1
Praktické příklady z Elektrotechniky II
1. Střídavé obvody 1.1. Základní pojmy 1.2. Jednoduché obvody se střídavým proudem
Příklad 1: Stanovte napětí na ideálním kondenzátoru s kapacitou 10 µF, kterým prochází proud
0,45 A při frekvenci 60 Hz.
Řešení: Kapacitní reaktance
XC = fCπ2
1 = 510.60.21
−π = 265,26 Ω.
Napětí na ideálním kondenzátoru
UC = XCI = 265,25 . 0,45 = 119,37 V.
Obr. 1. Ideální kondenzátor Obr. 2. Znázornění veličin v obvodu s ideálním
v obvodu se střídavým kondenzátorem
proudem a) časový průběh proudu a napětí
b) fázorový diagram
Příklad k řešení: 1. Stanovte proud procházející ideální cívkou, která má 520 závitů, délku 18 cm,
průřez jádra 5 cm2. Jádro cívky má při jmenovitém proudu relativní permeabilitu rµ = 640. Ideální cívka je připojena ke zdroji střídavého napětí 120 V s frekvencí
50 Hz. [0,632 A]
2
1.3. Složené obvody se střídavým proudem
Příklad 2: V sériovém spojení ideálního rezistoru a ideální cívky stanovte impedanci obvodu,
napětí zdroje a úhel fázového posunu. Odpor ideálního rezistoru je 85Ω, indukčnost ideální cívky 0,6 H. Obvodem prochází proud 1,2 A při frekvenci 50 Hz.
Řešení: Indukční reaktance
XL = 2πfL = 2π . 50 . 0,6 = 188,5 Ω.
Impedance obvodu
Z = 2L
2 XR + = 22 5,18885 + = 206,78 Ω.
Napětí zdroje
U = ZI = 206,78 . 1,2 = 248,14 V.
Pro výpočet úhlu fázového posunu zvolíme goniometrickou funkci
tg φ = R
X L = 85
5,188 = 2,22 , potom φ = 65,7°.
Obr. 3. Schéma zapojení Obr. 4. Fázorový diagram Obr. 5. Schéma
obvodu s L a R obvodu s L a R v sérii skutečné
v sérii a) řídicí veličina proud I cívky
b) řídicí veličina napětí U
3
Příklad 3: V sériovém spojení RLC je odpor ideálního rezistoru 160 Ω, indukčnost ideální cívky
0,94 H a kapacita ideálního kondenzátoru 40 µF. Stanovte napětí na jednotlivých prvcích, napětí zdroje a úhel fázového posunu. Proud procházející obvodem je 0,65 A při frekvenci 50 Hz.
Řešení: Nejdříve vypočteme indukční a kapacitní reaktanci
XL = 2πfL = 2π . 50 . 0,94 = 295,31 Ω,
XC = fCπ2
1 = 610.40.50.21
−π = 79,58 Ω.
Napětí na jednotlivých prvcích podle Ohmova zákona
UR = RI = 160 . 0,65 = 104 V,
UL = XLI = 295,31 . 0,65 = 191,95 V,
UC = XCI = 79,58 . 0,65 = 51,73 V.
Obr. 6. Schéma zapojení obvodu Obr. 7. Fázorový diagram obvodu s R, L
s R, L a C v sérii a C v sérii
Napětí zdroje je dáno fázorovým součtem všech napětí
U = 22 )( CLR UUU −+ = 22 )73,5195,191(104 −+ = 174,6 V.
Úhel fázového posunu
φ = 104
73,5195,191 −=
− arctgU
UUarctgR
CL = 53,47º.
4
Příklad 4: Analogicky přistupujeme k řešení paralelních obvodů.
Ke zdroji střídavého napětí 24 V s frekvencí 200 Hz je připojen paralelní obvod tvořený ideálním rezistorem, ideální cívkou a ideálním kondenzátorem. Odpor ideálního rezistoru je 50 Ω, indukčnost ideální cívky je 48 mH a kapacita ideálního kondenzátoru je 40 µF. Vypočítejte proudy všemi prvky i celkový proud, dále admitanci a impedanci obvodu a fázový posun mezi celkovým proudem a napětím.
Řešení:
Vodivost ideálního rezistoru
G = 501
R1= = 2 . 10-2 S.
Indukční susceptance ideální cívky
048020021
21BL ,.π.πfL
== = 16,6 . 10-3 S,
kapacitní susceptance ideálního kondenzátoru
BC = S. 26 10.510.40.200.22 −− == ππfC
Proudy procházející jednotlivými prvky
48,024.10.2 2 === −GUI R A,
4,024.10.6,16 3 === −UBI LL A,
5
2,124.10.5 2 === −UBI CC A.
Velikost celkového proudu 22 )( LCR IIII −+= = 22 )4,02,1(48,0 −+ = 0,93 A.
Admitance obvodu
22 )( LC BBGY −+= = 23222 )10.6,1610.5()10.2( −−− −+ = 39.10-3 S.
Impedance obvodu
310.3911
−==Y
Z = 25,7Ω.
Úhel fázového posunu vypočteme pomocí goniometrického vztahu
tg 67,110.2
10.6,1610.52
32
=−
=−
= −
−−
GBB LCϕ
z toho úhel
09,59=ϕ ˚.
Příklady k řešení:
2. Skutečná cívka s indukčností 202 mH a odporem 80 Ω je připojena ke zdroji střídavého napětí a prochází jí proud 2 A při frekvenci 100 Hz. Stanovte impedanci obvodu, napětí zdroje, napětí na indukčnosti a odporu a fázový posun mezi napětím a proudem. [150 Ω; 300 V; 253,84 V; 160 V; 57,77°]
3. Připojíme-li skutečnou cívku s odporem 50 Ω ke zdroji střídavého napětí 110 V s frekvencí 50Hz, prochází jí proud 0,7 A. Stanovte indukčnost cívky. [0,474 H]
4. Ideální kondenzátor s kapacitou 16 µF a rezistor s odporem 400 Ω jsou spojeny do série a připojeny na napětí 220 V a frekvencí 50 Hz. Určete impedanci obvodu, proud procházející obvodem, napětí na ideálním kondenzátoru a rezistoru a fázový posun mezi napětím a proudem. [446,74 Ω; 0,49 A; 97,48 V;196 V; 26,44º]
5. Připojíme-li skutečnou cívku ke zdroji stejnosměrného napětí 10 V, prochází jí proud 2,5 A. Po připojení této skutečné cívky ke zdroji střídavého napětí 10 V s frekvencí 50 Hz, prochází cívkou proud 2 A. Vypočítejte indukčnost cívky. [9,55 mH]
6
6. Ke zdroji střídavého napětí je připojeno sériové spojení ideálního kondenzátoru s kapacitou 70 µF a rezistoru s odporem 30Ω. Obvodem prochází proud 4 A při frekvenci 50Hz. Stanovte impedanci obvodu, napětí zdroje, napětí na ideálním kondenzátoru a rezistoru a fázový posun mezi napětím a proudem. [54,47 Ω; 217,88 V; 181,88 V; 120 V; 56,58º]
7. Rezistor s odporem 160 Ω a ideální kondenzátor jsou v sériovém řazení připojeny ke zdroji střídavého napětí 120 V s frekvencí 100 Hz. Obvodem prochází proud 0,5 A. Stanovte kapacitu ideálního kondenzátoru. [8,89 µF]
8. Ke zdroji se střídavým napětím je připojeno sériové spojení rezistoru s odporem 6 Ω, ideální cívky s indukčností 1,27 mH a ideálního kondenzátoru s kapacitou 26,5 µF. Obvodem prochází při frekvenci 500 Hz proud 200 mA. Určete impedanci obvodu, napětí zdroje, napětí na všech prvcích obvodu a fázový posun mezi napětím a proudem. [10 Ω; 2 V; 1,2 V; 0,8 V; 2,4 V; 53,13º]
9. Sériový obvod tvoří rezistor s odporem 30 Ω, ideální kondenzátor s kapacitou 45µF a ideální cívka. Napětí zdroje je 220 V, frekvence 50 Hz. Obvodem prochází proud 4 A. Stanovte indukčnost ideální cívky (XL > XC). [0,371 H]
10. Admitance paralelního spojení rezistoru a ideální cívky je 1,9 mS. Rezistor má odpor 1 kΩ. Celkový proud je 385 mA při frekvenci 1,5 kHz. Stanovte indukčnost ideální cívky, svorkové napětí obvodu, proudy ve větvích a fázový posun. [66,31 mH; 202,63 V; 202 mA; 324 mA; 58,05º]
11. Při paralelním spojení rezistoru s odporem 6,25 Ω a ideálního kondenzátoru s kapacitou 3,8 µF se odebírá ze zdroje proud 100 mA při frekvenci 5 kHz. Rezistorem prochází proud 80 mA. Vypočítejte napětí zdroje, proud procházející ideálním kondenzátorem, admitanci a impedanci obvodu a fázový posun. [0,5 V; 60 mA; 0,2 S; 5 Ω; 36,86º]
12. Paralelní spojení rezistoru s odporem 120 Ω, ideální cívky s indukčností 40 mH a ideálního kondenzátoru s kapacitou 5 µF je připojeno ke zdroji střídavého napětí s frekvencí 200 Hz. Celkový proud procházející obvodem je 1,9 A. Stanovte proudy všemi prvky obvodu, napětí zdroje, impedanci, admitanci a fázový posun. [0,99 A; 2,37 A; 0,74 A; 119,19 V; 62,73 Ω; 15,94 mS; 58,62º]
13. Při paralelním spojení rezistoru s odporem 60 Ω, ideálního kondenzátoru a ideální cívky je celkový proud 4 A. Proud procházející rezistorem je 2,4 A, proud procházející ideálním kondenzátorem je 1,6 A. Stanovte proud procházející ideální cívkou a její indukčnost. Frekvence je 50 Hz (IL > IC). [4,8 A; 96 mH]
Příklad 5: Vypočítejte proudy v jednotlivých větvích, celkový proud a impedanci v obvodu
zapojeného podle obr. 12 a). Odpory rezistorů jsou R1 = 40Ω, R2 = 250 Ω, indukčnost ideální cívky je L = 5 mH, kapacita ideálního kondenzátoru C = 2 µF. Obvod je připojen ke zdroji střídavého napětí U = 250 V, frekvence je f = 600 Hz.
7
Řešení: Indukční reaktance
Ω=== − 84,1810.5.10.6..22 32ππfLX L
Impedance větve. kterou prochází proud I1
Ω=+=+= 21,4484,1840 222211 LXRZ
Proud I1
65,521,44
250
11 ===
ZUI A
Fázový posun
90477,021,44
40cos1
11 ===
ZRϕ
°= 2,251ϕ
Kapacitní reaktance
62,13210.2.10.6..2
12
162 === −ππfC
X C Ω
Impedance větve, kterou prochází prou I2
28362,132250 222222 =+=+= CXRZ Ω
Proud I2
883,0283250
22 ===
ZUI A
Fázový posun
88339,0283250cos
2
22 ===
ZRϕ
°= 94,272ϕ
8
Z fázorového diagramu na obr. 12 b) vypočteme celkový proud pomocí kosinové věty
( ) ( ) °=+−=+−°= 8,1269,273,25180180 21 ϕϕγ
( ) 22,66,0883,0.65,5.2883,065,5cos2 2221
22
21 =−−+=−+= γIIIII A
Impedance obvodu
19,4022,6
250===
IUZ Ω.
Příklad k řešení:
14. Určete proud I2, celkový proud I, napětí zdroje střídavého napětí U a impedanci obvodu zapojeného podle obr. 13 a). Skutečná cívka má odpor 15 Ω, indukčnost 0,05 H. Ideální kondenzátor má kapacitu 60 µF a prochází jím proud I1 = 1,8 A, frekvence je 100 Hz. [1,37 A; 0,81 A; 47,73 V; 58,92 Ω]
1.4. Výkon střídavého proudu, účiník
Příklad 6:
V obvodu skutečné cívky je proud dodávaný zdrojem =I 1,8 A při napětí 220 V a frekvenci 50 Hz. Odpor vinutí je 28 Ω. Stanovte indukčnost skutečné cívky.
Řešení: Zdánlivý výkon
3968,1.220 ===UIS VA.
Činný výkon – výkon na činném odporu
72,908,1.28 22 === RIP W.
Jalový výkon – z trojúhelníka výkonů
38572,90396 2222 =−=−= PSQ VAr.
9
Indukční reaktance – z jalového výkonu na cívce 2IXQ L=
8,1188,1
38522 ===
IQX L Ω.
Indukčnost skutečné cívky
378,050.28,118
2===
ππfXL L H.
Příklady k řešení:
15. Jednofázový motor na napětí 220 V a o činném výkonu 1,5 kW odebírá proud 8 A. Vypočítejte zdánlivý a jalový výkon, účiník a činnou a jalovou složku proudu. [1,76 kVA; 920,65 VAr; 0,852; 6,816 A; 4,184 A]
16. Stanovte u sériového spojení skutečné cívky a ideálního kondenzátoru výkon činný, jalový a zdánlivý. Odpor skutečné cívky je 20 Ω, indukčnost 95,5 mH, kapacita ideálního kondenzátoru je 53 µF. Obvod je připojen ke zdroji střídavého napětí 220 V, frekvence je 100 Hz. [744,68 W; 1 117VAr; 1 344,2 VA]
17. Elektrický obvod s účiníkem 6,0cos =ϕ byl připojen ke zdroji střídavého napětí 220 V. Činná složka proudu procházejícího obvodem byla 12 A. Vypočítejte činný, jalový a zdánlivý výkon. [2640 W; 3520 VAr; 4400VA]
1.5. Rezonanční obvody
Příklad 7: U sériového rezonančního obvodu složeného ze skutečné cívky s odporem 10 Ω,
s indukčností 0,3 mH a ideálního kondenzátoru s kapacitou 300 pF, připojeného na zdroj střídavého napětí 10 V, stanovte rezonanční frekvenci, proud při rezonanci a činitel jakosti obvodu.
Řešení: Rezonanční frekvence
53051610.300.10.3,02
12
1123===
−−ππ LCfr Hz.
Impedance při rezonanci
10== RZr Ω.
Proud procházející obvodem při rezonanci
11010
===RUIr A.
Činitel jakosti obvodu
10
10010
10.3,0.530516..22 3
===−ππ
RLfQ r
Příklady k řešení: 18. Stanovte kapacitu ideálního kondenzátoru sériového rezonančního obvodu, aby
došlo k rezonanci při frekvenci 200 kHz. Indukčnost ideální cívky je 150 µH. [4,22.10-9 F]
19. Sériový rezonanční obvod je tvořen ideálním kondenzátorem s kapacitou 1200 pF a skutečnou cívkou s odporem 15 Ω a indukčností 400 µH. Obvod je připojen na zdroj střídavého napětí 12 V. Určete rezonanční frekvenci, činitel jakosti obvodu a proud procházející obvodem při rezonanci. [229,720 kHz; 38,5; 0,8 A]
20. Ideální kondenzátor s kapacitou 500 pF je zapojen paralelně ke skutečné cívce s odporem 10 Ω a s indukčností 200 µH. Obvod je připojen na zdroj střídavého napětí 120 V. Vypočítejte rezonanční frekvenci obvodu, impedanci při rezonanci, činitel jakosti obvodu a proud procházející obvodem při rezonanci. [503,292 kHz; 40 kΩ; 63,2; 3 mA]
11
1.6. Symbolicko-komplexní metoda řešení obvodů se střídavým proudem
Příklad 8:
Při sériovém spojení ideálního rezistoru s odporem 50 Ω a ideální cívky s indukčností 474 mH prochází obvodem proud 0,7 A při frekvenci 50 Hz. Stanovte napětí na ideálních prvcích obvodu, napětí zdroje a úhel fázového posunu.
Řešení: Napětí na ideálním rezistoru
UR = RI = 50.0,7 = 35 V .
Napětí na ideální cívce
UL = jXLI = j2π.50.0,474.0,7 = j104,2 V .
Napětí zdroje
U = UR + UL = (25 + j104,2) V .
Absolutní hodnota napětí zdroje
9,1092,10435 2222 =+=+= LR UUU V .
Úhel fázového posunu vypočteme ze vztahu
tg 978,250
474,0.50.22===
ππϕRfL ,
z toho
°= 44,71ϕ .
Příklad 9: V obvodu střídavého proudu jsou spojeny v sérii ideální rezistor s odporem 8 Ω,
indukční reaktance XL = 16 Ω a kapacitní reaktance XC = 10 Ω. Sériové spojení prvků je připojeno na napětí, které je vyjádřeno v komplexním tvaru U = (18 + j30) V. Stanovte proud procházející obvodem a napětí na všech prvcích obvodu.
Řešení: Impedance obvodu
)10168( jjjXjXR CL −+=−+= Z Ω .
Proud procházející obvodem
100132324
68)68)(3018(
101683018
22jjj
jjj +
=+
−+=
−++
==ZU I A ,
)32,124,3( j+= I A = 3,5 ej22,2º A .
Absolutní hodnota proudu
5,332,124,3 22 =+=I A .
12
Fázor napětí na ideálním rezistoru
== IU RR 8.3,5 ej22,2º = 28 ej22,2º V .
Na ideálním rezistoru je napětí 28 V.
Fázor napětí na ideální cívce
UL = jXLI = j16.3,5 ej22,2º = 16 ej90º.3,5 ej22,2º = 56 ej112,2º V .
Na ideální cívce je napětí 56 V.
Fázor na pětí na ideálním kondenzátoru
UC = -jXCI = -j10.3,5 ej22,2º = 10 e-j90º.3,5 ej22,2º = 35 e-j67,8º V .
Na ideálním kondenzátoru je napětí 35 V.
Příklad 10: Stanovte admitanci a impedanci obvodu, který je tvořen paralelním spojením ideálního
rezistoru s odporem 62,5 Ω a ideálního kondenzátoru s kapacitou 18,95 µF. Kmitočet je 100 Hz.
Řešení: Admitance obvodu
( )012,0016,010.95,18.100.25,62
11 621 jjCj
R+=⎟
⎠
⎞⎜⎝
⎛ +=+=+= −πωY Y Y S .
Absolutní hodnota admitance
02,0012,0016,0 22 =+=Y S .
Impedance obvodu
( )30400004,0012,0
0004,0016,0
012,0016,0012,0016,0
012,0016,011
22 jjjj
−=⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ −=+−
=+
==Y
Z Ω.
Absolutní hodnota impedance
5030401 22 =+==Y
Z Ω .
Příklady k řešení: 22. V sériovém obvodu RLC je rezistor s odporem 120 Ω, cívka s indukčností 96 mH
a kondenzátor s kapacitou 40 µF. Střídavý proud procházející obvodem je 3 A při frekvenci 50 Hz. Určete impedanci obvodu, napětí na svorkách zdroje, fázový posun a napětí na jednotlivých prvcích obvodu. [(120 – j50) Ω; (360 – j150) V; –φ = 22º37'; 360 V; j90 V; -j240 V]
23. Určete proudy I1, I2 a I v obvodu na obr. 15, jsou – li impedance Ω, ( )15101 j−=Z ( )622 j+=Z Ω, ( )233,33 j+=Z Ω. Napětí zdroje je 120 V.
[(2 + j4) A; (5,5 – j11,5) A; (7,5 – j7,5) A]
13
24. V obvodu podle zapojení na obr. 152 vypočtěte svorkové napětí zdroje, napětí na všech prvcích obvodu a fázový posun. R1 = 50 Ω, R2 = 50 Ω, L = 100 mH, C = 20 µF. Celkový proud v komplexním vyjádření je I = 0,85 ej20º A při frekvenci 50 Hz. [100,3 ej26º13′ V; 49,3 e-j1º22′ V; 30,97 ej88º37′ V; 42,5 ej20º V; 58,24 ej30º46′ V; φ = 6º13′]
1.7. Přechodné jevy
Příklad 11:
Stanovte kapacitu ideálního kondenzátoru. V zapojení podle obr. 17 procházel obvodem nabíjecí proud 0,34 mA za 1 ms od okamžiku připojení zdroje. Napětí zdroje je 10 V, odpor ideálního rezistoru je 200 Ω.
Řešení:
Pro nabíjecí proud platí vztah
14
ττ //0
ttn e
RUeIi −− == ,
po úpravě
nRiUet lnln =
τ ,
z toho vypočteme časovou konstantu a dosadíme
4
3
3
10.2
10.34,0.20010ln
10
ln
−
−
−
===
nRiUtτ s .
Kapacita ideálního kondenzátoru
120010.2 4
===−
RC τ µF .
Příklady k řešení: 25. Stanovte napětí zdroje, ze kterého se nabíjí ideální kondenzátor s kapacitou 2 µF
přes ideální rezistor, jehož odpor je 500 Ω. V čase t = 3 ms byl nabíjecí proud 5 mA. [50 V]
26. Stanovte proud v obvodu podle obr. 18 v čase t = 5τ. R = 200 Ω, C = 1 µF, U = 10 V. [3,368.10-4 A]
27. Určete odpor rezistoru, kterým se nabíjel kondenzátor o kapacitě 247 µF ze zdroje
o napětí 150 V. Napětí na odporu kleslo z 55 V na 20 V za 100 ms. [400 Ω]
2. Trojfázová soustava Příklad 12: Stanovte, jak se změní příkon trojfázových elektrických kamen o výkonu 6 kW
v zapojení do trojúhelníka na napětí 3 x 400 V, přepojíme-li topná vinutí do hvězdy.
Řešení: Odpor topného tělesa jedné fáze
806000400.33
3
33
3
22
=======PU
UPU
IU
IU
IUR
ff Ω .
15
Po přepojení do hvězdy je na každém topném tělese napětí
9,2303
4003
===UU f V .
Proud v topné fázi
89,280
9,230===
f
ff R
UI A .
Příkon kamen spojených do hvězdy je
2,200289,2.400.33 === UIP W .
Jestliže spotřebič spojený do trojúhelníka přepojíme do hvězdy, zmenší se jeho příkon na třetinu.
Příklady k řešení: 28. Určete odpor vinutí jedné fáze trojfázového generátoru, zapojeného do hvězdy, je-
li jeho sdružené napětí 320 V a síťový proud 5 A. [36,9 Ω]
29. Jak velký je odpor vinutí v jedné fázi trojfázového spotřebiče, zapojeného do trojúhelníka, na napětí 3 x 400 V, prochází-li přívodními vodiči proud 6 A? Jak se změní napětí a proud, přepojíme-li vinutí z trojúhelníka do hvězdy? [115,3 Ω; 230,9 V; 2 A]
30. Jak velký síťový a fázový proud odebírá trojfázový elektromotor v zapojení do trojúhelníka ze sítě 3 x 400 V, je-li jeho výkon 15 kW, účinnost 90% a účiník 0,8? [30,08 A; 17,37 A]
16
3. Elektrické stroje 3.1. Transformátory
Příklad 13: Jednofázový transformátor používaný v elektrotechnické laboratoři má štítkové
hodnoty 230 V / 24 V, Sn = 1 kVA, uk = 4%. Určete napětí nakrátko, impedanci nakrátko a proudy primárního a sekundárního vinutí při zkratu.
Řešení: Stav nakrátko – transformátor je připojen na napětí nakrátko U1k a protéká jím
jmenovitý proud I1n . Procentní napětí nakrátko je definováno vztahem
n
kk U
Uu1
1= ,
z toho
2,9230.04,011 === nkk UuU V
Velikost jmenovitého primárního proudu vypočítáme ze zdánlivého jmenovitého příkonu
348,4230
1000
11 ===
n
nn U
SI A .
Impedance nakrátko
116,2348,42,9
1
11 ===
n
kk I
UZ Ω .
Zkratový proud v primárním vinutí
.7,108116,2
230
1
11 A
ZU
Ik
nk ===
Zkratový proud v sekundárním obvodu můžeme vypočítat pomocí převodu
.7,10417,10824
2301
2
112 AI
UU
IpI kn
nkk =⋅=⋅=⋅=
Z výsledku je patrné, že zkrat v sekundárním vinutí má za následek několikanásobné zvýšení proudů v obou vinutích, při kterých by došlo k porušení transformátoru (pokud by nebyl včas odpojen od sítě).
Příklady k řešení:
32. Primární vinutí transformátoru je připojeno ke střídavému napětí 80 V / 50 Hz a odebírá proud 1 A. Sekundární vinutí dodává proud 4 A při napětí 6 V do
17
spotřebiče čistě ohmického charakteru. Účinnost je 55%. Určete fázový posun v primárním vinutí. [φ1 = 56,97º]
33. Podle schématu na obr. 19 byl měřen výkon, který odebíral jednofázový transformátor. Wattmetry ukazovaly hodnoty Pa = 1100 W, Pb = 2400 W. Zdánlivý jmenovitý příkon transformátoru Sn = 200 kVA. Určete účinnost tohoto transformátoru při cos φ = 0,8 při zatížení jmenovitým proudem. [0,977]
Příklad 14: Jednofázový transformátor má štítkové údaje U = 220 V, I = 9 A, f = 50 Hz. Při
měření naprázdno byly zjištěny tyto údaje: U10 = U1n = 220 V, U20 = 40 V, P10 = 10 W, I10 = 0,3 A. Při měření nakrátko bylo změřeno: U1k = 11 V, Pk = 37 W. Určete převod transformátoru, procentní napětí nakrátko, zkratový proud a přibližně údaje náhradního schématu.
Řešení: Převod napětí
.5,540
220
20
10 ===UU
p
Procentní napětí nakrátko
05,022011
1
1 ===n
kk U
Uu ~ 5 %.
Odpor představující ztráty v železe
484010
2202
10
21010 ====
PU
IUR
FeFe Ω.
Účiník naprázdno
1515,03,0.220
10cos1010
1010 ===
IUPϕ .
Magnetizační proud
2965,0988,0.3,0sin 1010 === ϕµ II A.
Hlavní magnetizační reaktance
18
2,7422965,022010 ==
µIUX h Ω .
Impedance nakrátko
222,19
11
1
11 ===
n
kk I
UZ Ω .
Zkratový poruchový proud
180222,1
220
1
11 ===
k
nk Z
UI A .
Účiník nakrátko
374,09.11
37cos11
1 ===nk
kk IU
Pϕ .
Odpor při chodu nakrátko
457,0937
221
===n
k
IPR Ω , přičemž platí přibližně
229,02
´21 ===
RRR Ω .
Rozptylová reaktance
135,1928,0.222,1sin 11 === kkZX ϕσ Ω , přičemž přibližně platí
568,02
´21 === σσσ
XXX Ω .
Příklady k řešení: 34. Jednofázový transformátor má napětí naprázdno U10 = 100 V, U20 = 400 V, proud
naprázdno I10 = 0,25 A, ztráty naprázdno P10 = 7,5 W, napětí nakrátko U1k = 4 V, jmenovité proudy I1n = 4 A, I2n = 1 A, ztráty nakrátko Pk = 10 W. Určete převod transformátoru, zdánlivý jmenovitý výkon, procentní napětí nakrátko, účiník naprázdno i nakrátko, proud v železe a magnetizační proud. [0,25; 400 VA; 4 %; 0,3; 0,624; 0,075 A; 0,24 A]
35. Primární vinutí jednofázového transformátoru o napětí 6,6 kV má 1080 závitů. Sekundární vinutí má 36 závitů a dodává do spotřebiče výkon 17,6 kW při cos φ2 = 0,8. Ztráty v transformátoru jsou 0,7 kW. Určete převod transformátoru, sekundární napětí, primární a sekundární proud, příkon a účinnost. [30; 220 V; 3,3 A; 100 A; 18,3 kW; 0,96]
Příklad 15:
Trojfázový transformátor má Sn = 100 kVA, převod 6000 V/ 400 V, spojení Yy0, proud naprázdno 0,8 A, účiník naprázdno 0,086 , činný odpor primárního vinutí 4,1 Ω a sekundárního vinutí 0,016 Ω , rozptylovou reaktanci primáru 6,2 Ω a sekundáru 0,03 Ω . Určete ztráty v železe, v mědi a procentní napětí nakrátko.
19
Řešení: Z náhradního schématu jedné fáze trojfázového transformátoru – obr. 20a) - jsou ztráty
v železe reprezentovány odporem RFe .
Ztráty v železe jsou dány vztahem
716086,0.8,0.6000.3cos33 101011 ==== ϕIUIUP nFenFe W.
Ztráty v mědi, tj. na odporu R1 a R2' jsou dány
( ) ( ) 212
21
21
´21 33 nnCu IRpRIRRP +=+= .
Nejprve určíme převod transformátoru
15400
6000
2
1 ===n
n
UUp
a proud
63,910.6.3
103 3
5
11 ===
n
nn U
SI A.
Potom
( ) ( ) 222563,9.016,0.151,433 22212
21 =+=+= nCu IRpRP W.
Pro výpočet napětí nakrátko se celkové náhradní schéma zjednoduší – obr. 20b) - lze zanedbat příčnou větev.
Impedance nakrátko
( ) ( )( ) ( ) .87,127,703,0.152,6016,0.151,4 22
1
22
122
1´21
´211
Ω+=+++=
+++=+++=
jj
XpXjRpRXXjRR
k
k
ZZ σσσσ
Absolutní hodnota impedance
20
96,1487,127,7 221 =+=kZ Ω .
Napětí nakrátko
2,14463,9.96,14. 111 === nkk IZU V.
Procentní napětí nakrátko
0416,0
36000
2,144
1
1 ===nf
kk U
Uu ~ 4,16 % .
Příklad k řešení:
36. Určete hodnoty odporů a reaktancí v náhradním schématu trojfázového transformátoru, který má štítkové údaje Sn = 10 kVA, 400 V / 20 V, spojení Yy0. Měřením jsme získali velikost hodnot ztrát naprázdno P10 = 100 W, ztrát nakrátko Pk = 400 W, proudu naprázdno I10 = 0,09.In a napětí nakrátko U1k = 16 V. Určete činné odpory primárního a sekundárního vinutí R1 a R2, rozptylové reaktance X1σ a X2 σ, hlavní magnetizační reaktanci Xh a odpor RFe respektujícíztráty v železe. [0,3205 Ω; 0,3205 Ω; 0,4525 Ω; 0,4525 Ω; 179 Ω; 1600 Ω]
3.2. Elektrické stroje točivé
3.2.1. Asynchronní stroje
Příklad 16: Trojfázový asynchronní motor se štítkovými údaji Pn = 15 kW, Un = 3 x 400/230 V,
f = 50 Hz, n = 1400 min-1 má účinnost η = 86 % a účiník cos φ = 0,8. Vypočítejte počet pólů, skluz, příkon a proud statoru.
Řešení: Nejbližší synchronní otáčky k zadaným asynchronním otáčkám pro f = 50 Hz jsou ns = n1 = 1500 min-1. Počet pólů určíme ze vzorce
21500
50.606060
11 ===⇒=
nfp
pfn , tedy počet pólů 42 =p .
Skluz
067,01500
14001500
1
1 =−
=−
=n
nns ~ 6,7 % .
Příkon stroje
44,1786,0
1521
1
2 ===⇒=η
η PPPP kW .
Proud statoru vypočítáme z tohoto známého příkonu, pro který platí
21
ϕcos..3 111 IUP = , kde U1 je sdružená hodnota.
Z toho
466,318,0.400.3
17440cos3 1
11 ===
ϕUPI A .
Příklady k řešení: 37. Trojfázový asynchronní motor má tyto jmenovité hodnoty P = 20 kW,
Un = 3 x 400/230 V, n = 1455 min-1, cos φ = 0,9 , η = 0,88 a frekvenci statorového proudu f1 = 50 Hz. Určete synchronní otáčky, odpovídající počet pólových dvojic, skluz při jmenovitých otáčkách, rotorovou frekvenci f2 a velikost statorového proudu při zapojení statoru do hvězdy. [1500 min-1; 2; 3 %; 1,5 Hz; 36,45 A]
38. Trojfázový dvoupólový asynchronní motor o výkonu Pn = 10 kW pracuje s účinností 80 % a s účiníkem 0,8. Motor je napájen ze sítě 3 x 400 V, 50 Hz a jmenovité otáčky rotoru jsou 2850 min-1. Určete činný, jalový a zdánlivý příkon motoru, jmenovitý proud jedné fáze motoru a frekvenci napětí indukovaného v rotoru. [12,5 kW; 9,35 kVAr; 15,6 kVA; 22,52 A; 2,5 Hz]
39. Trojfázový asynchronní motor je připojen k síti s frekvencí f = 50 Hz. Jeho jmenovité otáčky jsou 2900 min-1. Zjistěte skluz, počet pólových dvojic a frekvenci v rotoru. [3,33 %; 1; 1,665 Hz]
40. Vypočítejte proud, který odebírá ze sítě trojfázový asynchronní motor o jmenovitých hodnotách P = 14 kW, U = 400 V, n = 735 min-1, η = 0,92, f = 50 Hz, cos φ = 0,87. Dále vypočítejte skluz a počet pólových dvojic. [25,25 A; 2 %; 4]
3.3. Stejnosměrné točivé stroje Příklad 17: Derivační dynamo má výkon P = 5,5 kW při napětí U = 110 V. Odpor kotvy
Ra = 0,1 Ω , odpor budicího vinutí Rb = 55 Ω . Zjistěte napětí Ui , proud buzení Ib a proud kotvy Ia .
Řešení:
Proud procházející spotřebičem
5010.1,110.5,5
2
3
===UPI A .
22
Budicí proud
255
110===
bb R
UI A .
Proud protékající kotvou
52250 =+=+= ba III A .
Napětí indukované v kotvě
2,1151,0.52110 =+=+= aai IRUU V .
Příklady k řešení: 41. Jak velký odpor Rsp musíme zařadit do obvodu kotvy při spouštění derivačního
stejnosměrného motoru o výkonu P = 5 kW, napětí U = 230 V, účinnosti η = 80 % , aby proud při záběru Iz nepřekročil dvojnásobek jmenovitého proudu In. Odpor v obvodu kotvy Ra = 0,8 Ω . [3,43 Ω]
42. Stejnosměrný motor s cizím buzením má tyto štítkové údaje: výkon P = 10 kW,
napětí U = 200 V, odpor kotvy Ra = 0,5 Ω a účinnost η = 78 % . Určete velikost spouštěcího odporu Rsp pro 1,5 násobek jmenovitého proudu. Dále určete záběrný proud při zařazeném spouštěči a při přímém připojení k síti. Předpokládáme, že budicí proud je konstantní. [1,58 Ω; 96,2 A; 400 A]
43. Stanovte minimální zatěžovací odpor, pro který proud kotvy dynama s cizím buzením nepřevyšuje 40 A při indukovaném napětí 240 V a odporu kotvy 0,5 Ω. [5,5 Ω]