Rechneraufbau & Rechnerstrukturen, Folie 1.1 © W. Oberschelp, G. Vossen
W. OberschelpG. Vossen
Kapitel 1
Rechneraufbau & Rechnerstrukturen, Folie 1.2 © W. Oberschelp, G. Vossen
1. Schaltfunktionen und ihre Darstellung
Zahlendarstellungen
Boolesche Algebra
Schaltfunktionen und Boolesche Funktionen
Schaltnetze
Geordnete binäre Entscheidungs-Diagramme (OBDD)
Rechneraufbau & Rechnerstrukturen, Folie 1.3 © W. Oberschelp, G. Vossen
b-adische Darstellung natürlicher Zahlen
Rechneraufbau & Rechnerstrukturen, Folie 1.4 © W. Oberschelp, G. Vossen
Boolesche Körper
Rechneraufbau & Rechnerstrukturen, Folie 1.5 © W. Oberschelp, G. Vossen
Boolesche Algebra
Rechneraufbau & Rechnerstrukturen, Folie 1.6 © W. Oberschelp, G. Vossen
Gesetze einer Booleschen Algebra
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Schaltfunktionen
I O
Rechneraufbau & Rechnerstrukturen, Folie 1.8 © W. Oberschelp, G. Vossen
Weitere Beispiele
1
2 3
4 5
k
k
k
k k
k
k
2
3 4
5
7
6
8k
A
k 1
k 9
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Boolesche Funktionen
Rechneraufbau & Rechnerstrukturen, Folie 1.10 © W. Oberschelp, G. Vossen
1-stellige Boolesche Funktionen
Rechneraufbau & Rechnerstrukturen, Folie 1.11 © W. Oberschelp, G. Vossen
2-stellige Boolesche Funktionen
Rechneraufbau & Rechnerstrukturen, Folie 1.12 © W. Oberschelp, G. Vossen
Beispiel
Rechneraufbau & Rechnerstrukturen, Folie 1.13 © W. Oberschelp, G. Vossen
Darstellungssatz für Boolesche Funktionen
Rechneraufbau & Rechnerstrukturen, Folie 1.14 © W. Oberschelp, G. Vossen
Beispiel (Forts.)
Rechneraufbau & Rechnerstrukturen, Folie 1.15 © W. Oberschelp, G. Vossen
Grundbausteine zur Realisierung von Booleschen Funktionen
x y+ x y+
(K omplement-G atter)N egation
A ddition(O der-G atter)
M ultip lika tion(U nd-G atter)
x
xy
xy
F unktion
x x x
IE E E -S ymbo l
U nserS ymbo l
xy
xyx y x y
Rechneraufbau & Rechnerstrukturen, Folie 1.16 © W. Oberschelp, G. Vossen
Beispiel (Forts.)
1, x2 , x3 )f(x
x 2 x 3x1
Rechneraufbau & Rechnerstrukturen, Folie 1.17 © W. Oberschelp, G. Vossen
Beispiel (Forts.)x 1 x 2 x 3
f(x1, x2 )3, x
Rechneraufbau & Rechnerstrukturen, Folie 1.18 © W. Oberschelp, G. Vossen
DAG-Darstellung
v
^^
^ ^
I nput I nput I nput
O utput
^
^
v
Rechneraufbau & Rechnerstrukturen, Folie 1.19 © W. Oberschelp, G. Vossen
Flimmerschaltung
zv
x
Rechneraufbau & Rechnerstrukturen, Folie 1.20 © W. Oberschelp, G. Vossen
Geordnete binäre Entscheidungs-Diagramme (OBDD)
OBDD: Ordered Binary Decision Diagrams
Ein OBDD zur Variablenordnung x1 <…<xn ist ein markierter, gerichteter, zykelfreier Graph (DAG) mit einem Startknoten (Wurzel) und zwei Endknoten (Blätter).
Die beiden Blätter sind mit 0 oder 1 markiert, die anderen Knoten haben je zwei unterscheidbare Ausgänge 0 und 1 und sind mit Variablen derart markiert, dass bei jedem vollen Weg (d.h. einem Pfad, der von der Wurzel zu einem Blatt führt) die Reihenfolge der hierbei an den Knoten auftretenden Variablen verträglich mit der gegebenen Ordnung ist, d.h. die Indizes treten in der vorgegebenen Reihenfolge (evtl. mit Auslassungen) auf.
Ein OBDD stellt eine Boolesche Funktion f dar, wenn bei jedem vollen Weg die Variablenbelegung zu demjenigen Blatt führt, das in der Funktionstabelle von f festgelegt ist. Im OBDD fehlende Variablen können übergangen werden.
Definition:
Rechneraufbau & Rechnerstrukturen, Folie 1.21 © W. Oberschelp, G. Vossen
OBDD zur Ordnung x1 < x2 < x3 < x4
x1
x2 x2
x3x3x3x3
x4 x4 x4x4 x4x4x4x4
1 0
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Boolesche Funktion dazu
Rechneraufbau & Rechnerstrukturen, Folie 1.23 © W. Oberschelp, G. Vossen
OBDD zur Schwellenwertfunktion T25
x1
x2 x2
x3x3
x4
x5
x4
1 0
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Ende Kapitel 1