UNIVERSIDADE DE SAO PAULO
ESCOLA DE ENGENHARIA DE SAO CARLOS
DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA MECANICA
PROGRAMA COMPUTACIONAL PARA ANALISE E DIMENSIONAMENTO DE
LAMINADOS EM MATERIAIS COMPOSITOS POLIMERICOS REFORCADOS
IMPLEMENTADO EM MATLAB
Gustavo Miranda Guimaraes
Trabalho de Conclusao de Curso apresentado a
Escola de Engenharia de Sao Carlos da
Universidade de Sao Paulo, como requisito para
conclusao do curso de graduacao em Engenharia
Mecanica.
Area de concentracao: Projeto Mecanico
Orientador: Jonas de Carvalho
Sao Carlos, SP
2011
i
Resumo
GUIMARAES, G. M. (2011). Programa computacional para analise de materiais compositos polimericos
reforcados implementado em MATLAB. Trabalho de Conclusao de Curso - Escola de Engenharia de Sao
Carlos, Universidade de Sao Paulo, Sao Carlos, 2011.
Este trabalho tem como objetivo a implementacao de um programa computacional para analise e di-
mensionamento de laminados em materiais compositos polimericos reforcados e sua aplicacao em um
estudo de caso. O programa consiste em uma rotina de calculo baseada na teoria classica dos laminados,
um banco de dados de propriedades de diversos materiais e criterios de falha. Foram implementados
os criterios de falha de maxima tensao, maxima deformacao, Tsai-Hill, Tsai-Wu e Hashin. O programa
foi desenvolvimento em MATLAB. O projeto de uma quilha para um barco a vela e apresentado, para
exemplificar a aplicacao do programa e o uso do acoplamento flexao-torcao.
Palavras chaves: Compositos, Teoria dos Laminados, MATLAB, Quilha.
ii
Abstract
GUIMARAES, G. M. (2011). Programa computacional para analise de materiais compositos polimericos
reforcados implementado em MATLAB. Trabalho de Conclusao de Curso - Escola de Engenharia de Sao
Carlos, Universidade de Sao Paulo, Sao Carlos, 2011.
The objetive of this work is to implement a computer program for design and analysis of fiber rein-
forced composites and use it in a case study. The program consists of a calculation rotine based on
the classical lamination theory, a material property database and failure criteria. The failure criteria
implemented were the maximum stress criterion, maximum strain, Tsai-Hill, Tsai-Wu and Hashin. The
program was developed in MATLAB. A keel blade design is presented, which served as an example for
both the computer program and to show the bending-torsion coupling.
Keywords: Fiber Composites, Laminate Theory, MATLAB, Keel Blade.
iii
Agradecimentos
Em primeiro gostaria de agradecer a famılia por todo o apoio sem o qual nao seria possıvel a conclusao
desta graduacao.
Ao Prof. Dr. Jonas de Carvalho pela orientacao e motivacao em todo o processo de estudo aplicado
ao trabalho.
Ao Prof. Dan Zenkert pelo apoio durante a disciplina e pelos exemplos usados nesse trabalho.
Ao meu amigo Lakshminarayanan Ramamoorthy pela parceria na disciplina.
A Comissao Europeia pela bolsa de estudos concedida para o intercambio pelo programa Erasmus Mundus
External Cooperation Window.
iv
Lista de Figuras
1 Materiais no Boeing 787 Dreamliner [1] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
2 Rotacao de coordenadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
3 Convencao para os carregamentos no laminado. Adaptado de [2] . . . . . . . . . . . . . . 5
4 Deformacoes e tensoes correspondentes com um carregamento Nx. Adaptado de [2] . . . . 5
5 Coordenadas das lamina no laminado. Adaptado de [2] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
6 Deformacoes e tensoes correspondentes com um carregamento Mx. Adaptado de [2] . . . 6
7 Envelope de falha para maxima tensao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
8 Envelope de falha para maxima deformacao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
9 Envelope de falha para Tsai-Hill . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
10 Envelope de falha para Tsai Wu com diferentes valores de F ∗12 . . . . . . . . . . . . . . . . 13
11 Envelope de falha para Hashin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
12 Algoritmo do programa de calculo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
13 Exemplo de um barco a vela com uma quilha . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
14 Geometria e carregamentos. Adaptado de [2] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
15 Momento fletor e torsor em funcao da coordenada x . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
16 Deflexao da quilha para diversos materiais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
17 Torcao da quilha para diversos materiais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
18 Termo de acoplamento torcao-flexao para diversos angulos . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
19 Deflexao da quilha em funcao do angulo do laminado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
20 Torcao da quilha em funcao do angulo do laminado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
21 Deflexao e torcao em funcao da variacao da espessura e angulo da lamina . . . . . . . . . 24
22 Hidrofolio e secao vazada equivalente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
23 Deflexao e torcao em funcao da variacaoo da espessura e angulo para a secao vazada . . . 26
24 Espessura otima em funcao da coordenada x . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
25 Angulo otimo em funcao da coordenada x . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
26 Exemplo do programa de otimizacao de placas tipo sanduıche . . . . . . . . . . . . . . . . 28
v
Lista de Tabelas
1 Possıveis modos de falha para diversos carregamentos. Adaptado de [2] . . . . . . . . . . 8
2 Propriedades mecanicas para o composito carbono (AS4/3501-6) [4] . . . . . . . . . . . . 8
3 Tesoes e deformacoes na juncao quilha-casco para θ = 30 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
4 Tesoes e deformacoes para X=1170 e θ = 30 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
vi
Sumario
Resumo i
Abstract ii
Agradecimento iii
1 Introducao e Objetivos 1
1.1 Introducao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2 Objetivos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
2 Revisao Bibliografica 2
2.1 Analise de Tensoes em Laminados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
2.2 Criterios de Falha . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
3 Metodologia 15
4 Projeto da Quilha 19
4.1 Descricao do problema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
4.2 Calculo de flexao e torcao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
4.3 Selecao do material . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
4.4 Projeto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
4.5 Sugestoes de melhorias no projeto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
5 Conclusoes e Sugestoes 29
A Programa Principal Main.m 31
B Banco de Dados data.m 38
C Funcao para o calculo da matriz de rigidez local e global q.m 39
D Funcao para o calculo da matriz de rigidez local ql.m 40
E Funcao para o calculo da matriz de transformacao T.m 41
1
1 Introducao e Objetivos
1.1 Introducao
Compositos tem sido introduzidos em diversas aplicacoes com inumeras vantagens como reducao de peso,
menor probabilidade por fadiga e corrosao e um potencial maior de integracao estrutural. A industria
aeronautica tem sido pioneira na utilizacao desses materiais. Projetos recentes tem mostrado como a utili-
zacao de materiais compositos. Dois exemplo sao as aeronaves Boeing 787 Dreamliner e Airbus A380. No
Dreamliner, o uso de material composito chega a 50% do peso total, um aumento significativo em relacao
ao Boeing 777 que possui 9% do peso em compositos. A figura 1 mostra a distribuicao de materiais no
Dreamliner.
Figura 1: Materiais no Boeing 787 Dreamliner [1]
Por mais que os compositos apresentam diversas vantagens, seu uso ainda nao e generalizado por di-
versos motivos [2], entre eles a falta de conhecimento de projeto, falta de dados confiaveis, propriedades
altamente dependentes do processo de manufatura, comportamento anisotropico.
1.2 Objetivos
O objetivo desse trabalho e a apresentacao de um programa computacional para analise e dimensiona-
mento de laminados em materiais compositos polimericos reforcados. O calculo de tensoes e baseado na
teoria classica dos laminados de Kirchhoff. Os criterios de falha utilizados foram os de maxima tensao,
maxima deformacao, Tsai-Hill, Tsai-Wu e Hashin. O projeto de uma quilha para um barco a vela e
apresentado, para exemplificar a aplicacao do programa e o uso do acoplamento flexao-torcao.
2
2 Revisao Bibliografica
2.1 Analise de Tensoes em Laminados
2.1.1 Lei de Hooke generalizada
A lei de Hooke, de forma generalizada, pode ser expressa pelo seguinte equacionamento [2]:
σij = Cijklεkl ou ε = Sijklσkl i,j,k,l=1,2,3 (2.1)
Onde C e o tensor de rigidez e S o tensor de flexibilidade. Em notacao vetorial, os tensores de tensao e
deformacao podem ser escritos como:
σ = [σ11, σ22, σ33, σ23, σ31, σ12]t ≡ [σ1, σ2, σ3, σ4, σ5, σ6]t ≡ [σ1, σ2, σ3, τ23, τ31, τ12]t
ε = [ε11, ε22, ε33, 2ε23, 2ε31, 2ε12]t ≡ [ε1, ε2, ε3, ε4, ε5, ε6]t ≡ [ε1, ε2, ε3, γ23, γ31, γ12]t (2.2)
De forma que a lei de Hooke generalizada pode ser expressa por
σ = Cε ou ε = Sσ (2.3)
Onde C e a matriz de rigidez e S a matriz de flexibilidade. A forma generalizada de C e dada por:
C =
C11 C12 C13 C14 C15 C16
C21 C22 C23 C24 C25 C26
C31 C32 C33 C34 C35 C36
C41 C42 C43 C44 C45 C46
C51 C52 C53 C54 C55 C56
C61 C62 C63 C64 C65 C66
(2.4)
As tensoes, deformacoes, matrizes de rigidez e flexibilidade estao em coordenadas locais (1,2,3 ou x′1, x′2, x′3).
Essas coordenadas podem e sao frequentemente mudadas para coordenadas globais (x,y,z ou x1, x2, x3).
No caso de compositos, essa mudanca de coordenada e feita como rotacao no eixo z ou x3, conforme a
figura 2 e a equacao 2.5.
Figura 2: Rotacao de coordenadas
x′1
x′2
x′3
=
cos θ sin θ 0
− sin θ cos θ 0
0 0 1
x1
x2
x3
=
c s 0
-s c 0
0 0 1
x1
x2
x3
(2.5)
3
A mudanca de coordenadas das deformacoes como rotacao no eixo eixo z ou x3 e dada por:
ε11
ε22
ε33
γ23
γ13
γ12
=
c2 s2 0 0 0 sc
s2 c2 0 0 0 −sc
0 0 1 0 0 0
0 0 0 c −s 0
0 0 0 s c 0
−2sc 2sc 0 0 0 c2 − s2
εxx
εyy
εzz
γyz
γxz
γxy
ou εl = T tε (2.6)
No caso da mudanca de coordenadas das tensoes, temos:
σ11
σ22
σ33
τ23
τ13
τ12
=
c2 s2 0 0 0 2sc
s2 c2 0 0 0 −2sc
0 0 1 0 0 0
0 0 0 c −s 0
0 0 0 s c 0
−2sc sc 0 0 0 c2 − s2
σxx
σyy
σzz
τyz
τxz
τxy
ou σl = T−1σ (2.7)
Unindo as equacoes 2.6, 2.7 e 2.3, podemos equacionar a rotacao da matriz de rigidez:
Cl = T−1C(T t)−1
ou C = TClTt
Sl = T tST ou S = (T−1)tSlT−1 (2.8)
Um material anisotropico possui 21 coeficientes independentes do 36 na matriz de rigidez C. Isso
se deve aos dois pontos abaixo:
� O tensores de tensao e deformacao sao simetricos, isto e, σij = σji e εkl = εlk. Isso implica que o
tensor de rigidez e da seguinte forma: Cijkl = Cjikl e Cijkl = Cijlk.
� Se o material for elastico, existe uma funcao de energia de deformacao W tal que
dW = σijεij = Cjiklεkldεij
Que implica qued2W
dεijdεkl= Cijkl e indiferente em relacao a ordem de diferenciacao⇒ Cijkl = Cklij
Caso o material tenha um plano de simetria, o numero de coeficientes independentes na matriz de rigi-
dez C e 13. Esse tipo de material e chamado de material monoclınico. Um material com tres planos
ortogonais de simetria e chamado de material ortotropico. Neste caso, somente 9 coeficientes de C sao
independentes. A matrix de flexibilidade S para um laminado ortotropico e representado por:
S =
1/E1 −ν21/E2 −ν31/E3 0 0 0
−ν12/E1 1/E2 −ν32/E3 0 0 0
−ν13/E1 −ν23/E2 1/E3 0 0 0
0 0 0 1/G23 0 0
0 0 0 0 1/G31 0
0 0 0 0 0 1/G12
(2.9)
4
Se, dada a rotacao por um angulo arbitrario em um dos eixos(ex:eixo 3), as propriedades no plano orto-
gonal (ex:plano 1-2) sao independentes do angulo, esse material e dito transversalmente isotropico, com
5 coeficientes independentes. Por fim, caso o material tenha a mesmas propriedades independentemente
da direcao, esse material e isotropico, caracterizado por dois coeficientes independentes.
2.1.2 Lamina
A lamina e definida como uma fina camada, que no caso de analise de compositos reforcados por fibras,
ortotropica. Dado que a espessura da lamina e bem menor que as outras dimensoes, e possıvel assumir
estado plano de tensoes, isto e, σ3 = τ23 = τ31. Com essas hipoteses, a lei de Hooke se resume a:
ε1
ε2
γ12
=
1/E1 −ν21/E2 0
−ν12/E1 1/E2 0
0 0 1/G12
σ1
σ2
τ12
ou εl = Slσl (2.10)
Que tambem pode ser equacionada por:
σ1
σ2
τ12
=1
1− ν12ν21
E1 ν21E2 0
ν12E1 E2 0
0 0 G12
ε1
ε2
γ12
ou σl = Qlεl (2.11)
A matriz Ql e chamada a matriz de rigidez da lamina nas coordenadas locais. Da mesma forma que as
tensoes, deformacoes e matrizes de rigidez e flexibilidade foram transformadas nas equacoes 2.6, 2.7 e 2.8,
as matrizes Ql, Sl, tensoes e deformacoes tambem podem ser transformadas, por exemplo:
σx
σy
τxy
=
c2 s2 2sc
s2 c2 −2sc
−2sc sc c2 − s2
σ1
σ2
τ12
ou σ = Tσl
2.1.3 Laminado
Um laminado e um empilhamento de laminas formando uma placa. A diferente da lamina, o laminado
possui uma espessura finita de tal forma que tenha rigidez a flexao [2]. O laminado sera analisado
utilizando a Teoria Classica dos Laminados, considerando a seguintes hipoteses [2, 3]:
� Todas as laminas sao macroscopicamente homogeneas e ortotropicas
� Considera-se a adeao perfeita entre as laminas, garantindo assim a continuidade de deslocamentos
� O laminado possui espessura pequena comparada com as dimensoes laterais e essta sob estado plano
de tensoes
� Nao ocorre deslizamento relativo entre as laminas
5
� Hipotese de Kirchhoff: Uma linha originalmente perpendicular ao plano medio continua perpendi-
cular apos a deformacao.
Assim, de forma generalizada:
ε = ε0 + zκ sendo ε = [εx0, εy0, γxy0]t
e κ = [κx, κy, κxy]t
(2.12)
Onde ε e a deformacao no plano medio e κ a curvatura. Dada a convencao para os carregamentos na
figura 3, temos que:
N = [Nx, Ny, Nxy]t
M = [Mx, My, Mxy]t
(2.13)
Figura 3: Convencao para os carregamentos no laminado. Adaptado de [2]
Se uma forca normal Nx for aplicada no laminado, a deformacao sera constante mas ja que a
rigidez na direcao global e diferente para cada lamina, a tensao ira variar de forma incremental, assim
como mostra a figura 4.
Figura 4: Deformacoes e tensoes correspondentes com um carregamento Nx. Adaptado de [2]
O plano de referencia sera transferido para o plano medio do laminado, de acordo com a figura 5.
Cada lamina sera localizada entre dua posicoes zi−1 e zi. A lamina superior possui a primeira coordenada
z = −h/2 e a lamina inferior a ultima coordenada z = h/2.
6
Figura 5: Coordenadas das lamina no laminado. Adaptado de [2]
Usando as coordenadas definidas na figura 5, temos que a tensao media na direcao x no laminado
e:
σx =1
h
h/2∫−h/2
σx dz e a forca na direcao x e Nx =
h/2∫−h/2
σx dz
De forma geral:
N =
h/2∫−h/2
σ dz
Para um laminado carregado com um momento fletor, a situacao e similar, exceto que a deformacao varia
linearmente com a coordenada z, assim como na figura 6.
Figura 6: Deformacoes e tensoes correspondentes com um carregamento Mx. Adaptado de [2]
O momento, de forma geral, e dado por:
M =
h/2∫−h/2
σz dz
O laminado e composto de n laminas com espessuras hi. E possıvel equacionar os carregamentos em
funcao da tensao em cada lamina:
N =
n∑i=1
zi∫zi−1
σi dz e M =
n∑i=1
zi∫zi−1
σiz dz (2.14)
7
Onde σi = [σxi σyi τxyi]. Combinando as equacoes 2.11 e 2.14:
N =
n∑i=1
zi∫zi−1
σi dz =
n∑i=1
Qi
zi∫zi−1
εi dz =
n∑i=1
Qi
zi∫zi−1
(ε0 + zκ) dz
M =
n∑i=1
zi∫zi−1
σiz dz =
n∑i=1
Qi
zi∫zi−1
εiz dz =
n∑i=1
Qi
zi∫zi−1
z (ε0 + zκ) dz
Onde Qi e a matriz de rigidez da lamina i transformada para as coordenadas globais (x,y,z). Em forma
matricial: NM
=
n∑i=1
zi∫zi−1
Qi Qiz
Qiz Qiz2
ε0κ
dz =
n∑i=1
Qi
zi∫zi−1
I Iz
Iz Iz2
dz ·
ε0κ
(2.15)
Onde I e uma matriz identidade de ordem 3. Uma simplificacao e a forma mais usual de se represetar 2.15
e: NM
A B
B D
ε0κ
(2.16)
Tal que
[A, B, D] =
n∑i=1
Qi
[(zi − zi−1),
1
2(z2i − z2i−1),
1
3(z3i − z3i−1)
]A matrix A e a matriz de rigidez extensional, B a matriz de acoplamento e D a matriz de rigidez de
flexao. Reescrevendo de forma expandida a equacao 2.16:
Nx
Ny
Nxy
Mx
My
Mxy
=
A11 A12 A16 B11 B12 B16
A12 A22 A26 B12 B22 B26
A16 A26 A66 B16 B26 B66
B11 B12 B16 D11 D12 D16
B12 B22 B26 D12 D22 D26
B16 B26 B66 D16 D26 D66
εx0
εx0
γxy0
κx
κy
κxy
(2.17)
Na equacao 2.17 e possıvel ver efeitos peculiares nos compositos, em que cargas normais N podem gerar
curvaturas κ devido a matriz B, momentos fletores causarem torcoes (D16 e D26), entre outros. Esses
termos sao chamados termos de acoplamento e serao usados a favor do projeto no estudo de caso da
quilha.
2.2 Criterios de Falha
2.2.1 Introducao
Assim como a rigidez, a resistencia de um laminado e altamente dependente da direcao do carregamento
em relacao as coordenadas do material. A diferenca de resistencia em cada direcao pode ser de algumas
ordens de grandeza. Por exemplo, no material da tabela 2, a relacao entre a resistencia a tracao longi-
tudinal e transversal e de aproximadamente 14 vezes. A dificuldade de e calcular a resistencia de uma
lamina, e consequentemente de uma laminado, se deve ao grande numero de modos de falhas possıveis
para materiais compositos. Alguns exemplo desses modos de falhas sao apresentados na tabela 1. Para
8
prever a resistencia da lamina, alguns criterios de falha sao propostos. Esse criterios podem ser divididos
por criterios interativos e nao interativos, isto e, consideram ou nao a interacao entre os componentes de
tensao ou deformacao [3]. A seguir sao apresentados alguns desses criterios.
Tabela 1: Possıveis modos de falha para diversos carregamentos. Adaptado de [2]
Carregamento Possıvel Modo de Falha
σ1t Tracao Longitudinal Fratura fragil das fibras
Desprendimento de fibras(Pullout) [3]
σ1c Compressao Longitudinal Microflambagem
Falha na interface fibra-matriz
σ2t Tracao Transversal Falha por tracao da matriz
Falha na interface fibra-matriz
σ2c Compressao Transversal Falha por compressao da matriz
Cisalhamento da interface
ˆτ12 Cisalhamento Falha por cisalhamento da matriz
Falha por cisalhamento da interface
Tabela 2: Propriedades mecanicas para o composito carbono (AS4/3501-6) [4]
AS4/3501-6
E1[GPa] 142.04
E2[GPa] 10.34
G12[GPa] 7.17
ν12 0.27
σ1t[MPa] 2275
σ1c[MPa] 1441
σ2t[MPa] 57.23
σ2c[MPa] 227.54
τ12[MPa] 68
ε1t 0,0015
ε1t 0,0083
ε1t 0,005
ε1t 0,021
γ12 0,030
9
2.2.2 Maxima Tensao
O criterio de falha de maxima tensao diz que a tensao em cada direcao principal deve ser menor do que
a resistencia nessa mesma direcao, caso contrario a falha ocorrera. Equacionando, temos:
−σ1c < σ1 < σ1t
−σ2c < σ2 < σ2t
|τ12| < τ12 (2.18)
Cada componente de tensao e independente, sendo entao um criterio nao interativo. A figura 7 mostra
um exemplo deste criterio, no plano σ1 − σ2 para o material da tabela 2. Nota-se que o envelope de
falha definido pelo criterio e um paralelogramo [3] cujo centro geometrico nao coincide com a origem. A
extensao na direcao σ1 se deve a resistencia elevada nesta direcao.
Figura 7: Envelope de falha para maxima tensao
2.2.3 Maxima Deformacao
De forma analoga ao criterio de maxima tensao, o criterio de maxima deformacao diz que deformacao em
cada direcao principal deve ser menor do que a deformacao limite nessa mesma direcao, caso contrario a
falha ocorrera. Equacionando, temos:
−ε1c < ε1 < ε1t
−ε2c < ε2 < ε2t
|γ12| < γ12 (2.19)
Assim como o criterio de maxima tensao, o criterio de maxima deformacao tambem e um criterio nao
interativo. A figura 8 mostra o envelope de falha deste criterio no plano σ1 − σ2. Os criterios de ma-
xima tensao e maxima deformacao serao iguais desde que a relacao tensao-deformacao seja linear ate a
10
falha para todos os modos de falha. A relacao de linearidade usualmente nao ocorre e para a maioria dos
casos o criterio de maxima deformacao apresenta uma melhor correlacao com os dados experimentais [3].
Figura 8: Envelope de falha para maxima deformacao
2.2.4 Tsai-Hill
Os criterios anteriores de maxima tensao e deformacao possuem a desvantagem de nao levar em consi-
deracao a interacao entre carregamentos. Os criterios de Tsai-Hill e Tsai-Wu foram desenvolvidos como
uma tentativa para levar essa interacao em conta.
Existem diversos criterios baseado na energia de distorcao, por exemplo o criterio de von Mises, em que
a deformacao plastica inicia em um material isotropico quando a equacao abaixo for satisfeita.
1
σ2s
{1
2(σx − σy)2 +
1
2(σy − σz)2 +
1
2(σz − σx)2 + 3τ2yz + 3τ2xz + 3τ2xf
}= 1
Hill sugeriu que o criterio de von Mises poderia ser generalizado para materiais anisotropicos acrescen-
tando os parametros F, G, H, L, M e N. Substituindo x, y, z pelos eixos principais 1, 2, 3, o criterio de
Hill e dado por:
H(σ1 − σ2)2 + F (σ2 − σ3)2 +G(σ3 − σ1)2 + Lτ223 +Mτ213 +Nτ212 = 1
Que pode ser reescrito como:
(G+H)σ21 + (F +H)σ2
2 + (F +G)σ23 − 2Hσ1σ2
−2Gσ1σ3 − 2Fσ2σ3 + Lτ223 +Mτ213 +Nτ212 = 1 (2.20)
Os parametros F, G, H, L, M e N podem ser relacionados com os parametros de resistencia convencionais
11
aplicando uma serie de carregamentos unidirecionais. Se somente τ12 atua, entao
N =1
τ212
De forma analoga,
M =1
τ213L =
1
τ223
Se somente σ1 atua:
G+H =1
σ21
De forma analoga,
F +H =1
σ22
F +G =1
σ23
Combinando as tres equacoes anteriores, os parametros F, G e H podem ser expressos pelos parametros
de resistencia do material:
2H =1
σ21
+1
σ22
− 1
σ23
2G =1
σ21
+1
σ23
− 1
σ22
2F =1
σ22
+1
σ23
− 1
σ21
Substituindo os parametros F, G, H, L, M e N na equacao 2.20, temos:
σ1σ21
+σ2σ22
+σ3σ23
−(
1
σ21
+1
σ22
− 1
σ23
)σ1σ2 −
(1
σ21
+1
σ23
− 1
σ22
)σ1σ3
−(
1
σ22
+1
σ23
− 1
σ21
)σ2σ3 +
τ223τ223
+τ213τ213
+τ212τ212
= 1 (2.21)
Assumindo a lamina sendo transversalmente isotropica, isto e, σ2 = σ3, temos:
σ1σ21
+σ2σ22
+σ3σ23
− σ1σ2σ21
− σ1σ3σ21
−(
2
σ22
− 1
σ21
)σ2σ3 +
τ223τ223
+τ213τ213
+τ212τ212
= 1 (2.22)
Assumindo um estado plano de tensao na lamina, isto e,σ3 = τ13 = τ23 = 0, temos:
σ1σ21
− σ1σ2σ21
+σ2σ22
+τ212τ212
= 1 (2.23)
Para aplicar o criterio, os valores corretos de σ1 e σ2 devem ser usados [4]:
σ1 =
σ1t, se σ1 > 0,
σ1c, se σ1 < 0.
σ2 =
σ2t, se σ2 > 0,
σ2c, se σ2 < 0.
A figura 9 mostra o envelope de falha do criterio no plano σ1−σ2. A maior limitacao deste criterio e que
nao ha distincao entre . Alem disso, ele nao e invariante em relacao ao sistemas de coordenadas , sendo
necessario transformar as tensoes atuantes para as coordenadas da lamina [3], [4].
2.2.5 Tsai-Wu
O criterio de Tsai-Wu e um dos criterios mais usados, tambem conhecido como criterio de interacao
quadratica. Como o proprio nome diz, e um metodo interativo. A sua vantagem em relacao ao metodo
12
Figura 9: Envelope de falha para Tsai-Hill
de Tsai-Hill e que e possıvel diferenciar esforcos de tracao e compressao. Alem disso, e invariante em
relacao ao sistema de coordenadas. Sua forma generalizada e [2]:
Fijσiσj + Fiσi onde i, j= 1 a 6 (2.24)
No caso de um estado plano de tensao, i,j = 1,2,6 (σ6 = τ12) e sua forma expandida e:
F11σ21 + F22σ
22 + F66τ
212 + 2F12σ1σ2 + 2F16σ1τ12 + 2F26σ2τ12 + F1σ1 + F2σ2 + F6τ12 = 1 (2.25)
Como ja citado, a resistencia do material deve ser independente do sinal do cisalhamento, que implica
que:
F16 = F26 = F6 = 0 (2.26)
Reescrevendo o criterio temos:
F11σ21 + F22σ
22 + F66τ
212 + 2F12σ1σ2 + F1σ1 + F2σ2 = 1 (2.27)
O criterio e composto por seis parametros, sendo quatro quadraticos e dois lineares. Os parametros
lineares sao responsaveis pela diferenciacao em esforcos de tracao e compressao. Cindo dos seis parametros
sao obtidos de testes mecanicos convencionais. Assim como foi feito para o criterio de Tsai-Hill, aplicando
testes de tracao e compressao na direcao principal temos:
F11σ21t + F1σ1t quando σ1 = σ1t
F11σ21c − F1σ1c quando σ1 = −σ1c (2.28)
Que implica em:
F1 =1
σ1t− 1
σ1cF11
1
σ1tσ1c(2.29)
13
Da mesma forma na direcao transversal temos:
F2 =1
σ2t− 1
σ2cF22
1
σ2tσ2c(2.30)
Aplicando um cisalhamento no plano, temos:
F66 =1
τ212(2.31)
O sexto parametro, F12, requer um carregamento biaxial, que e mais complicado do que um teste uniaxial
convencional. E possıvel determinar limites para este parametro, estabelecendo que o envelope de falha
seja uma curva fechada. Usando o parametro F ∗12, definido na equacao 2.32, seus limites sao −1 < F ∗12 < 1.
F ∗12 =F12√F11F22
(2.32)
Como ja foi citado, obter o valor deste parametro e difıcil, as vezes obtendo um valor fora dos limites
apresentados. Normalmente se assume um valor no intervalo −0.5 < F ∗12 < 0 [2]. Alguns autores [5]
propoem o valor de -0.5, ja outros [6] obtiveram que F ∗12 = 0 melhor representou os ensaios de composito
de fibra de boro/epoxy e fibra de vidro/epoxy. A forma final do criterio e dada por:
σ21
σ1tσ1c+
σ22
σ2tσ2c+τ212ˆτ12
+ 2F12σ1σ2 +σ1σ1t− σ1σ1c
+σ2σ2t− σ2σ2c
= 1 (2.33)
A figura 10 apresenta o envelope de falha para o planoσ1 − σ2 para diferentes valores de F ∗12 utilizando
o material da tabela 2.Diferente dos criterios de maxima tensao e maxima deformacao, o criterio de
Tsai-Wu nao determina o modo de falha diretamente.
Figura 10: Envelope de falha para Tsai Wu com diferentes valores de F ∗12
14
2.2.6 Hashin
O criterio de Hashin, diferente dos criterio de Tsai-Hill e Tsai-Wu, e baseado nos modos de falha. Cada
modo de falha possui um determinado criterio. Como mostrado a seguir, este e um metodo interativo
para determinados modos de falha. Pela propria definicao do metodo, e possıvel diferenciar o modo de
falha. Originalmente, o metodo assumiu que a resistencia na direcao das fibras e somente limitada pela
ruptura das fibras, com valores diferentes em tracao e compressao, sendo formulado como:
σ1 = σ1t quando σ1 > 0
σ1 = σ1c quando σ1 < 0 (2.34)
Falhas devidas a tensao transversal e cisalhamento foram formuladas com o mesmo criterio, ja que sao
modos de falha dominados pela matriz. O criterio e formulado como:(σ2σ2t
)2
+
(τ12ˆτ12
)2
= 1 quando σ2 > 0 (2.35)(σ2σ2t
)2
+
(τ12ˆτ12
)2
= 1 quando σ2 < 0 (2.36)
A figura 11 mostra o envelope de falha no plano σ1 − σ2 para τ12 = 0, o que e equivalente ao criterio de
maxima tensao.
Figura 11: Envelope de falha para Hashin
15
3 Metodologia
O programa foi desenvolvido segundo o algoritmo apresentado na figura 12. O programa e divido em 3
arquivos:
� data.m Banco de dados com as propriedades dos materiais
� Main.m Programa principal com as participais funcoes e criterios de falhas
� q.m Funcao para o calculo das matrizes local e global de rigidez da lamina
� ql.m Funcao para o calculo da matriz de rigidez local
� T.m Funcao para o calculo da matriz de transformacao
Figura 12: Algoritmo do programa de calculo
O banco de dados armazena as propriedades para cada material de acordo com a tabela 2. O usuario pode
inserir um novo material em uma nova coluna na matriz do arquivo data.m. As propriedades necessarias
sao:
16
E1 Modulo de elasticidade na direcao 1 σ2c Tensao maxima de compressao na direcao 2
E2 Modulo de elasticidade na direcao 2 τ12 Tensao maxima de cisalhamento
G12 Modulo de cisalhamento no plano 1-2 ε1t Deformacao maxima de tracao na direcao 1
ν12 Coeficiente de Poisson ε1t Deformacao maxima de compressao na direcao 1
σ1t Tensao maxima de tracao na direcao 1 ε1t Deformacao maxima de tracao na direcao 2
σ1c Tensao maxima de compressao na direcao 1 ε1t Deformacao maxima de compressao na direcao 2
σ2t Tensao maxima de tracao na direcao 2 γ12 Cisalhamento maximo
Alem das propriedades do material, o usuario precisa definir qual a sequencia de laminacao, as propri-
edades de cada lamina, os carregamentos e o tipo de criterio de falha. A sequencia de laminacao e as
propriedades de cada lamina sao inseridas no arquivo Main.m da seguinte forma:
1 %% Laminate Properties
2 % Material Angle Thickness
3 layup = [7 26 3.2
4 7 0 1.8
5 7 0 1.8
6 7 26 3.2];
Cada linha da variavel layup corresponde com uma lamina. A primeira entrada e o tipo do material,
que relaciona com o numero da coluna no banco de dados data.m. A segunda entrada e o angulo de
laminacao e a terceira entrada a espessura da lamina em milımetros. O exemplo do codigo corresponderia
ao laminado [26/0]s.
O carregamento e inserido no arquivo Main.m da seguinte forma:
1 %% Loading
2 load =[24.5 %Nx
3 0 %Ny
4 0 %Nxy
5 −7.3 %Mx
6 0 %My
7 −2829.8]; %Mxy
Cada entrada na variavel load corresponde as seguintes variaveis:
Nx Forca normal na direcao x [N/mm] Mx Momento fletor na direcao x [Nmm/mm]
Ny Forca normal na direcao y [N/mm] My Momento fletor na direcao y [Nmm/mm]
Nxy Forca cisalhante no plano x-y [N/mm] Mxy Momento cisalhante x-y [Nmm/mm]
A escolha do tipo de criterio de falha e feito ajustando a variavel criteria. Cada valor corresponde a
um tipo de criterio. Caso o criterio de Tsai-Wu seja usado, e necessario colocar o valor de F∗12 desejado.
A parte do codigo corresponte e:
17
1 %% Type of Failure Criteria
2 criteria=2; % 1 for Max Stress, 2 Max Strain , 3 Tsai−Hill, 4 Tsai−Wu, 5 Hashin
3 f12s=0; % F*12 coefficient for the Tsai−Wu Failure Criteria Recomended values: −0.5<F*12<0
A primeira parte da parte de calculo no arquivo Main.m corresponde a determinar o numero de laminas,
determinar as coordenas z de inıcio e fim de cada lamina e mudar referencia da coordenada z para o plano
medio do laminado. Esses passos sao feitos da seguinte forma:
1 tamanho=size(layup);
2 n=tamanho(1,1); %Total number of laminae
3 for i=1:n %Stacking lamminae
4 mtrl=layup(i,1);
5 teta=layup(i,2);
6 hint=layup(i,3);
7 z1(i+1)=z1(i)+hint;
8 end
9 h=z1(n+1,1); %Total thickness of the laminate
10 z1=z1−0.5*h*ones(n+1,1);%Corrected Stack Coordinates
Em seguida, a matriz ABD e calculada. A matriz de rigidez nas coordenadas globais e calculada na
funcao q.m. Primeiro e calculada a matriz de rigidez nas coordenadas locais. Em seguida, a matriz
de transformacao e calculada, dado o angulo da lamina. Finalmente, a matriz e transformada para as
coordenadas globais. O codigo fonte da funcao q.m esta disponıvel no apendice C. A matriz ABD e
calculada por:
1 %% ABD
2 for m=1:n %Sum of all Qi in each part A, B and D.
3 Q=q(m,layup);
4 A= A+(z1(m+1)−z1(m))*Q; % Matrix A − Extension Stiffness Matrix
5 B= B+ (1/2)*((z1(m+1))^2 − (z1(m))^2)*Q; % Matrix B − Bending/Extension Coupling Matrix
6 D= D+ (1/3)*((z1(m+1))^3 − (z1(m))^3)*Q; % Matrix D − Bending Stiffness Matrix
7 end
8 ABD=[A B
9 B D];
Com a matriz ABD calculada e os carregamentos disponıveis, e possıvel calcular as deformacoes no plano
medio do laminado e as curvaturas. Isso e feito da seguinte forma no Main.m:
1 %% Global Strains and Curvatures
2 epiglobal=ABD\load;
As tensoes e deformacoes locais sao calculadas em seguida. Esse calculo e feito em dois pontos para cada
lamina, na coordenada inferior e superior. As funcoes ql.m e T.m sao chamadas nesse ponto, disponıveis
nos apendices D e E, respectivamente. A parte do codigo correspondente para o calculo da tensoe e
18
deformacoes locais e:
1 %% Local Strain and Stresses
2 for i=1:n %% epi=epi0 +kappa Z, 0 for "up", 1 for "down"
3 epil0(1:3,i)=T(i,layup)'*(epiglobal(1:3)+epiglobal(4:6)*z1(i));
4 sigmal0(1:3,i)=ql(i,layup)*epil0(1:3,i);
5 epil1(1:3,i)=T(i,layup)'*(epiglobal(1:3)+epiglobal(4:6)*z1(i+1));
6 sigmal1(1:3,i)=ql(i,layup)*epil1(1:3,i);
7 end
Com as tensoes e deformacoes locais calculadas, e possıvel aplicar o criterio de falha escolhido, que pode
ser:
� Maxima Tensao
� Maxima Deformacao
� Tsai-Hill
� Tsai-Wu
� Hashin
O codigo fonte para cada um dos criterios de falha se encontra dentro programa Main.m no apendice A.
19
4 Projeto da Quilha
4.1 Descricao do problema
Como exemplo de calculo utilizando o programa, foi desenvolvido um projeto de uma quilha de um barco
a vela de corrida, de acordo com exemplo disponıvel em [2]. A quilha consiste em um bulbo de chumbo
preso na ponta de uma lamina. O bulbo serve de contra-peso, estabilizando o barco quando este se inclina
devido as esforcos na vela. A quilha tambem funciona como um hidrofolio, gerando sustentacao via efeito
hidrodinamico. Quanto mais longa a quilha, mais eficiente ela e, tanto para o efeito de contra peso quanto
para a sustentacao.
Figura 13: Exemplo de um barco a vela com uma quilha
A geometria, o carregamento e a requisitos do projeto sao:
L = 4000 mm B = 1300 mm e = 400 mm
q = 0.005 N/mm2 m=3750 kg
Flexao maxima da quilha com angulo de inclinacao de 30°: δ = 150mm
Angulo de torcao da quilha com angulo de inclinacao de 30°: φ = 0.1
Coeficiente de seguranca igual a 3 com angulo de inclinacao de 30°
A figura 14 mostra um modelo simplificado da geometria e carregamentos na quilha. O centro de gravidade
do bulbo esta deslocado uma distancia e da linha de centro da quilha. O peso da lamina da quilha sera
desprezado nos calculos. O esforco hidrodinamico sera aproximado por uma carga uniforme q. Dado
que o CG nao se encontra na linha de centro, a quilha sera submetida tanto a uma flexao quanto uma
torcao. E desejavel que o angulo de torcao da quilha seja minimizado mas ao mesmo tempo utilizando
uma quilha o mais leve quanto possıvel. Uma das vantagens de se utilizar um material composito para
esse tipo de problema e usufruir do acoplamento flexao-torcao que o material pode oferecer. Assume-se
que o caso e muito mais rıgido que a quilha, de forma que a mesma pode ser aproximada por uma viga
20
Figura 14: Geometria e carregamentos. Adaptado de [2]
em balanco. A secao transversal da quilha sera aproximada por uma placa retangular macica, por mais
que a secao correta seria um hidrofolio.
4.2 Calculo de flexao e torcao
Para se calcular a flexao e torcao da quilha, assume-se que o laminado seja simetrico de modo que B=0,
tal que M = Dκ. Apartir da figura 14, e possıvel equacionar os momentos M:
Mx =P (x− L)
b+q(L2 + x2 − 2Lx)
2
My ≈ 0
Mxy =−T2b
(4.1)
Onde P = mg sin θ e T = emg sin θ. As curvaturas κ sao definidas por:
κx = −∂2w
∂x2
κy = −∂2w
∂y2
κxy = −2∂2w
∂x∂y(4.2)
Que podem ser calculadas por κ = D−1M . Integrando as curvaturas, e possıvel obter a deflexao e
torcao da quilha:
δ = w(L, 0) = d11
(−qL4
8+PL3
b3
)+ d16
(TL2
4b
)(4.3)
φponta = d16
(−qL3
6+PL2
2b
)+ d16
(TL
2b
)(4.4)
Os termos d sao os termos da matrix D−1. o termo d16 e responsavel pelo acoplamento flexao-torcao.A
distribuicao do momento fletor e torsor e mostrada na figura 15.
21
Figura 15: Momento fletor e torsor em funcao da coordenada x
4.3 Selecao do material
A selecao de material foi baseada em propriedades mecanicas de sistemas pre-impregnados disponıveis
na literatura [2]. Os materiais foram comparados segundo a deflexao e torcao, para uma lamina com
espessura fixa e angulo variavel, utilizando o mesmo carregamento da quilha de acordo com as figuras 16
e 17. Dada essa comparacao , o material com a melhores propriedades seria o composito com fibras de
boro mas o composito com fibras de carbono HM sera utilizado ja que foi definido no problema que esse
ja era o material do barco. As propriedades desse material sao mostradas na tabela 2.
Figura 16: Deflexao da quilha para diversos materiais
22
Figura 17: Torcao da quilha para diversos materiais
4.4 Projeto
Secao macica
Como ja descrito na secao de calculo de flexao e torcao, o termo d16 e responsavel pelo acoplamento
flexao-torcao. Para o composito com fibras de carbono HM, esse termo e maximo para angulos ±36,
como mostrado na figura 18.
Figura 18: Termo de acoplamento torcao-flexao para diversos angulos
Um laminado inicial foi proposto com somente um angulo, com o carregamento baseado no
angulo de inclinacao da quilha de θ = 30. A variacao da deflexao e da torcao de acordo com o angulo do
laminado sao mostradas nas figuras 19 e 20. A deflexao e mınima para angulos proximos a 0° e maxima
23
para angulos proximos de 90°. Na figura 20 e possıvel ver que para os angulos de 12.2° e 68° a torcao da
quilha e nula. Entre esses dois angulos, a deflexao e menor para 12.2°, assim esse sera o angulo adotado
para o laminado. Para atender o requisito de deflexao maxima de 150mm, e necessario utilizar a espessura
mınima de 43.05mm.
Figura 19: Deflexao da quilha em funcao do angulo do laminado
Figura 20: Torcao da quilha em funcao do angulo do laminado
Dado que as condicoes de carregamento mudam de acordo com o angulo de inclinacao θ e outros
carregamentos nao previstos podem ocorrer, usar um laminado com um so angulo de laminacao nao e
o projeto mais adequado. Um segundo laminado foi proposto, neste caso um laminado simetrico de 4
laminas com o angulo de 12.2° na lamina exterior. O angulo da lamina interna e as espessuras foram
variadas ate atender os requisitos. A figura 21 mostra os requisitos de deflexao e torcao em funcao da
24
variacao da espessura e angulo da lamina. A interseccao entre os requisitos define os valores que os aten-
dem. O laminado utilizado final foi [12.218.45mm/03.05mm]s, com a deflexao de 150mm e torcao de 0.0414°.
Figura 21: Deflexao e torcao em funcao da variacao da espessura e angulo da lamina
Alem dos requisitos de rigidez, a quilha deve resistir aos carregamentos sem falhar. As tensoes e
deformacoes na juncao quilha-casco sao mostradas na tabela 3. O tensoes e deformacoes tambem foram
analisadas para a posicao X=1170, de acordo com a tabela 4.
Tabela 3: Tesoes e deformacoes na juncao quilha-casco para θ = 30
Lamina 1 Lamina 2 Lamina 3 Lamina 4
σ1 55,712 10,19 -8,284 -54,734
σ2 -1,378 -0,258 0,255 1,413
τ12 -2,83 -0,211 0,052 2,644
ε1 0,000310 0,000057 -0,000046 -0,000300
ε1 -0,000220 -0,000041 0,000038 0,000222
γ12 -0,000390 -0,000029 0,000007 0,000369
Utilizando os criterios de falha disponıveis no programa de calculo o laminado nao falha, porem o coefici-
ente de seguranca de acordo com o criterio de maxima deformacao e de somente 1.68, abaixo do requisito
de 3. Um reprojeto do laminado foi feito utilizando [12.225.8mm/03mm]s, que possui um coeficiente de
seguranca de 3. deflexao de 62.52 mm e uma torcao de 0.007°, satisfazendo todos os requisitos.
25
Tabela 4: Tesoes e deformacoes para X=1170 e θ = 30
Lamina 1 Lamina 2 Lamina 3 Lamina 4
σ1 55,712 10,19 -8,284 -54,734
σ2 -1,378 -0,258 0,255 1,413
τ12 -2,83 -0,211 0,052 2,644
ε1 0,000310 0,000057 -0,000046 -0,000300
ε1 -0,000220 -0,000041 0,000038 0,000222
γ12 -0,000390 -0,000029 0,000007 0,000369
Secao Vazada
Uma das simplificacoes apresentadas anteriormente e que a quilha e uma laminado macico. E vantajoso
utilizar um secao vazada, de modo a aumentar a rigidez sem aumentar o peso da estrutura, aproximada-
mente como a uma estrutura do tipo sanduıche. A secao sera aproximada por um laminado de espessura
total de 105 mm, para ter uma secao transversal proxima a do hidrofolio, como apresentado na figura 22.
Figura 22: Hidrofolio e secao vazada equivalente
Assim como no projeto com secao macica, foram utilizadas duas laminas por lado. O lami-
nado inicial [26/0]s utilizado, variando-se a espessura de cada lamina. Pela figura 23, o laminado
[263,2mm/01,8mm]s foi escolhido, com uma secao vazada de 94.6 mm. Esse laminado e 2.9 vezes mais
leve que o laminado macico. a deflexao foi de 50.24mm, torcao de 0.052° e coeficiente de seguranca de
3. Vale comentar que essa e uma aproximacao muito simplificada e que uma estrutura do tipo sanduıche
seria mais elaborada, levando em consideracao a deflexao devido ao cisalhamento e o peso do material
utilizado no nucleo.
26
Figura 23: Deflexao e torcao em funcao da variacaoo da espessura e angulo para a secao vazada
4.5 Sugestoes de melhorias no projeto
Para obter um projeto mais em elaborado, seria possıvel variar tanto a espessura quanto o angulo de
laminacao em funcao da coordenada x. Como mostrado na figura 15, o momento fletor varia em funcao
de x, de forma de para cada posicao existira um laminado otimo. Somente a respeito de Mx, a espessura
do laminado deveria variar de acordo com a figura 24.
27
Figura 24: Espessura otima em funcao da coordenada x
E possıvel tambem variar o angulo de laminacao de forma a obter um angulo de torcao nulo por
toda a quilha. Em cada coordenada, uma combinacao especifica de Mx e Mxy resulta em um angulo de
laminacao para torcao nula, como mostrado na figura 25. Para posicoes acima de X=3550 nao existe um
angulo de laminacao tal que a torcao seja nula. Isso ocorre porque nessa regiao a torcao e totalmente
dominante e a flexao quase nula, tornando impossıvel zerar a torcao pelo acoplamento flexao-torcao.
Dado que a flexao e dominante proxima a juncao quilha-casco e a torcao proxima a ponta, seria adequado
angulos de laminacao perto de 0° na juncao e 45° na ponta.
Figura 25: Angulo otimo em funcao da coordenada x
Em paralelo com o programa para calculo de compositos, foi desenvolvido um programa para cal-
28
culo de estruturas do tipo sanduıche e um programa para otimizacao com base nas rotinas de otimizacao
fmincon do MATLAB. Um exemplo de otimizacao de placas tipo sanduıche e mostrado na figura 26. E
possıvel adaptar o programa para projetar a quilha, levando em consideracao as deformacoes cisalhantes
no nucleo, restricoes de deflexao e torcao e criterios de resistencia. E possıvel parametrizar a espessura
e angulo de laminacao em funcao da coordenada x. Vale lembrar que a utilizacao dessas rotinas sao de-
pendentes do ponto inicial, entao seria interessante avaliar outras rotinas de otimizacao, como algoritmos
geneticos e recozimento simulado.
Figura 26: Exemplo do programa de otimizacao de placas tipo sanduıche
29
5 Conclusoes e Sugestoes
Foi possıvel equacionar e criar codigos gerais para aplicacao em projeto e analise em compositos. Diversos
criterios de falha foram aplicados, sendo possıvel comparar cada criterio. O projeto da quilha do barco
a vela utilizou o programa e exemplificou o acoplamento flexao-torcao, neste caso usado a favor do projeto.
O codigo poderia ser mais completo se os seguintes topicos estudados fossem adicionados:
� Analise de falha progressiva
� Concentracao de tensao em placas anisotropicas
� Tensoes interlaminares
� Efeitos higrotermicos
A analise progressiva, principalmente associada a um software de elementos finitos, e de importancia para
calcular a progressao da falha no laminado e determinar a sua resistencia final.
Descontinuidades geometricas geram concentracoes de tensoes. Dependendo da sequencia de lamina-
cao e do material, o fator de concentracao de tensao pode ser muito elevado, superior ao caso equivalente
com materiais isotropicos. Esse efeito pode ser calculado analiticamente utilizando as equacoes de con-
centracao de tensao em placas anisotropicas de Lekhnitskii [7].
Tensoes interlaminares sao responsaveis por delaminacoes. Essas tensoes possuem origem diversas, como
carregamentos transversais, diferenca do coeficiente de Poisson entre as laminas, efeitos de borda, furos,
etc. Em alguns casos, e possıvel calcular analiticamente as tensoes interlaminares, levando-as em conta
no projeto do laminado. Para casos mais complexos, uma simulacao numerica e mais adequada.
Os efeitos higrotermicos sao necessarios para calcular tanto tensoes residuais devido ao processo de fa-
bricacao quando efeitos com empenamento devido a mudanca de temperatura e umidade. As tensoes
residuais devem ser levadas em conta para uma melhor estimativa da resistencia do laminado [4].
30
Referencias
[1] GRIFFITHS, B. Boeing sets pace for composite usage in large civil aircraft. High-Performance Com-
posites, May 2005.
[2] ZENKERT, D.; BATTLEY, M. Foundations of Fibre Composites: Royal Institute of Technology,
2003.
[3] SOUZA, G. P. Avaliacao de criterios de falhas de compositos polimericos reforcados aplicados a vigas
sob carregamento de flexao. Dissertacao (Mestrado) — Escola de Engenharia de Sao Carlos, Universi-
dade de Sao Paulo, 2003.
[4] DANIEL, I.; ISHAI, O. Engineering Mechanics of Composite Materials. 2. ed.: Oxford University
Press, USA, 1994.
[5] HYER, M.; WHITE, S. Stress analysis of fiber-reinforced composite materials: WCB McGraw-Hill,
1998.
[6] NARAYANASWAMI, R.; ADELMAN, H. Evaluation of the tensor polynomial and hoffman strength
theories for composite materials. Journal of Composite Materials, SAGE Publications, v. 11, n. 4,
p. 366, 1977.
[7] LEKHNITSKII, S. G. Anisotropic Plates: Science Publishers Inc, 1968.
[8] HASHIN, Z. Failure criteria for unidirectional fiber composites. Journal of Applied Mechanics, v. 47,
p. 329, 1980.
[9] KIM, Y.; DAVALOS, J.; BARBERO, E. Progressive failure analysis of laminated composite beams.
Journal of Composite Materials, SAGE Publications, v. 30, n. 5, p. 536–560, 1996.
[10] SUN, C. et al. Comparative evaluation of failure analysis methods for composite laminates. Washing-
ton, DC: FAA, Office of Aviation Research, 1996.
[11] TSAI, S.; WU, E. A general theory of strength for anisotropic materials. Journal of composite
materials, SAGE Publications, v. 5, n. 1, p. 58, 1971.
31
A Programa Principal Main.m
1 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
2 % Trabalho de Conclusão de Curso 2011
3 % Engenharia Mcânica− EESC USP
4 % Gustavo Miranda Guimaraes
6 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
7
8 clc
9 clear all
10 %% Laminate Properties
11 % Material Angle Thickness
12 layup = [7 26 3.2
13 7 0 1.8
14 7 0 1.8
15 7 26 3.2];
16 %% Loading
17 load =[24.5 %Nx
18 0 %Ny
19 0 %Nxy
20 −7.3 %Mx
21 0 %My
22 −2829.8]; %Mxy
23 %% Type of Failure Criteria
24 criteria=2; % 1 for Max Stress, 2 Max Strain , 3 Tsai−Hill, 4 Tsai−Wu, 5 Hashin
25 f12s=0; % F*12 coefficient for the Tsai−Wu Failure Criteria Recomended values: −0.5<F*12<0
26
27 %% Laminate Properties
28 tamanho=size(layup);
29 n=tamanho(1,1); %Total number of laminae
30 z1=zeros(n+1,1);
31 sf=zeros(n,3); % saftey factor 1st column for 1st direction ,2nd column for 2nd ...
direction of fibre and 3rd column for shear
32 for i=1:n %Stacking lamminae
33 mtrl=layup(i,1);
34 teta=layup(i,2);
35 hint=layup(i,3);
36 z1(i+1)=z1(i)+hint;
37 end
38 h=z1(n+1,1); %Total thickness of the laminate
39 z1=z1−0.5*h*ones(n+1,1); %Corrected Stack Coordinates
40
41 %% ABD
42 A=zeros(3,3);
43 B=zeros(3,3);
44 D=zeros(3,3);
45
32
46 for m=1:n %Sum of all Qi in each part A, B and D.
47 Q=q(m,layup);
48 A= A+(z1(m+1)−z1(m))*Q; % Matrix A − Extension Stiffness Matrix
49 B= B+ (1/2)*((z1(m+1))^2 − (z1(m))^2)*Q; % Matrix B − Bending/Extension Coupling Matrix
50 D= D+ (1/3)*((z1(m+1))^3 − (z1(m))^3)*Q; % Matrix D − Bending Stiffness Matrix
51 end
52 ABD=[A B
53 B D];
54
55 %% Homogenized Elastic Properties
56
57 Qt=A/h;
58 S=inv(Qt);
59 Ex=1/(S(1,1));
60 Ey=1/(S(2,2));
61 Gxy=1/(S(3,3));
62 nuxy=−Ex*S(2,1);
63
64
65 %% Global Strains and Curvatures
66 epiglobal=ABD\load;
67
68 %% Local Strain and Stresses
69 epil0 = zeros(3,n);
70 sigmal0= zeros(3,n);
71 epil1 = zeros(3,n);
72 sigmal1= zeros(3,n);
73
74 for i=1:n %% epi=epi0 +kappa Z, 0 for "up", 1 for "down"
75 epil0(1:3,i)=T(i,layup)'*(epiglobal(1:3)+epiglobal(4:6)*z1(i));
76 sigmal0(1:3,i)=ql(i,layup)*epil0(1:3,i);
77 epil1(1:3,i)=T(i,layup)'*(epiglobal(1:3)+epiglobal(4:6)*z1(i+1));
78 sigmal1(1:3,i)=ql(i,layup)*epil1(1:3,i);
79 end
80
81
82 %% Failure Criteria
83
84 if criteria==1 % Max Stress
85 for i=1:n % counts for all plies
86 mtrl=layup(i,1);
87
88 if (sigmal0(1,i)) > 0
89
90 if ( (abs(sigmal0(1,i)) > data(6,mtrl)) ) %sigma in 1st ...
direction check
91 disp(['failed in 1st direction in tension layer ' , num2str(i) ])
92 else
93 sf(i,1)= data(6,mtrl) / abs(sigmal0(1,i));
33
94 end
95 % else 'OK'
96 else
97 if (abs(sigmal0(1,i)) > data(7,mtrl))
98 disp(['failed in 1st direction in compression layer ' , num2str(i) ])
99 else
100 sf(i,1)=data(7,mtrl)/abs(sigmal0(1,i));
101 end
102
103 end
104
105 if sigmal0(2,i) > 0
106 if ( (abs(sigmal0(2,i)) > data(8,mtrl)) ) % sigma in 2nd direction ...
check
107 disp(['failed in 2nd direction in tension layer ',num2str(i)])
108 else
109 sf(i,2)=data(8,mtrl)/abs(sigmal0(2,i));
110 end
111
112 else
113
114 if (abs(sigmal0(2,i)) > data(9,mtrl))
115 disp(['failed in 2nd direction in compression layer ',num2str(i)])
116 else
117 sf(i,2)=data(9,mtrl)/abs(sigmal0(2,i));
118 end
119
120 end
121
122 % else 'ok'
123
124
125 if (abs(sigmal0(3,i)) > data(10,mtrl)) % sigma in shear
126 disp(['failed in shear layer ', num2str(i)])
127 else
128 sf(i,3)=data(10,mtrl)/abs(sigmal0(3,i));
129 %else 'ok'
130 end
131
132 end
133 criteria
134 end
135
136
137 if criteria == 2 % Max Strain
138 for i=1:n % counts for all plies
139 mtrl=layup(i,1);
140 if epil0(1,i) > 0
141
34
142 if ( (abs(epil0(1,i)) > data(11,mtrl)) ) % epi in 1st ...
direction check
143 disp(['failed in 1st direction in tension layer ' , num2str(i)])
144 else
145 sf(i,1)= (data(11,mtrl)/abs(epil0(1,i)));
146 end
147
148 else
149
150 if (abs(epil0(1,i)) > data(12,mtrl))
151 disp(['failed in 1st direction in compression layer ' , num2str(i)] )
152 else
153 sf(i,1)= (data(12,mtrl)/abs(epil0(1,i)));
154 end
155
156 % else 'OK'
157 end
158 if epil0(2,i)> 0
159 if ( (abs(epil0(2,i)) > data(13,mtrl)) ) % epi in 2nd direction check
160 disp(['failed in 2nd direction in tension layer ',num2str(i)])
161 else
162 sf(i,2)=( data(13,mtrl))/(abs(epil0(2,i)));
163
164 end
165 else
166 if (abs(epil0(2,i)) > data(14,mtrl))
167 disp(['failed in 2nd direction in compression layer ',num2str(i)])
168 else
169 sf(i,2)= data(14,mtrl)/abs(epil0(2,i));
170 end
171
172
173 % else 'ok'
174 end
175
176 if (abs(epil0(3,i)) > data(15,mtrl)) % epi in shear
177 disp(['failed in shear layer ' ,num2str(i)])
178 else
179 sf(i,3)=data(15,mtrl)/abs(epil0(3,i));
180 %else 'ok'
181 end
182
183
184 end
185 criteria;
186 sf
187 end
188
189
35
190 if criteria == 3 % Tsai Hill
191
192 test=zeros(1,n);
193 tsai=zeros(1,n);
194 for i=1:n
195 mtrl=layup(i,1);
196
197 if sigmal0(1,i)>0 %Sigma 1 Sign Check
198 s1=data(6,mtrl);
199 else
200 s1=data(7,mtrl);
201 end
202
203 if sigmal0(2,i)>0 %Sigma 2 Sign Check
204 s2=data(8,mtrl);
205 else
206 s2=data(9,mtrl);
207 end
208
209 t12=data(10,mtrl);
210
211
212 f1= sigmal0(1,i)^2 / (s1^2);
213
214 f2= ( (sigmal0(1,i) *sigmal0(2,i) ) /(s1^2));
215 f3=( ((sigmal0(2,i))^2 ) / (s2^2) );
216 f4=(((sigmal0(3,i))^2)/(t12^2));
217
218
219 TH= (f1−f2+f3+f4); %Tsai−Hill Function
220
221 tsai(i)=TH;
222 if TH>1
223 test(i)=1;
224 else
225 test(i)=0;
226 end
227
228 end
229 T2=sum(test);
230 tsai;
231 if T2>0
232 res=('FAIL')
233 else
234 res=('OK')
235 end
236 sfth=1./tsai;% safety factor tsai hill
237 criteria ;
238 end
36
239
240 if criteria ==4 % Tsai WU
241
242 test=zeros(1,n);
243 tsaiw=zeros(1,n);
244 for i=1:n
245 mtrl=layup(i,1);
246 s1t=data(6,mtrl);
247 s1c=data(7,mtrl);
248 s2t=data(8,mtrl);
249 s2c=data(9,mtrl);
250 t12h=data(10,mtrl);
251 f12=f12s*sqrt((1)/(s1t*s1c)*(1)/(s2t*s2c));
252 s1=sigmal0(1,i);
253 s2=sigmal0(2,i);
254 t12=sigmal0(3,i);
255 TW=(s1^2)/(s1t*s1c)+(s2^2)/(s2t*s2c)+(t12/t12h)^2+(s1/sit)−(si/sic)+(s2/s2t)−(s2/s2c)+(2*f12*s1*s2); ...
%Tsai−Wu Function
256 tsaiw(i)=TH;
257 if TH>1
258 test(i)=1;
259 else
260 test(i)=0;
261 end
262
263 end
264 T2=sum(test);
265 if T2>0
266 res=('FAIL')
267 else
268 res=('OK')
269 end
270 sfth=1./tsaiw;% safety factor Tsai Wu
271 end
272
273 if criteria == 5 % Hashin
274
275 test=zeros(1,n);
276 htest=zeros(1,n);
277 for i=1:n
278 mtrl=layup(i,1);
279
280 if sigmal0(1,i)>0 %Sigma 1 Signal Check
281 s1=data(6,mtrl);
282 else
283 s1=data(7,mtrl);
284 end
285
286 if sigmal0(2,i)>0 %Sigma 2 Signal Check
37
287 s2=data(8,mtrl);
288 else
289 s2=data(9,mtrl);
290 end
291
292 t12=data(10,mtrl);
293
294
295 hashintest(1)=(abs(sigmal0(1,i))/s1);
296 hashintest(2)=((sigmal0(2,i)/s2)^2+(sigmal0(3,i)/t12)^2);
297
298
299 Hashin= max(hashintest);
300
301 htest(i)=TH;
302 if TH>1
303 test(i)=1;
304 else
305 test(i)=0;
306 end
307
308 end
309 T2=sum(test);
310 if T2>0
311 res=('FAIL')
312 else
313 res=('OK')
314 end
315 sfth=1./htest;% safety factor for the Hashin criteria
316 end
38
B Banco de Dados data.m
1 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
2 % Trabalho de Conclusão de Curso 2011
3 % Engenharia Mcânica− EESC USP
4 % Gustavo Miranda Guimaraes
6 %
7 % Banco de dados de
8 % ZENKERT, D.; BATTLEY, M. Foundations of Fibre Composites.
9 % Royal Institute of Technology, 2003.
10 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
11 function [Q]=data(var,mat);
12 %% Material Properties
13
14 % Lamina 1 2 3 4 5 6 7
15 % Fibre E−glass Boron Carbon (HT) Carbon (IM) Kevlar 49 Carbon Carbon (HM)
16
17 data = [0.127 0.220 0.129 0.129 0.132 0.127 13.05 52.3% Thickness [mm]1
18 40000 210000 136000 151000 75000 147000 181000 0.001% E1 [MPa]2
19 9800 20000 10000 9400 6000 9000 10300 0.001% E2 [MPa]3
20 2800 6000 5200 4800 2000 3300 7170 0.001% G12 [MPa]4
21 0.3 0.3 0.3 0.31 0.34 0.31 0.28 0.0001% nu12 5
22 1100 1400 1800 2260 1400 2260 1500 9000% Sigma1t [MPa]6
23 600 2800 1200 1200 280 1200 1500 9000% Sigma1c [MPa]7
24 20 80 40 50 30 50 40 9000% Sigma2t [MPa]8
25 140 280 220 190 140 190 246 9000% Sigma2c [MPa]9
26 70 120 80 100 60 100 68 9000% Tau12c [MPa]10
27 0.028 0.007 0.013 0.015 0.019 0.015 0.0083 1% Epsilon1t 11
28 0.015 0.013 0.009 0.008 0.004 0.008 0.0083 1% Epsilon1c 12
29 0.002 0.004 0.004 0.005 0.005 0.005 0.0039 1% Epsilon2t 13
30 0.014 0.014 0.021 0.020 0.023 0.021 0.0239 1% Epsilon2c 14
31 0.014 0.020 0.015 0.022 0.030 0.030 0.0095 1];% Gamma12c 15
32
33 Q=data(var,mat);
34 end
39
C Funcao para o calculo da matriz de rigidez local e global q.m
1 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
2 % Trabalho de Conclusão de Curso 2011
3 % Engenharia Mecânica− EESC USP
4 % Gustavo Miranda Guimaraes
6 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
7 function [Q]=q(i,layup);
8
9 mtrl=layup(i,1); %Reads the material number for the lamina i from the layup variable
10 teta=pi/180*layup(i,2); %Reads the angle for the lamina i from the layup variable
11
12 e1=data(2,mtrl); % Mechancal properties from database (data.m)
13 e2=data(3,mtrl);
14 v12=data(5,mtrl);
15 v21=e2*v12/e1;
16 g12=data(4,mtrl);
17
18 ql=1/(1−v12*v21)*[e1 e1*v21 0 % Local Stiffness Matrix
19 e2*v12 e2 0
20 0 0 g12*(1−v12*v21)];
21 c=cos(teta);
22 s=sin(teta);
23 T=[c^2 s^2 −2*c*s %Transformation matrix
24 s^2 c^2 2*c*s
25 c*s −c*s c^2−s^2];
26
27 Q=T*ql*T'; % Stiffness matrix in global coordinates
40
D Funcao para o calculo da matriz de rigidez local ql.m
1 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
2 % Trabalho de Conclusão de Curso 2011
3 % Engenharia Mcânica− EESC USP
4 % Gustavo Miranda Guimaraes
6 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
7 function [QL]=ql(i,layup);
8 mtrl=layup(i,1);
9 e1=data(2,mtrl);
10 e2=data(3,mtrl);
11 v12=data(5,mtrl);
12 v21=e2*v12/e1;
13 g12=data(4,mtrl);
14
15 QL=1/(1−v12*v21)*[e1 e1*v21 0
16 e2*v12 e2 0
17 0 0 g12*(1−v12*v21)];
18 end
41
E Funcao para o calculo da matriz de transformacao T.m
1 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
2 % Trabalho de Conclusão de Curso 2011
3 % Engenharia Mcânica− EESC USP
4 % Gustavo Miranda Guimaraes
6 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
7 function [t]=T(i,layup);
8 teta=pi/180*layup(i,2);
9 c=cos(teta);
10 s=sin(teta);
11 t=[c^2 s^2 −2*c*s
12 s^2 c^2 2*c*s
13 c*s −c*s c^2−s^2];
14 end