (2) 118 (2) 150 (2) 204 236 300
1+8+21 = 30 12+30+54 = 96
2+10+24 = 36 7+32+63 = 102
3+12+27 = 42 14+40+64 = 118
4+20+42 = 66 21+48+81 = 150
8+25+48 = 81
AB = 1 2 3 9 8 7 30 24 18
4 5 6 X 6 5 4 = 84 69 54
7 8 9 3 2 1 138 114 90
3AB = 30(3) 24(3) 18(3) 90 72 54
84(3) 69(3) 54(3) = 252 207 162
138(3) 114(3) 90(3) 414 342 370
2A2 -3AB
60 72 84 90 72 54 -30 0 30
132 162 192 - 252 207 162 = -120 -45 30
204 236 300 414 342 270 -210 -106 30
AC = 1 2 3 1 3 5 6 15 2
4 5 6 X 7 9 0 = 21 45 14
7 8 9 -3 -2 -1 36 75 26
. 2A2-3AB + AC
-30 0 30 6 15 2 -24 15 32
-120 – 45 30 + 21 45 14 = -99 0 44
-210 -106 30 36 75 26 -174 -31 56
C. 2A2B-3AB
2 + ACB
A2B = 30 36 42 X 9 8 7 612 504 396
66 81 96 6 5 4 = 1368 1125 882
102 118 150 3 2 1 2076 1706 1336
9+12+9 = 30 28+20+6 = 54
8+10+6 = 24 63+48+27= 138
7+8+3 =18 56+40+18 = 114
36+30+18 = 84 49+32+9 = 90
32+25+12 = 69
1 +14-9 = 6 20+0-6 = 14
3+18-6 = 15 7+56-27 = 36
5+0-3 = 2 21+72-18= 75
4+35-18 = 21 35+0-9 = 26
12+45-12 = 45
270+216+126= 612 816+590+300= 1706 240+180+84= 504 714+472+150= 1336
210+144+42= 396
594+486+288=1368
528+405+192= 1125
462+324+96= 882
918+708+450= 2076
2A2B= 612(2) 504(2) 396(2) 1224 1008 792
1368(2) 1125(2) 882(2) = 2736 2250 1764
2076(2) 1706(2) 1336(2) 4152 3412 2672
HALLAMOS 3AB2
B2
= 9 8 7 9 8 7 150 126 102
6 5 4 X 6 5 4 = 96 81 66
3 2 1 3 2 1 42 36 30
A B2 = 1 2 3 150 122 102 468 396 324
4 5 6 X 96 81 66 = 1332 1125 918
7 8 9 42 36 30 2196 1854 1512
3A B2 = 3 X 468 396 324 1404 1188 972
1332 1125 918 = 3996 3375 2754
2196 1854 1512 6588 5562 4536
HALLAMOS AB
AB = 1 2 3 9 8 7 30 24 18
4 5 6 X 6 5 4 = 84 69 54
7 8 9 3 2 1 138 114 90
81+48+21 = 150 27+12+3 = 42
72+40+14 = 126 24+10+2= 36
63+32+7 = 102 21+8+1 = 30
54+30+12 = 96
48+25+8 = 81
42+20+4 = 66
150+192+126= 468 1050+168+378=2196
126+162+108= 396 882+648+324= 1854
102+132+90= 324 714+528+270= 1512
600+480+252= 1332
504+405+216= 1125
408+330+180= 918
9+12+9=30 63+48+27= 138
8+10+6= 24 56+40+17= 114
7+8+3= 18 49+32+9 = 90
36+30+18= 84
32+25+12= 69
28+20+6= 54
HALLAMOS AXBXC
30 24 18 1 3 5 144 270 132
84 69 54 X 7 9 0 = 405 765 366
138 114 90 -3 -2 -1 666 1260 600
2A2B-3AB
2 + ACB =
1224 1008 792 1404 1188 972 -180 -180 -180
2736 2250 1764 - 3996 3375 2754 = -1260 -1125 -990
4152 3412 2672 6588 5562 4536 -2436 -2150 -1864
-180 -180 -180 144 270 132 -36 90 -48
-1260 -1125 -990 + 405 765 366 = -855 -360 -624
-2436 -2150 -1864 666 1260 600 -1770 -890 -1264
2 Sean la matrices
A = 1 -4 2 B = 1 2 C = 2 2
-1 4 -2 -1 3 1 -1
5 -2 1 -3
Se pide calcular
a. B+C
B = 1 2 + 2 2 3 4
-1 3 1 -1 = 0 2
5 -2 1 -3 6 -5
B. AB
A = 1 -4 2 X 1 2 = 15 -14
-1 4 -2 -1 3 -15 14
5 -2
30+168-54= 144 138+798-270 =666
90+216-36= 270 414+1026-180= 1260
150-18 =132 690-90 =600
84+483-16=405
252+621-108 = 765
420-54 =366
1+4+10= 15
2-12-4 = -14
-1-4-10= -15
-2+12+4= 14
C. BA
1 2 X 1 -4 2 = 1 4 -2
-1 3 -1 4 -2 -4 16 -8
5 -2 7 -28 14
D. A(B+C)
B+C = 1 2 2 2 3 4
-1 3 + 1 -1 = 0 2
5 -2 1 -3 6 -5
A(B+C)
1 -4 2 X 3 4 = 15 -14
-1 4 2 0 2 -15 14
6 -5
E. A(2B-3C)
2B = 1(2) 2(2) 2 4
-1(2) 3(2) = -2 6
5(2) -2(2) 10 -4
3C = 2(3) 2(3) 6 6
1(3) -1(3) = 3 -3
1(3) -3(3) 3 -9
2B-3C =
2 4 6 6 -4 -2
-2 6 - 3 -3 = -5 3
10 -4 3 -9 7 5
A(2B-3C)
1 -4 2 X -4 -2 = 30 -4
-1 4 -2 -5 3 -30 4
7 5
1-2 = 1 4+12= 16 10+4=14
-4+8= 4 -2-6= -8
2-4= -2 5+2= 7
-1-3= -4 -20-8= -28
3-0+12=15
4-8-10=-14
-3+0-12=-15
-4+8+10= 14
-4+20+14= 30
-2-12+10= -4
4-20-14= -30
2+12+10= 4
3. HALLAR x,y,z y w si;
3 x y = x 6 + 4 x+y
z w -1 2w z+w-1 2w + 3
3x 3y = 4+x 6+x+y
3z zw z+w-2 4w + 3
4+x = 3x 6+x+y = 3y 4w + 3 = 3w z + w -2 = 3z
4 = 2x 6+2+y = 3y 3 = -w -5 = 2z
x = 2 8+y = 3y -3 = w z = -5/2
8 = 2y
y = 4
4. Sean
A = 1 3 Y B = 2 0 -4
2 -1 3 -2 6
CALCULAR AB Y BA
AB = 1 3 = 2 0 -4 = 11 -6 14
2 -1 3 -2 6 1 2 -14
BA
2 0 -4 X 1 3 = NO SE PUEDE
3 -2 6 2 -1
5. Hallar las matrices que conmutan con A , es decir AB = BA donde A = -1 -2
-3 4
AB = -1 -2 = a b = -a-2c -b- 2d
-3 4 c d -3a+4c -3b+4d
2+9= 11 0+2 = 2
0-6 = -6 -8-6= -14
-4+18= 14
4-3 = 1
BA = a b -1 -2 - a -3b -2a+4b
c d x -3 4 = -c-3d -2c+4d
-a-2c= -a-3b -2c = -3b
-3a+4c = -c-3d
-b – 2d = -2a +4b
-3b +4d = -2c +4d
Reemplazamos por un factor: c = 6u
b = 4u
-3a+4(6u) = -6u-3d
-3a+24u = -6u -3d
-3a= -30-3d
3d = -30u+3a
d = -10u +a
-4u-2 (-10u+a) = -2 + 4 (4u)
-4u(-20u+2a) = -2a +16u
-4u+20u -2a = -2a+16u
Necesitamos un 2do parámetro V y haciendo a = b, las ecuaciones parametricas son
a = v
b = 4u
c = 6u
d = -10u+v
Dando valores arbitrarios a u y v se obtienen todas la matrices B que conmutan con
A
U = 1 y v = 1
Entonces :
AXB = -1 -2 X 1 4 = -13 14
-3 4 6 -9 21 -48
BXA = 1 4 X -1 -2 = -13 14
6 9 -3 4 21 -48
PARA u = 0 y v = 0
-1 -2 1 0 = -1 -2
-3 4 0 1 3 4
-1-12=-13
-4+18= 14
-3+24 = 21
-12-36 = -48
-1-12 = -13
-2+16= 14
-6+27 = 21
-12 -36 = -48
-1-0= -1
0-2 = -2
-3+0 = -3
0+4 = 4
1 0 = -1 -2 = -1 -2
0 1 -3 4 3 4
6. probar que las matrices AAT y A
TA están definidas para cualquier matriz A e
Mnxm ®
A = -1 -2 At = -1 -3
-3 4 -2 4
AAt = -1 -2 -1 -3 = 5 -5
-3 4 -2 4 -5 25
AtA = -1 -3 -1 -2 = 10 -10
-2 4 -3 4 -10 20
-1+0 = -1
-2+0 = -2
0-3 = -3
0 + 4 = 4
7. Encontrar AAT y A
TA donde:
A = 1 2 0
3 -1 4
Entonces
AT
= 1 3
2 -1
0 4
AAT
= 1 2 0 = 1 3 = 3 -1
3 -1 4 2 -1 1 26
0 4
ATA = 1 3 x 1 2 0 = 10 -1 12
2 -1 3 -1 4 -1 5 -4
0 4 12 -4 16
8. Sean A = 1 2 calcular A2 y A
3 hallar F(A) donde = F (x) = 2x
3- 4x
2 + x + 5
4 -3
A2
= 1 2 x 1 2 = 9 -4
4 -3 4 -3 -8 17
A3
= 9 -4 x 1 2 = -7 30
-8 17 4 -3 60 -67
F(A) = 2 ( A3) - 4 (A
2) + A + 5
F (A) = -7 (2) 30 (2) - 9(2) -4(2) + 1 2 + 5
60(2) -67 (2) -8(2) 17 (2) 4 -3
1-2 = 3
1-2 = -1
3-2 = 1
9+1+16 = 26
1+9 = 10 4+1 = 5
2-3 = -1 0-4 = -4
0+12 = 12 0+12 = 12
2-3 = -1 0-4 = -4
0+16 = 16
1 + 8 = 9
2 – 6 = -4
4 – 12 = -8
8 + 9 = 17
9-16 = -7
18+12 = 30
-8 + 68 = 60
-16-51 = -67
9. Dada la matriz A = 1 3 encontrar un vector u = x no nulo tal que Au= 3u
4 -3 y
A x x = 3 x x
Y y
1 3 x = 3x
4 -3 y 3y
x + 3y = 3x
4x – 3y 3y
x + 3y = 3x entonces 3y = 2x
4x - 3y = 3y entonces 4x = 6y
Establecemos parámetros
x = 4u
y = 6u
Entonces:
u = 4u
6u
11. Dada las matrices
A = 1 2 B = -1 2 C = -3 0 2 1
3 4 3 1 4 3 -3 0
5 -7
Calcular
a. AXB
b. BXA
c. BXC
d. AXC
A x B = 1 2 x -1 2 = NO SE PUEDE
3 4 3 1
5 -7
B x A = -1 2 x 1 2 5 6
3 1 3 4 = 6 10
5 -7 -16 8
B x C = -1 2 x -3 0 2 1 = 11 6 - 8 -1
3 1 4 3 -3 0 5 3 - 3 3
5 -7 -43 -21 31 -5
A x C = 1 2 x -3 0 2 1 = 5 6 -1 1
3 4 4 3 -3 0 7 12 6 3
13. Hallar el rango de las siguientes matrices
a. A = 1 0 1 = Rango = 3
3 2 -1
1 1 0
b. B = 1 2 0 1 4 = Rango = 3
0 1 -1 2 5
4 0 1 0 0
c. C = 2 4 1 = Rango = 3
1 2 0
3 5 3
d. D = 1 -2 1 -2 = Rango = 3
-2 1 1 1
1 1 -2 4
e. E = 1 2 3 6 F3 = F1+F2
2 3 5 10 Rango = 3
3 5 8 16
4 2 6 12
5 6 12 23
14. Sean A. B y C matrices regulares (No singular) del mismo orden nxm.
Demostrar que si
AB = BA B = C
(Obs. Si A no es Regular, el resultado no es cierto)
A = 1 2 B = 3 4 C = a b
3 4 2 1 c d
A x B = A x C
A x B = 1 2 3 4 = 7 6
3 4 2 1 17 16
7 6 = 1 2 x a b = a + 2c = 7
17 16 3 4 c d 3a + 4c = 17
b + 2d = 6
3b + 4d = 16
A = 3 b = 4 c = 2 d = 1
15. Dadas las matrices
A = 1 1 B = 5 2 C = -1 1 D = 1 -2
2 1 2 1 2 -1 -2 5
Compruébese que:
a. C = A
-1
Hallamos A -1
A = 1 1
2 1
1 1 1 0
2 1 0 1
Aplicando Gauss
1 1 1 0 2F1 –F2 F2
2 1 0 1
1 1 1 0 F2-F1 F1
0 1 2 -1
-1 0 1 -1 -1 F1 F1
0 1 2 -1
luego A -1
= -1 1
2 -1
b. D = B -1
B = 5 2 1 0 2F1 - 5F2 F2
2 1 0 1
5 2 1 0 2F2+ F1 F1
0 -1 2 -5
5 0 5 -10 1/5 F1 F1
0 -1 2 -5 -1F2 F2
1 0 1 -2 entonces B -1
= 1 -2
0 1 -2 5 -2 5
c. C + D = (A + B ) -1
C + D = -1 1 + 1 -2 = 0 -1
2 1 -2 5 0 4
A + B = 1 1 5 2 = 6 3
2 1 + 2 1 4 2
(A + B ) -1
= 6 3 = Matriz nula no tiene inversa
4 2
Determinante
6 3 = 6*2-3*4 = 0
4 2
16. Hallar las inversas de las siguientes matrices :
1 0 3
2 1 -1
3 1 4
[DET ] = 1 0 3
2 1 -1 = 1x1x4 + 0x-1x3 + 2x1x3 – (-3x1x3 + 1x-1x1 + 2x0x4) =2
3 1 4
adjuntas :
1 0 3
2 1 -1 = a11 = 1 -1 = 4+1 = 5
3 1 4 1 4
1 0 3
2 1 -1 = a12 = 2 -1 = 8+3 = 11
3 1 4 3 4
1 0 3
2 1 -1 = a13 = 2 1 = 2-3 = -1
3 1 4 3 1
1 0 3
2 1 -1 = a21 = 0 3 = 0-3 = -3
3 1 4 1 4
1 0 3
2 1 -1 = a22 = 1 3 = 4-9 = -5
3 1 4 3 4
1 0 3
2 1 -1 = a23 = 1 0 = 1-0 = 1
3 1 4 3 1
1 0 3
2 1 -1 = a31 = 0 3 = 0-3 = -3
3 1 4 1 -1
1 0 3
2 1 -1 = a32 = 1 3 = -1-6 = -7
3 1 4 2 -1
1 0 3
2 1 -1 = a33 = 1 0 =1-0 = 1
3 1 4 2 1
entonces adj. = 5 11 -1 cambio de signo = 5 -11 -1 traspuesta = 5 3 -3
-3 -5 1 3 -5 -1 -11 -5 7
-3 -7 1 -2 7 1 -1 -1 1
A -1
= (adj (A))t
A
A -1
= 1/2 x 5 3 3 5/2 3/2 -3/2
11 5 7 = -11/2 -5/2 7/2
1 1 1 -1/2 -1/2 ½
b. 2 0 1
1 3 2 = 2x3x3 + 0x2x1 + -3x1x1 – (3x1x1 -3x2x2 + 1x0x3) = 24
1 -3 3
adjuntos :
a11 = 3 2 = 9+6 = 15
-3 3
a12 = 1 2 = 3-2 = 1
1 3
a13 = 1 3 = -3-3 = -6
1 -3
a21 = 0 1 = 0+3 = 3
-3 3
a22 = 2 1 = 6-1 = 5
1 3
a23 = 2 0 = -6+0= -6
1 3
a31 = 0 1 = 0-3 = -3
2 2
a32 = 2 1 = 4 – 1 = 3
1 2
a33 = 2 0 = 6
1 3
entonces adj. = 15 1 0 cambio de signo = 15 -1 -6 traspuesta = 15 -3 -3
3 5 -6 -3 5 6 -1 -5 -3
-3 3 6 -3 -3 6 -6 6 6
A -1
= (adj (A))t
A
A -1
= 1/24 x 15 -3 -3 0.625 -0.125 -0.125
-1 5 -3 = -0.04167 0.20833 -0.125
-6 6 6 -0.25 0.25 0.25
c. 1 3 0 3 -0.2 0.6 0 0.6
2 1 -1 1 = 0 0 1 -4
0 1 4 0 0 0 0 1
0 0 1 0 0.4 -0.2 -1 3.8
Det c =
1era columna = 1 se multiplica por 1
2 se multiplica por -1
0 se multiplica por 1
0 se multiplica por -1
Det c = 1x 1 -1 1 -1x 2 x 3 0 3 + 0 + 0
1 4 0 1 4 0
0 1 0 0 1 0
= {1x4x0 + -1 x0 x0 + 1x1x1 – ( 0x4x1 +1x0x1 + 1x-1x0)} -2 x (3x4x0 + 0x0x0
+ 1x1x3 – (0x4x3 + 1x0x3 + 1x0x0))
0 +0 +1 – (0+ 0 +0) – 2 (0 +0+3 – (0 +0 +0))
1 – 2 (3 ) = -5
ADJUNTOS
A 1 1 = 1 -1 1 = 1
1 4 0
0 1 0
A12 = 2 -1 1 = 0
0 4 0
0 1 0
A13 = 2 1 1 = 0
0 1 4
0 0 0
A14 = 2 1 -1 = 2
0 1 4
0 0 1
A21 = 3 0 3 = 3
1 4 0
0 1 0
A 22 = 1 0 3 = 0
0 4 0
0 1 0
A23 = 1 3 3 = 0
0 1 0
0 0 0
A24 = 1 3 0= 1
0 1 4
0 0 1
A31 = 3 0 3 = 0
1 -1 1
0 1 0
A32 = 1 0 3 = 5
2 -1 1
0 1 0
A33 = 1 3 3 = 0
2 1 1
0 0 0
A34 = 1 3 0 = 5
2 1 -1
0 0 1
A41= 3 0 3 = 3
1 -1 1
1 4 0
A42 = 1 0 3 = 20
2 -1 1
0 4 0
A43 = 1 3 3 = 5
2 1 1
0 1 0
A44 = 1 3 0 = 19
2 1 -1
0 1 4
18. Calcular las siguientes determinantes :
2 1 3 1 a 1 cos o -sin o cos o sin o
1 2 0 4 a b sin o cos o sin o -cos o
2 1 = (2x2)-1 = 3
1 2
3 1 = 12-0 = 12
0 4
a 1 = ab – a = a ( b-1)
a b
cos o -sen o = cos o x cos o –(-sen o x sen o) = cos2 o + sen
2 o
sen o cos o
= 1+cos 2o + 1- cos 2o = 1
2
cos o sen o = (cos o x- cos o) – ( sen o x sen o) = -cos2 o – sen
2 o
sen o -cos o
-1 1+cos 2o + 1- cos 2o = -1
2
20. Demostrar que si a, b y c son números reales las raíces de la ecuación
a – x b = 0 son reales
b c- x
a - x b = (a-x) ( c-x) –b2 = 0 entonces = ac –ax –xc +x
2 -b
2 = 0
b c – x
= ac – ax –xc +x2
= b 2
21. Calcular los siguientes determinantes
1 4 3
2 1 0 = 1x1x1 + 2x3x3 + 4x0x0 – (0x1x3 + 3x0x1 + 2x4x1) = 19-8 = 11
0 3 1
1 1 1
x y z = y2 (x-2 ) + x2 (z-y) + x2 (y-x)
x2 y
2 z
2
1 a b
0 1 c = 1 x 1 x 1 + ac x 0 + 0 x 0x b – (b x 0 + c x 0 + a x 0) = 1
0 0 1
22 . Calcular las siguientes determinantes mediante su desarrollo por la primera
columna
a.
3 2 1 3
7 6 5 elementos de la primera columna 7
1 2 3 1
a11 …….. 1+1 = 2 par , se multiplica por 1
a12 ……. 1+2 = 3 impar, se multiplica por -1
a13…….. 1+3 = 4 par , se multiplica por 1
3 2 1
7 6 5 = 1x3 6 5 + -1 x 7 2 1 + 1x1 2 1
1 2 3 2 3 2 3 6 5
= 3 (18-10) + -7 (6-2) + (10-6)
= 24-24 = 0
b.
3 0 1 3
4 3 2 elementos de la 1era columna 4
1 2 1 1
a11………. 1+1=2 par se multiplica por 1
a12………… 1+2=3 impar, se multiplica por 2
a13…………. 1 +3=3 par se multiplica por 1
3 0 1
4 3 2 = 1x3 3 2 + -1x4 0 1 + 1x1 0 1
1 2 1 2 1 2 1 3 2
= 3 (3-4) -4 (0-2) + (0-3)
= 2
c.
1 0 0 7 1
0 1 2 3 1era columna 0
2 1 1 1 2
0 3 2 1 0
a11………. 1+1=2 se multiplica por 1
a12………. 1-2=3 se multiplica por -1
a13………1+3=4 se multiplica por 1
a14………1+4=5 se multiplica por -1
1 0 0 7 1 2 3 0 0 7 0 0 7 0 0 7
0 1 2 3 = 1x1 1 1 1 + 1x0 1 1 1 + 1x2 1 2 3 + -1x0 1 2 3
2 1 1 1 3 2 1 3 2 1 3 2 1 1 1 1
0 3 2 1
= [1x1x1 + 2x1x3 + 2x1x3 – ( 3x1x3 + 2x1x1 + 2x1x1)]
+ 0 + 0 + [2x(0x2x1 + 0x3x3 + 2x1x7) – (3x2x7 + 2x3x0 + 0x1x1)]
= 0+0+0-56
= -56
23. calcular las siguientes determinantes reduciéndolos a una matriz triangular
superior mediante operaciones elementales
2 4 -2
3 5 2 = 2x5x1 + 2x4x2 + 3x5x-2 – ( 2x5x-2 + 5x2x2 + 3x4x1)
2 5 1
= 10 + 16 - 30 – (-20 + 20 + 12)
= -4 -12 = -16
1 0 3 5 1
2 1 2 7 2
2 2 0 4 1era columna 2
3 2 1 2 3
a11 ……….. 1+1=2 multiplicamos por 1
a12………... 1+2=3 multiplicamos por -1
a13……….. 1+3=4 multiplicamos por 1
a14………... 1+4=5 multiplicamos por -1
1 0 3 5
2 1 2 7 = 1x1 1 2 7 + 2x-1 0 3 5 + 2x1 0 3 5 + 3x-1 0 3 5
2 2 0 4 2 0 4 2 0 4 1 2 7 1 2 7
3 2 1 2 2 1 2 2 1 2 2 1 2 2 0 4
=1x0x2 + 2x4x2 + 2x1x7 – (2x7x0 + 1x4x1 + 2x2x2) -2 [0x2x2 + 3x4x2 + 2x1x5 –
(2x0x5 + 4x1x0 + 2x3x2)] + 2[0x2x2 + 3x7x2 + 1x1x5 – ( 2x2x5 + 1x7x0 + 1x3x2 ) –
3[0x2x4 + 3x7x2 + 1x0x5 – ( 2x2x5 + 0x7x0 + 1x3x4) ]
= 18 – 44 + 42 - 30 = -14
26. Calcule Det AB , Det BAt , Det ABA
-1B, Det Bb
-1
A = 1 2 0 0 B = 1 0 0 3
0 2 0 0 0 4 0 4
0 2 1 0 0 0 0 -1
0 2 0 1 1 1 2 8
AxB = 1 2 0 0 1 0 0 3 1 8 0 11
0 2 0 0 x 0 4 0 4 = 0 8 0 8
0 2 1 0 0 0 0 -1 0 8 0 7
0 2 0 1 1 1 2 8 1 9 2 16
1 8 0 11 1
0 8 0 8 = 1era columna 0
0 8 0 7 0
1 9 2 16 1
a11…….. se multiplica por 1
a12……. se multiplica por -1
a13……. se multiplica por 1
a14……. se multiplica por -1
= 1x1 8 0 8 + 0x-1 8 0 11 + 0x1 8 0 11 + 1x-1 8 0 11
8 0 7 8 0 7 8 0 8 8 0 8
9 2 16 9 2 16 9 2 16 8 0 7
= 8x0x16 + 0x7x9 + 8x2x8 – (9x0x8 + 2x7x8 + 0x8x16) + 0 + 0 +[ -1x 0 ]
= 16
BxA = 1 0 0 3 1 2 0 0 = 1 8 0 3
0 4 0 4 x 0 2 0 0 0 16 0 4
0 0 0 -1 0 2 1 0 0 -2 0 -1
1 1 2 8 0 2 0 1 1 24 2 1
(BxA)t = 1 0 0 1
8 16 -2 24
0 0 0 2
3 4 -1 1
Det (BA)t = 1 0 0 1 1
8 16 -2 24 8
0 0 0 2 1era columna 0
3 4 -1 1 3
a11…….. se multiplica por 1
a12……. se multiplica por -1
a13……. se multiplica por 1
a14……. se multiplica por -1
= 1x1 16 -2 24 + 8x-1 0 0 1 + 0 + 3 x -1 0 0 1
0 0 2 0 0 2 16 -2 24
4 -1 1 4 -1 1 0 0 2
= 16x0x1 + -2x2x4 + 0x-1x24 – ( 24x0x4 + -1x2x16 + -2x0x1)+ 0 + 0 + 0
= 0-16-0+32-0 = 16
DET (ABA-1
B)
A-1
= 1 -1 0 0 ABA-1
= 0 -8 0 11 ABA-1B = 11 -21 22 56
0 0.5 0 0 0 -4 0 8 8 -8 16 48
0 -1 1 0 0 -3 0 7 7 -5 14 44
0 -1 0 1 0 -14.5 2 16 16 -42 32 68
DET (ABA-1
B)
11 -21 22 56 11
8 -8 16 48 1ERA COLUMNA 8
7 -5 14 44 7
16 -42 32 68 16
a11…….. se multiplica por 1
a12……. se multiplica por -1
a13……. se multiplica por 1
a14……. se multiplica por -1
= 1x11 -8 16 48 + 8x-1 -21 22 56 + 7x1 -21 22 56 + 16x-1 -21 22 56
-5 14 44 -5 14 44 -8 16 48 -8 16 48
-42 32 68 -42 32 68 -42 32 68 -5 14 44
= 0
DET (BB-1
)
B-1
=
1 0 0 3 1 0 3 0
BX B-1
= 0 4 0 4 X 0 0.25 1 0.5
0 0 0 -1 -0.5 -0.125 2 0.5
1 1 2 8 0 0 -1 0
1 0 3 0
0 0.25 1 0
-0.5 -0.125 2 0.5
0 0 -1 0
BX B-1
= 1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1
DET (BXB-1) = 1 0 0 0 1
0 1 0 0 1ERA COLUMNA 0
0 0 1 0 0
0 0 0 1 0
a11…….. se multiplica por 1
a12……. se multiplica por -1
a13……. se multiplica por 1
a14……. se multiplica por -1
= 1 0 0 + 0 + 0 + 0
0 1 0
0 0 1
= 1x1x1 + 0x0x0 + 0x0x0 – (0x1x0 +0x0x1 + 0x0x1)
= 1
27. Comprobar sin desarrollar, que el determinante de la matriz A es múltiplo de 9
2 6 7
5 12 4 = 2x12x9 + 6x4x3 + 5x18x7 – ( 3x12x7 + 18x4x2 + 5x6x9) = 378
3 18 9
28. Demostrar el siguiente determinante conocido como determinantes de vandermonde
1 1 1 1
a b c d = (b-a) (c-a) (d-a) (b-c) (b-d) (c-d)
a2 b
2 c
2 d
2
a3 b
3 c
3 d
3
Determinante de Vandermonde.
El de orden 4 es de la forma V =
Para conseguir ceros en la 1ª columna, se resta, a cada fila la anterior multiplicada por a,
empezando desde abajo .
Nos queda: =(b-a)(c-a)(d-a) Y da un determinante del mismo tipo pero de orden tres, siguiendo el mismo proceso,
= (c-b)(d-b) = (c-b)(d-b)(d-c).
Luego: V = (b-a)(c-a)(d-a)(c-b)(d-b)(d-c).
29. Dada la matriz
A = a (2a-1) 3 1
1 1 1 1 determinar el rango de A según los valores del parámetro
0 -1 0 1 a e
3 5 3 a
Si a = 1 tenemos 1 1 3 1
1 1 1 1 rg = 3
0 -1 0 1
3 5 3 1
Si a = 2 tenemos 2 3 3 1
1 1 1 1 rg = 4
0 -1 0 1
3 5 3 1
Si a = 3 tenemos 3 5 3 1
1 1 1 1 rg = 3
0 -1 0 1
3 5 3 3
Si a = 4 tenemos 4 7 3 1
1 1 1 1 rg = 4
0 -1 0 1
3 5 3 4
31. Dada la matriz
A = 1 2 4
3 8 -2
2 0 4
Se pide
a. Hallar la matriz Adj (a)
b. Calcular A
c. Comprobar que : Ax Adj (A)t = Adj (a)t xA = A I
a. ADJUNTAS = 32 -16 -16
-8 -4 16
A11 = 8 -2 = 32 -36 14 2
0 4
A12 = 3 -2 = 16
2 4
A13 = 3 8 = -16
2 0
A21 = 2 4 = 8
0 4
A22 = 1 4 = -4
2 4
A23 = 3 8 = -16
2 0
A31 = 2 4 = -36
8 -2
A32 = 1 4 = -14
3 -2
A33 = 1 2 = 2
3 8
b. Determinante
A = 1 2 4
3 8 -2 = { 1x8x4 + 2x-2x2 + 3x0x4 – (2x8x4 + 0x-1x1 + 3x2x4)}
2 0 4 = 32 + -8 + 0 – ( 64 +0 + 24 )
= 24 – 64 - 24 = -64
c. Comprobar que : Ax Adj (A)t = Adj (a)t xA = A I
1 2 4 x 32 -8 -36 = -64 48 72
3 8 -2 -16 -4 14 0 -88 216
2 0 4 -16 16 2 0 48 80
DIFERENTES
32 -8 -36 x 1 2 4 = 80 0 288
-16 -4 14 3 8 -2 0 -64 0
-16 16 2 2 0 4 39 96 -88
d. Calcular A-1
A – 1
= Adj (A)t = 32/-64 -8/-64 -36/-64
\A\ -16/-64 -4/-64 14/-64
-16/-64 16/64 2 /64