ANO LECTIVO DE 2003/2004
Prof. Carlos R. Paiva
Departamento de Engenharia Electrotécnica e de Computadores
Instituto Superior Técnico
Maio de 2003
1
The history of science reveals that scientific knowledge and method did not spring
full-blown from the minds of the ancient Greeks any more than language and
culture emerged fully formed in the minds of Homo sapiens sapiens. Scientific
knowledge is an extension of ordinary language into greater levels of abstraction
and precision through reliance upon geometric and numerical relationships. We
speculate that the seeds of the scientific imagination were planted in ancient
Greece, as opposed to Chinese or Babylonian culture, partially because the social,
political, and economical climate in Greece was more open to the pursuit of
knowledge with marginal cultural utility.
Robert Nadeau and Menas Kafatos, The Non-Local Universe – The New Physics and
Matters of the Mind (New York: Oxford University Press, 1999)
2
The fifth generation of fiber-optic communication systems is concerned with extending the wavelength range over
which a WDM system can operate simultaneously. The conventional wavelength window, known as the C band,
covers the wavelength range 1.53-1.57 µm. It has been extended on both the long- and short-wavelength sides,
resulting in the L and S bands, respectively. (…) The fifth generation also attempt to increase the bit rate of each
channel within the WDM signal. Starting in 2000, many experiments used channels operating at 40 Gb/s;
migration toward 160 Gb/s is also likely in the future. An interesting approach is based on the concept of optical
solitons – pulses that preserve their shape during propagation in a lossless fiber by counteracting the effect of
dispersion trough the fiber nonlinearity.
Govind P. Agrawal, Fiber-Optic Communication Systems (2002)
After 20 years since the discovery of the optical soliton in fibre, (…) we finally come to the point at which the
soliton has achieved the best result both in the bit rate and in the distance of transmission, of all schemes.
Akira Hasegawa and Yuji Kodama, Solitons in Optical Communications (1995)
(…) it should come as no surprise that solitons are the indisputed long-distance champions for both single-channel
and WDM transmission, or that certain modes, such as single-channel rates greater than 10Gb/s or massive
WDM at a per-channel rate of 10Gb/s, are their exclusive domains.
L. F. Mollenauer, J. P. Gordon, and P. V. Mamyshev, Solitons in High Bit-Rate,
LongDistance Transmission – in I. P. Kaminov and T. L. Koch, Eds., Optical Fiber
Communications IIIA (1997)
3
Índice
Bibliografia 4
1. Introdução 8
2. Efeito não-linear de Kerr numa fibra óptica 12
3. Equação de propagação de impulsos em regime não-linear 20
4. Soluções analíticas da equação NLS: ondas periódicas e ondas solitárias 26
5. Características do solitão fundamental 35
6. Simulação numérica da equação NLS: split-step Fourier method 44
7. Perdas e amplificação óptica periódica: solitão médio 49
8. Diagramas operacionais 54
Apêndice A 59
Apêndice B 61
4
Bibliografia
1. Livros
• G. P. Agrawal, Fiber-Optic Communication Systems
(New York: Wiley, 3rd ed., 2002), Chap. 9
• E. Iannone, F. Matera, A. Mecozzi, and M. Settembre, Nonlinear Optical Communication Networks
(New York: Wiley, 1998), Chaps. 5, 8
• G. P. Agrawal, Nonlinear Fiber Optics
(San Diego, CA: Academic Press, 3rd ed., 2001), Chap. 5
• G. P. Agrawal, Applications of Nonlinear Fiber Optics
(San Diego, CA: Academic Press, 2001), Chap. 8
• A. Hasegawa and Y. Kodama, Solitons in Optical Communications
(Oxford: Clarendon Press, 1995)
• J. R. Taylor, Ed., Optical Solitons – Theory and Experiment
(Cambridge: Cambridge University Press, 1992)
• L. Kazovsky, S. Benedetto, and A. Willner, Optical Fiber Communication Systems
(Boston: Artech House, 1996), Chap. 6
• E. G. Sauter, Nonlinear Optics
(New York: Wiley, 1996), Chaps. 9-10
• D. Marcuse, Theory of Dielectric Optical Waveguides
(Boston: Academic Press, 2nd ed., 1991), Chap. 9
• A. Yariv, Optical Electronics in Modern Communications
(New York: Oxford University Press, 5 th ed., 1997), Chap. 19
• B. E. A. Saleh and M. C. Teich, Fundamentals of Photonics
(New York: Wiley, 1991), pp. 786-793
• I. P. Kaminov and T. L. Koch, Eds., Optical Fiber Telecommunications IIIA
(San Diego: Academic Press, 1997), Chap. 12
• G. P. Agrawal and R. W. Boyd, Eds., Contemporary Nonlinear Optics
(Boston: Academic Press, 1992), Chap. 2
• N. N. Akhmediev and A. Ankiewicz, Solitons, Nonlinear Pulses and Beams
(London: Chapman & Hall, 1997)
• F. Abdullaev, S. Darmanyan, and P. Khabibullaev, Optical Solitons
(Berlin: Springer-Verlag, 1993)
• P. G. Drazin and R. S. Johnson, Solitons: An Introduction
5
(Cambridge: Cambridge University Press, 1993)
• M. J. Ablowitz and H. Segur, Solitons and the Inverse Scattering Transform
(Philadelphia: SIAM – Society for Industrial and Applied Mathematics, 1985)
• G. L. Lamb, Jr., Elements of Soliton Theory
(New York: Wiley, 1980)
• R. K. Dodd, J. C. Elbeck, J. D. Gibson, and H. C. Morris, Solitons and Nonlinear Evolution Equations
(New York: Academic Press, 1982)
• E. Infeld and G. Rowlands, Nonlinear Waves, Solitons and Chaos
(Cambridge: Cambridge University Press, 1990)
• M. J. Ablowitz and P. A. Clarkson, Solitons, Nonlinear Evolution Equations and Inverse Scattering
(Cambridge: Cambridge University Press, 1992)
• G. B. Whitham, Linear and Nonlinear Waves
(New York: Wiley, 1974)
• L. D. Faddeev and L. A. Takhtajan, Hamiltonian Methods in the Theory of Solitons
(Berlin: Springer-Verlag, 1987)
• H. Goldstein, Classical Mechanics
(Reading, Massachusetts: Addison-Wesley, 2nd ed., 1980)
2. Artigos em revistas
• P. M. Ramos and C. R. Paiva, “Influence of Cross-Phase Modulation on Self-Routing Pulse Switching
in Nonlinear Optical Fibers,” Microwave & Optical Technology Letters, vol. 15, pp. 91-95, June 1997
• P. M. Ramos and C. R. Paiva, “Optimization and Characterization of Phase-Controlled All-Optical
Switching with Fiber Solitons,” IEEE Journal of Selected Topics in Quantum Electronics, vol. 3, pp. 1224-
1231, Oct. 1997
• L. M. Manica and C. R. Paiva, “Combined Effect of Group Velocity and Group-Velocity Dispersion
Mismatches on Wavelength-Division Multiplexing with Fiber Solitons,” Microwave & Optical Technology
Letters, vol. 18, pp. 154-159, June 1998
• J. R. Costa and C. R. Paiva, “Multichannel Soliton Amplification in Erbium-Doped Fiber Amplifiers,”
Microwave & Optical Technology Letters, vol. 19, pp. 309-313, Nov. 1998
• F. M. Janeiro, P. M. Ramos, and C. R. Paiva, “Hamiltonian Formulation for Dispersion-Managed
WDM Soliton Communication Systems,” Microwave & Optical Technology Letters, vol. 21, pp. 72-77, Apr.
1999
• P. M. Ramos and C. R. Paiva, “All-Optical Pulse Switching in Twin-Core Fiber Couplers with
Intermodal Dispersion,” IEEE Journal of Quantum Electronics, vol. 35, pp. 983-989, June 1999
6
• C. R. Paiva, A. L. Topa, and A. M. Barbosa, “Influence of Intermodal Dispersion on the Switching of
Solitons at Different Wavelengths in Twin-Core Fiber Couplers,” Journal of the Optical Society of America
B, vol. 16, pp. 1636-1641, Oct. 1999
• P. M. Ramos and C. R. Paiva, “Self-Routing Switching of Solitonlike Pulses in Multiple-Core
Nonlinear Fiber Arrays,” Journal of the Optical Society of America B, vol. 17, pp. 1125-1133, July 2000
• J. R. Costa, C. R. Paiva, and A. M. Barbosa, “Modified Split-Step Fourier Method for the Numerical
Simulation of Soliton Amplification in Erbium-Doped Fibers with Forward-Propagating Noise,”
IEEE Journal of Quantum Electronics, vol. 37, pp. 145-152, Jan. 2001
• J. R. Costa, P. M. Ramos, C. R. Paiva, and A. M. Barbosa, “Numerical Study of Passive Gain
Equalization With Twin-Core Fiber Coupler Amplifiers for a WDM System,” IEEE Journal of Quantum
Electronics, vol. 37, pp. 1553-1561, Dec. 2001
Leitura recomendada:
Akira Hasegawa, “Soliton-Based Optical Comunications: An
Overview,” IEEE Journal of Selected Topics in Quantum Electronics, vol. 6,
pp. 1161-1172, November/December 2000
Linn F. Mollenauer (na fotografia com Kevin Smith) foi o primeiro
a observar experimentalmente a propagação de solitões em fibras
ópticas (1980).
Artigo recomendado:
L. F. Mollenauer, R. H. Stolen, and J. P. Gordon, “Experimental
observation of picosecond pulse narrowing and solitons in optical
fibers,” Phys. Rev. Lett., vol. 45, pp. 1095-1098, 1980
7
Em Julho de 1995 uma reunião internacional de cientistas
testemunhou a recriação da famosa observação de Scott Russell
em Union Canal (Edinburgh):
http://www.ma.hw.ac.uk/solitons/press.html
I was observing the motion of a boat which was rapidly drawn
along a narrow channel by a pair of horses, when the boat
suddenly stopped – not so the mass of water in the channel which
it had put in motion; it accumulated round the prow of the vessel
in a state of violent agitation, then suddenly leaving it behind,
rolled forward with great velocity, assuming the form of a large
solitary elevation, a rounded, smooth and well-defined heap of
water, which continued its course along the channel apparently
without change of form or diminution of speed. I followed it on
horseback, and overtook it still rolling on at a rate of some eight
or nine miles an hour, preserving its original figure some thirty feet
long and a foot to a foot and a half in height…
J. S. Russell, “Report on Waves,” in Report to the Fourteenth Meeting (1844) of British
Assn. for Advancement of Science (London), p. 311, 1845
Dispersion-managed solitons, now being developed by a number of different groups, can resolve the technical
problems that in the past have prevented the use of the soliton transmission format in optical fiber communication
systems. Given the rapid progress being made by researchers, within two years an Internet backbone powered by
these inherently stable and robust nonlinear optical pulses will be a reality.
Wladek Forysiak, Jeroen H. B. Nijhof, and Nick J. Doran, “Dispersion Managed Solitons: The
Key to Terabit Per Second Optical Fiber Communication Systems,” in Optics & Photonics News,
pp. 35-39, May 2000
8
1. Introdução
Comecemos por notar que, se z é um número complexo da forma biaz += , então za ℜ=
e zb ℑ= . Donde
( ) ( )babibaaz 23233 33 −−−= (1.1)
pelo que
zzzz 233 3 ℑℜ−ℜ=ℜ . (1.2)
Por outro lado, tem-se
( ) ( )babibaazzzz 232322 +++== ∗ (1.3)
de maneira que
zzzzz 322 ℜ−ℜ=ℑℜ . (1.4)
Assim, substituindo a Eq. (1.4) na Eq. (1.2), vem então
zzzz 233
43
41
ℜ+ℜ=ℜ . (1.5)
No vácuo, a relação entre o deslocamento eléctrico D e o campo eléctrico E , é dada
por
ED 0ε= . (1.6)
Num meio material, porém, a eq. (1.6) deixa de ser válida. Em vez dela deve-se escrever
PED +ε= 0 (1.7)
9
em que P é a chamada polarização eléctrica. No caso dos meios serem isotrópicos, P é um
vector paralelo a E e, consequentemente, paralelo a D . Nestas condições, tem-se
( )∑∞
=
χε=1
0n
nn EP (1.8)
o que mostra que, em geral, o meio é não-linear.
No regime linear considera-se, apenas, o termo 1=n da Eq. (1.8). Donde
( )EP 10 χε= ⇒ ( )[ ]EED 1
00 1 χ+ε=εε= . (1.9)
Num meio com simetria de inversão, as características materiais não se alteram
quando se faz uma inversão em relação ao centro de coordenadas. Assim, quando se modifica
o campo aplicado de E para E− , a polarização eléctrica deverá também modificar-se de P
para P− . Porém, de acordo com a Eq. (1.8), todos os termos correspondentes a potências
pares não alteram o sinal. Assim, num meio com simetria de inversão, deverá ter-se
( ) 02 =χ n (1.10)
na expansão da Eq. (1.8). Quando se desprezam todas as contribuições de ordem 5≥n ,
resulta então
( ) ( ) 330
10 EEP χε+χε= . (1.11)
Nas fibras ópticas usuais, a Eq. (1.11) é suficiente para descrever o comportamento não-
linear. Portanto, a parte não-linear da polarização reduz-se a
( ) ( ) ( )tEtPNL ,, 330 rr χε= . (1.12)
Admitiremos, doravante, que se tem uma portadora de frequência (angular) 0ω e que
10
( ) ( ) ( ) titEtE 0exp,, ω−ℜ= rr (1.13a)
( ) ( ) ( ) titPtP 0exp,, ω−ℜ= rr (1.13b)
onde as grandezas E e P são as envolventes que, supostamente, variam lentamente com o
tempo. Logo, de acordo com a Eq. (1.5), tem-se
( ) ( ) ( ) ( ) ( )tPtPtP NLNLNL ,,, 00 3 rrr ωω += (1.14)
em que
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) titPtP NLNL 0exp,, 00 ω−ℜ= ωω rr (1.15a)
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) titPtP NLNL 033 3exp,, 00 ω−ℜ= ωω rr (1.15b)
e onde
( ) ( ) ( ) ( ) ( )tEtEtPNL ,,43,
230
0 rrr χε=ω (1.16a)
( ) ( ) ( ) ( )tEtPNL ,41, 33
03 0 rr χε=ω . (1.16b)
A presença de uma componente de frequência 03ω indica que, no regime não-linear, se dá a
geração de uma terceira harmónica. Esta componente é geralmente desprezada nas fibras
ópticas pois sai fora da banda de interesse prático. Assim, vai-se apenas considerar
( ) ( )tEtP NLNL ,, 0 rr εε= (1.17)
onde se tem
( ) ( ) 23 ,43 tENL rχ=ε . (1.18)
É costume, ainda, introduzir
11
22
22 ∗′+=+=′ EnnEnnn (1.19)
em que 2∗E representa a intensidade óptica. Facilmente se verifica que, se se definir
( ) NLn ε+ε=′=ε′ 2 (1.20)
vem
( )12 1 χ+==ε n (1.21a)
222 EnnNL =ε (1.21b)
com
( )32 8
3χ=
nn (1.22)
e onde se desprezou o termo em 22n visto tratar-se de uma perturbação de ordem superior. De
acordo com o que se verá na secção seguinte, tem-se
22 nyn ′= ∗ (1.23)
onde ∗y é uma admitância apropriada. Muitas vezes considera-se simplesmente 0Yy =∗ , pelo
que
20
02 nn
εµ
=′ . (1.24)
12
2. Efeito não-linear de Kerr numa fibra óptica Sendo β a constante de propagação longitudinal em regime linear e n o correspondente
índice de refracção modal, tem-se
0kn=β (2.1)
em que λπ=ω= /2/0 ck representa a constante de propagação no vácuo.
No plano transversal ( )yx, o índice de refracção da fibra é ( )yxnn ,= tal que
( ) ( )yxnyx ,, 2=ε (2.2)
onde ε é a constante dieléctrica relativa. No regime linear, a equação de Helmholtz permite
escrever
( )[ ] ( ) 0,, 220
22 =β−+∇ yxFkyxnFt (2.3)
tendo-se, em coordenadas rectangulares,
2
2
2
22
yF
xFFt ∂
∂+
∂∂
=∇ . (2.4)
Admite-se que, na aproximação dos modos LP para fibras de pequeno contraste dieléctrico, se
pode considerar
( ) ( )tzyxEtzyx ,,,ˆ,,, xE = (2.5)
13
i.e, admite-se que 0x yH E= = no caso xLP . Considera-se então
( ) ( ) ( )tzByxFtzyxE ,,,,, = (2.6)
em que
( ) ( ) ( )[ ]tzitzAtzB 00exp,, ω−β= (2.7)
onde 0ω é a frequência (angular) da portadora. Note-se que ( )00 ωβ=β , sendo ( )yxF , a
função modal. Enquanto que ( )tzB , é uma função de variação rápida (quer em z quer em t ),
a amplitude ( )tzA , é uma função de variação lenta que designaremos por envolvente do
campo. Sendo ( )yxF , adimensional, a amplitude ( )tzA , tem as dimensões de campo
eléctrico, i.e., [ ] V/m=A .
Suponhamos, agora, que se perturba a constante dieléctrica relativa de tal forma que
( ) ε∆+ε=ε′ yx, (2.8)
independentemente do processo que deu origem a essa perturbação. Mostra-se no Apêndice A
que, em consequência, a nova constante de propagação longitudinal será
β∆+β=β′ (2.9)
em que
2
220
2 F
Fk ε∆
β=β∆ (2.10)
14
e onde se adoptou a notação
( )∫ ∫∞
∞−
∞
∞−
ψ=ψ dydxyx, . (2.11)
Porém, de acordo com a Eq. (2.2), vem
( ) nyxn ∆=ε∆ ,2 (2.12)
pelo que a Eq. (2.10) ainda se escreve na forma
2
220
F
Fnnk ∆
β=β∆ . (2.13)
Então, se se admitir a aproximação ( ) nyxn ≈, , vem ainda
2
2
0 F
Fnk
∆=β∆ (2.14)
onde se atendeu, também, à Eq. (2.1).
Numa fibra óptica de sílica, o efeito não-linear de Kerr estabelece que
( ) 22, ∗′+=′ Enyxnn (2.15)
15
onde, tipicamente, /Wm103 2202
−×=′n . Na Eq. (2.15) introduziu-se um campo fictício ∗E tal
que
IEyE == ∗∗22 (2.16)
onde [ ] 2W/m=I representa a intensidade óptica uma vez que ∗y é uma admitância
apropriada. Note-se que, assim, vem
( ) ( ) ( ) 222 ,,,,, tzAyxFytzyxE ∗∗ = (2.17)
de acordo com as Eqs. (2.6) e (2.7).
Admitindo, então, que
22 ∗′=∆ Enn (2.18)
tira-se da Eq. (2.14) que
( ) 2
2
4
02 , tzAF
Fkny ′=β∆ ∗ . (2.19)
Introduzamos, agora, uma nova amplitude
( ) ( )tzAFytzQ ,, 2∗= . (2.20)
Assim, a Eq. (2.19) ainda pode ser escrita na forma
16
( ) 2, tzQγ=β∆ (2.21)
em que
AA λ′π
=′
=γ 202 2 nkn (2.22)
e onde A é a área efectiva dada por
( )
( )∫ ∫
∫ ∫∞
∞−
∞
∞−
∞
∞−
∞
∞−⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
==dydxyxF
dydxyxF
F
F
,
,
4
2
2
4
22
A . (2.23)
Na aproximação gaussiana
( ) ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ +−= 2
0
22
2exp,
wyxyxF (2.24)
verificando-se, deste modo, que
202 wπ=A (2.25)
pelo que
17
20
2
wnλ′
=γ . (2.26)
O conjunto de normalizações que se adoptou, em que [ ] 11mW −−=γ , faz com que
( ) 2, tzQ represente a potência transportada ( )tzP , , donde
( )tzP ,γ=β∆ (2.27)
de acordo com a Eq. (2.21). Como, por outro lado, se tem
( ) ( ) ( )ztPtzP in α−= exp, (2.28)
onde α é o coeficiente de atenuação, a fase não-linear gerada pelo efeito de Kerr será
( ) ( ) ( )∫ ∫∫ γ=β∆=β−β′=φL LL
NL dztzPdzdzt0 00
, (2.29)
e daí o nome de auto-modulação de fase (AMF). Portanto
( ) ( )LtPt inNL γ=φ (2.30)
onde L é o comprimento efectivo tal que
( )[ ]Lα−−α
= exp11L . (2.31)
18
Num impulso, o desvio da frequência instantânea local (em relação à portadora)
provocado pela AMF é
( )dt
dPdt
dt inNL Lγ−=φ
−=δω . (2.32)
Assim, na frente do impulso, tem-se
0>dt
dPin ⇒ ( ) 0<δω t (2.33)
dando, assim, origem a um desvio para o vermelho. Analogamente, na cauda do impulso, será
0<dt
dPin ⇒ ( ) 0>δω t (2.34)
provocando, portanto, um desvio para o azul.
O coeficiente da dispersão da velocidade de grupo (DVG), como se viu anteriormente,
é dado por
( )0
022
1
ω=ωω∂
∂
ω−=β g
g
vv
. (2.35)
Na zona de dispersão anómala ( )Dλ>λ , em que 02 <β , tem-se então
00
>ω∂
∂
ω=ω
gv (2.36)
19
pelo que as frequências mais altas se deslocam mais rapidamente do que as frequências mais
baixas. Verifica-se assim que, devido à DVG, existe um desvio para o azul na frente do
impulso e um desvio para o vermelho na sua cauda – precisamente o contrário do efeito
provocado pela AMF. Assim, na zona de dispersão anómala, os efeitos da DVG e da AMF
têm uma acção antagónica. É por esta razão que, quando 02 <β , é possível (como se verá
adiante) a propagação de solitões (de primeira ordem) – i.e., de impulsos que conservam a sua
forma ao longo da propagação. Na zona de dispersão normal, em que 02 >β , só se podem
propagar solitões escuros (dark solitons) ou topológicos. Aos solitões que ocorrem na zona de
dispersão anómala chamam-se também, por oposição, solitões claros (bright solitons) –
embora seja mais frequente designá-los simplesmente por solitões.
20
3. Equação de propagação de impulsos em regime não-linear Devido ao efeito óptico de Kerr, a propagação de impulsos numa fibra óptica monomodal em
regime não-linear dispersivo (RNLD) é governada, simultaneamente, pela DVG e pela auto-
modulação de fase (AMF) – além de outros efeitos de ordem superior. Em determinadas
circunstâncias especiais, nomeadamente quando se propagam solitões fundamentais, existe
um equilíbrio permanente entre a DVG e a AMF: os impulsos propagam-se sem alteraração
da forma – se se desprezar o efeito das perdas.
No regime linear, como se viu anteriormente, tem-se
( ) ( ) ( )ΩΩ=Ω ,,0~,~ zfAzA (3.1)
em que
( ) ( )[ ] ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ α−Ω℘=Ω zzizf
2expexp, (3.2a)
( ) ∑∞
=
Ωβ
=Ω℘1 !m
mm
m (3.2b)
e onde α é a constante de atenuação (de potência). Na prática desprezam-se sempre os termos
de ordem 4≥m e escreve-se
( ) ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ α−⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ Ωβ+Ωβ+Ωβ=Ω zzizf
2exp
61
21exp, 3
32
21 . (3.3)
Em regime não-linear admite-se que a perturbação introduzida pelo efeito óptico de
Kerr não afecta a função modal ( )yxF , . Contudo, a constante de propagação longitudinal é,
de acordo com a Eq. (2.9), β∆+β=β′ em que a perturbação β∆ é dada pela Eq. (2.21).
Assim, introduzindo – de acordo com a Eq. (2.20) – a nova amplitude ( )tzQ , , deverá
escrever-se
( ) ( ) ( )ΩΩ=Ω ;,,0~;,~ tzgQtzQ (3.4)
21
em vez da Eq. (3.1), com
( ) ( ) ( ) ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ςςβ∆Ω=Ω ∫
z
dtizftzg0
,exp,;, . (3.5)
De acordo com a Eq. (2.21), vem ainda
( ) ( ) ( ) ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ςςγΩ=Ω ∫
z
dtQizftzg0
2,exp,;, . (3.6)
Note-se que, pela regra de Leibniz, se tem
( ) ( ) 2
0
2 ,, tzQdtQz
z
=ςς∂∂∫ . (3.7)
Não obstante a envolvente ( )tzQ , variar com o tempo, essa variação é, contudo, lenta.
Em conformidade, vai-se desprezar doravante essa variação. Deste modo, obtém-se
( ) QQitzRzQ 2, γ+=∂∂ (3.8)
em que
( ) QtdQ
tQi
tQtzR
261
21, 3
3
32
2
21α
−∂
β+∂∂
β−∂∂
β−= (3.9)
representa a parte linear da equação (já considerada anteriormente).
Logo, utilizando as variáveis normalizadas ( )τζ, – já introduzidas no regime linear – ,
tais que
DLz
=ζ (3.10a)
22
0
1
τβ−
=τzt (3.10b)
com
2
20
βτ
=DL (3.11)
infere-se então
( ) QQQLid
QQiQD 2
sgn21 2
3
3
2
2
2Γ
−=γ−τ
∂κ−
τ∂∂
β+ζ∂
∂ (3.12)
em que
02
3
6 τββ
=κ (3.13a)
DLα=Γ . (3.13b)
Agora, introduzindo uma nova amplitude normalizada (i.e., adimensional) ( )τζ,U tal
que
( ) ( )0
,,P
QU τζ=τζ (3.14)
onde 0P é a potência de pico do impulso incidente, é possível reescrever a Eq. (3.12) na
forma
( ) UiUUNd
UiUUi2
sgn21 22
3
3
2
2
2Γ
−=+τ
∂κ−
τ∂∂
β−ζ∂
∂ (3.15)
em que
23
02 PL
LL
N DNL
D γ== (3.16)
e onde se introduziu ainda o comprimento não-linear tal que
0
1P
LNL γ= . (3.17)
Note-se que o coeficiente N (não necessariamente um número inteiro) é dado pela expressão
A2
020
2βλ′π
τ=Pn
N (3.18)
ou, de acordo com a aproximação gaussiana,
2
02
0
0
βλ′τ
=Pn
wN . (3.19)
É frequente, ainda, introduzir-se uma nova amplitude normalizada ( )τζ,u tal que
( ) ( )τζ=τζ ,, UNu . (3.20)
Facilmente se verifica que, com esta nova ampliude, a Eq. (3.15) se escreve na forma
( ) 3
32
2
2
2 2sgn
21
τ∂
κ+Γ
−=+τ∂∂
β−ζ∂∂
duiuiuuuui . (3.21)
As Eqs. (3.15) e (3.21) são as equações não-lineares de propagação de impulsos em
fibras ópticas (regime monomodal). Deve salientar-se, porém, que estas equações não
consideram os efeitos não-lineares de ordem superior (tais como o efeito Raman ou o self-
24
steepening). Por isso, estas equações não são aplicáveis a impulsos ultra-curtos (com durações
da ordem dos subpicosegundos ou dos femtosegundos).
A Eq. (3.21) reduz-se à forma canónica da equação não-linear de Schrödinger (NLS)
desde que se desprezem as perdas ( 0=Γ ) bem como a dispersão de ordem superior ( 0=κ ),
vindo então
( ) 0sgn21 2
2
2
2 =+τ∂∂
β−ζ∂∂ uuuui . (3.22)
Em termos relativamente simplistas pode dizer-se que, numa ligação óptica (por
impulsos) de comprimento L , vigora o regime linear (RL) desde que LLNL > . O regime
não-linear (RNL) governa a propagação quando LLNL < , i.e., quando a potência de pico do
impulso incidente observa a relação
Ln
P2
0 2 ′πλ
>A . (3.23)
Trata-se, obviamente, de uma classificação simplista pois é difícil dizer o que se passa quando
NLLL ≈ : há falta de melhor critério deve, neste caso, considerar-se a equação não-linear de
propagação. Dentro desta classificação grosseira, é possível distinguir quatro regimes de
propagação, a saber:
• O regime linear não-dispersivo (RLND) quando LLD > e LLNL >
• O regime linear dispersivo (RLD) quando LLD < e LLNL >
• O regime não-linear não-dispersivo (RNLND) quando LLD > e LLNL <
• O regime não-linear dispersivo (RNLD) quando LLD < e LLNL <
Note-se que, no RLND como no RNLND, é possível desprezar a acção da DVG. Por
outro lado, no RLND como no RLD, é possível desprezar a acção da AMF. Assim, no RLD
apenas actua a DVG enquanto que no RNLND apenas actua a AMF. Só no RNLD, em que
tanto a DVG como a AMF estão presentes, é que se podem propagar solitões: na zona de
dispersão normal ( Dλ<λ ), solitões escuros ou topológicos; na zona de dispersão anómala
25
( Dλ>λ ), solitões claros (ou, simplesmente, solitões). Na prática, porém, a ocorrência do
RLND (como, aliás, do RNLND) é rara: só é possível desprezar a DVG para impulsos tais
que
L20 β>τ . (3.24)
26
4. Soluções analíticas da equação NLS: ondas periódicas e ondas solitárias Vai-se, nesta secção, averiguar quais as soluções analíticas que a equação NLS admite. Antes
de mais vai-se restringir a nossa análise à zona de dispersão anómala onde podem ocorrer,
como já se referiu, solitões claros. Assim, fazendo ( ) 1sgn 2 −=β na Eq. (3.22), a equação NLS
tem a forma
021 2
2
2
=+τ∂∂
+ζ∂∂ uuuui . (4.1)
O método analítico mais geral que permite estudar as soluções desta equação é o
método inverso da dispersão ou IST (inverse scattering transform). Trata-se, porém, de um
método matemático avançado que não iremos considerar no âmbito destes apontamentos.1
Vai-se adoptar, para encontrar possíveis soluções da Eq. (4.1), um método mais usual.
Admitiremos que a solução desta equação se pode escrever como
( ) ( ) ( )[ ]τζτζ=τζ ,exp,, 0 ZiYuu (4.2)
em que 0,0 >Yu e Z é real. Então, tem-se
( )ZiYuuu exp330
2 = , (4.2a)
( )ZiZYiYuu exp0 ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ζ∂
∂+
ζ∂∂
=ζ∂∂ , (4.2b)
( )ZiZYiZYZYiYuu exp2 2
22
2
2
02
2
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡
τ∂∂
+⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
τ∂∂
−τ∂
∂τ∂
∂+
τ∂∂
=τ∂∂ . (4.2c)
Agora, substituindo estas expressões na Eq. (4.1) e igualando a zero quer a parte real quer a
parte imaginária, obtêm-se as duas equações
1 O leitor mais interessado pode consultar, e.g., a seguinte monografia: M. J. Ablowitz and H. Segur, Solitons
and the Inverse Scattering Transform (Philadelphia, Society for Industrial and Applied Mathematics, 1985).
27
022 320
2
2
2
=+⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
τ∂∂
−ζ∂
∂−
τ∂∂ YuZYZYY , (4.3a)
0222
2
=ζ∂
∂+
τ∂∂
τ∂∂
+τ∂
∂ YZYZY . (4.3b)
Para resolver estas duas equações vai-se ainda admitir, em tudo o que se segue, que se
pode escrever
( ) ( )θ=τζ yY , , (4.4a)
( ) ( ) ζ+θΘ=τζ aZ , , (4.4b)
em que
ζξ+τ=θ . (4.5)
A constante real ξ , que por enquanto não tem qualquer significado especial, tem – como se
verá mais adiante – o usual significado de frequência normalizada. Embora possa parecer
estranha a inclusão do termo ζa na Eq. (4.4b), ver-se-à mais adiante que era necessária esta
inclusão.
De acordo com as Eqs. (4.4a) e (4.5), vem
θ
ξ=ζ∂θ∂
θ=
ζ∂∂
ddy
ddyY , (4.6a)
θ
=τ∂θ∂
θ=
τ∂∂
ddy
ddyY . (4.6b)
Pelo que
τ∂
∂ξ=
ζ∂∂ YY . (4.7)
Analogamente, das Eqs. (4.4b) e (4.5), vem
28
τ∂
∂ξ+=
ζ∂∂ ZaZ . (4.8)
Agora, substituindo a Eq. (4.7) na Eq. (4.3b), tira-se que
0222
2
=τ∂
∂ξ+
τ∂∂
τ∂∂
+τ∂
∂ YZYZY , (4.9)
a qual, depois de ser integrada, conduz a
122 CZY =⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ ξ+
τ∂∂ , (4.10)
onde 1C é uma constante de integração. Se se fizer 01 =C , infere-se que
ξ−=θΘ
=τ∂
∂ddZ , (4.11)
ou seja
( ) 2C+θξ−=θΘ , (4.12)
onde 2C é outra constante de integração. Fazendo 02 φ=C , resulta das Eqs. (4.4b), (4.5) e
(4.12), que
( ) 02 φ+ζξ−+τξ−= aZ . (4.13)
Uma vez encontrada a função ( )τζ,Z , passemos a determinar a função ( )τζ,Y . Da Eq.
(4.13) vem
2ξ−=ζ∂
∂ aZ . (4.14)
Então, substituindo este resultado na Eq. (4.3a), tira-se que
29
( )yayud
yd 22 23202
2
−ξ−−=θ
, (4.15)
onde se atendeu ainda à Eq. (4.4a) bem como ao facto de ser
2
2
2
2
θ=
τ∂∂
dydY . (4.16)
Façamos agora
220 22 ξ−= au . (4.17)
Nestas condições a Eq. (4.15) reduz-se a
yuyud
yd 20
3202
2
22 +−=θ
. (4.18)
Então, procedendo à mudança de variável
θ= 02 ux , (4.19)
obtém-se a conhecida equação cnoidal
032
2
=−+ yydx
yd. (4.20)
No Apêndice B analisam-se as soluções desta equação. Como aí se demostra, existem
soluções periódicas e uma solução do tipo onda solitária. Porém, em tudo o que se segue nesta
secção, apenas se considera a solução particular
( ) ( )00 sech xxyxy +µ= (4.21)
30
para a Eq. (4.20). Logo, tendo em consideração que
( ) ( )xx 22 sech1tanh −= , (4.22a)
( )[ ] ( ) ( )xxxdxd tanhsechsech −= , (4.22b)
( )[ ] ( )xxdxd 2sechtanh = , (4.22c)
infere-se que que a Eq. (4.21) é solução da Eq. (4.20) desde que
µ= 20y , (4.23a)
12 =µ . (4.23b)
Como deve ser 00 >y , a solução aceitável da Eq. (4.23b) é 1=µ . Assim, a Eq. (4.21) assume
a forma
( ) ( )0sech2 xxxy += . (4.24)
Logo, de acordo com a Eq. (4.19), vem
( ) ( )[ ]002sech2 quy −θ=θ (4.25)
onde se introduziu a constante 0q tal que
000 2 qux −= . (4.26)
Portanto, a solução apresentada na Eq. (4.2) reduz-se, nestas condições, a
( ) ( )[ ] ( ) ⎥⎦⎤
⎢⎣⎡ ϑ+ζξ−η+τξ−−ζξ+τηη=τζ 0
220 2
expsech, iiiqu (4.27)
onde se introduziu o coeficiente
31
02 u=η . (4.28)
Pode, agora, compreender-se a necessidade de introduzir o coeficiente a na Eq.
(4.4b). Com efeito, de acordo com as Eqs. (4.17) e (4.28),
( )22
21
ξ+η=a . (4.29)
Logo, se 0=a , viria
22 ξ−=η . (4.30)
Porém, de acordo com a Eq. (4.28), esta última equação é incompatível com a suposição de
que a amplitude 0u deve ser real.
Quando na Eq. (4.27) se faz 0=ξ , vem mais simplesmente
( ) ( )[ ] ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ ζη−τηη=τζ
2expsech, 2
0 iqu . (4.31)
Esta solução revela claramente que se trata de uma onda solitária, uma vez que se propaga
sem deformação e é uma envolvente localizada, i.e.,
( ) ( )[ ]0sech, qu −τηη=τζ (4.32)
não depende do ponto ζ sendo apenas uma função de τ e, além disso, tem-se
( ) 0,lim =τζ±∞→τ
u . (4.33)
O parâmetro ξ representa o desvio normalizado de frequência, tal que
32
( ) 000 τω−ω=τΩ=ξ , (4.34)
em relação à portadora 0ω . O parâmetro η estabelece, simultaneamente, a amplitude e a
largura do impulso. O parâmetro 0q define o centro do impulso em relação a 0=τ=ζ .
Finalmente, o parâmetro 0ϑ estabelece a fase para 0=τ=ζ .
À solução apresentada nas Eqs. (4.27) e (4.31) dá-se o nome de solitão fundamental. A
sua forma canónica é apresentada fazendo 1=η e 00 =q na Eq. (4.31):
( ) ( ) ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ ζ
τ=τζ2
expsech, iu . (4.35)
Mostra-se, usando a IST, que qualquer impulso incidente
( ) ( )τ=ζ=τ ,00 uu (4.36)
com a forma
( ) ( )τ=τ sech0 Nu , (4.37)
em que o parâmetro N , introduzido nas Eqs. (3.16) e (3.20), seja um número inteiro, conduz
à propagação de um solitão de ordem N . Porém, ao contrário do solitão fundamental com
1=N , todos os solitões com 2≥N não mantêm a sua forma como na Eq. (4.32): mostram,
em vez disso, uma evolução periódica com período 2/0 π=ζ que, em unidades reais,
corresponde a
2
20
0 22 βτπ
=π
= DLz . (4.38)
Nas Figs. 1 e 2 representam-se os solitões de primeira e terceira ordem.
34
As expressões dos solitões de ordem superior são de tal forma complicadas que é quase
impossível, à excepão do solitão 2=N , apresentá-las de forma fechada. Para o solitão de
segunda ordem, tem-se:
( ) ( ) ( ) ( )[ ]( ) ( ) ( ) ⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ ζ
ζ+τ+ττζ+τ
=τζ2
exp4cos32cosh44cosh
cosh4exp33cosh4, iiu . (4.39)
35
5. Características do solitão fundamental Com base na Eq. (4.27) – que representa a forma mais geral do solitão fundamental – vai-se
analisar, nesta secção, quais as principais características do solitão de ordem 1=N .
A Eq. (4.27) pode ser reescrita na forma alternativa
( ) ( )[ ] ( )[ ]φ+−τξ−−τηη=τζ iqiqu expsech, (5.1)
desde que se faça
0qq +ζξ−= , (5.2a)
( ) 022
21
φ+ζξ+η=φ , (5.2b)
000 qξ−ϑ=φ . (5.2c)
A Eq. (5.1) é, assim, equivalente à Eq. (4.27) se se fizer ( )ζ= qq e ( )ζφ=φ tais que
ξ−=ζd
dq , (5.3a)
( )22
21
ξ+η=ζφ
dd . (5.3b)
Definem-se as seguintes quantidades normalizadas (i.e., adimensionais):
∫∞
∞−
τ= duW 2 , (5.4a)
τ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛τ∂∂
−τ∂
∂= ∫
∞
∞−
∗∗
duuuuiM2
, (5.4b)
∫∞
∞−
τ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
τ∂∂
−= duuH2
4 . (5.4c)
36
Enquanto W representa a energia normalizada, M e H representam o momento e a
hamiltoniana, respectivamente. Mostra-se que, relativamente à Eq. (5.1), todas estas três
quantidades são conservadas (i.e., não variam com ζ ), tendo-se
η= 2W , (5.5a)
ηξ−= 2M , (5.5b)
ηξ−η= 23 232H , (5.5c)
desde que se considere a Eq. (4.1) como governando a propagação.
Note-se que a frequência normalizada pode ser calculada através de
WM
−=ξ , (5.6)
ou seja
∫
∫∞
∞−
∞
∞−
∗∗
τ
τ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛τ∂∂
−τ∂
∂
−=ξdu
duuuui
22. (5.7)
Em unidades reais, o solitão fundamental da Eq. (4.27) corresponde, desde que se faça
1=η e 000 =φ==ξ q , a
( ) ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛τβ−
=DL
ziztPtzQ2
expsech,0
10 , (5.8)
de acordo com as Eqs. (3.14) e (3.20) e atendendo ainda a que 1=N . Logo, a energia do
solitão fundamental será efectivamente dada por
( ) 002 2, τ== ∫
∞
∞−
PdttzQEs , (5.9)
37
uma vez que, se 0>a ,
( )∫∞
∞−
=a
dxxa 2sech 2 . (5.10)
Porém, da Eq. (5.9), não se pode inferir que a energia seja proporcional à largura temporal.
Com efeito, de acordo com a Eq. (3.16), a potência de pico do solitão fundamental
corresponde a
20
20 τγ
β=P (5.11)
atendendo ainda à Eq. (3.11). Assim, das Eqs. (5.9) e (5.11), infere-se que
0
22τγ
β=sE (5.12)
pelo que a energia do solitão fundamental é inversamente proporcional à largura temporal.
Uma medida frequente da largura temporal do solitão fundamental é sτ definida como
sendo xs t2=τ em que ( ) 2, xtzQ é metade do valor máximo 0P , i.e., sτ é a largura FWHM
(full width at half maximum). Assim,
( )2cosh 10
−τ=xt . (5.13)
Então, como para 1>x se tem
( ) ( )1lncosh 21 −+=− xxx , (5.14)
conclui-se que
38
( ) 00 763.121ln2 τ≈+τ=τ s . (5.15)
Sendo ( ) ( )tatf sech= , com ,0>a tem-se
( ) ( ) ( )∫∞
∞−⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ Ωππ=Ω=Ω
aadttitfF
2sechexp . (5.16)
Deste modo, de acordo com a Eq. (5.8), vem
( ) ( ) ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+Ωβ⎥⎦
⎤⎢⎣⎡ τΩπ
τπ=Ω zL
iPzQD2
1exp2
sech,~1000 (5.17)
para o espectro do solitão fundamental. Note-se que ( )Ω,~ zQ não depende de z . Designando
a largura FWHM de ( ) 2,~ΩzQ por ss ∆Ω=ω∆ , obtém-se então
( )00
122.121ln4τ
≈+τπ
=ω∆ s (5.18)
pelo que
( ) 978.121ln8 2 ≈+π
=ω∆τ ss . (5.19)
Pelo teorema de Parseval, tem-se
( ) ( )∫∫∞
∞−
∞
∞−
ΩΩπ
= dzQdttzQ22
,~21,~ , (5.20)
de forma que
( ) ( ) 2,~Ω=Ω zQS (5.21)
39
representa a densidade espectral de potência. Assim,
( ) 00221
τ=ΩΩπ
= ∫∞
∞−
PdSEs (5.22)
como pode facilmente verificar-se.
É, também, usual definir-se a área do solitão como
( )∫∞
∞−
ττζ= du ,A . (5.23)
Portanto, atendendo a que (com 0>a )
( )∫∞
∞−
π=
adxxa 2sech , (5.24)
tem-se
π= 2A . (5.25)
Como, no solitão fundamental, a amplitude η é inversamente proporcional à meia largura
temporal (dada por ητ /0 ), a respectiva área é, efectivamente, independente de qualquer
parâmetro característico.
Para se analisar a interacção entre solitões do mesmo canal (i.e., com a mesma
portadora), há que considerar como entrada o sinal
( ) ( ) ( )[ ] ( )θ+τ+−τ=τ iqrrqu expsechsech 000 (5.26)
ou seja
40
( ) ( )θ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+
τ+⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
τ= iqtrrqttu expsechsech 0
00
00 . (5.27)
Quando 1=r e 0=θ , esta entrada simula dois bits “um” consecutivos e distanciados no
tempo de 002 τ= qTB . Nas Figs. 3 e 4 representa-se a interacção de dois solitões quando
1=r e 0=θ , para dois valores distintos de 0q .
Fig. 3 – Interacção de dois solitões fundamentais quando 51.50 =q .
Assim, num sistema digital RZ (return-to-zero) com solitões, o bit rate B será dado
por
002
11τ
==qT
BB
. (5.28)
41
Fig. 4 – Interacção de dois solitões fundamentais quando 22.30 =q .
Admitindo que os bits “um” e “zero” são equiprováveis, a potência média do sinal RZ com
solitões será sP tal que
0
0
222 qPEB
TE
P s
B
ss === . (5.29)
Devido à interacção não-linear entre solitões consecutivos, é usual estabelecer como
regra empírica
( )00 exp
4q
zL ≤ (5.30)
de forma a evitar o problema desta interacção. Supondo que o bit rate B assim como a
distância L são conhecidos, a Eq. (5.30) é equivalente a
42
Fig. 5 – Função ( )xf , introduzida na Eq. (5.31), para 8.0=b .
( ) 1ln4 ≤⎟⎠⎞
⎜⎝⎛=
xbxxf (5.31)
em que
0τ= Bx (5.32)
e onde se introduziu o coeficiente
π
β=
LBb 28
. (5.33)
Notando que o máximo da função ( )xf ocorre no ponto ebx /= valendo
ebf /4max = , conclui-se que a condição expressa pela Eq. (5.31) é sempre possível para
68.04/ ≈≤ eb . Porém, existem duas soluções possíveis 21 , xxx = quando 68.0>b :
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
0 0.2 0.4 0.6 0.8
x
f (x )
43
supondo que 21 xx < , as duas zonas de solução da Eq. (5.31) correspondem a 1xx ≤ e a
2xx ≥ , i.e., deve ter-se Bx /10 ≤τ ou Bx /20 ≥τ , respectivamente.
Na Fig. 5 representa-se a função ( )xf para 8.0=b . Suponhamos, a título de exemplo,
que Gb/s10=B , km1000=L e /kmps2 22 −=β . Então 7136.0=b e as duas soluções
possíveis são 1857.01 =x e 3478.02 =x que correspondem, respectivamente, a
ps57.180 ≤τ e a ps78.340 ≥τ .
44
6. Simulação numérica da equação NLS: split-step Fourier method O split-step Fourier method (SSFM) é o método mais divulgado na literatura para a resolução
das equações não-lineares de propagação de impulsos em fibras ópticas. O SSFM é uma
variante temporal do BPM (beam propagation method), muito utilizado em Óptica Integrada
para a análise da propagação de feixes ópticos. Nesta secção vai-se desenvolver o SSFM no
contexto da resolução numérica da Eq. (3.21).
Comecemos por escrever a Eq. (3.21) na forma compacta
( ) ( )τζ+=ζ∂∂
ττ ,uNDu (6.1)
em que os operadores τD (de dispersão) e τN (de não-linearidade) estão definidos no
domínio da variável τ , sendo dados por
( ) 3
3
2
2
2sgn2 τ∂
∂κ+
τ∂∂
β−=τiD , (6.2a)
2
2uiN +
Γ−=τ . (6.2b)
Admitamos, desde já, que o operador τN não depende da variável ζ – o que,
rigorosamente, não é verdade. De facto ( )τζ= ,uu , embora – em primeira aproximação – se
possa dizer que a variação de u com ζ seja desprezável (o que, para o solitão fundamental,
é inteiramente válido quando 0=Γ ). Nestas condições, sendo ( )τ0u o impulso incidente na
fibra dado pela Eq. (4.36), a solução da Eq. (6.1) será
( ) ( )[ ] ( )τ+ζ=τζ ττ 0exp, uNDu . (6.3)
Donde se infere que
( ) ( )[ ] ( )τζ+=τ+ζ ττ ,exp, uNDhhu . (6.4)
45
A Eq. (6.4) configura, assim, um esquema iterativo de passo longitudinal h que permite ir do
início da fibra em 0=ζ até ao fim em DL LL /=ζ=ζ . O número de iterações será tanto
maior quanto menor for o tamanho do passo.
Consideremos, agora, dois operadores A e B quaisquer. Define-se o comutador
destes dois operadores como
[ ] BAABBA −=, . (6.5)
A fórmula de Baker-Hausdorff estabelece que, em geral, se tem
( ) ( ) ( )ε++= BABA expexpexp , (6.6)
em que
[ ] [ ][ ]+−+=ε BABABA ,,121,
21 . (6.7)
Quando os operadores comutam, tem-se 0=ε e, consequentemente,
( ) ( ) ( )BABA expexpexp =+ . (6.8)
Portanto, fazendo τ= DhA e τ= NhB , resulta das Eqs. (6.4) e (6.8) que
( ) ( ) ( ) ( )τζ=τ+ζ ττ ,expexp, uNhDhhu . (6.9)
Acontece, porém, que os operadores τD e τN não comutam: o erro dominante ao considerar
a Eq. (6.9) é, atendendo à Eq. (6.7),
[ ]ττ=ε NDh ,2
2
. (6.10)
46
Isto significa que, se se fizer h suficientemente pequeno, é possível manter o erro cometido
pela Eq. (6.9) dentro de limites aceitáveis. Na sua versão mais simples – que é aquela que
aqui consideramos – o SSFM baseia-se na Eq. (6.9). Trata-se, assim, de um método iterativo
que divide o espaço total da propagação Lζ≤ζ≤0 em pequenos troços elementares de
comprimento h .
De acordo com a Eq. (6.9), o SSFM consiste em dois procedimentos consecutivos:
( ) ( ) ( )τζ=τζ τ ,exp, uNhv (6.11a)
( ) ( ) ( )τζ=τ+ζ τ ,exp, vDhhu . (6.11b)
Embora a Eq. (6.11a) seja trivial, o mesmo não se aplica à Eq. (6.11b). Com efeito, das Eqs.
(6.2b) e (6.11a), vem
( ) ( )[ ] ( )τζτζ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ Γ−=τζ ,,exp
2exp, 2 uuhihv . (6.12)
O mesmo tipo de solução não é directamente aplicável à Eq. (6.11b). Definamos, então, a
transformada de Fourier
( ) ( ) ( )∫∞
∞−
ττξτζ=ξζ divv exp,,~ . (6.13)
Nestas condições o operador diferencial τD converte-se num operador algébrico ξD dado, de
acordo com a Eq. (6.2), por
( ) 322sgn
21
ξκ+ξβ=ξ iiD . (6.14)
Assim, em conformidade com a Eq. (6.11b), será
( ) ( ) ( )ξζ=ξ+ζ ξ ,~exp,~ vDhhu (6.15)
47
ou seja
( ) ( ) ( ) ( )ξζξκ⎥⎦⎤
⎢⎣⎡ ξβ=ξ+ζ ,~expsgn
2exp,~ 32
2 vhihihu . (6.16)
Finalmente, para terminar cada iteração, far-se-à
( ) ( ) ( )∫∞
∞−
ξτξ−ξ+ζπ
=τ+ζ dihuhu exp,~21, . (6.17)
Note-se que, em termos computacionais, as Eqs. (6.13 ) e (6.17) recorrem ao algoritmo FFT.
No caso de se considerar a existência de perdas, tem-se
( ) ( ) ( )LL uu ζΓ−τ=τ exp20
2 (6.18)
em que
LL α=ζΓ (6.19)
e onde se introduziu
( ) ( )τζ=τ ,LL uu . (6.20)
Assim, definindo a energia inicial (todoas as definições de energia que se seguem referem-se
às grandezas normalizadas e, como tal, são adimensionais)
( )∫∞
∞−
ττ= duEin2
0 (6.21)
bem como a energia final
48
( )∫∞
∞−
ττζ= duE Lout2, , (6.22)
então, de acordo com a Eq. (6.18), tem-se
( )LEE inout α−= exp . (6.23)
A Eq. (6.23) permite aferir o erro cometido no SSFM. Naturalmente que, quando se considera
0=α , deverá ser inout EE = . Uma forma de quantificar o erro cometido consiste em defini-lo
na forma
δ′−δ=∆ , (6.24)
em que
( )LE
EE
in
outin α−−=−
=δ exp1 (6.25)
e δ′ é o correspondente valor de ( ) inoutin EEE /− obtido através da aplicação do SSFM.
Quando se desprezam as perdas, será 0=δ e δ′=∆ .
49
7. Perdas e amplificação óptica periódica: solitão médio As perdas não estão contabilizadas na Eq. (4.1) – a equação NLS. Assim, num sistema real,
não se propagam solitões: as soluções dadas pelas Eqs. (4.27) e (4.35) só são possíveis
quando, na Eq. (3.21), se faz ( ) 1sgn 2 −=β e 0=κ=Γ .
A principal consequência da existência de perdas é a necessidade de amplificação
óptica periódica. Na janela centrada em m55.1 µ , a amplificação óptica pode ser feita com
EDFA’s. Nesta secção vai-se mostrar que, apesar das perdas e da amplificação óptica
periódica, se podem propagar solitões médios.
Na zona de dispersão anómala e desprezando a dispersão de ordem superior, podemos
escrever a Eq. (3.21) na forma
uiuuuui22
1 2
2
2 Γ−=+
τ∂∂
+ζ∂∂ . (7.1)
Numa ligação de comprimento L e sendo aL a distância entre amplificadores, ter-se-à em
cada ponto amζ=ζ uma amplificação do sinal (com Daa LL /=ζ e onde aNm ≤≤1 , em
que aN é o número total de amplificadores). Designando por G o ganho (de potência) de
cada amplificador óptico, a amplitude u sofre uma descontinuidade abrupta 0>∆u tal que
( ) ( )τζ=τζ −+ ,, aa muGmu (7.2)
pelo que
( ) ( ) ( ) ( ) ( )τζ−=τζ−τζ=τ∆ −−+ ,1,, aaa muGmumuu . (7.3)
Admite-se que o ganho do amplificador é uniforme, i.e., que afecta da mesma maneira todas
as componentes espectrais do sinal.
Nestas condições, se se considerar a existência de amplificação periódica, devemos
corrigir a Eq. (7.1) para
( ) ( )∑=
ζ−ζδ−+Γ
−=+τ∂∂
+ζ∂∂ aN
ma umGiuiuuuui
1
2
2
2
122
1. (7.4)
50
Para resolver esta equação introduz-se a mudança de variável
( ) ( ) ( )τζζ=τζ ,, vau (7.5)
em que a amplitude ( )ζa deverá dar conta das variações rápidas devidas aos ciclos sucessivos
de perdas e amplificação. Com esta mudança de variável, é possível desdobrar a Eq. (7.4) nas
duas seguintes equações:
( ) 021 22
2
2
=ζ+τ∂∂
+ζ∂∂ vvavvi , (7.6a)
( ) ( )∑=
ζ−ζδ−+Γ
−=ζ
aN
ma amGa
dda
1
12
. (7.6b)
A solução da Eq. (7.6b) é imediata para amζ≠ζ . Vem, para aζ<ζ≤0 ,
( ) ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ ζ
Γ−=ζ
2exp0aa . (7.7)
Para os restantes períodos, tem-se (com …,2,1=m )
( ) ( )ζ=ζ+ζ ama a . (7.8)
Note-se que a função ( )ζa varia periodicamente entre um máximo 0a e um mínimo 1a dado
por
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ α−=⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ ζΓ−= aa Laaa
21exp
21exp 001 . (7.10)
Como, por outro lado, se tem
10 aGa = , (7.11)
51
resulta das Eqs. (7.10) e (7.11) que
( )aLG α= exp . (7.12)
Para caracterizar completamente a função ( )ζa há ainda que determinar a constante
0a na Eq. (7.7).
Como a função ( )τζ,v , que obedece à Eq. (7.6a), tem uma variação lenta com ζ
(comparada com a variação de a ), pode-se escrever
( ) ( ) ( )τζδ+τ=τζ ,, vvv (7.13)
em que vδ é uma pequena perturbação, tal que 0=δv , de modo que vv = . Ou seja, v é
o valor médio de v e, de acordo com a Eq. (7.6a), tem-se
( ) 021 22
2
2
=ζ+τ∂∂
+ζ∂∂ vvavvi . (7.14)
Para que a equação anterior se converta numa equação NLS, é necessário que
( ) 12 =ζa (7.15)
em que
( ) ( ) ( )[ ]aaa
ad
aa
a
ζΓ−−ζΓ
=ζζΓ−ζ
=ζ ∫ζ
exp1exp20
0
202 . (7.16)
Logo, das Eqs. (7.15) e (7.16), infere-se que
1
ln0 −=
GGGa . (7.17)
52
Na Fig. 6 representa-se a variação da função ( )ζa para aζ≤ζ≤ 30 quando dB7.24=G .
Fig. 6 – Função ( )ζa para dB7.24=G .
Assim, isolada a rápida variação com ζ da amplitude a , a amplitude ( )τζ,v
representa, em média, um solitão de acordo com as Eqs. (7.14) e (7.15).
Saliente-se que, atendendo à Eq. (7.5), o impulso incidente deverá ter a forma
( ) ( )τ=τ sech00 au . (7.18)
Isto significa em particular que, no regime do solitão médio, a potência de pico à entrada já
não será dada pela Eq. (7.11) mas sim por
20
20
200 1
lnτγ
β
−==′
GGGPaP . (7.19)
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3
ζ/ζa
a (ζ)
a 1
a 0
53
No regime do solitão médio a Eq. (7.29) para a potência média do sinal RZ com
solitões deve também ser revista para
0
020
0
0
22 qPa
qP
Ps =′
= . (7.20)
Uma regra empírica usada na prática para a validade do regime do solitão médio
impõe que
0108 zLa ≤ (7.21)
onde 0z é o período dos solitões dado pela Eq. (6.38). Assim, deve ter-se
π
β≥τ
25 2
0aL
. (7.22)
54
8. Diagramas operacionais No projecto de sistemas com solitões há que ter em consideração diversos factores. Além dos
problemas suscitados pela interacção não-linear entre impulsos e das limitações impostas pelo
regime do solitão médio, existem outras limitações importantes tais como a relação sinal-
ruído e o efeito de Gordon-Haus. Nesta secção vai-se indicar como construir os diagramas
operacionais as L−−τ vs que permitam ter uma ideia das soluções possíveis no projecto de
sistemas com transmissão de solitões (são conhecidos os valores de B e L ).
A delimitação das zonas permitidas no espaço ( )saL τ, é feita conjugando as quatro
principais limitações de um sistema com solitões: (i) interacção não-linear; (ii) regime do
solitão médio; (iii) relação sinal-ruído SNR (signal-to-noise ratio); (iv) efeito de Gordon-
Haus.
A limitação imposta pela interacção entre solitões foi estabelecida nas Eqs. (7.30)-
(7.33). Quanto ao regime do solitão médio, a limitação imposta ficou expressa através das
Eqs. (9.21)-(9.22).
A amplificação óptica periódica, sendo necessária, introduz contudo uma séria
limitação: depois de amplificado, cada solitão recebe também ruído devido à existência de
ASE (amplified spontaneous emission). Além disso, também as flutuações estatísticas da
fonte óptica levam a flutuações na amplitude dos solitões.
Como em qualquer sistema de comunicação óptica digital, admite-se um valor
máximo do BER (bit error rate) que, por sua vez, impõe um valor mínimo à relação sinal-
ruído. Sendo eP a probabilidade de erro correspondente à taxa digital BER, mostra-se que
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛= SNR
21
2SNR
21erfc
21 QPe (8.1)
em que
( ) ( ) ( )∫∞
−=−π
=x
xdttx erf1exp2erfc 2 , ( ) ( )∫ −π
=x
dttx0
2exp2erf (8.2)
e onde
( ) ∫∞
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
π=
x
dttxQ2
exp21 2
. (8.3)
55
Note-se que
( ) ( )xQx 22erfc = , (8.4)
tendo-se
3>x ⇒ ( ) ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
π≈
2exp
21 2x
xxQ . (8.5)
Assim
( )610BER 9 Q== − ⇔ dB58.21SNR = . (8.6)
Geralmente impõe-se uma margem de dB5.1 em relação ao valor de SNR[dB] obtido pela
Eq. (8.1).
A relação sinal-ruído é dada por
ASE
s
NP
=SNR (8.7)
em que
ss EBP21
= ⇐ ( ) 02002 τ= aPEs (8.8)
e onde, sendo spn o coeficiente de inversão da população do amplificador óptico (e.g., uma
EDFA),
( )( ) fGnNN spaASE ∆ω−= 01 , 2Bf =∆ ,
aa L
LN = . (8.9)
56
Recorda-se aqui que
( )aLG α= exp , 1
ln20 −=
GGGa , 2
0
20 τγ
β=P . (8.10)
Outra limitação fundamental tem a ver com o chamado efeito de Gordon-Haus. De
facto, a introdução de ruído de fase em cada solitão amplificado leva ao aparecimento de
flutuações na frequência da portadora e, consequentemente, da velocidade de grupo. Assim, o
ruído de fase leva a uma flutuação estatística do tempo de chegada de cada solitão conhecida
por jitter de Gordon-Haus. A probabilidade de erro associada ao efeito de Gordon-Haus é
dada por
( )wa
e aQdttPw
22
exp2 2
∫∞
=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
π= (8.11)
em que
0τσ
= ww
Ta , (8.12)
onde wT2 é a janela de detecção e σ o desvio padrão associado ao jitter temporal. A função
( )xQ foi introduzida na Eq. (8.3).
Deve ter-se
pPe ≤ ⇒ aaw ≥ ⇒ 0τ
≤σaTw . (8.13)
Assim, introduzindo os coeficientes adimensionais
ww TB=κ , (8.14a)
( )21ln2 0 +τ=τ=κ BB ss , (8.14b)
57
em que
( )21ln0 +=κ qs , (8.15)
tem-se
( )s
wwa
κκ
σ+
=21ln2 . (8.16)
Por vezes define-se ainda a fracção jf de jitter de Gordon-Haus como sendo
aTa
Tf w
B
wj
κ== , (8.17)
pelo que
00
2 qfT
f jB
j =τ
≤σ . (8.18)
Mostra-se que, sendo D o coeficiente de dispersão, o desvio padrão é tal que
( )3302
94
32
LBL
DhqFnN
Fn
a
Gsp
s
Gsp
π
γλ==σ , (8.19)
onde sN representa o número de fotões associados a cada solitão, i.e.,
0ω
= ss
EN (8.20)
e onde
58
( )20
2 1ln
1a
GGG
GFG−
=−
= . (8.21)
Assim, infere-se que
( )DnFnhLAf
DhqFnLf
LBGsp
aefswa
Gsp
aj
2
2
0
23 9 κκ
=γλ
π≤ (8.22)
que é conhecido na literatura por limite de Gordon-Haus e onde se introduziu o coeficiente
( )21ln29
2 +=
afa . (8.23)
Note-se que
9102
erf12
erfc −=⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛−=⎟
⎠
⎞⎜⎝
⎛=
aap ⇒ 1094.6=a , (8.24)
a que corresponde
1368.0=af . (8.25)
Deve salientar-se, por fim, que a construção de diagramas operacionais – tal como se
indica nesta secção – se refere aos sistemas sem transmissão controlada (in-line control) de
solitões. Desde 1992, porém, que várias técnicas são utilizadas com sucesso (como, e.g., o uso
dos chamados filtros deslizantes) na superação do limite de Gordon-Haus. Também a gestão
da dispersão tem vindo a melhorar o desempenho dos sistemas com solitões em relação ao
caso em que se utilizam fibras de dispersão constante.
59
APÊNDICE A Perturbação da constante de propagação longitudinal
Comecemos por reescrever a Eq. (2.3) de acordo com a Eq. (2.2). Vem
( )[ ] ( ) 0,, 220
2 =β−ε+∇ yxFkyxFt . (A.1)
Pretende-se determinar a perturbação β∆ da constante de propagação longitudinal quando
existe uma perturbação ε∆ , de acordo com a Eq. (2.8). Todavia, além da perturbação β∆ , vai
existir também uma perturbação F∆ da função modal que caracteriza o modo de propagação.
Assim, da Eq. (A.1) tira-se que
( ) ( ) β∆β+∆β=ε∆+∆ε+∆∇ FFkFFFt 2220
2 (A.2)
para uma perturbação de primeira ordem. Agora, multiplicando ambos os membros da Eq.
(A.2) por F e integrando sobre a secção transversal da fibra, obtém-se
δ+ε∆=β∆β 220
22 FkF (A.3)
em que
( ) ( ) FFkFF t ∆β−ε+∆∇=δ 220
2 (A.4)
e onde se usou a notação introduzida na Eq. (2.11).
Em seguida vai-se mostrar que 0=δ . Consideremos a identidade
( )ψ∇φ−φ∇ψ⋅∇=ψ∇φ−φ∇ψ ttttt22 (A.5)
e façamos F∆=φ e F=ψ . Assim
60
( ) JFFFF tt +∇∆=∆∇ 22 (A.6)
em que
( )[ ]∫ ∫∞
∞−
∞
∞−
∇∆−∆∇⋅∇= dydxFFFFJ ttt . (A.7)
Pelo teorema da divergência “bidimensional” pode-se então escrever
( )[ ]∫Γ ⋅∇∆−∆∇= dsFFFFJ ett n (A.8)
onde Γ é um contorno que fecha, pelo infinito, a secção transversal da fibra e en a normal
exterior. Como, para modos superficiais, F e F∆ se anulam no infinito, infere-se que
0=J . (A.9)
Assim, de acordo com as Eqs. (A.6) e (A.9), resulta da Eq. (A.4) que
( )[ ] ( ) ( )yxFyxFkyxFt ,,, 220
2 ∆β−ε+∇=δ . (A.10)
Logo, atendendo à Eq. (A.1), tira-se ainda que
0=δ . (A.11)
Pelo que, da Eq. (A.3) vem finalmente
2
220
2 F
Fk ε∆
β=β∆ (A.12)
o que prova a Eq. (2.10). Note-se que, na Eq. (A.12), não figura a perturbação ( )yxF ,∆ da
função modal – daí a importância prática desta expressão para β∆ .
61
APÊNDICE B Soluções da equação cnoidal
Pretende-se, neste apêndice, estudar a equação cnoidal – a Eq. (4.20) – que aqui se repete
03 =−+ yyy (B.1)
em que dxdyy /= . Comecemos por multiplicar ambos os membros desta equação por y .
Vem
( )21 yyyyy −= . (B.2)
Atendendo a que
yyydxd
=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ 2
21 (B.3a)
( )1121
21 222 −=⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ − yyyyy
dxd (B.3b)
conclui-se que a integração da Eq. (B.2) conduz à equação
( ) 02
21 QyVy =+ (B.4)
em que
( ) ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −= 1
21
21 22 yyyV (B.5)
onde, por enquanto, 0Q é uma constante arbitrária. A Eq. (B.4) sugere uma analogia
mecânica: se considerarmos uma partícula de massa 1=m , a sua energia cinética é
2/2yEk = ; então, se for ( )yV a respectiva energia potencial, será 0Q a sua energia total que
62
será constante – o que é expresso através da Eq. (B.4). Na Fig. B1 representa-se a função
( )yV . A dinâmica do movimento da partícula pode ser mais facilmente analisada no espaço
( )yy, quando se varia o parâmetro 0Q – tal como se indica na Fig. B2. Apenas no caso
00 =Q é que o movimento ( )xy não é periódico – é antes uma onda solitária.
Fig. B1 – Energia potencial de uma partícula de massa unitária.
A observação da Fig. B2 revela que o mínimo de 0Q se obtém quando 0=y e
1±=y . Logo, de acordo com as Eqs. (B.4) e (B.5), esse mínimo será 4/10 −=Q .
As soluções da equação cnoidal – a Eq. (B.1) – são conhecidas na literatura como as
funções elípticas de Jacobi. Consideremos, então, o chamado integral elíptico
( ) ∫φ
θ−
θ=φ=
022 sin1
,k
dkFu . (B.6)
Definem-se as funções elípticas de Jacobi como segue
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
-2 -1 0 1 2y
V (y )
63
-2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2-1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
y
dy/d
x
Movimento no espaço das fases
-0.2 -0.2
0
0
0.2
Fig. B2 – Espaço das fases ( )yy, para 2.0,0,2.00 −=Q .
( ) φ= sin|sn 2ku (B.7a)
( ) φ= cos|cn 2ku (B.7b)
( ) φ−= 222 sin1|dn kku . (B.7c)
Note-se que sn é uma função ímpar enquanto que cn e dn são funções pares. Em particular,
tem-se
( ) uu sin0|sn = (B.8a)
( ) uu cos0|cn = (B.8b)
( ) 10|dn =u (B.8c)
( ) uu tanh1|sn = (B.8d)
( ) uu sech1|cn = (B.8e)
64
( ) uu sech1|dn = . (B.8f)
Verifica-se que
( )[ ] ( ) ( )222 |dn|cn|sn kukukudud
= (B.9a)
( )[ ] ( ) ( )222 |dn|sn|cn kukukudud
−= (B.9b)
( )[ ] ( ) ( )2222 |cn|sn|dn kukukkudud
−= . (B.9c)
Observam-se, ainda, as seguintes identidades
( ) ( ) 1|cn|sn 2222 =+ kuku (B.10a)
( ) ( ) 1|sn|dn 22222 =+ kukku (B.10b)
( ) ( ) 222222 1|cn|dn kkukku −=− . (B.10c)
Uma solução possível para a Eq. (B.1) é a função
( ) ( )2|dn kxBAxy = (B.11)
onde 2k é o módulo da função elíptica de Jacobi. De acordo com a Eq. (B.6) o módulo deverá
ser tal que
10 2 ≤≤ k (B.12)
de modo a que 02 >u . Assim, quando se tem 12 >k , deverá fazer-se
( ) ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛= 2
2 1cn|dnk
ukku . (B.13)
65
Os coeficientes A e B na Eq. (B.11) são ambos funções de k . Determinam-se, de
seguida, as funções ( )kA e ( )kB . Comecemos por notar que, de acordo com as Eqs. (B.9), se
tem
( ) ( )222 |cn|sn kxBkxBkBAy −= (B.14a)
( ) ( )[ ] ( )2222222 |dn|sn|cn kxBkxBkxBkBAy −−= . (B.14b)
Agora, substituindo as Eqs. (B.11) e (B.14b) na Eq. (B.1), obtém-se
( ) ( )
( ) ( )[ ] .0|sn|cn1|dn|dn222222
2222
=−−
−
kxBkxBkBkxBAkxBA
(B.15)
Atendendo às Eqs. (B.10b) e (B.10c) resulta então que
( ) ( ) ( ) 0|sn21 222222222 =−+−− kxBkAkBkBA (B.16)
donde se infere que
01222 =−− kBA (B.17a)
02 2222 =− kAkB (B.17b)
pelo que se conclui
222k
A−
= (B.18a)
22
1k
B−
= (B.18b)
e onde apenas se consideraram as raízes positivas. Assim, substituindo estes coeficientes na
Eq. (B.11), vem finalmente
66
041
0 <≤− Q ⇒ ( ) ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
−−= 2
222
dn2
2 kk
xk
xy . (B.19)
A substitução da Eq. (B.19) na Eq. (B.4) permite inferir que
( )( )22
2
021
−
−=
kkkQ . (B.20)
de acordo com a Eq. (B.14a) e atendendo ainda às Eqs. (B.10b) e (B.10c). Deste modo,
resulta da Eq. (B.20) que
0
002
24141
QQQ
k+±+
= . (B.21)
Como o valor mínimo de 0Q é, como se viu anteriormente, 4/10 −=Q , deverá ser
41
0 −≥Q ⇒ 20 2 <≤ k . (B.22)
De facto, de acordo com a Eq. (B.20), é 02 =k quando 4/10 −=Q e 22 =k quando
∞=0Q . Note-se, agora, que
041
0 <≤− Q ⇒ 10 2 <≤ k (B.23a)
00 >Q ⇒ 21 2 << k . (B.23b)
No caso da Eq. (B.23a), a função ( )xy pode efectivamente ser calculada através da Eq.
(B.19). Porém, no caso da Eq. (B.23b), é preferível usar a expressão alternativa
00 >Q ⇒ ( )⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
−−= 22
2
2
12
cn2
2k
xk
kk
xy (B.24)
67
para que o módulo continue a ser inferior à unidade. De facto, tem-se
12 >k ⇒ ( ) ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛= 2
2 1cn|dnk
ukku . (B.25)
Na Fig. B3 representa-se ( )xy quando 2.00 ±=Q ; em ambos os casos ( )xy é uma função
periódica.
No caso em que
00 =Q ⇒ 12 =k (B.26)
a função ( )xy deixa de ser periódica. Efectivamente, tem-se
( ) ( ) ( )xBxBxB sech1|cn1|dn == (B.27)
e, como 2=A e 1=B para 12 =k , conclui-se que
00 =Q ⇒ ( ) ( )xxy sech2= . (B.28)
Neste caso o percurso na Fig. B2 desde 0=y até voltar ao mesmo ponto leva um
tempo que vai desde −∞=x até ∞=x . Além disso, como se tem
( ) 0lim =∞→
xyx
, (B.29)
tal como se indica na Fig. B4, diz-se que se trata de uma onda solitária.