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PROFESSOR: EQUIPE DE MATEMÁTICA
BANCO DE QUESTÕES - MATEMÁTICA - 2ª SÉRIE - ENSINO MÉDIO - PARTE 1
=============================================================================================
Matrizes e Determinantes
01- Um construtor tem contratos para construir 3 estilos de casa: moderno, mediterrâneo e colonial. A quantidade de
material empregada em cada tipo de casa é dada pela tabela:
Ferro Madeira Vidro Tinta Tijolo
Moderno 5 20 16 7 17
Mediterrâneo 7 18 12 9 21
Colonial 6 25 8 5 13
Se ele pretende construir 5, 7 e 12 casas dos tipos moderno, mediterrâneo e colonial, respectivamente, quantas unidades de cada material serão empregadas?
02- Dadas as matrizes AT =
3y
45 e B =
21
x5 e sabendo-se que 2A + B =
x27
05, determine os valores de
"x" e "y".
03- Determine a transposta da matriz produto de
3412
6150.
23
15
04- Seja A.B = C, onde A =
42
ba, B =
b2
abe C =
22
21.5 .
Determine o valor de "a" e "b".
05- Sendo
1
1
0
2A e
1
1
1
2B , calcule as matrizes X e Y no sistema:
B3A2YX
BA3YX2
06- Se det A = 10dc
ba , calcule:
a) cd
ab b)
dc
b4a4
c)
ddc
bba
07- Resolva as equações:
a) 2
3x2
x10
232
b) 97
1x
213
x42
142
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Gabarito
01- Solução. O número de unidades de materiais utilizados em cada tipo de casa aumenta proporcionalmente ao número
de casas construídas. Logo, na construção de 5 casas do tipo moderno serão utilizados 5 vezes mais unidades utilizadas na construção de 1 casa desse tipo. Esse procedimento vale para os outros casos e indica uma multiplicação de matrizes (1 x 3).(3 x 5).
388158260526146
1358256
21912187
17716205
.1275
.
Observando as respectivas colunas, vemos que serão utilizados no total: Ferro = 146; Madeira = 526; Vidro = 260; Tinta = 158; Tijolo = 388.
02- Solução. Se
34
y5A
3y
45AT
. Logo,
87
xy25
21
x5
68
y210BA2 . Igualando essa
matriz a matriz soma informada no problema, descobrimos as incógnitas. Comparando elemento a elemento, temos:
22
4y04y20xy2
4x8x2
x27
05
87
xy25
03- Solução. Calculando o produto encontramos um matriz do tipo (2 x 4) e sua transposta será tipo (4 x 2).
1227
119
1324
42
1211134
279242
1211134
279242
3412
6150.
23
15T
04- Solução. Calculando o produto A.B, temos
4b2a
2bab
b
b
4
a
8b2
ba
2
a.
2
bB.A
22
. O valor de C será a matriz
1010
105
22
21.5C . Igualando as matrizes elemento a elemento, vem:
3a6a210)1(4a210b4a2
1b2b2108b2
1010
105
8b2
baCB.A
22
4b2a
2bab
05- Solução. Simplificando o sistema antes de substituir as matrizes pelos valores expressamos o valor de X. Temos:
]B2A5[3
1XB2A5X3
B3A2YX
BA3YX2
. Calculando a expressão entre colchetes, vem:
32
63
22
42
50
105
11
212
10
215B2A5 . Essa matriz permite descobrir o valor da matriz X:
13/2
21
32
63.
3
1]B2A5[
3
1X .
Utilizando a 2ª equação do sistema, temos: B3A2XYB3A2YX . Substituindo os valores de X, A, e B,
vem:
23/7
42
33
63
20
42
13/2
21Y
06- a) -10 b) 4 . (10) = 40 c) 10
Solução. Aplicando as propriedades dos determinantes, temos:
a) Houve uma troca entre a 2ª coluna e a 1ª coluna. Logo o determinante é o mesmo com sinal trocado.
b) A 1ª linha foi quadruplicada, o mesmo ocorrendo com o determinante.
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c) A 1ª coluna foi substituída pela soma de seus elementos com a 2ª coluna multiplicada por 1. O determinante não se altera. (Observe que d.(a + b) – b.(c + d) = ad + db – bc – db = ad – bc = 10).
07- Solução. Calculando cada determinante e igualando-se os membros, resolve-se a equação. Em cada caso será
utilizado o método de Laplace.
a) A 1ª coluna possui um elemento nulo. Aplicando Laplace utilizando esta coluna e igualando ao resultado 2, temos:
2x
1x0)2x).(1x(02x3x04x6x224x6x26
2)2x3).(2()x3).(2(2x1
23).2(
3x
x1).2(2
3x2
x10
232
222
2
b) Aplicando Laplace na 1ª linha e igualando ao determinante 2 x 2 do 2º membro, temos:
.3x710x9x107x910x1216x216
7x9)10.(1)x34(4)x8).(2(7x913
42.1
23
x2).4(
21
x4).2(
97
1x
213
x42
142
FM/1207/BANCO DE QUESTOES/MATEMATICA/MATEMATICA - 2a SERIE - ENSINO MEDIO - 2a ETAPA - 2012 – CLAUDIO DIAS - PARTE 1 - MATRIZES E DETERMINANTES.DOC
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PROFESSOR: EQUIPE DE MATEMÁTICA
BANCO DE QUESTÕES - MATEMÁTICA - 2ª SÉRIE - ENSINO MÉDIO - PARTE 2
=============================================================================================
Matrizes e Determinantes
01- Um construtor tem contratos para construir 3 estilos de casa: moderno, mediterrâneo e colonial. A quantidade de
material empregada em cada tipo de casa é dada pela tabela:
Ferro Madeira Vidro Tinta Tijolo
Moderno 5 20 16 7 17
Mediterrâneo 7 18 12 9 21
Colonial 6 25 8 5 13
Suponha que os preços por unidade de ferro, madeira, vidro, tinta e tijolo sejam, respectivamente, 15, 8, 5, 1 e 10.
Qual é o preço unitário da casa tipo colonial?
02- Considere as matrizes A =
95
73 e B =
43
60. Sabendo-se que A + B
T =
y1
y2x6, determine os valores de
"x" e "y". 03- Seja a matriz M = (mij)2x3, tal que mij = j² - i².
a) Escreva M na forma matricial. b) Sendo M
t a matriz transposta de M, calcule o produto M.M
t .
04- Seja A.B = C, onde A =
4
a
2
b, B =
b2
abe C =
22
21.5 .
Determine o valor de "a" e "b".
05- Se
1
1
0
2A e
1
1
1
2B , calcule as matrizes X e Y no sistema:
B2AY2X3
BA2Y2X
06- Se det A = 1kdc
ba 2 , calcule:
a) cd
ab b)
d2c
b2a
c)
ddc
bba
07- Resolva as equações:
a) 16
440
x2x
613
b) 152
5x
4x0
12x
512
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Gabarito
01- Solução. O preço de cada tipo de casa é calculado pela soma dos preços dos materiais utilizados. Logo, o preço da
casa do tipo moderno por exemplo será a soma dos produtos do preço de cada material pelo número de unidades gastas. Esse procedimento vale para os outros casos e indica uma multiplicação de matrizes (3 x 5) . (5 x 1).
465
528
492
10
1
5
8
15
.
1358256
21912187
17716205
. Observando as respectivas linhas, vemos que serão gastos em cada casa:
Moderno = 492; Mediterrâneo = 528; Colonial = 465.
02- Solução. Se
46
30B
43
60B T
. Logo,
51
103
46
30
95
73BA T
. Igualando essa matriz a
matriz soma informada no problema, descobrimos as incógnitas. Comparando elemento a elemento, temos:
5y10y2
2/1x3x6
y1
y2x6
51
103
03- Solução. A matriz é (2 x 3), com 1 ≤ i ≤ 2; 1 ≤ j ≤ 3. Logo a matriz possui os elementos:
;321a
;011a
2221
2211
;022a
;312a
2222
2212
.523a
.813a
2223
2213
a) A matriz será:
503
830M
b) O produto de M pela sua transposta é:
3440
4073
58
03
30
.503
830M.M T
04- Solução. Calculando o produto A.B, temos
4b2a
2bab
b
b
4
a
8b2
ba
2
a.
2
bB.A
22
. O valor de C será a matriz
1010
105
22
21.5C . Igualando as matrizes elemento a elemento, vem:
3a6a210)1(4a210b4a2
1b2b2108b2
1010
105
8b2
baCB.A
22
4b2a
2bab
05- Solução. Simplificando o sistema antes de substituir as matrizes pelos valores expressamos o valor de X. Temos:
]BA3[4
1XBA3X4
B2AY2X3
BA2Y2X
. Calculando a expressão entre colchetes, vem:
41
84
11
21
30
63
11
21
10
21.3BA3 . Essa matriz permite descobrir o valor da matriz X:
14/1
21
41
84.
4
1]BA3[
4
1X .
Utilizando a 1ª equação do sistema, temos: ]BA2X.[2
1YBA2Y2X . Substituindo os valores de X, A, e
B, vem:
08/5
00
04/5
00.
2
1
11
21
20
42
14/1
21.
2
1Y
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06- a) - (k
2 + 1) = – k
2 – 1 b) (-2). (k
2 + 1) = – 2k
2 – 2 c) k
2 + 1
Solução. Aplicando as propriedades dos determinantes, temos:
a) Houve uma troca entre a 2ª coluna e a 1ª coluna. Logo o determinante é o mesmo com sinal trocado.
b) A 2ª coluna foi multiplicada por (- 2), o mesmo ocorrendo com o determinante.
c) A 1ª coluna foi substituída pela soma de seus elementos com a 2ª coluna multiplicada por 1. O determinante não se altera. (Observe que d.(a + b) – b.(c + d) = ad + db – bc – db = ad – bc = k
2 + 1).
07- Solução. Calculando cada determinante e igualando-se os membros, resolve-se a equação. Em cada caso será utilizado o método de Laplace.
a) A 1ª coluna possui um elemento nulo. Aplicando Laplace utilizando esta coluna e igualando ao resultado 16, temos:
1x12x12164x121620x1224
16)244).(x()x48).(3(1644
61).x(
44
x2).3(16
440
x2x
613
b) Aplicando Laplace na 1ª coluna e igualando ao determinante 2 x 2 do 2º membro, temos:
5
2
10
4
10
1713x
310
30
10
1713x
10
28913
10
12016913
)5(2
)6)(5(4)13()13(x
06x13x51016x15x5x210x15x5x4x216
10x15)x54)(x()x8).(2(10x154x
51).x(
4x
12).2(
152
5x
4x0
12x
512
2
222
FM/1207/BANCO DE QUESTOES/MATEMATICA/MATEMATICA - 2a SERIE - ENSINO MEDIO - 2a ETAPA - 2012 – CLAUDIO DIAS - PARTE 2 - MATRIZES E DETERMINANTES.DOC
Página 1 de 2- 03/08/12 - 07:41
PROFESSOR: EQUIPE DE MATEMÁTICA
BANCO DE QUESTÕES - MATEMÁTICA - 2ª SÉRIE - ENSINO MÉDIO - PARTE 3
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Matrizes e Determinantes
01- Três barracas de frutas, B1, B2 e B3, são propriedades de uma mesma empresa. Suas vendas são controladas por meio
de uma matriz, representada a seguir, na qual cada elemento bij representa a soma dos valores arrecadados pelas barracas Bi e Bj, em milhares de reais, ao final de um determinado dia de feira:
z0,20,3
0,2y8,1
0,38,1x
Calcule, para esse dia, o valor, em reais, arrecadado a mais pela barraca B3 em relação à barraca B2.
02- Dadas as matrizes A e B mostradas abaixo, determine a matriz X que satisfaz à seguinte equação matricial:
3X + 5A = 2B.
03- Sendo as matrizes A = (aij) 2x3,tal que aij = 2i - 3j, B= (bij) 3x2 , tal que bij = i – j e C = A.B, calcule o valor de 2c12 + c21.
04- Determine o valor de "x" sabendo que y
542
223
212
e y27x
13 .
Gabarito
01- Solução. De acordo com as informações do problema, temos:
a) B1 + B2 = b12; B1 + B3 = b13; B2 + B3 = b23
b) Os valores das diagonais valem somas de valores de uma mesma barraca.
Como os valores pedidos referem-se a B1 e B2, montamos o sistema.
120018003000BB3000BB
1800BB
3000BB
)1(1800BB23
31
21
31
21
A diferença mostra que B3 arrecadou 1200 reais a mais que a barraca B2. 02- Solução. Isolando o termo em "X" e multiplicando cada Matriz pelo escalar correspondente, temos:
107
36
1012
86
05
50
56
43.2
01
10.5X3B2A5X3 .
Para calcular o valor de X, multiplicamos cada elemento da matriz por 3
1.
Logo,
3
10
3
712
107
36.
3
1X .
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03- Solução. Construindo as matrizes, temos:
a) Matriz A:
594)3(3)2(2a
264)2(3)2(2a
134)1(3)2(2a
792)3(3)1(2a
462)2(3)1(2a
132)1(3)1(2a
23
22
21
13
12
11
521
741 b) Matriz B:
123b
213b
022b
112b
121b
011b
32
31
22
21
12
11
12
01
10
Não é necessário efetuar toda a multiplicação das matrizes. Basta calcular os elementos c12 e c21.
24121212)6.(2cc.2121020)2).(5()1).(2()0).(1(c
6701)1).(7()0).(4()1).(1(c2112
21
12
04- Solução. Calculando o determinante por Laplace da matriz 3x3 pela 1ª linha, temos:
15321136)16).(2()11).(1()18).(2(42
23).2(
52
23).1(
54
22).2(
Logo, y = 15 e 2y = 30. Igualando esse valor ao determinante da 2ª matriz, vem:
-9x21-30-x30x-21y27x
13 .
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Página 1 de 2- 03/08/12 - 07:42
PROFESSOR: EQUIPE DE MATEMÁTICA
BANCO DE QUESTÕES - MATEMÁTICA - 2ª SÉRIE - ENSINO MÉDIO - PARTE 4
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Matrizes e Determinantes
01- Uma nutricionista recomendou aos atletas de um time de futebol a ingestão de uma quantidade mínima de certos
alimentos (frutas, leites e cereais) necessária para uma alimentação sadia.
A matriz D fornece a quantidade diária mínima (em gramas) daqueles alimentos:
600
300
200
D
cereais
leite
f ruta
.
A matriz M mostra as quantidades (em gramas) de proteínas, gorduras e carboidratos fornecidos por cada grama ingerida dos alimentos citados:
Escreva a matriz que mostra a quantidade diária mínima (em gramas) de proteínas, gorduras e carboidratos fornecida pela ingestão daqueles alimentos.
02- Uma matriz é dita singular quando seu determinante é nulo. Determine, então, os valores de c que tornam singular a matriz:
03- Sabendo-se que a matriz mostrada na figura adiante é igual à sua transposta, determine o valor de x + 2y.
04- Determine o valor de "a" sabendo-se que A2 = C, onde A =
a
a
1a
1ae C =
1724
a417.
Gabarito
01- Solução. A matriz pedida é o produto entre as matrizes M e D.
411
5,21
9,75
600631,0300052,0200084,0
600018,0300035,0200001,0
600108,0300033,0200006,0
600
300
200
.
631,0052,0084,0
018,0035,0001,0
108,0033,0006,0
.DM
cereaisleitef ruta
631,0052,0084,0
018,0035,0001,0
108,0033,0006,0
M
oscarboidrat
gorduras
proteínas
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02- Solução. Para encontrar o valor de "c" é necessário encontrar o determinante. Aplicando a Regra de Laplace para 1ª linha, temos:
)9c.(1)c3.(1)c27.(1c1
91.1
31
c1.1
3c
c9.1
3c1
c91
1112
Desenvolvendo a expressão e igualando a zero, vem:
3c
5c0)3c).(5c(015c2c015c2c09cc3c27 222
Logo, a matriz será singular se c = 5 ou c = -3. 03- Solução. Igualando a matriz á sua transposta, vem:
0x3y2
21yx
1495
0211
x3y49
y2x52
2
Comparando elemento a elemento, temos:
1y1y2
7x49x2
. Para decidir que valor de "x" satisfaz as igualdades
observamos os elementos a32 das matrizes: 7xx321 .
Logo, x = -7 e y = 1. O valor procurado é: x + 2y = (-7) + 2(1) = - 5. 04- Solução. Calculando A
2, temos:
1aa2a2
a2a21a
1a
1a.
1a
1aA.AA
22
222
2
2
a
a
a
a
a
a.
Igualando a C e calculando "a", vem:
3a
0a0)3a.(a0a3aa4a2a2
1724
)a417
1aa2a2
a2a21a 22
22
22
2
2
a
a
Para decidir que valor de "a" deve ser considerado, observamos que:
24618)3(2)3(2
0)0(2)0(2a2a2
2
22
. Logo, o valor será a = 3.
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Página 1 de 3- 03/08/12 - 07:42
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BANCO DE QUESTÕES - MATEMÁTICA - 2ª SÉRIE - ENSINO MÉDIO - PARTE 5
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Matrizes e Determinantes
01-
a) Determine o valor de m para que a matriz A seja invertível (ou inversível):
21
8mA
b) Determine, caso exista, a inversa da matriz A dada a seguir:
13
46A
02- Sabendo que o determinante da matriz
dc
baA vale – 4, calcule o valor de
d5b5
c4a4 .
03- Determine para que valores de m e n a representação gráfica (no plano cartesiano) das equações do sistema linear de
incógnitas x e y é um par de retas coincidentes, ou seja, representa um sistema possível e indeterminado.
6y3x)m2(
n3y6x2
04- Um comerciante deseja totalizar a quantia de R$500,00 utilizando cédulas de um, cinco e dez reais, num total de 92
cédulas, de modo que as quantidades de cédulas de um e de dez reais sejam iguais.
Neste caso, qual a quantidade de cédulas de cinco reais que o comerciante precisará?
05- Resolva o sistema de equações lineares:
2zy2x
1zy3x2
7z2yx3
Gabarito
01- a) Solução. Para que a matriz seja invertível, o determinante deverá ser diferente de zero.
4m8m20)8(m221
8m0Adet
b) Solução. O determinante de A vale 6 – (12) = – 6 ≠ 0. Logo, possui inversa. Temos:
12/1
3/26/1A
3/26/4bd4b6
1d2d2
2d2b6
0d4b6
)2(1db3
0d4b6
2/1)6/1(3a3c
6/1a1a6
0c4a12
1c4a6
)4(0ca3
1c4a6
10
01
dc
ba.
13
46
1
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02- Solução. O determinante a ser calculado é o da matriz A com as seguintes alterações:
a) Houve uma transposição da matriz, não alterando o determinante: det A = det A-1
.
b) Houve uma multiplicação de uma linha por (– 4) e de outra por (5). Logo o determinante da matriz original ficará multiplicado por (- 4).(5) = - 20. Logo,
80)20).(4(d5b5
c4a4
03- Solução. No caso deste sistema a análise pedida é: SPI6
n3
3
6
m2
2
4n36n96
n3
3
6
1m6m66m6123
6
m2
2
6
n3
3
6
m2
2. Logo, m = 1 e n = 4.
04- Solução. Sejam “x”, “y” e “z” respectivamente as quantidades de cédulas de R$1,00; R$5,00 e R$10,00. Lembrando que
x = z, monta-se o sistema
500y5x11
92yx2
500z10y5x
92zyx.
Escalonando,
12y
92yx2
L.2L.11500y5x11
92yx2
21
.
Logo são necessárias 12 cédulas de R$5,00. 05- Solução. Escalonando, temos:
3z18z6
17zy7
7z2yx3
LL1z5y7
17zy7
7z2yx3
L3L
L3L2
2zy2x
1zy3x2
7z2yx3
3231
21
1x69x3)3(2)2(7x3
2y14y7317y7. S = {1, 2, 3}
FM/1207/BANCO DE QUESTOES/MATEMATICA/MATEMATICA - 2a SERIE - ENSINO MEDIO - 2a ETAPA - 2012 – CLAUDIO DIAS - PARTE 5 - MATRIZES E DETERMINANTES.DOC
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PROFESSOR: EQUIPE DE MATEMÁTICA
BANCO DE QUESTÕES - MATEMÁTICA - 2ª SÉRIE - ENSINO MÉDIO - PARTE 6
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Matrizes e Determinantes
01- Determine, caso exista, a inversa da matriz A dada a seguir.
13
31A
02- Sejam A e B matrizes 3 × 3 tais que det A = 3 e det B = 4.
Calcule, então:
a) det(A × 2B). b) det B-1
+ det At.
03- O sistema linear
0zyx
0zyx
0z2ayx
admite solução não-trivial.
Determine, então, o valor de a.
04- Uma pessoa consumiu na segunda-feira, no café da manhã, 1 pedaço de bolo e 3 pãezinhos, o que deu um total de
140 gramas. Na terça-feira, no café da manhã, consumiu 3 pedaços de bolo e 2 pãezinhos (iguais aos do dia anterior e de mesma massa, respectivamente), totalizando 210 gramas. A tabela seguinte fornece, aproximadamente, a quantidade de energia em quilocalorias (kcal) contida em cada 100 gramas do bolo e do pãozinho.
Alimento Energia
100g de bolo 420 kcal
100g de pãozinho 270 kcal
Após determinar a quantidade em gramas de cada pedaço de bolo e de cada pãozinho, use a tabela e calcule o total de quilocalorias (kcal) consumido pela pessoa, com esses dois alimentos, no café da manhã de segunda-feira.
Gabarito
01- Solução. Uma matriz possui inversa se o determinante for diferente de zero.
i) 04313.3)1)(1(13
31Adet
. Logo possui inversa. Seja
dc
baA 1 .
ii)
4/3b
4/1d1dd31d)d.3.(3
1db.3
0d.3b
4/3c
4/1a1a3a1)a.3.(3a
0ca.3
1c.3a
10
01A.A 1 .
Logo,
4/14/3
4/34/1A 1 .
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02- a) Solução. Pelo teorema de Binet, det (A . B) = det (A) . det (B). A matriz 2B é a matriz onde cada linha foi multiplicada por 2. Logo, det (2B) = (2) . (2) . (2) . det (B) = 8 . (-3) = - 24. Utilizando esse resultado e aplicando o teorema de Binet, temos que: det (A x 2B) = det (A) x det (2B) = (4) . (- 24) = - 96.
b) Solução. Aplicando as propriedades dos determinantes para esses casos, temos:
i) 4
1
Bdet
1Bdet 1 ii) 3AdetAdet T
Logo, 4
11
4
1213
4
1AdetBdet T1
.
03- Solução. A solução trivial é (0, 0, 0). Ela será única se o determinante da matriz dos coeficientes for diferente de zero. Como o sistema admite solução diferente da trivial, então o determinante será nulo.
2a04a20)11(2)11(a)11(10
111
111
2a1
Adet
OBS: As soluções não triviais são da forma (0, t, -t). 04- Solução. Seja "x" a massa em gramas de cada pedaço de bolo e "y", a de cada pãozinho. O sistema que representa o
consumo segunda e terça é:
g50)30(3140x
g30y210y7
210y2x3
420y9x3
210y2x3
)3(140y3x
Observando a tabela temos:
i) Se 100g de bolo possui 420 kcal, então 1 pedaço de bolo com 50g representa metade. Isto é, 120 kcal.
ii) Se 100g de pãozinho possui 270 kcal e foram consumidos 3, então 3(30g) = 90g equivalem a 243 kcal.
Logo, total consumido de quilocalorias segunda-feira foi 120 + 243 = 363 kcal.
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