Download - Proses Stokastik
1
Proses Stokastik
Semester Ganjil 2011
Solusi dari Birth and Death Process yang Tergantung Waktu
Peluang bahwa proses berada pada state i pada waktu t:
Pada waktu (t+∆t) proses dapat mengalami transisi ke state j dengan peluang: πj(t +∆t)
Kemungkinan state j yang dituju adalah: i+1 or i-1
πi(t +∆t) didefinisikan dengan menjumlah aliran masuk dan keluar dari state i
tti
ti
ti 1
ti 1
Sebagian tetap di i, sisanya keluar dengan laju ∆t λi dan ∆t µi
Laju aliran masuk dari state sebelumnya ∆t λi-1
Laju aliran masuk dari state sesudahnya ∆t µi+1
titX iPr
11111 iiiiiiii ttttttttt
1111 iiiiiiiii tttttttttt
11110
lim
iiiiiii
ii
t
tttt
ttt
,3,2,1 ,1111 itttt iiiiiiii
11000 ttt
Pure Birth Process Proses di mana hanya terdapat kelahiran (birth)
tanpa kematian (death) Laju kematian nol Laju kelahiran sama untuk setiap state
Solusi dari Pure Birth Process Turunan pertama dari peluang pada saat t
1111 iiiiiiii tttt
Dengan substitusi laju kelahiran λi = λ untuk semua i dan laju kematian μi = 0 untuk semua i, berawal dari state 0
tttt 0100 0
11000 ttt
00 11 tttt iiii 0,1 itt ii
tt 00 tet 0
ttt iii 1
Dengan definisi baru untuk menyelesaikan persamaan diferensial
0, itetQ it
i
u v
tetetQ it
it
i
ttetetQ iit
it
i 1 te it
1
Secara rekursif:
tetedt
dtQ i
ti
ti 1
t
ivt
i dvveet0
1
tet 0
t
vt dvveet0
01 t
vvt dveee0
te t
t
vt dvveet0
12 t
vvt dvveee0
t
t vdve0
2 22
1 222 tete tt
dst ,...3,2,1,0,
! i
i
tet
it
i
Contoh: Suatu proses kelahiran murni dengan parameter
kelahiran λ=2 individu/hari Berapa peluang bahwa pada hari ke dua tidak
terdapat individu di dalam sistem?
,...3,2,1,0,
!Pr i
i
tetitX
it
i
!0
22202Pr
022
0 eX 4e
Berapa peluang bahwa pada hari ke dua terdapat paling banyak 1 individu?
2212Pr 10 X !1
22
!0
22 122
022 ee
444 54 eee
Solusi dari Pure Death Process Proses di mana terdapat kematian tanpa kelahiran
Laju kelahiran λ=0
Laju kematian tergantung dari jumlah individu i yang ada, dan setiap individu mempunyai laju kematian μi = μ untuk setiap i
Turunan pertama peluang pada waktu t
1111 iiiiiiii tttt
Dengan substitusi laju kelahiran dan kematian yang sesuai, dimulai dari state ke n
tntntt nnnn 00 1
100 11 ittitt iiii titi ii 11
Solusi untuk state ke n:
tnt nn tnn et
titit iii 11
tnn et
Digunakan Q untuk menyelesaikan persamaan diferensial:
1,...,1,0, nitetQ iti
i
vu
teteitQ iti
iti
i
titietei iiti
iti 11 tie i
ti11
tietedt
dtQ i
tii
tii 11
t
iviti
i dvveeit0
11
Solusinya diperoleh secara rekursi dimulai dari state ke – n.
tnn et
t
iviti
i dvveeit0
11
Solusi untu state ke (n – 1)
t
nvntn
n dvvenet0
111
tvnvntn dveene
0
11
tvtnt
vtn enedvene0
1
0
1 1
ttnn enet 11
1
Solusi untuk state ke (n-2)
t
nvntn
n dvveent0
122
2 1
t
vvnvntn dveneeen0
122 11
ttnn enet 11
1
t
iviti
i dvveeit0
11
t
vvtn dveeenn0
2 11
tttn eeenn
22 21
1
2
1
221
2tnt ee
n
n
Secara umum, solusi yang diperoleh adalah sistem mempunyai sebaran Binomial dengan peluang survival pada waktu t adalah e-µt
tnn et
ttnn enet 11
1
22
2 12
tntn ee
n
nt
010
tnt een
111
1tnt ee
n
nieei
nt
intiti ,,1,0,1
Contoh: Suatu populasi diawali dengan 10 individu, dan
mengikuti proses kematian murni dengan parameter kematian µ=1 individu/hari.
Berapa peluang kepunahan dari suatu individu pada populasi tersebut pada suatu hari ke t?
nieei
nt
intiti ,,1,0,1
100
0 10
10 tt eet
10
1 te
Berapa peluang kepunahan dari suatu individu pada hari ke 10?
10
0 1 tet 9995.01101010
0 e
Single Server System, Kasus Khusus Birth and Death Process Suatu sistem dengan laju kelahiran dan laju kematian konstan Suatu kelahiran: kedatangan seorang pelanggan Suatu kematian: seorang pelanggan menyelesaikan
layanannya. Hanya terdapat dua state 0 and 1
Solusi dari Single Server System Dari persamaan turunan pertama bagi peluang pada waktu t
1111 iiiiiiii tttt
Substitusi nilai laju kelahiran dan kematian pada state 0
ttt 100
Substitusi nilai laju kelahiran dan kematian pada state 1
ttt 011
Penjumlahan dari kedua persamaan
ttt 100
ttt 011
01010 ttdt
dtt
+
1constant10 tt tt 01 -1
Penggunaan Q untuk menyelesaikan perseamaan differensial
tetQ t0
tetetQ tt00
ttete tt100 tte t
10
Solusi bagi persamaan diferensial
tt ettetQ 10
CdttQtQ
dt
tdQtQ
CdtetQ t
Pada t = 0, sistem berada pada state 0 secara pasti dan mengarah pada kondisi awal untuk Q:
Ce t
11100 00 eQ
Menyelesaikan C untuk kondisi awal
CetQ t
10 0
CeQ
10 Q
1C
(*)
tetQ
Definisi awal bagi Q:
(**) 0 tetQ t
Menyamakan (*) dan (**), menyelesaikannya untuk π0
(*)
tetQ (**) 0 tetQ t
tee tt
0
tt eet0
tet
0
tett
01 1