Matematicas Nivelatoria

“El éxito consiste en vencer el

temor al fracaso”

Ing. Medardo Galindo

3.1 Reducción de términos

semejantes• Identificar términos

• Identificar términos semejantes

• Reducir términos semejantes

• Utilizar la propiedad distributiva

• Eliminar paréntesis precedidos de un

signo mas o menos

• Simplificar expresiones

Identificar términos

• Cuando una expresión algebraica consta

de varias partes. A las partes de que se

suman se les denomina términos

• La expresión puede escribirse

como , por lo que

podemos decir que tiene tres

términos

2𝑥 − 3𝑦 − 5

2𝑥 + −3𝑦 + −5

2𝑥 − 3𝑦 − 5

2𝑥, −3𝑦, 𝑦 − 5

Identificar términos

• La parte numérica de un termino se

denomina coeficiente numérico, o

simplemente coeficiente. En el termino 6x,

el 6 es el coeficiente numérico.

• Observe que 6x significa que la variable x

se multiplica por 6.

Tabla Comparativa

• Termino

3𝑥

−1

2𝑥

4 𝑥 − 3

2𝑥

3

𝑥 + 4

3

Coeficiente Numérico

3

−1

2

4

2

3, 𝑦𝑎 𝑞𝑢𝑒

2𝑥

3 𝑠𝑖𝑔𝑛𝑖𝑓𝑖𝑐𝑎

2

3𝑥

1

3, 𝑝𝑜𝑟𝑞𝑢𝑒

𝑥 + 4

3 𝑠𝑖𝑔𝑛𝑖𝑓𝑖𝑐𝑎

1

3(𝑥 + 4)

Términos sin coeficiente

numérico se supone que es 1

𝑥 𝑠𝑖𝑔𝑛𝑖𝑓𝑖𝑐𝑎 1𝑥

𝑥2𝑠𝑖𝑔𝑛𝑖𝑓𝑖𝑐𝑎 1𝑥2

𝑥𝑦 𝑠𝑖𝑔𝑛𝑖𝑓𝑖𝑐𝑎 1𝑥𝑦

𝑥 + 2 𝑠𝑖𝑔𝑛𝑖𝑓𝑖𝑐𝑎 1 𝑥 + 2

−𝑥 𝑠𝑖𝑔𝑛𝑖𝑓𝑖𝑐𝑎 − 1𝑥

−𝑥2𝑠𝑖𝑔𝑛𝑖𝑓𝑖𝑐𝑎 − 1𝑥2

−𝑥𝑦 𝑠𝑖𝑔𝑛𝑖𝑓𝑖𝑐𝑎 − 1𝑥𝑦

− 𝑥 + 2 𝑠𝑖𝑔𝑛𝑖𝑓𝑖𝑐𝑎 − 1 𝑥 + 2

Importante

• Si una expresión tiene un termino que es

un numero (sin variable), nos referimos a

este como termino constante, o

simplemente constante

• En la expresión es un

termino constante o una constante

𝑥2 + 3𝑥 − 4, 𝑒𝑙 − 4

Identificar términos semejantes

• Los términos semejantes son aquellos que

tienen las mismas variables con los

mismos exponentes

𝑇𝑒𝑟𝑚𝑖𝑛𝑜𝑠 𝑆𝑒𝑚𝑒𝑗𝑎𝑛𝑡𝑒𝑠

3𝑥, −4𝑥

4𝑦, 6𝑦

3𝑥2, 4𝑥2

3 𝑥 + 1 , −2(𝑥 + 1)

𝑇𝑒𝑟𝑚𝑖𝑛𝑜𝑠 𝑁𝑜 𝑆𝑒𝑚𝑒𝑗𝑎𝑛𝑡𝑒𝑠

3𝑥, 2

3𝑥, 4𝑦

3𝑥, 4𝑥2

2𝑥, 3𝑥𝑦

Identificar los términos

semejantes de:

𝑎) 2𝑥 + 3𝑥 + 4

𝑏) 2𝑥 + 3𝑦 + 2

𝑐) 𝑥 + 3 + 𝑦 −1

2

𝑑) 𝑥 + 3𝑥2 − 4𝑥2

Reducir términos semejantes

1. Determine cuales términos son

semejantes

2. Sume o reste los coeficientes de los

términos semejantes

3. Multiplique el numero que se haya

encontrado en el paso 2 por la (s)

variable (s) en común

Reducir los siguientes términos

𝑎) 5𝑥 + 4𝑥

𝑏) 3

5𝑥 −

2

3𝑥

c) 3𝑏 + 6𝑎 − 5 − 2𝑎

𝑑) − 2𝑥2 + 3𝑦 − 4𝑥2 + 3 − 𝑦 + 5

Propiedad Distributiva

• Emplee propiedad distributiva para

eliminar paréntesis

𝑎) 2(𝑥 + 4)

𝑏) − 2(𝑤 + 4)

c) 3(𝑥 − 2)

𝑑) − 2(4𝑥 − 3)

Eliminar paréntesis precedidos

de un signo mas o menos

• Observe que (4x + 3) = 4x + 3. Si a un

paréntesis no lo precede ningún signo o lo

hace un signo positivo, es posible

eliminarlo sin tener que cambiar la

expresión dentro de el.

Eliminar paréntesis precedidos

de un signo mas o menos

• Ahora considere – (4x + 3) = - 4x – 3. Si

un signo negativo precede al paréntesis,

cuando se elimina este cambian los

signos de todos los términos de adentro.

Simplificar una expresión

• Utilice la propiedad distributiva para

eliminar los paréntesis

• Reduzca términos semejantes

• Simplificar

𝑎) 6 − (2𝑥 + 3)

𝑏) − 2

3𝑥 −

1

4 + 3𝑥

3.2 Propiedad de igualdad

de la suma1. Identificar ecuaciones lineales

2. Comprobar las soluciones de las

ecuaciones

3. Identificar ecuaciones equivalentes

4. Utilizar propiedad de la suma para

resolver ecuaciones

5. Resolver ecuaciones mentalmente

Identificar ecuaciones lineales

• Una ecuación lineal con una variable es

una ecuación que se escribe de la

siguiente manera:

𝐸𝑗𝑒𝑚𝑝𝑙𝑜𝑠 𝑑𝑒 𝑒𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛𝑒𝑠 𝑙𝑖𝑛𝑒𝑎𝑙𝑒𝑠

𝑥 + 4 = 7

2𝑥 − 4 = 6

𝑎𝑥 + 𝑏 = 𝑐

𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒 𝑎, 𝑏 𝑦 𝑐 𝑠𝑜𝑛 𝑛𝑢𝑚𝑒𝑟𝑜𝑠 𝑟𝑒𝑎𝑙𝑒𝑠, 𝑦 𝑎 ≠ 0

Comprobar las soluciones de

las ecuaciones

• La solución de una ecuación es el numero

o números que hacen que esta sea una

proposición verdadera al sustituir la

variable o variables.

Por ejemplo la solución de: 𝑥 + 4 = 7 𝑒𝑠 3

𝐸𝑛 2𝑥 − 4 = 6, 𝑑𝑒𝑡𝑒𝑟𝑚𝑖𝑛𝑒 𝑠𝑖 3 𝑒𝑠 𝑠𝑢 𝑠𝑜𝑙𝑢𝑐𝑖𝑜𝑛

𝑉𝑒𝑟𝑖𝑓𝑖𝑐𝑎𝑟 𝑠𝑖 18 𝑒𝑠 𝑙𝑎 𝑠𝑜𝑙𝑢𝑐𝑖𝑜𝑛 𝑑𝑒 3𝑥 − 2 𝑥 + 3 = 12

Ecuaciones Equivalentes

• A dos o mas ecuaciones con la misma

solución se les denomina ecuaciones

equivalentes.

𝐿𝑎𝑑𝑜 𝑖𝑧𝑞𝑢𝑖𝑒𝑟𝑑𝑜 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑒𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛 = 𝐿𝑎𝑑𝑜 𝑑𝑒𝑟𝑒𝑐𝑕𝑜 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑒𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛

𝐿𝑎𝑠 𝑒𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛𝑒𝑠 2𝑥 − 4 = 2, 2𝑥 = 6, 𝑦 𝑥 = 3, 𝑠𝑜𝑛 𝑒𝑞𝑢𝑖𝑣𝑎𝑙𝑒𝑛𝑡𝑒𝑠

𝑌𝑎 𝑞𝑢𝑒 𝑙𝑎 𝑠𝑜𝑙𝑢𝑐𝑖𝑜𝑛 𝑑𝑒 𝑐𝑎𝑑𝑎 𝑢𝑛𝑎 𝑒𝑠 3

Propiedad de la suma para

resolver ecuaciones

• La propiedad de la suma se utiliza para

resolver ecuaciones de la forma x + a = b

• Para despejar la variable x en estas

ecuaciones sumamos el opuesto o inverso

aditivo de a, -a, en ambos lados de la

ecuación.

𝑆𝑖 𝑎 = 𝑏, 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝑎 + 𝑐 = 𝑏 + 𝑐

Resolver

𝑎) 𝑥 − 4 = −3

𝑏) 𝑥 + 5 = 9

𝑐) 6 = 𝑥 − 9

𝑑) − 6.25 = 𝑦 + 12.78

Propiedad de igualdad de la

multiplicación• Identificar los recíprocos

• Utilizar la propiedad de la multiplicación

para resolver ecuaciones

• Resolver ecuaciones de la forma – x = a

• Ejecutar mentalmente algunos pasos para

resolver ecuaciones

Identificar recíprocos

• Recuerde que dos números son

recíprocos uno del otro si su producto

es igual a uno. Encontrar el recíproco

de:𝑁𝑢𝑚𝑒𝑟𝑜

2

−3

5

−1

Propiedad de la multiplicación

para resolver ecuaciones

• La propiedad de la multiplicación puede

utilizarse para resolver ecuaciones de la

forma ax = b

• Resolver

𝑆𝑖 𝑎 = 𝑏, 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝑎 × 𝑐 = 𝑏 × 𝑐

𝑎) 3𝑥 = 6

𝑏) 𝑥

2= 4

𝑐) 2

3𝑥 = 6

𝑑) − 15 = −3𝑧

Resolver Ecuaciones de la

forma –x =a• Si una ecuacion es de la forma –x =7, se

resuelve para x multiplicando ambos lados

por -1.

• Resolver

𝑎) − 𝑥 = 7

𝑏) − 𝑥 = −5

Solución de ecuaciones lineales con

una variable en un solo lado de la

ecuación

• Solucionar ecuaciones lineales con una

variable en un solo lado del signo de

igualdad

• Resolver ecuaciones que contienen

números decimales o fracciones

Solucionar ecuaciones lineales con

una variable en un solo lado del

signo de igualdad

• Si la ecuación contiene fracciones, se

multiplican ambos lados por el mcd

• Aprovechar la propiedad distributiva para

eliminar paréntesis

• Reduzca los términos semejantes que

estén en el mismo lado del signo de

igualdad

• Emplee la propiedad de la suma para

obtener unas ecuación con todos los

términos que contienen a la variable de un

lado del signo de igualdad, y una

constante en el otro lado

• Utilice la propiedad de la multiplicación

para despejar la variable

• Compruebe la solución con la ecuación

original

Resolver

𝑎) 2𝑥 + 4 = 10

𝑏) − 2𝑟 − 6 = −3

𝑐) 2 𝑥 + 4 − 5𝑥 = −3

𝑑) 𝑥 + 1.24 − 0.07𝑥 = 4.96

Solución de ecuaciones que

contengan fracciones• El paso 1 dice que es necesario multiplicar

los dos lados de la ecuación por el mcd,

esto eliminara las fracciones.

Resolver 𝑎) 𝑥 − 3

5= 7

𝑏) 1

5𝑥 −

3

8𝑥 =

1

10

Solución ecuaciones lineales

con la variable en ambos lados• Resolver

𝑎) 4𝑥 + 6 = 2𝑥 + 4

𝑏) 2𝑥 − 3 − 5𝑥 = 13 + 4𝑥 − 2

𝑐) 2 𝑥 + 5 + 3 = 3𝑥 + 9

Ecuaciones con números

decimales o fracciones• Resolver

𝑎) 5.74𝑥 + 5.42 = 2.24𝑥 − 9.28

𝑏) 1

2 2𝑥 + 3 =

2

3 𝑥 − 6 + 4

Identificar identidades y

contradicciones• Algunas ecuaciones son verdaderas para

todas las instancias de x; a estas

ecuaciones se les denomina identidades.

Como un lado es idéntico al otro, la

ecuación es verdadera para todas las

instancias de x. Por lo tanto las soluciones

son todos los números reales

2𝑥 + 6 = 2(𝑥 + 3)

Resta de Números Reales

• Al resolver una ecuación que nunca es

verdad, la respuesta se escribe como ´´sin

solución´´

2𝑥 − 2𝑥 + 4 = 2𝑥 − 2𝑥 + 5

Razones y Proporciones

• Entender las razones

• Resolver proporciones mediante

productos cruzados

• Resolver aplicaciones

• Usar proporciones para convertir unidades

• Emplear proporciones para solucionar

problemas que involucran figuras

semejantes

Entender las razones

• Una razón es un cociente de dos

cantidades.

• Las razones proporcionan una manera de

comparar dos números o cantidades.

• La razón del numero a al numero b se

escribe así:

𝑎 𝑒𝑠 𝑏, 𝑎: 𝑏, 𝑜 𝑏𝑖𝑒𝑛 𝑎

𝑏

Resolver proporciones

mediante productos cruzados• Una proporción es un tipo especial de

ecuación.

• Es una proposición de igualdad entre dos

razones

• Resolver

𝑆𝑖𝑎

𝑏=

𝑐

𝑑, 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝑎𝑑 = 𝑏𝑐

𝑥

3=

35

15

Resolver aplicaciones

• Entienda el problema

• Traduzca el problema a lenguaje

matemático

• Efectuar los cálculos matemáticos

necesarios para efectuar el problema

• Comprobar la respuesta del paso 3

• Asegurarse de responder la pregunta

original.

• Observe que las dos razones deben tener

las mismas unidades. Por ejemplo, si una

razón se da en millas/hora, y la segunda

en pies/hora, debemos cambiar una de las

razones antes de plantear la proporción.

𝑅𝑎𝑧𝑜𝑛 𝑑𝑎𝑑𝑎 𝑚𝑖𝑙𝑙𝑎𝑠

𝑕𝑜𝑟𝑎=

𝑚𝑖𝑙𝑙𝑎𝑠

𝑕𝑜𝑟𝑎

Usar proporciones para

convertir unidades

• En una milla hay 5280 pies. A que

distancia equivalen, en millas, 18,362

pies?

• Emplear proporciones para solucionar

problemas que involucran figuras

semejantes

• Ver ejemplos del libro

Desigualdades en una Variable

• Resolver la desigualdad y graficar la

solución en la recta numérica.

• Importante

−5𝑝 + 9 < −2𝑝 + 6

−3 > 𝑥 𝑠𝑖𝑔𝑛𝑖𝑓𝑖𝑐𝑎 𝑥 < −3

−5 ≤ 𝑥 𝑠𝑖𝑔𝑛𝑖𝑓𝑖𝑐𝑎 𝑥 ≥ −5