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5/11/2018 PROBLEMAS RESUELTOS OLIMPIADAS MATEMATICAS ESCOLARES 8-VISITAR www.gratis2.com

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www.librospdf1.blogspot.comAgrupando eonvenientemente

www.gratis2.comR E S O L U C I O N

www.presanmarco{(x)==(1-3sen2 xeos2 x+sen2 x-sen4 x-~

+sen2 x(1-sen2x)'----v----'2COS X

{(x) ==(1- 2sen2 x eos2 x - (sen 4 x + eos4 X31-2sen2 xcos2 x

{(x) =0

Luego

Grave C

PR EO UN TA 29En el gnifieo se muestran tres tuberias de igual ra-dio. Si estas se eneuentran dentro de una tuberfade radio 30 em, determine el radio de una de lastuberfas.

Dibujando el perfil del grafieo

EI "'ABC es equilatero ya queAB=BC=AC=2r

ComoOB=OC=OA, entonees 0 es cireuneentr

"'ABC y m4:COB= 1200

Luegoo

C BEn elti:::...OTB

( 302- r ) J 3 ==r30J3 - r J 3 = =2r30J3 (2-J3)

30(2J3 + 3) em = = rA) (2+ J 3 ) (2- J 3 )B) 20(J3+3) emC) 1O(J3+1) em .. r=30(2J3 -3) emD) 30(2J3-3) emE) 40(.J3 +3) em GLa
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www.librospdf1.blogspot.comPREGUNTA 30

www.gratis2.com www.presanmarcosPREGUNTA 31

Dadas las siguientes igualdadescot3S +cots=2tanxcots - cot38 =cotx

halle tanx, si x E l ie.

(I)(II)

Para construir una carretera de la ciudad Pciudad N, un ingeniero presenta un proyectoconstrucci6n.

BA) -.Jsen28C) -.Jsec28D) -.Jcos28

B) -2.Jcos28

E) 2.Jsen28

R U O L U C I O NIdentidad Si

sen(x +y)cotx + coty =_--,-___;:;;..c..senxseny2AP=AC=10km;BN=16km;NP=6km

y G es baricentro del trianqulo ABC, calculpendiente can la que se construira esta carretesen(y-x)cot x - cot Y = - ~ - _ :_senxseny

sen(38 +8) 2---'--_":'" = tanxsen38sen8 (I)

A ) . J 72C) . J 75D) . J 7

7

B) . J 74n el problema

sen(38 - 8)--'----'- =cot xsen8sen38

(II) E) . J 73

sen48 l 1 )(1 )+ (11) -- = 2tanx --.sen 28 cot x R E S O L U C I O Nz ' sen i8cos28 i. '., = tan x . tan xsen Za

Del data2AP=AC= 10 -7 AP=5

AC=10

tan x = . J cos 2S B

ctave 1)

Como x E lICes decir, tanx < 0:. tanx = -.Jcos28

P

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www.librospdf1.blogspot.comDel graJico en el 6.ABMpor el teorema de Menelao

www.gratis2.com www.presanmarcoReemplazando (II) en (I)

f(x)=eexa(16)(5)= (2a)(b)( 1 0 ) Nos piden~ b=4

En el l : ! .PAN: teorema de cosenosPar ldentidades de arcos dobles

~ cosa=3/4 3 1sen4 8+ cos4 8= - + -cos484 4

3

Nos piden la pendiente tana. Cla

Por 1 0 tanto, la pendiente es fl/3 P RE CU N TA 33Clave Un nino de 1m de estatura observa una ram

un anqulo de observaci6n a, como se muela grafica, y luego divisa la cima del ediflcioanqulo de elevaci6n 8. Halle la distancia quela base del edificio can el nino, si a+8=90altura del edificio es 21 m.

P RE CU NTA 32Sea la funci6n f: I R ~ IR +,cuya regia de correspondencia es

f(x)=eax; e > 1.Si f(l)=ee, el valor de f cuando

x = sen 4 ~ + cos 4 ~ es8 8

edificio

A) .J e B) ~2e C) v;_3eE) e3e

f(x)=eax~ f(1)=ed=ee ~ a=e

(I)(II)

A) 2mB) 3mC) 4mD) 5mE) 6m

RESOLUC IOHDel data, sea la funci6n


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www.librospdf1.blogspot.comRESOLUC ION

www.gratis2.comRESOLUC ION

www.presanmarcoSegun datos del problema

A,,

,,20

Del graftcoen el ~CBA --) tan8=20/x (I )

(II)n el ~CDE ~ tan8=(x-l)/1De (I) y (II)

:. x=5

Clave I)

P R E O U N T A 1 4En un triangulo rectangulo ABC, recto en B, seeumpleque

~24'eotA=-- 1Determine el valor de

A) 1C) 3D) 4

B) 2

E) 5174

Del dato12k5k

Como A es agudoC

ANos piden

M= 13(sen3A+ sen2C eosC)Donde

A+C=90 --) serv\=eosCLuego

M=13(eos3C+sen2CeosC)M =13cos C (cos 2 C + sen 2 C)

Del~ABC

eseC= 5K ~ M = 13X( 5k )15K 13k.. M=5

Cla

P R E O U N T A I SSi

tan(820 30 ')= .fA +JB - 1I-JC +JBhalle el valor de A+B+C.

A) 8D) 11

C) 10E) 12

8) 9


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www.librospdf1.blogspot.comRESOLUC ION

Por identidades de arcos compuestostan 60+ tan 22,51- tan 60 tan 22,5J3+.J2-11- J3(.J2-1)

www.gratis2.comRUOLUC ION

Se tieneA=3; B=2 y C=6

.. A+B+C=ll

P REO UN TA 36

Clave I)

SiABCD es un cuadrado; CE=AM=2; MD=7 y Hes punta de tangencia, calcule 8tan8.

A) 3B) 4C) 3/2D) 3/8E) 8

www.presanmarco

En I ; ; : , . O P E : teorema de Pitagoras~=(R-2)2+(9-R)2 ~ R=5

Luego,seam - < r : . C H P = am < r : . E H P = [ 3~ 8=a-[3tan8=tan(a-[3)tana -tan[31+ tan a tan f 3

Del t ; ; ; : , . _ H P C : tana=5/9t ; ; ; : , . _ H P E : tan[3=3/9

Reemplazamos en (I)

_ ( % ) - ~ _ 3tan8- (5X3) - 1 6+ - -9 9

Finalmente8tan8=3/2

CL


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www.librospdf1.blogspot.com'R EO UN T" 17SiM.P y T son puntos de tangencia. halle

7tan2e-9.y

A) ./2q3./2D) 4./2

B) 2./2

E) s.f2RESOLUC I 6 .Segun datos. piden 7tan2e-9

y

Enel~TQrn


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www.librospdf1.blogspot.comR E S O l U C I O NDel dato

cos2x = 3cos4xmultiplicando (2senx)- - - t 2senxcos2x=3(2senxcos4x)

- - - t sen3x+sen(-x) = 3(sen5x+ sen(-3xAdernas

senr-Bj= -sene- - - t sen3x-senx=3sen5x-3sen3x

4sen3x =3sen5x +senx.. 3sen5x+senx =4

sen3x

P RE GU NT A 39Dada la siguiente identidad

3senx+cosx-1 A(B C x ) D------= + cot- .5sen(x+37) 2determine el valor de A+B+C+D.

A) 78) 2C) 3D) 4E) 5

www.grat is2.comR E S O L U C I O N

www.presanmarcos

3senx+cosx-l_ A(B C X ) D------- + cot-5sen(x + 37) 2M

SeaM= 3sen x + cos x-I

,(senx); + ;cOSX)

M = (3senx + cos x -1) (3senx + cosx +(4senx+3cosx) (3senx+cosx+l)

M= (3senx+cosx)2-1(4senx + 3cosx)(3senx + cos x + 1)

-sen2 x~M= (9sen2 x +6senxcosx + cos2 x-I

(4senx + 3cosx)(3senx + cos x + 1 )

CLave J)8sen2 x + 6senxcosxM = ------ ..:....:.....-:....:....:__ _:_ _--(4senx + 3cosx)(3senx + cos x + 1)

2senx~M=------==---,,,-------'-----~(3senx+cosx+l)

Dividimos entre senx

M= 2 ___,M=2(3+cot~2)-13+cot x +esc x'----.-'cot~2

Reemplazando en (I)

1


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www.librospdf1.blogspot.comSetiene . .~i

www.gratis2.comD el dato

2tan2x - 9tanK+ 2sec.ttanK =9sea -21tan2x+tan2x-9t"aIlK+2seataIu=9sea-21

www.presanmarcoA=2B=3C=1D=-l

C L a y e '

P or identidadestan2x=sec2x-l(se -15(sec.t-tanx) ~ -1

;'" '

R E S O . 6 1 1

setienesea-tanK= 1/4

.~';(~,..,taIu= 1 /5Por 1 0 tanto, (secx-tanK)m6x= 1/4Nosplden


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www.librospdf1.blogspot.comPREGUNTA 01

www.gratis2.comEntonces

Sea x una variable aleatoria que indica el numerode envases defectuosos que se obtendran al extraeral azar 2 envases, de un total de 6 envases, de loscuales se tienen 2 envases defectuosos y 4 envasesno defectuosos. Determine la esperanza de dichavariable aleatoria,

A) 2 B) 35C) 7

15D) 23 E) 1415

R E S O l U C I O NTotal: 6 envases

~2 defect.E: extraen al azar2 envasesn(n)=c~ =15

Variable aleatoria: xX: N .o de envases defectuosos obtenidos.

x p(x) x.p(x)C4 6 6

0 ---1..=_ 0-=0C~ 15 15C4xC4 6 8 81 2 1 =- 1-=-C2 6 15 15 15C2 1 1 22 ---1..=- 2-=-C2 6 15 15 15

www.presanmarco

E(x) = L X p(x)'----v---valor esperado8 2E()=0+-+-x 15 15

Clav

PREGUNTA 02En una empresa se hizo un estudio con respecnumero de hijos que tenfan los empleados y reel siguiente cuadro.

Nhijos N de empJeados0 61 52 23 54 2

Determine el grado de dispersion de la mucon respecto a la media (varianza).

A) 1,6C) 1,72D) 1,92

B) 1,64

E) 1,94


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ww~JMf8~'I3~f1.blogspot.com1.0 Calculamos primero la media ( X )

www .grati~~M6N www.presanmarcos.- 6xO+5xl+2x2+5x3+2x4x=---------------------20x=1,6

2. Evaluamos la varianza

s _(0_1,6)2 '6+(1-1,6)2'5+(2-1,6f 2+(3-1,6)25+(4-1,6)2'22- 20

C L a v e E

PREGUN TA 03EI cuadro nos muestra la cantidad de hijos que tie-nen 90 families de un pueblo de Puno.

M .O hijos M .o de familias0- 1 22-3 154-5 186-7 308-9 15

10 - 12 10

Calcule la probabilidad de que una familia de estepueblo, elegida al azar; tenga de 5 a 9 hijos.

Hacemos la grafica con la distribucion de laslias de acuerdo a la cantidad de hijos.

2 15 30 15 108fam. fam. lam. fam. lam. lam.~~,.-/'-.,~,---A--,,-A-.., , ,

9: 30: 15 :I I II I ,

o 1 2 3 4 Y 6 7 8 c p 1011 1N .D de9+30 + 15=54 hijosE: se elige una familia al azar n(Q)=90A : se elige una familia que tiene de 5 a 9 hijosn(A)=54

peA) = n (A ) = 54.. n(O) 90peA) = ~5

C L a v

PREGUNTA 04Dado que (lo9ba) 3 + (log,p)3 + (logac) 3 =Ine3determine la suma del minimo con el maximodeM, si

M=(logba + I09~ + logac)(lo9ba + log~ - 3.(Iogba+logac - 3)(log~ + logac - 3)

A) 0C) 3D) 2

B) -3

E) 6A) 11 B) 1-90 6 R E S O l U C I O NC) 4 7-- M=(logba +logJHlogac)(logba + logch -3)90D) 3 E ) 4 9 logEa+log~b+log1c=3 -Ine- -- '---v----5 90 I

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