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8/3/2019 PROBLEMAS RESUELTOS OLIMPIADAS MATEMATICAS ESCOLARES 10-VISITAR www.gratis2.com

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R E S O L U C I O Nwww.gratis2.com www.presanmarcos.c

Determine sen (A+ B) + tan(A -B).Sea a es el menor angulo.Nos piden cosec,Del dato AC=sec645 ~ AC= J26

:. AC=8 BC = 5cot2135 ~ BC = 5(1)2

:. BC=5 AB=sec260o+cot2300 ~ AB=22+ J " ? /

.. AB=7

A C1------8-------1

Luego, par teorema de los cosenos tenemos52=72+82-2(7)(8)cosa

72+82_522(7)(8)~ casa

11coso:= -14 C L ave J)

P R EG UN T A 21En un trianqulo rectanqulo ABC, recto en C, secumple que

(senA)2 (COSA)2-- + -- = Ztan Avsec Bsen BsenB cosB

A) 0D) -2

C) -1E) 2

B) 1

R E S O L U C I O NDel dato

B

AA

se observa queA+B=90.Entonces se cumple que

RT(A)= coRT(B)Expresando el dato en terrninos del anqulo Anemos

(senA)2 (COSA)2-- + -- =2tanA'~~senB cosB cscA cosA'--v-----' '--v-----' "----or---cosA sen A cotA(tanA)2+ (cotA)2= 2tanAcotA

~ (tanA)2+(cotA)2-2tanAcotA=0(tanA-cotA)2=0

tanA-cotA=O1tanA=-- tan A

tanA=1~ A=45 Y B=45Nos piden

sen(A+B)+tan(A-B)=sen900+tanOosen(A+B)+tan(A-B)= 1+0sen(A +B)+ tan(A - B)= 1

C L ave1
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P R EG U N TA 22Complete la tabla.

M

Luego. calcule /'I-M (aproximadamente).

A) 3../3 -.J2.10

C) 3.)3 -1010

D) 3.J2 -1010

.)3 -108)

E) 13.)320R E S O L U C I O NDe la tabla

/'I=sen(8-a)/8=37 A a=30/'I= sen(3 T?- 30)

aproximadamente

/'1= 3../3 - 410

TambienM=sen(8-a}/8=45 A a=8M=sen(45-8)M=sen(37)

AproximadamenteM=~5

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www.grat is2.comLuego

/'I-M= 3.)3 -4 _~10 5

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Clave C

P RE GU N T A 2310 Siendo x; y anqulos aqudos, se cum pie quesen(x+z+w}=tan(z-w) (I )

cot (z-w)=sec(y-z-w) (II)Determine el valor de tan3x tany- tan x .tany

A) 1D) 0 8) -1 C)-2

E) 2

R E S O L U C I O NDel dato se tiene De (I )

sen(x+z+w)=tan(z-w) De (II)

cos(y-z-w)=tan(z- w)De (*) A (**) sen(x+z+w}=cos(y-z-w}Por anqulos complementarios

(x+z+w)+(y-z-w)=900 ~ x+y=900Pero se cumple [ RT(x}=coRT(y) )Nos piden

(* )

(**)

3 tanxk = tan xtany ---.___. tanycatx ~calxk=tan3x.cotx- tan x ~ k=tan2x-tan2xcot x

.. k=OC L a v e I)


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P R E C U N T A 2 4www.gratis2.com www.presanmarcos.c

Se definer(x+y) = senxg(x +y) = cosx

Halle el equivalente de r(~)+ g ( - i ) en termlnosdey.

A) cosyD) sen2y

C) tanyE) cos2y

B) seny

RESOLUC IONNos pidenE= r(~)+ g ( i - ) en terrninos dey.Datos r(x+y)=senx g(x+y)=cosxHallamos r ( ~ )Sea

x+y=(~) ~Reemplazamos en (I )

(I )(II)

1tx=--y6

r(~)=sen(~-y ) (III)

Hallamos g ( i - )Sea 1tx+y=- 3

1t~ x=--y3Reemplazamos en (II)

(IV)Reemplazando (III) y (IV) en

= sen(~- y )+cos(~- y )= cos( i - + y ) + cos ( i - - y )

Transformamos a producto1tE = 2cos3cosy

1=;i. ;icosyE=cosy

CLave

P R E C U N T A 2 5Si

secxcscx + senxcosx = 3l-senxcosxel valor de tan5x+cot7x es

A) 3D) 2

B) 1 C) -2E) 4

R E S O L U C I O NDe la condici6n

--------- ," senxcosx "secx-cscx+: ,=3' . 1 - senxcosx,'' - - - - r - - - -dividimos al numerador y denominador ensenxcosx.

secxcscx + = 3secxcscx-lCambio de variable

secxcscx=a1a+--=3a-I

Efectuamosa2-a+I=3a-3a2-4a+4=O(a-2)2=O ~ a=2secxcscx=2

~ tanxcotx=2.. x=45

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Luegotan5x+cot7x=tan545+cot745tan5x+cot7x=(1)5 +(1)7tan5x + cot7x =2

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Glave 1)

P RE OU NT A 26Calcule el dominio de la funci6n h

h(X ; ) = .J-tanx + .J2senx-1en el recorrido de (0; 2 n ) .

A) ( ~ . 5 n ]2' 6C) ( ~ . 3 n ]2' 4D) ( ~ . 2 n ]2' 3

B) / ~ . 5 n ]\12' 6

R E S O L U C I O Nh(x) = .J-tanx + .J2senx-1

Nos piden el D o m h en el recorrido de (0; 2 n ) .Restricciones

-tanx ~ 0 1\ 2senx-1 ~ 0tenc s0 1~ 1\ senx ~ -2

y yZ ! .2 x

1t

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Intersecando tenemoswww.presanmarcos.c

X E (~. 5 n ]2' 6( n 5 X ]D o m h = - ._2' 6

P RE OU NT A 27Calcule el valor de

A) 51t/4D) 3/5

B) 6/5

a = arc sen ~; a E [ -;; % ].fj rcsena- ~ a=-2 3

8= arccos 1; a E [0; xl6 cos8= 1 ~ 8=0

R E S O L U C I O NNos piden

.fjarcsen - + arccos 1N- 2- arctan 1+ arccot .fj

SeaN= a+8~+

Donde

x (-rc n \~=arctan 1; ~ E 2;2 1rctanf =1 ~ ~=-4

=arccot.fj ; a E (0; rc)cot=.fj ~ =~6

GLave

C)31t/7E) 4/5

(


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Reemplazamos a :, 9, 1 3 , I j> en (I)www.gratis2.com

De (1)-(11)www.presanmarcos.c

1t-+0 4N=_3_=_1t 1t 5-+-4 6

4.. N=-5Clave I

P RE OU NT A 28A partir de la siguiente identidad

cos (x+y)=acoSK+bsenx,en la que a 1\b son constantes comprendidas de-1a I, halle el valor de cos2y.

A ) a2_b2_1C) Ja2+b2-1D) a2_b2 E) a-b

RUO lUC .ONNos piden cos2y.Datocos(x +y) =acosx +osenx

Por identidades de arcos compuestoscosxcosg-sencsers, =ecosx+osencT -r-T T

Como la igualdad es una identidad trigonometrica,entonces

cosy=aseny=-b

Elevamos al cuadradocos2y=a2sen2y=b2

(I )(II)

Clave

P RE OU NT A 29Del grafico mostrado, calcule tan3 (9 rad+ 15).

A) 2C) 1/3D) 2lfi.

B) 1/2

E) 1

RESO lUC .ONDato

r r . / 3

1 3 rad

Por definicion de R.T . para un anqulo agudo1 3 cateto opuestosen = ---"'---

hipotenusaReemplazamos del triangulo9 3esen9=-=-1t 1t33 1 3sene=- 1t

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Resolviendo e = ~ es solucion, pues6www.grat is2.com www.presanmarcos.co

rt 3 ( ~ ) 1sen-=--=-6 n 2Nos piden

tan3 (Brad-s 15) = tan3( ~rad+ 150)=tan3(300+ 15)=1

Clave

P R E C U N T A iOSi se define f e n ) =tarunl)"

100ealcule el valor de L {(k)k=5 +(factorial de n: n!= 1x2x3x ... , n; n E 1:0)

A) J3D) -.J3 B) 0 C) 100E) -1

R e s O l U C I O NPor definicion de factorial de un numero natural

n!=nx(n-l)x(n-2) ...2x 1tarnblen

n!=nx(n-l)!Sea

100S= L f (k)k=5

EvaluamosS=tan(5!)0+tan(6!)OHan(7!)0+ ... Han(lOOl)OS=tan1200+tan7200+tan7 x 720)+ ... +tan 100!0S=-.J3 +0+0+...+0

.. S=-J3196

Clave

P R E C U N T A i1En el qrafico se muestra una carrera de autos, encual la pista esta deserita por una eurva que tiepor ecuacion y=5eos(nx/8). Determine la distancque separa a los m6viles en dicho instante.

Y(km)

X(km)

A) 8 kmB) 10 kmC) 15 kmD) 13 kmE) 16 km

R E S O L U C I O NGrafico en el espacio

~~/ - - - - /-.,- - - : - - -/"7, ", ,', __ : /


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Luego0= -2sen ( sen 2(x +~ )+ sen 2x ) x

(sen 2(x + T) - sen 2x )sen 2O=sen(sen(2x+ T)cosT) .sen(senT cos(2x+ T )

Igualamos cada factor a cero1.0 sen(sen(2x+ D-cosT)=0 4 T=~ 22. sen(senT-Cos(2x+T)=O 4 T=T tEI periodo minlrno de g(x) es ~, entonces

I . d ' . 1 t 31 t 1 tos peno os mmlmos son: _. _. -3' 4 ' 2

P R E C U N T A 33Un satellte Y tiene la trayectoria como se indica enel graflco. Halle la tangente del anqulo can6nico,generado por el satelite, al desplazarse de A hasta B.

y

",-2 0 X

A) .J s5 C)Js2B)D) .J s4 E ) -.Js

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www.gratis2.comR E S O L U C I O N

C L a v e J)

.J s3

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y

"A X

Sea e el angulo en posici6n normal 0 can6nicocuando el satelite pasa por B.

EI punto B pertenece a la curva (elipse) decuaci6n:

Luego, para x = - 2 el valor de Y esy2 4-=1--4 9

~ u =2.Js3Como B E aillC 2.Js4=::

Por definici6n de las R.T. de un angulo en posici6n normal

2.JsYB 3 .J sse caJcula tane = - = -- =--


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P R E G U N T A )4www.gratis2.com

Calculo del dominioUn arque61ogo descubre un santuario de una de-terminada cultura, como muestra la figura

para 10 cual pide a un maternatico que haJle d I,db Yh, siendo las paredes laterales curvas, cuyasecuaciones son

1 C{(x)= arcsen(x+ 1) y g(x)=arccos(x-2)--. 2A) 1 m; 5 m y 1 C mB) 2 m; 5 m y rt mC) 1 rn: 4 m y 21 t m

nD) 1m: 5 m y - m2E) 2 m; 6 m y rt m

R E S O L U C I O NNos piden dl, d2 y hEstablecemos un sistema de coordenadas (x, y) enla vista frontal.De Ia Figura

yITr- --- I- --- -- -- r-- -' -- --j, ", ,

x

{(x)-IT

www.presanmarcos.c{(x)=arcsen(x+ 1)_, -1::; x+ 1::;1

-2 ::;x ::;0; Dom(!) E [-2; 0)1 Cg(x)=arccos(x- 2)-- 2

1 ::;x::; 3; Dom(g) E [1; 3)

Calculo del rangoSea

1t ) 1 C-- ::; arcsen(x+ 1 ::; - _, Ran(f)E [-n/2; n/2)2 ((x) 2

0: : ; arccos(x-2) :;;n

+ ( - ~ } - ~ : : ; arccos(x-2)-~::; ;g(x)

[-n n J, Ran(g) E 2;"2Desplazamientos vertleales y horizontales

{(x) =arcsen(x + 1);su grafica se desplaza horizontal mente enx=-l

ng(x)=arccos(x-2) -- 2su grafica se desplaza horlzontalrnente en

x=2su grafica se desplaza verticalmente enny=--

2En el grc'ificose observa que

dl=l md2=5 mh=nm

Clave A199


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PR EG UN TA 3Swww.gratis2.com

Un nino, haciendo centro (fijo)en su mano, gira unapiedra atada a una cuerda inextensible y de longitudigual a l rn, tal como muestra la figura. Si para untiempo igual a cero la piedra esta a su minima altura,que es de 30 cm del suelo, calcule la altura de la pie-dra transcurridos 2 segundos (asuma que el giro dela piedra se realiza en un mismo plano vertical y , ade-mas, la velocidad angular constante es 1 t / 3 rad/s).

A) 1,25 mB) 2,15 mC) 1,8 mD) 1,5 mE) 2m

R E S O L U C I O NEI fen6meno representa un movimiento circular queanalizaremos de acuerdo a una vista frontal.

200

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Datosr= 1 m = 100 ern (Iongitud de la cuerda){J)=~ rad/s (velocidad angular)3Para r=D, la piedra est a en A a una altura d30 ern: AH=30 cmPara t=2 5, la piedra esta en B, dondea = {J)' t = (~rad/s }2S)

21tradentonces, a= -- = 12003Se forma el triangulo rectanqulo notable BONen el cual ON=50 cmFinalmenteBP=ON+OA+AHBP=50 cm+ 100 em+30 em

.. BP=180 cm=1,8 mC L a v e C

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