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PROBABILIDADES
Lic. MARIZA CARDENAS PINEDA
PROBABILIDAD
Es la medida
numérica de la
posibilidad de que un
evento pueda ocurrir.
Su valor está entre 0
y 1
Cierto
Imposible
.5
1
0
ASIGNACION DE PROBABILIDADES
En la asignación de probabilidades deben satisfacerse dos requisitos básicos de probabilidades
i . Para cada resultado experimental Ei . 0 ≤ P(Ei) ≤ 1 , y
ii. P(E1) + P(E2) + … + P(En) = 1
► Métodos para asignar valores probabilísticos
♦ METODO CLASICO : Método de asignar probabilidades basado en la hipótesis de que los resultados experimentales son igualmente posibles
- Probabilidad a priori o probabilidad objetiva o lógica
- No será apropiada para tratar problemas económicos o administrativos
Enfoques de la probabilidad
Probabilidad clásica: se basa en la consideración de que los resultados de un experimento son igualmente posibles.
Utilizando el punto de vista clásico,
posibles resultados de totalnúmero
favorables resultados de número= eventoun de adProbabilid
5-4
Ejemplos: Al lanzar un dado .¿Cuál es la probabilidad de que salga un número par? En una baraja de cartas. ¿La probabilidad de que al extraer una carta resulte una espada ?
♦ METODO DE FRECUENCIA RELATIVA: es un método
de asignar probabilidades con base en la experimentación o en datos históricos
- Probabilidad experimental, empírica o a posteriori
- Dado A :
P(A) = Nº. de veces que ocurrió A
Nº. total veces que se repitió experimento
♦ Se lanza un dado seis veces en cada ensayo, se observa
la frecuencia del número uno. Se han obtenido los siguientes resultados:
ENSAYOS Número de 1
observados
Frecuencia
relativa
1 1 1/6
2 2 2/6
3 0 0/6
4 1 1/6
5 0 0/6
6 1
7 2
8 2
9 0
10 0
Frecuencia Relativa
0.00
0.25
0.50
0.75
1.00
0 25 50 75 100 125
Número de Lanzamientos
Total de Caras
Número de Lanzamientos
Probabilidad Subjetiva: La probabilidad de que suceda un evento específico que asigna una persona con base en cualquier información disponible.
- Probabilidad asignada bajo un criterio personal, basado en cualquier tipo de evidencia disponible
- Implica un grado de creencia personal
Ejemplos de la probabilidad subjetiva son estimar la probabilidad de que un equipo de fútbol gane el campeonato este año.
5-10
Enfoques de la probabilidad
Experimentos y Eventos
¿Cuál es la probabilidad de obtener 1 sello si arrojamos una moneda una vez?
Posibles Resultados de Número
Favorables Resultados de Número Prob
5.02
1
,
sc
s
Experimentos y Eventos
¿Cuál es la probabilidad de obtener 1 cara si arrojamos una moneda tres veces?
Posibles Resultados de Número
Favorables Resultados de Número Prob
375.08
3
)(),(),(),(),((csc),),(),(
)(),(),(
ssssscscsscccssccsccc
sscscscss
C
S
C
C
C
C
C
S
S
S
S
S
S
C
ÁRBOL DE
PROBABILIDADES
Experimentos y Eventos
¿Si lanzamos 2 dados, cuál es la probabilidad de obtener un puntaje de 7?
Posibles Resultados de Número
Favorables Resultados de Número Prob
1667.0
36
6
6
)1,6(),2,5(),3,4(),4,3(),5,2(),6,1(2
Experimentos y Eventos
¿Cuál es la probabilidad de sacar un as al sacar un naipe de una baraja?
Posibles Resultados de Número
Favorables Resultados de Número Prob
0769.0
13
1
52
4
Naipes 52
Espadas de As Diamantes, de As Tréboles, de As Corazones, de As
Diapositiva 13
Definiciones
Experimento Aleatorio ◦ Actividad que origina un evento.
◦ Proceso de hacer una observación y obtener un resultado.
Evento ◦ Uno o más de los posibles resultados de un
experimento.
Espacio Muestral ◦ Todos los posibles resultados de un experimento.
Lanzar una moneda Cara, Sello.
Lanzar dos monedas CC, CS, SC, SS
Sacar una carta (valor) 2, 2, ..., A (52)
Sacar una carta (color) Roja, Negra
Lanzar un dado. 1, 2, 3, 4, 5, 6
Jugar un partido Ganar, Empatar, Perder
Inspeccionar una producto Defectuoso, Bueno
Experimento aleatorio Espacio Muestral
1 Cara y 1 Sello CS, SC
Cara en la 1ra. Moneda CC, CS
Al menos una Cara CC, CS, SC
Cara en cada lanzamiento CC
Experimento: Lanzar dos monedas
Espacio Muestral: CC, CS, SC, SS
Evento Resultados
Diapositiva 16
Clases de Eventos Eventos Mutuamente Excluyentes
◦ Dos o más eventos que no pueden ocurrir al mismo tiempo.
◦ A: Reina de Corazones; B: Reina de Espadas
Los eventos A y B son mutuamente excluyentes.
Eventos No Mutuamente Excluyentes ◦ Dos o más eventos que si pueden ocurrir al
mismo tiempo.
◦ A: Naipes de Corazones; B: As
Los eventos A y B no son mutuamente excluyentes.
El As de Corazones
Mutuamente Excluyentes
Evento A Evento B
Espacio Muestral
No Mutuamente Excluyentes
Evento B Evento A
AXIOMAS DE PROBABILIDAD
1. P(A) ≥ 0
2. P(Ω) = 1
Consecuencias
- 0 ≤ P(A) ≤ 1
- P(Φ) = 0 Probabilidad de un evento imposible
- P(AUA’) = P(A) + P(A’) = 1
Ejemplo: lanzamos un dado y analizamos dos sucesos:
a) Que salga el número 6, y
b) Que salga un número par.
a). UN SUCESO PUEDE ESTAR CONTENIDO EN
OTRO: entonces, la probabilidad del primer
suceso será menor que la del suceso que lo
contiene.
P(A) = 1/6 = 0,166 P(B) = 3 / 6 = 0,50
Por lo tanto, podemos ver que la probabilidad
del suceso contenido.
suceso a), es menor que la probabilidad del
suceso que lo contiene, suceso b).
PROBABILIDAD DE SUCESOS O EVENTOS
Dijimos que el suceso a) está contenido en el suceso b).
Ejemplo: lanzamos un dado al aire y analizamos dos
sucesos: a) que salga número par, y b) que salga múltiplo
de 2. Las soluciones coinciden en ambos casos.
b). DOS SUCESOS PUEDEN SER IGUALES: en
este caso, las probabilidades de ambos sucesos
son las mismas.
P(A) = 3 / 6 = 0,50
P(B) = 3 / 6 = 0,50
Ejemplo: lanzamos un dado al aire y analizamos dos sucesos: a) que salga número par, y b) que sea mayor que 3.
P(A L B) = 2 / 6 = 0,33
La intersección de estos dos sucesos tiene dos elementos: el 4 y el 6.
Su probabilidad será por tanto:
Ejemplo: lanzamos un dado al aire y analizamos dos sucesos: a) que salga número par, y b) que el resultado sea mayor que 3.
El suceso unión estaría formado por los siguientes resultados: el 2, el 4, el 5 y el 6.
P(A) = 3 / 6 = 0,50 P(B) = 3 / 6 = 0,50
P (A L B) = 2 / 6 = 0,33 Por lo tanto, P (A u B) = (0,50 + 0,50) - 0,33 = 0,666
Ejemplo: lanzamos un dado al aire y analizamos dos sucesos: a) que salga un número menor que 3, y b) que salga el número 6.
Por lo tanto: P(A U B) = 0,33 + 0,166 = 0,50
P(A) = 2 / 6 = 0,333 P(B) = 1 / 6 = 0,166
La probabilidad del suceso unión de estos dos sucesos será igual a:
Se puede comprobar aplicando la regla de "casos favorables / casos posibles":
P(B) = 3 / 6 = 0,50
Ejemplo: lanzamos un dado al aire. el suceso (A) es que salga un número par, luego su complementario, suceso (B), es que salga un número impar.
La probabilidad del suceso (A) es igual a :
P(A) = 3 / 6 = 0,50
Luego, la probabilidad del suceso (B) es igual a:
P(B) = 1 - P(A) = 1 - 0,50 = 0,50
P(B) = 1 - P(A)
Por lo tanto: P(A U B) = 0,50 + 0,50 = 1
Ejemplo: seguimos con el ejemplo anterior: a) que salga un número par, y b) que salga un número impar.
La probabilidad del suceso unión de estos dos sucesos será igual a: P(A) = 3 / 6 = 0,50 P(B) = 3 / 6 = 0,50
GRACIAS