Produtos entre VetoresProdutos entre Vetores
Produzido pelo Prof. Dr. Luiz Francisco da Cruz
Março - 2009
2) u · v = 0
PRODUTO ESCALAR
Definição: Sejam u e v. O produto escalar entre esses
vetores, denotado por u · v , é um número real determinado
por u · v = |u|·|v|·cos, onde é o ângulo entre u e v.
Propriedades:
1) Comutativa: u · v = v · u, u e v
um deles é o vetor nulo ou se u e v são ortogonais ( = 90º)
4) (mu)·(nv ) = (m·n)·(u · v ), u e v e m e nR
5) ( u + v)·w = ( u · w )+( v · w )
3) u · u = | u |2
Expressão Cartesiana do Produto Escalar
Interpretação Geométrica do Produto Escalar
u
v
b
a
Sejam u e v dois vetores quaisquer. Então existe um vetor a paralelo a u e um vetor b ortogonal a u, tais que v = a + b.
Vamos determinar a projeção do vetor v na direção do vetor u.
PRODUTO VETORIAL
Definição: Sejam u e v. O produto vetorial entre esses vetores, denotado por u v , é vetor com as seguintes características:
Módulo:
Direção:
Sentido:
Ortogonal ao plano que contem u e v.
Regra da mão direita.
u x v = u v senθ
Propriedades do Produto Vetorial
Expressão Cartesiana do Produto Vetorial
i
kj
Interpretação Geométrica do Módulo do Produto Vetorial
Sejam u e v dois vetores não paralelos.
PRODUTO MISTO
Definição: Sejam u , v e w . O produto misto entre esses vetores é um número real, denotado e definido por:
Expressão Cartesiana do Produto Misto
Propriedades do Produto Misto
Lembrando que:
é a condição de coplanaridade entre 3 vetores. Logo:
Interpretação Geométrica do Produto Misto
Sejam u , v e w três vetores não coplanares.
Exercícios