P(x,y)
O espaço bidimensional (R2)
Espaço Cartesiano
cota
abscissaordenada
ou
A=(Ax, Ay, Az)=(a1, a2, a3)
Vetores. Uma visão analítica
23
22
21 aaaA
BA
BABABA
BABABABA
BBBBAAAA
zzyyxx
zyxzyx
coscos
)(
),,(),,(
Produto Escalar
Trabalho
1) Calcular o trabalho requerido para levar 10g de água líquida ( ~10mL) pelo tronco de uma árvore de 20 m de altura desde a raiz até o topo. Comparar com o trabalho realizado para levantar um livro de massa 1 kg, até uma altura de 20 cm.
Calcular o trabalho realizado pela força F no deslocamento r.
F=(-3 N, 2 N, -4 N) r =(0.3m, 0.5m , 0,1 m)
O trabalho é o produto escalar entre a força e o deslocamento. Em bioenergética, a forma mais útil de quebrar nutrientes durante o metabolismo é através do trabalho
Exemplos
Produto Vetorial
Distância entre dois pontos
A (X0,Y0)
B (X1,Y1)
C (X1,Y0)
X
Y
X0 X1
Y0
Y1
201
201
201
201
2
01
01
222
)()(
)()(
)(
)(
yyxxABd
yyxxAB
yyBC
xxAC
CBACAB
Teorema de Pitágoras
Provar que no espaço tridimensional a distância euclidiana entre dois pontos é determinada por:
201
201
201 )()()( zzyyxxOPd
Teorema do cosseno
a
b
c
cos2222 abbac
Determinar as distâncias das extremidades do dipolo até uma carga pontual, como aparecena figura:
L
R
FunçãoDe modo geral, dados dois conjuntos, A e B, e uma relação f de A em B, dizemos que f é uma aplicação ou função de A em B se, e somente se, para todo x Є A existe um único y Є B, de modo que (x , y) Є f.
R = { (0,0), (1,1), (4,2), (9,3), (4,-2)}. Observando o conjunto A e o elemento 4, percebemos que ele está relacionado com dois elementos do conjunto B, como isso a relação R2 não é uma função.
R = {(-2,4), (-1,1), (0,0), (1,1)}. Observando o conjunto A percebemos que todos os elementos do conjunto A estão ligados a um elemento do conjunto B. D(R4) = A Im (R4) = {0,1,4}
Domínio, Codomínio e imagemSão três conjuntos especiais associados à função. O domínio é o conjunto que contém todos os elementos x para os quais a função deve ser definida. Já o contradomínio é: o conjunto que contém os elementos que podem ser relacionados a elementos do domínio.Também define-se o conjunto imagem como o conjunto de valores que efetivamente f(x) assume. O conjunto imagem é, pois, sempre um subconjunto do contradomínio.Note-se que a função se caracteriza pelo domínio, o contra-domínio, e a lei de associação.
2
2
)(,:
)(,:
xxgRRg
xxfRRf
Função x2, definida para { -3,-2,-1,0 }. Observar o conjunto domínio (D), contradomínio (CD) e imagem (delineado pela linha tracejada).
Função par e ímpar
Uma função f de uma variável independente x é chamada de PAR exclusivamente quando para todos os valores x e -x do seu domínio tem-se que f(x)=f(-x)
Uma função f de uma variável independente x é chamada de ÍMPAR exclusivamente quando para todos os valores x e -x do seu domínio tem-se que f(x)=-f(-x)
Composição de funçõesSão as funções em que o conjunto imagem de uma função f(x) serve de domínio para uma outra função g(x), que por sua vez gera um conjunto imagem A. A função composta é uma expressão que, dado um determinado número do domínio de f(x), nos leva diretamente ao conjunto imagem A. O domínio da função composta é a interseção dos domínios.
Função inversaAssim, podemos estabelecer uma relação inversa, transformando o contradomínio em domínio, e o domínio em contra-domínio de uma função. A expressão que representa essa troca é chamada de função inversa, e é representada por f -1(x).
221)32())((
123)1(2))((
1)(
32)(
xxxfg
xxxgf
xxg
xxf
xxyy
xxyxy
xxfy
1)1()(
1)(1
1)(
1
1
Idéia Intuitiva de Limite
1
1)(
2
x
xxf
Estudaremos o comportamento de uma função f nas proximidades de um ponto. Consideremos a função f:R-{1} --> R definida por:
Ao analisar o comportamento desta função nas vizinhanças do ponto x=1, ponto este que não pertence ao domínio de f, constatamos que esta função se aproxima rapidamente do valor L=2, quando os valores de x se aproximam de x=1, tanto por valores de x<1 (à esquerda de 1) como por valores x>1 (à direita de 1).
Seja f uma função real definida sobre o intervalo (a,b) exceto talvez no ponto x=c que pertence a intervalo (a,b), Le e Ld números reais. Diz-se que:
•O limite lateral à direita de f no ponto c é igual a Ld, se os valores da função se aproximam de Ld, quando x se aproxima de c por valores (à direita de c) maiores do que c.
•O limite lateral à esquerda de f no ponto c é igual a Le, se os valores da função se aproximam de Le, quando x se aproxima de c por valores (à esquerda de c) menores que c.
•Quando o limite lateral à esquerda Le coincide com o limite lateral à direita Ld, diz-se que existe o limite da função no ponto c e o seu valor é Ld=Le=L.
O que significa que, para qualquer e>0 e arbitrário, existe um d > 0, que depende de e, tal que |f(x)-L|< e para todo x satisfazendo 0 <|x-a|<d.
Se o limite de uma função existe, então ele deverá ser único.
Unicidade do Limite: Se Lim f(x)=A e Lim f(x)=B quando x tende ao ponto c, então A=B.
Ldxfcx
)(lim Lexfcx
)(lim Lxfcx
)(lim
Limite de uma função real
Teorema do Confronto (regra do sanduíche): Se valem as desigualdades f(x)<g(x)<h(x) para todo x em um intervalo aberto contendo a, exceto talvez em x=a e se:
Exemplo: Se para x próximo de 0, vale a relação de desigualdades:
LxgxhLxfaxaxax
)(lim)(lim)(lim
1)(
lim1)(
cos0
x
xsen
x
xsenx
x
Se acontecer uma das situações abaixo:Lim f(x) = 0Lim f(x)>0 e n é um número naturalLim f(x)<0 e n é um número natural ímparentão
nax
n
axxfxf )(lim)(lim
DerivadasDefinição de Derivada – Função Derivada
A derivada de uma função f(x) em relação à variável x é a funçãof´ cujo valor em x é:
desde que o limite exista.
x
xfxxfxf
x
)()(lim)´(
0
Calculando f´(x) a partir da Definição de Derivada
1) Escreva expressões para f(x) e f(x +x).
2) Desenvolva e simplifique o quociente de diferença
x
xfxxf
)()(
3) Usando o quociente simplificado, encontre f´(x) calculando oLimite:
x
xfxxfxf
x
)()(lim)´(
0
Exemplo 1 – Aplicando a Definição
Encontre a derivada de exy 0x
1)xxf )( e xxxxf )(
2)
xxx
xxxx
xxxx
xxx
x
xfxxf
1
)(
)(
)()(
3)
xxxxxf
h 2
11lim)´(
0
Propriedades
Regra da Cadeia
Derivada da soma, produto e quociente
2'
)(
)(')()()('
)(
)(
)(')()()('))'()((
)(')('))'()((
xg
xgxfxgxf
xg
xf
xgxfxgxfxgxf
xgxfxgxf
A regra da cadeia afirma que:
que na notação de Leibnitz é escrita como:
)('))((')))'((()()'( xgxgfxgfxgf
dx
dg
dg
df
dx
df
xxxf
xxf
2)1(3)('
)1()(22
32
xxxsenxg
xsenxg
2)cos()(4)('
)()(223
24
Exemplos
IntegraçãoAntiderivadaIntegração é o oposto (ou operação inversa) da diferenciação. Se a derivada de f (x) dá como resultado F(x) então, por definição, a integral de F(x) dá como resultado f (x). Temos chamado F(x) à derivada de f (x) e agora chamaremos f (x) a integral indefinida de F(x). Para isso usamos a notação:
dxxFxf )()(
Definição conceitualPara se descrever a integral de uma função f de uma variável x entre o intervalo [a, b] utiliza-se a notação:
A idéia desta notação utilizando um S comprido é generalizar a noção de somatório. Isto porque intuitivamente a integral de f(x) pode ser entendida como a soma de pequenos retângulos de base dx e altura f(x), onde o produto f(x) dx é a área deste retângulo.
N
abxxxfS
N
ii
0
)(
b
a
dxxFS )(
Consideremos a curva y = f(x) entre x = 0 and x = 1, comf(x) = √x. Perguntamos:Qual é a área sob a função f, no intervalo de 0 a 1?
Como uma primeira aproximação, olhamos ocuadrado unitário com lados em x=0 e x=1 e y = f(0) = 0 e y = f(1) = 1. Sua área é exatamente igual a 1. Como pode ser observado, o verdadeiro valor da integral deve ser menor. Diminuindo a largura do retângulo de aproximação, obteremos um resultado melhor. Dividindo o intervalo em 5 partes, usando os pontos de aproximação: 0, 1⁄5, 2⁄5, até 1. Ajustamos uma caixa para cada passo usando o valor da função à direita para cada pedaço da curva, √1⁄5, √2⁄5, e assim por diante até √1 = 1. Somando essas áreas desses retângulos, obtemos uma melhor aproximação:
..7497.0)5
41(1...)
5
1
5
2(
5
2)0
5
1(
5
1
3
2)01(
3
2
3
2
23
32321
0
32
1
0
1
0
23
xx
xA
Em geral, através do Teorema Fundamental do Cálculo
b
a
afbfdxxF )()()( Onde f(x) é a antiderivada de F(x)
Métodos de integração: Substituição
dxxx )32cos( 2
Considere a integral:
CxsenCusenxx
duux
duuxxx
x
dudxxdxdu
xu
)32(
4
1)(
4
1)32cos(
)cos(4
1
4)cos()32cos(
44
32
22
2
2
dxxgxgf )('))((A substituição consiste simplesmente em aplicar uma mudança de variáveis u = g(x), onde g(x) é uma função qualquer contínua no domínio de integração.
duufdxxgxgf )()('))((Fazendo du = g'(x)dx
Integral por partesSe f e g são funções diferenciáveis, então, pela regra de diferenciação do produto,
)()(')(')(
)()(xgxfxgxf
dx
xgxfd
Integrando ambos os lados, obtemos
dxxgxfdxxgxfdx
dx
xgxfd )()(')(')(
)()(
ou
dxxgxfdxxgxfCxgxf )()(')(')()()(
Integral por partesCdxxgxfdxxgxfxgxfdxxgxf )()(')(')()()()(')(
vduuvudv
dxxgxfdxxgxfxgxfdxxgxf )()(')(')()()()(')(
Calcular
Cexedxexedxxe
evdxedv
dxduxudxxe
xxxxx
xx
x