![Page 1: Quadruplets et réseaux non enracinés de niveau k](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022060108/554d94b6b4c90567188b5495/html5/thumbnails/1.jpg)
Journées Graphes et AlgorithmesMarseille – 09/11/2010
Quadruplets et réseauxnon enracinés de niveau k
Philippe Gambette,Vincent Berry, Christophe Paul
![Page 2: Quadruplets et réseaux non enracinés de niveau k](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022060108/554d94b6b4c90567188b5495/html5/thumbnails/2.jpg)
• Réseaux non enracinés de niveau k
• Complexité de la reconstruction
• Réseaux phylogénétiques• Triplets et quadruplets
• Décomposition dans le cas dense
Plan
• Reconstruction dans le cas complet
• Lien avec Non-Betweenness
![Page 3: Quadruplets et réseaux non enracinés de niveau k](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022060108/554d94b6b4c90567188b5495/html5/thumbnails/3.jpg)
Les arbres phylogénétiques
D'après Woese, Kandler, Wheelis : Towards a natural system of organisms: proposal for the domains Archaea, Bacteria, and Eucarya, Proceedings of the National Academy of Sciences, 87(12), 4576–4579 (1990)
![Page 4: Quadruplets et réseaux non enracinés de niveau k](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022060108/554d94b6b4c90567188b5495/html5/thumbnails/4.jpg)
Les réseaux phylogénétiques
D'après Parker & Stone, South Park S10E12 – The Theory of Evolution according to Mrs Garrison (2006)
Problème : prendre en compte les échanges de matériel génétique entre espèces coexistantes
![Page 5: Quadruplets et réseaux non enracinés de niveau k](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022060108/554d94b6b4c90567188b5495/html5/thumbnails/5.jpg)
Les réseaux phylogénétiques
Doolittle : Uprooting the Tree of Life, Scientific American (Fév. 2000)
Réseau phylogénétique de la vie
![Page 6: Quadruplets et réseaux non enracinés de niveau k](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022060108/554d94b6b4c90567188b5495/html5/thumbnails/6.jpg)
Les réseaux phylogénétiques
TCS
SplitsTree
Network
Level-2
T-Rex
HorizStory réseau médian
réseau couvrant minimum
réseau de niveau 2
réseau de bipartitions
réticulogramme
diagramme de synthèse
![Page 7: Quadruplets et réseaux non enracinés de niveau k](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022060108/554d94b6b4c90567188b5495/html5/thumbnails/7.jpg)
Reconstruction de réseaux
{séquences de gènes}
réseau N
méthodes de distanceBandelt & Dress 1992 - Legendre &
Makarenkov 2000 - Bryant & Moulton 2002méthodes de parcimonie
Hein 1990 - Kececioglu & Gusfield 1994 - Jin, Nakhleh, Snir, Tuller 2009
méthodes de vraisemblanceSnir & Tuller 2009 - Jin, Nakhleh, Snir,
Tuller 2009 - Velasco & Sober 2009
AATTGCAGTAGCCCAAAATACCTGCAGTAGACCAATGCTTGCCGTAGACAAGAATATTTGCAGAAGACCAAATAATTGCAGTAGACAAGAATACTTGCAGTAGCACAAAATACCTGGTGTAAAAT
![Page 8: Quadruplets et réseaux non enracinés de niveau k](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022060108/554d94b6b4c90567188b5495/html5/thumbnails/8.jpg)
Reconstruction de réseaux
Problème : méthodes généralement lentes, explosion du nombre de séquences.
{séquences de gènes}
réseau N
AATTGCAGTAGCCCAAAATACCTGCAGTAGACCAATGCTTGCCGTAGACAAGAATATTTGCAGAAGACCAAATAATTGCAGTAGACAAGAATACTTGCAGTAGCACAAAATACCTGGTGTAAAAT méthodes de distance
Bandelt & Dress 1992 - Legendre & Makarenkov 2000 - Bryant & Moulton 2002méthodes de parcimonie
Hein 1990 - Kececioglu & Gusfield 1994 - Jin, Nakhleh, Snir, Tuller 2009
méthodes de vraisemblanceSnir & Tuller 2009 - Jin, Nakhleh, Snir,
Tuller 2009 - Velasco & Sober 2009
![Page 9: Quadruplets et réseaux non enracinés de niveau k](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022060108/554d94b6b4c90567188b5495/html5/thumbnails/9.jpg)
Reconstruction combinatoire de réseaux
phylome = {arbres}
super-réseau N
{séquences de gènes}
Reconstruction d'un arbre par ensemble de gènes homologues
Réconciliation ou consensus d'arbres
AATTGCAGTAGCCCAAAATACCTGCAGTAGACCAATGCTTGCCGTAGACAAGAATATTTGCAGAAGACCAAATAATTGCAGTAGACAAGAATACTTGCAGTAGCACAAAATACCTGGTGTAAAAT
![Page 10: Quadruplets et réseaux non enracinés de niveau k](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022060108/554d94b6b4c90567188b5495/html5/thumbnails/10.jpg)
Reconstruction combinatoire de réseaux
phylome = {arbres}
super-réseau N
{séquences de gènes}
Reconstruction d'un arbre par ensemble de gènes homologues
Réconciliation ou consensus d'arbres
Problème : le consensus d'arbres est un problème NP-complet pour 2 arbres
AATTGCAGTAGCCCAAAATACCTGCAGTAGACCAATGCTTGCCGTAGACAAGAATATTTGCAGAAGACCAAATAATTGCAGTAGACAAGAATACTTGCAGTAGCACAAAATACCTGGTGTAAAAT
![Page 11: Quadruplets et réseaux non enracinés de niveau k](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022060108/554d94b6b4c90567188b5495/html5/thumbnails/11.jpg)
Triplets/quadruplets, splits/clades
Problème :Reconstruire le super-réseau d'un ensemble d'arbres est
difficile.
Idée : reconstuire un réseau contenant tous les :
tripletsquadruplets
des arbres en entrée ?
Motivations algorithmiques ! a b c d e
af
b c
de
![Page 12: Quadruplets et réseaux non enracinés de niveau k](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022060108/554d94b6b4c90567188b5495/html5/thumbnails/12.jpg)
• Réseaux non enracinés de niveau k
• Complexité de la reconstruction
• Réseaux phylogénétiques• Triplets et quadruplets
• Décomposition dans le cas dense
Plan
• Reconstruction dans le cas complet
• Lien avec Non-Betweenness
![Page 13: Quadruplets et réseaux non enracinés de niveau k](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022060108/554d94b6b4c90567188b5495/html5/thumbnails/13.jpg)
Triplets et quadruplets
Idée : reconstuire un réseau contenant tous les :
triplets
des arbres en entrée ?
a b c d e
a|ce
![Page 14: Quadruplets et réseaux non enracinés de niveau k](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022060108/554d94b6b4c90567188b5495/html5/thumbnails/14.jpg)
Triplets et quadruplets
Idée : reconstuire un réseau contenant tous les :
triplets
quadruplets
des arbres en entrée ?
a b c d e
a|ce
ab|ceaf
b c
de
![Page 15: Quadruplets et réseaux non enracinés de niveau k](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022060108/554d94b6b4c90567188b5495/html5/thumbnails/15.jpg)
Triplets et quadruplets
Idée : modifier le type de données à traiter
{arbres}
super-réseau N
![Page 16: Quadruplets et réseaux non enracinés de niveau k](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022060108/554d94b6b4c90567188b5495/html5/thumbnails/16.jpg)
Triplets et quadruplets
Idée : modifier le type de données à traiter
{arbres}
super-réseau N super-réseau N'
{triplets} {quadruplets}
![Page 17: Quadruplets et réseaux non enracinés de niveau k](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022060108/554d94b6b4c90567188b5495/html5/thumbnails/17.jpg)
Triplets et quadruplets
Idée : modifier le type de données à traiter
{arbres}
super-réseau N super-réseau N'
{triplets} {quadruplets}
N'=N ?
![Page 18: Quadruplets et réseaux non enracinés de niveau k](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022060108/554d94b6b4c90567188b5495/html5/thumbnails/18.jpg)
Triplets et quadruplets
Un réseau contenant tous les quadruplets d'un arbre T ne contient pas forcément T.
Contient tous les quadruplets d'un arbre T
contient T.
T
N contient tousles quadruplets de Tmais pas T
a
b
cd
e
fa b
c
de
f
N
![Page 19: Quadruplets et réseaux non enracinés de niveau k](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022060108/554d94b6b4c90567188b5495/html5/thumbnails/19.jpg)
Triplets et quadruplets
Pas nécessairement, mais :
N'=N ?
{ N } ⊆ { N' }
{arbres}
super-réseau N super-réseau N'
{triplets} {quadruplets}
![Page 20: Quadruplets et réseaux non enracinés de niveau k](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022060108/554d94b6b4c90567188b5495/html5/thumbnails/20.jpg)
• Réseaux non enracinés de niveau k
• Complexité de la reconstruction
• Réseaux phylogénétiques• Triplets et quadruplets
• Décomposition dans le cas dense
Plan
• Reconstruction dans le cas complet
• Lien avec Non-Betweenness
![Page 21: Quadruplets et réseaux non enracinés de niveau k](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022060108/554d94b6b4c90567188b5495/html5/thumbnails/21.jpg)
Réseaux non enracinés de niveau k
Algorithmes rapides pour des réseaux à structure proche d'un arbre.
a
b c
de
f
ghi composante 2-arête connexe = sous-graphe sans isthme (arête qui déconnecte le graphe) maximal
![Page 22: Quadruplets et réseaux non enracinés de niveau k](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022060108/554d94b6b4c90567188b5495/html5/thumbnails/22.jpg)
Réseaux non enracinés de niveau k
Algorithmes rapides pour des réseaux à structure proche d'un arbre.
niveau = maximum, parmi toutes les composantes 2-arêtes-connexes, du nombre minimum d'arêtes à supprimer pour obtenir un arbre.
réseau non enraciné de niveau 2.
a
b c
de
f
ghi composante 2-arête connexe = sous-graphe sans isthme (arête qui déconnecte le graphe) maximal
![Page 23: Quadruplets et réseaux non enracinés de niveau k](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022060108/554d94b6b4c90567188b5495/html5/thumbnails/23.jpg)
Réseaux non enracinés de niveau k
Algorithmes rapides pour des réseaux à structure proche d'un arbre.
réseau non enraciné de niveau 2.
a
b c
de
f
ghiéquivalent non enraciné du niveau des réseaux enracinés
Choy, Jansson,Sadakane & Sung 2005
![Page 24: Quadruplets et réseaux non enracinés de niveau k](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022060108/554d94b6b4c90567188b5495/html5/thumbnails/24.jpg)
Réseaux non enracinés de niveau k
Algorithmes rapides pour des réseaux à structure proche d'un arbre.
réseau non enraciné de niveau 2.
a
b c
de
f
ghiéquivalent non enraciné du niveau des réseaux enracinés
Choy, Jansson,Sadakane & Sung 2005
Enraciner un arbre :difficile en phylogénie
le faire plutôt à la fin !
![Page 25: Quadruplets et réseaux non enracinés de niveau k](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022060108/554d94b6b4c90567188b5495/html5/thumbnails/25.jpg)
Réseaux non enracinés de niveau k
Algorithmes rapides pour des réseaux à structure proche d'un arbre.
niveau = mesure de “complexité” du réseauphylogénétique
réseau non enraciné de niveau 2.
a
b c
de
f
ghi
![Page 26: Quadruplets et réseaux non enracinés de niveau k](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022060108/554d94b6b4c90567188b5495/html5/thumbnails/26.jpg)
Réseaux non enracinés de niveau k
Algorithmes rapides pour des réseaux à structure proche d'un arbre.
réseau non enraciné de niveau 1.
a
b c
de
f
ghi niveau = mesure de “complexité” du réseauphylogénétique
niveau 0 = arbre
![Page 27: Quadruplets et réseaux non enracinés de niveau k](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022060108/554d94b6b4c90567188b5495/html5/thumbnails/27.jpg)
Réseaux non enracinés de niveau k
Algorithmes rapides pour des réseaux à structure proche d'un arbre.
réseau non enraciné de niveau 1.
a
b c
de
f
ghi niveau = mesure de “complexité” du réseauphylogénétique
niveau 0 = arbre
niveau 1 = “arbre decycles”
![Page 28: Quadruplets et réseaux non enracinés de niveau k](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022060108/554d94b6b4c90567188b5495/html5/thumbnails/28.jpg)
Réseaux non enracinés de niveau k
Algorithmes rapides pour des réseaux à structure proche d'un arbre.
réseau non enraciné de niveau > 1.
a
b c
de
f
ghi niveau = mesure de “complexité” du réseauphylogénétique
niveau 0 = arbre
niveau 1 = “arbre decycles”
niveau > 1 = “arbre de blobs”
![Page 29: Quadruplets et réseaux non enracinés de niveau k](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022060108/554d94b6b4c90567188b5495/html5/thumbnails/29.jpg)
• Réseaux non enracinés de niveau k
• Complexité de la reconstruction
• Réseaux phylogénétiques• Triplets et quadruplets
• Décomposition dans le cas dense
Plan
• Reconstruction dans le cas complet
• Lien avec Non-Betweenness
![Page 30: Quadruplets et réseaux non enracinés de niveau k](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022060108/554d94b6b4c90567188b5495/html5/thumbnails/30.jpg)
Complexité de la vérification
N, réseau non enraciné de niveau k
Ensemble des quadruplets de N ?
a
b c
de
f
ghi
N
![Page 31: Quadruplets et réseaux non enracinés de niveau k](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022060108/554d94b6b4c90567188b5495/html5/thumbnails/31.jpg)
Complexité de la vérification
a
b c
de
f
ghi
N
N, réseau non enraciné de niveau k
Ensemble des quadruplets de N ?
ab|cd quadruplet de N
N contient deux chemins sommet-disjoints :
![Page 32: Quadruplets et réseaux non enracinés de niveau k](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022060108/554d94b6b4c90567188b5495/html5/thumbnails/32.jpg)
Complexité de la vérification
a
b c
de
f
ghi
N
N, réseau non enraciné de niveau k
Ensemble des quadruplets de N ?
ab|cd quadruplet de N
N contient deux chemins sommet-disjoints :
- entre a et b
![Page 33: Quadruplets et réseaux non enracinés de niveau k](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022060108/554d94b6b4c90567188b5495/html5/thumbnails/33.jpg)
Complexité de la vérification
a
b c
de
f
ghi
N
N, réseau non enraciné de niveau k
Ensemble des quadruplets de N ?
ab|cd quadruplet de N
N contient deux chemins sommet-disjoints :
- entre a et b- entre c et d
![Page 34: Quadruplets et réseaux non enracinés de niveau k](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022060108/554d94b6b4c90567188b5495/html5/thumbnails/34.jpg)
Complexité de la vérification
a
b c
de
f
ghi
N
ab|cd quadruplet de N
N contient deux chemins sommet-disjoints :
- entre a et b- entre c et d
N, réseau non enraciné de niveau k
Ensemble des quadruplets de N ?
![Page 35: Quadruplets et réseaux non enracinés de niveau k](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022060108/554d94b6b4c90567188b5495/html5/thumbnails/35.jpg)
Complexité de la vérification
a
b c
de
f
ghi
N
ab|cd quadruplet de N
N contient deux chemins sommet-disjoints :
- entre a et b- entre c et d
N, réseau non enraciné de niveau k
Ensemble des quadruplets de N ?
algo 2-Vertex-Disjoint-Paths en O(n+n.α(n,n))
Tholey 2009
![Page 36: Quadruplets et réseaux non enracinés de niveau k](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022060108/554d94b6b4c90567188b5495/html5/thumbnails/36.jpg)
Complexité de la vérification
N, réseau non enraciné de niveau k
Ensemble des quadruplets de N ?
En O(n5(1+α(n,n)))
N enraciné
Triplets de N ?
En O(n3)programmation
dynamique,Byrka, Gawrychowski,
Huber & Kelk 2010
![Page 37: Quadruplets et réseaux non enracinés de niveau k](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022060108/554d94b6b4c90567188b5495/html5/thumbnails/37.jpg)
Complexité de la reconstruction
Q, ensemble de quadruplets
∃? réseau non enraciné de niveau k qui contient Q ?
![Page 38: Quadruplets et réseaux non enracinés de niveau k](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022060108/554d94b6b4c90567188b5495/html5/thumbnails/38.jpg)
Complexité de reconstruction
non enraciné enraciné
général
dense1 quadruplet par ensemble de 4 feuilles
complettous les
quadruplets du réseau
NP-complet
niveau 1
?décomposition
en tempspolynomial
O(n4)
??
?
?décomposition
en tempspolynomial
niveau k>1 niveau 1 niveau k>1
NP-completJansson, Nguyen
& Sung 2006
O(n3)Jansson, Nguyen
& Sung 2006
O(n3)Jansson, Nguyen
& Sung 2006
O(n5k+4)To &
Habib 2009
O(n3k+3)Van Iersel
& Kelk 2009
NP-completVan Iersel, Kelk& Mnich 2009
![Page 39: Quadruplets et réseaux non enracinés de niveau k](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022060108/554d94b6b4c90567188b5495/html5/thumbnails/39.jpg)
Complexité de reconstruction
non enraciné enraciné
général
dense1 quadruplet par ensemble de 4 feuilles
complettous les
quadruplets du réseau
NP-complet NP-completJansson, Nguyen
& Sung 2006
niveau 1
?décomposition
en tempspolynomial
O(n3)Jansson, Nguyen
& Sung 2006
O(n4) O(n3)Jansson, Nguyen
& Sung 2006
??
?
?décomposition
en tempspolynomial
O(n5k+4)To &
Habib 2009
O(n3k+3)Van Iersel
& Kelk 2009
niveau k>1 niveau 1 niveau k>1
NP-completVan Iersel, Kelk& Mnich 2009
![Page 40: Quadruplets et réseaux non enracinés de niveau k](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022060108/554d94b6b4c90567188b5495/html5/thumbnails/40.jpg)
Complexité de la reconstruction
Q, ensemble de quadruplets
∃? réseau non enraciné de niveau k qui contient Q ?
T, ensemble de triplets
∃? réseau enraciné de niveau k qui contient T ?
En O(n3) pour k = 0
NP-complet pour k = 1
NP-complet pour k > 1
NP-complet pour k = 0 Steel 1992
Aho & al. 1981, Jansson & al. 2005
Jansson, Nguyen & Sung 2006
Van Iersel, Kelk & Mnich 2009
![Page 41: Quadruplets et réseaux non enracinés de niveau k](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022060108/554d94b6b4c90567188b5495/html5/thumbnails/41.jpg)
Complexité de la reconstruction
Q, ensemble de quadruplets
∃? réseau non enraciné de niveau k qui contient Q ?
T, ensemble de triplets
∃? réseau enraciné de niveau k qui contient T ?
En O(n3) pour k = 0
NP-complet pour k = 1
NP-complet pour k > 1
NP-complet pour k = 0
NP-complet pour k = 1, réduction de Betweenness
Steel 1992
Aho & al. 1981, Jansson & al. 2005
Jansson, Nguyen & Sung 2006
Van Iersel, Kelk & Mnich 2009
![Page 42: Quadruplets et réseaux non enracinés de niveau k](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022060108/554d94b6b4c90567188b5495/html5/thumbnails/42.jpg)
Réduction depuis Betweenness
C, ensemble de contraintes ci=(a,b,c) : b “entre” a et c ∈ A
∃? ordre σ sur A qui vérifie les contraintes de C ?
NP-complet Opatrny 1979
Betweenness
Q, ensemble de quadruplets
∃? réseau non enraciné de niveau 1 qui contient Q ?
Réduction :adaptation de la preuve de Steel 1992
![Page 43: Quadruplets et réseaux non enracinés de niveau k](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022060108/554d94b6b4c90567188b5495/html5/thumbnails/43.jpg)
Réduction depuis Betweenness
ci = (a,b,c)
Qi = {p
i p'
i|ab, p
ia|bc, p
ib|cq
i, p
ic|q
iq'
i, p
iα|p'
iβ, q
iα|q'
iβ}
Q' = {αα'|ββ', αβ|α'β'}∪{ββ'|xα, αα'|xβ, α'β'|xβ, x∈A∪{pi ,p'
i,q
i,q'
i}}
Q = Q' ∪ UQi
C, ensemble de contraintes ci=(a,b,c) : b “entre” a et c ∈ A
∃? ordre σ sur A qui vérifie les contraintes de C ?
Betweenness
Q, ensemble de quadruplets
∃? réseau non enraciné de niveau 1 qui contient Q ?
i
![Page 44: Quadruplets et réseaux non enracinés de niveau k](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022060108/554d94b6b4c90567188b5495/html5/thumbnails/44.jpg)
Réduction depuis Betweenness
ci = (a,b,c)
Qi = {p
i p'
i|ab, p
ia|bc, p
ib|cq
i, p
ic|q
iq'
i, p
iα|p'
iβ, q
iα|q'
iβ}
Q' = {αα'|ββ', αβ|α'β'}∪{ββ'|xα, αα'|xβ, α'β'|xβ, x∈A∪{pi ,p'
i,q
i,q'
i}}
Q = Q' ∪ UQi
C, ensemble de contraintes ci=(a,b,c) : b “entre” a et c ∈ A
∃? ordre σ sur A qui vérifie les contraintes de C ?
Betweenness
Q, ensemble de quadruplets
∃? réseau non enraciné de niveau 1 qui contient Q ?
i
xα β
α' β'
α'' β''
![Page 45: Quadruplets et réseaux non enracinés de niveau k](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022060108/554d94b6b4c90567188b5495/html5/thumbnails/45.jpg)
Réduction depuis Betweenness
ci = (a,b,c)
Qi = {p
i p'
i|ab, p
ia|bc, p
ib|cq
i, p
ic|q
iq'
i, p
iα|p'
iβ, q
iα|q'
iβ}
Q' = {αα'|ββ', αβ|α'β'}∪{ββ'|xα, αα'|xβ, α'β'|xβ, x∈A∪{pi ,p'
i,q
i,q'
i}}
Q = Q' ∪ UQi
C, ensemble de contraintes ci=(a,b,c) : b “entre” a et c ∈ A
∃? ordre σ sur A qui vérifie les contraintes de C ?
Betweenness
Q, ensemble de quadruplets
∃? réseau non enraciné de niveau 1 qui contient Q ?
i
xα β
α' β'
α'' β''p bp' q q'ca
q' bq p' pac
i i i i
oui i i i
b' a'c'
b' c'a'
α''
α''
β''
β''
α
α
β
β
![Page 46: Quadruplets et réseaux non enracinés de niveau k](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022060108/554d94b6b4c90567188b5495/html5/thumbnails/46.jpg)
Réduction depuis Betweenness
ci = (a,b,c)
Qi = {p
i p'
i|ab, p
ia|bc, p
ib|cq
i, p
ic|q
iq'
i, p
iα|p'
iβ, q
iα|q'
iβ}
Q' = {αα'|ββ', αβ|α'β'}∪{ββ'|xα, αα'|xβ, α'β'|xβ, x∈A∪{pi ,p'
i,q
i,q'
i}}
Q = Q' ∪ UQi
C, ensemble de contraintes ci=(a,b,c) : b “entre” a et c ∈ A
∃? ordre σ sur A qui vérifie les contraintes de C ?
Betweenness
Q, ensemble de quadruplets
∃? réseau non enraciné de niveau 1 qui contient Q ?
i
pi p'
i q
i q'
ip
i p'
i q
i q'
i
Aα β
α' β'
σ
![Page 47: Quadruplets et réseaux non enracinés de niveau k](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022060108/554d94b6b4c90567188b5495/html5/thumbnails/47.jpg)
Réduction depuis Betweenness
ci = (a,b,c)
Qi = {p
i p'
i|ab, p
ia|bc, p
ib|cq
i, p
ic|q
iq'
i, p
iα|p'
iβ, q
iα|q'
iβ}
Q' = {αα'|ββ', αβ|α'β'}∪{ββ'|xα, αα'|xβ, α'β'|xβ, x∈A∪{pi ,p'
i,q
i,q'
i}}
Q = Q' ∪ UQi
C, ensemble de contraintes ci=(a,b,c) : b “entre” a et c ∈ A
∃? ordre σ sur A qui vérifie les contraintes de C ?
Betweenness
Q, ensemble de quadruplets
∃? réseau non enraciné de niveau 1 qui contient Q ?
i
pi p'
i q
i q'
ip
i p'
i q
i q'
i
Aα β
α' β'
σ
![Page 48: Quadruplets et réseaux non enracinés de niveau k](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022060108/554d94b6b4c90567188b5495/html5/thumbnails/48.jpg)
• Réseaux non enracinés de niveau k
• Complexité de la reconstruction
• Réseaux phylogénétiques• Triplets et quadruplets
• Décomposition dans le cas dense
Plan
• Reconstruction dans le cas complet
• Lien avec Non-Betweenness
![Page 49: Quadruplets et réseaux non enracinés de niveau k](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022060108/554d94b6b4c90567188b5495/html5/thumbnails/49.jpg)
Complexité de reconstruction
non enraciné enraciné
général
dense1 quadruplet par ensemble de 4 feuilles
complettous les
quadruplets du réseau
NP-complet
niveau 1
?décomposition
en temps polynomial
O(n4)
??
?
?décomposition
en tempspolynomial
niveau k>1 niveau 1 niveau k>1
NP-completJansson, Nguyen
& Sung 2006
O(n3)Jansson, Nguyen
& Sung 2006
O(n3)Jansson, Nguyen
& Sung 2006
O(n5k+4)To &
Habib 2009
O(n3k+3)Van Iersel
& Kelk 2009
NP-completVan Iersel, Kelk& Mnich 2009
![Page 50: Quadruplets et réseaux non enracinés de niveau k](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022060108/554d94b6b4c90567188b5495/html5/thumbnails/50.jpg)
Décomposition dans le cas dense
• Q, ensemble dense de quadruplets :
Sur tout ensemble de quatre feuilles,il existe un quadruplet dans Q
• A|A SN-bipartition de Q :
Pour toutes feuilles x,y ∈ A, z,t ∈ A,le seul quadruplet de Q sur ces 4 feuilles est xy|zt
Q, ensemble dense de quadruplets
L'ensemble des SN-bipartitions de Q est compatible, i.e. peut être représenté par un arbre non enraciné
![Page 51: Quadruplets et réseaux non enracinés de niveau k](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022060108/554d94b6b4c90567188b5495/html5/thumbnails/51.jpg)
Décomposition dans le cas dense
Q, ensemble dense de quadruplets
L'ensemble des SN-bipartitions de Q est compatible, i.e. peut être représenté par un arbre non enraciné
a
cf
gh
b
deN
{a}|{bcdefgh}
{b}|{acdefgh}
{ab}|{cdefgh}
{c}|{abdefgh}
{abc}|{defgh}
{d}|{abcefgh}
{e}|{abcdfgh}
{de}|{abcfgh}
{f}|{abcdegh}
{h}|{abcdefg}
{g}|{abcdefh}
Q = { quadruplets de N }
![Page 52: Quadruplets et réseaux non enracinés de niveau k](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022060108/554d94b6b4c90567188b5495/html5/thumbnails/52.jpg)
Décomposition dans le cas dense
Q, ensemble dense de quadruplets
L'ensemble des SN-bipartitions de Q est compatible, i.e. peut être représenté par un arbre non enraciné
a
cf
gh
b
deN
{a}|{bcdefgh}
{b}|{acdefgh}
{ab}|{cdefgh}
{c}|{abdefgh}
{abc}|{defgh}
{d}|{abcefgh}
{e}|{abcdfgh}
{de}|{abcfgh}
{f}|{abcdegh}
{h}|{abcdefg}
{g}|{abcdefh}
Q = { quadruplets de N }
![Page 53: Quadruplets et réseaux non enracinés de niveau k](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022060108/554d94b6b4c90567188b5495/html5/thumbnails/53.jpg)
Décomposition dans le cas dense
Q, ensemble dense de quadruplets
L'ensemble des SN-bipartitions de Q est compatible, i.e. peut être représenté par un arbre non enraciné
Calcul des SN-bipartitionsen O(n4)
variante de l'algorithme Q*,Berry & Gascuel 2001
Equivalent enraciné :Calcul des SN-ensemblesen O(n3)
Jansson, Nguyen& Sung 2006
![Page 54: Quadruplets et réseaux non enracinés de niveau k](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022060108/554d94b6b4c90567188b5495/html5/thumbnails/54.jpg)
Décomposition dans le cas dense
Q, ensemble dense de quadrupletscontenus dans un réseau N de niveau 1
Il existe un réseau N ' de niveau 1 contenant Qtel que l'ensemble des SN-bipartitions de Q
est en bijection avec les isthmes de N '.
![Page 55: Quadruplets et réseaux non enracinés de niveau k](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022060108/554d94b6b4c90567188b5495/html5/thumbnails/55.jpg)
Décomposition dans le cas complet
Q(N), ensemble de tous les quadrupletscontenus dans un réseau N de niveau k
Les SN-bipartitions de Q(N)sont en bijection avec les isthmes de N.
a
cf
gh
b
deN
{a}|{bcdefgh}
{b}|{acdefgh}
{ab}|{cdefgh}
{c}|{abdefgh}
{abc}|{defgh}
{d}|{abcefgh}
{e}|{abcdfgh}
{de}|{abcfgh}
{f}|{abcdegh}
{h}|{abcdefg}
{g}|{abcdefh}
![Page 56: Quadruplets et réseaux non enracinés de niveau k](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022060108/554d94b6b4c90567188b5495/html5/thumbnails/56.jpg)
Décomposition dans le cas complet
Q(N), ensemble de tous les quadrupletscontenus dans un réseau N de niveau k
Les SN-bipartitions de Q(N)sont en bijection avec les isthmes de N.
On sait séparer les composantes 2-arête-connexesde N à partir de Q(N).
Comment reconstruire chaquecomposante 2-arête-connexe de N ?
![Page 57: Quadruplets et réseaux non enracinés de niveau k](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022060108/554d94b6b4c90567188b5495/html5/thumbnails/57.jpg)
• Réseaux non enracinés de niveau k
• Complexité de la reconstruction
• Réseaux phylogénétiques• Triplets et quadruplets
• Décomposition dans le cas dense
Plan
• Reconstruction dans le cas complet
• Lien avec Non-Betweenness
![Page 58: Quadruplets et réseaux non enracinés de niveau k](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022060108/554d94b6b4c90567188b5495/html5/thumbnails/58.jpg)
Complexité de reconstruction
non enraciné enraciné
général
dense1 quadruplet par ensemble de 4 feuilles
complettous les
quadruplets du réseau
NP-complet
niveau 1
?décomposition
en tempspolynomial
O(n4)
??
?
?décomposition
en tempspolynomial
niveau k>1 niveau 1 niveau k>1
NP-completJansson, Nguyen
& Sung 2006
O(n3)Jansson, Nguyen
& Sung 2006
O(n3)Jansson, Nguyen
& Sung 2006
O(n5k+4)To &
Habib 2009
O(n3k+3)Van Iersel
& Kelk 2009
NP-completVan Iersel, Kelk& Mnich 2009
![Page 59: Quadruplets et réseaux non enracinés de niveau k](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022060108/554d94b6b4c90567188b5495/html5/thumbnails/59.jpg)
Reconstruction dans le cas complet
Comment reconstruire chaque composante2-arête-connexe de N de niveau 1 à partir de Q(N) ?
Graphe d'ordre des quadruplets :G(Q) = ({{a,b}, a,b ∈ X},{arête {a,b}{b,c} si ∀d ∈ X, ac|bd∉Q})
{a,b}
{b,c} {c,d}
{a,e}{a,c}
{b,e}
{b,d}
{d,e}{a,d}
{c,e}
a e
b dca
b c
d
eN G(Q(N))
N réseau de niveau 1 à une composante 2-arête-connexe G(Q(N)) = cycle à n sommets + sommets isolés.
arête {a,b}{b,c} étiquetée par “b”
![Page 60: Quadruplets et réseaux non enracinés de niveau k](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022060108/554d94b6b4c90567188b5495/html5/thumbnails/60.jpg)
Reconstruction dans le cas complet
Comment reconstruire chaque composante2-arête-connexe de N de niveau 1 à partir de Q(N) ?
Reconstruction en O(n4)
![Page 61: Quadruplets et réseaux non enracinés de niveau k](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022060108/554d94b6b4c90567188b5495/html5/thumbnails/61.jpg)
• Réseaux non enracinés de niveau k
• Complexité de la reconstruction
• Réseaux phylogénétiques• Triplets et quadruplets
• Décomposition dans le cas dense
Plan
• Reconstruction dans le cas complet
• Lien avec Non-Betweenness
![Page 62: Quadruplets et réseaux non enracinés de niveau k](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022060108/554d94b6b4c90567188b5495/html5/thumbnails/62.jpg)
Complexité de reconstruction
non enraciné enraciné
général
dense1 quadruplet par ensemble de 4 feuilles
complettous les
quadruplets du réseau
NP-complet
niveau 1
?décomposition
en tempspolynomial
O(n4)
??
?
?décomposition
en tempspolynomial
niveau k>1 niveau 1 niveau k>1
NP-completJansson, Nguyen
& Sung 2006
O(n3)Jansson, Nguyen
& Sung 2006
O(n3)Jansson, Nguyen
& Sung 2006
O(n5k+4)To &
Habib 2009
O(n3k+3)Van Iersel
& Kelk 2009
NP-completVan Iersel, Kelk& Mnich 2009
![Page 63: Quadruplets et réseaux non enracinés de niveau k](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022060108/554d94b6b4c90567188b5495/html5/thumbnails/63.jpg)
Lien avec Non-Betweenness
Comment reconstruire chaque composante2-arête-connexe de N de niveau 1 à partir de Q(N) ?
Reconstruction en O(n4)
Comment reconstruire chaque composante2-arête-connexe de N de niveau 1 à partir de Q dense ?
![Page 64: Quadruplets et réseaux non enracinés de niveau k](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022060108/554d94b6b4c90567188b5495/html5/thumbnails/64.jpg)
Lien avec Non-Betweenness
Comment reconstruire chaque composante2-arête-connexe de N de niveau 1 à partir de Q(N) ?
Reconstruction en O(n4)
Comment reconstruire chaque composante2-arête-connexe de N de niveau 1 à partir de Q dense ?
Variante de Non-Betweenness (dense)
ab|cd dans un réseau de niveau 1 :
a
b
d
c
a
b
c
d
a
c
d
b
c “entre” a et b par rapport à d
![Page 65: Quadruplets et réseaux non enracinés de niveau k](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022060108/554d94b6b4c90567188b5495/html5/thumbnails/65.jpg)
Merci pour votre attention !
non enraciné enraciné
général
dense1 quadruplet par ensemble de 4 feuilles
complettous les
quadruplets du réseau
NP-complet NP-completJansson, Nguyen
& Sung 2006
niveau 1
?décomposition
en tempspolynomial
O(n3)Jansson, Nguyen
& Sung 2006
O(n4) O(n3)Jansson, Nguyen
& Sung 2006
??
?
?décomposition
en tempspolynomial
O(n5k+4)To &
Habib 2009
O(n3k+3)Van Iersel
& Kelk 2009
niveau k>1 niveau 1 niveau k>1
NP-completVan Iersel, Kelk& Mnich 2009
Des questions ?