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RAZONAMIENTO APROXIMADO

Sistemas Difusos (Fuzzy Systems)

Ingeniería Electrónica

Ingeniería del Conocimiento

REALIDAD

El conocimiento que necesitamos para desarrollar un Sistema basado en

Conocimiento tiene muchas veces las siguientes características:

NO ES DEL TODO NO ES DEL TODO CONFIABLECONFIABLE

INCOMPLETOINCOMPLETO CONTRADICTORIOCONTRADICTORIO

IMPRECISOIMPRECISO

REALIDAD

Las personas con esas fuentes de conocimiento, dotadas de esas características, razonamos y muchas veces concluímos …

CAPACIDAD DE RAZONAR CAPACIDAD DE RAZONAR APROXIMADAMENTEAPROXIMADAMENTE

Como modelizamos estas Como modelizamos estas características del características del conocimiento,conocimiento, de de

modo de poder:modo de poder:

PROBLEMA

UTILIZARLO

REPRESENTARLO

REALIDAD

La lógica clásica es un buen modelo para formalizar cualquier razonamiento basado en información certera (V o F)

NECESITAMOS OTROS FORMALISMOS

REALIDAD

El desarrollo de la IA ha incentivado el estudio de formalismos que son alternativos o complementarios a la lógica clásica

INVESTIGACION Y DESARROLLO DE OTROS FORMALISMOS

CONOCIMIENTO IMPRECISO

El conocimiento cuenta con predicados o cuantificadores vagos (no precisos)

Ejemplos: •Pedro tiene entre 20 y 25 años.•Juan es joven•Mucha gente juega al fútbol•El espectáculo es para gente grande.

RAZONAMIENTO APROXIMADO (RA)

Trata como REPRESENTAR COMBINAR y REALIZAR INFERENCIAS

con conocimiento impreciso y/o incierto

RA: Distintos modelos

MODELOS PROBABILISTICOSMODELO POSIBILISTICO

Todos tratan la incertidumbre en un sistema de producción

Sólo el modelo posibilístico puede tratar la imprecisión.

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Razonamiento inexacto

Es necesario cuantificar y razonar acerca de términos o predicados difusos que aparecen en el lenguaje natural.

La lógica difusa se refiere a estos términos como variables lingüísticas, y la tecnología de los sistemas expertos, incorpora estas variables lingüísticas en reglas que pasan a ser reglas difusas.

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Lógica difusa

Introducción Teoría de conjuntos difusos

• Teoría de conjuntos clásica (conjuntos nítidos)• Conjuntos Difusos

– Funciones de pertenencia– Etiquetas lingüísticas

• Operaciones elementales con conjuntos difusos– Complemento– Intersección– Unión

Razonamiento difuso• Inferencia difusa• Decodificación

Funcionamiento de un sistema difuso Conclusiones

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Necesidad de razonamiento difuso

En el mundo real existe mucho conocimiento con las siguientes características: conocimiento vago, impreciso, incierto, ambiguo, inexacto, o probabilístico por naturaleza.

El razonamiento y pensamiento humano frecuen-temente conlleva información de este tipo:

• imprecisión inherente de los conceptos humanos y • razonamiento basado en experiencias similares, pero no

idéntica

Problema: Poca capacidad de expresión de la lógica clásica. Ejemplo 1. Clasificación de personas en altas o bajas Ejemplo 2. Definición del término joven

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Going Fuzzy …

Examples of Fuzzy statements: The motor is running very hot. Tom is a very tall guy. Electric cars are not very fast. High-performance drives require very rapid dynamics and precise regulation. Leuven is quite a short distance from Brussels. Leuven is a beautiful city. The maximum range of an electronic vehicle is short.

If short means: 300 km or less, would 301 km be long ? Want to express to what degree a property holds.

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Fuzzy sets:

Are functions: f: domain [0,1]

11

00150150 160160 170170 180180 190190 200200 210210 cmcm

Crisp set (tall men):

Fuzzy set (tall men):11

00150150 160160 170170 180180 190190 200200 210210 cmcm

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Representing a domain:

Crisp sets (men’s height):

11

00150150 160160 170170 180180 190190 200200 210210 cmcm

shortshort mediummedium talltall

Fuzzy set (men’s height):

11

00150150 160160 170170 180180 190190 200200 210210 cmcm

shortshort mediummedium talltallshortshort

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Lógica difusa

En 1965, Lofti Zadeh sienta las bases de la lógica difusa

Motivación inicial: estudio de la vaguedadRelación vaguedad incertidumbre

Solución: definir conjuntos con grados de pertenencia Éxito de la lógica difusa :

• Desde el punto de vista práctico: miles de aplicaciones, la mayoría en sistemas de control

• Desde el punto de vista lógico: lógica fuzzy como una lógica multivaluada.

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Características principales de la lógica difusa

Se intenta representar la vaguedad e imprecisión inherentes en el lenguaje natural

Utiliza varios elementos: conjuntos difusos, variables difusas, relaciones difusas, reglas difusas (lenguaje difuso)

Dichos elementos se combinan entre sí en el proceso de inferencias (fuzzy logic)

Fuzzy control: El proceso de inferencias incluye pasos que pasan la información precisa a difusa y viceversa

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Lógica difusa

Por definición “logica difusa” es una rama de la lógica que utiliza grados de pertenencia a los conjuntos (grados de verdad de las fórmulas) en lugar de los estrictos valores verdadero o falso.

Estos conjuntos reciben la denominación de “conjuntos difusos”.

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La lógica difusa concierne a la cuantificación y razonamiento sobre términos vagos o difusos que aparecen en el lenguaje natural cotidiano. En la lógica difusa, estos términos son denominados variables lingüísticas.

variables lingüísticas: son términos que describen algún concepto que usualmente tiene asociados valores vagos o difusos.

Lógica difusa

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Lógica difusa

Variable lingüística Valores típicos

temperatura caliente, frío

altura baja, media, alta

velocidad lenta, normal, rápida

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Difusión de fuzzy logic

• En la actualidad es un campo de investigación muy importante, tanto por sus implicaciones matemáticas o teóricas como por sus aplicaciones prácticas: Revistas (Fuzzy Sets and Systems, IEEE Transactions on Fuzzy

Systems..) Congresos (FUZZ-IEEE, IPMU, EUSFLAT, ESTYLF...) Miles de aplicaciones reales:

• Control de sistemas: Tráfico, vehículos, compuertas en plantas hidroeléctricas, centrales térmicas, lavadoras, metros ascensores...

• Predicción y optimización: Predicción de terremotos, optimización de horarios...

• Reconocimiento de patrones y Visión por ordenador: Seguimiento de objetos con cámara, reconocimiento de escritura, reconocimiento de objetos, compensación de vibraciones en cámaras, sistemas de enfoque automático...

• Sistemas de información o conocimiento: Bases de datos, sistemas expertos...

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Un poco de publicidad...

Carga: 5kg Revoluciones: 1400 rpm Características energéticas: A+,A,B Multi-Display Fuzzy Logic Programas especiales: Lavado a mano, Seda, Lana

Poderoso lente zoom de 4.3x, 28-120 con elementos de lentes de cristal ED Sistema de flash doble incorporado. Ajuste de Exposición Automática programada Sistema de Medición TTL: Fuzzy logic ESP, Promedio Balanceado al Centro

OLYMPUS ERGONÓMICA SRL 28-120

AEG Lavamat 64600

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Conjuntos difusos

Conjuntos clásicos (crisp) A U definido por su función de pertenencia A: U {0,1} / A(x)= 1 sii x A

Conjunto difuso (Fuzzy set) A de U A: U [0,1] A(x) me define el grado de pertenencia de x a AHay “distintos grados de pertenencia”

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Conjuntos difusos

La sentencia “Juan es alto” implica la variable “estatura” que tiene como valor lingüístico “alto”. El rango de los posibles valores de la variable lingüística (estatura) es el universo de discurso X de dicha variable [0.3, 2.5m].

La frase “Juan es alto” restringe los valores de la variable estatura y se puede representar mediante un conjunto difuso.

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Para otras descripciones de la variable lingüística estatura tales como: baja o media, se pueden obtener otros conjuntos difusos que reflejan la opinión popular (o de expertos).

se pueden definir múltiples conjuntos difusos para un mismo universo de discurso: subconjuntos difusos representando distintos términos vagos.

Conjuntos difusos

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Funciones de pertenencia

Algunas de las funciones de pertenencia más utilizadas son:

m xpara 1

xa para amax

a xpara 0

mx)(

1

a m

• Función GAMMA ():

• Función LAMBDA o triangular

• Función L

Puede definirse simplemente como 1 menos la función GAMMA

1

m a

bx para 0

bxm para mbxb

mxa para amax

ax para 0

)x(

1

a b m

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• Función PI o trapezoidal

dx para 0

dxc para cbxd

cx b para

bxa para abax

ax para 0

)x( 1

1

a b c d

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• Función S

• Función

• Función Z (opuesta de la S)

cx para 1

cx2

capara ,

acax

21

2ca

xa para ,acax

2

ax para 0

(x) 2

2

S

Z(x) = 1- S(x)

bx para )x(

bx para )x( (x)

Z

S

a c (a+c)/2

b-d b+d b

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Canjunto difuso - espacio discreto

Considerando ahora un universo de discurso discreto, tal que los elementos de X sean { x1, x2, .....xn} y, siendo A un conjunto difuso definido en dicho universo:

La representación del vector se clarifica utilizando el símbolo “ / “ que asocia el valor de pertenencia ai con la coordenada de xi :

A = ( a1 / x1, a2/x2.....an/ xn )

Considerando el conjunto difuso altoALTO = (0/1.65, 1/1.75, 1/1.85, 0/1.95)

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También se expresa como:A = ( a1 /x1+ a2/x2+.....+an/ xn )

A = i=,1,n A(xi)/xi

Si X es una función continua, el conjunto A, este puede ser representado como:

A = A(xi)/xi

Canjunto difuso - espacio discreto

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Etiquetas lingüísticas - Hedges

Equivalentes a los adverbios del lenguaje natural Se utilizan para definir conjuntos difusos a partir de

otros ya existentes. Por ejemplo, viejo —> MUY viejo Lo que se hace es componer la función de

pertenencia con alguna otra función, de forma que la función resultante tenga la forma deseada

Por ejemplo, función para el adverbio MUY —> f(y) = y2

0

1 viejo Muy viejo

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Etiquetas lingüísticas

Nombre del modificador Descripción del modificador

not 1-y

very (muy) y2

somewhat (algo) y1/3

more-or-less (más o menos) y1/2

extremely (extremadamente) y3

Existe todo un catálogo de adverbios/funciones

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Etiquetas lingüísticasOtras operaciones usuales

caso otro en 0.5y para

pp

pp

yyyf

)1(212)( 1

1

caso otro en

0.5y para

2/)1(1

2/)(

y

yyf

Concentración

Intensificación contraste

Dilatación

Difuminación

Normalización f(y) = y/Altura

f(y)=yp, con p>1

f(y)=yp, con 0<p<1

0

1

0

1

0

1

0

1

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Operaciones con conjuntos difusos

Las funciones c para el complemento más utilizadas son:

Complemento (Negación)

Dado un conjunto difuso A, su complemento vendrá definido por

0

1

• c() = 1 - .

• Sugeno c() = (1-)/(1-) [0, 1]

0

1

))(()( xcx AA

• Yager cw() = ( 1 - w)1/w w [0, ]

0

1

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Intersección (conjunción)Dados dos conjuntos difusos A y B, su intersección vendrá definida por

AB (x) = i((x), (x))

Las funciones i que verifican las propiedades que se esperan de una conjunción se llaman normas triangulares (t-normas).

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Algunas t-normas usuales:

• t-norma del mínimo imin() = min()

0

1

• t-norma del producto i*() =

0

1

0

1

• t-norma del producto drástico

i inf ( ) =

si = 1 si = 1

0 en otro caso

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Unión (disjunción)

Dados dos conjuntos difusos A y B, su unión vendrá definida por

AuB(x) = u(A(x), B(x))

Las funciones u que verifican las propiedades esperadas para una disjunción se llaman: conormas triangulares (t-conormas).

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Si consideramos como complemento la función c(u) = 1-u, las t-conormas correspondientes a las t-normas anteriores son:

• t-conorma del máximo

umax(,) = max(,)

• t-norma de la suma drástica

0

1

• t-conorma de la suma u*(,) =

0

1

u sup ( ) =

si = 0 si = 0

1 en otro caso

0

1

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Considerando la t-norma del mínimo (intersección, AND) junto con la t-conorma del máximo (unión, OR)Conjuntos vacío y total:

Conjunto vacío Conjunto total (X crisp)

xX x = 0

xX X x =1

Sin embargo, con esta definición no se satisfacen algunos famosos principios de la lógica clásica, como por ejemplo:

A A =

A A = X

Principio de contradicciónPrincipio del tercero excluso

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Razonamiento difuso

Proposición difusa simple: Proposición que asigna un valor a una variable difusa:

“Pepe es de estatura mediana”. Tiene asociado un conjunto difuso (función de

pertenencia).

Proposición difusa compuesta: Agrupación de dos o más proposiciones difusas simples

“la velocidad es normal” AND “el objeto está cerca”“la velocidad es alta” OR “el objeto está muy cerca”“la velocidad NO es alta”

Necesidad de definir operadores difusos:

NO (¬p) ¬A(u) = 1 - A(u) AND (pq) vendrá definida por una función de pertenencia

tipo t-norma, por ejemplo AB (u,v) = min( A(u), B(v)) OR (pq) vendrá definida por una función de pertenencia tipo

t-conorma, por ejemplo AUB(u,v) = max(A(u), B(v))

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Razonamiento difuso: implicaciones

El siguiente paso es definir lo que es una implicación, es decir, asignar una función de pertenencia a una agrupación antecedente consecuente del tipo pq

Esto nos permitirá razonar con afirmaciones tales como:SI “la velocidad es normal” ENTONCES “la fuerza de frenado debe ser moderada”

Opciones: Teórica: Dar a la implicación el mismo significado que en la

lógica clásica.

pq pq pq(u,v) = max(1-A(u), B(v))

pq ~(p(~q))pq(u,v) = 1 – min[A(u), 1-B(v)] Práctica: Dar a la implicación el significado de relación

causa-efecto:

Implicación de Mamdani

pq AB pq(u,v) = min( A(u), B(v))

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Inferencia Difusa – Fuzzy inference

Una regla difusa relaciona dos proposiciones difusas, por ejemplo considerando dos conjuntos difusos tales como A (estatura es alta) y B (peso es elevado), estos pueden estar relacionados por la regla:

If A Then B Los sistemas expertos difusos

almacenan las reglas como asociaciones difusas (A,B), en una matriz M denominada matriz asociativa difusa.

44

Matriz asociativa difusa.

45

Como en otras técnicas de razonamiento inexacto, el proceso de inferencia difusa intenta establecer la credibilidad conclusión de la regla dada una cierta evidencia en la premisa.

If A Then BA*B* ???


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Funcionamiento de un sistema de control basado en lógica difusa

Reglas

Inferencia

Codificador Decodificador

u Up

Conjuntos difusos entrada

v VConjuntos

difusos salida

Entrada crisp

x Up y=f(x) V

Salidacrisp

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Disponiendo de la matriz M que se obtiene a partir de AB, el proceso de inferencia difusa permite a partir de información A’ (subconjunto de A), inducir un subconjunto B’ de B.

Técnicas de inferencia difusas:

Inferencia max-min Inferencia max-product


48

Inferencia max-min

El operador de de la implicación utilizado es el “minmin”, es decir:

mij = min(ai,bj)

Entonces, dados dos conjuntos difusas A y B, se obtiene la matriz M.

Luego, dado el conuunto A’, se puede inducir el subconjunto B’.

49

Inferencia max-min

Ejemplo: sea un universo de discurso X que representa “temperatura”, y A un conjunto difuso que representa “temperatura normal”.

Asumiendo que Y representa “velocidad” y un B que representa “velocidad media”, entonces si tenemos la siguiente regla difusa:

If temperatura normal Then velocidad media IF A THEN B

50

Inferencia max-min - Ejemplo

51A’ representa una entrada de t=125º

52

El subconjunto A’ (lectura única) induce un conjunto difuso B’ utilizando la composición max-min:

53


54

Cuando A’ tiene un solo valor de pertenencia distinto de 0, por ejemplo xk se puede utilizar solo A (xk) directamente con la representación de B, B (y) para inducir B’ como

B’ = A (xk) B (y)

Truncamiento del conjunto difuso B por el valor A(xk)

Inferencia max-min - Observación

55

En el ejemplo, nosotros asumimos que la temperatura es de 125 grados A’ tiene un solo valor de pertenencia distinto de 0, y resulta

A (x) = 0.5

Luego:

B’ = [min(.5, 0), min(.5, .6), min(.5, 1), min(.5, .6), min(.5, 0) = = (0, .5, .5, .5, 0)


56

En el caso que la entrada a la regla sea una lectura difusa A’, nosotros podemos considerar la intersección de A y A’, es decir:

min (ai, a’i) para inducir el B’

Inferencia max-min - Observación

58

El operador de de la implicación utilizado es el producto en lugar del min:

mij = ai * bj

Dados los conjuntos difusos A y B, se obtiene la matriz M.

Luego, dado el vector de ajuste de A’, se puede inducir el subconjunto B’.

Inferencia max-product

59

Inferencia max-product: Ejemplo

60

Inferencia max-product : Ejemplo

A partir de la nueva matriz M se utiliza nuevamente la composición Max-min:

61

Inferencia max-product: Ejemplo

62

Inferencia Difusa El método numérico desarrollado puede

ser extendido a reglas con cláusulas múltiples en la premisa vinculadas por operadores de conjunción o disyunción.

Si A and/or B Entonces C

La extensión del método consiste en incorporar las matrices asociativas a cada uno de los conjuntos difusos A y B involucrados en la regla y resolverlos conforme a la naturaleza del operador que los vincula.

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Inferencia Difusa

A’ MAC = CA’

B’ MBC = CB’

luego para la conjunción resulta:C’ = (A’ MAC) (B’ MBC) = CA’ CB’

y para la disyunción deviene: C’ = (A’ MAC) (B’ MBC) = CA’ CB’

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Inferencia Difusa

El efecto de la combinación de las conclusiones de varias reglas:

R1: A1 C, ... Rn: An C y el valor resultante del aporte de cada una

de ellas, permite suponer que el resultado de la composición ( la unión):

C’ = C’1 C’2 C’3 ....... C’n

según las operaciones entre conjuntos difusos

C’ = max (C’1 , C’2 , C’3 ,...... , C’n)

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Decodificación - defuzzyfication Una vez llevado a cabo el proceso de

razonamiento difuso, es necesario dotar al sistema de la capacidad de tomar decisiones. Así por ejemplo, el sistema debe saber qué fuerza de frenado que debemos aplicar si la velocidad es alta

Para ello se utilizan las llamadas técnicas de decodificación, que transforman un conjunto difuso en un valor nítido.

Las más usuales son: El valor máximo (es decir, el más posible). El centroide o centro de gravedad difuso

XxA

XxA

centroidex

xx

y)(

)(

66

En resumen

La lógica difusa se concibió originalmente como un método mejor para manejar y almacenar información imprecisa

Ha demostrado ser una excelente alternativa para sistemas de control, ya que imita a la lógica de control humana

Se pede incluir en cualquier sistema, desde dispositivos pequeños a sistemas de control complejos

Usa un lenguaje impreciso pero muy descriptivo para operar con datos de entrada de una forma parecida a la usa un operador humano

Es robusta y no demasiado dependiente de los datos de entrada y operadores elegido

Incluso las primeras versiones funcionan bastante bien, con escasa necesidad de ajustes

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