Download - Problem Ere Gresi e
-
7/31/2019 Problem Ere Gresi e
1/22
REGRESIA LINIARA UNIFACTORIALA
Probleme rezolvate1. n tabelul urmtor avem date referitoare la 15 ageni de asigurri angajai ai unei
companii de asigurri de via i anume: timpul mediu, n minute, petrecut de un agent cu
un potenial client i numrul de polie ncheiate ntr-o sptmn. Dac X reprezinttimpul mediu, iar Y reprezint numrul de polie, avem datele sistematizate astfel:
X Y
2523302520331821
22302626272920
10111412
818
910
10151115121411
Se cere:a) s se estimeze parametrii modelului liniar de regresie;b) s se testeze semnificaia parametrilor modelului pentru un prag de semnificaie
= 5%;
c) s se determine erorile reziduale;d) s se testeze validitatea modelului de regresie pentru un nivel de semnificaie =5%;
e) msurai intensitatea legturii dintre cele dou variabile folosind un indicatoradecvat i testai semnificaia acestuia pentru un nivel de ncredere de 0,5%;
f) efectuai o previzionare punctual i pe interval de ncredere a numrului depolie ncheiate de un agent care petrece n medie 24 de minute cu un potenialclient.
Rezolvare:Pentru a determina forma modelului de regresie se va construi corelograma:
-
7/31/2019 Problem Ere Gresi e
2/22
6
8
10
12
14
16
16 18 20 22 24 26 28 30 32 34
OY
timpul mediu
OX
numar polite
1 cm OY = 5 polie1 cm OX = 2 minute
a) i10i xaay +=Parametrii a i b se determin cu ajutorul metodei celor mai mici ptrate:
( ) ( ) minxaayminyyi
2i10i
i
2ii
=+
=+
===
==n
1iii
n
1i
2i1
n
1ii0
n
1ii
n
1ii10
yxxaxa
yxana
15n =
Pentru a rezolva sistemul vom folosi urmtorul tabel n care sunt prezentate valorileintermediare:
ix iy 2ix ii yx 2iy ( )2i yy ( )2i xx 25233025203318212230
2626272920
10111412
818
9101015
1115121411
625529900625400
1089324441484900
676676729841400
250253420300160594162210220450
286390324406220
10012119614464
32481
100100225
121225144196121
4140
16369449
19041
04
250
25644916
925
114
1625
375
x i =180
y i =9639
x2i =4645
yx ii =2262
y2i = 102 264
-
7/31/2019 Problem Ere Gresi e
3/22
=+=+
46459639a375a
180375aa15
10
10
==
5492,0a
73,1a
1
0
Deci:
ii x5492,073,1y +=
b) Testarea semnificaiei parametrilor modelului:Ecuaia de regresie la nivelul colectivitii generale este:
ii10i uxy ++=
iar la nivelul eantionului este:
ii10i uxaay ++=
Testarea semnificaiei parametrului 1:1) se stabilete ipoteza nul:
H0 : 1 = 02) se stabilete ipoteza alternativ:
H1 : 1 0, adic 1 este semnificativ diferit de zero, adic 1 estesemnificativ statistic.
3) se calculeaz testul statistic:deoarece n = 15 < 30 avem eantion de volum redus i pentru testare vom utiliza
testul t:
8,608,0
5492,0
s
a
s
0a
s
at
111 a
1
a
1
a
11 ===
=
=
( )0064,0
264
7199,1
xx
ss
i
2i
2u2
ai==
=
( )
7199,1215
35,221kn
yy
s i
2
ii2u =
=
=
k reprezint numrul variabilelor factoriale (n cazul modelului unifactorial k =1).
2515
375
15
x
x
15
1ii
====
Pentru un prag de semnificaie de 5% valoarea tabelat a testului este:t0,05/2; 13 = t0,025; 13 = 1,35
Testarea semnificaiei parametrului 0:1) se stabilete ipoteza nul: H0: 0 = 0;2) se stabilete ipoteza alternativ: H1: 0 0;3) se calculeaz testul statistic:
84,0096,2
73,1
s
a
s
0a
s
at
000 a
0
a
0
a
10 =
==
=
=
-
7/31/2019 Problem Ere Gresi e
4/22
( )186,4
264
25
15
171,1
xx
x
n
1ss
i
2i
22u
2a0
=
+=
+=
35,1t84,0t 2n;2/calc =>= se accept ipoteza nul, adic parametrul a0nu este semnificativ statistic.
c) Erorile reziduale sunt iii yyu = i sunt prezentate n tabelul de mai jos:
ui -14,99 -27,57 -0,91 18,38 16,58 7,37 5,03-20,62 9,90 27,22 -19,95 -17,48 -5,09 5,42 16,70
d) Testarea validitii modelului de regresie:1) se stabilete ipoteza nul: H0: mprtierea valorilor ty datorate factorului nu
difer semnificativ de mprtierea acelorai valori datorate ntmplrii, deci modelul nueste valid.
2) se stabilete ipoteza alternativ: H1: modelul este valid;3) se calculeaz testul F:
3,4671,1
64,79
s
sF
2u
2x ===
( )
64,79164,79k
yy
s i
2i
2x ==
=
( )
71,1215
35,22
1kn
yy
s i
2ii
2u =
=
=
1215
180
15
y
y
15
1ii
====
67,4FFF 13,1;05,01kn;calc === Deoarece Fcalc> Ftab modelul este valid.
e) Intensitatea legturii dintre cele dou variabile se face cu coeficientul de corelaieliniar:
( )[ ] ( )[ ]
[ ][ ]0188,0
180226215375963915
180375464515
yynxxn
yxyxnr
22
2i
2i
2i
2i
iiii
>=
=
=
=
-
7/31/2019 Problem Ere Gresi e
5/22
Rezult c ntre cele dou variabile exist o legtur direct foarte puternic.Testarea semnificaiei coeficientului de corelaie:- se stabilete ipoteza nul: H0: nu este semnificativ statistic;- se stabilete ipoteza alternativ: H1: este semnificativ statistic;- se calculeaz testul t:
75,688,011388,0
r12nr
srt
22r=
=
==
16,2ttt 13;05,01kn;calc ==> Coeficientul de corelaie este semnificativ statistic.Msurarea intensitii legturii cu raportul de corelaie R:
( )
( )
88,0
yy
yy
Rn
1i2i
n
1i
2i
=
=
=
=
Deoarece R = r = 0,88, apreciem c exist o legtur liniar, puternic i direct ntrecele dou variabile.
Testarea raportului de corelaie se face cu testul F:
09,461
13
78,01
78,0
k
1kn
R1
RF
2
2=
=
=
Cum:67,4FF 13;1;05,0calc =>
R este semnificativ statistic.
f)12~45,11245492,073,1y 1n =+=+ polie (aceasta este estimarea punctual).
Pentru estimarea pe interval de ncredere vom avea:
1n1n y1kn;2/1n1ny1kn;2/1n styysty ++ + +++
35,1t12y35,1t12 13;025,01n13;025,0 + +
( )( )
82,1264
)2524(
15
1171,1
xx
xx
n
11ss
2
i
2i
21n2
u2y 1n
=
++=
++=
+
+
35,1s1ny
=+
8225,13y1775,10 1n +
-
7/31/2019 Problem Ere Gresi e
6/22
Intervalul de ncredere pentru numrul de polie ncheiate este:
14y10 1n +
Rezolvarea problemei cu ajutorul programului informatic EXCEL :Se selecteaz din meniul principal opiunea Tools, apoi Data Analysis, apoi
Regression i se deschide urmtoarea fereastr:
i se obin urmtoarele rezultate:
SUMMARY OUTPUT
Regression Statistics
Multiple R 0.883621R Square 0.780786Adjusted R
Square
0.763923
Standard Error 1.311483Observations 15.000000
ANOVAdf SS MS F Significance F
Regression 1.000000 79.640152 79.640152 46.302727 0.000013Residual 13.000000 22.359848 1.719988
-
7/31/2019 Problem Ere Gresi e
7/22
Total 14.000000 102.000000
Coefficient
s
Standard
Error
t Stat P-value Lower
95%
Upper
95%
Intercept -1.731061 2.046120 -0.846021 0.412843 -6.151434 2.689313X Variable 1 0.549242 0.080716 6.804611 0.000013 0.374866 0.723619
RESIDUAL OUTPUT
Observation Predicted Y Residuals
1.000000 12.000000 -2.0000002.000000 10.901515 0.0984853.000000 14.746212 -0.7462124.000000 12.000000 0.0000005.000000 9.253788 -1.2537886.000000 16.393939 1.6060617.000000 8.155303 0.844697
8.000000 9.803030 0.1969709.000000 10.352273 -0.352273
10.000000 14.746212 0.25378811.000000 12.549242 -1.54924212.000000 12.549242 2.45075813.000000 13.098485 -1.09848514.000000 14.196970 -0.19697015.000000 9.253788 1.746212
Explicitarea datelor din tabelele de mai sus:
SUMMARY OUTPUT
Regression Statistics
Multiple R
Raportul de corelatie (R)0.883621
( )
( )
( )
( )
=
=
=
=
=
=n
1i
2i
n
1i
2ii
n
1i
2i
n
1i
2i
yy
yy
1
yy
yy
x,Ry
R Square
Coeficientul (gradul ) dedeterminaie
0.780786
( )
( )
=
=
=
=
=
n
1i
2i
n
1i
2i
2y
2e
2y
2x/y2
yy
yy
1R
Adjusted R Square
Valoarea ajustat acoeficientului dedeterminaie
0.763923
1n/
1kn/1R
2y
2u2
=
Standard Error
Abaterea medie ptratic aerorilor n eantion
1.311483( )
2n
yy
2ns
n
1i
2ii2
uu
=
=
=
-
7/31/2019 Problem Ere Gresi e
8/22
Observations
Numrul observaiilor (n)15
Tabel 2.ANOVA
Sursavariaiei
df(grade delibertate)
SS (variana)(suma ptratelor)
MS =SS/df(media ptratelor)
(dispersiacorectat)
F Significance F
Regression(variaiadatorat
regresiei)
1 (k)SSR= ( )
=
=n
1i
2i
2x yy =
79.640152
ks
2x2
x
= =
79.640152
TestulF=46.302727
F=2
xs /2us
0.000013 0,05-6.151434 2.689313
Timpulmediu
a1 = 0.549242 1as
=0.080716
1at = 6.8046110.000013
< 0,050.374866 0.723619
Tabel 4.RESIDUAL OUTPUT
ObservationPredicted iy
Numrul de polie
Residuals
ii yy 1 338.5796 -14.99862 371.2542 -27.57223 376.1748 -0.91084 332.8525 18.38955 311.8281 16.58896 310.6962 7.37287 325.9235 5.03558 287.8659 -20.62999 310.9763 9.9067
-
7/31/2019 Problem Ere Gresi e
9/22
10 382.3073 27.227711 336.2188 -19.956812 369.2938 -17.487813 338.7504 -5.095414 367.2528 5.426215 346.0917 16.7043
Interpretare rezultate din tabelul SUMMARY OUTPUT: R= 0.883621 arat c ntre numrul de polie ncheiate i timpul mediu petrecut cu
un potenial client exist o legtur puternic. R2 =0.780786 arat c 78% din variaia numrului de polie ncheiate este explicat
de timpul mediu petrecut de un agent cu un potenial client. Abaterea medie patratica a erorilor us = 1.311483. n cazul n care acest
indicator este zero nseamn c toate punctele sunt pe dreapta de regresie.
Interpretare rezultate din tabelul ANOVA:
n acest tabel este calculat testul F pentru validarea modelului de regresie. ntructF=46.302727, iar Significance F (pragul de semnificatie) este 0.000013 (valoare mai micade 0.05) atunci modelul de regresie construit este valid i poate fi utilizat pentru analizadependenei dintre cele dou variabile.
Interpretarea rezultatelor din tabelul 4: Intercept este termenul liber, deci coeficientul a0 este -1.731061. Termenul liber
este punctul n care variabila explicativ (factorial) este 0. Deci numrul de polie
ncheiate, dac timpul petrecut este 0. Deoarece 0at
= -0.846021iar pragul desemnificaie P-value este 0.412843>0,05 nseamn c acest coeficient estenesemnificativ. De altfel faptul c limita inferioar a intervalului de ncredere(-6.151434 0 2.689313) pentru acest parametru este negativ, iar limitasuperioar este pozitiv arat c parametrul din colectivitatea general esteaproximativ zero.
Coeficientul a1 este 0.549242, ceea ce nsemn c la creterea timpului petrecut cu
un minut, numrul de polie ncheiate va crete cu 0,549242. Deoarece 1at =6.804611 iar pragul de semnificaieP-value este 0.000013
-
7/31/2019 Problem Ere Gresi e
10/22
2. n tabelul urmtor avem informaii privind veniturile obinute de 20 de gospodriiselectate aleator i taxele pltite de ctre aceste gospodrii:
Venitul(mii euro)
x
Taxele(euro)
y
Venitul(mii euro)
x
Taxele(euro)
y
17,537,547,525,055,535,015,512,032,042,3
35,060,588,570,5
125,063,030,030,065,080,0
28,022,525,029,565,051,039,333,045,075,0
75,070,060,065,0
150,0100,0
75,040,075,0
200,0
Se cere:a) s se specifice modelul econometric ce descrie legtura dintre cele dou
variabile;b) s se estimeze parametrii modelului;c) s se verifice ipotezele metodei celor mai mici ptrate;d) s se verifice semnificaia parametrilor modelului de regresie pentru = 0,1;e) s se testeze validitatea modelului de regresie;f) s se testeze intensitatea legturii dintre cele dou variabile i s se testeze
semnificaia indicatorilor utilizai;g) s se estimeze punctual i pe interval de ncredere nivelul taxelor care trebuie
pltite dac venitul este de 40 mii euro pentru o probabilitate de 95%.
Rezolvare:a) Se va reprezenta grafic legtura dintre nivelul taxelor i venit pentru cele 20 de
gospodrii prin corelogram sau diagrama norului de puncte:
020
406080
100120140160180
200220
0 10 20 30 40 50 60 70 80
OY
xi
OX
yi
1 cm OX = 10 mii euro ; 1 cm OY = 20 euro
Din grafic se poate observa c distribuia punctelor (xi, yi) poate fi aproximat cu odreapt, deci modelul econometric care descrie legtura dintre cele dou variabile este unmodel liniar:
-
7/31/2019 Problem Ere Gresi e
11/22
uxy 10 ++=
0, 1 parametrii modelului;1> 0 (panta dreptei) deoarece legtura dintre cele dou variabile este direct.
b) Pentru estimarea parametrilor modelului de regresie utilizm metoda celor maimici ptrate:
20,1iuxaay i10i =++=
i10i xaay +=
( ) ( ) minxaayminyyi
2i10i
i
2ii
=+=+
6886453,31991a1,733a
5,1557a1,733a20
10
10
=
=
2997,2a
4201,6a
1
0
Deci, modelul este:
ii x2997,24201,6y +=
2997,2
53,319911,733
1,73320
688641,7335,155720
xx
xn
yxxyn
a
2ii
i
iiii
1 ===
4201,6xaya 10 ==c) Ipotezele metodei celor mai mici ptrate:c1) Variabilele observate nu sunt afectate de erori de msur.Aceast ipotez se poate verifica cu ajutorul urmtoarelor relaii:
xix s3xxs3x +
-
7/31/2019 Problem Ere Gresi e
12/22
07,403875,77y07,403875,77 i +
-
7/31/2019 Problem Ere Gresi e
13/22
Deoarece graficul punctelor prezint o evoluie oscilant putem accepta ipoteza cvariabila factorial i cea rezidual sunt independente.
c3) Valorile variabilei reziduale nu sunt autocorelate, adic sunt independente ntreele:
Verificarea acestei ipoteze se poate face prin:-
metoda grafic (corelograma);- testul Durbin-Warson.Prin metoda grafic se construiete corelograma trecndu-se pe axa OX valorile
variabilei rezultative yi, iar pe axa OY valorile variabilei reziduale:
-30
-25
-20
-15
-10
-5
0
5
10
15
20
25
30
35
0 20 40 60 80 100 120 140 160 180
OY
yi
OX
ui
Distribuia erorilor este oscilant, adic nu avem alternativ sistematic sub form dedini de fierstru, deci putem accepta ipoteza c erorile sunt independente, adic nu suntautocorelate.
Testarea ipotezei cu ajutorul testului Durbin-Watson:- se stabilete ipoteza nul:
H0: variabila rezidual nu este autocorelat.- se stabilete ipoteza alternativ:
H1: variabila rezidual este autocorelat.- se calculeaz testul Durbin-Watson:
( )
48,126,5040
87,7508
u
uu
dn
1i
2i
n
1i
21ii
calc ==
=
=
=
Pentru a efectua calculul lui d vom prezenta rezultatele intermediare n urmtorultabel:
iu 1iu ( )2
1ii uu 2iu
1,18-19,32
-1,18
-420,19
1,38373,21
-
7/31/2019 Problem Ere Gresi e
14/22
-14,3219,43
3,79-11,07
0,778,82
-2,17-10,8617,0324,68
8,933,586,94
-10,86-8,96
-29,47-22,0733,94
-19,32-14,3219,43
3,79-11,07
0,77
8,82-2,17
-10,8617,0324,68
8,933,586,94
-10,86-8,96
-29,47-22,07
25,041138,90244,71220,80140,30
64,86
120,7975,47
777,7758,47
248,1428,6311,29
317,003,62
420,6654,81
3137,41
204,94377,4314,34
122,530,60
77,86
4,71117,88289,97608,9579,7012,8148,16
118,0480,25
868,48486,93
1152,10
7508,87 5040,26
- se compar dcalc cu cele dou valori d1 i d2 din tabelul testului Durbin-Watsonpentru pragul de semnificaie = 0,05 pentru numrul variabilelor exogene k = 1 i pentrun = 20:
d1 = 1,20 d2 = 1,41
2calc2 d4dd
-
7/31/2019 Problem Ere Gresi e
15/22
-30
-25
-20
-15
-10
-5
0
5
10
15
20
25
30
35
0 20 40 60 80 100 120 140 160 180
OY
OX
ui
Se observ c valorile reziduale ui se nscriu n banda construit, deci putem acceptaipoteza de normalitate a erorilor pentru un prag de semnificaie de = 0,05.
d) Testarea semnificaiei parametrilor modeluluiTestarea semnificaiei parametrului 0:- se stabilete ipoteza nul:
H0: 0 = 0- se stabilete ipoteza alternativ:
H1: 0 0- se calculeaz testul t:
15,082,41
4201,6
s
at
0a
0 =
==
( )68,1449
75,5119
53,3199101,280
xx
xss
i
2i
i2i
2u
2a0
==
=
( )
01,28018
26,5040
2n
yy
s i
2ii
2u ==
=
- se compar tcalc cu t/2; n-2 = t0,05; 15 = 2,101Deoarece 18;05,0calc tt < este foarte probabil ca estimatorul a0 s provin dintr-o
colectivitate cu 0 = 0 deci 0 nu este diferit semnificativ de zero.
Testarea semnificaiei parametrului 1:- se stabilete ipoteza nul: H0: 1 = 0- se stabilete ipoteza alternativ: H1: 1 0- se calculeaz testul t:
99,923,0
2997,2
s
at
1a
1 ===
+ t0,05; 18 su
- t0,05; 18 su
iy
-
7/31/2019 Problem Ere Gresi e
16/22
( )05,0
75,5119
01,280
xx
ss
20
1i
2i
2u2
a1==
=
=
- se compar tcalc cu t/2; n-2 = t0,05; 18 = 2,101
Deoarece 18;05,0calc tt > apreciem c parametrul 1 este semnificativ statistic.Intervalul de ncredere pentru parametrul 1 este:11 a2n;2/11a2n;2/1 stasta +
23,0101,22997,223,0101,22997,2 1 +78293,281647,1 1
e) Testarea validitii modelului de regresie:- se stabilete ipoteza nul: H0: modelul nu este valid.- se stabilete ipoteza alternativ: H1: modelul este valid;- se calculeaz testul F:
69,9601,280
18,27076
s
sF
2u
2x ===
( )18,27076
1
18,27076
k
yy
s
20
1i
2i
2x ==
=
=
- se compar Fcalc cu F; k; n-k-1 = F0,1; 1; 18 = 8,2818;1;1,0calc F69,96F >= se respinge ipoteza nul i se accept alternativa, deci
modelul este valid.f) Intensitatea legturii dintre cele dou variabile se apreciaz cu ajutorul:
- coeficientului de corelaie;
- raportului de corelaie.Coeficientul de corelaie:
918,0
yynxxn
yxyxn
r2
ii
i
2i
2
ii
i
2i
ii
ii
iii
x/y =
=
Deoarece ry/x = 0,918 1, apreciem c ntre cele dou variabile exist o legturliniar, direct, foarte puternic.
Testarea semnificaiei coeficientului de corelaie pentru colectivitatea general:
- se stabilete ipoteza nul: H0: = 0 ( nu este semnificativ statistic);- se stabilete ipoteza alternativ: H1: 0 ( este semnificativ statistic); - coeficientul de corelaie la nivelul colectivitii generale
- se calculeaz testul t:
82,9918,01
18918,0
r1
2nrt
22calc =
=
=
- se compar calct cu 878,2tt 18;1,02n; ==
-
7/31/2019 Problem Ere Gresi e
17/22
Deoarece 18;1,0calc tt > respingem ipoteza nul i acceptm alternativa, decicoeficientul de corelaie este semnificativ statistic.
Raportul de corelaie R:
( )
( )918,044,3211626,50401
yy
yy
1R
1i
2i
1i
2ii
==
=
=
=
Deoarece R = ry/x, apreciem c ntre cele dou variabile exist, ntr-adevr, olegtur liniar.
Testarea semnificaiei raportului de corelaie:- se stabilete ipoteza nul: H0: R nu este semnificativ statistic;- se stabilete ipoteza alternativ: H1: R este semnificativ statistic;- se calculeaz testul F:
5,94
918,01
918,0
1
18
R1
R
k
1knF
2
2
2
2
calc =
=
=
- se compar calcF cu 28,8FF 18;1;1,01kn;k; ==
Deoarece 18;1;1,0calc FF > se respinge ipoteza nul i se accept alternativa, deciraportul de corelaie este semnificativ statistic.
g)5679,85402997,24201,6y 1n =+=+ euro (estimarea punctual)
Pentru estimarea pe interval de ncredere vom avea:
1n1n y1kn;2/1n1ny1kn;2/1n styysty ++ + +++16,17t5679,85y16,17t5679,85
552,218;025,01n552,218;025,0+
=+=
( )
( )59,294
75,5119
)655,3640(
20
1101,280
xx
xx
n
11ss
2
n
1i
2i
21n2
u2y 1n
=
++=
++=
=
++
Deci, intervalul de ncredere pentru taxele pltite pentru un venit de 40 mii euro lanivelul populaiei este:
)euro(36,129y)euro(77,41 1n +
Rezolvarea problemei cu ajutorul programului informatic EXCEL:Se selecteaz din meniul principal opiunea Tools, apoi Data Analysis, apoi
Regression i se va deschide urmtoarea fereastr:
-
7/31/2019 Problem Ere Gresi e
18/22
i se obin urmtoarele rezultate
SUMMARY OUTPUT
Regression Statistics
Multiple R0.91818458
8
R Square0.84306293
7Adjusted R
Square
0.83434421
2StandardError
16.73363108
Observations 20
ANOVA
df SS MS F
Significance F
Regression 1 27076.1781427076.1
8 96.695661.15588E-
08
Residual 18 5040.259363280.014
4Total 19 32116.4375
Coefficients
StandardError t Stat P-value Lower 95%
Upper95%
Intercept - 9.353374888 -0.6864 0.501209 - 13.23058
-
7/31/2019 Problem Ere Gresi e
19/22
6.4201424826.0708691
4X Variable 1(Venitul)
2.299690151 0.233865325
9.833395 1.16E-08
1.808356955 2.791023
RESIDUAL OUTPUT
Observation Predicted Y Residuals
133.8244351
6 1.17556484
279.8182381
8-
19.31823818
3102.815139
7-
14.31513969
4
51.0721112
9 19.42788871
5121.212660
9 3.7873391076 74.0690128 -11.0690128
729.2250548
6 0.774945141
821.1761393
3 8.823860669
967.1699423
5-
2.16994234810 90.8567509 -10.8567509
11 57.97118174 17.02881826
1245.3228859
1 24.67711409
1351.0721112
9 8.927888708
1461.4207169
7 3.579283029
15143.059717
3 6.940282674
16
110.864055
2
-
10.8640552117
83.95768045
-8.957680449
18 69.4696325 -29.4696325
1997.0659143
1-
22.06591431
20166.056618
8 33.94338117
-
7/31/2019 Problem Ere Gresi e
20/22
Explicitarea datelor din tabelele de mai sus:
SUMMARY OUTPUT
Regression Statistics
Multiple RRaportul de corelaie (R)
0.91818458
8
( )
( )
( )
( )
=
=
=
=
=
=n
1i
2i
n
1i
2ii
n
1i
2i
n
1i
2i
yy
yy
1
yy
yy
x,Ry
R SquareCoeficientul (gradul ) dedeterminaie
0.84306293
7
( )
( )
=
=
=
=
=
n
1i
2i
n
1i
2i
2y
2e
2y
2x/y2
yy
yy
1R
Adjusted R Square
Valoarea ajustat acoeficientului dedeterminaie
0.83434421
21n/
1kn/1R2y
2u2
=
Standard ErrorAbaterea medie ptratica erorilor n eantion
16.7336310
8
( )
2n
yy
2ns
n
1i
2ii2
uu
=
=
=
ObservationsNumrul observaiilor(n)
20
Tabel 2.
ANOVA
Sursavariaiei
df(grade delibertate)
SS (variana)
(suma ptratelor)
MS =SS/df(media ptratelor)
(dispersiacorectat)
FSignificance
F
Regression(variaia
datoratregresiei)
1 (k)SSR= ( ) =
=
n
iix yy
1
22 =
27076.17814
ks xx
22 = =
27076.18
TestulF=96.69566
F=2
xs /2us
1.15588E-
08< 0.05(resping H0 model valid)
Residual(variaia
rezidual)
18 (n-k-1)SSE= ( ) =
=
n
iiiu
yy1
22 =
5040.259363
1
22
=
kns uu =
280.0144
Total
(variaiatotal) 19 (n-1)
SST= ( ) ==
n
1i
2
i2y yy =
32116.4375
SST=SSR + SSE1
22
= ns
y
y
Tabel 3.
Coefficients(Coeficieni)
Standard Error(Abaterea medie
patratic)t Stat P-value Lower 95% Upper 95%
Limita inf. aintervalului de
Limita sup.a
-
7/31/2019 Problem Ere Gresi e
21/22
ncredereintervaluluide ncredere
Intercept(termenulliber)
a0=
-6.420142480a
s=
9.353374888
0at
=-0.6864
0.501209>0,05 -26.07086914 13.23058
Venitula1 =
2.2996901511a
s=
0.233865325
1at =
9.833395
1.16E-080,05 nseamn c acest coeficient estenesemnificativ. De altfel faptul c limita inferioar a intervalului de ncredere (-
-
7/31/2019 Problem Ere Gresi e
22/22
26.07086914 0 13.23058) pentru acest parametru este negativ, iar limitasuperioar este pozitiv arat c parametrul din colectivitatea general esteaproximativ zero.
Coeficientul a1 este 2.299690151, ceea ce nsemn c la creterea venitului cu o mie euro,
taxele vor crete cu 2,299690151 euro. Deoarece 1at = 9.833395 iar pragul de semnificaieP-value este 1.16E-08