Medardo Galindo

“El éxito consiste en vencer el

temor al fracaso.”

5.5 Factorización de trinomios

• Factorizar trinomios de la forma

• Factorizar un factor común

• Factorizar trinomios de

mediante prueba y error

• Factorizar trinomios de

mediante agrupación.

• Factorizar trinomios mediante sustitución

𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐

𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐, a ≠ 1

𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐, a ≠ 1

Con la forma

• Determinar dos números cuyo producto

sea c y cuya suma sea b.

𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐

𝑇𝑟𝑖𝑛𝑜𝑚𝑖𝑜𝑠

3𝑥2 + 2𝑥 − 5

−1

2𝑥2 − 4𝑥 + 3

𝐶𝑜𝑒𝑓𝑖𝑐𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒𝑠

𝑎 = 3, 𝑏 = 2, 𝑐 = −5

𝑎 = −1

2, 𝑏 = −4, 𝑐 = 3

Factorizar

Por lo tanto

𝑥2 − 𝑥 − 12

𝐹𝑎𝑐𝑡𝑜𝑟𝑒𝑠 − 12

1 (−12)

2 (−6)

3 (−4)

4 −3

6 −2

12 (−1)

𝑆𝑢𝑚𝑎 𝑑𝑒 𝑓𝑎𝑐𝑡𝑜𝑟𝑒𝑠

1 + −12 = −11

2 + −6 = −4

3 + −4 = −1

4 + −3 = 1

6 + −2 = 4

12 + −1 = 11

𝑥2 − 𝑥 − 12 = 𝑥 + 3 (𝑥 − 4)

Factorizar un factor común

• El factor es común en los tres

términos del trinomio.

• Por lo tanto

𝐹𝑎𝑐𝑡𝑜𝑟𝑖𝑐𝑒 3𝑥4 − 6𝑥3 − 72𝑥2

3𝑥2

3𝑥4 − 6𝑥3 − 72𝑥2 = 3𝑥2(𝑥2 − 2𝑥 − 24)

3𝑥4 − 6𝑥3 − 72𝑥2 = 3𝑥2 𝑥 − 6 (𝑥 + 4)

Con la forma

mediante prueba y error• Factorizar

• Escriba todos los pares de factores del

coeficiente del termino a.

• Escriba pares de la constante c

• Intente diferentes combinaciones con

estos factores hasta encontrar el termino

𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐, a ≠ 1

2𝑥2 + 5𝑥 + 3

Importante

• Cuando el termino constante c es positivo

y el coeficiente numérico también, ambos

serán positivos

• Cuando c es positivo y b es negativo,

serán negativos

• Cuando c es negativo, uno de los factores

será positivo y el otro será negativo

𝑥2 + 7𝑥 + 12 = 𝑥 + 3 (𝑥 + 4)

𝑥2 − 5𝑥 + 6 = 𝑥 − 2 (𝑥 − 3)

𝑥2 + 𝑥 − 6 = 𝑥 + 2 (𝑥 − 2)

Calcular el área sombreada

𝐴𝑟𝑒𝑎 𝑑𝑒𝑙 𝑅𝑒𝑐𝑡𝑎𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜

= 𝑥 + 3 𝑥 + 2

= 𝑥2 + 2𝑥 + 3𝑥 + 6

= 𝑥2 + 5𝑥 + 6

𝐴𝑟𝑒𝑎 𝑑𝑒𝑙 𝑅𝑒𝑐𝑡𝑎𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜 𝑝𝑒𝑞𝑢𝑒ñ𝑜 = 2𝑥1 = 2

𝐴𝑟𝑒𝑎 𝑆𝑜𝑚𝑏𝑟𝑒𝑎𝑑𝑎 = 𝐴. 𝑔𝑟𝑎𝑛𝑑𝑒 − 𝐴. 𝑝𝑒𝑞𝑢𝑒ñ𝑎

𝑥2 + 5𝑥 + 6 − 2

𝑥2 + 5𝑥 + 4

𝑥 + 4 (𝑥 + 1)

Con la forma

mediante agrupación

• Determine dos números cuyo producto

sea a x c, y cuya suma sea b.

• Rescriba el termino central, bx, mediante

los números determinados en el paso 1

• Factorice por agrupacion

𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐, 𝑎 ≠ 1

• Vemos que . Debemos

encontrar dos números cuyo producto sea

• Los dos números son - 8 y 3, ya que

, por tanto

Factorice 2𝑥2 − 5𝑥 − 12

𝑎 = 2, 𝑏 = 5 𝑦 𝑐 = −12

𝑎 ∙ 𝑐 𝑜 2 −12 = 24, 𝑦 𝑐𝑢𝑦𝑎 𝑠𝑢𝑚𝑎 𝑠𝑒𝑎 𝑏, −5

−8 3 = 24 𝑦 − 8 + 3 = −5

2𝑥2 − 5𝑥 − 12 = 2𝑥2 − 8𝑥 + 3𝑥 − 12

Por agrupación

2𝑥 𝑥 − 4 + 3 𝑥 − 4

𝑥 − 4 (2𝑥 + 3)

Mediante Sustitución

• Si podemos reescribir esta expresión en la

forma , será mas fácil de

factorizar. Como sustituimos

, el trinomio se convierte en

𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐

𝑦2 2 = 𝑦4

𝑦2 𝑝𝑜𝑟 𝑥

𝑦4 − 𝑦2 − 6 = 𝑦2 2 − 𝑦2 − 6

𝑥2 − 𝑥 − 6 = 𝑥 + 2 𝑥 − 3

𝑆𝑢𝑠𝑡𝑖𝑡𝑢𝑦𝑒𝑛𝑑𝑜 𝑥 𝑐𝑜𝑛 𝑦2 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑜𝑏𝑡𝑒𝑛𝑒𝑟

𝑦2 + 2 (𝑦2 − 3)

5.6 Formulas Especiales

• Trinomios Cuadrados Perfectos

𝑎2 + 2𝑎𝑏 + 𝑏2 = 𝑎 + 𝑏 2

𝑎2 − 2𝑎𝑏 + 𝑏2 = 𝑎 − 𝑏 2

• Diferencia de dos cuadrados

• Suma de dos cubos

• Diferencia de dos cubos

𝑎2 − 𝑏2 = 𝑎 + 𝑏 (𝑎 − 𝑏)

𝑎3 + 𝑏3 = 𝑎 + 𝑏 (𝑎2 − 𝑎𝑏 + 𝑏2)

𝑎3 − 𝑏3 = 𝑎 − 𝑏 (𝑎2 + 𝑎𝑏 + 𝑏2)

Resolver

1) 25𝑥2 − 9𝑦2

2) 𝑥6 − 𝑦4

3)27𝑥3 + 8𝑦3

4) 8𝑦3 − 64𝑥6

5) 25𝑎2 − 10𝑎𝑏3 + 𝑏6

6) 4𝑎2 + 12𝑎𝑏 + 9𝑏2 − 25

Encontrar el volumen

𝑉𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒𝑛 𝑐𝑢𝑏𝑜 𝑔𝑟𝑎𝑛𝑑𝑒 = 4𝑥 3

𝑉𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒𝑛 𝑐𝑢𝑏𝑜 𝑝𝑒𝑞𝑢𝑒ñ𝑜 = 33

𝐷𝑖𝑓𝑒𝑟𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑣𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒𝑛𝑒𝑠 = 4𝑥 3 − 33

4𝑥 − 3 4𝑥 2 + 4𝑥 3 + 32

4𝑥 − 3 (16𝑥2 + 12𝑥 + 9)

5.7 Repaso General

Para factorizar un Polinomio

• Determinar si todos los términos tienen

MFC.

• Si el polinomio tiene dos términos,

determine si es una diferencia de

cuadrados o suma o diferencia de dos

cubos

• Si el polinomio tiene tres términos,

determine si es un trinomio cuadrado

perfecto, de lo contrario utilice en método

de prueba y error.

• Si el polinomio tiene mas de tres términos,

intente mediante agrupación, sino pruebe

si son el cuadrado de un binomio.

• Como paso final, examine si los factores

enumerados tienen un factor común.

Resolver

• Factorizar

• Factorizar

3𝑥4 − 48𝑥2

3𝑥2 𝑥2 − 16 = 3𝑥2 𝑥 + 4 (𝑥 − 4)

3𝑥2𝑦2 − 24𝑥𝑦2 + 48𝑦2

3𝑦2 𝑥2 − 8𝑥 + 16 = 3𝑦2(𝑥 − 4)2

• Factorice

• Factorice

24𝑥2 − 6𝑥𝑦 + 16𝑥𝑦 − 4𝑦2

2 12𝑥2 − 3𝑥𝑦 + 8𝑥𝑦 − 2𝑦

2 3𝑥 4𝑥 − 𝑦 + 2𝑦 4𝑥 − 𝑦

2 4𝑥 − 𝑦 (3𝑥 + 2𝑦)

2𝑥4𝑦 + 54𝑥𝑦

2𝑥𝑦(𝑥3 + 27)

2𝑥𝑦 𝑥 + 3 (𝑥2 − 3𝑥 + 9)

• Factorice

3𝑥2 − 18𝑥 + 27 − 3𝑦2

3 𝑥2 − 6𝑥 + 9 − 𝑦2

3[ 𝑥 − 3 2 − 𝑦2]

3 𝑥 − 3 + 𝑦 (𝑥 − 3 − 𝑦)

5.8 Ecuaciones Polinomiales

• Usar la propiedad del factor nulo

• Usar factorización para resolver

ecuaciones

• Usar factorización para problemas de

aplicación

• Usar factorización para determinar

intersecciones del eje x

• Siempre que se establece que dos

polinomios son iguales entre si, tenemos

una ecuación polinomial

𝐸𝑗𝑒𝑚𝑝𝑙𝑜𝑠 𝑑𝑒 𝐸𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛𝑒𝑠 𝑃𝑜𝑙𝑖𝑛𝑜𝑚𝑖𝑎𝑙𝑒𝑠

𝑥2 + 2𝑥 = 𝑥 − 5

𝑦3 + 3𝑦 − 2 = 0

4𝑥4 + 2𝑥2 = −3𝑥 + 2

• El grado de una ecuación polinomial es el

mismo que el termino con mayor grado.

Con frecuencia, una ecuación de segundo

grado con una variable se denomina

ecuación cuadrática.

𝐸𝑗𝑒𝑚𝑝𝑙𝑜𝑠 𝑑𝑒 𝐸𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛𝑒𝑠 𝐶𝑢𝑎𝑑𝑟𝑎𝑡𝑖𝑐𝑎𝑠

3𝑥2 + 6𝑥 − 4𝑥 = 0

5𝑥 = 2𝑥2 − 4

𝑥 + 4 (𝑥 − 3)

Propiedad Factor Nulo

• Resolver

Verificar

𝑃𝑎𝑟𝑎 𝑡𝑜𝑑𝑜𝑠 𝑙𝑜 𝑟𝑒𝑎𝑙𝑒𝑠 𝑎 𝑦 𝑏, 𝑠𝑖 𝑎 ∙ 𝑏 = 0,

𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝑎 = 0 𝑜 𝑏 = 0, 𝑜 𝑏𝑖𝑒𝑛 𝑎 𝑦 𝑏 = 0

𝑥 + 5 𝑥 − 2 = 0

𝑥 + 5 = 0

𝑥 = −5

𝑥 − 2 = 0

𝑥 = 2

Factorización para resolver

ecuaciones• Utilizar propiedad de la suma para

eliminar todos los términos de un lado

• Sumar términos semejantes y factorizar

• Iguale a cero cada factor que contenga

cada variable

• Verificar soluciones en la ecuación original

Resolver

2𝑥2 = 12𝑥

2𝑥2 − 12𝑥 = 0

2𝑥 𝑥 − 6 = 0

2𝑥 = 0

𝑥 = 0

𝑥 − 6 = 0

𝑥 = 6

Resolver

3𝑥2 + 2𝑥 − 12 = −7𝑥

3𝑥2 + 9𝑥 − 12 = 0

3 𝑥2 + 3𝑥 − 4 = 0

3 𝑥 + 4 𝑥 − 1 = 0

𝑥 + 4 = 0

𝑥 = −4

𝑥 − 1 = 0

𝑥 = 1

Sugerencia

• Al resolver una ecuación cuyo termino

principal es un coeficiente negativo, por lo

general lo convertimos en positivo para

facilitar el procedimiento.

−𝑥2 + 5𝑥 + 6 = 0

−1(−𝑥2 + 5𝑥 + 6) = 0

𝑥2 − 5𝑥 − 6 = 0

Factorización para resolver

aplicación• Determine la base y la altura de la entrada

de la tienda de campaña

𝐴 = 12 𝑏𝑎𝑠𝑒 (𝑎𝑙𝑡𝑢𝑟𝑎)

27 =1

2 𝑥 (2𝑥 − 3)

2 27 = 2 1

2 𝑥 (2𝑥 − 3)

54 = 𝑥(2𝑥 − 3)

54 = 2𝑥2 − 3𝑥

2𝑥2 − 3𝑥 − 54 = 0

2𝑥 + 9 = 0 𝑥 − 6 = 0

𝑥 = − 92 𝑥 = 6

• Como las dimensiones no pueden ser

negativas. Se elimina – 9 / 2 como

respuesta a nuestro problema, por tanto

𝑏𝑎𝑠𝑒 = 𝑥 = 6𝑝𝑖𝑒𝑠

𝑎𝑙𝑡𝑢𝑟𝑎 = 2𝑥 − 3 = 2 6 − 3 = 9𝑝𝑖𝑒𝑠

Teorema de Pitagoras

Resolver

𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜2 + 𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜2 = 𝑕𝑖𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑢𝑠𝑎2

𝑥2 + (𝑥 + 1)2 = (𝑥 + 2)2

𝑥2 + 𝑥2 + 2𝑥 + 1 = 𝑥2 + 4𝑥 + 4

2𝑥2 + 2𝑥 + 1 = 𝑥2 + 4𝑥 + 4

𝑥2 − 2𝑥 − 3 = 0

𝑥 − 3 𝑥 + 1 = 0

𝑥 − 3 = 0

𝑥 = 3

𝑥 + 1 = 0

𝑥 = −1

Determinar intersecciones del

eje x