April 2003 / Regelungstechnik 2 Blatt 2.1 Prof. Dr.-Ing. Benedikt Faupel
Vorlesung Regelungstechnik 2
Digitaler RegelkreisDigitaler Regelkreis
30. April 2003
Hochschule für Technik und Wirtschaft des SaarlandesFachbereich Elektrotechnik
Goebenstr. 4066117 Saarbrücken
April 2003 / Regelungstechnik 2 Blatt 2.2 Prof. Dr.-Ing. Benedikt Faupel
Regelungstechnik 2
Inhalte Vorlesung Regelungstechnik 2Digitale Regelung• Beschreibung kontinuierlicher / digitaler Signale• Grundfunktionen von digitalen Regelkreisen• Elemente in digitalen Regelkreisen (DA-Wandler, AD-Wandler,
Halteglieder)• Gleichungen, Differenzengleichungen für digitaler Regelelemente
P, I, D und Kombinationen hiervon• PID-Regelalgorihtmen• Einstellregeln für digitale Regelkreise• z-Transformation und Beschreibung von digitalen Regelkreisen im
Frequenzbereich• Stabilität von digitalen Regelkreisen
April 2003 / Regelungstechnik 2 Blatt 2.3 Prof. Dr.-Ing. Benedikt Faupel
Regelungstechnik 2
Inhalte Vorlesung Regelungstechnik 2Zustandsregelung• Einführung in die Zustands(-raum)-Beschreibung • Mathematische Grundlagen (Matrizen und Rechenverfahren=• Methoden zur Berechnung von Übertragungssystemen mit Zustands-
variablen• Lösungen derZustandsgleichung im Zeit- und Frequenzbereich• Normalformen von Übertragungssystemen
(Beobachternormalform, Regelungsnormalform)• Steuerbarkeit und Beobachtbarkeit von Übertragungssystemen• Transformationen auf Regelungs- und Beobachtungsnormalform• Regelung durch Zustandsrückführung
April 2003 / Regelungstechnik 2 Blatt 2.4 Prof. Dr.-Ing. Benedikt Faupel
Übergang vom zeitkontinuier-lichen zum zeitdiskreten Signal
Kontinuierliches Signal wird über Abtaster und A/D-Wandlerin ein zeitdiskretes digitalisiertens Signal gewandletx(t) -> x(kT)
April 2003 / Regelungstechnik 2 Blatt 2.5 Prof. Dr.-Ing. Benedikt Faupel
Übergang vom zeitdiskreten zum zeitkontinuierlichen Signal
Zeitdiskretes Signal wird über Halteglied und D/A-Wandlerin ein kontinuierliches Signal gewandelty(kt) -> y(t)
April 2003 / Regelungstechnik 2 Blatt 2.6 Prof. Dr.-Ing. Benedikt Faupel
Digitaler Regelkreis
Im digitalen Regelkreis müssen analoge Größen digitalisiert werden.Die Regelstrecke wird meistens mit analog arbeitenden Stellgerätenbeeinflusst. Hier ist entsprechend die Umwandlung der digitalen Größenin analoge Größen vorzunehmen.Digitaler Regler ermittelt nach einer Berechnungsvorschrift die Folgeder Stellwerte y(kT) aus der Folge e(kT).
April 2003 / Regelungstechnik 2 Blatt 2.7 Prof. Dr.-Ing. Benedikt Faupel
Digitale Regelkreise
Eigenschaften:• Zu regelender Prozess verläuft kontinuierlich. • Digitalregler verarbeitet diskrete Zahlenfolgen und ermittelt
Stellgrößenwerte• Stellgröße arbeitet kontinuierlich. Stellgrößenwerte werden als
treppenförmiges Signal aus der Stellgrößenfolge gebildet• Für Abtastzeiten Tab << Systemzeit kann digitale Regelung wie
quasikontinuierliche Regelung interpretiert werden. Für diese Betrachtung keine Abtasttheorie erforderlich
• Alternative Lösung digitaler Regelungen basiert auf Anwendung derz-Transformation und Lösung von Differenzengleichungen
April 2003 / Regelungstechnik 2 Blatt 2.8 Prof. Dr.-Ing. Benedikt Faupel
Gegenüberstellung digitaler und analoger Regelung am Beispiel
Analoger Regelkreis Digitaler Regelkreis
Strecke
Regler
x(t)
R
2t
1G(s)
1 s
G (s) 1
1x(t) (1 e )
2
Digitalisierung:
Halteglied:
R R R
e w x e(k) w(k) x(k) 1 x(k)
y K e y(k) K e(k) K (1 x(k))
R Ry(k) K e(k) K (1 x(k))
y(t) y(k) (t kT) (t (k 1)T)
April 2003 / Regelungstechnik 2 Blatt 2.9 Prof. Dr.-Ing. Benedikt Faupel
Digitaler Regelkreis
Treppenförmige Stellgröße wirkt nun auf die Regelstrecke und bleibtinnerhalb der Abtastzeit konstant.
Allgemeine Lösung:
kTab t (k 1)Tab :
X(s) 11 sY(s)
x(t) x(t) y(t)
1 1X(s) Y(s) x(kT)
1 s 1 s1 1
X(s) y(kT) x(kT)s(1 s) 1 s
ab ab
ab ab
ab ab
ab
t t
T T
T TR
T TR
TR R
kTab t (k 1)Tab :
x(t) y(kT) 1 e x(kT)e
x (k 1)T y(kT)(1 e ) x(kT)e
x (k 1)T K e(kT)(1 e ) x(kT)e
x(k 1) K e(k)(1 e ) x(k)e
x(k 1) K e(k) x(k) K e(k) e
April 2003 / Regelungstechnik 2 Blatt 2.10 Prof. Dr.-Ing. Benedikt Faupel
Allgemeine Lösung
Lösung
Tab
Tab
Tab
Tab
x(k 1) e(k) (x(k) e(k))e
x(0) 0;e(0) 1
x(1) 1 e
x(2) e(1) x(1) e(1) e
x(3) e(2) x(2) e(2) e
Simulation in Matlab und Excel mit Variation der einzelnen GrößenKR, Tab, TS, ....KR = 2, 5, 10, 20, ..... Unterschied analoges und digitales Verhalten
April 2003 / Regelungstechnik 2 Blatt 2.11 Prof. Dr.-Ing. Benedikt Faupel
Allgemeine Lösung
Lösung ist ein iteratives Verfahren:• Bestimmen der Startwerte für y, e und x(0)• Starten der Abtastzeit
für jedes Abtastintervall gilt• Ausführen des Regelalgorithmus y(k) = KR e(k)• D/A-Wandeln von y(k) zur Bestimmung der analogen Stellgröße• X(t) stellt sich entsprechend einFür jeden neuen Abtastzeitpunkt:• Bestimmen von x(k), w(k) und e(k)
April 2003 / Regelungstechnik 2 Blatt 2.12 Prof. Dr.-Ing. Benedikt Faupel
Basisalgorithmen für digitale Regelungen
Proportionalalgorithmus
Y(t) = KR e(t)
Y(kT)= KR e(kT)
April 2003 / Regelungstechnik 2 Blatt 2.13 Prof. Dr.-Ing. Benedikt Faupel
Basisalgorithmen für digitale Regelungen
Integralalgorithmus
i
y(t) KI edt y(kT) KI e(iT)T
Die Integration kann verschieden durch diskrete Algorithmen appro-ximiert werden (Rechteck, Trapeznäherung)
k 1
Ii 0
k
Ii 1
y(k) K e(i)T
y(k) K e(i)T
I
I I I
y(0) 0
y(1) K Te(0)
y(2) K Te(0) K Te(1) y(1) K Te(1)
I
I I I
y(0) 0
y(1) K Te(1)
y(2) K Te(1) K Te(2) y(1) K Te(2)
April 2003 / Regelungstechnik 2 Blatt 2.14 Prof. Dr.-Ing. Benedikt Faupel
Basisalgorithmen für digitale Regelungen
Typ 1
Typ 2
KI = 1s-1 T= 1s
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Basisalgorithmen für digitale Regelungen
April 2003 / Regelungstechnik 2 Blatt 2.16 Prof. Dr.-Ing. Benedikt Faupel
Basisalgorithmen für digitale Regelungen
Rekursive Algorithmen:k 1 k 2
I I I Ik 1i 0 0
k k 1
I I I Ik 1i 1 1
y(k) K e(i)T K e(i)T K e(k 1)T y K e(k 1)T
y(k) K e(i)T K e(i)T K e(k)T y K e(k)T
k 1I
k 1I
Ty(k) y e(k 1)
T
Ty(k) y e(k)
T
Typ 1
Typ 2
T = AbtastzeitTI = Zeitkonstante I-Regler
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Ablaufschema Integralalgorithmus
Typ 1 Typ 2
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Beispiel mit I-Regler und P-Strecke
I
S
T 1s
K 2
w(t) (t)
Ty(k) y(k 1) e(k 1)
TI
Nach der Sprungaufschaltung werdensofort alle Werte abgetastet und fürdie Regelung zur Verfügung gestellt:
w(0) 1;x(0) 0 e(0) 1
y(0) 0 x(0) 0
April 2003 / Regelungstechnik 2 Blatt 2.19 Prof. Dr.-Ing. Benedikt Faupel
Beispiel mit I-Regler und P-Strecke
Berechnung der rekursiven Folgen für x(k):
S
I
S S SI I
S S SI I
S SI I
x(k) K y(k)
e(k) w(k) x(k) 1 x(k)
Ty(k) y(k 1) e(k 1)
T
T Tx(k) K y(k 1) e(k 1) K y(k 1) K e(k 1)
T T
T Tx(k) K y(k 1) K 1 x(k 1) x(k 1) K 1 x(k 1)
T T
T Tx(k) K 1 K x(k 1)
T T
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Beispiel mit I-Regler und P-Strecke
Berechnung der rekursiven Folgen für x(k):
SI
2
S SI I
x(0) 0
Tx(1) K
T
T Tx(2) 2K K
T T
April 2003 / Regelungstechnik 2 Blatt 2.21 Prof. Dr.-Ing. Benedikt Faupel
Beispiel mit I-Regler und P-Strecke
Berechnung der rekursiven Folgen für x(k):
K w(k) x(k) e(k) y(k)
0 1 0 1 0
1 1 KsT/Ti 1-KsT/Ti T/Ti
2 1 KsT/Ti(2-KsT/Ti)
1-KsT/Ti(2-KsT/Ti)
T/Ti(2-KsT/Ti)
3 1 .... .... .....
I
Ty(k) y(k 1) e(k 1)
T
April 2003 / Regelungstechnik 2 Blatt 2.22 Prof. Dr.-Ing. Benedikt Faupel
Beispiel mit Zahlenwerten
I
Tab 0.1s
Ks 2
T 1s
x(k) 0.8x(k 1) 0.2
K X(k)
0 0
1 0.2
2 0.36
3 .....
4 .....
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Beispiel mit Zahlenwerten
Für Wahl der Abtastzeit T = Ti/Ks =0.5 s kann im günstigsten FallNach einem Abtastschritt die Regelgröße auf den Sollwert gebracht Werden.
April 2003 / Regelungstechnik 2 Blatt 2.24 Prof. Dr.-Ing. Benedikt Faupel
Weitere Regelalgorithmen
Nächste Stunde:• Weitere Regelalgorithmen für PI, D, PID-Regler• Rekursive Algorithmen zur Berechnung von e(k), y(k) und x(k)• Basis jeweils Regelkreis mit A/D-Wandlung, Halteelemente und D/A
Wandlung• Variation neben den Regelparametern auch Einfluss der Abtast-
zeit
Bewertung digitale Regelkreise:• Kombinierte Analyse von diskreten und analogen Elementen• Andere Beschreibungsformen nur im diskreten Bereich anwendbar
April 2003 / Regelungstechnik 2 Blatt 2.25 Prof. Dr.-Ing. Benedikt Faupel
Mathematische Grundlagen
Beschreibung diskreter Signale im Zeitbereich erfolgt mathematischmit Zahlenfolgen:
• Definitionsbereich umfasst alle natürlichen Zahlen einschließlich derNull
• Werte heißen Glieder der Folge• Die natürlichen Zahlen des Definitionsbereiches legen die Plätze der
Glieder fest.• Folge ist in der Regel nicht abbrechend• Eine Folge kann auf unterschiedliche Art und Weise beschrieben
werden.
April 2003 / Regelungstechnik 2 Blatt 2.26 Prof. Dr.-Ing. Benedikt Faupel
Mathematische Grundlagen
k
f (k) f(0),f (1),f (2),f (3),....
1 1 1 1 11, , , , ,....
2 4 8 16 2
Beschreibung einer Zahlenfolge
f(k): Funktionaler Zusammenhang in Abhängigkeit von kf(k): Bildungsgesetz gibt Berechnungsalgorithmus zur Bestimmung des
k-ten Elementes an
April 2003 / Regelungstechnik 2 Blatt 2.27 Prof. Dr.-Ing. Benedikt Faupel
Mathematische Grundlagen
kf (k) 0,2,0,2,0,2.... 1 1
Beschränkte Zahlenfolge
Beschränkte Folge• Die Glieder der Folge überschreiten eine beliebig vorgegebene
Schranke nicht.• Wächst die Folge dagegen + oder -, dann ist die Folge
unbeschränkt.• Die Zu- oder Abnahme einer Folge heißt monoton, wenn jedes Glied
größer bzw. kleiner als das vorangehende Glied ist.
April 2003 / Regelungstechnik 2 Blatt 2.28 Prof. Dr.-Ing. Benedikt Faupel
Mathematische Grundlagen
k2 4 22 46
f(k) 2 3, , , ,.... 23 3 9 27
Divergente und konvergente Zahlenfolge
Folge• Diese Folge ist nicht monoton, da sich nachfolgende Glieder nicht
immer größer oder kleiner als die vorangehenden Glieder sind.• Die Folge ist beschränkt, da es eine maximale Schranke gibt, unter-
halb derer alle Zahlenwerte liegen.• Die Folge ist konvergent, da die Glieder der Folge gegen einen
bestimmten Grenzwert (für k-> ) streben.
f (k) k 0,1,2,3,4,5,.... Divergente Folge
April 2003 / Regelungstechnik 2 Blatt 2.29 Prof. Dr.-Ing. Benedikt Faupel
Mathematische Grundlagen
2 3 4
k
f (k) f(0),f (1),f (2),f (3),f (4),.... a,aq,aq ,aq ,aq ,...
f (k) aq
f(k 1)const. q
f(k)
geometrische Zahlenfolge
Geometrische Folge• Quotient zweier aufeinanderfolgender Glieder ist konstant.• Die k-te Teilsumme lässt sich einfach berechnen.• Für k-> geht die Folge in die geometrische Reihe über.• Ist q<1, dann konvergiert die Zahlenfolge.
April 2003 / Regelungstechnik 2 Blatt 2.30 Prof. Dr.-Ing. Benedikt Faupel
Mathematische Grundlagen
2 3 4
k
ki 0
2 k
2 3 k 1k
k 1k 1
k k k
f (k) f(0),f (1),f (2),f (3),f (4),.... a,aq,aq ,aq ,aq ,...
s f(i) f (0) f(1) f(2) f(3) .... f (k)
a aq aq .... aq
qs aq aq aq .... aq
1 qs qs a aq s a
1 q
1q 1 s a
1 q
geometrische Zahlenfolge
April 2003 / Regelungstechnik 2 Blatt 2.31 Prof. Dr.-Ing. Benedikt Faupel
Mathematische Grundlagen
Differenzengleichung:Ist eine Differenzengleichung gegeben, so kann ausgehend von bekann-ten Anfangswerten alle weiteren Glieder rekursiv berechnet werden.
k k 1 k1 1 1 1 1
f(k) f(k 1) f(k)2 2 2 2 2
1f(k 1) f(k)
2f(0) 1
1 1f(1) f(0)
2 21 1
f(2) f(1)2 41 1
f(3) f(2)2 8
April 2003 / Regelungstechnik 2 Blatt 2.32 Prof. Dr.-Ing. Benedikt Faupel
Mathematische Grundlagen
Differenzengleichung:Differenzengleichungen entsprechen Dgl im analogen Bereich. Sind die Koeffizienten konstant, dann spricht man von LTI-Systemen Linearitätsprinzipien sind anwendbar.
2 1 0f (k 3) a f(k 2) af(k 1) a f(k) x(k)
Lösung von Differenzengleichung im ZeitbereichAnwendung mit Exponentialansatz yh(k) = zk
Homogene Lösung: setze x(k) = 0 und bestimme die Lösung für AnfangswertePartikuläre Lösung: Ansatz mit gegebenen u(k) anschließend Bestimmung der Konstanten
April 2003 / Regelungstechnik 2 Blatt 2.33 Prof. Dr.-Ing. Benedikt Faupel
Mathematische Grundlagen
Beispiel:
Homogene Lösung mit Setzen von u(k)=0:
k k 2 k 1 k
k 2 2
1 2
k k k k1 1 2 2 1 2
y(k 2) 0.5y(k 1) 0.5y(k) 2k
yh(k) z z 0.5z 0.5z 0
z z 0.5z 0.5 0 z 0.5z 0.5 0
z 0.5 z 1
yh(k) Cz C z C 0.5 C ( 1)
y(k 2) 0.5y(k 1) 0.5y(k) 2k
y(0) 1
y(1) 3
Gesucht ist die Lösung füry(k) die folgende Differen-zengleichung mit den An-fangsbedingungen erfüllt.
April 2003 / Regelungstechnik 2 Blatt 2.34 Prof. Dr.-Ing. Benedikt Faupel
Mathematische Grundlagen
Beispiel:
Partikuläre Lösung:
I
I
y (k) A Bk
A B(k 2) 0.5 A B(k 1) 0.5 A Bk 2k
A 2.5B 0
B 2
A 5
y (k) 2k 5
April 2003 / Regelungstechnik 2 Blatt 2.35 Prof. Dr.-Ing. Benedikt Faupel
Mathematische Grundlagen
Beispiel:
Gesamte Lösung setzt sich aus homogener und partikulärer Lösung zusammen
k kI 1 2
1 2
1 2
1
2
k k
y(k) yh(k) y (k) C 0.5 C ( 1) 2k 5
y(0) 1 y(0) C C 5 1
y(1) 3 0.5C C 3 3
C 4
C 2
y(k) 4 0.5 2( 1) 2k 5
y(k) 1, 3,2, 0.5,5.25,3.125,.....
April 2003 / Regelungstechnik 2 Blatt 2.36 Prof. Dr.-Ing. Benedikt Faupel
Mathematische Grundlagen
Z-Transformation•anwendbar für Folgen, die erst beim Argument 0 und höher beginnen.
Definition
2 3
1 2 3
k
k 0
f (k) f(0),f (1),f (2),f (3),f (4),.....
1 1 1F(z) f(k) f(0) f(1) f(2) f(3) ...
z z zf(0) f(1)z f(2)z f(3)z ....
F(z) f(k)z
April 2003 / Regelungstechnik 2 Blatt 2.37 Prof. Dr.-Ing. Benedikt Faupel
Mathematische Grundlagen
Z-Transformation f(k) <-> F(z)
Beispiel Exponentialfolge:
2 3 4 5 k
k1 2 2 3 3 k k
k 0 k 0
f (k) 1,a,a ,a ,a ,a ,..... a
aF(z) 1 az a z a z ... a z
z
1 zF(z)
a z a1z
Anwendung der geometrischen ReiheKonvergenzkriterium muss erfüllt werden:|a/z|<1 ->|a|<|z|
April 2003 / Regelungstechnik 2 Blatt 2.38 Prof. Dr.-Ing. Benedikt Faupel
Mathematische Grundlagen
Beispiele aus Transformationstabellen
1 2 3 4
1 2 3 4
f (k) {1,1,1,1,1,1,1,1,1,.....}
F(z) 1 z z z z ....
1 zF(z)
1 z 11z
f(k) {1, 1,1, 1,1, 1,1, 1,.....}
F(z) 1 z z z z ....
1 zF(z)
1 z 11z
Sprungfolge, konstante Folgebeschränkt, nicht monoton
Alternierende Folge, beschränkt,nicht monoton
April 2003 / Regelungstechnik 2 Blatt 2.39 Prof. Dr.-Ing. Benedikt Faupel
Mathematische Grundlagen
Beispiele aus Transformationstabellen
1 2 3
3 2 1
3
f (k) {f(0),f (1),f (2),f (3),0,0,0,0.....}
F(z) f(0) f(1)z f(2)z f(3)z
f(0)z f(1)z f(2)z f(3)F(z)
z
f(k) {1,0,0,0,0,0,0,.....}
F(z) 1
Begrenzte FolgeBildung der z-Transformiertenals Summation der Teilglieder mit Wichtung der Stelle
Dirac-StoßF(z)=1
April 2003 / Regelungstechnik 2 Blatt 2.40 Prof. Dr.-Ing. Benedikt Faupel
Mathematische Grundlagen
Sätze zur z-Transformation:
Formale Übereinstimmung zwischen Laplace- und z-Transformation:Integration Summations-Ebene z-EbeneF(s)-Bereich F(z)-Bereich
Sätze zur z-TransformationLinearitätssatz
Faltungssatz
af(k) bh(k) aF(z) bH(z)
k
m 0
f (m)h(k m) F(z)H(z)
April 2003 / Regelungstechnik 2 Blatt 2.41 Prof. Dr.-Ing. Benedikt Faupel
Mathematische Grundlagen
Sätze zur z-Transformation
LinksverschiebungssatzDie nach links verscho-benen Glieder sind zu kompensieren.
Rechtsverschiebungssatz
Summationssatz
2 2
3 3 2
mm m i
i 0
f (k 1) zF(z) zf(0)
f(k 2) z F(z) z f(0) zf(1)
f(k 3) z F(z) z f(0) z f(1) zf(2)
f(k m) z F(z) f(i)z
mf (k m) z F(z)
m
k 0
zf(k) F(z)
z 1
Summation entspricht
Faltung mit 1-Folge
April 2003 / Regelungstechnik 2 Blatt 2.42 Prof. Dr.-Ing. Benedikt Faupel
Mathematische Grundlagen
Sätze zur z-Transformation
Beispiel zum Linksverschiebungssatz:
3 3 2
1 2 3
3 1 2 3 2
3 3
f (k) f(0),f (1),f (2),f (3),f (4),....
f (k 3) f(3),f (4),f (5),.....
f (k 3) z F(z) z f(0) z f(1) zf(2)
f(k 3) f(3) f(4)z f(5)z f(6)z ...
z f(0) f(1)z f(2)z ... z f(0) z f(1) zf(2)
z F(z) z f(0)
2z f(1) zf(2)
April 2003 / Regelungstechnik 2 Blatt 2.43 Prof. Dr.-Ing. Benedikt Faupel
Mathematische Grundlagen
Anwendung der z-Transformation auf eine Differenzengleichung:
f (k) 0.5f(k 1) 0
f(0) 1
Lösung durch Änderung der Differenzengleichung durch Ersetzen von k durch k+1
K
f (k 1) 0.5f(k) 0
zF(z) zf(0) 0.5F(z) 0
z zF(z) f(0)
z 0.5 z 0.5f(k) 0.5
April 2003 / Regelungstechnik 2 Blatt 2.44 Prof. Dr.-Ing. Benedikt Faupel
Mathematische Grundlagen
Anwendung der z-Transformation auf eine inhomogene Differenzengleichung:
4 3 2
2
y(k 2) 0.5y(k 1) 0.5y(k) u(k) 2k
y(0) 1; y(1) 3
z 4.5z 6z 0.5zY(z)
(z 1)(z 0.5)(z 1)
April 2003 / Regelungstechnik 2 Blatt 2.45 Prof. Dr.-Ing. Benedikt Faupel
Mathematische Grundlagen
Anwendung der z-Transformation auf eine inhomogene Differenzengleichung:
4 3 2
2
2
2
k k
z 4.5z 6z 0.5zY(z)
(z 1)(z 0.5)(z 1)
Y(z) A B C Dz z 1 z 0.5 (z 1) (z 1)
A 2;B 4;C 2;D 5
2z 4z 2z 5zY(z)
z 1 z 0.5 (z 1) (z 1)
y(k) 2( 1) 4(0.5) 2k 5 {1, 3,2, 0.5,....}
April 2003 / Regelungstechnik 2 Blatt 2.46 Prof. Dr.-Ing. Benedikt Faupel
Mathematische Grundlagen
Anwendung der z-Transformation auf eine inhomogene Differenzengleichung:
4 3 2
2
4 3 2
4 3 2
4 3 2 4 3 2
1 2 3
z 4.5z 6z 0.5zY(z)
(z 1)(z 0.5)(z 1)
z 4.5z 6z 0.5zY(z)
z 1.5z 0.5z 1.5z 0.5
z 4.5z 6z 0.5z : z 1.5z 0.5z 1.5z 0.5
.... 1 3z 2z 0.5z .....
y(k) 1 3,2, 0.5,....
April 2003 / Regelungstechnik 2 Blatt 2.47 Prof. Dr.-Ing. Benedikt Faupel
Literatur Regelungstechnik
Literaturliste:• Lutz, H.; Wendt, W.: Taschenbuch der Regelungstechnik, Verlag Harri
Deutsch, Frankfurt, 1998 ISBN 3-8171-1552-0 (Bibliothek HTW)• Unbehauen, H.: Regelungstechnik II, Vieweg-Verlag, Braunschweig,
2001, ISBN 3-528-01332-X • Schlüter Gerd.: Digitale Regelungstechnik interaktiv, Fachbuchverlag
Leipzig, 2000, ISBN 3-446-21477-1• Merz, Jaschek: Regelungstechnik, Vorlesung Universität Saarbrücken• Gassmann, Hugo: Theorie der Regelungstechnik. Eine Einführung,
Verlag Harri Deutsch, Frankfurt, 1998.ISBN-3-8171-1587-3 (Bibliothek HTW)